有关常数项级数的几个典型例题

不 时， 项 存在 正 级数∑ 可 敛， 能发 能收 也可 散．
ｎ １ ＝
解 如果取
“ 一
（
一
） ，
定理Ｉ 若正项 级数∑“满足
Ｈ ：１ ＝
熹ｓ ¨ 么
一
亡 ，
：＝ ：
， ∞ ｚ ｌ 一 ‘
ｌ ｉ ｍ
一 Ｐ（ Ｐ＜ 。 。或 ｆ— ｃ ） Ｄ ｘ ， 。 ‘ 。 ‘
海 ： 海 科 学 技 术 出 版 社 ，９ １ ６ ． 上 １８ ：３
所以∑（ ） 交错 一１“是 级数． “｝ 单调 但（ 不 递减，
，— ｊ ｔ
［ ］蔡 子 华 ． 研 数 学 ２ １ 历 年 真题 精 析 ［ ． 京 ： 子 能 ４ 考 ０ｌ Ｍ］ 北 原
出版 社 ， ０ ０ ２ ２ １ ：．
ｎ— ｏ 。
６ ： Ｄ＞ １， ＝ ＝ｌ
所以∑（ ） 错级数 但｛ 不 一１“是交 ” ． ｝ 单调递 减，
所 以不能用 莱布 尼茨 定理 ． 而
则由 值判 可 根 别法 知∑ 发散， ‰发散 故∑ ．
注 ３ 定理 ２可以作 为根 值判 别法 的扩 展．
一 ＋Ｅ一（ ） √ 一 ｎ 一１ ］ １ 而
ｌ ２ 一昔， ｉ ｍａ
厶
所 以极限 （ ）不存 在． １ 然而 ， 于有 由
基金 项 目 ： 家精 品课 程 建 设 项 目 （高 等 数 学 》． 国 《 ） 作者 简 介 ： 光 美 （９ ７－）． 。重 庆 万 州 人 ， 士 。 教 授 ， 事 魏 １６ － 女 博 副 从
ｌｍ ｉ （） １
１ ， ｎ— ｋ ，
ｋ∈ Ｎ， ， ｎ≠ ｋ 。，
不存 在时， 项级数∑ “可 收能， 能 散 正 能 也可 发
ｒ１ １ Ｊ
显 然 有
．
解 若 取
１ ｌ １
“ ’“ 一 ’“ ＝ ’ ｌ一 ２ ： ＝可
所 以
所 以不 能用莱 布尼 茨定 理． 而
（ １ 一 ） ： ． ＝ ：． ： 一
（ １ ｎ＋ ＋ （ １ ” 一 ）［ 一 ）
（ ｎ＋ ） 一 。
对 于交错 级 数 的收 敛 性 ， 常需 要 借助 莱 布 尼 通
茨定理 进行判 别［ ． 例 ５ １ ９ 年 全 国研 究生入 学试题 ） （９８ 设 正项
一
（ １ ” ．［一 １ ＋ １ √ 一 ） （ ） ］
列｛ Ｚ－ 的所有子列的极 限是否都小于等于 １ ，． Ｔ ） 呢？
换 言之 ， 只要数 列数列 ｛ ） 在 极 限 大 于 １的子 存
以， 数∑ （ ） 散． 级 一１ 发 “
例 ７。 举 例说 明存 在 不满 足莱布 尼茨定 Ⅱ 的 Ｅ 理
一
条件但 收敛 的交错 级 数．
少， 级数∑ （ ） 一１“发散， 所以
¨ １
注 ４ 例 ６ 例 ７ 明莱 布尼 茨定理 中｛ ， 单 和 说 “）
本文 通过 典型 例题 考察 了常数项 级数 收敛和发 散 时一般 项 的一些 特 点 ， 并讨 论 级 数 不 满足 比值 判
一 ＜ ．
别 法 、 值判 别法 或 莱 布 尼 茨定 理 的条 件 时 的收 敛 根 性 问题 ． 虽然 常数 项 级 数 的判 别收 敛 性 问题 比较 复
’
数列｛ ｝ ｎ 单调减少， 级数∑ （ ） 一１” 发散， 口 试问级 ｉ
ｎ２＋ ２ ｎ
数 （
）是 收 ？ 说 理 ． “否 敛 并 明 由
由薹 ， 于 薹
交错级数 ＞ （ １” 收敛． ：一 ） “
调 递减 的条件 只是 充分 条件 ．
撇敛
解 根 据 已知 条件 ， 因为 正项数 列 ｛ 单 调减 ｎ）
则 有
ｌ ｉ ｍ 一 ｐ．
从 ｆ有 『 Ｉ ｉ
÷ ，
证 明 只证 ０＜ ｐ ｏ 的情 形 ， ＜ ｏ 其他情 形类 似．
因 为
ｌ —， — Ｐ＞ ０ ｉ Ｕｒ ｍ — ， Ｈ
，
ｌｂ ｌ ｉ ２ ：寺， ｍ
。。
＂ ∞ 一
“ ， ｜
所 以极 限 （ ）不 存 在 ． 显然 有 ２ 但
“”
，，
所 以对 任意 ￡ Ｏ ￡ ｜ ， 在 自然 数 Ｎ， ｎ Ｎ时 ， ＞ （＜ ０ 存 ） 当 ＞ 成 立不 等式
１
’
根 较判 法知 数∑ Ｍ收 据比 别 级 敛
Ｈ １ ；
ｌｌ Ｉ “＜ ，
即 当 ＞ Ｎ 时 ， 有
０＜ （ — ｅ “ ｔ ｏ ） ＜ “ ｌ＜ （ ＋ ￡ “。 Ｊ Ｄ ） ， ，
第 ｌ ４卷 第 ３期 ２１ Ｏ １年 ５ 月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤｌ Ｎ ０Ｌ ＥＳ ｌ Ｃ ＬＥＧＥ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｍ Ｃ
