数学分析考研复习讲义5实数的完备性
数学《实数的完备性》讲义
第七章实数的完备性1. 教学框架与内容教学目标①掌握实数集完备性的基本定理内容．②掌握实数集完备性的基本定理等价性证明．③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.教学内容①实数完备性基本定理内容及其之间的相互等价性．②有界闭区间上连续函数性质的证明.2. 重点和难点①正确理解基本定理的含义及适用范围.②基本定理等价性证明.③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.3. 研究性学习选题● 完备性基本定理的应用, 以区间套定理和有限覆盖定理为例.小组进行一次交流：叙述实数完备性基本定理的应用.●举例用不同完备性定理证明同一命题, 体会不同完备性定理的奥妙之处. 进行一次研讨：举一例说明不同完备性定理的不同应用.4. 综合性选题, 写读书笔记■整理完备性定理等价性证明.■整理每个完备性定理适用范围.5. 评价方法◎课后作业，计10分.◎研究性学习布置的两个选题合计30分.●完备性基本定理的应用（计15分）●用不同完备性定理证明同一命题（计15分）◎读书笔记计60分.●完备性定理等价性证明总结（计30分）●完备性定理适用范围总结（计30分）§1 实数基本定理的陈述一、确界原理定理1 非空有上(下)界数集必有上(下)确界.二、单调有界原理定理2 单调有界数列必收敛.例 1 确界原理⇒单调有界原理.三、闭区间套定理1、 区间套设{[,]}n n a b 是一闭区间序列，若满足条件1) 对任意n ，有11[,][,]n n n n a b a b ++⊂，即11n n n n a a b b ++≤≤≤，2) lim 0n n n b a →∞-=，即n →∞时，区间长度趋于0， 则称该闭区间序列为一个(递缩)闭区间套，简称为区间套，区间套还可表示为1221n n a a a b b b ≤≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤≤.注 1 区间套{[,]}n n a b 涉及两个数列{},{}n n a b ，其中{}n a 递增，{}n b 递减且{}n a 有 上界1b , {}n b 有下界1a ，从而由单调有界原理{},{}n n a b 均收敛，不妨设n a a →，n b b →. 故a b ≤且由0n n a b -→有b a =.2、区间套定理定理3 若{[,]}n n a b 是一个区间套，则存在唯一R ξ∈，使得n N ∀∈，[,]n n a b ξ∈，即区间套必有唯一的公共点.例 2 单调有界定理⇒区间套定理. (注意唯一性)注 2 若区间套{[,]}n n a b ，n n b a -→0，则应有何结论……推论 设ξ为区间套{[,]}n n a b 所确定的点，则对任给0ε>，存在N ，使得n N >时， [,](,)n n a b U ξε⊂.注 3 区间套定理中，区间套均为闭区间，而对开区间套未必成立，如11{(0,)}n n∞=. 例 设{(,)}n n a b 是一个严格开区间套，即1221n n a a a b b b <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<⋅⋅⋅<<,且lim 0n n n b a →∞-=，证明: 存在唯一的R ξ∈，使得(,)n n a b ξ∈,n N ∀∈.四、Cauchy 收敛准则1、基本列 (Cauchy 列)若数列{}n a 满足0ε∀>，存在N ∈N ，使得,m n N ≥时m n a a ε-<, 则称{}n a 为基本列或Cauchy 列.注 3 {}n a 为Cauchy 列0,,,,n p n N n N p a a εε+⇔∀>∃∈N >∀∈N -<.例 证明 1) 20.9sin0.90.90.9n n x =+为Cauchy 列 2) 22211112n a n=++⋅⋅⋅+为Cauchy 列. 例 不用Cauchy 准则证明:1) Cauchy 列必为有界列.2) 若Cauchy 列有收敛子列,则其本身必收敛.2、Cauchy 收敛准则定理 4 数列{}n a 收敛⇔{}n a 为Cauchy 列例3 区间套定理⇒Cauchy 收敛准则.1、聚点设S R ⊂为数集，ξ为定点(ξ可能属于S ，可能不属于S )，若ξ的任何 邻域内均含有S 的无穷多个点，则ξ称为S 的一个聚点.例 1) 1{,}E n N n=∈有唯一聚点0. 2) [0,1)的聚点集为[0,1].3) [0,1)中的有理数的聚点集[0,1].4) 有限点集无聚点.2、聚点等价条件ξ为S 的聚点00,(,)S εξε⇔∀>≠∅(ξ的任何邻域内中有S 中异于ξ的点);⇔S 中存在异于ξ的点列{}n a ，n a ξ→;⇔S 中存在互不相同的点列{}n a ，n a ξ→.