高考数学一模试卷(理科)(a卷)

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2023年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷（理科）1. 命题：“，”的否定是( )A. ，B. ，C. ，D.， 2. 设集合，，若，则a 的范围是( )A.B.C.D.3. 已知复数z 满足，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知是等差数列的前n 项和，若，，则( )A. 15B. 20C. 25D.5. 下列区间中，函数单调递增的区间是( )A.B.C.D.6. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有个( )A. 240B. 360C. 600D. 7207.设，是两个不同的平面，则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 如图，某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为，则满盘时卫生纸的总长度大约精确到( )A. 60mB. 80mC. 100mD. 120m9. 某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛．决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束．若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为则( )A. 甲获得冠军的概率最大B. 甲与乙获得冠军的概率都比丙大C. 丙获得冠军的概率最大D. 甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大10.对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段PQ的垂直平分线恰好过右焦点，则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D. 212. 过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.13. 已知向量，，若，则实数m的值为______ .14. 若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为______.15. 若定义域为R的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集为，则符合题意的一个函数解析式为______ .16. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过n次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则n的最小值为______ 参考数据：，17. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足求B；若的周长为6，，求的面积.18. 偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某同学的某科考试成绩与该科平均成绩的差叫某科偏差实际成绩-平均成绩=偏差在某次考试成绩统计中，教研人员为了对学生数学偏差单位：分与物理偏差单位：分之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差分20151332物理偏差分若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；若本次考试数学平均成绩为100分，物理平均成绩为分，试由的结论预测数学成绩为116分的同学的物理成绩.参考公式：，参考数据：，19. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，，证明：；求平面与平面ABC所成角的余弦值.20. 已知椭圆C：的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合.求椭圆C的方程；设椭圆C的左焦点为，过点的直线l与椭圆C交于A，B 两点，A关于x轴对称的点为M，证明：M，，B 三点共线.21. 已知函数讨论函数的单调性；若有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；证明：22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.23. 已知函数当时，求不等式的解集；若，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：命题：“，”的否定是，故选：任意改存在，将结论取反，即可求解．本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：集合，，，，故选：利用交集定义、不等式性质直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：复数z 满足为虚数单位，，可得，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选：利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：是等差数列的前n项和，则，，为等差数列，即，故，解得故选：根据已知条件，推得，，为等差数列，再结合等差中项的性质，即可求解．本题主要考查等差中项的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：，令，解得，令，则，由于，故是的一个增区间．故选：对函数化简，结合正弦函数的性质可得的单调增区间，结合选项即可得解．本题考查正弦函数单调性，是简单题．6.【答案】A【解析】解：利用插空法共有种．故选：直接利用插空法计算得到答案．本题主要考查了简单的排列组合的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，当，相交时，设，若A、B、，且，则B、C到平面的距离相等，若线段AC的中点，则A，C到平面的距离相等，则A、B、C到平面的距离相等，“中有三个不共线的点到的距离相等”推导不出“”，若，则内所有点到平面内的距离都相等，“”“中有三个不共线的点到的距离相等”，“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件．故选：根据平行平面的性质、特例法结合充分条件、必要条件的定义分别判断充分性和必要性．本题考查面面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：空盘直径是40mm，半径是20mm，周长是，满盘直径是120mm，半径是60mm，周长是，，则每一圈周长成等差数列，共400项，故选：将卫生纸的长度近似看成400个直径成等差数列的圆周长的和，利用等差数列前n项和公式即可求得满盘时卫生纸的总长度大约为本题考查了等差数列的求和公式，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况：胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，，，因此，甲最终获得冠军的概率为乙获得冠军，与同理，概率也为丙获得冠军，概率为，丙获得冠军的概率最大．