图灵不稳定性及斑图形成
有关图灵的名词解释
有关图灵的名词解释谈及计算机科学史上最重要的人物，图灵（Alan Turing）无疑是一个不可忽视的名字。
他将计算机科学带入了一个新的纪元，开创了许多重要的概念和理论。
本文将解释和探讨与图灵相关的几个重要名词。
1. 图灵机（Turing Machine）图灵机被认为是计算机科学的奠基之石。
它是一种理论计算机模型，由图灵于1936年提出。
图灵机包括一个无限长的纸带和一种移动的读写头。
纸带上划分成了一系列的格子，每个格子上可以写入一个符号。
读写头可以在纸带上进行读取、写入和移动操作。
图灵机的规则包括一个状态表，定义了读写头在纸带上移动的方式和每次移动后需要执行的操作。
图灵机是一种抽象的、理论上的计算机模型，可以模拟任何其他的计算机或计算过程。
2. 图灵完备性（Turing Completeness）图灵完备性是指一种计算系统具备与图灵机等价的计算能力。
如果一个计算系统具备图灵完备性，那么它可以模拟图灵机，也就是说，可以执行任何图灵机能执行的计算任务。
图灵完备性是计算机科学中的一个重要概念，用于评估和比较不同计算系统的能力。
3. 图灵测试（Turing Test）图灵测试是图灵于1950年提出的一个概念性测试，用于评估机器是否具备智能。
在图灵测试中，一个人与一台机器进行文字交流，如果这个人无法确定他在与机器还是与另一个人交流，那么这台机器被认为通过了图灵测试，具备了智能。
图灵测试是人工智能领域的一个重要指标，至今仍被广泛应用于衡量机器智能水平。
4. 图灵奖（Turing Award）图灵奖是计算机科学领域最高荣誉，由美国计算机协会（ACM）每年颁发给在计算机科学领域做出杰出贡献的人士。
该奖项以图灵的名字命名，旨在纪念他对计算机科学的重要贡献。
图灵奖在计算机科学界具有极高的声望，获得该奖的人士被认为是对计算机科学做出了突出贡献的杰出人物。
5. 图灵研究所（Turing Institute）图灵研究所是一个致力于推动科学和工程领域创新的机构。
化学实验中的图灵斑图
化学实验中的图灵斑图作者：李桂林来源：《中学科技》2014年第02期课题背景 1952年，被后人称为计算机科学之父的著名英国数学家图灵把他的目光转向生物学领域。
他在著名论文《形态形成的化学基础》中，从数学角度表明，在反应扩散系统中，稳定均态会在某些条件下失稳，并自发产生空间定态图纹。
此过程被后人称为“图灵斑图”。
图灵用一个反应扩散模型成功地说明了某些生物体表面所显示的图纹（如斑马身上的斑图）是怎样产生的。
蓝瓶子、红瓶子、花瓶子实验是化学中的经典实验。
在做蓝瓶子实验时，我们意外发现其有时会形成一种波形图案，把蓝瓶子、红瓶子实验的溶液多次倒在培养皿等器皿中，结果在培养皿中看到了较稳定的波形图案。
蓝瓶子实验的配方：水100g，葡萄糖2g，NaOH 2g，2%亚甲蓝3～5滴，置于250mL锥形瓶中。
蓝瓶子实验操作：振荡溶液时其呈蓝色，静置时蓝色慢慢褪去变成无色透明液，再振荡又变蓝色……红瓶子和花瓶子的方法、原理、现象等相近，只是所选氧化还原指示剂及相关颜色不同。
实验步骤1.温度影响（红瓶子实验，水100mL）结论：实验发现，温度越高，形成图案所需要的时间越短，20℃、30℃时形成的图案比较漂亮，所以此区间温度是比较适宜的实验温度。
2.浓度影响（红瓶子实验，水100mL，水温控制在30℃左右）结论：氢氧化钠的理想浓度在4%～6%，葡萄糖加2g左右比较好，碱性藏红花的滴数控制在8滴左右。
因为碱性越大，越不能形成斑图；碱性太小，形成斑图所需要时间较长。
3.光照影响（蓝瓶子实验，水100mL，水温控制在20℃左右）结论：光照会影响图灵斑图的形状，而且此次图灵斑图呈三维状。
4.电场影响（蓝瓶子实验，水温控制在30℃～40℃）把蓝瓶子溶液放在电场中，静置片刻后观察现象。
结论：15s后，在玻璃皿中形成2个平行的螺旋，并且在实验中这两个螺旋在不停运动，且运动方向是相反的，30s后，这个螺旋不停地向溶液中伸展，最后形成了漂亮的立体图案。
计算机之父图灵
计算机之父图灵汇报人：2023-12-06•图灵的生平•图灵的贡献•图灵的遗产•图灵的成就与挑战•图灵的影响与启示•图灵的案例研究与思考01图灵的生平家庭背景1926年，图灵进入拉普顿中学学习，展现出数学和手球方面的天赋。
早年教育学术萌芽早年岁月图灵奖1966年，图灵被授予图灵奖，以表彰他在计算机科学领域的卓越贡献。
学术成果1936年，图灵发表了著名的论文《论可计算数及其在判定问题中的应用》，提出了图灵机的概念，为现代计算机科学奠定了基础。
人工智能图灵对人工智能的发展也有重要贡献，他提出了“图灵测试”的概念，用以衡量人工智能是否具有人类智能。
学术生涯二战背景密码破译战争与密码破译1967年，图灵被平反并追认为英国荣誉勋章获得者；同时，以他命名的“图灵奖”也成为了计算机科学领域的最高荣誉之一。
悲剧与荣誉荣誉再起悲剧发生02图灵的贡献通用图灵机图灵机的局限性理论计算机科学图灵测试图灵提出了一种测试人工智能是否具有智能的方法，即如果一个机器能够通过测试被认为是人，那么它就具有智能。
这一思想至今仍然是人工智能领域的重要参考。
人工智能的发展图灵的思想启发了大量关于人工智能的研究，推动了该领域的发展。
如今，人工智能已经在语音识别、图像识别、自然语言处理等方面取得了显著成果。
人工智能与图灵测试密码学研究破译纳粹密码密码学与破译对其他领域的贡献生物信息学经济学03图灵的遗产图灵奖由美国计算机协会设立，以纪念计算机科学先驱阿兰·图灵，是计算机界最负盛名的奖项之一。
详细描述图灵奖的获奖者通常为计算机科学领域的杰出科学家和工程师，他们在计算机科学的基础理论、算法、计算复杂性、计算机体系结构、软件工程、人工智能等领域做出了重大贡献。
总结词图灵奖VS图灵机模型总结词详细描述图灵在计算机科学教育中的地位总结词阿兰·图灵在计算机科学教育中具有重要地位，他的思想、理论和实践方法对计算机科学教育产生了深远影响。
图灵不稳定性及斑图形成
Turing 不稳定性及斑图形成摘要:在这篇文中，我们借助于浮游植物-浮游动物的数学模型来研究Turing 不稳定是如何产生的.首先介绍了Turing 不稳定产生的内在机理，给出了详细的过程，并且最终得出了产生Turing 不稳定的参数空间.然后在结合含有扩散项的浮游植物、浮游动物的捕食模型来研究该模型是否能够产生Turing 不稳定现象. 关键词：Turing 不稳定，捕食模型1.Turing 不稳定性1952年Turing 在文中《The chemical basis of morphogenesis 》一文中提出：如果参加相互反应的化学物质自身不存在扩散作用，经过一段时间反应后，它们会达到一定的平衡状态，即这些化学物质的浓度将会变得均匀. 但如果这些化学物质具有扩散作用的话，那么在某种条件下，这种均匀的平衡态将会被打破，变成不均匀的平衡态，这边是Turing 不稳定现象. 换句话说在同一个正常数平衡解处的常微风模型是稳定的，但对于加入扩散作用的偏微分方程模型却是不稳定的.本文借助于数学模型来说明发生Turing 不稳定性的条件. 海洋中存在着多种浮游植物和浮游动物，它们的关系非常的复杂，这里我们仅分别考虑一种浮游植物、一种浮游动物，并且这种浮游动物主要以这种浮游植物为食. 浮游植物会产生毒素，可以杀死一定量的浮游动物，进而来保护自己免受捕食.并且还考虑两种浮游生物在二维平面上的空间分布，从而引入其含有Laplacian 算子的扩散项。
Spatiotemporal dynamics toxic-phytoplankton-zooplankton model ：1P P aPZ rP t K P m Z bPZ cPZ dZ t P m P m∂⎛⎫=-- ⎪∂+⎝⎭∂=--∂++（1） 这里的参数均为正常数，其中()()=,,,,P P x y t Q x y t =，分别是能够产生毒素的浮游植物、浮游动物在t 时刻(),x y 处的密度，并且浮游植物产生的毒素可以杀死浮游动物且满足第二类功能性反应函数. 浮游植物服从Logistic 的增长方式，r为其内禀增长率，K 为其环境容纳量. 浮游动物捕食浮游植物满足第二类功能性反应函数，a 为捕食率，m 为半饱和常数. b 为浮游动物捕食浮游植物转化为自身增长的效率，d 为浮游动物的死亡率，c 为浮游植物产生毒素杀死浮游动物的概率，显然要满足b c >.对于模型（1）的各个平衡点处的稳定性在文献[1]中已经研究，这里不再详细介绍，仅仅在下面简单分析其正平衡态存在、稳定的条件. 下面我们在模型（1）的基础上，考虑其扩散项，从而得到如下的模型.Spatiotemporal dynamics in a reaction-diffusion toxic-phytoplankton-zooplankton model ：()()11221,,,P P aPZ rP D P f P Z D P t K P m Z bPZ cPZ dZ D Z g P Z D Z t P m P m∂⎛⎫=--+∆+∆ ⎪∂+⎝⎭∂=--+∆+∆∂++@@（2） 且满足非零的初始条件()()(),,00,,,00,[0,][0,]P x y Q x y x y Lx Lx >>∈Ω=⨯ 以及零边界条件()0,P Q x y n n ∂∂==∈∂Ω∂∂其中,Lx Ly 分别是模型（1）在,x y 方向上的一段，向量n 是边界∂Ω上的单位外法向量，零边界条件也就说明了这个系统没有外部的输入，此时可以认为模型是独立的. 12,D D 分别表示浮游植物和浮游动物的扩散系数. ∆为二维空间上拉布拉斯算子.2222=x y∂∂∆+∂∂ 本文研究的是Turing 不稳定性，所以只需关心正平衡态，从模型（1）可以计算出本系统存在唯一的一个正平衡态为()***,E P Z =其中：()()()()**2,rm b c K b c d md md P Z b c d aK b c d ----==----并且满足：()/0K md b c d >-->.模型（1）在正平衡点*E 处的线性化模型为：P P J t Z Z ⎛⎫⎛⎫∂= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭其中**,P P P Q Q Q =-=--，矩阵J 为()()()()()()()111221220rd K b c d m b c d ad J J K b c b c d b c J J J r K b c d md aK ⎛⎫----+- ⎪----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭@ 则由二维系统的Routh-Hurwitz 判据[1]可得正平衡点稳定的冲要条件为()()()()11221221det 0rd K b c d md J J J J J K b c ---=-=>-（3） ()()()()()()11220rd K b c d m b c d tr J J J K b c b c d ----+=+=<---（4）联合（3）、（4）式可解出参数范围为：()m b c d md K b c d b c d-+<<----（5） 接下來研究Turing 不稳定性，即是由于扩散系统引起的不稳定性. 因此，我们总假设条件（3）、（4）成立，也即式（5）式是恒成立的. 下面考虑含有扩散的模型（2），做与上述相同的平移变换,并把新的变量,P Q 仍记为,P Q ，这里的,P Q 表示模型（2）在平衡点*E 附近的扰动. 可得：1112121222P J P J Q D P t Q J P J Q D Q t ∂⎧=++∆⎪⎪∂⎨∂⎪=++∆⎪∂⎩（6） 又因为模型（6）的任意解都可以展开成下述的Fourier 级数：()()()()()(),0,0,0,0,,sin ,,cos ij ij i j i j ij ij i j i j P r t u r t t krQ r t v r t t kr αα∞∞==∞∞==⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩∑∑∑∑（7）这里向量(),r x y =，且0,0x L xy L y <<<<. 向量(),i j k k k =，且/,/i j k i Lx k j Ly ππ==，,i j k k 称为波数.把（7）式带入（6）式可得：()()211112221222ij ij ij ij ij ij J D k J t J J D k tααββαβ∂⎧=-+⎪⎪∂⎨∂⎪=+-⎪∂⎩（8） 其中222i j k k k =+，这里是因为()()()222sin sin sin sin sin i j i i j j i j kr k x k y k k x k y k k x k y k kr∆=∆+=-+-+=-模型（8）是一个常系数微分方程组，其解的形式为1212t t c e c e λλ+，其中12,c c 为常数，是由初始条件所确定. 12,λλ是其系数矩阵1J 的特征值2111121221222J D k J J J J D k ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦（9） 求得此系数矩阵的行列式、迹分别为：()()()4211211222111221221det J D D k J D J D k J J J J =-++-（10）()()()21121122tr J D D k J J =-+++（11）为了研究是由于扩散发生的不稳定，系数矩阵的特征值12,λλ至少有一个是具有正实部，也就说条件()()11det 0,0J tr J ><至少有一个不成立. 有假设条件（3）、（4）恒成立，可知11220J J +<恒成立，所以得到()10tr J <恒成立，所以要使Turing 不稳定发生，存在一个参数空间使得()1det 0J <成立.