例 设S 为有上界集，sup S S ∉，则{},sup n n a S a S ∃⊂→.[sup S S ∉，则sup S 为S 的一个聚点]定理5 (Weierstrass定理)实数中任一有界无限点集S至少有一个聚点. 例 4区间套定理⇒聚点定理.推论有界数列必有收敛子列----致密性定理.六、致密性定理定理6有界数列必有收敛子列.例 5致密性定理⇒Cauchy收敛准则.七、(Heine Borel -)有限覆盖定理1、开覆盖设开区间族{(,),}G I a b λλλλ==∈∧(∧为一指标集)，设S 为一数集，若对任,x S λ∈∃∈∧，使x I λ∈，则称区间族G 覆盖了S ，或称区间族G 是数集S 的一个覆盖，记作(,)S a b λλλ∈∧⊂.若∧为有(无)限集，则称覆盖为有(无)限覆盖S .若∑为的∧子集，且{(,),}a b λλλ∈∑也覆盖S ，则称{(,),}a b λλλ∈∑为G 的一个子覆盖. 特别地，若∑是有限集, 则称为G 的一个有限子覆盖.例 1) {(,),(0,1)}22x x G x x x =-+∈覆盖了区间(0,1)，但其不能覆盖[0,1]？ 2) 若f 在(,)a b 上连续，则0ε∀>，对每一个(,)x a b ∈都存在正数 (,)0x x δδε=>，使得当'(,)(,)x x x x U x x x δδδ∈=-+有(')()f x f x ε-<， 从而开区间族{(,x G x x δ=-),(,)}x x a b δ+∈就为(,)a b 上的一个无限开覆盖.一般称(,)x I x x x x δδ∈⋃-+为I 上的一个自然覆盖.2、有限覆盖定理定理7 设G 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖，则可从G 中选中有限子覆盖来覆盖[,]a b .例 6 闭区间套定理⇒有限覆盖定理.§2 完备性定理等价性证明确界原理 ?⇐ Cauchy 收敛准则 ⇐ 致密性定理⇓ ⇑ ⇑单调有界定理 ⇒ 区间套定理 ⇒ 聚点定理⇓ ?⇑有限覆盖定理 ⇒例 7 Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理.例 8 有限覆盖定理⇒聚点定理.例 9 聚点定理⇒区间套定理.例 10 Cauchy 收敛准则 ⇒ 有界单调定理.实数完备性命题都可以用于确定某个具有某种性质的点.1、 单调有界定理与Cauchy 收敛准则通常用于判断数列的收敛性. (即收敛数列的极限点).2、 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点.3、 致密性定理是同聚点原理一般将数列过渡到子列(可要求子列具有某种收敛性).4、 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点性质(局部性质).方法是 假设I 具有某种性质P ，对分I ，得到两个子区间，可要求其一必须仍满足性质P ，如此可得到区间套{}n I 及公共点α，由α的任一邻域必包含某n I ，则得到的任一邻域具有性质P .5、 有限覆盖定理主要在于把局部性质扩展成整体性质。
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
实数的完备性
實數的完備性楊維哲實數的完備性在教學上是有些麻煩，這是相當「概念」的東西；今天講這個題目是因為這裡面有些要注意的小地方，提出來供大家參考。
在小時候我們學數系都從數手指頭開始，這就是自然數系，在自然數系N 之後，有正有理數系（分數），然後推廣到負數，因此有了整數全體，從整數再推廣就是所有的有理數，這要如何介紹呢？一開始先有自然數，然後有分數，分數就是因為除不盡而產生的，也可說是為了要解如5x=3 的方程式而產生，負數的出現是因為要解如x+7= 的方程式，亦即是要作2-7=-5 的運算，因為要使運算成為可能就必須慢慢地把數系擴展，不擴展就沒有辦法，這是發展整個數系的一個動機。
在運算上，從加減乘除一直做到有理數就完備了，因為加減乘除在有理數中都可以自由運算下去。
再下去的說法，大家都曉得。
「為什麼會出現R 是因為x2 =2 這個方程式在有理數系中沒有解，可見有理數系是不夠用的，所以出現了無理數」；當然也因為x2+1 在實數系中不夠解，所以出現了i ，因此我們可以擴展到複數系。
在從N 擴展到有理數系Q 是為了要使四則運算不受限制，解方程式是一個很重要的主題。
但由Q 再擴展下去是否還是為了解方程式的理由？我先強調這一點：無理數的出現，不只是為了代數上的動機，其實在數學上還有其他種種理由配合起來的。