故选：根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、乙、丙三人获得冠军的概率，从而确定正确答案．本题考查相互独立事件的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由，①当时，，显然符合题意；由为偶函数，只需考虑在上的范围，②当时，在单调递减，因为要满足：对，，，恒成立，故，得，得；③当，在上单调递增，所以，即，得，综上：故选：根据构成三角形的条件，只需研究该函数的最小值与最大值，只要保证，即可保证该函数为“可构成三角形的函数”．本题考查新定义问题，以及将不等式恒成立问题转化为函数最值问题的解题思路，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：如图，设PQ的中点为H，则根据题意可得，又易知，，又O为的中点，为的中点，且，又，，，，，，，又，，，，，化简可得，，双曲线C的离心率，故选：根据双曲线的几何性质，数形结合思想，方程思想，化归转化思想，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，方程思想，化归转化思想，属中档题．12.【答案】D【解析】解：设切点为，则切线方程为，切线过点，，过点可作三条直线与曲线相切，有三个不等根．令，则，令，则或，当或时，；当时，，在和上单调递增，在上单调递减，，，由有三个不等根，可知函数与有三个交点，则，的取值范围为故选：切点为，求出切线方程，再切线过点，求出a，然后根据过点可作三条直线与曲线相切，求出a的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线方程和极值，考查了方程思想和转化思想，属中档题．13.【答案】【解析】解：向量，，，，，可得，故答案为：根据平面向量的坐标运算和数量积的定义，列方程求得m的值．本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，求得点M的坐标是关键，属于中档题．求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到准线的距离即可．【解答】解：设点，，，解得：或舍去，到抛物线的准线的距离点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线的准线的距离，点M到该抛物线焦点的距离为故答案为：15.【答案】答案不唯一【解析】解：因为为定义域为R上的奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减，又因为的解集为，所以当时，的解集为；当时，的解集为，所以，所以的解析式可以是：故答案为：答案不唯一确定函数的单调性、由的解集为，可得时，的解集为；当时，的解集为，从而得，写出满足题意的一个奇函数即可．本题属于开放型试题，考查了奇函数的性质，属于中档题．16.【答案】12【解析】解：设每次操作留下的长度为，则，，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的，所以为等比数列，公比为，首项为，故，所以经过n次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为，故，即，两边取对数得：，因为，，所以，则n的最小值为故答案为：设每次操作留下的长度为，得到为等比数列，公比为，首项为，求出，从而得到去掉的所有线段长度总和为，列出不等式，求出答案．本题主要考查数列的应用，属于基础题．17.【答案】解：，由正弦定理可得：，即，，在三角形中，，即，在三角形中，，，；由余弦定理知，即，又，，【解析】由正弦定理及三角形中角的关系可得B角的余弦值，再由B角的范围，可得B角的大小；由余弦定理和三角形的周长可得ac的乘积，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积．本题考查正余弦定理及三角形的面积的公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：由题意可得，，，又，，，，关于x的线性回归方程为：设该同学的物理成绩为W，由于物理平均成绩为分，所以物理偏差为，又本次考试数学平均成绩为100分，该同学考了116分，故数学偏差为，所以，解得所以预测这位同学的物理成绩为75分．【解析】根据线性回归方程的求法直接求解；利用回归方程以及偏差的定义求解．本题考查了线性回归方程的求解和应用，属于基础题．19.【答案】解：证明：在直三棱柱中，，平面ABC，平面ABC，，又，平面，平面，平面，为的中点，即平面，；由题意建立以C为原点，以CA、CB、所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示：，，则，则，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，取，则，，平面的一个法向量，设平面ABC的一个法向量为，，，故平面与平面ABC所成角的余弦值为【解析】由题意得，平面ABC，根据线面垂直的性质和判定定理，即可证明结论；建立以C为原点，以CA、CB、所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面ABC的一个法向量为，利用向量法，即可得出答案．本题考查直线与平面的位置关系和平面与平面所成的角、空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．20.【答案】解：椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，又，，，，椭圆C的方程为证明：由知椭圆C的左焦点为，当直线l的斜率不存在时，其方程为：，此时直线l与椭圆C没有交点，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，则把代入椭圆方程，消去y得，，解得，，，又，，，与共线，即M、、B三点共线．【解析】由椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，可得，由题意可得，，解得a，，即可得出椭圆C的方程．当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，可得把代入椭圆方程，消去y得，利用根与系数的关系、向量共线定理即可证明结论．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：由已知，，当时，，是增函数；当时，令得；令得，所以在上单调递减，在上单调递增．