令()()()2421211222111221221G k D D k J D J D k J J J J =-++-（12）这是一个关于未知数2k 的一元二次函数，由条件（3）知112212210J J J J ->成立.显然，()20G k <在()20,k ∈+∞成立的必要条件是1122210J D J D +>（13）在条件（13）成立的前提下，要使()20G k <成立，即要求()20G k =有两个实根，则必须满足系数判别式：()()211222112112212214J D J D D D J J J J +>-（14） 在满足条件（13），（14），函数（12）将会存在两个正的实根22,k k ，当满足 222k k k <<（15）时，有()20G k <，即模型（8）的系数矩阵的特征值12,λλ至少有一个是具有正实部，则模型（2）的平衡点*E 是不稳定的，此时平衡点*E 的不稳定性是由于扩散项∆算子的特征值也成波数的k 所引起的，所以称（15）式为Turing 不稳定空间. 得到Turing 不稳定的参数空间后，可以选取输入参数空间的各个参数，使得模型在这些参数下发生Turing 不稳定，进而会形成各种斑图，对于具体形成斑图，这里不做介绍.综上，可得发生Turing 不稳定性的充分必要条件是：式子（3）、（4）、（13）、（14），也即：()()()()11221221112211222121122211211221221det 0004J J J J J tr J J J J D J D J D J D D D J J J J ⎧=->⎪=+<⎪⎨+>⎪⎪+>-⎩ 对于模型数学模型（2），根据上面的Truing 不稳定的充要条件来求其Truing 不稳定的参数空间. 前面已经得到求解其雅克比矩阵J ，其中220J =，由（4）式可知()110tr J J =<，再由（13）式可得1120J D >，而这里的20D >，从而可得对于模型（2）来说，不满足上述的条件，所以并不会发生Turing 不稳定现象.通过（4）、（13）式可知，1122,J J 必须是异号的，并且负值的绝对值要大于正值的绝对值，在模型（2）中，220J =，所以其不会发生Turing 不稳定现象.2. 总结这是最近看到的一篇关于反应扩散微分方程的文章，原文中也是简单介绍个各个理论，我有利用生物数学课堂上学过的知识，进行整理。
不同图灵模作用的几种斑图
不同图灵模作用的几种斑图白占国;董丽芳【摘要】Mechanisms of pattern formation and pattern selection with different Turing modes interaction are investigated by using a two-layer coupled CIMA model. It is shown that hexagonal superlattice and simple hexagon arise respectively in subsysteml and subsystem 2 under the condition that two subsystems locate at supercritical or subcritical bifurcation point. Both of them in two subsystems cannot interact when the two Turing modes are supercritical and one simple stripe pattern in each of sub-systems emerges spontaneously. The identical 'bean' patterns is selected in the two subsystems when two Turing modes are subcriticl. In addition, the bifurcation types of the Turing modes also affect the spatial symmetry of the e-merging patterns in system.%采用双层耦合的CIMA模型,研究了不同图灵模相互作用时斑图的选择、形成机制.结果表明:当2个子系统分别处在超临界和次临界分岔点附近时,超临界图灵模和次临界图灵模相互作用产生耦合,得到六边形和超六边斑图；当2个子系统激发的图灵模均为超临界模时,二者之间不发生耦合,每个子系统各自形成简单的条纹斑图；当2个子系统激发的图灵模均为次临界模时,2个模产生相互作用,系统最终选择完全相同的“豆角”斑图.此外,图灵模的分岔类型还改变斑图的空间对称性.【期刊名称】《河北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(032)002【总页数】4页(P140-143)【关键词】图灵模;超点阵;超临界和次临界【作者】白占国;董丽芳【作者单位】河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002;河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002【正文语种】中文【中图分类】O461.2斑图（pattern）是一种典型的非线性自组织现象［1－2］，广泛地存在于自然界，也可以在不同的实验室系统中进行研究.其研究内容涉及物理学、数学、化学、生态学等各个学科，而且在心脏病的防治、材料处理和局域生长以及等离子体光子晶体等方面具有广阔的应用前景，近年来引起人们极大的兴趣.国内外学者在实验［3－7］、尤其是理论上［8－14］做了大量的研究，得到了种类丰富的斑图.例如，杨灵法等人［8－10］研究了系统处在超临界和次临界分岔时的超点阵斑图和叠加斑图的形成机理和空间共振条件.发现三波共振和相同的对称性对超点阵斑图的形成起着重要作用.Fineberg等人［11－12］研究了次临界图灵模与一个流体表面的超临界法拉第波之间的相互作用，结果表明该系统出现的自组织四边形和多种超点阵斑图都是由多个非线性的波矢构成，而且不同空间模峰值同时发生是三波共振的必要条件.Bachir小组［13］和Epstein小组［14］分别得到零模与不同空间模的相互作用，及超临界模与MASK模相互作用时的图灵斑图.从以往的研究看，前人工作大多集中研究超临界模和次临界模的相互作用，对2个图灵模均为超临界或次临界研究较少.为了进一步理解斑图形成和选择的物理机制，推进非线性科学的发展、加快其实际应用的进程，研究系统处于不同分岔点时图灵模之间的相互作用尤为重要.本工作针对此现状，采用双层耦合的CIMA模型，细致研究2个子系统激发3种分岔类型的图灵模相互作用时斑图的形成机理.采用双层耦合的CIMA模型［14］，在无量纲条件下方程可写成如下表达式：其中，i）为系统的局部动力学.式中u和v分别表示变量活化子与禁阻子，Du和D v为二变量的扩散系数，a和b是系统的控制参数，此方程组存在均匀定态解通过作线性稳定性分析得到：当控制参数b＞b H＝3a25－a125时，系统出现霍普分岔，当的条件下，系统处于图灵空间，该模型包含2个子系统：系统1（u1，v1）和系统2（u2，v2），α和β为2个子系统之间活化子和禁阻子的耦合强度，本文固定控制参量a＝15，b＝9，并选取合适的参数使2个子系统均在图灵空间，研究2个图灵模的相互作用.其他条件选择格点数为128×128，时间步长和空间步长分别为0.01和1单位进行数值模拟.图1是超临界与次临界分岔点耦合系统的色散关系及出现的斑图.从系统的色散关系（如图1a所示）可以看出，子系统1处于超临界分岔点，激发超临界图灵模k1，振幅较大为基模又叫主动模，占主导地位；子系统2则处于次临界分岔点，产生1个次临界图灵模k2，振幅较小，是次谐振模，又称从动模，二者具有不同空间尺度.超临界图灵模k1是不稳定的，在次临界图灵模k2作用下，激发出1个新的图灵模k3，三者满足三波共振关系k1＋k2＝k3，使2子系统之间发生非线性共振.长波模调制短波模，在子系统1出现超六边斑图（如图1b所示），子系统2仍然呈现简单的大点六边形斑图，如图1c所示.观察超六边的傅里叶谱发现，超点阵能量的空间分布较大点六边形更为复杂，包含3个不同空间尺度的波矢.通过调节控制参量，使得k2模由次临界的稳定模穿过虚轴变为超临界的不稳定模，子系统2经历一个非平衡相变，原来稳定的不动点变为不稳定的焦点，这种不稳定的焦点叫动力学系统的“排斥子”［1］.2个“排斥子”互相排斥，导致2个子系统不发生耦合，如图2所示.2个超临界模k1和k2之间没有相互作用，每个子系统各自出现简单的条纹斑图，而非六边形斑图.继续调节系统的控制参量，使2个不稳定的超临界模变为稳定的次临界模，考察其相互作用时对系统斑图的影响，如图3所示.从图3a可以看出，此时，2个子系统的不动点均是稳定的，都是“吸引子”.2个图灵模地位相当，二者互相竞争，相互影响，2个子系统之间出现较强的耦合现象，并且相互调制，最终出现完全相同的“豆角”斑图，即当系统处于次临界／次临界分岔点时图灵模的作用与前面2种情况均不相同.比较图1、图2和图3发现，2个子系统是否能够耦合及耦合强度的大小，敏感依赖其图灵模分岔类型：当系统处于超临界与次临界分岔点时，由于耦合作用，子系统1出现超六边斑图，子系统2则不受耦合因素影响，仍然呈现简单斑图；当2子系统激发的图灵模均为超临界模时，层与层之间不发生耦合；如果2子系统激发的图灵模均为次临界模时，2个模地位相当，二者互相竞争，相互影响，使得2个子系统强烈耦合.此外，斑图的空间对称性也因图灵模分岔类型的不同而改变，其中当系统处于超临界分岔点时系统选择的斑图空间对称性最低，是条纹对称性；次临界分岔点次之，为类四边形对称，当2个子系统分别处于超临界与次临界分岔点时，系统形成的斑图空间对称性最高，具有六边形对称性.通过对双层耦合的反应扩散方程进行线性稳定性分析，得到系统的分岔条件，选择不同的控制参数，使2个子系统分别处于超临界和次临界、超临界和超临界、次临界和次临界3种不同分岔点，在随机的初始条件下模拟了斑图选择和时空演化.模拟结果表明，不同图灵模的相互作用在斑图的选择和形成过程中起着重要作用.当2个子系统激发的图灵模分别为超临界模和次临界模时，长波模调制短波模，二者相互作用使2个子系统发生耦合，满足三波共振条件，子系统1出现超六边斑图，同时子系统2出现简单六边.2个子系统是否能够耦合，敏感依赖其图灵模分岔类型：如果2子系统激发的图灵模均为超临界模时，层与层之间不发生耦合，每层内部满足空间共振条件，每个子系统各自形成不同尺度空间的简单条纹斑图；值得注意的是，当2个图灵模均为次临界模时，2个模地位相当，其相互作用不同于前面2种情况，二者互相竞争，相互影响，使得2个子系统最终选择完全相同的“豆角”斑图模式.此外，还发现，图灵模的分岔类型还改变斑图的空间对称性.本结果对深刻理解斑图形成和选择的物理机制，推动斑图动力学的发展具有一定意义.【相关文献】［1］欧阳颀.非线性科学与斑图动力学导论［M］.北京：北京大学出版社，2010：130－131. 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图灵斑图:生命的图案
图灵斑图：生命的图案徐宁【期刊名称】《《大自然探索》》【年(卷),期】2019(000)010【总页数】7页(P64-70)【作者】徐宁【作者单位】【正文语种】中文计算机模拟的“图灵斑图”就像显微镜下的动物细胞和组织。
英国数学家无意中发现了自然创造有序生命的秘密。
生命的形成充满了奥秘。
数万亿个常见原子以不可思议的模式组合，居然形成了能够呼吸、运动和思考的人类。
一种特殊机制能从无序中创造有序，让生命逐渐诞生，并由简单向复杂演化……图灵发现大自然画笔第一个发现这个机制的人是英国数学家，被誉为“计算机之父”的艾伦·图灵。
图灵在观察鱼胚胎发育时发现，胚胎初期阶段所有细胞形态完全相同。
但接下来，胚胎中不同部位的细胞突然开始各自聚拢，并朝不同形态发展。
图灵想知道是什么机制让原本对称的球状胚胎发育成不对称的胚胎，他想知道是什么打破了胚胎的对称性。
1952年，图灵发表了人类科学史上第一篇用数学模型解释胚胎形成不对称纹样的论文。
在论文中，图灵用二阶抛物方程模拟了生物体内发生的这种“自组织”现象。
虽然图灵的方程式很难懂，但内核却很简单：假设溶液中有两种分子，分别称作“激活剂”和“抑制剂”，它们像墨水一样在溶液中扩散。
激活剂能促进激活剂和抑制剂的合成过程，而抑制剂则抑制合成过程。
图灵不清楚胚胎中的这两种物质到底是什么，可能是激素，也可能是基因，但他相信打破胚胎发育对称性，让胚胎自发形成特殊图案的就是这两种因子，并将其统称为“形态发生素”。
图灵想知道是什么打破了鱼胚胎的对称性。
如果把激活剂比作兔子，那么抑制剂就好像狐狸。
兔子多了，狐狸的食物也多，狐狸的数量会增加。
但如果狐狸太多，把兔子吃光了，狐狸的数量最终依然会下降。
这两者的数量之比是动态变化的。
图灵认为，兔子和狐狸数量增加，它们所占的栖息地面积也会增加。
为了获得足够的食物，狐狸会彼此分散开来，避免与同类竞争。
狐狸向外迁徙的速度要大于兔子迁徙的速度。
用不了多久，狐狸会优先占据外围区域，共同将兔子包围起来。
2024年图灵奖获得者艾维·维格森
2024年图灵奖获得者艾维维格森
林伟
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2024(27)3
【摘要】2024年图灵奖被普林斯顿高等研究院教授艾维·维格森(Avi Wigderson)摘得,以表彰其在计算理论的基础性贡献,包括重塑人类对计算中随机性作用的理解,以及数十年来在理论计算机科学领域的领导地位.维格森教授是首个同时拿下数学和计算机最高奖的科学家,他在2021年获得了阿贝尔奖.