在初中，你可能用純粹代數的理由來擴展數系，到了高中就不是了！到了高中，擴大數學的題材，研究種種的函數，如三角函數，指數、對數函數……等，這是一個主題：但在高中，還有一個重要的主題，即解析幾何，我的意思不是項武義、黃武雄的向量(Vector) 幾何，這不太合乎原來解析幾何的意思。
真正的解析幾何是笛卡爾與費馬所發明的座標幾何：用座標的方法來做幾何問題，所有幾何問題都用座標來解。
他們這個辦法與今天所談的題目有密切的關係，它是數與圖形的配合，就是代數與幾何結合在一起。
在平面解析幾何中用兩個數(x,y) 來表一點，立體解析幾何用三個數(x,y,z) 來代表一點，將來可以推廣到n 維空間，但最基本的還是在一維空間的圖形，即一直線上的座標化，因為兩維、三維……均可類推，這一維空間的情形牽涉很廣，如測量問題，即幾何與代數的聯繫，這非常重要，它與實數的完備性有密切的關係，在數學史上量長度與座標化是在直線上取0 為原點，1 為單位長，我們就可以在直線上點出2、3……還有「幾分之幾」。
实数的完备性
不存在 S,
使 1 . n
例：②设
I （0，1），S （ { 1 ，1）n 1,2,3 }. n1
则开区间集S覆盖区间I，
x (0,1), 只要自然数m充分大，有
1 x m 1
即x ( 1 ,1) m1
定理7.3 （海涅—博雷尔（Heine-Borel)有限覆盖定理） 闭区间[a, b]的任一开覆盖H，必可从H中选 出有限个开区间覆盖[a, b]。
它是区间(a, b)的一个无限开覆盖。
又如：（0，2），（1，3）， ，（n 1, n 1）,
3
24
n n2
是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
例：①设
I （0，1），S （ { 1 ，1）n 1,2,3 }. n1 n
则开区间集S没有覆盖区间I，
1 (0,1), n
取 n min{ 1/ n,| xn1 |},则xn U ( ; n ) S，
且xn与x1，x2， xn1互异，
无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列 { xn },
且满足：|
xn
|
n
1， n
从而
lim
n
xn
.
证毕。
定理7.2 （魏尔斯特拉斯（weierstrass)聚点定理）
n 即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. {(1 1 )n }也是满足Cauchy条件的有理数列， n
但其极限是无理数e.
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套定 理、聚点定理和有限覆盖定理，
还将证明这六个基本定理的等价性。
一、 区间套定理与柯西收敛准则
数学分析第七章 实数的完备性
设 S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合,(即 H 的每一个 元素都是形如 (, )的开区间).若 S 中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称 H为 S的一个开覆盖,或简称H 覆盖 S .
若 H 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 H 为 S 的一个
无限(有限)开覆盖.
例 开区间集
H = {(x - b - x , x + b - x) | x (a,b)}
五 作业
P168: 1, 3, 5, 6.
第七章 实数的完备性
§2 闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理
若函数 f 在闭区间 [a,b]上连续,则 f 在 [a,b] 上有界.
证明: (应用有限覆盖定理证明)
由连续函数的局部有界性， x' [a,b],U(x';x' ),Mx' 0使得
f (x) M x' x U (x'; x' ) [a,b]. 考虑开区间集 H = {U (x'; x' ) x' [a,b]}, 显然H是[a,b]的一个无限开覆 但不能覆盖[a, b].
•2 定理7.3 (Heine-Borele 有限覆盖定理)
设H 为闭区间 [a,b] 的一个(无限)开覆盖,则从 H 中可 选出有限个开区间来覆盖 [a,b] .
•定理的证明
用反证法 假设定理的结论不成立， 即不能用H中有限个
开区间来覆盖 [a,b]. 将[a,b]等分为两个子区间 ， 则其中至少有一个子区 间不能用H
说明:区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.
