随机过程 计算与应用 维纳过程2
维纳过程
证明中用到了如下事实： （注：对 常用 和 代替 和 ）
18
，我们
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股票价格的动态表示
• 为了取连续时间的极限，对于很小的x，利用近似表达式
可得
பைடு நூலகம்
而 这里我们略去了所有的 的幂次高于1的项。所以，
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10
维纳过程
• 对特殊的情形， 时，维纳过程称为标 准维纳过程（或者，标准布朗运动）。 • 标准维纳过程继承了对称随机漫步的许多性质，例如：
. .
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11
维纳过程
• W(t)和wN(t)的一个重要差别是，W(t)适用于所有的t≥0, 而wN(t)中的时间是离散的，i.e., • 如果W(t)为标准维纳过程，则它有如下性质： (a) E[ W(t)2 ]=Var[ W(t) ] + E[ W(t) ] 2 = t ; (b) E[ W(t) W(s)] = min(t, s) ; (c) 如果t>s, W(t)和W(s)的相关系数 = .
• 由二叉树模型的定义，对数收益率k(1), k(2), …, k(N)是独 立同分布的。因此可以得到，对每一个n=1, 2, …, N,
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4
连续时间极限
m = N E(k(n)) = N Var(k(n)) 所以我们可得， E(k(n)) = m/N = Var(k(n)) = /N = 由(4.1)-(4.4), 可得
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应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子
维纳过程是一种随机过程，它具有均值为零、独立增量和高斯分布的特性。
这种过程可以应用于多种领域，例如金融、物理和工程等。
下面我们来看一个应用维纳过程的例子。
假设我们要预测某公司股票价格的变化。
我们可以将股票价格视为随机过程，并应用维纳过程来模拟其价格走势。
为了进行预测，我们需要先对过去的股票价格数据进行分析和建模。
假设我们已经通过历史数据建立了一个股票价格模型，该模型使用维纳过程描述股票价格的随机变化。
我们可以使用该模型来预测未来股票价格的变化。
例如，假设我们预测某一天该公司的股票价格会上涨。
我们可以使用维纳过程计算出股票价格的随机变化，从而确定股票价格的可能范围。
如果我们发现预测股票价格上涨的概率很高，那么我们可以考虑购买该公司的股票。
另外，维纳过程还可以应用于其他领域。
例如，我们可以使用维纳过程模拟气象变化，从而预测未来的天气情况。
此外，维纳过程还可以应用于信号处理、控制系统和电子通信等领域。
总之，维纳过程是一种非常有用的随机过程，可以应用于多种领域，帮助我们进行预测和决策。
- 1 -。
应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子维纳过程是一种随机过程，常常被用于模拟股票价格、货币汇率和认知行为等具有随机性的现象。
下面是一个应用维纳过程的例子：假设有一只股票的价格在未来1年内是随机波动的。
我们可以用维纳过程来模拟这个价格的变化。
首先，我们需要确定股票价格的初始值和波动率。
假设股票价格的初始值为100元，波动率为0.2。
然后，我们可以用维纳过程的公式来模拟股票价格在未来1年内的变化。
公式如下：dS = μSdt + σSdz其中，S表示股票价格，μ表示股票价格的年化收益率，σ表示股票价格的波动率，dt表示时间间隔，dz表示标准正态分布随机变量。
假设我们要模拟1个月内的股票价格变化。
我们可以将时间间隔dt设为1/12，标准正态分布随机变量dz可以用随机数生成器生成。
假设在这个月内，股票价格的年化收益率为5%。
我们可以用以下代码来模拟股票价格的变化：import numpy as npS = 100 # 初始股票价格mu = 0.05 # 年化收益率sigma = 0.2 # 波动率dt = 1/12 # 时间间隔T = 1 # 总时间N = int(T/dt) # 时间步数# 生成标准正态分布随机变量z = np.random.standard_normal(N)# 计算股票价格变化S_t = S*np.exp(np.cumsum((mu - 0.5*sigma**2)*dt + sigma*np.sqrt(dt)*z))print(S_t)运行代码，可以得到一个包含30个元素的数组，表示股票价格在未来1个月内的变化。
我们可以用这个数组来预测股票价格在未来的走势，帮助我们做出更明智的投资决策。
维纳过程还可以用于模拟其他具有随机性的现象，如货币汇率和认知行为。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据，选择合适的参数来模拟随机过程，并通过模拟结果来帮助我们做出决策。
随机过程 计算与应用 维纳过程 1
所以
（ W t 1 , W t 2 W t 1 , , W t n W ） t n 1 是n维正态变量.