Ｖ ｏ ．１ ＮＯ． １ ４， ３ Ｍ ａｙ，２ Ｏｌｌ
有 关 常数 项 级 数 的几 个 典 型例 题
魏 光 美 ．
常数项 级数 的收敛 性判 别 问题在 高等 数学 教学
中既 是重点 又是难 点 ， 决 问题 的关 键 是 如何 正 确 解
理解 并正确选 择合 适 的 判 别 方法 ． 文 通 过一 些 典 本 型例 题来讨 论常数 项级 数 的收敛 性判 别 问题． 正项级 数 的判敛 问题是 常 数项级 数 判敛 的重要 内容 ， 常 有 四种 方法 ］ 积 分 判 别 法 、 通 ： 比较 判 别
２＋ （ １ 一 ）
。 ＝ ‘ 一 ’
（ 。 ） ＋
ｋ＝ ｌ
（ 毒导 ， 号 ＞ １） ） （
则 有
： 一
，
因 根 较判别 知级数∑“发散 而 据比 法 ．
注 １ 例 ３和例 ４说 明 比值 判 别法和 根值判 别
法 的条 件 都 只是 充 分 的．当极 限 （ ）或 （ ）不 存 在 １ ２
例２ 举例 存在收 正项级 ∑‰收 说明 敛的 数： 敛， 但∑“ｎ 发散 ｎ ． ｉ
解 不 妨 取
一 ｔ
法、 比值判 别法 和根值 判 别法．
例 ｌ２ ０ 年 北京 市数 学竞 赛试题 ） 举 例说 明 （０ ５
那 么
一 －
一
存在 敛的 项级 收 正 数∑ ‰ 但 ，
因 极 １不 ． 级数∑“也 ． 此， 限（ 存在 显然 ） 发散
例 ４ 一 当极 限
ｌ ｉ ｍ （） ２
ｌｍ ｉ
＝ １ ＜ ｌ ＝ ：
，
所 级 妻 收 ．此 以 出根 以 数 上 敛由 可 看 ，值
判 别法 强 于 比值 判别 法． 这是 否具 有一般 性 呢？ 面 下 的定理 将给 出答 案 ： 由 比值 判 别 法判 断 的级 数一 能 定 也可 以用 根值 判别 法判 断．
（ 京 航 空 航 天 大 学 数 学 与 系 统 科 学 学 院 数 学信 息 行 为教 育 部 重 点 实验 室 ．北 京 １０ ９ ） 北 ０ １ １
摘 要 ’ 通 过 实 例 考 察 常 数 项 级 数 收敛 和发 散 时 一 般 项 的 一些 特 点 ， 讨 论 级 数 不 满 足 比值 判 别法 、 值 判 并 根
¨＝ １
１
“ ≠ Ｄ 二 ）， （
丌
根据 积分判 别法 知
＝
ｎｌ ｎ ｎ
１ 发散 ， 而
—
ｎ Ｉ ｎＪ ｎ
收
这里 的 ｕ 一 （ １）是 的 高 阶 无 穷 小 （ ｎ一 。 ） 。．
解 不 妨 取
敛 ， 以满足 要求 ． 所
例 ３ 。 Ｅ 当 极 限
别 法 或 莱 布尼 茨 定 理 的 条件 时 的 收 敛 性 问 题 ．
关 键 词 常 数 项 级 数 ； 项 级 数 判 别 法 ； 正 交错 级数 ｙ 别 法 － 《
中图 分 类 号 Ｏ１ ３ １ ７ ． 文献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ ｌ ） ３ ０ ３ — ４ ０ ８ １ ９ （ ０ １ ０ — ０ ００
１
“＂ —：＝—————一 ＿ ’
总结 ， 是可 以实现 深 刻 理 解 和灵 活 应 用 各种 判 别 方
法 的 教 学 目的 的 ．
参 考 文 献
［ ］同济大学数 学系． １ 高等 数学 ： 下册 ［ ． Ｍ］ ６版． 北京 ： 高等
教 育 出 版 社 ，０ ９ ２ ６ ２ ０ ：５ ．
如 果 取
“ ＝
（
一
） “ ，
，
从 而有
（ 一 ￡ ｌ “ １ ０ ）“ ＜ ｌ＜ （ ＋ ￡ Ⅳ １ Ｐ ）“ ＋ ＇
那 么 于 是 ６ 一 Fra bibliotek一 ｅ ）
＜
＜ ＋ ｅ ）
，
从 而有
故 由
ｏ 号 ，
一
ｌｍ ｉ
一 １，
可 知
ｌｍ ｉ 一 ｐ ．
孤 立 子 理论 研 究 ． ｍａｌｇ Ｅ ｉ ｍｗｅ＠ ｂ ａ ． ｄ ． ｎ ： ｉ ｕ ａ ｅｕ ｃ ．
“≤蒡， ｎ
根 较判 据比 别法可 级数∑“收 知 敛
１
第１ ４卷 第 ３ 期
魏 光 芙 ： 关 常 数 项 级 数 的 几 个 典 型 例 题 有
３ １
若 取
杂 ， 是通过 适量 典 型题 目 的学 习 ， 细 体 会 ， 真 但 ． 仔 认
由 判别 知级 根值 法 数∑ （１） 敛 “ ． — 收 ’
ｎ １ ＝
例 ６ ２ ０ 年 北京 市数 学竞 赛试题 ） 举 例说 明 （０ ５ 存 在一般 项趋 于零但发 散 的交 错级 数．