如{(0, 1 )},虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个, n
且 lim ( 1 - 0) = 0,但不存在属于所有开区间的公共点. n n
实数的完备性、列紧性与紧性
ba ba ，易知 lim ln lim bn a n lim n =0。 n n n n 2 2
那么由区间套定理知，存在实数 c ，满足
k 1
I k c 。
下面构造一个 X 中的序列 cn ，该序列收敛于 c 。
cn 定 义 如 下 ： 对 每 个
n n n
a b c。
下面证明 c 是所有区间的唯一公共点，即
k 1
I k c 。
k 1
由单调收敛定理知 sup an c inf bn ，所以 an c bn ，即 c
I k 。对于
任意正实数 ，存在正整数 N,使得 c aN c bN c ，所以任意不等于 c
n n
a A 和非负数 ,使得 a c 。存在正整数 N,使得 c xN c a ，由于 xN
是 A 的一个上界且 A 无最大值， xN a 不可能成立。所以， c 是 A 的上界。对 于任意正数 ，存在存在正整数 N，使得 c aN c ，所以任意小于 c 的实数不 是 A 的上界。综上， c 是集合 A 的上确界。 3.单调收敛定理: R 中的单调有界序列必收敛。 证明:用确界原理证明。 仅对单调递增的序列证明，单调递减序列的证明是类似的。 设 an 是单调递增的序列且上有界。由确界原理知 an 由上确界，设
I n an , bn ， 任 取 cn I n X 。 因 为 c I n ，
cn c bn an 。因为 lim bn an 0 ，所以对于任意正数 ，存在正整数 N，使
n
得 n>N 时， cn c bn an 。那么根据极限的定义， cn 收敛于 c 。 （或:用致密性定理:元素个数无限时，选出元素互不相同的序列，再选出收 敛子列，显然该子列就是集合的收敛的序列） （或:用聚点定理证明。元素个数无限时，用聚点定理得到聚点的存在性， 再构造一个收敛于聚点的序列） （或:用单调收敛定理证明。 选出单调子列， 马里兰大学 Fitzpatrick 所 著《高等微积分》的证法） 2.聚点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯): R 的有界无限子集存在聚点(极限点)。 证明:用列紧定理证明。 从集合中选出一个元素互不相同的序列(因为是无限集，所以可以做到)，由 列紧定理得到一个收敛的子序列，显然此序列的极限是集合的聚点。 （或：用有限覆盖定理证明。假设不存在聚点，那么每个点都是孤立点，那 么集合是闭集， 有限覆盖定理成立。每个孤立点都存在一个不包含任何其他点的 邻域，这些邻域的集合是一个开覆盖，而这个开覆盖显然不存在有限覆盖，因为 点和邻域是一对一的。那么这与有限覆盖定理矛盾，所以聚点必然存在。 ） 3.致密性定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯): R 的有界序列存在收敛的子序列。 证明：用聚点定理。 设 xn 是 R 的有界序列。设 xn 的象集是 X。 (1) X 是有限集。 显然此时存在一个数 a 对应了无穷个下标， 取出这些下标便得到一个收敛到 a 的常序列。 (2) X 是无限集。 因为 xn 是 R 的有界序列，集 X 显然是有界的。所以由聚点定理知，集 X 存 在聚点，设集 X 的一个聚点为 x 。根据聚点的定义，存在正整数 N1 ，使得
实数的完备性
第七章 实数的完备性§1 实数完备性的基本定理1． 验证 数集},2,11)1{(L =+−n n n有且只有两个聚点11−=ξ和12=ξ 解 因{1+}21n 是{(-1)n+n 1}的所有偶数项组成的子列,且,1)211(lim =+∞→nn 故12=ξ是数集},2,11)1{(L =+−n n n的一个聚点.由于}1211{−+−n 是原数集的所有奇数项组成的子列,且,1)1211(lim −=−+−∞→n n 因而11−=ξ也是原数集的聚点.下证该数集再无其它聚点. 时，有则当取001}21,21min{,1εϕϕεϕ>−+=±≠∀n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−=−−−为奇数为偶数为奇数，为偶数）（n n n n n n n n n n ,11.1111,1111ϕϕϕϕϕ.1200εε>−≥n故ϕ不是该数集的聚点.这就证明原数集只有两个聚点,即1+与1−. 2．证明:任何有限数集都没有聚点.证 设S 是有限数集,则对任一S R a 因,1,0=∃∈ε是有限数集,故领域),(0εa U 内至多 有S 中的有限个点,故a 不是S 的聚点,由a 的任意性知,S 无聚点.3．设)},{(n n b a 是一严格开区间套,即1221b b b a a a n n <<<<<<<<L L L , 且.0)(lim =−∞→n n n a b 证明存在唯一一点ξ,有L ,2,1,=<<n b a n n ξ证 作闭区间列]},{[n n y x , 其中L ,2,1,2,211=+=+=++n b b y a a x n n n n n n ，由于),(,11N n b y b a x a n n n n n n ∈∀<<<<++ 故有(1) ))(,(],[),(11N n b a y x b a n n n n n n ∈∀⊂⊂++，从而L ,2,1],,[],[11=⊂++n y x y x n n n n(2) )(0N n a b x y n n n n ∈∀−<−<从而由]},{[.0)(lim ,0)(lim n n n n n n n n y x x y a b 所以得=−=−∞→∞→为闭区间套.由区间套定理知,存在一点).,2,1()1().,2,1](,[L L =<<=∈n b a n y x n n n n ξξ有由满足条件),2,1(L =<<n b a n n ξ的点ξ的唯一性的证明与区间套定理的证明相同.4．试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明
实数完备性的证明第一部分 七个定理的证明1.单调有界定理→区间套定理证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n limna = r ，同理可知{n b }存在极限，设∞→n lim n b =r ' ，由∞→n lim （nna b-）=0得r r '-=0即r r '=∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
