数学分析考研复习讲义5实数的完备性

二
实数基本定理
1 基本定理
定理 1（Dedekind 确界定理）任何非空数集 E ，若它有上界，则必有上确界；若有下界， 则必有下确界． 定理 2（单调有界定理）单调有界数列必收敛． 当 m, n > N 定理 3 （Cauchy 收敛准则） 数列 {x n } 收敛的充要条件是：∀ε > 0 ，∃N > 0 ， 时，有 x m − x n < ε ． 定理 4（Bolzano-Weierstrass 致密性定理）有界数列必有收敛子列． 定理 5（Weierstrass 聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点． 定理 6（Cantor 区间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点． 定理 7（Heine-Borel 有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖． 说明： 定理 1~6 属于同一类型， 它们都指出： 在一定条件下， 便有某一种 “点” 的存在． 这 种点分别是：确界（点） 、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点．定理 7 属于另一类型，它 是前六个定理的逆否形式，不论用前 6 个定理来分别证明定理 7，还是用定理 7 分别证明前 6 个定理，都可用反证法来证明，而前 6 个定理都可以直接推出．
有且仅有一个成立； （2）传递性：若 x < y ， y < z ，则 x < z ； （3）与“+”相容性：若 x < y ，则 ∀z ∈ R ，有 x + z < y + z ； （4）与“· ”相容性：若 x < y ， z > 0 ，则 x ⋅ z < y ⋅ z ． 公理 3（阿基米德（Archimedes）公理） ∀x > 0 ， y > 0 ， ∃n ∈ N ，使得 nx ≥ y ． 公理 4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界． 由此可定义： 定义 3 实数空间是这样的集合 R ，在其上定义了“+” 、 “· ”运算，以及序关系“<” ，满 足上述四组公理， R 中的元素称为实数．
1 ， x n ∈ [α n , β n ] ．可见以无限不循环小数定义无 → 0（n → ∞） 10 n
理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定理， 即承认它是正确的． 历史上引进无理数的传统方法有两种：戴德金（Dedekind）分割法和康托（Cantor）的有 理数列的基本序列法． 戴德金分割法具有很强的直观性，其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置， 假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么全体有理数被分为左、右两个子集 A, B ．如 果折断处是有理点， 那么它不在左子集， 就在右子集， 这样分割就确定了一个有理数， 即 A的 最大数或 B 的最小数．如果 A 中没有最大数， B 中也没有最小数，这个分割就确定了直线上 的一个“空隙” ，称之为无理数，显然它是有序的，可定义其四则运算（可参见北京大学数学 系沈燮昌编写的《数学分析》 ，高等教育出版社，1986 年） ． 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近
Байду номын сангаас
x < y，x = y ，x > y
②
从古至今，数学的发展大致经历了五个时期： （1）萌芽时期（公元前 600 年以前） ； （2）初等数学时期（公元前 600 年到 17 世纪中叶） ：欧氏几何、算术、初等代数、三角等； （3）变量数学时期（17 世纪中叶到 19 世纪 20 年代） ：微积分的建立、解析几何、运动观点等； （4）近代数学时期（19 世纪 20 年代到 20 世纪 40 年代） ； （日前大学中的主要数学课程） （5）现代数学时期（20 世纪 40 年代以来） ：显著特点：计算机的广泛应用． 191
第五讲
I 一 基本概念与主要结果 实数空间
1 无理数的定义
实数的完备性
人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后 可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定 由于开方与不可公度问题 ① 发现了无理数， 义．事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分．为了让实数与数轴上 的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法． 方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限 不循环小数定义为无理数． 取其 n 位小数的不足近似值 α n 与过剩近似值 β n ，α n 与 β n 均为 一个无限不循环小数 x ， 有理数，且 β n − α n =
毕达哥拉斯（公元前约 580~约 500） ：古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收 300 门徒组织了一个“联 盟” ，后称之为“毕达哥拉斯学派” ，宣扬神秘宗教和唯心主义．在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神 秘化，认为“万物皆数” ，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序” ，这里的数指的是自然然及自然数之比， 即“有理数” ，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以 1 为直角 边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数 学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决． 190
（4）两个特殊元素 0 与 1： ∀x ∈ R ，有
x + 0 = x ， x ⋅1 = x ；
”的逆元 x −1 （此时 x ≠ 0 ） ，有 （5）每个 x ∈ R ，关于“+”的逆元 − x ，关于“·
x + (− x ) = 0 ， x ⋅ x −1 = 1
公理 2（全序公理）与“+” 、 “· ”运算相容的全序公理 （1） ∀x, y ∈ R ，下列三种关系
n→∞
（2）
将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类．有理数 a 可表为基本列的极限，如 常数列 {a}n =1 ．这样可以认为：一个等价类与一个实数对应，当此序列对应的不是有理
∞
数时，称之为无理数． 此定义的实质是：让每个基本列（有理数）都有极限，这样保证了极限运算的封闭性， 称这种性质为完备性．
2
实数空间的定义
公理 1 （域公理） ∀x, y , z ∈ R ，有 （1）交换律： x + y = y + x ， x ⋅ y = y ⋅ x ； （2）结合律： ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ，
(x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) ； （3）分配律： x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z ；
①
代数学中是十分有用的，影响深远 ② ． 定义 1 有理数列 {x n } 称为是基本列，若 ∀ε > 0 ， ∃N > 0 ，当 m, n > N 时，有
xm − xn < ε
定义 2
（1）
′ } 称为是等价的，若 两个有理数基本序列 {x n } 和 {x n
′)= 0 lim ( x n − x n