线性系统理论第5章 系统运动的稳定性

0
hij (t ) dt i 1,2,q
j 1,2, p
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结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻 t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点 均具有负实部。
定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状

证明
t
t0
hij (t , ) d i 1,2,q
充分性
j 1,2, p
t
考虑SISO情形
y (t )
t t0

t
t0
h(t , )u ( )d | h(t , ) || u ( ) | d
t0
1 | h(t , ) | d 1 2
以其姓氏命名的数学概念
• 在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第 一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定 理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅 普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球 面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李 雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李 雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫 分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的 姓氏命名的定理、条件有多种.
lim (t , t 0 ) 0
t
Ax x(0) x0 t 0 结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统 x
At 内部稳定的充分必要条件为 lim e 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
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内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。 若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。
• 常微分方程运动稳定性理论的创始人 李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人， 他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状 的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限 个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博 士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其 中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫 函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特 殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联 系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些 确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简 明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握， 从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展， 并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分 方程定性理论的重要手段.
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必要性
采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使

wenku.baidu.com可以取 有
t1
t1
t0
| h(t1 , ) | d
u(t ) sgn h(t1, )
t1
y(t1 ) h(t1 , )u( )d | h(t1, ) | d
t0 t0
矛盾。对于多输入多输出情形，输出y(t)的任一分量yi(t)仿上述即可证明。 结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则 系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t) 所有元均满足关系式
• 为数学物理方法的发展开辟了新的途径 李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法 的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文 《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重 要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干 基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围 内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果 奠定了解边值问题经典方法的基础.
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李雅普诺夫 --Lyapunov
1/3,1/5
• 李雅普诺夫是俄国数学家、力学家。1857年6 月6日生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于 敖德萨。1880年大学毕业后留校工作，1892年 获博士学位并成为教授。1893年起任哈尔科夫 大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通 讯院士，1901年又当选为院士，兼任应用数学 学部主席。1909年当选为意大利国立琴科学院 外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士。
• 创立了特征函数法 在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概 率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法 的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信 息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的 收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比 雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严 密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解 释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服 从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其 1900年的《概率论的一个定理》和1901年的 《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法 已在现代概率论中得到广泛的应用.
态引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim X ou (t ) 0
t
A(t ) x x(t 0 ) x0 t [t 0 , ) 结论4：设n维连续时间线性时变自治系统 x
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞] 为有界，并满足：
简介
• 1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质 奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学 系学习，被著名数学家切比雪夫渊博的 学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在 的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖 夫的影响下，他在大学四年级时就写出 具有创见的论文，而获得金质奖章。
学术成就
• 切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表 李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学 派的杰出代表，他的建树涉及到多个领 域，尤以概率论、微分方程和数学物理 最有名.
第5章 系统运动的稳定性
5．1 外部稳定性和内部稳定性 定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即： t [t 0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 ‖u(t)‖≤β1<∞
y(t ) 2 t [t 0 ,)
结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，t∈[t0,+∞）则t0时 刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉 冲响应矩阵H(t,τ)所有元均满足关系式