下面证明唯一性。
用反证法。
如果不然。
则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，令221'r r r +=显然2'1r r r <<⇒A r ∈'，B r ∈'，这与B A |是R 的一个分划矛盾。
唯一性得证。
定理证完。
2.区间套定理→确界定理证明：由数集A 非空，知∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ，b ]，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a+是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[1a ，211b a+]；如果211b a+不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[211b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点222b a+二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，便得区间套[na ，nb ]。
其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
由区间套定理可得，∃唯一的 ∞=∈1],[n n nb ar ，使∞→n lim n a =∞→n limn b = r 。
A x ∈∀，由≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r是A 的上界。
实数完备性的六大基本定理的相互证明共个
实数完备性的六大基本定理的相互证明共个实数完备性的六大基本定理是实分析中的重要结果，其中包括单调有界原理、上确界原理、下确界原理、戴德金（Dedekind）分割原理、稳定原理和柯西（Cauchy）收敛准则。
这些定理互相独立，但可以相互推导和证明。
下面我将按照给定的字数要求，大致叙述这些定理之间的证明关系。
1.单调有界原理→上确界原理首先我们证明单调有界原理蕴含上确界原理。
假设存在一个非空有上界的实数集合A，我们可以定义一个从A到R （实数集）的单调递增序列。
考虑一个函数f：N→A，其中N是自然数集合。
我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令An={a∈A，a≤f(n)}；2.由于A有上界，所以An也有上界；3.根据单调有界原理，An存在上确界。
令f(n)为An的上确界。
现在我们可以看出，这个序列f(n)是一个单调递增的序列，并且对于任意a∈A，存在一个自然数n使得a≤f(n)。
因此f(n)就是A的上确界。
2.上确界原理→下确界原理接下来我们证明上确界原理蕴含下确界原理。
假设存在一个非空有下界的实数集合B，我们可以定义一个从B到R （实数集）的单调递减序列。
考虑一个函数g：N→B，其中N是自然数集合。
我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令Bn={b∈B，g(n)≤b}；2.由于B有下界，所以Bn也有下界；3.根据上确界原理，Bn存在下确界。
令g(n)为Bn的下确界。
现在我们可以看出，这个序列g(n)是一个单调递减的序列，并且对于任意b∈B，存在一个自然数n使得g(n)≤b。
因此g(n)就是B的下确界。
3.戴德金分割原理→单调有界原理接下来我们证明戴德金分割原理蕴含单调有界原理。
假设存在一个非空无上界的实数集合C，我们可以定义一个从C到R （实数集）的单调递增序列。
考虑一个函数h：N→C，其中N是自然数集合。
我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令Cn={c∈C，h(n)≤c}；2.C没有上界，因此Cn也没有上界；3.根据戴德金分割原理，Cn的上确界不存在。
05数学分析中_实数完备性
代数学中是十分有用的，影响深远②．
定义 1 有理数列 {xn }称为是基本列，若 ∀ε > 0 ， ∃N > 0 ，当 m, n > N 时，有
xm − xn < ε
（1）
定义 2 两个有理数基本序列 {xn }和 {xn′ }称为是等价的，若
( lim
n→∞
xn
−
xn′
)
=
0
（2）
将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类．有理数 a 可表为基本列的极限，如
中开区间的个数是无限（有限）的，称 H 为 S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．
3 七个定理的环路证明
例 1 确界定理 ⇒ 单调有界定理．
证 不妨设数列 {an }是单调增有上界，由确界定理知具有上确界，记为α = sup{an }，
显然α 就是其极限．事实上， ∀ε > 0 ，由上确界定义知， ∃aN ，使 aN > α − ε ，由单增性 知，当 n ≥ N 时，有
的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法．
方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限
不循环小数定义为无理数．
一个无限不循环小数 x ，取其 n 位小数的不足近似值α n 与过剩近似值 β n ，α n 与 β n 均为
[ ] 有理数，且 β n − α n
=1 10 n
191
有且仅有一个成立；
（2）传递性：若 x < y ， y < z ，则 x < z ； （3）与“+”相容性：若 x < y ，则 ∀z ∈ R ，有 x + z < y + z ； （4）与“·”相容性：若 x < y ， z > 0 ，则 x ⋅ z < y ⋅ z ． 公理 3（阿基米德（Archimedes）公理） ∀x > 0 ， y > 0 ， ∃n ∈ N ，使得 nx ≥ y ．
数学分析 实数的完备性
第七章实数的完备性教学目的：1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。
教学时数：8学时§ 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）教学目的：1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2.明确基本定理是数学分析的理论基础。
