线性系统理论第5章 系统运动的稳定性
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线性系统理论第5章 系统运动的稳定性
( x) dV ( x) / dt 为负定 V
则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为渐近稳定
3/4,9/18
结论11 [小范围渐近稳定性定理] 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x 具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸 引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω满足如下条件： V(x)为正定；
• 常微分方程运动稳定性理论的创始人 李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人， 他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状 的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限 个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博 士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其 中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫 函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特 殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联 系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些 确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简 明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握， 从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展， 并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分 方程定性理论的重要手段.
1/2,5/18
t t 0
渐近稳定
称自治系统
f ( x, t ) x(t 0 ) x0 x
t [t 0 , )
的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果ⅰ) Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫 意义下稳定，ⅱ）对实数δ(ε,t0)>0和任给实数μ>0，都存在实数T(μ,δ,t0)>0使得
lim (t , t 0 ) 0
t
Ax x(0) x0 t 0 结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统 x
则系统原点平衡状态x=0在Ω域内为渐近稳定
3/4,9/18
结论11 [小范围渐近稳定性定理] 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x 具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸 引区Ω，使对所有非零状态x∈Ω满足如下条件： V(x)为正定；
• 常微分方程运动稳定性理论的创始人 李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人， 他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状 的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限 个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博 士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其 中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫 函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特 殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联 系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些 确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简 明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握， 从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展， 并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分 方程定性理论的重要手段.
1/2,5/18
t t 0
渐近稳定
称自治系统
f ( x, t ) x(t 0 ) x0 x
t [t 0 , )
的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果ⅰ) Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫 意义下稳定，ⅱ）对实数δ(ε,t0)>0和任给实数μ>0，都存在实数T(μ,δ,t0)>0使得
lim (t , t 0 ) 0
t
Ax x(0) x0 t 0 结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统 x
线性系统理论-郑大钟(第二版)(2013)
从作用时间 1.连续时间系统 类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L 系统模型 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 ( x n (t )
(1)整体性
1.结构上的整体性
(2)抽象性
(3)相对性 在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 2.系统行为和功能由整体 所决定 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。 动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。 系统变量可区分为三类形式
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任 务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性 和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 发展过程: 主要学派: 状态空间法 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 综合理论
线性系统理论5系统的运动稳定性
引理5.2.1 是系统 x A(t)x ,t t0
是一致渐近稳定的，(t,t0 )为其状态 转移矩阵。Q(t) 为一致有界，一致
正定的矩阵，则积分
P(t) T ( , t)Q( )( , t)d t
例5.2.1 考虑下述时变系统
x 2 x 1 t
容易求得其状态转移矩阵为
(t,
t0
)
(1 t0 )2 (1 t)2
从而由定理5.2.1显见该系统为渐近稳定的。
下面将考察该系统的一致渐近稳定性。
据定理5.2.1，如果该系统为一致渐近稳定，
则存在正数 k1 和 k2 满足
(1 t0 )2 (1 t )2
定义5.1.4 （Lyapunov意义下的一致渐近 稳定性）
如果在上述Lyapunov意义下的渐
近稳定性定义中，实数 和 T 的大小都不
依赖于初始时刻 t 0 ，那么称平衡状态 xe
是一致渐近稳定的。
定义5.1.5 （Lyapunov意义下的大范围渐近