【总页数】1页(P41-41)
【作者】林伟
【作者单位】西北工业大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
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科学杂志文章-图灵斑图动力学(欧阳颀)
科学杂志文章!图灵斑图动力学张春霞 欧阳颀 斑图（pattern）是在空间或时间上具有某种规律性的非均匀宏观结构。
它普遍存在于自然界中，形形色色的斑图结构，构成了多姿多彩、千媚百态的世界。
因而了解斑图形成的原因及机制，对于揭开自然界形成之谜具有重大意义。
从热力学角度观察，自然界的斑图可分为两类：一类是存在于热力学平衡态条件下的斑图，如无机化学中的晶体结构、有机聚合物中自组织形成的斑图；另一类是在离开热力学平衡态条件下产生的斑图，如天上的条状云、水面上的波浪、动物体表面的花纹等。
对于前一类斑图，对它们的形成机理人们已经有了比较系统、深入的了解，即用平衡态热力学和统计物理原理来解释。
而对于后一类斑图，由于其形成总是在远离热力学平衡态的情况下发生的，热力学原理不再适用，人们需要从动力学角度对这类斑图的形成原因及规律进行探讨。
最近发展起来的非线性科学的主要分支之一斑图动力学，就是以这类斑图的形成为研究对象的科学。
本文主要介绍其中的一大类——图灵斑图的有关情况。
图 灵 斑 图1952年，被后人称为计算机科学之父的著名英国数学家图灵（A. M.Turing）把他的目光转向生物学领域。
他在著名论文“形态形成的化学基础”中[1]，用一个反应扩散模型成功地说明了某些生物体表面所显示的图纹（如斑马身上的斑图）是怎样产生的。
可以设想，在生物胚胎发育的某个阶段，生物体内某些被称为“形态子”的生物大分子与其他反应物发生生物化学反应，同时在体内随机扩散。
图灵的研究表明，在适当的条件下，这些原来浓度分布均匀的“形态子”会在空间自发地组织成一些周期性的结构，也就是说，“形态子”在空间分布变得不均匀。
而正是这种“形态子”分布的不均匀性引起了生物体表面不同花纹的形成。
在图灵提出的反应扩散体系中，由体系内在的反应扩散特性所引起的空间均匀态失稳导致了对称性破缺（空间平移对称破缺），从而使体系自组织出一些空间定态图纹。
这个过程及其所形成的图纹分别被后人称为图灵失稳（图灵分岔）和图灵斑图。
几类时滞反应-扩散神经网络的Hopf分岔研究
目录摘要 (I)Abstract (III)第一章引言 (1)1.1神经网络的定义 (1)1.2神经网络分岔行为的研究现状 (2)1.3神经网络的扩散现象 (4)1.4本文主要研究内容 (4)第二章预备知识 (7)2.1符号说明 (7)2.2概念解释 (7)2.3数学理论阐述 (8)2.3.1关于雅可比(Jacobi)矩阵 (8)2.3.2特征方程的根的判别式 (9)第三章时滞反应-扩散中立型神经元模型的Hopf分岔分析 (11)3.1引言 (11)3.2系统局部稳定性和分岔 (13)3.3Hopf分岔与周期解稳定性 (20)3.4数值仿真 (25)第四章带有时滞的反应-扩散神经网络的图灵不稳定性和Hopf分岔分析 (29)4.1引言 (29)4.2没有延迟时的图灵不稳定性 (31)4.3Hopf分岔分析 (33)4.4Hopf分岔的规范性 (37)4.5仿真 (42)4.6小结 (43)第五章总结与展望 (49)5.1本文的工作总结 (49)5.2后续展望 (50)参考文献 (53)致谢 (57)攻读硕士期间已发表的学术论文 (59)几类时滞反应-扩散神经网络的Hopf分岔研究学科专业：信号与信息处理研究方向：神经网络分岔研究指导教师：董滔作者：夏林茂摘要关于对神经网络分岔行为的研究一直以来都是十分热门的话题，也是在神经网络动力学行为研究中的一大重点和难点。
而时滞反应-扩散神经网络作为普通神经网络的扩展，由于其更符合现实生物神经网络的特点、存在更加丰富的动力学行为、更加适用于工业发展与应用而逐渐成为学者们的重点研究领域。
本文分别研究了时滞中立型反应-扩散神经元模型的Hopf分岔和二维反应-扩散神经网络的Hopf分岔及图灵不稳定性，本文的主要内容和创新点如下：（1）带有延时的一维中立型反应-扩散神经网络的Hopf分岔分析本文提出了一类具有时滞的反应-扩散中立型神经元模型，并研究了在扩散的影响下，该系统的局部稳定性和Hopf分岔。
一类具有产毒浮游植物的交叉扩散浮游生物模型的图灵斑图
点是局部渐进稳定的,接着通过构造Lyapunov函 数,进一步证明了正平衡点是全局渐近稳定的。
同时,许多学者研究了具有交叉扩散的反应扩 散模型的动力学行为611］。而文献［12-14］的研究 表明,交叉扩散项的出现会对模型动力学行为产生 影响。本文在文献［叮的研究基础上,在模型（3）中 引入交叉扩散项,考虑如下模型：
(2)
式中：/=%%为浮游植物种群的毒素释放率％为 密度制约系数）文献在模型（2）中引入自扩散系 数，并在NeurnAin边界条件下考虑如下的扩散 模型：
( 5P
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Belousov-Zhabotinsky_反应斑图形成的图灵不稳定分析
文章编号：1006-3080(2021)02-0183-06DOI: 10.14135/ki.1006-3080.20191203006Belousov-Zhabotinsky 反应斑图形成的图灵不稳定分析戴金东， 艾佳莉， 孙 巍（北京化工大学化学工程学院，北京 100029）摘要：基于经典的Tyson 模型，对Belousov-Zhabotinsky （BZ ）反应进行了图灵不稳定分析，得到了使BZ 反应产生图灵斑图的数学条件，并对计算结果进行了数值模拟验证。
在分析过程中，利用傅里叶展开法将偏微分方程转化为若干常微分方程的和，通过Routh-Hurwitz 判据来判断系统平衡解的稳定性，以得到系统在不考虑扩散项时保持稳定、考虑扩散项时不稳定的参数范围，即产生图灵不稳定的参数范围。
在数值模拟过程中，采用有限差分法，将连续区域和近似函数分别替换为离散区域和离散函数，对BZ 反应空间演化进行了模拟。
所采用的方法与研究结果为包括生物系统在内的非线性系统的研究提供了参考。
关键词：BZ 反应；图灵不稳定；图灵斑图；偏微分方程；数值模拟中图分类号：TP3文献标志码：ABelousov -Zhabotinsky （BZ ）反应是一个非常经典的非线性化学动力学系统。
由于反应与扩散的耦合，BZ 反应有着丰富的化学自组织现象，例如时间维度的化学振荡和时空维度的化学斑图等。
对于反应扩散系统中化学斑图的研究，艾佳莉等[1]、李才伟等[2]采用偏微分（PDE ）模型与元胞自动机模型对BZ 反应进行了模拟，得到了BZ 反应形成的螺旋波等化学波图像。
在丰富的化学斑图中，有一种与动态的化学波有所不同的特殊图像−图灵斑图。
图灵斑图是一种逐步产生的定态条纹，前人已经证明了图灵斑图在化学系统中的存在性[3]，并讨论了Brusselator 这一理想化学反应系统产生图灵斑图的数学机理[4]，但是对于实际存在并且在非线性化学动力学中最为经典的BZ 反应，鲜有人讨论图灵斑图产生的条件。
反应扩散模型在图灵斑图中的应用及数值模拟
反应扩散模型在图灵斑图中的应用及数值模拟张荣培;王震;王语;韩子健【摘要】反应扩散方程模型常被用于描述生物学中斑图的形成.从反应扩散模型出发,理论推导得到Gierer-Meinhardt模型的斑图形成机理,解释了非线性常微分方程系统的稳定常数平衡态在加入扩散项后会发生失稳并产生图灵斑图的过程.通过计算该模型,得到图灵斑图产生的参数条件.数值方法中采用一类有效的高精度数值格式,即在空间离散条件下采用Chebyshev谱配置方法,在时间离散条件下采用紧致隐积分因子方法.该方法结合了谱方法和紧致隐积分因子方法的优点,具有精度高、稳定性好、存储量小等优点.数值模拟表明,在其他条件一定的情况下,系统控制参数κ 取不同值对于斑图的产生具有重要的影响,数值结果验证了理论结果.%Turing proposed a model for the development of patterns found in nature in 1952. Turing instability is known as diffusion-driven instability, which states that a stable spatially homogeneous equilibrium may lose its stability dueto the unequal spatial diffusion coefficients. The Gierer–Mainhardt modelis an activator and inhibitor system to model the generating mechanism of biological patterns. The reaction-diffusion system is often used to describe the pattern formation model arising in biology. In this paper, the mechanism of the pattern formation of the Gierer-Meinhardt model is deduced from the reactive diffusion model. It is explained that the steady equilibrium state of the nonlinear ordinary differential equation system will be unstable after adding of the diffusion term and produce the Turing pattern. The parameters of the Turing pattern are obtained by calculating the model. There are a variety of numerical methods including finitedifference method and finite element method. Compared with the finite difference method and finite element method, which have low order precision, the spectral method can achieve the convergence of the exponential order with only a small number of nodes and the discretization of the suitable orthogonal polynomials. In the present work, an efficient high-precision numerical scheme is used in the numerical simulation of the reaction-diffusion equations. In spatial discretization, we construct Chebyshev differentiation matrices based on the Chebyshev points and use these matrices to differentiate the second derivative in the reaction-diffusion equation. After the spatial discretization, we obtain the nonlinear ordinary differential equations. Since the spectral differential matrix obtained by the spectral collocation method is full and cannot use the fast solution of algebraic linear equations, we choose the compact implicit integration factor method to solve the nonlinear ordinary differential equations. By introducing