教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。
一．确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛 .三.Cantor闭区间套定理 :1.区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ>对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ>. 即当时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.区间套还可表达为:.我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增, 递减.例如和都是区间套. 但、和都不是.2.Cantor区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 :1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列.例1验证以下两数列为Cauchy列 :⑴ .⑵ .解⑴;对，为使，易见只要 .于是取.⑵.当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有,又.当为奇数时 ,,.综上 , 对任何自然数, 有. ……Cauchy列的否定:例2 . 验证数列不是Cauchy列.证对, 取, 有.因此, 取,……2.Cauchy收敛原理:Th 4 数列收敛是Cauchy列.( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点.数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.1.列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六.Heine–Borel有限复盖定理:1.复盖: 先介绍区间族.定义( 复盖 ) 设是一个数集 , 是区间族 . 若对,则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为.定义( 开复盖 ) 数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖, 简称为的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3复盖了区间, 但不能复盖;复盖, 但不能复盖.2.Heine–Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.§ 2 实数基本定理等价性的证明（2学时）证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理致密性定理 Cauchy收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 .一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ).1.用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.证系1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有.系2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:Th 4 数列收敛是Cauchy列.引理Cauchy列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗.下证.用反证法验证的上界性和最小性.二.“Ⅱ”的证明:1.用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证（突出子列抽取技巧）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证（用对分法）2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：Th 4 数列收敛是Cauchy列.证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.三.“Ⅲ”的证明:1.用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:证2.用“Heine–Borel 有限复盖定理”证明“区间套定理”:证采用[3]P72例4的证明.§ 3 闭区间上连续函数性质的证明（2学时）教学目的：能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
实数的完备性及其应用课件
设E [a,b],是E一个的开覆盖,则中存在有限 个开区间覆盖 E，即有限覆盖 E .
Borel:波雷尔,1871—1956,法国
取 0 1, 因为{ xn}是基本数列，所以N0，n N 0： | xn xN0 1 | 1. 令 M max{| x1 |,| x1 |,,| xN0 |,| xN01 | 1}，
则对一切n，成立｜ xn｜ M .即 { xn}有界.
由致密性定理或 Bolzano-Weierstrass定理，在｛ xn｝中
比如，偶数集、有理数集都是可数集.
定理1 (0,1)是不可数集，从而实数 集R是不可数集. 证 (反证法) 设 (0,1)是可数集,那么(0,1)可以与N有一一对应, 即(0,1)的元素可以排序，设为 x1, x2 ,, xn ,
将xn写成十进制形式： x1 0.a11a12a13 , x2 0.a21a22a23 , x3 0.a31a32a33 , , xn 0.an1an2an3 ,
二、实数完备性基本定理
1.确界存在定理 2.单调数列收敛定理 3. 区间套定理 4. 有限覆盖定理 5. 聚点原理 6. 收敛子列定理(致密性定理) 7. 柯西收敛原理
1、确界存在定理
首先定义数集的界, 上界, 下界. 定义1 对于数集E,
界 : M 0,x E, | x | M; 上界 : b,x E, x b; 下界 : a,x E, x a.