稳定性） 设 xe 为系统 x f ( x, t) , x(t0 ) x0 , t t0
出发的受
扰运动都满足不等式
(t;x0,t0 ) xe ,t t0
定义5.1.2 （Lyapunov意义下的一致稳定性）
在上述Lyapunov意义下的稳定性定义中
如果 的选取只依赖于 而与初始时刻
的选取无关，则进一步称平衡状态 xe
t0
是一致稳定的。对于定常系统，x e
的稳定等价于一致稳定，但对时x变e 系统，
的一个平衡状态，如果以状态空间中的任一
有限点 x0为初始状态的受扰运动 (t; x0 , t0 )
都是有界的，且成立
lim (t;
线性系统理论郑大钟5稳定性课件
挑战
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
线性控制理论-系统运动的稳定性
1. 平衡态 设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性 向量函数。 对该非线性系统，其平衡态的定义如下。
定义5-1 动态系统 x’=f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t)0 的状态，并用xe来表示。 从定义5-1可知，平衡态即指状 态空间中状态变量的导数向量 为零向量的点(状态)。 由于导数表示的状态的运动 变化方向，因此平衡态即指 能够保持平衡、维持现状不 运动的状态，如上图所示。
5.1 内部稳定性与外部稳定性
一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳 定的系统。 例如，电机自动调速系统中保持电机转速为一定 的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。 稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏， 但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态 下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定 系统
使得对于任意位于平衡态xe的球 域S(xe,)的初始状态x0，
x(0) x(0)
图5-1
当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球 域S(xe,)内，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意 义下稳定的。
上述定义说明，对应于平衡态xe的 每一个球域S(xe,),
x2
一定存在一个有限的球域 S(xe,)，使得t0时刻从S(xe,) 出发的系统状态轨线总不离 开S(xe,),
( x1 2 x2 ) 2
( x1 2 x2 ) 2 ( x1 2 x2 ) 2
函数的定号性是一个相对概念，与其函数定义域 有关。 2 如，函数 2x2对x1与x2组成的2维空间为非负定 的，但对于1维空间x2则为正定的。
线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)
系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)
f
2
(
x,u,
e
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第5章系统的稳定性
例3： 系统的特征方程为： s 4 3s3 s 2 3s 1 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为
a0 1, a1 3, a2 1, a3 3, a4 1
1 3 1 3 1 3 1
②
s4 s3 s2 s
0
s1 3 1
因为0<ε<1,则3-(3/ε)<0,表中第一列变号两次，故 系统有两个正根，是不稳定的。
统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来 判断根的分布。
胡尔维茨n阶行列式
将系统特征方程的各系数排成如下行列式：
(1)特征方程式的各项系数均大于零，即ai>0
(2)胡尔维茨行列式中，主行列式及其对角线上各子行列式均具有正值。
例1 4 3 2 2 s s 3 s 5s 10 0 系统的特征方程为： 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为： a4 2, a3 1, a2 3, a1 5, a0 10 均为正值，满足判据的必要条件ai>0， ②检验第二个条件， 1 a3 1 0
imre1k很小负穿越一次不稳定imre1k较大负正穿越各一次稳定imre1k更大正穿越一次负穿越二次不稳定已知开环乃氏图判断其闭环系统的稳定性bodenyquist轨迹与单位圆交点的频率即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率称为剪切频率或幅值穿越频率幅值交界频率记为nyquist轨迹与负实轴交点的频率即对数相频特性曲线与横轴交点的频率称为相位穿越频率或相位交界频率记为bode图上的稳定性判据可定义为
Xo(s)
H(s)
K (s z1 )(s z2 ) ( s zm ) Gk (s) G(s) H ( s) (n m) (s p1 )(s p2 )( s pn )
第五章 系统的稳定性PDF
第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。
若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。
线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。
若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。
而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。
因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。
5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
线性系统理论精简版 ——5.系统的稳定性
内部稳定性和外部稳定性在满足一定条件下是等 价的（后面讨论）。
经典理论判稳方法及局限性 间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很难)
直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都
分布在复平面虚轴的左半部分；以及采用劳斯判据、 奈魁斯特频率判据等。局限性是仅适用于线性定常， 不适用于非线性和时变系统。
0 1
xe , 3
0 1
5.2.2 李雅普诺夫稳定 定义：若状态方程
f ( x, t ) x 所描述的系统，对于任意的>0和任意初始
x2
时刻t0，都对应存在一个实数(,t0)>0，
使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,) 的初始状态x0，当从此初始状态x0出发的 状态方程的解x都位于球域S(xe,)内，则 称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳
现代控制理论判稳方法： 李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于 各种系统。 李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质
判定稳定性－－间接法。
李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李
亚普诺夫函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复
杂系统都适用。
5.2
V ( X ) 0 X 0 V ( X ) 0 X 0
例5-2
2 2 V ( X ) x1 2x2
当 x1 0, x2 0 时，V ( X ) 0； 当 x1 0, x2 0 时， V ( X ) 0。所以，V(X)是正定的。
(2) 正半定性(准正定) 如果对任意非零向量 X ( X 0) ，恒有 V ( X )≥0， 且当 X 0时V ( X ) 0 ，则称 V ( X ) 为正半定的。即
5-系统的稳定性
如果 pi和i 均 为负 值, 当 t 时, x0(t)0。 稳定性与 零点无关.