又由于 (W t 1 ,W t2 ,
,W t n ) (W t 1 ,W t2 W t1 ,
1 1 1
0 1 1
1
0
= 0 1
0
y n
wn 0 0
1
J 1
则向量(Wt1 ,L ,Wtn )的联合概率密度函数为 f(w1,L , wn ) ft1 ,t2 t1 ,L ,tn tn1 (y1,L , yn ) J
要将y k 换为w k -w k 1,k 1,2,L ,n
f(w1,L , wn ) ft1 ,t2 t1 ,L ,tn tn1 (y1,L , yn ) J 将yk 换为w k -w k 1
j(u2 u3 un )Y2
E [ e junYn ]
Y1 (u1 u2 un )Y2 (u2 u3 un ) Yn (un )
证毕
例2.3.5(1) 计算标准布朗运动的有限维特征函数
提示：利用过程的独立增量性
解 对任意n 1及0 t1 L tn , n维随机变量的
E [ e ] t1,t2,...,tn (u1,u2 ,..., un )
j (u1X t1 un X tn )
①
令 Y1 Xt1 ,Y2 Xt2 Xt1 ,L ,Yn Xtn Xt n1
由题意知 Y1,Y2,…,Yn独立
则 Xt1 Y1,
Xt2 Y1 Y2 ,
L,
Xtn Y1 Y2 L Yn
代入①式
t1,t2 ,...,tn (u1, u2 ,..., un ) E [ e j ( u 1X t1 ] u n X Байду номын сангаас n )
随机过程及应用教学设计 (2)
随机过程及应用教学设计1. 引言随机过程（Random Process）是时间的函数，其取值是随机变量。
随机过程被广泛运用于信号与系统、通信、自动控制、金融等领域。
因此，本文将讨论如何在教学中设计随机过程相关课程，以便更好地帮助学生理解随机过程的相关概念与应用。
2. 课程设计2.1 课程目标本门课程的目标在于：1.理解随机过程的基本概念与性质。
2.掌握随机过程相关的数学工具，如概率论、统计学和线性代数。
3.进一步了解随机过程的应用场景。
2.2 课程内容2.2.1 随机变量的概率与分布首先，学生需要理解随机变量的概念，并掌握离散型随机变量、连续型随机变量以及联合分布。
通过实际的示例，可以说明这些概念是怎样在现实生活中应用的。
2.2.2 离散时间随机过程在这一章节，学生将学习如何给出随机过程的定义与相关概念，如平稳性和相关函数。
在此基础之上，我们可以向学生展示一些知名的离散时间随机过程，如泊松过程或Markov链。
2.2.3 连续时间随机过程学生将进一步学习如何对连续型随机过程建模，并学习如何计算其相关性质。
同样地，我们可以向学生展示关于维纳过程和布朗运动的一些经典应用案例。
2.2.4 随机过程的应用在最后一章节，我们将向学生介绍如何将随机过程应用到金融领域、自动化控制等热门领域中。
我们将讨论一些实际案例，以便学生可以更好理解随机过程的实际应用。
2.3 教学方法为了使学生更好地掌握课程内容，我们建议采用下列教学方法：1.给学生提供大量的实例，并要求其独立思考答案。
2.让学生通过课堂小组讨论的方式来学习随机过程的应用。
3.强调计算方法，让学生更好地了解如何计算随机过程的相关概念与性质。
4.利用MATLAB等计算机软件来展示随机过程相关的数学工具的使用。
3. 教学评估在教学结束之后，我们将对学生进行评估。
评估内容包括：1.期末考试。
2.日常作业与小组讨论表现。
3.最终的毕业项目，学生将在此项目中展示随机过程相关应用的能力。
《随机过程——计算与应用》课件维纳过程2
jmX
(tk
)T
1 uCuT 2
)
e j
n
uk mX
k 1
(tk
)1 2
n k 1
n l1
uk ul CX
(tk
,tl
)
布朗桥在统计中的应用
设X , ,X
1
n
独立同服从U[0，1]分布,对0<s<1,记
n
N (s)= I
n
(Xi s)
i 1
Fn (s)
N (s) n
n,
则有
P(lim n
Fn
(s)
s)
1
若令n (s) n(Fn (s)-s),则当n 时， {n (s)，0 s 1}的极限过程为布朗桥.
4. 几何布朗运动
设 R, 0, 定义
B e , ge
Bt , 2
t
t 0
其中Bt , 2 是( , 2 )-布朗运动,
则称随机过程Bge {e Bt,2 ,t 0}为几何布朗运动
Ba 0
b
=a,B1ab
b.
(2)计算从a到b的布朗桥的均值函数和协方差函数.
(3)验证从a到b的布朗桥也是正态过程.
也可以用过程的n维特征函数
n
t1 ,
,tn
(u1,
u2
,...,
un
)
E[e
j Btakbuk k 1
]
注意到：正态过程X的特征函数为
t1 ,
,tn
(u1,
u2
,...,
un
)
(
e (s t )E[e 2Ws ]E[e (Wt Ws ) ]
=e e e (s t )
《随机过程——计算与应用》课件随机过程引论课件4
称 Z (t) E Zt 2
为复随机过程Z的均方值函数.
对任意的s,t T , 称 RZ (s,t) E[ZsZt ]
为复随机过程Z的相关函数.
称 CZ (s,t) Cov(Zs , Zt ) E[(Zs mZ (s))(Zt mZ (t))]
为复随机过程Z的协方差函数.
由以上定义可得
则称之为该二维随机过程的互相关函数,记 RXY (s, t).
若 Cov( X s ,Yt ) E[(X s mX (s))(Yt mY (t))] 存在
则称之为该二维随机过程的互协方差函数,记 CXY (s, t).