记 m inf E Inf { x}. Inf是拉丁文Infimum 的缩写. xE
第七章 实数的完备性
[ n , n ] U ( ; ). 从而 U ( ; ) 含有 S 的无
限多个点，即 是 S 的一个聚点。
推论 （致密性定理） 有界数列必有收 敛的子列。 证 设{ xn }为有界数列。若{ xn }中有无限
多个相等的项，则由这些项组成的子列是一 个常数列，而常数列总是收敛的。 若数列{ xn }中没有无限多个相等的项， 则{ xn }
则[a1 , b1 ] [a2 , b2 ]，且
1 b2 a2 (b1 a1 ) M . 2
再将[a2 , b2 ]等分为两个子区间， 两个子 区间中至少有一个含有 S 的无限多个点， 记此 子区间为[a3 , b3 ]，则[a2 , b2 ] [a3 , b3 ]，且
1 M b3 a3 (b2 a2 ) . 2 2 将此等分子区间的工作无限地进行下
[an , bn ] U ( ; ).
区间套中要求各个区间都是闭区间, 才能保证定理结论的成立.
例 1 数列{an }收敛的充要条件是：对
0, N 0, n, m N 时有| an am | .
证 （必要性）设 lim an A. 由数列极
n
限的定义，对 0, N 0, n, m N 时有
从而证得必存在属于 H 的有限个开区间 能覆盖[a , b]。
三、实数完备性定理的等价性
实数连续性的六个基本定理： 确界原理（定理1.1） 单调有界定理（定理2.9） 区间套定理（定理7.1） 有限覆盖定理（定理7.3） 聚点定理（定理7.2） 柯西收敛准则（定理2.10）
1 2 3 4 5 6 1.
第七章
实数的完备性
§1
关于实数完备性的基本定理
实数的完备性：Cauchy收敛定理(4)
cn
数列{s n }收敛，则数列 {xn }收敛。
证： 数列{sn}收敛， 则根据Cauchy收敛定理，
0, N N*,当n N时,p N*,
sn1 p sn1 cn cn1
cn p1
xn p xn
xn p xn p1 xn p1
xn1 xn1 xn
xn1 xn xn2 xn1
an an aN 1 aN 1 an aN 1 aN 1 1 aN1
取M maxa1 , a2 ,, aN ,1 aN1 ,
则对n,有 an M .
2021/4/21
11
(2) 由列紧性定理知, {an }存在收敛子列{annki }.
limank a 0，N1 N*， k
p
N
an p an an p an p1 an p1 an p2 ....... an1 an
n
1
p 12
.........
1 n2
an1 an
1 n2
n
p
1
1 n
p
2
.........
n
1
n 1
1 n 1
n
1 p
1
1 n 1
2021/4/21
22
因此
0, N
1
1, n
N ,P
1
1 3n 1
收敛。
证法1：根据Cauchy收敛定理，则
an p an
11 3n1 3n2
11 3n p1 3n p
1 3n 1
1
(1)p 3
1 1
1 3n 1
1 1 1
1 3n 1
3 2
3
3
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二
实数基本定理
1 基本定理
定理 1（Dedekind 确界定理）任何非空数集 E ，若它有上界，则必有上确界；若有下界， 则必有下确界． 定理 2（单调有界定理）单调有界数列必收敛． 当 m, n > N 定理 3 （Cauchy 收敛准则） 数列 {x n } 收敛的充要条件是：∀ε > 0 ，∃N > 0 ， 时，有 x m − x n < ε ． 定理 4（Bolzano-Weierstrass 致密性定理）有界数列必有收敛子列． 定理 5（Weierstrass 聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点． 定理 6（Cantor 区间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点． 定理 7（Heine-Borel 有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖． 说明： 定理 1~6 属于同一类型， 它们都指出： 在一定条件下， 便有某一种 “点” 的存在． 这 种点分别是：确界（点） 、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点．定理 7 属于另一类型，它 是前六个定理的逆否形式，不论用前 6 个定理来分别证明定理 7，还是用定理 7 分别证明前 6 个定理，都可用反证法来证明，而前 6 个定理都可以直接推出．
有且仅有一个成立； （2）传递性：若 x < y ， y < z ，则 x < z ； （3）与“+”相容性：若 x < y ，则 ∀z ∈ R ，有 x + z < y + z ； （4）与“· ”相容性：若 x < y ， z > 0 ，则 x ⋅ z < y ⋅ z ． 公理 3（阿基米德（Archimedes）公理） ∀x > 0 ， y > 0 ， ∃n ∈ N ，使得 nx ≥ y ． 公理 4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界． 由此可定义： 定义 3 实数空间是这样的集合 R ，在其上定义了“+” 、 “· ”运算，以及序关系“<” ，满 足上述四组公理， R 中的元素称为实数．
1 ， x n ∈ [α n , β n ] ．可见以无限不循环小数定义无 → 0（n → ∞） 10 n