X o ( s) b0 s m b1s m1 ... bm 1s bm B( s) X i ( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an A( s)
s4 s3 s2 s1 s0 1 3 7/3 2-(9/7)K K 3 2 K 0 0 K 0 0 0 0
牢 斯 判 据
K 0 14 0 K 9 9 2 K 0 7
19
5.2.2 Routh判据
例3 牢斯判据判定系统相对稳定性
已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0 试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。 将s平面虚轴左移一个单位距离，即 构造一个z平面，则直线s=-1右侧的 极点即为z平面右侧的极点。
n an n (1) si a0 i 1
各根之积
10
5.1.3 系统稳定的必要条件
例 某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。
K0 ：被控对象水箱的传递函数 s km ：执行电动机的传递函数 s(Tm s 1)
K1 ：进水阀门的传递系数 Kp ：杠杆比 H0 ：希望水位 H ：实际水位
稳定性条件的分析方法——脉冲响应法： 假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t) 的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应，这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题， 显然，当t→∞时，若：
lim xo 0
t
则系统（渐近）稳定。
6
5.1.2 系统稳定的充要条件
脉冲响应法分析
s 2 (Tm s 1) K p km K1K0 0
X o ( s) b0 s m b1s m1 ... bm 1s bm B( s) X i ( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an A( s)
s4 s3 s2 s1 s0 1 3 7/3 2-(9/7)K K 3 2 K 0 0 K 0 0 0 0
牢 斯 判 据
K 0 14 0 K 9 9 2 K 0 7
19
5.2.2 Routh判据
例3 牢斯判据判定系统相对稳定性
已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0 试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。 将s平面虚轴左移一个单位距离，即 构造一个z平面，则直线s=-1右侧的 极点即为z平面右侧的极点。
n an n (1) si a0 i 1
各根之积
10
5.1.3 系统稳定的必要条件
例 某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。
K0 ：被控对象水箱的传递函数 s km ：执行电动机的传递函数 s(Tm s 1)
K1 ：进水阀门的传递系数 Kp ：杠杆比 H0 ：希望水位 H ：实际水位
稳定性条件的分析方法——脉冲响应法： 假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t) 的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应，这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题， 显然，当t→∞时，若：
lim xo 0
t
则系统（渐近）稳定。
6
5.1.2 系统稳定的充要条件
脉冲响应法分析
s 2 (Tm s 1) K p km K1K0 0
第5章 现代控制理论之系统运动的稳定性分析
0 0 0 xe1 , xe 2 , xe3 0 1 1
5.5.2 范数的概念
范数的定义：n 维状态空间中，向量 x 的长度称为向 量 x 的范数，用 x 表示，则：
2 x x12 x2 2 xn xT x
1 2
向量的距离 : 长度 x xe 称为向量 x 与 xe 的距离，写 为：
分必要条件为G(s）的极点具有负实部。
1 0 1 x u x [例5.2.1]设系统的状态空间表达式为： 0 1 1 y 1 0 x
试分析系统平衡状态 xe=0 的稳定性与系统的 BIBO （输出） 稳定性。
解：系统的特征方程为:
定义：对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输 入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系 统是外部稳定的，也即是有界输入 - 有界输出稳定的。并 简称为BIBO稳定。
李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。
如果输入 u 有界，是指 u ≤ K1
如果输入 y 有界，是指 y ≤ K2
2.平衡状态的求法 由定义，平衡状态将包含在 f x , t 0 这样一个代数方 程组中。 对于线性定常系统 x Ax ，其平衡状态为 xe 应满足 代数方程 Ax 0 。
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 f x , t 0 的解可能有多个， 视系统方程而定。
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义 设系统状态方程为： x f x , t , x R n 若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状 态，记为xe。故有下式成立：f xe , t 0 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
第7章 系统运动的稳定性(第五章)
& ( x ) = ∂V ( x ) dx1 + ∂V ( x ) dx2 V ∂x1 dt ∂x2 dt
& & = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2( x12 + x2 2 )
x → ∞, V ( x ) → ∞
大范围渐近稳定
5.5 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
线性时不变系统稳定判据
& x = Ax, x (0) = x0 , t ≥ 0
x = 0 为平衡状态
结论 5.22 [特征值判据] [特征值判据 特征值判据] 李亚普诺夫意义下稳定
⇔
A的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A 的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A 的最小多项式的单根。 的最小多项式的单根。 结论 5.23 渐近稳定 ⇔ A的特征值均具有负实部
∫
∞
0
hij (t ) dt ≤ β < ∞
结论 5.3 对零初始条件的线性时不变系统 BIBO稳定 BIBO稳定 ⇔ 真或严真传递函数矩阵所有极点均具有负实部
内部稳定性（渐近稳定性） 内部稳定性（渐近稳定性）
& x = A(t)x , x (t0 ) = x0 , t ∈ [t0 , ∞ )
如果由时刻 t0 任意非零初始条件 x (t0 ) = x0 引起的状态零 输入响应 x0u (t )对所有 t ∈ [t0 , ∞ )为有界，并满足渐近属性 为有界， 即成立
对应的输出y(t)均为有界， 对应的输出y(t)均为有界，即有 y(t)均为有界
y(t) ≤ β 2 < ∞, ∀t ∈ [t0 , ∞ )