互协方差函数可以定义两个过程的相关性 设有随机过程X={Xt, t∈T}和Y={Yt, t∈T}, 对任意 的 s,t∈T, 若
则称之为随机过程X的协方差函数.记为CX (s, t).
4. 相关函数
设 X {Xt , t T} 是一实值随机过程，对任意s,t∈T,
若
E[X s Xt ] 存在
则称之为随机过程X的(自)相关函数.记为 RX (s,t).
5. 均方值函数
设 X {Xt , t T} 是一实值随机过程，对任意3.10 设 X {Xt ,t [a,b]} 是正交增量过程, 且Xa 0 则
(1) RX (s,t) X (min( s,t)) s,t [a,b]
(2) X(t )是单调不减函数
两个随机过程的互相关函数与互协方差函数
设{Xt ,Yt ,t T}为二维随机过程,对任意s,t T,若 E[XsYt ] 存在
2
s,t
CX (s,t) RX (s,t) mX (s)mX (t)
RX (s,t)
a2 cos(t s),
维纳过程_精品文档
维纳过程什么是维纳过程？维纳过程（Wiener process），又称布朗运动（Brownian motion），是一种随机过程，常用来描述粒子在流体介质中的随机运动。
维纳过程最早由数学家尼尔斯·维纳（Norbert Wiener）于20世纪20年代提出，并广泛应用于物理、金融等领域的建模和预测。
维纳过程在数学上具有许多有趣的特性，例如连续性、无界性和马尔可夫性等。
它是一种满足齐次增量和高斯分布的过程，也就是说，在维纳过程中，任意两个时刻之间的增量是独立同分布的高斯随机变量。
维纳过程的定义维纳过程可以用数学形式进行定义。
设维纳过程{W(t), t >= 0}满足以下条件：1.初始点：W(0) = 0；2.齐次增量：对于任意的s < t，W(t) - W(s)是一个均值为0、方差为t-s的高斯随机变量；3.独立增量：对于任意的s < t < u < v，W(t) - W(s)和W(v) - W(u)是独立的。
维纳过程可以看作是一个随机游走，在任意一小段时间内，粒子的位置发生微小的随机扰动，随着时间的推移，这些微小扰动累积起来，形成了维纳过程。
维纳过程的性质维纳过程具有一些重要的性质，这些性质使得它在建模和预测中具有广泛的应用。
连续性维纳过程是连续的，即其路径是连续函数。
这意味着在任意时刻上，维纳过程的取值都是确定的，不存在跳跃现象。
无界性维纳过程是无界的，即它可以在任意区间内无限增长或无限减小。
这是因为维纳过程的增量是高斯分布的，高斯分布的尾端是无界的。
马尔可夫性维纳过程具有马尔可夫性，即给定当前时刻的状态，未来的发展与过去的历史无关。
这意味着维纳过程的未来状态只与当前状态相关，与之前的状态无关。
维纳过程的应用维纳过程在许多领域有着重要的应用，以下是几个典型的应用案例：物理学中的应用在物理学中，维纳过程可用于描述微粒在液体或气体中的随机扩散运动。
维纳过程的连续性和无界性使得它可以模拟各种扩散现象，例如热传导、粒子的布朗运动等。
维纳过程二维联合概率密度
维纳过程二维联合概率密度介绍维纳过程是一种重要的随机过程，也称为布朗运动。
维纳过程是一个连续时间、连续状态空间的随机过程，具有平稳增量、独立增量和高斯性等特点。
在实际应用中，我们经常需要对维纳过程的联合概率密度进行建模和分析。
本文将深入探讨维纳过程二维联合概率密度的相关概念和性质。
维纳过程简介维纳过程是一个连续时间随机过程，其状态在任何时间点上的增量是独立且服从正态分布的。
维纳过程被广泛应用于物理学、金融学、工程学等领域。
维纳过程具有马尔可夫性质，即未来的变化仅取决于当前的状态，与过去的状态无关。
维纳过程的基本性质如下： - 平稳增量：对于任意时间段 t1 < t2，维纳过程在时间段 (t1, t2] 内的增量 X(t2) - X(t1) 的分布仅依赖于时间段长度 t2 - t1，而与具体的时间点 t1、t2 无关。
- 独立增量：对于任意互不相交的时间段 (t1, t2] 和 (t3, t4]，相应的维纳过程增量 X(t2) - X(t1) 和 X(t4) - X(t3) 是独立的。
- 正态分布：对于任意时间段 (t1, t2]，维纳过程增量 X(t2) - X(t1)符合正态分布 N(0, t2 - t1)，即均值为 0，方差为时间段长度。
维纳过程二维联合概率密度函数维纳过程的二维联合概率密度函数描述了在给定时间段内两个时刻的状态变量取值的联合分布。
设维纳过程在时刻 t1 和时刻 t2 的状态分别为 X(t1) 和 X(t2)，则维纳过程的二维联合概率密度函数记为 p(x1, x2; t1, t2)。
维纳过程的二维联合概率密度函数具有以下性质： 1. 边界条件：对于给定的时刻t1 和 t2，当 x1 和 x2 分别位于状态空间的边界上时，二维联合概率密度函数p(x1, x2; t1, t2) 为零。
