线性系统理论第5章 系统运动的稳定性

4/4,4/18
李雅普诺夫 --Lyapunov
1/3,1/5
• 李雅普诺夫是俄国数学家、力学家。1857年6 月6日生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于 敖德萨。1880年大学毕业后留校工作，1892年 获博士学位并成为教授。1893年起任哈尔科夫 大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通 讯院士，1901年又当选为院士，兼任应用数学 学部主席。1909年当选为意大利国立琴科学院 外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士。
• 创立了特征函数法 在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概 率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法 的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信 息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的 收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比 雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严 密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解 释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服 从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其 1900年的《概率论的一个定理》和1901年的 《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法 已在现代概率论中得到广始人 李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人， 他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状 的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限 个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博 士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其 中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫 函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特 殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联 系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些 确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简 明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握， 从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展， 并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分 方程定性理论的重要手段.
第5章 系统运动的稳定性
5．1 外部稳定性和内部稳定性 定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即： t [t 0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 ‖u(t)‖≤β1<∞
y(t ) 2 t [t 0 ,)
结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，t∈[t0,+∞）则t0时 刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉 冲响应矩阵H(t,τ)所有元均满足关系式

证明
t
t0
hij (t , ) d i 1,2,q
充分性
j 1,2, p
t
考虑SISO情形
y (t )
t t0

t
t0
h(t , )u ( )d | h(t , ) || u ( ) | d
t0
1 | h(t , ) | d 1 2


0
hij (t ) dt i 1,2,q
j 1,2, p
2/4,2/18
结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻 t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点 均具有负实部。
定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状
以其姓氏命名的数学概念
• 在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第 一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定 理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅 普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球 面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李 雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李 雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫 分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的 姓氏命名的定理、条件有多种.
态引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim X ou (t ) 0
t
A(t ) x x(t 0 ) x0 t [t 0 , ) 结论4：设n维连续时间线性时变自治系统 x
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞] 为有界，并满足：
1/4,1/18
必要性
采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使

可以取 有
t1
t1
t0
| h(t1 , ) | d
u(t ) sgn h(t1, )
t1
y(t1 ) h(t1 , )u( )d | h(t1, ) | d
t0 t0
矛盾。对于多输入多输出情形，输出y(t)的任一分量yi(t)仿上述即可证明。 结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则 系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t) 所有元均满足关系式
• 为数学物理方法的发展开辟了新的途径 李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法 的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文 《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重 要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干 基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围 内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果 奠定了解边值问题经典方法的基础.
简介
• 1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质 奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学 系学习，被著名数学家切比雪夫渊博的 学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在 的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖 夫的影响下，他在大学四年级时就写出 具有创见的论文，而获得金质奖章。
学术成就
• 切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表 李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学 派的杰出代表，他的建树涉及到多个领 域，尤以概率论、微分方程和数学物理 最有名.
lim (t , t 0 ) 0
t
Ax x(0) x0 t 0 结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统 x
At 内部稳定的充分必要条件为 lim e 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
3/4,3/18
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。 若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。