a compact representation for the spectral differential matrix, the compact implicit integration factor method uses matrix exponential operations sequentially in every spatial direction. As a result, exponential matrices which are calculated and stored have small sizes, as those in the one-dimensional problem. This method decouples the exact evaluation of the linear part from the implicit treatment of the nonlinear reaction terms. We only solve a local nonlinear system at each spatial grid point. This method combines with the advantages of the spectral method and the compact implicit integration factor method, i.e., high precision, good stability, and small storage and soon. Numerical simulations show that it can have a great influence on the generation of patterns that the system control parameters take different values under otherwise identical conditions. The numerical results verify the theoretical results.【期刊名称】《物理学报》【年(卷),期】2018(067)005【总页数】10页(P50-59)【关键词】反应扩散方程;Gierer-Meinhardt模型;图灵斑图;Chebyshev谱方法【作者】张荣培;王震;王语;韩子健【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳 110034;山东科技大学数学与系统科学学院,青岛 266590;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳 110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳 110034【正文语种】中文1 引言斑图是在空间或时间上具有某种规律性的非均匀宏观结构,普遍存在于自然界.1952年,著名的英国数学家图灵把他的目光转向生物学领域,用一个反应扩散系统成功地说明了某些生物体表面图纹产生的原理[1].图灵从数学角度表明,在反应扩散系统中,稳定状态会在某些条件下失稳,并自发产生空间定态图纹,此斑图通常称为图灵斑图. 经过多年的研究,各界学者利用反应扩散系统预测得到了更多的图灵斑图,在理论和实验方面取得了许多重要成果.他们证实了化学系统中图灵斑图的形成[2],讨论自催化反应中的动力学行为,探讨此类耦合反应扩散体系中影响图灵斑图的因素[3].给出Gray-Scott模型、Brusselator模型等系统扩散引起不稳定的数学机理[4],并描述了Gierer-Meinhardt,Lengyel-Epstein等模型的某些动力学行为(性质)[5,6].最近几年,图灵斑图在实验方面取得一系列最新的进展,Copie等[7]运用实验在一个双稳态被动非线性共振器中探讨了图灵调制和法拉第参数不稳定性的相互作用;Tompkins等[8]利用微流体化学室证实图灵理论体系,并观测到第七种时空模式;Lacitignola[9]研究了图灵不稳定现象的发生条件,论述了具体形态的电化学反应扩散模型在一个球面上的图案形成的特性;Gaskins等[10]在二氧化氯碘丙二酸反应实验中,通过添加卤化钠盐溶液得到新的图灵斑图.在这些系统中存在两种化学反应物质,它们不仅能相互作用,而且还能进行独自扩散.事实上,图灵斑图的产生对应的是一个非线性反应动力学过程与一种特殊扩散过程的耦合.这个特殊的扩散过程由于两种因子的扩散速度不同会发生失稳,这就是图灵斑图产生的机理.在数学上,图灵斑图可以用无量纲化的反应扩散方程组描述[11],即式中u和v是系统变量,分别代表参与化学反应的两种物质的浓度;c和d是扩散系数,t是时间变量,f(u,v)和g(u,v)表示反应项.设Ω为RN中带有光滑边界的有界区域,Ω=[0,a]×[0,b],边界为∂Ω,边界条件为齐次Neumann边界条件,即其中n表示边界上单位外法向.由于(1)式为耦合的非线性反应扩散方程,很难得到其精确解.近年来,许多学者用有限差分方法、有限元方法、谱方法等[12−14]多种数值方法求解(1)式,这些方法各有特点.相比于有限元方法和有限差分方法的低阶精度,谱方法[14]仅用少量的节点,采用Legendre,Chebyshev等适合的正交多项式离散即可达到指数阶收敛的谱精度.图灵斑图在空间上的结构具有一定的规律,且解比较光滑,因此采用谱方法离散是可行的.常用的谱配置方法主要有Fourier配置法[15],Chebyshev配置法[16],Hermite配置法等[17].由于本文考虑的(1)式边界条件为齐次Neumann边界条件,因此采用Chebyshev配置方法求解(1)式.对(1)式进行空间离散后,得到的是刚性的非线性常微分方程组(ODEs).显式时间离散方法虽可以用迭代的方法求解,但其对时间步长有严格的约束;隐式方法虽然可以允许大的时间步长,但是对于阶数非常大的非线性方程组的求解问题十分复杂,这对于全隐式方法来说是一个巨大的挑战.由于谱配置法所得到的谱微分矩阵是满的,显然利用追赶法等代数线性方程组的快速解法是不合适的,因此交替方向隐式方法在这里并不适用.本文采用紧致隐积分因子(compact implicit integration factor,cIIF)方法求解ODEs.2006年Nie等[18]以隐积分因子(IIF)方法为基础发展了cIIF方法.传统的隐积分因子方法在求解高维问题时,离散矩阵的指数运算的存储量和运算量非常大,导致运算速度缓慢.紧致隐积分因子方法[19]通过引入离散矩阵的紧致表达式并在各个方向进行矩阵的指数运算,使得中央处理器(CPU)的存储大大降低,计算速度也得到了显著提高.本文内容安排如下:第2节对反应扩散方程组进行线性分析,通过特征值解释图灵斑图的数学机理,然后以Gierer-Meinhardt模型为例分析系统处于稳定状态和不稳定状态时各参数需要满足的条件,进而探索斑图形成需要满足的条件;第3节研究数值方法,在空间离散条件下采用Chebyshev谱方法,时间离散条件下采用紧致隐积分因子方法,用MATLAB进行编程求解;第4节给出大量数值实验并对理论分析结果进行验证.2 图灵斑图的形成2.1 斑图形成的数学机理首先考虑(1)式没有扩散项,假设存在惟一的均匀定态解(u0,v0),即常数u0,v0满足令U=u−u0,V=v−v0,并在(u0,v0)处线性化后得到如下系统:式中c11=fu(u0,v0), c12=fv(u0,v0),c21=gu(u0,v0),c22=gv(u0,v0).均匀定态解(u0,v0)在没有扩散时是稳定的,这等价于相应的特征值问题的矩阵的特征值实部是负数.考虑加入扩散项后的反应扩散方程组((1)式).如果此时产生斑图,即(u0,v0)是不稳定的,要求特征值有正实部.所谓不稳定,体现为两种反应物的扩散速度不同,从而引起失稳.对(1)式作线性化处理,研究特征值正实部引起的线性不稳定性,进而推导出原方程的不稳定性.对均匀定态解(u0,v0)作一个微扰,可得线性微扰方程为求解如下方程可得相应的特征值:式中λ为特征值.只要(5)式中的特征值有正实部,则(u0,v0)对于(1)式是不稳定的.考虑到齐次Neumann边界条件,得到(5)式所对应的特征值为具体推导过程见附录A.2.2 Gierer-Meinhardt模型生物的发育过程是复杂的,其中重要的是形态形成阶段,与之对应的是生物体内器官的形成.由于该阶段的重要性,渐渐形成一个新的领域——形态学,主要研究导致细胞分化和定位因素的浓度对组织器官的影响.Gierer-Meinhardt模型是由Gierer和Meinhardt在研究激活物和抑制剂两种不同物质的产生和扩散时建立的[20],之后Gierer和Meinhardt利用数值方法导出一维和二维空间区域中上述系统产生多样斑图的条件.Gierer-Meinhardt模型被广泛应用于形态形成过程中一些基本现象的研究,最近的一些工作可以参见文献[21—23].以Gierer-Meinhardt模型为例,结合上述理论分析,计算产生斑图时需要满足的条件.取(1)式中其中系数κ,η,ε为系统的控制参数,固定η=0.1,ε=0.04.由此得到线性化系统(3)式中的系数为易得该系统的特征值为λ1= −1.2984,λ2=−7.7016,此时系统是稳定的.加入扩散项后,原方程组对应的特征问题为相应的特征方程为为使(8)式含有正实部的特征值,需要考虑两种情况.第一种情况是两个特征值异号,则应满足图1 特征值的实部Re(λ)随参数的变化(a)κ=0.0128;(b)κ=0.0152;(c)κ=0.008Fig.1.Real part Re(λ)of eigenvalues varying with parameters:(a)κ=0.0128;(b)κ=0.0152;(c)κ=0.008.经过化简可以得到此时应满足得0.0093248.第二种情况是两个特征值都是正的,应满足此时κ无解.由于反应扩散方程组联系于解析半群,所以线性化后的正实部特征值引起的不稳定性可以推导出原方程组的不稳定性.故当κ＞κ0=0.0093248时,系统处于不稳定状态,因而系统能够产生斑图.特征值的实部Re(λ)在参数κ取不同值时的变化如图1所示.从图1可以看出,当κ = 0.0128＞κ0和κ=0.0152＞κ0时,特征值的实部会出现正值,此时系统不稳定;当κ=0.008＜κ0时,特征值的实部始终为负,系统最后会达到稳定状态.第3节将用数值算例验证该结论.3 数值方法3.1 Chebyshev谱配置法将求解区域[−1,1]2离散为Gauss-Lobatto网格,即其中Nx和Ny是正整数.对于一般的求解区域Ω=[a,b]×[c,d],可以采用公式将区域转化为[−1,1]2.在网格Th中将u(x,y)数值解定义为矩阵形式,U∈R(Nx−1)×(Ny−1),式中ui,j表示u在网格点(xi,xj)的数值解.引入Chebyshev一阶微分矩阵和二阶微分矩阵(具体推导过程见附录B).则u(x,y)关于x的二阶偏导数在配置点的值,可以用矩阵乘积的形式近似为矩阵Ax是在Chebyshev二阶微分矩阵基础上考虑Neumann边界条件得到的,其中同样地,对于y的二阶偏导数,有UAy,其中矩阵Ay定义同Ax.借助谱微分矩阵,可将方程中的Laplace算子离散成矩阵乘积的形式,即将Chebyshev谱配置方法应用于反应扩散方程,得到其半离散形式为式中3.2 紧致隐积分因子法将对空间离散后得到的非线性常微分方程组((12)式)采用紧致隐积分因子方法进行时间离散.定义时间步长为τ=Δt,第n层时间步为tn=nτ,n=0,1,2,···. 在(12)式两端同时左乘指数矩阵e−Axt,右乘指数矩阵e−Ayt.为描述方便,取(10)式c=1,d=1,可将(12)式中第一个等式写为将时间离散为0=t0＜t1＜···,将(13)式在一个时间步长内关于时间积分,并用梯形公式近似可得二阶紧致隐积分因子格式为进一步化简得在非线性方程组(13)式中,右端第一项可以通过矩阵乘积得到,右端第二项采用Picard迭代方法求解:同理处理(12)式中第二个等式可得该方法中矩阵eAxΔt和eAyΔt的阶数分别为Nx×Nx和Ny×Ny.在空间网格剖分量很大时,该方法可以降低存储量和运算量,使计算速度更快.4 数值算例对于前述Gierer-Meinhardt模型,取Ω =(−1,1)× (−1,1),η=0.1,c=0.04,κ 是不固定的参数.