2. 相互独立性：对于任意的 t1 < t2 < t3 < t4，维纳过程在时刻 t1 和时刻 t2 的状态变量 X(t1) 和 X(t2)，以及时刻 t3 和时刻t4 的状态变量 X(t3) 和 X(t4) 是相互独立的。
维纳过程 (2)
维纳过程1. 引言维纳过程（Wiener process）是一种连续时间随机过程，也被称为布朗运动（Brownian motion）。
维纳过程最初是由美国数学家诺伯特·维纳（Norbert Wiener）在1923年提出的，它在数学、物理、金融等领域中有着广泛的应用。
维纳过程具有一些独特的性质，例如它是无限可分的、马尔可夫性质、随机增量等，这些性质使得它成为随机过程理论中的重要对象。
2. 定义维纳过程可以用多种方式进行定义，其中一种常见的定义是通过连续时间的随机变量序列来描述。
设有一个序列X(t0),X(t1),X(t2),..., 其中t0<t1<t2<...是时间点序列，X(t i)是在时间点t i的维纳过程取到的值。
满足以下条件的序列被称为维纳过程：•X(0)=0，即在初始时间点维纳过程的取值为0。
•对于任意的 $0 \\leq t_0 < t_1 < t_2 < ...$，X(t i)−X(t i−1)是一个独立同分布（i.i.d）的正态分布随机变量，且其均值为0，方差为t i−t i−1。
3. 维纳过程的性质维纳过程具有许多重要的性质，下面我们将介绍其中的几个。
3.1. 无限可分性维纳过程是无限可分分布的典型例子。
所谓无限可分性是指任意时刻的维纳过程均可表示为无数个独立随机变量之和。
这一性质使得维纳过程在概率论和数理统计中扮演着重要的角色。
3.2. 马尔可夫性质维纳过程具有马尔可夫性质，即给定当前时刻的维纳过程取值，未来的演化与过去的演化无关，只与当前时刻的状态有关。
这一性质使得维纳过程在金融学中的应用十分广泛，例如对股票价格进行建模时可以将其看作维纳过程。
3.3. 随机增量性质维纳过程的增量是随机的，并且具有一些特殊的统计特性。
对于一个固定的时间间隔 $\\Delta t$，维纳过程在此时间间隔内的增量服从正态分布，均值为0，方差为 $\\Delta t$。
应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子
维纳过程是一种随机过程，被广泛应用于金融、工程、物理学等领域。
维纳过程的主
要特点是其连续性和无限可分性。
维纳过程的应用非常多，下面我们介绍几个常见的例
子。
1. 金融领域中的维纳过程
金融领域中的维纳过程被广泛用于投资组合的风险管理。
在金融市场中，股票和股指
价格的波动通常被认为是随机的和连续的，因此可以使用维纳过程模型来描述。
维纳过程
也可以用于衡量基金的风险，帮助投资者制定更好的投资策略。
2. 工程领域中的维纳过程
维纳过程也被应用于工程领域，其中一个例子是通信系统。
在通信系统中，数据传输
的信噪比是非常重要的，如果数据传输受到噪声的干扰，信噪比会下降。
使用维纳过程可
以帮助工程师建立数学模型，以预测信噪比的变化，从而优化通信系统的性能。
3. 物理学中的维纳过程
物理学中的维纳过程被广泛用于描述分子的扩散。
分子在一个体系中随机移动和碰撞，这种运动可以用维纳过程来描述。
维纳过程也可以用于描述量子系统中的热力学行为，例
如电子在理论上满足维纳过程模型的布朗运动模型，从而可以对系统进行模拟和计算。
4. 金融衍生品定价领域的维纳过程
在金融衍生品与定价领域，维纳过程是基于随机漫步的原理，被用来建模标的资产价
格的变化过程。
例如，欧式看涨期权的价格可以被认为是在未来某个时间的标的资产价格
的确定性部分和波动性部分。
其中，确定性部分可以用基础资产的价值加上无风险利率的
折现值表示，而波动性部分则可以用维纳过程来表示。
《随机过程——计算与应用》课件维纳过程 1
补例1 设 W={Wt,t≥0}是标准布朗运动. 验证 W是一个正态过程.
证明
由定义，对任意的n≥1,及任意的 0 t1 t2 tn W t 1 , W t 2 W ,t 1 , W t n W t n 1 相互独立且
Wtk Wtk1服 从 正 态 分 布 N (0,tk -tk1)，
u e ) , k=2,
1 2
(uk
un )2 (t k t k 1 )
n
,n
例2.3.2 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
注 意 到 有 W t1 N(0,t1)
一 维 分 布 函 数 F (t1; x ) = P (W t1 ≤ x )
二维分布函数为
1
2t1
e dx x
- x2 2t1
0
1
所以 ( W t 1 ,W t 2 , ,W t n ) 是n维正态变量. 所以W是正态过程.