结论 5.1 对零初始条件的线性时变系统 BIBO稳定 BIBO稳定 ⇔
& & = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2( x12 + x2 2 )
x → ∞, V ( x ) → ∞
大范围渐近稳定
5.5 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
线性时不变系统稳定判据
& x = Ax, x (0) = x0 , t ≥ 0
x = 0 为平衡状态
结论 5.22 [特征值判据] [特征值判据 特征值判据] 李亚普诺夫意义下稳定
⇔
A的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A 的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A 的最小多项式的单根。 的最小多项式的单根。 结论 5.23 渐近稳定 ⇔ A的特征值均具有负实部
∫
∞
0
hij (t ) dt ≤ β < ∞
结论 5.3 对零初始条件的线性时不变系统 BIBO稳定 BIBO稳定 ⇔ 真或严真传递函数矩阵所有极点均具有负实部
内部稳定性（渐近稳定性） 内部稳定性（渐近稳定性）
& x = A(t)x , x (t0 ) = x0 , t ∈ [t0 , ∞ )
如果由时刻 t0 任意非零初始条件 x (t0 ) = x0 引起的状态零 输入响应 x0u (t )对所有 t ∈ [t0 , ∞ )为有界，并满足渐近属性 为有界， 即成立
对应的输出y(t)均为有界， 对应的输出y(t)均为有界，即有 y(t)均为有界
y(t) ≤ β 2 < ∞, ∀t ∈ [t0 , ∞ )
结论 5.1 对零初始条件的线性时变系统 BIBO稳定 BIBO稳定 ⇔
第5章系统的稳定性
经典控制论中，系统稳定性判据
代数判据
Routh（劳斯）判据 Hurwitz（古尔维茨）判据 Nyquist判据 Bode判据
几何判据
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
Routh稳定判据
不求解特征方程的根,直接根据特征方程的系 数，判断系统的稳定性，回避了求解高次方程根 的困难。
【例】D(s) s 4 3s3 4s 2 12s 16
【解】：Routh表为： s4 s3 s2 s1 s0 1 3 4 16 12
12 48 48
0( ) 16 12 48 0
很小时，
12
0
16
【结论】：系统不稳定，并有两个正实部根。
【情况2】:
n n n an1 an2 an3 si， si s j， an an an i 1 i j i j k i 1, j 2
(1)
n
s
i 1
n
i
si s j sk，
i 1, j 2, k 3
n a0 n ， (1) si an i 1
系统稳定的必要条件：特征方程中所有项的系数均大 于0，只要有一项等于或小于0，则为不稳定系统。 充分必要条件：Routh表第一列元素均大于0。
必要条件证明
D(s) an s n an1s n1 an1 n1 得：s s an 再展开，得
n
a1s a0 0，两端同除以an，并分解因式， (s sn )
其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。
线性系统理论(第五章)
x0 − xe
≤ δ ( ε , t 0 ) 的任一初态 x 0 出发的受扰
S (ε )
S (δ )
运动都同时满足不等式： 运动都同时满足不等式：
φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ µ
∀ t ≥ t0 + T ( µ ,δ , t0 )
运动的有界性。 运动的有界性。
x0 xe
φ (t ; x0 , t0 )
001
系统运动的稳定性
讨论内部稳定性。 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法（А.М.Ляпунов) Ляпунов) 李亚普诺夫方法（ 线性系统 定常系统 非线性系统 ； 时变系统 ； 离散时间系统。 离散时间系统。
连续时间系统
002
系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 外部稳定性 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 u ( t ) ， 考虑一个线性因果系统， 即满足条件： 即满足条件：
G ( t ) 为其脉冲响应矩阵， ˆ ( s ) 为其传递函数矩阵，则系统 G 为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵，
为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 k ， 稳定的充分必要条件是，
j = 1, 2 , L , p ) 均满足关系式： 均满足关系式：
G (t )
的每一个元
大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外， 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平 衡点。 衡点。 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定。 大范围渐近稳定。
006
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4/4,4/18
李雅普诺夫 --Lyapunov
1/3,1/5
• 李雅普诺夫是俄国数学家、力学家。1857年6 月6日生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于 敖德萨。1880年大学毕业后留校工作，1892年 获博士学位并成为教授。1893年起任哈尔科夫 大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通 讯院士，1901年又当选为院士，兼任应用数学 学部主席。1909年当选为意大利国立琴科学院 外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士。
• 创立了特征函数法 在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概 率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法 的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信 息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的 收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比 雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严 密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解 释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服 从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其 1900年的《概率论的一个定理》和1901年的 《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法 已在现代概率论中得到广始人 李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人， 