设其中图2 取κ=0.0128时Gierer-Meinhardt模型形成的斑图(a)t=20;(b)t=80;(c)t=170;(d)t=270;(e)t=320;(f)t=340;(g)t=500;(h)t=600;(i)t= 900Fig.2.Turing patterns in Gierer-Meinhardt model whenκ=0.0128:(a)t=20;(b)t=80;(c)t=170;(d)t=270;(e)t=320;(f)t=340;(g)t=500;(h)t =600;(i)t=900.4.1 数值算例I取κ=0.0128,N=100,h=2/100=0.02,τ=0.1h,t取图2所示各值时,得到对应的图像.由图2可知,随着时间的推移,初始扰动不断增强扩大,最终形成清晰的斑图.4.2 数值算例II取κ=0.0152,t取图3所示各值,其他参数与算例I相同,可得到t取不同值时对应的图像.由图3可知,随着时间的推移,初始扰动不断增强扩大,最终形成清晰的斑图. 图3 取κ=0.0152时Gierer-Meinhardt模型形成的斑图(a)t=30;(b)t=80;(c)t=90;(d)t=140;(e)t=160;(f)t=290;(g)t=520;(h)t=620;(i)t=9 90Fig.3.Turing patterns in Gierer-Meinhardt model whenκ=0.0152:(a)t=30;(b)t=80;(c)t=90;(d)t=140;(e)t=160;(f)t=290;(g)t=520;(h)t= 620;(i)t=990.4.3 数值算例III取κ=0.008,其他取值与算例II相同,t取不同值时对应的图像如图4所示.由图4可知,随着时间的推移,系统达到稳定状态,反应扩散模型不能形成斑图.由数值模拟结果来看,其他条件一定的情况下,κ取不同值对于产生斑图有重要的影响.数值模拟结果与理论结果一致.此外,我们也对周期性边界条件的Gierer-Meinhardt模型采用Fourier谱方法进行数值求解,结果显示周期边界条件对斑图的形状几乎没有影响.5 结论介绍了图灵斑图形成的数学机理,并结合Gierer-Meinhardt模型,分析系统不稳定状态的各系数需要满足的条件,即产生斑图的条件.运用紧致隐积分因子方法大大减少了存储和CPU运算时间,该方法对于大时间数值模拟是一个高效、高精度的数值方法.数值算例模拟了斑图形成的过程,验证了理论分析结果.这些结论还可应用于求解带有分数阶的反应扩散方程组.图4 取κ=0.008时Gierer-Meinhardt模型形成的斑图(a)t=30;(b)t=80;(c)t=90;(d)t=140;(e)t=160;(f)t=220;(g)t=290;(h)t=270;(i)t=9 90Fig.4.Turing patterns in Gierer-Meinhardt model whenκ=0.008:(a)t=30;(b)t=80;(c)t=90;(d)t=140;(e)t=160;(f)t=220;(g)t=290;(h)t=2 70;(i)t=990.附录A 图灵斑图的形成机理首先在区域Ω⊂RN(N=1,2)内考虑带有齐次Neumann边界条件的Laplace算子的特征值问题.一维情况下,特征值问题为式中a∈R+.特征值问题可表示为µ2−λ=0,解得只有λ＜ 0时可解得特征值λk= −(kπ/a)2,且特征值所对应的特征函数为在二维情况下,特征值问题为式中a,b∈R+,应采用分离变量法求解特征值. 设u=X(x)Y(y),代入方程得设解得故特征值为λk,l=且特征值所对应的特征函数为考虑方程组的特征值问题,令代入原方程组可得设则方程组可化为当方程组(A3)有非零解,满足此时方程组所对应的特征值为附录B 谱微分矩阵定义在[−1,1]上的标准k阶Chebyshev多项式Tk(x)为 Tk(x)=cos(k arccosx),k=0,1,2,···. 令x=cosz,则有Tk=coskz,满足如下递推关系:Tk(x)在[−1,1]上的N+1个Gauss-Lobatto点值为零:设N阶多项式uN(x)∈PN在上述配置点xj满足uN(xj)=u(xj),则有式中hj(x)为N阶Lagrange基函数.用配置法求解未知量在网格点处的值,需要表示配置点处的导数值.对(B3)式求p阶导数,得式中系数从而可得一阶谱微分矩阵其中这里二阶谱微分矩阵可以由一阶谱微分矩阵平方得到,即参考文献[1]Turing A M 1952 Philos.Trans.R.Soc.Lond.B 2 37[2]Li X Z,Bai Z G,Li Y,Zhao K,He Y F 2013 Acta Phys.Sin.62 220503(inChinese)[李新政,白占国,李燕,赵昆,贺亚峰2013物理学报62 220503][3]Zhang L,Liu S Y 2007 Appl.Math.Mec.28 1102(in Chinese)[张丽,刘三阳2007应用数学和力学28 1102][4]Li B,Wang M X 2008 Appl.Math.Mec.29 749(in Chinese)[李波,王明新2008应用数学和力学29 749][5]Hu W Y,Shao Y Z 2014 Acta Phys.Sin.63 238202(in Chinese)[胡文勇,邵元智2014物理学报 63 238202][6]Peng R Wang M 2007 Sci.China A 50 377[7]Copie F,Conforti M,Kudlinski A,Mussot A,Trillo S 2016 Phys.Rev.Lett.116 143901[8]Tompkins N,Li N,Girabawe C,Heymann M,Ermentrout G B,Epstein IR,Fraden S 2014 A 111 4397[9]Lacitignola D,Bozzini B,Frittelli M,Sgura I 2017 Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simul.48 484[10]Gaskins D K,Pruc E E,Epstein I R,Dolnik M 2016 Phys.Rev.Lett.117 056001[11]Zhang R P,Yu X J,Zhu J,Loula A 2014 Appl.Math.Model.38 1612[12]Zhang R P,Zhu J,Loula A,Yu X J 2016 put.Appl.Math.302 312[13]Bai Z G,Dong L F,Li Y H,Fan W L 2011 Acta Phys.Sin.60 118201(in Chinese)[白占国,董丽芳,李永辉,范伟丽2011物理学报60 118201][14]Zhang R,Zhu J,Yu X,Li M,Loula A F D 2017 put.310 194[15]Lv Z Q,Zhang L M,Wang Y S 2014 Chin.Phys.B 23 120203[16]Wang H 2010 mun.181 325[17]Hoz F D L,Vadillo 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Brusselator反应扩散模型的稳定性、TURing不稳定性和Hopf分支
Brusselator反应扩散模型的稳定性、TURing不稳定性和Hopf分支Brusselator反应扩散模型的稳定性、Turing不稳定性和Hopf分支引言：自然界中的许多现象都可以用数学模型来描述和解释，其中一个经典的模型就是反应扩散模型。
反应扩散模型是指一类描述化学物质在空间中通过反应和扩散两种过程相互作用的数学模型。
Brusselator反应扩散模型是其中一种经典的反应扩散模型，它可以模拟生物体内的许多现象，如细胞周期、皮肤斑点等。
Brusselator反应扩散模型的基本概念和方程：Brusselator反应扩散模型是由Belousov-Zhabotinsky反应中的一个简化模型推导而来。
该模型可以描述两种物质A和B 之间的相互作用，并考虑它们在空间中的扩散过程。
Brusselator反应扩散模型的方程可以用如下形式表示： $\frac{{\partial A}}{{\partial t}} = D_A \nabla^2 A + a - (b+1)A + A^2B$$\frac{{\partial B}}{{\partial t}} = D_B \nabla^2 B + bA - A^2B$其中，A和B分别代表两种物质的浓度，t代表时间，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子，$a$和$b$是反应参数，$D_A$和$D_B$是扩散系数。
稳定性分析：稳定性分析是研究动力系统系统行为的一种方法。
对于Brusselator反应扩散模型，我们可以通过线性稳定性分析来探究模型在不同参数条件下的稳定性。
线性稳定性分析是通过将非线性方程在平衡点附近进行线性化处理来实现的。
通过计算线性化方程的特征值，可以确定平衡点的稳定性。
研究表明，当系统处于平衡点时，如果特征值的实部为负数，则该平衡点是稳定的，系统会回到该平衡点；如果特征值的实部存在正数，则该平衡点是不稳定的，系统会远离该平衡点。
Turing不稳定性：Turing不稳定性是指在某些情况下，一个均匀的平衡状态会由于微小的扰动而发生不稳定，导致形成空间上的非均匀分布。
211153705_盐沼生态系统中植物和硫化物相互作用模型的稳定性分析
第48卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2023年4月V o l.48N o.4 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A p r.2023D O I:10.13718/j.c n k i.x s x b.2023.04.008盐沼生态系统中植物和硫化物相互作用模型的稳定性分析①尹甜,喻凤斯,黄启华西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:研究了一类描述硫化物与植被相互作用反应扩散模型的空间动力学行为,通过线性稳定性分析以及构造L i a p u n o v函数来讨论平衡点的局部稳定性与全局稳定性,并通过数值模拟验证了理论分析的结果.关键词:反应扩散;平衡点;全局稳定性中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:10005471(2023)04006007 S t a b i l i t y A n a l y s i s o f t h e I n t e r a c t i o n M o d e l B e t w e e nP l a n t sa n dS u l f i d e s i nS a l tM a r s hE c o s y s t e m sY I N T i a n, Y U F e n g S i, HU A N G Q i h u aS c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y,C h o n g q i n g400715,C h i n aA b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,t h e s p a t i a l d y n a m i cb e h a v i o r o f a r e a c t i o n-d i f f u s i o n m o d e l d e s c r i b i n g t h e i n t e r a c-t i o nb e t w e e ns u l f i d ea n dv e g e t a t i o n i ss t u d i e d.T h e l o c a l s t a b i l i t y a n d g l o b a l s t a b i l i t y o f t h ee q u i l i b r i u m p o i n t s a r e d i s c u s s e d b y l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s a n d t h e c o n s t r u c t i o n o f L i a p u n o v f u n c t i o n.A n d t h e t h e o r e t-i c a l a n a l y s i s r e s u l t s a r e v e r i f i e d t h r o u g hn u m e r i c a l s i m u l a t i o n.K e y w o r d s:r e a c t i o n-d i f f u s i o n;e q u i l i b r i u m p o i n t;g l o b a l s t a b i l i t y在许多生态系统中普遍存在空间自组织模式,如干旱生态系统㊁淡水与盐沼系统㊁珊瑚礁等等.