证2. 提示 计算向量(Wt1 , ,Wtn )的联合概率密度函数
记 Ytk =Wtk -Wtk -1 ,k = 1,2, ,n
由增量独立性知，向量(Yt1 ,Yt2， ,Ytn )的 联合概率密度函数为
-
F(t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P(W t1 ≤ x 1, Wt2 ≤ x 2 )
令 W ,t 1
= P ( W t 1 ≤ x 1 , W t 1 ( W t 2 W t 1 ) ≤ x 2 )
W t 2 W t 1 , 则 服 从 N ( 0 , t 1 ) 分 布 ， 服 从 N ( 0 , t 2 t 1 ) 分 布
-
2 (t s )
x2
记
F2n =
+ x 2ne 2(t s )dx
维纳随机过程范文
维纳随机过程范文维纳随机过程（Wiener process）又称布朗运动（Brownian motion），是一种随机过程，最早由罗伯特·维纳（Robert Wiener）在1923年引入，用来描述随机运动的数学模型。
维纳随机过程被广泛应用于金融、物理学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。
1.W(0)=0，即在t=0时刻，随机过程的取值为0；2. 对于任意的t1<t2<...<tn，随机变量W(t2)-W(t1)，W(t3)-W(t2)，...，W(tn)-W(tn-1)是相互独立的；3.对于任意的t1<t2，随机变量W(t2)-W(t1)服从均值为0，方差为(t2-t1)的正态分布。
1. 增量独立性：对于任意的s<t1<t2<...<tn，W(t1+s)-W(s)，W(t2+s)-W(t1+s)，...，W(tn+s)-W(tn-1+s)是相互独立的；2. 高斯性：对于任意的t1<t2<...<tn，W(t1)，W(t2)，...，W(tn)是服从正态分布的随机变量；3.零均值：对于任意的t，E[W(t)]=0，即维纳随机过程的期望值为0。
维纳随机过程在金融领域的应用非常广泛，特别是在金融风险管理和衍生产品定价中起到重要作用。
它被用来模拟股票价格、汇率、利率等金融指标的随机波动。
维纳随机过程假设价格的波动是由无数个微小的随机因素叠加产生的，这些随机因素的大小和方向是随机的，并且无法预测。
维纳随机过程的一个重要特征是随机性，这使得它成为金融市场的波动和不确定性的有效描述工具。
在金融风险管理中，通过模拟维纳随机过程来计算股票、指数、期货等的价值变动，可以帮助投资者评估风险水平并制定相应的风险管理策略。
在衍生产品定价中，维纳随机过程被用来计算期权、期货、利率互换等衍生产品的价格。
维纳随机过程还被应用于金融工程学中的套利交易和对冲策略的设计。
随机过程第26-27讲 第六章 高斯(Gauss)过程
第六章 高斯（Gauss ）过程（六）维纳过程（布朗运动）1． 维纳过程的定义设质点每经过t ∆时间，随机地以概率2/1=p 向右移动0>∆x 距离，以概率2/1=q 向左移动0>∆x 距离，且每次移动是相互独立的。
记：−=次质点向左移动第次质点向右移动第i i X i ,1,1若)(t X 表示在t 时刻质点所处的位置，则有：)()(][21tt XX X x t X ∆+++∆=L显然有：1}{}{,0}{2===i i i X E X D X E故有：∆∆==t t t t X D t X E 2)()}({,0)}({假设t c x ∆=∆，其中c 为常数，它由物理意义确定。
0>令∆0→t ，即研究连续的游动，则有：0)}({=t X Et c t t t c t t x t X D t t t 220200lim )(lim )}({lim = ∆∆=∆∆=→∆→∆→∆ 另一方面，任取两个时刻210t t <<，令：∆= ∆=t t n t t n 2211,则有：)()(1211n X X X x t X +++∆=L)()(2212n X X X x t X +++∆=L)()()(21112n n X X x t X t X ++∆=−+L由于(与)121n X X X +++L )(211n n X X +++L )(是相互独立的，因此与相互独立。
即随机过程)(1t X )()12t X −(t X t X 是一独立增量过程。
由此)(t X 可以看作由许多微小的相互独立的随机变量)(1−)(−i t i X t X 组成之和。
由中心极限定理，当∆0→t 时，我们有：)(0200lim x x t c xX P t t i i t Φ=≤−∆∑ ∆=→∆ 即有：∫∞−→∆−=Φ=≤xt du u x x t c t X P }2exp{21)()(lim 220π故当∆0→t 时，)(t X 趋向于正态分布，即0→∆t 时，),0(~)(2t c N t X 由此，我们引入维纳过程（Wienner Process ）的定义：定义：若一随机过程{}0);(≥t t W 满足： （1）)(t W 是独立增量过程；（2）∀； ),0(~)()(,0,2t c N s W t s W t s −+>（3）)(t W 是关于t 的连续函数；则称{}0);(≥t t W 是布朗运动或维纳过程（Wienner Process ）。
维纳过程二维联合概率密度
维纳过程二维联合概率密度
维纳过程是一种连续时间的随机过程，其二维联合概率密度函数可以通过维纳过程的性质和概率论的相关理论来推导。
假设维纳过程由两个随机变量X和Y组成，则其二维联合概率密度函数为f(x,y)。
由于维纳过程的性质，我们知道对于任意的时间间隔dt，X和Y之间的相关性很小，可以忽略不计。
因此，我们可以假设X和Y是独立的随机变量。
根据独立随机变量的概率密度函数的乘积规则，可以将f(x,y)拆分为X和Y的边缘概率密度函数的乘积，即：
f(x,y) = fX(x) * fY(y)
其中，fX(x)和fY(y)分别是X和Y的边缘概率密度函数。
这样，我们只需要知道X和Y的边缘概率密度函数，就可以推导出维纳过程的二维联合概率密度函数。
需要注意的是，维纳过程的二维联合概率密度函数可能会受到一些限制条件的约束，比如时间间隔dt的大小、维纳过程的示性函数、马尔可夫性等。
根据具体的问题设置，可以采用不同的推导方法和技巧来获得维纳过程的二维联合概率密度函数。
《随机过程——计算与应用》课件随机过程引论课件3
4
2
解：
t 3 时， 4
Xt
V
cos 3 4
2V 2
由于函数 x 2 V 的反函数为 2
V h( x ) 2x, 其导数为 h( x ) 2,
3
利用随机变量的函数的概率密度计算公式，得
f
3 4
(
x)
fV
(h(x)) 0
h(
x)
0 h(x) 1 其它
2
0
0 2x 1 其它
则利用特征函数性质： (k) (0) jk EXk
得 EX (0)
j
EX
2
(0)
j2
2
DX EX 2 (EX )2
补例4. 设X1 , X 2 ,
,
X
相互独立，且
n
Xk服从正态分布：N（k，k2）,k =1,2, ,n
n
用特征函数求随机变量Y= Xk的概率分布
k=1
解：由题意Xk
练习题
1.利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程
Xt
cost ,出现正面
2t ,
出现反面
0 t
出现正面与反面的概率相等.