由①知时，函数是增函数，不符合题意；②当时，，且时，；时，，有且仅有2个零点，令，显然，，时，，单调递增；时，，单调递减，所以或，所以a的取值范围为证明：易知当时，，即，当且仅当时取等号，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，又，所以，当且仅当时取等号，所以【解析】讨论导数的零点和符号求解；结合函数的单调性、端点处、极值点处函数值的符号判断；先证明，再证明即可．本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等，并进一步解决函数的零点、不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．22.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，将代入，可得直线l的普通方程为，曲线C的极坐标方程为，即，又，且，，曲线C的直角坐标方程为将为参数代入，得，，即方程有两个不相等的实根，、设，是方程的两个根，即点A，B对应的参数，则，，由直线参数方程的几何意义可知：【解析】根据直线l的参数方程，消去参数t，即可求解直线l的普通方程，再结合极坐标公式，即可求解．根据已知条件，结合参数方程的几何意义，即可求解．本题主要考查极坐标公式，以及直线参数方程的几何意义，属于中档题．23.【答案】解：当时，，，当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，综上所述，不等式的解集为，当且仅当时，等号成立，，，即或，即或，综上所述，，故a的取值范围为【解析】当时，，再分类讨论，即可求解．根据已知条件，结合绝对值三角不等式，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想，属于基础题．。

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．35．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升” )的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为( )立方分米．A ．40B ．853C ．30D ．7336．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( )A ．314B ．37C ．67D ．13287．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．28．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π．其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为，|2|a b +的取值范围为．15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是16．（5分）已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高()i cm x166167160173178169158173体重()i kg y57 58 53 61 66 57 50 66（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：2211()1(nii i n ii yy R y==-=-∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--．参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；（2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-．（Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数3(13)2221313i i i z i i i-++=+=+=+++，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)在第一象限．故选：A ．2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =【解答】解：集合{|||3}{|3P x x x x =>=<-或3}x >，2{|4}{|2Q x x x x =>=<-或2}x >，P Q ∴，故选：B ．3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：由可得49a =，42log 6log c == 则可知，1bc a >>>，故选：B ．4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：由约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩作出可行域如图，化目标函数2z x y=+为直线方程的斜截式，122zy x=-+，由图可知，当直线122zy x=-+过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故选：D．5．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”)的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为()立方分米．A．40B．853C．30D．733【解答】解：由三视图还原原几何体如图，要加工成如图所示散斗，则长方体木料长的最小值为4，宽的最小值为4，高的最小值为52，则则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米．故选：A ．6．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( ) A ．314B ．37C ．67D ．1328【解答】解：不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，基本事件总数2828n C ==，取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数：116212m C C ==，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m p n ===．故选：B ．7．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解答】解：由抛物线的方程可得焦点(2,0)F ，准线方程为：2x =-，作MA 垂直于y 轴交于A ，因为2MF FN =，所以可得F 为线段MN 的三等分点，即13NF MN =，由NFO NMA ∆∆∽，所以13OF MA =，即3326MA OF ==⨯=，所以||628MF =+=，故选：A ．8．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =【解答】解：由图象可知，当0x =时，0y ≠，故排除选项A ；又对任意的x ，函数值0y ，故排除选项B ；对选项D ，当12x π=>时，0y =，这与图象矛盾，综上，选项C 满足题意．