实验和理论模型都强调这些自组织模式可以揭示驱动生态系统复原力的潜在机制,因此有利于帮助我们推断生态系统的环境变化.在盐沼系统中植被模式的空间动力学行为受多重因素影响,例如养分消耗㊁硫化物积累和毒性都是制约盐沼植被发育的因素.另一方面,研究表明植物的生长会促进土壤中硫化物的浓度增长.受文献[1]的启发,主要对盐沼系统中植被与硫化物相互作用的机理进行研究.我们首先考虑一个描述植物和硫化物相互作用的常微分方程模型,分析平衡点的存在性㊁局部[2-5]和全局稳定性[6-9],获得植物和硫化物共存的条件以及导致植物灭绝的条件等.接下来考虑到植被和硫化物的空间扩散[10-15].我们将常微分方程模型延伸到反应扩散方程模型,进一步分析扩散对常数稳态解的影响.研究结果表明扩散系数不影响常数稳态解的局部和全局稳定性,即不会产生图灵不稳定性.最后,我们用数值模拟验证理论分析的结果.①收稿日期:20220321作者简介:尹甜,硕士研究生,主要从事生物数学及动力系统理论及其应用研究.通信作者:黄启华,教授,博士研究生导师.1 常微分系统的稳定性分析考虑如下植物硫化物的反馈模型:d P d T =r P 1-P K æèçöø÷-c P S dS d T =I i n -d S +b P ìîíïïïï(1)其中:P =P (T )表示T 时刻土壤中植物的密度,S =S (T )表示T 时刻土壤中硫化物的浓度,r P 1-P K æèçöø÷表示植物呈L o g i s t i c 型增长,c P S 表示有害的硫化物会导致植物的死亡,I i n 指无植被土壤中硫化物浓度的沉积率,d S 表示单位时间内硫化物浓度的衰减,b P 表示植物促进硫化物浓度的增长.模型(1)中所有的参数都是正数,其中:r 表示植物的最大增长率,K 是环境容纳量,c 表示因硫化物引起的植物的最大死亡率,d 为解毒系数即土壤中硫化物减少的系数,b 表示植物促进硫化物增长的最大转化率.为便于对模型(1)进行理论分析,我们引进以下无量纲化的变量和参数:p =P K ,s =crS ,t =r T 则模型(1)可以无量纲化为d p d t =p (1-p )-p s =әf (p ,s )d s d t =α+γp -βs =әg (p ,s )ìîíïïïï(2)这里:α=I i nc r 2,β=d r ,γ=b c K r2.令d p d t =d s d t=0,我们发现模型(2)总是存在边界平衡点E 0=0,αβæèçöø÷,正平衡点E *=(p *,s *)=β-αβ+γ,α+γβ+γæèçöø÷存在当且仅当β>α.为了分析平衡点E 0和E *的稳定性,我们在平衡点处对模型(2)进行线性化得到对应的J o c a b i 矩阵为J =f p f s g p g s æèçöø÷=1-2p -s -p γβæèçöø÷于是在E 0处,J (E 0)=β-αβ0γ-βæèçççöø÷÷÷在E *处,J (E *)=α-ββ+γα-ββ+γγ-βæèçççöø÷÷÷因此t r (J (E 0))=1-β-αβ,d e t (J (E 0))=α-β;t r (J (E *))=α-ββ+γ-β,d e t (J (E *))=β-α于是,我们有以下定理:定理1 (i )当β<α时,模型(2)只存在一个边界平衡点E 0,且E 0是局部渐近稳定的;(i i )当β>α时,模型(2)存在两个平衡点E 0与E *,其中E *是局部渐近稳定的,E 0是鞍点.16第4期 尹甜,等:盐沼生态系统中植物和硫化物相互作用模型的稳定性分析引理1[14](L a s a l l e 不变原理)设在平衡点的邻域U 内存在正定函数V (x ),且V (x )沿着模型(2)轨线的全导数V ㊃(x )是半负定的.若集合M ={x |V ㊃(x )=0}内除平衡点外,不再包含系统的其他轨线,则模型(2)的平衡点是渐近稳定的.于是为了讨论正平衡点E *的全局稳定性,可取L i a pu n o v 函数V 1(p ,s )=ʏpp *ξ-p *ξd ξ+ʏss *η-s *γd η,(p ,s )ɪU (p *,s *),x ɪΩ⊆R + 因为当p >p *时,ʏp p *ξ-p *ξd ξ>0,当p <p *时,ʏp p *ξ-p *ξd ξ=ʏp *p p *-ξξd ξ>0;同理当s >s *时,ʏs s *η-s *γd η>0,当s <s *时,ʏs s *η-s *γd η=ʏs *s s *-ηγd η>0.于是V 1(p ,s )>0,其中(p ,s )ɪU (p *,s *).因为d V 1d t =p -p *pd p d t +s -s *γd sd t =p -p *p[p (1-p )-p s ]+s -s *γ(α+γp -βs )=(p -p *)(1-p -s )+1γ(s -s *)(α+γp -βs )(3)将1-p *-s *=0,α+γp *-βs *=0代入(3)式得d V 1d t =(p -p *)(p *+s *-p -s )+1γ(s -s *)(-γp *+βs *+γp -βs )=-(p -p *)2-βγ(s -s *)2于是对任意(p ,s )ʂ(p *,s *)都有d V 1d t <0恒成立,因此由引理1可知模型(2)的共存平衡点E *是全局渐近稳定的.2 偏微分系统的稳定性分析接下来考虑到植物和硫化物的空间扩散,我们将常微分方程模型(2)延伸至如下的反应扩散模型: p t =p (1-p )-p s +d Δp , (x ,t )ɪΩˑ(0,ɕ) s t =α+γp -βs +Δs ,(x ,t )ɪΩˑ(0,ɕ) p υ= s υ=0,(x ,t )ɪ Ωˑ(0,ɕ)p (x ,0)=p 0(x )ȡ0,≢0,x ɪΩs (x ,0)=s 0(x )ȡ0,≢0,x ɪΩìîíïïïïïïïïïï(4)其中:p =p (x ,t ),s =s (x ,t )分别代表t 时刻x 处的土壤中植物的密度和硫化物的浓度,d Δp 和Δs 分别代表植物和硫化物的扩散速率,其中Δ是拉普拉斯算子,Ω⊂R 是边界光滑的有界域,模型(4)的第三个方程表示N e u m a n n 边界条件,υ是边界 Ω上的单位外法向量,模型(4)的第四和第五个方程表示植物和硫化物的初始分布,p 0(x )和s 0(x )都是Ω上的连续函数.设0=μ0<μ1<μ2< 是Ω上考虑N e u m a n n 边界条件时算子Δ的特征值.设X =(p ,s )ɪ[C 1(Ω)]2| p υ= s υ=0{},将X 分解为直和形式X =⊕ɕi =1X i ,这里X i 是特征值μi 26西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷对应的特征空间(i =0,1,2, ).定理2 (i )当β<α时,模型(4)的常数稳态解E 0是局部渐近稳定的;(i i )当β>α时,模型(4)的常数稳态解E 0是不稳定的.证 在E 0处对模型(4)进行线性化,有 t p s æèçöø÷=L p s æèçöø÷+f p -0,s -αβæèçöø÷g p -0,s -αβæèçöø÷æèççççöø÷÷÷÷其中L =f p +d Δf s g p gs +Δæèçöø÷=β-αβ+d Δ0γ-β+Δæèçççöø÷÷÷这里f (ε1,ε2)=o (ε21+ε22),g (ε1,ε2)=o (ε21+ε22).X i 是不变子空间,并且μi 是L 在X i 上的特征值当且仅当λi 是矩阵M i 的特征值,M i =β-αβ-d μi 0γ-β-μi æèçççöø÷÷÷于是t r (M i )=-β2+β-αβ-μi -d μi d e t (M i )=d μ2i +βd +α-ββæèçöø÷μi +α-β从而(i )当β<α时,t r (M i )<0,d e t (M i )>0,λʃi 都有负实部(i =0,1,2, );(i i )当β>α时,存在μi 使得d e t (M i )<0即λ-i 有负实部,λ+i 有正实部(i =0,1,2, ):[t r (M i )]2-4d e t (M i )>[t r (M i )]2>0则R e (λ-i)=12{t r (M i )-[t r (M i )]2-4d e t (M i )}<0R e (λ+i)=12{t r (M i )+[t r (M i )]2-4d e t (M i )}>0定理3 当β>α时,模型(4)的常数稳态解E *是局部渐近稳定的.证 对模型(4)在E *处线性化,有 t p s æèçöø÷=L p s æèçöø÷+f (p -p *,s -s *)g (p -p *,s -s *)æèçöø÷其中L =f p +d Δf s g p gs +Δæèçöø÷=α-ββ+γ+d Δα-ββ+γγ-β+Δæèçççöø÷÷÷这里f (ε1,ε2)=o (ε21+ε22),g (ε1,ε2)=o (ε21+ε22).X i 是不变子空间,并且μi 是L 在X i 上的特征值当且仅当λi 是矩阵M i 的特征值,M i =α-ββ+γ-d μi α-ββ+γγ-β-μi æèçççöø÷÷÷于是36第4期 尹甜,等:盐沼生态系统中植物和硫化物相互作用模型的稳定性分析t r (M i )=α-ββ+γ-β-μi -d μi d e t (M i )=d μ2i +βd +β-αβ+γæèçöø÷μi +β-α从而当β>α时,t r (M i )<0,d e t (M i )>0,λʃi 都有负实部(i =0,1,2, ):(i )若[t r (M i )]2-4d e t (M i )ɤ0,则R e (λʃi )=12t r (M i )ɤα-ββ+γ-β<0(i i )若[t r (M i )]2-4d e t (M i )>0,则R e (λ-i )=12{t r (M i )-[t r (M i )]2-4d e t (M i )}<t r (M i )2ɤα-ββ+γ-β<0R e (λ+i )=12{t r (M i )+[t r (M i )]2-4d e t (M i )}=2d e t (M i )t r (M i )-[t r (M i )]2-4d e t (M i )<2d e t (M i )t r (M i )<-δi <0因此L 的特征值都具有负实部.为了讨论模型(4)正解的全局稳定性,需要给出以下引理.引理2 l i m t ң+ɕs u p m a x Ωp (x ,t )ɤ1,l i m t ң+ɕs u p m a x Ωs (x ,t )ɤα+γβ.证 考虑模型p 1 t =p 1(1-p 1)+d Δp 1, (x ,t )ɪΩˑ(0,ɕ) p 1 υ=0,(x ,t )ɪ Ωˑ(0,ɕ)p 1(x ,0)=p 0(x )ȡ0,≢0,x ɪΩìîíïïïïïï(5)设(p (x ,t ),s (x ,t ))是模型(4)的正解,p 1(x ,t )是模型(5)的解,于是由比较原理可得0<p (x ,t )<p 1(x ,t ),t >0,x ɪΩ接下来考虑常微分系统z t =z (1-z ),t >0z (0)=z 0>0{(6)易知系统(6)的解z (t )满足l i m t ң+ɕz (t )=1,再次由比较原理可得l i m t ң+ɕs u p ma x Ωp (x ,t )ɤ1.同理可得l i m t ң+ɕs u p ma x Ωs (x ,t )ɤα+γβ定理4 当β>α时,模型(4)的常数稳态解E *存在并且是全局渐近稳定的;当β<α时,模型(4)的常数稳态解E 0是全局渐近稳定的.