2.利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程
Xt
cost ,出现正面
2t ,
出现反面
0 t
⑴ 求Xt的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x).
⑵ 求Xt的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
为随机过程X的有限维特征函数族.
关于随机变量的特征函数的回顾 定义 设随机变量X的分布函数F(x),则称
(u) E[e juX ]
u
为随机变量X的特征函数.
特征函数的几点说明 (1) 特征函数总是存在的.
随机过程中的维纳过程及其应用
随机过程中的维纳过程及其应用随机过程是指在一定时间内，由于涉及到不确定性因素，而存在着随机变化的现象。
维纳过程是随机过程中的一种，它是由维纳-伊钦霍金方程推导而来的，能够描述一些随机现象，如分子热运动、股票价格随机波动等。
本文将介绍维纳过程及其应用。
一、维纳过程的定义维纳过程是一种与时间有关的连续随机过程。
它由两个部分组成：马尔科夫过程和高斯白噪声。
其中，马尔科夫过程是一种随机过程，其状态在任一时刻只与前一时刻的状态有关；高斯白噪声则是一种均值为0、方差为1的高斯过程。
维纳过程有如下特征：1. 维纳过程的随机性：由于存在白噪声，每个时刻的变化是随机的。
2. 维纳过程的连续性：在任意两个时刻之间，维纳过程都是连续的。
3. 维纳过程的无界性：在任意的时间间隔内，维纳过程可能取到任意大的值。
4. 维纳过程的无可导性：由于存在白噪声，维纳过程在任意一点处不可导。
二、维纳过程的应用1. 金融学中的应用维纳过程在金融学中具有广泛的应用。
以股票价格为例，其价格波动往往呈现出一定的规律性，但也存在大量的随机波动。
维纳过程能够很好地描述这种随机波动的特征。
另外，维纳过程在期权定价模型中也有应用。
期权的价格往往会受到很多因素的影响，如股票价格、利率、波动率等。
通过对这些因素进行建模，能够更准确地计算期权的价格。
2. 物理学中的应用维纳过程在物理学中也有各种应用，如分子扩散、布朗运动等。
分子的运动轨迹通常是随机的，维纳过程能够很好地描述这种随机运动的特征。
布朗运动是一种与温度、粘滞系数有关的粒子的运动，也可以通过维纳过程进行建模。
3. 工程学中的应用在工程学中，维纳过程可以应用于可靠性分析、控制系统设计等领域。
对于一些复杂的工程系统，其随机变化往往很难预测，这时就需要使用维纳过程进行建模，从而更好地掌握系统的特征。
三、维纳过程及其应用存在的问题1. 遇到很多现象时，维纳过程难以进行建模。
如一些反复出现的周期性现象、有限时间存在的随机现象等。
维纳过程
特点
特点
维纳过程又称布朗运动，它具有如下特点： ⑴过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。 ⑵维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化 的概率。 ⑶它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。 给定二阶矩过程{W(t),t>=0},如果它满足 1、具有独立增量 2、对任意的t>s>=0，增量 W(t)-W(s)~N(0,σ^2(t-s）），且s>0 3、W(0)=0 则称此过程为维纳过程.