故选：C ．9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m【解答】解：设AB x =，由图利用直角三角形的性质可得：BC AB x ==，3BD x =，在BCD ∆中，由余弦定理可得：22236002600cos120x x x =+-⨯︒，化为：23001800000x x --=，解得600x =．故选：B ．10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3 【解答】解：332cos sin sin 2,[2,2]0,[2,2]2222()2|cos |sin sin 2,2cos sin sin 2,[2,2)2sin 2,[2,2)2222x x x x k k x k k f x x x x k Zx x x x k k x x k k ππππππππππππππππ⎧⎧-+∈++∈++⎪⎪⎪⎪=+==∈⎨⎨⎪⎪+∈-++∈-++⎪⎪⎩⎩，其大致图象如图所示，①()f x 的图象不关于直线4x π=对称，即①错误；②()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增，即②正确； ③()f x 的最小正周期为2π，即③错误．所以真命题只有②，故选：B ．11．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒【解答】解：作//AP DM ，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线，由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时， 1PAD ∠取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60︒，此时，1D ∈平面ABC ，1D 不在平面ABC 上，1(0,60)PAD ∴∠∈︒︒，∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(0,60)θ∈︒︒．故选：D ．12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >【解答】解：如图所示：由题意可得A 中，2,[0,1]()|2|,(1,)x x f x x x ⎧∈=⎨-∈+∞⎩B 中，当12x 时，120x --，(2)(2)2()f x f x x f x -=--=，当23x <时，021x <-，(2)2()f x x f x --=，当34x <时，122x <-，(2)2(2)42()f x x x x f x -=--=--=，当4x ，22x -，恒有(2)()f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[0x ∈，)+∞，()f x x ，令()t f x =，则0t ，所以()f t t ，即(())()f f x f x ，故C 正确，D 不正确．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 210x y --= ．【解答】解：1y x nx =+，∴11y x'=+， 1|112x k y =∴='=+=，∴函数1y x nx =+在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-，整理，得210x y --=．故答案为：210x y --=．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π，|2|a b +的取值范围为．【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，则[0θ∈，]π；又||2a =，||1b =，所以22()()421cos 12cos 134cos a a b b a b a a b b a b θθθ++-=++-=+⨯⨯+⨯⨯-=+，即34cos 1θ+，解得1cos 2θ-；则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π；即2[3πθ∈，]π；所以222(2)444421cos 488cos a b a a b b θθ+=++=+⨯⨯⨯+=+，又cos [1θ∈-，1]2-，所以88cos [0θ+∈，4]，所以|2|a b +的取值范围是[0，2]．故答案为：23π，[0，2]． 15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是 124125【解答】解：飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是： 0033411241()()55125P C =-=．故答案为：124125．16．（5分）已知双曲线C 的方程为21x =，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 2【解答】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为F '，由双曲线C 可得(3,0)F ，(3,0)F '-，||NF =MNF ∆周长为||||||||||MN MF NF MN MF ++=++，由双曲线的定义可得||||22MF MF a '-==，即有||||||||2MN MF MN MF '+=++，当P 在左支上运动到M ，N ，F '共线时，||||MN MF '+取得最小值||NF '=则有MNF ∆周长的最小值为22=．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<．【解答】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d+=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)n a n n =+-=．数列{}n b 满足：2124b b ==，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．① 所以1122111(24)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=-+．② ①-②得：1(22)(24)n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得12nn b b -=（常数），所以数列{}n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列．所以1222n n n b -=⨯=．由于首项符合通项公式，所以2n n b =．证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==，所以212222n n nT =++⋯+①，故2311122222n n nT +=++⋯+② ①-②得：211111(1)1111122()112222222212n n n n n n n n n n T +++-=++⋯+-=-=---，所以112222n n n nT -=--<．