证 构造L i a pu n o v 函数V 2(t )=ʏΩV 1(p ,s )d x =ʏΩʏp p *ξ-p *ξd ξ+ʏss *η-s *γd ηæèçöø÷dx d V 2d t=ʏΩd V 1d t +p -p *pd Δp +s -s *γΔs éëêêùûúúd x 由分步积分公式以及N e u m a n n 边界条件,得d V 2d t=ʏΩd V 1d td x +d ʏΩp -p *p pυd x -ʏΩp *p2d |∇p |2d x +46西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷ʏ Ωs -s *p s υd x -ʏΩ1γ|∇s |2éëêêùûúúd x =ʏΩd V 1d t -p *p2d |∇p |2-1γ|∇s |2éëêêùûúúd x <0因此l i m t ң+ɕ|p (x ,t )-p *|=l i m t ң+ɕ|s (x ,t )-s *|=0,常数稳态解E *关于模型(4)是全局渐近稳定的.常数稳态解E 0的全局稳定性同上可证,只需取V 1(p ,s )=V (s )=ʏsαβη-αβγd η即可.3 数值模拟取参数α>β与α<β时模型(2)与模型(4)平衡点稳定性的情况如图1,2所示.图1 模型(2)平衡点的稳定性图2 模型(4)平衡解的稳定性由图1可知当α>β时,模型(2)的平衡点E 0是全局渐近稳定的;当α<β时,模型(2)的平衡点E *是全局渐近稳定的.由图2可知取d =100,当α>β时,模型(4)的常数平衡解E 0是全局渐近稳定的;当α<β时,模型(4)的常数稳态解E *是全局渐近稳定的.4 结果与展望本文在文献[1]的模型基础上稍有改动,考虑的是植被呈L o gi s t i c 增长,硫化物浓度升高受土壤中硫化56第4期 尹甜,等:盐沼生态系统中植物和硫化物相互作用模型的稳定性分析66西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.e d u.c n第48卷物的沉积以及植物的促进两方面的影响.研究结果表明该模型的正平衡点在有无扩散的情况下都是全局稳定的,而植被的生长受多种因素的影响,因此研究营养物质与植被生长的关系也是十分有意义的.参考文献:[1]Z HA O LX,Z HA N G K,S I T E U RK,e t a l.F a i r y C i r c l e sR e v e a l t h eR e s i l i e n c e o f S e l f-O r g a n i z e dS a l tM a r s h e s[J].S c i-e n c eA d v a n c e s,2021,7(6):e a b e1100.[2]马知恩,周义仓,李承治.常微分方程定性与稳定性方法[M].2版.北京:科学出版社,2015:46-57.[3] R A OF.S p a t i o t e m p o r a l D y n a m i c s i n aR e a c t i o n-D i f f u s i o nT o x i c-P h y t o p l a n k t o n-Z o o p l a n k t o nM o d e l[J].J o u r n a l o f S t a t i s-t i c a lM e c h a n i c s:T h e o r y a n dE x p e r i m e n t,2013,2013(8):P08014.[4] D U B E YB,K UMA R IN,U P A D H Y A YRK.S p a t i o t e m p o r a l P a t t e r nF o r m a t i o n i n aD i f f u s i v eP r e d a t o r-P r e y S y s t e m:a nA n a l y t i c a lA p p r o a c h[J].J o u r n a l o fA p p l i e d M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t i n g,2009,31(1):413-432.[5] H S USB.AS u r v e y o fC o n s t r u c t i n g L y a p u n o vF u n c t i o n s f o rM a t h e m a t i c a lM o d e l s i nP o p u l a t i o nB i o l o g y[J].T a i w a n e s eJ o 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一类带有非线性交错扩散的捕食者-食饵系统的图灵不稳定性和空间模式
一类带有非线性交错扩散的捕食者-食饵系统的图灵不稳定性和
空间模式
本文主要研究如下的带有非线性交错扩散和Beddington-De Angelis型功能性反应的捕食者-食饵系统的图灵不稳定性与稳态问题（?）其中Ω（?）R为边界（?）Ω光滑的有界区域,n是边界（?）Ω上的单位外法向量,参数d<sub>i</sub>,α<sub>i</sub>,β<sub>i</sub>（i=1,2）,K,a,b,d,e,m都是正常数.初值
u<sub>0</sub>和v<sub>0</sub>是不恒为零的非负光滑函数,而函数u（x,t）和v（x,t）则分别表示食饵与捕食者在空间位置x处t时刻的种群密度.本文首先在第二章应用线性化方法研究了该系统及相应反应系统的唯一正常数解的稳定性,并得到了图灵斑图出现的一些充分条件.研究结果表明,充分大的交错扩散率β<sub>1</sub>也许会导致图灵不稳定性的发生.接着为了计算拓扑度,第三章利用最大值原理和Harnack不等式给出了问题（1.5）的正稳态解的先验估计.第四章则首先讨论了在交错扩散消失的情况下非常数正稳态解的不存在性,并进一步建立了交错扩散系统（1.5）的非常数正稳态解的存在性,证明了充分大的交错扩散系数β<sub>1</sub>或β<sub>2</sub>能够创造非常数正稳态解.本文的结果表明,充分大的食饵交错扩散率不仅会导致图灵不稳定性现象的出现,而且会导致非常数正稳态解的出现。
关于图灵机的三个问题
写这篇文章，是想尝试回答学习图灵机模型中遇到的三个问题：1) 为什么图灵机有不可判的问题？2) 为什么强大的图灵机会不停机？3) 为什么图灵当初要设计图灵机？图灵机（Turing machine）是英国数学家阿兰·图灵（Alan Turing）于1936年设计的一种抽象机器，用于定义和模拟计算（computing）。
图灵机虽然构造简单，但却及其强大，它能模拟现代计算机的所有计算行为，堪称计算的终极机器。
然而即便是这个终极机器，也有令它无能为力的问题，这便是第一个要回答的问题：为什么图灵机有不可判的问题？首先明确什么是图灵可识别（Turing recognizable）和图灵可判定（Turing decidable）。
图灵机的识别对象是语言，图灵可识别当然不是说图灵本人能识别的语言（照这样说汉语可能是图灵不可识别的~），事实上这只是简称，全称应该是图灵机可识别语言（Turing machine recognizable language）和图灵机可判定语言（Turing machine decidable language）。
一台图灵机在读取一个串后可能进入三种状态：接受、拒绝、循环，如果图灵机进入循环状态，那它将永不停机。
现在假设有语言A，如果能设计出一台图灵机M，对于任意字符串ω，如果ω∈A，那么M读取ω后会进入接受状态，那么A是一个图灵可识别语言。
注意这个定义对于ω不属于A的情况没有做出限制，所以M读取到不属于A的ω，那么它有可能拒绝，也有可能循环。
图灵可判定语言的要求更严格，它要求对于语言A能设计出一台图灵机M：如果ω∈A，M 进入接受状态；否则进入拒绝状态。
如果一个语言是图灵可判定的，总能设计出一台图灵机，能在有限步数内判定一个字符串是不是属于这个语言。
如果一台图灵机对所有输入总是停机，那么称它为判定器（decider）。
然而第一个问题指明一定有所有判定器都不能判定的问题，要证明这一点，得从康托（Georg Cantor）说起。
一种新的图灵斑图体系的形成及影响因素
一种新的图灵斑图体系的形成及影响因素作者：李桂林来源：《化学教学》2014年第01期摘要：探究了一种新的产生图灵斑图的反应体系，并且在实验中观察到了三维图灵斑图的产生。
探讨了不同形状器皿中图灵斑图形成的可能性，以及在不同温度、溶液深度、浓度、外加磁场、电场等条件下图灵斑图形成的特点。
关键词：图灵斑图体系；实验观察；三维图灵斑图文章编号：1005–6629（2014）1–0049–04 中图分类号：G633.8 文献标识码：B“斑图”是在空间或时间上具有某种规律性的非均匀宏观结构，普遍存在于自然界。
从热力学角度观察，自然界的斑图可分为两类：第一类是存在于热力学平衡态条件下的斑图，如无机化学中的晶体结构、有机聚合物中自组织形成的斑图；第二类为离开热力学平衡态条件下产生的斑图，如天上的条状云、水面上的波浪、动物的体表的花纹。
当置身于大自然时，我们不仅会为大自然的巧夺天工而赞叹。
老虎的斑纹、鱼的条纹、向日葵的花苞，这些美丽的图案世代相传，且形状基本保持不变。
1952年，被后人称为计算机科学之父的著名英国数学家图灵（A.M.Turing）把他的目光转向生物学领域。
他在著名论文“形态形成的化学基础”中[1]，从数学角度表明，在反应扩散系统中，稳定均态会在某些条件下失稳，并自发产生空间定态图纹。
此过程被后人明文为“图灵斑图”。
图灵用一个反应扩散模型成功地说明了某些生物体表面所显示的图纹（如斑马身上的斑图）是怎样产生的。
可以设想，在生物胚胎发育的某个阶段，生物体内某些被称为“形态子”的生物大分子与其他反应物发生生物化学反应，同时在体内随机扩散。
图灵的研究表明，在适当的条件下，这些原来浓度分布均匀的“形态子”会在空间自发地组织成一些周期性的结构，也就是说，“形态子”在空间分布变得不均匀，而正是这种“形态子”分布的不均匀性引起了生物体表面不同花纹的形成。
资料显示，目前世界上共有五个体系能产生图灵斑图，在一个偶然的机会，我们在中学实验室里找到了一种能产生图灵斑图的新的体系。
犻状犵不稳定性
烄 １ 犱１狌０烌，犙犽 代表了系统的非线性部分，定义为： 烆犱２狏０ 犱２２ 烎
犙犓
（狓，狔）＝
烄－２γ狓狌狔狌 －
Γ 烆
狓狌狔狏
（狓狌狔狏 ＋狓狏狔狌）烌，
＋狓狏狔狌
烎
其中狓 ＝ （狓狌，狓狏）和狔 ＝ （狔狌，狔狏）．最后，公式（１５）的最后两项是非线性扩散项．
第４期
徐瑞，等：带有交叉扩散项的反应扩散系统的 Ｔｕｒｉｎｇ 不稳定性
分离系统的线性与非线性部分后，改写带有扰动狑 ＝ （狑狌，狑狏）的系统（２）为如下形式：
（ ） （ ） 狋狑
＝ 犔犱狑 ＋ １ ２犙犓 （狑，狑）＋犱１
狑狌
２狑狏 ＋ 狑狌·狑狏 ０
０ ＋犱２ 狑狏 ２狑狌 ＋ 狑狏·狑狌
．
（１５）
这里有 一 个 依 赖 于 分 支 参 数 犱 的 线 性 算 子 犔犱 ＝ Γ犑 ＋ 犇犱 ２ 和 一 个 双 线 性 算 子 犙犽 ，这 里 的 犇犱 ＝
种群的密度梯度来减少另一类种群的变迁情 形．这 就 是 说，对 于 一 大 类 捕 食被 捕 食 或 竞 争 动 力 学 没 有 自
动催化项的系统来看，无论扩散率是多少，经典的扩散项的扩 散都 是不能 充 分 揭 示 斑 图 的 形 成 原 因：在 这
些情况下，交叉扩散被用来解释斑图形成机理 ．值 ［３，５６］ 得 一 提 的 是，交 叉 扩 散 项 的 引 入 是 可 以 严 格 地 通 过
经被广泛地通过数值计算进行过研究 ． ［２０２２］
第 二 部 分 ，采 用 线 性 稳 定 性 分 析 研 究 共 存 奇 点 的 动 力 学 行 为 ，表 明 交 叉 扩 散 是 斑 图 形 成 的 重 要 原 因 之
一．第三部分，通过弱非线性分析，得到三次 ＳｔｕａｒｔＬａｎｄａｕ规范型振幅方程（但是，在次临界区域，必 须得 到五次 ＳｔａｕｒｔＬａｎｄａｕ规范型振幅方程来研究），以此预测形状和图案的振幅．在次临界区域，那里的线性 分析没有时间的振荡规定而只有 Ｔｕｒｉｎｇ模式，并且发现了 数字并 存 与 极 限 环 图 灵 模 式．这 些 发 现 同 样 证 实了这一结果，即使是没有 Ｈｏｐｆ分支或波不稳定，Ｔｕｒｉｎｇ不稳定性与交叉扩散的捕食模型也可以产 生时 空振荡的解 ．在 ［２３２４］ 文［２５２６］中也发现了振荡图 灵 斑 图 的 类 似 模 型．最 后，第 四 部 分，在 空 间 域 很 大 的 情 况 下 考 虑 空 间 调 制 斑 图 ，即 波 前 解 的 存 在 性 ，并 且 这 些 斑 图 模 式 是 有 次 序 地 侵 入 到 整 个 区 域 ．
数学家指定图灵模式出现的标准
数学家指定图灵模式出现的标准图灵模式是化学和生物系统中形成的结构的数学表达式，例如动物皮肤上的斑点和条纹。
