结构力学-三铰拱

分别对拱和代梁的A、B点
C
取力矩平衡方程，得：
FP2
f
FAy = FAy0 FBy = FBy0
B FBx 取拱整体作为隔离体，取水
l
平投影平衡方程，得：
FAy FP1
FBy FP2
FAx= FBx =FH
FAy0
FBy0
取CB部分作为隔离体，对C 点取力矩平衡方程，得：
FH= MC0 / f 10 / 26
例题：给定对称三铰拱铰的位置（l , f）和荷载形式(均布荷
载),求其合理拱轴线形状。 q
f l
q
x
ql2/8
M
0 C
=
1 ql 2 8
FH
=
1 8f
ql 2
M 0 = 1 qlx − 1 qx2 = 1 qx(l − x)
22
2
y=
4f l2
x(l − x)
M
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第五章 三铰拱 第四节 三铰拱的合理轴线
由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲 线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制， 总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
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第五章 三铰拱 第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
例题：计算刚架的支座反力三铰拱及其所受荷载如图所示
拱的轴线为抛物线方程
y
=
4f l2
⋅
x(l
−
x)
计算反力并绘制内力图
−
FH
cos ϕ
=
−
30 5
kN
40
2 48
\
10 40
FQ(kN) M 17 / 2(k6N.m)
第五章 三铰拱 第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
曲拱计算步骤：
• 利用平衡方程求出拱的约束反力； • 绘制代梁的弯矩图和剪力图；
• 利用拱的曲线方程计算拟求截面的位置（x,y,θ）；
• 代入拱内力计算公式计算该截面内力。
MK
=
M
0 K
− FH y
综合弯矩图是两种弯矩图叠加的结果（注意是竖标的叠加， 或称代数叠加），即两个曲线所夹部分，可见弯矩很小。三 铰拱弯矩下降的原因完全是由于推力造成的。
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第五章 三铰拱 第三节 竖向荷载作用下三铰拱的内力特点
三铰拱在竖向荷载作用下的弯矩由两部分组成，水平反 力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩，与简支梁相比拱的 弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）,应力沿截面高度分布 较均匀。
M = M 0 − FH y = 0
y=
M0 FH
=
M0
M
0 C
f
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在荷载、跨度、矢高给定时，FH是一个常数.∴合理拱轴线 与相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖标成比例。在 荷载、跨度给定时，合理拱轴线随 f 的不同而有多条,不
是唯一的。
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第五章 三铰拱
第四节 三铰拱的合理轴线
x(l − x)
dy dx
=
4f l2
(l
− 2x)
A
y3 = 3
tanϕ 3
=
1 2
q=2kN·m C
3
f=4m
FP=8kN B
l=16m
q=2kN·m
FP2=8kN
M3
=
M
0 3
−
FH
y
=
4
kN
⋅
m
FQ3 = FQ03 cosϕ − FH sin ϕ = 0 kN
14
⊕
6
FN3
=
− FQ03
sin ϕ
几点说明：
• 所求截面转角，实质是求相关函数（sinθ 和 cosθ 值），可
利用三角边的关系求出； • 顶铰左右部分截面转角分正负； • 集中力作用点剪力图和轴力图有突变，应给予注意。 18 / 26
第五章 三铰拱
第三节 竖向荷载作用下三铰拱的内力特点
绘弯矩图
36
40 48 40
M
0 K
FH y
⎪⎨FQ ⎪⎩FN
⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎢⎢0 ⎢⎣0
cosϕ −sinϕ
−−csionsϕϕ⎥⎥⎥⎦⎪⎩⎪⎨
FQ0 FH
⎪ ⎬ ⎪ ⎭
•
三个铰的位置有关，而且与 拱轴线的形状有关； 由于推力的存在，拱的弯矩 比相应简支梁的弯矩要小;
• 三铰拱在竖向荷载作用下内
力轴压为主;
• 公式是以左半跨推导的，对
右半跨取角度为负即可；
在工程实践中，由于载荷的多样性，不可能有真正的无弯矩 拱，但是可以想象，接近合理拱轴的设计，应当是可行的方 案。赵州桥是我国隋代工匠李春建造的一个著名的范例。
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第五章 三铰拱
第四节 三铰拱的合理轴线
例题：给定对称三铰拱铰的位置（l , f）和荷载形式(均布荷
载),求其合理拱轴线形状。
荷载布置改变，合理拱轴亦改变
2. 三铰拱的构成
带拉杆的拱： 在屋架中，为 消除水平推力 对墙或柱的影 响，在两支座 间增加一拉 杆，由拉杆来 承担水平推力
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第五章 三铰拱 第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
铁路拱桥：在桥梁中为了降低桥面高 度，可将桥面吊在拱上。
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第五章 三铰拱 第一节 三铰拱的组成和类型
荷载确定、拱脚位置确定，则顶 铰位置决定水平反力，因此，有 无限多个相似图形可作合理拱轴
三铰位置确定，合理拱轴唯一确 定
设计时只能根据主要荷载选择近
似合理拱轴
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第五章 三铰拱 第四节 三铰拱的合理轴线
a. 三铰拱在均匀水压力作用下，合理轴线为一圆弧
R = − FN = const q
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• 该组结论仅适合于平拱，且承 受竖向荷载。