性质
性质
基本性质 对任意的正实数，一维维纳过程在时刻是一个随机变量，它的概率密度函数是： 这是因为按照维纳过程的定义，当时，可以推出的分布： 它的数学期望是零： 它的方差是：t： 在维纳过程的独立增量定义中，令，，，那么和是相互独立的随机变量，并且 所以两个不同时刻与协方差和相关性函数相关系数是： ， 即时最值 维纳过程中的即时最大值与的联合概率分布是： 而即时最大值的分布是对的积分：
维纳过程
独立增量过程
01 基本信息
03 特点
目录
02 定义 04ห้องสมุดไป่ตู้性质
基本信息
维纳过程是一个重要的独立增量过程，也称作布朗运动过程。数学中，维纳过程是一种连续时间随机过程， 得名于诺伯特·维纳。由于与物理学中的布朗运动有密切关系，也常被称为“布朗运动过程”或简称为布朗运动。 维纳过程是莱维过程（指左极限右连续的平稳独立增量随机过程）中最有名的一类，在纯数学、应用数学、经济 学与物理学中都有重要应用。
维纳过程和物理学中的布朗运动有密切关系。布朗运动是指悬浮在液体中的花粉微小颗粒所进行的无休止随 机运动。维纳运动也可以描述由福克-普朗克方程和郎之万方程确定的其他随机运动。维纳过程构成了量子力学的 严谨路径积分表述的基础（根据费曼-卡茨公式，薛定谔方程的解可以用维纳过程表示）。金融数学中 ，维纳过 程可以用于描述期权定价模型如布莱克-斯科尔斯模型。
《随机过程——计算与应用》课件平稳过程2
定理5.2.1 设X={Xt,t∈T}是平稳过程,则其相关函数有性质:
(1) RX (0) E X t 2 mX 2 0
(2) RX ( ) RX (0)
(3) RX ( ) RX ( ) (4) RX ( ) RX (t s)具有非负定性.即
对n 1,t1,t2, , tn T及复数1,2,
则Z {Zt , t T}也是平稳过程.
证明 (1) RXY ( ) E[ XtYt ]
E[Yt Xt ]
RYX ( )
(2)
RXY ( ) 2
2
E[ X tYt ]
E X t 2 E Yt 2
RX (0)RY (0)
同理 RYX ( ) 2 RX (0)RY (0)
(3) mZ (t) E[ Xt Yt ]
)=
1 4
e2
,
CY(
)=
sin t
(1)试计算过程X和Y的相关时间 0X和 0Y，并比较X和Y
随时间的变化情况。
（2）当时间间隔 = 时，分析过程X和Y各自的相关性。
（3）当时间间隔 =0和 = 时，分析过程Y的相关程度。
X 0
Y 0
,
相关函数还可以用于讨论平稳过程的均方微积分
二阶矩过程均方极限与连续
例5.2.3 RX(τ)的连续函数由 RX(τ)在τ=0处的连续性确定.
证明：由于RX ( )在 0连续 X 均方连续，
则对
有
0
0 R X ( ) RX (0 ) E[ Xt Xt ] E[ Xt Xt0 ]
E[ Xt ( Xt Xt0 )]
E [ Xt ( Xt Xt0 )]
rX
(
)
RX ( ) mX2
维纳过程及其应用
目 录摘要 ..................................................... 0 1. 引言 ....................................................................................................................... 2 2.维纳过程 . (2)2.1独立增量过程 (2)2.2 维纳过程的定义 ...................................................... 3 2.3维纳过程的特点....................................................... 3 2.4维纳过程的性质....................................................... 4 2.5维纳过程在区间],[s t 上加权线性组合 (5)3.维纳过程的应用 (6)3.1股票价格的行为模式 ................................................... 6 3.2维纳过程下四种死力假设的增额寿险精算模型 . (10)4. 结束语................................................................................................................. 15 参考文献 . (16)维纳过程及其应用薛翔南京信息工程大学摘要：本文叙述了维纳过程的基本定义和概念，并介绍了维纳过程的特点和性质以及与维纳过程有关的在生活中的应用。
通过对股票价格的行为模式的理论分析，可以看出维纳过程作为随机过程中的一个具体模型在生活中是有重要意义的。
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B , 2 t
t Wt
则称随机过程 B, 2 ={Bt, 2 , t 0}为
(, 2 ) 布朗运动.
例3.3.1 计算 (, 2 ) 布朗运动的均值函数和
相关函数.
例3.3.2 验证 (, 2 ) 布朗运动是正态过程.
提示：考虑增量
B , 2 tk
B , , 2 tk 1
(k=1,2,L
解 ：x 0时 ， 有
F(t
;x
)
P
(
B
re t
x
)
P(W t x ) P(x W t x )
x x
t
(
y
)d y
其 中 t(y )
1
y2
e 2t ,即 N ( 0,t )分 布 的 密 度 函 数
2t
解 ： 均 值 函 数 m Bre (t ) E [ W t ]
(令 z= y ) t
y
t(y
)d y
2
0
y
t
(
y
)d y
2 y
1
y2
e 2t dy
0 2t
2
y2
e
2t
y dy
2 0
t
2
z2
e 2 z tdz
2t
2 0
方差函数
D Bre (t ) E [ W t 2 ]-E [ W t ]2
E[
W
t
2
]-
2t
=t
2t
6. 奥恩斯坦-乌伦贝克过程
设 0, 定义
e (s t )E[e 2Ws ]E[e (Wt Ws ) ]
=e e e (s t )
2 2s
2 (t s ) 2
几何布朗运动在股票价格建模中的应用：
若X 表示某种股票在n时刻的价格，通常认为价格 n
百分比是独立同分布的，即令
Y n
=
X n
X
, n1
n 1
X =Y X =Y Y X n n n1 n n1 n2
Lห้องสมุดไป่ตู้
Y n
Y n1
L
YX 10
n
ln Xn =
lnYk
ln
X 0
k 1
由中心极限定理{ln Xn}近似为 布朗运动，因此{X n }近似为 几何布朗运动.