即122n c c c ++⋯+<．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：连接ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以12ME AD =，//ME AD ，所以//BC ME ，BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以//CE BM ．又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂/平面BMD ，所以//CE 平面BMD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1(2CQ =-，1-，1)，(1CE =-，0，1)，设平面CEQ 的法向量为(n x =，y ，)z ，列方程组00n CQ n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：120x y z x z ⎧--+=⎪⎨⎪-+=⎩其中一个法向量为(2n =，1，2)，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是22sin 3414001θ==++++，进而求得5cos θ=（15分） 19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．【解答】解：（1）由题意可得：222243a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）(1,)M m ，(2,0)A -，(2,0)B ，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴直线AM 的方程为：(2)3my x =+，联立方程22(2)314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+，同理可得2414F my m =+，5AMF BME S S ∆∆=，即()5()ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-， 54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-，∴22412||5||4||1494m mm m m=-++，又0m ≠， 42161630m m ∴-+=，解得214m =或34，点M 在椭圆内，∴234m <， ∴214m =， 12m ∴=±．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--．参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．【解答】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9y x =-，计算6ˆ570.816975.9 2.3e=-⨯+=-， 7ˆ500.815875.90.5e=-⨯+=-， 8ˆ660.817375.9 3.5e=-⨯+=；完善下列残差表如下，计算22121()111(0.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.25)10.090.90226()nii i n ii yy R yy ==-=-=-⨯+++++++≈-=-∑∑；所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈．（2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y =，由8178880i i i x y ==∑，计算修订后8178880173661735877496i i i x y ='=-⨯+⨯=∑，又281226112i ix ==∑，168x =，修订后1(858.56658)57.58y '=⨯⨯-+=，所以1222177496816857.5ˆ0.6752261128168ni ix yi nixi x yn bxn --=-=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ57.50.67516855.9ay bx ='-=-⨯=-；所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-． 21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈【解答】解：（1）设直线y x =与()y f x =相切于点0(P x ，02())ln ax b +， 2()af x ax b '=+， 002()1af x ax b '∴==+，02ax b a ∴+= (0)a >，又点P 在切线y x =上，002()ln ax b x ∴+=， 022ln a x ∴=，02222b a ax a aln a ∴=-=-，因此22222ab a a ln a =-(0)a >，设g （a ）22222a a ln a =-，0a >，g '∴（a ）2422(122)a aln a a ln a =-=-，令g '（a ）0>得，0a <<g '（a ）o <得，a > g ∴（a）在上单调递增，在，)+∞上单调递减， g ∴（a）的最大值为4e g =， ab ∴的最大值为4e ；（2）函数2()(1)(1)()(g x ax a axf x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，等价于方程22(1)(1)(1)ln ax ax a ax +=+++有两个不相等的实根，设1t ax =+，则等价于方程220lnt t at --= (0)t >有两个不同的解，即关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解，设22()lnt t h t t -=，则2222()t lnt h t t --'=，设2()22m t t lnt =--，由0t >可知()m t '=-， ()m t ∴在(0,)+∞上单调递减，又m （1）10=>，575()204164m ln =-<， ∴存在05(1,)4t ∈使得0()0m t =，即200220t lnt --=，∴20022lnt t +=， ∴当0(0,)t t ∈时，()0m t >，()0h t '>，函数()h t 单调递增；当0(t t ∈，)+∞时，()0m t <，()0h t '<，函数()h t 单调递减，∴函数()h t 的极大值为220000000022229()2(,0)10lnt t t h t t t t t --===-∈-，要使得关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解，则0()a h t <，当1a =-时，设2()2p t lnt t t =-+，则2()21p t t t'=-+，可知()p t在上单调递增，在，)+∞上单调递减，又p （1）0=，0p >，p （e ）220e e =-+<， ()p t ∴有两个不同的零点，符合题意，a ∴的最大整数值为1-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；（2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．