他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状 的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限 个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博 士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其 中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫 函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特 殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联 系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些 确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简 明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握， 从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展， 并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分 方程定性理论的重要手段.
第5章 系统运动的稳定性
5．1 外部稳定性和内部稳定性 定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即： t [t 0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 ‖u(t)‖≤β1<∞
y(t ) 2 t [t 0 ,)
结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，t∈[t0,+∞）则t0时 刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉 冲响应矩阵H(t,τ)所有元均满足关系式
证明
t
t0
hij (t , ) d i 1,2,q
充分性
j 1,2, p
t
考虑SISO情形
y (t )
t t0
t
t0
h(t , )u ( )d | h(t , ) || u ( ) | d
t0
1 | h(t , ) | d 1 2
0
hij (t ) dt i 1,2,q
j 1,2, p
2/4,2/18
结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻 t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点 均具有负实部。
定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状
以其姓氏命名的数学概念
• 在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第 一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定 理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅 普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球 面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李 雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李 雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫 分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的 姓氏命名的定理、条件有多种.
态引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim X ou (t ) 0
t
A(t ) x x(t 0 ) x0 t [t 0 , ) 结论4：设n维连续时间线性时变自治系统 x
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞] 为有界，并满足：
1/4,1/18
必要性
采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使
可以取 有
t1
t1
t0
| h(t1 , ) | d
u(t ) sgn h(t1, )
t1
y(t1 ) h(t1 , )u( )d | h(t1, ) | d
t0 t0
矛盾。对于多输入多输出情形，输出y(t)的任一分量yi(t)仿上述即可证明。 结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则 系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t) 所有元均满足关系式
• 为数学物理方法的发展开辟了新的途径 李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法 的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文 《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重 要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干 基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围 内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果 奠定了解边值问题经典方法的基础.
简介
• 1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质 奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学 系学习，被著名数学家切比雪夫渊博的 学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在 的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖 夫的影响下，他在大学四年级时就写出 具有创见的论文，而获得金质奖章。
学术成就
• 切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表 李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学 派的杰出代表，他的建树涉及到多个领 域，尤以概率论、微分方程和数学物理 最有名.
lim (t , t 0 ) 0
t
Ax x(0) x0 t 0 结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统 x
At 内部稳定的充分必要条件为 lim e 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
3/4,3/18
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。 若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。