5. 反射布朗运动
定义
Btre Wt , t 0 则称随机过程Bre {Btre ,t 0}为反射布朗运动
例3.3.7 计算反射布朗运动的一维分布函数、均值函数 和方差函数.
,n)
相互独立且服从正态分布：
N((tk tk 1), 2(tk tk 1))
1时，称为带有漂移系数 的布朗运动.
带漂移的布朗运动可用质点在直线上的非对称随机 游动逼近.
带漂移的布朗运动可以刻画工程、物理以及金融领 域的诸多随机现象。
对逐渐劣化的系统来说，其劣化过程可以用一个带 漂移参数的布朗运动描述：
e t E[W (t ) ]=0
相关函数
R B o u ( s , t ) E [ e sW ( s )e tW ] ( t )
=e (st )E[W (s )W (t ) ] 不妨设0 s t =e (st )E[W (s )(W (t ) -W (s )+W (s ) )] =e (s t )E[W (s )(W (t ) -W (s ) )]+e (s t )E[W (s ) ]2 0 e (s t )E[W (s ) ]2 (s )e (s t )
Btou e tW (t ) ,
t 0
其中 (t )= t e 2sds 1(e 2t 1),
0
2
则称随机过程Bou {Btou ,t 0}为奥恩斯坦-乌伦贝克过程
例 8 计 算 奥 恩 斯 坦 -乌 伦 贝 克 过 程 的 均 值 函 数 和 相 关 函 数
解 ： 均 值 函 数 m B o u ( t ) E [ e tW ] ( t )
该问题可以转化为求解下列倒向参数随机微分方程.
dXXT t
f Z
(Xt
,
Yt
)
dt
Yt
dWt
此为带漂移的布朗运 动的微分形式.
其中，f (Xt , Yt ) rXt (b r) Yt (R r)(Xt Yt ) r 0为债券利率，R为市场贷款利率，一般R>r.
3. 布朗桥
对任意的t [0,1],定义
则有
P(lim n
Fn
(s)
s)
1
若令n (s) n(Fn (s)-s),则当n 时， {n (s)，0 s 1}的极限过程为布朗桥.
4. 几何布朗运动
设 R, 0, 定义
B e , ge
Bt , 2
t
t 0
其中Bt , 2 是(, 2 )-布朗运动,
则称随机过程Bge {e Bt,2 ,t 0}为几何布朗运动
➢ 与布朗运动相关的随机过程
1. n-维标准布朗运动
设Wk= {Wkt,t≥0}是标准布朗运动，k=1,2,…n.
如果W1,…,Wn, 相互独立,则称 (W1, … ,Wn)
是n-维标准布朗运动.
可以用二维和三维标准布朗运动描述平面和空间 中的布朗运动的质点。
2. (, 2 ) 布朗运动
设 R, 0，定义
un
)
(
e
jmX
(tk
)uT
1 uCuT 2
)
e j
n
uk mX
k 1
(tk
)1 2
n k 1
n l1
uk ul CX
(tk
,tl
)
布朗桥在统计中的应用
设X1,L ,Xn L 独立同服从U[0，1]分布,对0<s<1,记
n
N (s)= I
n
(Xi s)
i 1
Fn (s)
N (s) n
n,
例3.3.6 计算几何布朗运动的均值函数和相关函数.
解：均值函数
m
Bge (t
)
E
[B
ge t
]
E [e
B
t
,
2
]= E [e
t W t
]
= e t E [e W t ]
t 2
= e te 2
相关函数
R Bge (s ,t ) [E [e sW se t W t ]
e e e E[ ] (s t ) 2Ws (Wt Ws )
Ba 0
b
=a,B1ab
b.
(2)计算从a到b的布朗桥的均值函数和协方差函数.
(3)验证从a到b的布朗桥也是正态过程.
也可以用过程的n维特征函数
n
t1 ,L
,tn
(u1,
u2
, ..., un
)
E[e
j Btakbuk k 1
]
注意到：正态过程X的特征函数为
t1 ,L
,tn
(u1,
u2
,...,
Xt t Wt , t 0
利用上述模型可以讨论如下问题： 1.预防维修策略问题 2.剩余寿命预测问题
金融领域中，上述模型常以另一种形式出现：
设有一自融资金且无消费的单身汉计划T时结婚，他在 [0,T]期间的t时刻将财产Xt中的Yt用于买股票， Xt –Yt用 于买债券.若要在T时财产达到Xt =Z, 则在[0,T] 做怎样的 投资策略？
Bbr t
Wt
tW1
则称随机过程 Bbr ={Btbr , t [0,1]}为0到0的
布朗桥.
例3.3.3 计算布朗桥的均值函数和相关函数. 例3.3.4 验证布朗桥是正态过程.
例3.3.5 设常数a,b R,定义从a到b的布朗桥：
Bab t
a (b a)t
Bbr t
t [0,1]
(1)验证