【解答】解：（1）1:4cos()3C πρθ=-，即22cos sin ρρθθ=+，化为直角坐标方程为22(1)(4x y -+=把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20a =经过圆心(1，解得2a =，故2C 的直角坐标方程为0x =．（2）由题意可得，当63ππα时，||4sin OA α=；||4cos()3OB πα=-；||4cos OC α=；||4sin()3OD πα=-， ∴设2()||||||||16sin cos 16cos()sin()8sin 28sin(2)12sin 2)3336f OA OB OC OD ππππαααααααααα=+=+--=--=+=+，当63ππα时，52266πππα+， 383sin(2)836πα+，故()f α的值域为[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-．（Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求【解答】解：（Ⅰ）1()42324x f x x ⎧<⎪⇔⎨⎪-+⎩或1124x x ⎧<⎪⎨⎪⎩或1324x x ⎧⎨-⎩，解得223x -，故不等式()4f x 的解集为2{|2}3x x -（Ⅱ）132,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=<⎨⎪-⎪⎪⎩，1()2min f x ∴=，即12m =，又a ，b ，c R +∈且12a b c ++=，z 则2221a b c ++=，设x =yz =， 222x y xy +，2222121222xy x y a b a b +=+++=++，同理：2222yz a c ++，2222xz c a ++，2222222222228xy yz xz a b b c c a ∴++++++++++=，2222()222212121812x y z x y z xy yz xz a b c ∴++=+++++++++++=， 23x y z ∴++，即123，当且仅当16a b c ===时，取得最大值．。

2024届高三第一次模拟数学(理科)试卷答案

银川一中2024届高三第一次模拟数学(理科)参考答案1．【答案】C 由2230x x --≤,解得13x -≤≤，又因为x N ∈，所以{}0,1,2,3A =，又由2023log 0x ≤，可得20232023log log 1x ≤，解得01x <≤，所以{R |01}B x x =∈<≤，所以A B =I {1}，2．由z 1+i =1−1i =1+i ，得z =(1+i)2=2i ，则z =−2i ，所以|z |=2.故选：C.3．A4．【答案】C 【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”． 5.【答案】B【解析】对于A ，若a b r r∥，则有142t ⨯=-⨯，所以8t =-，A 错误；对于B ，若a b ⊥r r，则有420t -+=，所以2t =，B 正确；对于C ，(3,2)a b t +=-+r r ，所以||5a b +==r r，解得2t =或6t =-，C 错误；若a r 与b r 的夹角为钝角，则420a b t ⋅=-+<r r ，即2t <，且a r 与b r不能共线且反向，由A 选项可知，当8t =-时，4b a =-r r ，此时a r 与b r共线且反向，所以若a r 与b r的夹角为钝角，则2t <且8t ≠-，D 错误，故选:B.6．【答案】A【详解】由点P 在单位圆上，则22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得45y =±，由锐角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则45y =，故π3π4cos ,sin 4545αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin cos444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3455=-=.故选A.7.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得2≤，知A 错误；由()2,0x ∈-时，0y =<可知B 错误；根据y =、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C 正确；根据函数定义域可知D【详解】对于A ，2=≤=Q （当且仅当224x x =-，即x∴在()2,2-上的最大值为2，与图象不符，A 错误；对于B ，当()2,0x ∈-时，0y =<，与图象不符，B 错误；对于C ，y =Q ∴当1x =±时，max 1y =；又y =()()()2,0,2,0,0,0-；由220x x -+≥得：()20x x -≤，解得：22x -≤≤，即函数定义域为[]22-,；y ∴=[]22-,上的偶函数，图象关于y 轴对称；当[]0,2x ∈时，y =，则函数在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减；综上所述：y=C正确；对于D，由220x x-+≥得：02x≤≤，y∴=不存在()2,0x∈-部分的图象，D错误.故选：C.8.【答案】B【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B-且满足2PA PB-=，根据双曲线的定义，可得点P的轨迹表示以,A B为焦点的双曲线C的右支，其中22,24a c==，可得1,2a c==，则b==可得双曲线C的渐近线方程为by xa=±=，又因为点P满足方程0(0,0)nx my m n±=>>，即ny xm=±，结合双曲线的几何性质，可得0nm<<nm的取值范围是.故选：B.9.【答案】A解：“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”，取1m=，则11n na a+=-，{}na∴为等比数列．反之不成立，{}n a为等比数列，设公比为q()0q≠，则1m nm na q+-+=-，()()112nnmmm na a q q q--+-=-⨯-=，只有1q=-时才能成立满足m n m na a a+=．∴数列{}na满足11a=-，则“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”是“{}na为等比数列”的充分不必要条件．10.【答案】D设切点()00,lnP x x．