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第五章 三铰拱
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
τ
FQK
FP1
ϕ FNK
n
由
∑ mK = 0
MK
=
M
0 K
Fra Baidu bibliotek
− FH y
K MK
由 ∑ Fτ = 0
FAx A
FQK = FQK 0cosϕ − FHsinϕ
FAy FP1
FAy0
FQK0 MK0
由 ∑ Fn = 0
FNK = −FQK 0sinϕ − FHcosϕ
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第五章 三铰拱
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
关于内力
⎧M⎫ ⎡1 0
− y ⎤⎧M 0⎫ • 三铰拱的内力不但与荷载及
结构力学
第五章 三铰拱
学习内容
三铰拱的组成特点及其优缺点； 三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制； 三铰拱的合理拱轴线。
学习目的和要求
目的：实际工程中拱的形式越来越多，了解拱的受力特 性，对指导设计和结构选型是非常必要的。
要求：熟练掌握三铰拱的反力和内力计算。 了解三铰拱的内力图绘制的步骤。 掌握三铰拱合理拱轴的形状及其特征。
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第五章 三铰拱 第一节 三铰拱的组成和类型
1、工程上使用的拱结构实例
三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨度结构上用料 比梁省，因而在桥梁和屋盖中广泛应用。
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第五章 三铰拱 第一节 三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
拱顶
拱轴
拱脚
拱高 起拱线
拱脚
拱跨
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第五章 三铰拱 第一节 三铰拱的组成和类型
当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否
则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计 算和对比分析拱的受力性质。
FP1
C FP2
f
A
B
l
FP1
FP2
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第五章 三铰拱
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
FP1 FAx A
FQ0 FH
⎪ ⎬ ⎪ ⎭
• •
集中力作用处，剪力图将发 生突变； 集中力偶作用处，弯矩图将 发生突变；
• 上述公式仅适合于平拱，且
承受竖向荷载情况；
• 拱的内力仍然有FQ=dM/ds
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第五章 三铰拱 第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算 3 拱的内力图
q=2kN·m C
FP=8kN
f=4m
A
B
FAy
FAx l=16m
FBx FBy
[解] 1、支座反力计算
FAy = 14 kN
FBy = 10 kN FAx = FAy = FH = 12kN
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第五章 三铰拱
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
[解] 2、求截面 3 内力
y=
4f l2
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第五章 三铰拱
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
关于内力
⎧M⎫ ⎡1 0
− y ⎤⎧M 0⎫ • 内力图均不再为直线；
⎪⎨FQ ⎪⎩FN
⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎢⎢0 ⎢⎣0
cosϕ −sinϕ
−−csionsϕϕ⎥⎥⎥⎦⎪⎩⎪⎨
第五章 三铰拱
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
关于反力
FAy=YAy0 FBy=YBy0 FAx=FBx =FH FH= MC0 / f
• 拱的竖向反力与其相应简支梁 的竖向反力相等；
• 水平反力只与三个铰的位置有 关而与拱轴线形状无关;
• 荷载与跨度一定时，水平推力 与矢高成反比，且总是正的， 故称内推力。
拱结构的优点：选用耐压性能好而抗拉性能差的砖石、混凝 土材料，节省用料，重量轻，可用于大跨、大空间结构。 拱结构的缺点：由于推力的存在，所以对基础的要求较严； 拱轴的曲线形状不便于施工（有时为减轻拱对基础的压力， 常使用拉杆、桁杆布置）
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第五章 三铰拱 第四节 三铰拱的合理轴线
使拱在给定荷载下各截面弯矩都等于零的拱轴线，被称为 与该荷载对应的合理拱轴
第五章 三铰拱 第四节 三铰拱的合理轴线
b. 在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线
y = qc (ch γ x − 1)
γ
FH
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3. 三铰拱的分类
三铰拱 拉杆拱1
两铰拱 无铰拱
拉杆拱2
斜拱
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第五章 三铰拱 第一节 三铰拱的组成和类型
4. 三铰拱的受力特点
FP
曲梁
FP
拱
拱的基本特点是在 竖向荷载作用下会 产生水平推力，从 而大大减小拱内弯 矩。水平推力的存 在与否是区别拱与 梁的主要标志。
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第五章 三铰拱 第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析