计算方法离散数据曲线拟合

第三章 数据拟合

知识点：曲线拟合概念，最小二乘法。

1．背景

已知一些离散点值时，可以通过构造插值函数来近似描述这些离散点的运动规律或表现这些点的隐藏函数

曲线拟合方法也可以实现这个目标，不同的是构造拟合函数。两种方法的一个重要区别是：由插值方法构造的插值函数必须经过所有给定离散点，而曲线拟合方法则没有这个要求，只要求拟合函数（曲线）能“最好”靠近这些离散点就好。

2．曲线拟合概念

实践活动中，若能观测到函数y=f(x )的一组离散的实验数据(样点):(x i ,y i )，

i =1，2…,n 。就可以采用插值的方法构造一个插值函数ϕ(x)，用ϕ(x)逼近f(x )。插值方法要求满足插值原则 ϕ(x i )=y i ，蕴涵插值函数必须通过所有样点。另外一个解决

逼近问题的方法是考虑构造一个函数ϕ(x )最优靠近样点，而不必通过所有样点。如图。

即向量T=（ϕ(x 1）， ϕ(x 2)，…ϕ(x n )）与Y=（y 1，y 2，。。。，y n ）的某种误差达到最小。按T 和Y 之间误差最小的原则作为标准构造的逼近函数称拟合函数。

曲线拟合问题:如何为f(x )找到一个既简单又合理的逼近函数ϕ(x)。

曲线拟合：构造近似函数ϕ(x)，在包含全部基节点x i (i =1，2…,n)的区间上能“最好”逼近f(x )（不必满足插值原则）。

逼近/近似函数y =ϕ(x)称经验公式或拟合函数/曲线。

拟合法则：根据数据点或样点(x i ,y i )，i =1，2…,n ，构造出一条反映这些给定数据一般变化趋势的逼近函数y =ϕ(x)，不要求曲线ϕ(x ）经过所有样点，但要求曲线ϕ(x)尽可能靠近这些样点，即各点误差δi =ϕ(x i )-y i 按某种标准达到最小。

均方误差/误差平方和/误差的2-范数平方：

常用误差的2-范数平方作为总体误差的度量，以误差平方和达到最小作为最优标准构造拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小二乘法（最小二乘原理）。

3．多项式拟合

2 4 4 2

•

•

•

•

•

•

•

•

-4

-2

样点

y =ϕ(x)

ϕ(x i )

y i =f(x i ) ∑==n

i i 122

2

||||δδ

（1）线性拟合

给定一组(x i ,y i )，i =1，2…,n 。构造线性拟合函数p 1(x )=a+b x ，使均方差

达到最小。即如何选择a 、b 使F(a,b) 达到最小？考虑多元函数极小值问题： 整理得

此式称为拟合曲线的法方程组或正则方程组。用消元法或克莱姆法则求解方程组得

这就是均方误差意义下的拟合函数p 1(x )。例子见P49。 （2）二次拟合(选)

给定一组(x i ,y i )，i =1，2…,n 。用二次多项式拟合这组数据。设

p 2(x )=a 0+a 1x+ a 2x 2，作出拟合函数与数据序列的均方误差： 其中

类似线性拟合，根据最小二乘和极值原理:

∑∑∑====-+=-==n

i n

i n

i i i i i i

b a F y bx a y x p 1

1

1

22

1222

),()())((||||δδ

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑=====n i i i n i i n i i n i i n

i i y x y b

a x x x n 111211 ∑∑∑∑∑∑======--=n

i n

i n

i n

i n

i n

i i i

i i i i

i x x n y x x x y a 1

1

1

1

1

1

222))(/()(

∑∑∑∑∑=====--=n i n

i i i n i n i n i i i i i x x n y x y x n b 1

1

221

1

1

))(/()( ∑∑==-++=-=n

i i i i n

i i i y x a x a a y x p a a a F 1

222101

2

2210)())((),,(

∑==n

i i 1

222

||||δδ

整理得到二次多项式函数拟合的法方程:

解法方程，便得到均方误差意义下的拟合函数p 2(x )。

不过当多项式的阶数n>5时，法方程的系数矩阵病态。计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解得准确性。

（3）一般情况（类似线性拟合处理，从略）

4．例(从略)

用二次多项式拟合如下一组数据

解

设p 2(x )= a 0+ a 1x+ a 2x ²，经计算得

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========n i i i n i i i n i i n i i n i i n

i i n i i n

i i

n i i

n

i i

n

i i

y x y x y a a a x x x x x

x x x n 121

12101413

1

21312112

1