理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定理， 即承认它是正确的． 历史上引进无理数的传统方法有两种：戴德金（Dedekind）分割法和康托（Cantor）的有 理数列的基本序列法． 戴德金分割法具有很强的直观性，其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置， 假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么全体有理数被分为左、右两个子集 A, B ．如 果折断处是有理点， 那么它不在左子集， 就在右子集， 这样分割就确定了一个有理数， 即 A的 最大数或 B 的最小数．如果 A 中没有最大数， B 中也没有最小数，这个分割就确定了直线上 的一个“空隙” ，称之为无理数，显然它是有序的，可定义其四则运算（可参见北京大学数学 系沈燮昌编写的《数学分析》 ，高等教育出版社，1986 年） ． 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近
Байду номын сангаас
x < y，x = y ，x > y
②
从古至今，数学的发展大致经历了五个时期： （1）萌芽时期（公元前 600 年以前） ； （2）初等数学时期（公元前 600 年到 17 世纪中叶） ：欧氏几何、算术、初等代数、三角等； （3）变量数学时期（17 世纪中叶到 19 世纪 20 年代） ：微积分的建立、解析几何、运动观点等； （4）近代数学时期（19 世纪 20 年代到 20 世纪 40 年代） ； （日前大学中的主要数学课程） （5）现代数学时期（20 世纪 40 年代以来） ：显著特点：计算机的广泛应用． 191
第五讲
I 一 基本概念与主要结果 实数空间
1 无理数的定义
实数的完备性
人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后 可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定 由于开方与不可公度问题 ① 发现了无理数， 义．事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分．为了让实数与数轴上 的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法． 方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限 不循环小数定义为无理数． 取其 n 位小数的不足近似值 α n 与过剩近似值 β n ，α n 与 β n 均为 一个无限不循环小数 x ， 有理数，且 β n − α n =
毕达哥拉斯（公元前约 580~约 500） ：古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收 300 门徒组织了一个“联 盟” ，后称之为“毕达哥拉斯学派” ，宣扬神秘宗教和唯心主义．在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神 秘化，认为“万物皆数” ，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序” ，这里的数指的是自然然及自然数之比， 即“有理数” ，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以 1 为直角 边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数 学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决． 190
（4）两个特殊元素 0 与 1： ∀x ∈ R ，有
x + 0 = x ， x ⋅1 = x ；
”的逆元 x −1 （此时 x ≠ 0 ） ，有 （5）每个 x ∈ R ，关于“+”的逆元 − x ，关于“·
x + (− x ) = 0 ， x ⋅ x −1 = 1
公理 2（全序公理）与“+” 、 “· ”运算相容的全序公理 （1） ∀x, y ∈ R ，下列三种关系
n→∞
（2）
将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类．有理数 a 可表为基本列的极限，如 常数列 {a}n =1 ．这样可以认为：一个等价类与一个实数对应，当此序列对应的不是有理
∞
数时，称之为无理数． 此定义的实质是：让每个基本列（有理数）都有极限，这样保证了极限运算的封闭性， 称这种性质为完备性．
2
实数空间的定义
公理 1 （域公理） ∀x, y , z ∈ R ，有 （1）交换律： x + y = y + x ， x ⋅ y = y ⋅ x ； （2）结合律： ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ，
(x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) ； （3）分配律： x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z ；
①
代数学中是十分有用的，影响深远 ② ． 定义 1 有理数列 {x n } 称为是基本列，若 ∀ε > 0 ， ∃N > 0 ，当 m, n > N 时，有
xm − xn < ε
定义 2
（1）
′ } 称为是等价的，若 两个有理数基本序列 {x n } 和 {x n
′)= 0 lim ( x n − x n