RUDN大学的一个科学家团队发现，存在的传统数学条件无法描述现实生活中的全部范围，并且其出现的标准更加灵活。
研究结果颁发在《混沌：非线性科学交叉学科杂志》上。
图灵模式是出现在化学和生物系统中的不变结构，例如树木的叶子，动物的触手或动物皮肤上的斑点，它们都位于给定的距离上。
1952年，英国数学家艾伦·图灵(Alan Turing)预测了这种模式的存在。
在数学上，这些结构是由具有两个或多个彼此作用元素的反应扩散方程组来描述的。
RUDN大学的数学家团队扩大了在反应扩散系统中出现这些模式的通用标准范围。
按照图灵的标准模型，由两个元素组成的系统需要某些条件才能使图案出现。
要素之一应自我激活，即刺激自身进一步增长。
第二个要素应自我按捺，即不竭减少自身活动。
此外，后者的迁移率(或扩散系数)应高于前者的迁移率，其程度取决于其他系统参数的值。
但是，对于现实生活中的化学和生物系统而言，情况并非如此，其中活化剂和按捺剂的迁移率之间的差异通常很小。
因此，对于要形成的结构，其他系统参数只能具有较窄的值范围。
“图灵提出的机制是不不变的：模型参数的最小偶然改变可以阻止结构的形成，并且动物将没有皮肤图案或某些器官。
但是，比来的一些研究表白，在多组分系统中，图灵图案可以即，研究证实了存在具有一个固定元素的系统的存在，无论移动元素的扩散系数如何，都存在图灵模式，”马克西姆·库兹涅佐夫博士说。
RUDN大学生物医学数学模型中心的初级研究员。
按照该团队的说法，如果系统包含不成移动的元素(既不包含自激活剂也不包含自按捺剂)，则出现图灵模式的标准范围会大大扩大。
固定元素与移动元素之间的交互性质开始在此过程中发挥关键作用。
这种彼此作用有三种可能的类型：一种元素浓度的增加可以刺激另一种元素的生长，按捺它或对其完全没有作用。
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Turing 不稳定性及斑图形成摘要:在这篇文中，我们借助于浮游植物-浮游动物的数学模型来研究Turing 不稳定是如何产生的.首先介绍了Turing 不稳定产生的内在机理，给出了详细的过程，并且最终得出了产生Turing 不稳定的参数空间.然后在结合含有扩散项的浮游植物、浮游动物的捕食模型来研究该模型是否能够产生Turing 不稳定现象. 关键词：Turing 不稳定，捕食模型1.Turing 不稳定性1952年Turing 在文中《The chemical basis of morphogenesis 》一文中提出：如果参加相互反应的化学物质自身不存在扩散作用，经过一段时间反应后，它们会达到一定的平衡状态，即这些化学物质的浓度将会变得均匀. 但如果这些化学物质具有扩散作用的话，那么在某种条件下，这种均匀的平衡态将会被打破，变成不均匀的平衡态，这边是Turing 不稳定现象. 换句话说在同一个正常数平衡解处的常微风模型是稳定的，但对于加入扩散作用的偏微分方程模型却是不稳定的.本文借助于数学模型来说明发生Turing 不稳定性的条件. 海洋中存在着多种浮游植物和浮游动物，它们的关系非常的复杂，这里我们仅分别考虑一种浮游植物、一种浮游动物，并且这种浮游动物主要以这种浮游植物为食. 浮游植物会产生毒素，可以杀死一定量的浮游动物，进而来保护自己免受捕食.并且还考虑两种浮游生物在二维平面上的空间分布，从而引入其含有Laplacian 算子的扩散项。
Spatiotemporal dynamics toxic-phytoplankton-zooplankton model ：1P P aPZ rP t K P m Z bPZ cPZ dZ t P m P m∂⎛⎫=-- ⎪∂+⎝⎭∂=--∂++（1） 这里的参数均为正常数，其中()()=,,,,P P x y t Q x y t =，分别是能够产生毒素的浮游植物、浮游动物在t 时刻(),x y 处的密度，并且浮游植物产生的毒素可以杀死浮游动物且满足第二类功能性反应函数. 浮游植物服从Logistic 的增长方式，r为其内禀增长率，K 为其环境容纳量. 浮游动物捕食浮游植物满足第二类功能性反应函数，a 为捕食率，m 为半饱和常数. b 为浮游动物捕食浮游植物转化为自身增长的效率，d 为浮游动物的死亡率，c 为浮游植物产生毒素杀死浮游动物的概率，显然要满足b c >.对于模型（1）的各个平衡点处的稳定性在文献[1]中已经研究，这里不再详细介绍，仅仅在下面简单分析其正平衡态存在、稳定的条件. 下面我们在模型（1）的基础上，考虑其扩散项，从而得到如下的模型.Spatiotemporal dynamics in a reaction-diffusion toxic-phytoplankton-zooplankton model ：()()11221,,,P P aPZ rP D P f P Z D P t K P m Z bPZ cPZ dZ D Z g P Z D Z t P m P m∂⎛⎫=--+∆+∆ ⎪∂+⎝⎭∂=--+∆+∆∂++@@（2） 且满足非零的初始条件()()(),,00,,,00,[0,][0,]P x y Q x y x y Lx Lx >>∈Ω=⨯ 以及零边界条件()0,P Q x y n n ∂∂==∈∂Ω∂∂其中,Lx Ly 分别是模型（1）在,x y 方向上的一段，向量n 是边界∂Ω上的单位外法向量，零边界条件也就说明了这个系统没有外部的输入，此时可以认为模型是独立的. 12,D D 分别表示浮游植物和浮游动物的扩散系数. ∆为二维空间上拉布拉斯算子.2222=x y∂∂∆+∂∂ 本文研究的是Turing 不稳定性，所以只需关心正平衡态，从模型（1）可以计算出本系统存在唯一的一个正平衡态为()***,E P Z =其中：()()()()**2,rm b c K b c d md md P Z b c d aK b c d ----==----并且满足：()/0K md b c d >-->.模型（1）在正平衡点*E 处的线性化模型为：P P J t Z Z ⎛⎫⎛⎫∂= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭其中**,P P P Q Q Q =-=--，矩阵J 为()()()()()()()111221220rd K b c d m b c d ad J J K b c b c d b c J J J r K b c d md aK ⎛⎫----+- ⎪----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭@ 则由二维系统的Routh-Hurwitz 判据[1]可得正平衡点稳定的冲要条件为()()()()11221221det 0rd K b c d md J J J J J K b c ---=-=>-（3） ()()()()()()11220rd K b c d m b c d tr J J J K b c b c d ----+=+=<---（4）联合（3）、（4）式可解出参数范围为：()m b c d md K b c d b c d-+<<----（5） 接下來研究Turing 不稳定性，即是由于扩散系统引起的不稳定性. 因此，我们总假设条件（3）、（4）成立，也即式（5）式是恒成立的. 下面考虑含有扩散的模型（2），做与上述相同的平移变换,并把新的变量,P Q 仍记为,P Q ，这里的,P Q 表示模型（2）在平衡点*E 附近的扰动. 可得：1112121222P J P J Q D P t Q J P J Q D Q t ∂⎧=++∆⎪⎪∂⎨∂⎪=++∆⎪∂⎩（6） 又因为模型（6）的任意解都可以展开成下述的Fourier 级数：()()()()()(),0,0,0,0,,sin ,,cos ij ij i j i j ij ij i j i j P r t u r t t krQ r t v r t t kr αα∞∞==∞∞==⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩∑∑∑∑（7）这里向量(),r x y =，且0,0x L xy L y <<<<. 向量(),i j k k k =，且/,/i j k i Lx k j Ly ππ==，,i j k k 称为波数.把（7）式带入（6）式可得：()()211112221222ij ij ij ij ij ij J D k J t J J D k tααββαβ∂⎧=-+⎪⎪∂⎨∂⎪=+-⎪∂⎩（8） 其中222i j k k k =+，这里是因为()()()222sin sin sin sin sin i j i i j j i j kr k x k y k k x k y k k x k y k kr∆=∆+=-+-+=-模型（8）是一个常系数微分方程组，其解的形式为1212t t c e c e λλ+，其中12,c c 为常数，是由初始条件所确定. 12,λλ是其系数矩阵1J 的特征值2111121221222J D k J J J J D k ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦（9） 求得此系数矩阵的行列式、迹分别为：()()()4211211222111221221det J D D k J D J D k J J J J =-++-（10）()()()21121122tr J D D k J J =-+++（11）为了研究是由于扩散发生的不稳定，系数矩阵的特征值12,λλ至少有一个是具有正实部，也就说条件()()11det 0,0J tr J ><至少有一个不成立. 有假设条件（3）、（4）恒成立，可知11220J J +<恒成立，所以得到()10tr J <恒成立，所以要使Turing 不稳定发生，存在一个参数空间使得()1det 0J <成立.令()()()2421211222111221221G k D D k J D J D k J J J J =-++-（12）这是一个关于未知数2k 的一元二次函数，由条件（3）知112212210J J J J ->成立.显然，()20G k <在()20,k ∈+∞成立的必要条件是1122210J D J D +>（13）在条件（13）成立的前提下，要使()20G k <成立，即要求()20G k =有两个实根，则必须满足系数判别式：()()211222112112212214J D J D D D J J J J +>-（14） 在满足条件（13），（14），函数（12）将会存在两个正的实根22,k k ，当满足 222k k k <<（15）时，有()20G k <，即模型（8）的系数矩阵的特征值12,λλ至少有一个是具有正实部，则模型（2）的平衡点*E 是不稳定的，此时平衡点*E 的不稳定性是由于扩散项∆算子的特征值也成波数的k 所引起的，所以称（15）式为Turing 不稳定空间. 得到Turing 不稳定的参数空间后，可以选取输入参数空间的各个参数，使得模型在这些参数下发生Turing 不稳定，进而会形成各种斑图，对于具体形成斑图，这里不做介绍.综上，可得发生Turing 不稳定性的充分必要条件是：式子（3）、（4）、（13）、（14），也即：()()()()11221221112211222121122211211221221det 0004J J J J J tr J J J J D J D J D J D D D J J J J ⎧=->⎪=+<⎪⎨+>⎪⎪+>-⎩ 对于模型数学模型（2），根据上面的Truing 不稳定的充要条件来求其Truing 不稳定的参数空间. 前面已经得到求解其雅克比矩阵J ，其中220J =，由（4）式可知()110tr J J =<，再由（13）式可得1120J D >，而这里的20D >，从而可得对于模型（2）来说，不满足上述的条件，所以并不会发生Turing 不稳定现象.通过（4）、（13）式可知，1122,J J 必须是异号的，并且负值的绝对值要大于正值的绝对值，在模型（2）中，220J =，所以其不会发生Turing 不稳定现象.2. 总结这是最近看到的一篇关于反应扩散微分方程的文章，原文中也是简单介绍个各个理论，我有利用生物数学课堂上学过的知识，进行整理。
原始文献中简单介绍了模型（1）的各个平衡点的稳定性，然后有研究了模型（2）的正平衡点处的稳定性，提供了利用第二格林公式处理Laplacian 算子的方法，使得模型（2）在Laplacian 算子的特征值所对应的特征向量所生成不变子空间上转化为我们熟悉的一般微分方程，通过构造Liapunov 函数的方法证明模型（2）的正平衡态的稳定性。