因为lny x=，所以1yx'=，所以点P处的切线方程为()001lny x x xx-=-，又因为切线经过点(),a b，所以()001lnb x a xx-=-，即1lnab xx+=+.令()ln(0)af x x xx=+>，则1y b=+与()ln(0)af x x xx=+>有且仅有1个交点，()221a x af xx x x'-=-=，当0a≤时，()0f x¢>恒成立，所以()f x单调递增，显然x→+∞时，()f x→+∞，于是符合题意；当0a>时，当0x a<<时，()0f x'<，()f x递减，当x a>时，()0f x¢>，()f x递增，所以()min()ln1f x f a a==+，则1ln1b a+=+，即lnb a=．综上，0a≤或lnb a=．故选：D11. 【答案】B12.【答案】C对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.【详解】对于A()2221π322322π23ABC ABCABCS S S S⎛⎫=-⋅+=⨯⨯⨯=-⎪⎪⎝⎭V V截扇形故A错误，截面示意图如下：对于B，由对称性知,勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O,如图：正BCD △外接圆半径122cos303O B =⋅⋅=o 正四面体ABCD 的高1AO==令正四面体ABCD 的外接球半径为R ,在1Rt BOO V 中,222R R⎫=-+⎪⎪⎭，解得R =,此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ,连接BO交平面ACD 于点E ，交»AD于点F ，其中»AD 与ABD△共面，其中BO 即为正四面体外接球半径R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则由图得2r OF BF BO ==-=，故B 错误；对于C 某三个顶点的截面，由对A 的分析知()max 2S π=-截C 正确；对于D ，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切,,所以勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的半径为2D 错误.故选：C ．13.π314.54由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有33A 种，由分步乘法计数原理可知共有3333A 54⨯⨯=种，故答案为：54.15. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则1201202,2.x x x y y y +=⎧⎨+=⎩又2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-121212042y y k x x y y y -===-+.设圆心为C （5，0），则kOM =005y x -，因为直线l 与圆相切，所以000215y y x ⋅=--，解得03x =，代入22(5)9x y -+=得002y k y ====16．先对函数化简变形，然后由题意可得6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求得b =，再由()085f x a =可得04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为()()sin cosf x a x b x x ϕ=+=+，0ab ≠其中sin ϕ=，cos ϕ=，由于函数的图象关于6xπ=对称，所以6fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，即12a+，化简得b=，所以()00008sin cos2sin35f x a x x a x aπ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，即4sin35xπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以20000227sin2sin2cos22sin16323325 x x x xπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.17. （1）()11n nna n a-=+，11n na an n-∴=+，且112a=，∴数列1nan⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11nan=+，即()*1na n n N=+∈；（2）由（1）得1na n=+，()()2222211221na n n n nn∴=<=-+++，11111111113113243522122nTn n n n∴<-+-+-++-=+--<+++L.18.（1）证明：菱形ABCD中，AC BD⊥，设AC，BD交于点O，连接EO，FO，则EO BD⊥，FO BD⊥，又EO FO O=I，EO⊂平面EOF，FO⊂平面EOF，所以BD⊥平面EOF；又EF⊂平面EOF，所以BD EF⊥；（2）因为菱形ABCD边长为1，AC=，所以12OE OF OA OC AC=====，则1BD==，又32EF=，所以2221cos22OE OF EFEOFOE OF+-∠==-⋅，则120EOF∠=o，所以1sin1202OEFS OE OF=⋅⋅=oVDEFV中，1DE DF==，32EF=，则2221cos28ED DF EFEDFDE DF∠+-==-⋅，所以sin EDF∠=，所以1sin2DEFS DE DF EDF∠=⋅⋅=V；设点B到平面DEF的距离为h，由题意，B DEF B OEF D OEFV V V---=+即11113333DEF OEF OEF OEFS h S OB S OD S BD⋅=⋅+⋅=⋅V V V V，则1OEFDEFS BDhS⋅===VV.19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==，所以随机变量ξ的分布列为：ξ1.5 3.5 5.5P0.150.450.4所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a x a b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.61ii i i i uu bu uυυ==--===-∑∑，则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=，所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =，故所求的回归方程为1464y x =；（ii ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增，当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以，当4t =，即256x=时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.20.【小问1详解】因为2x =的焦点坐标为(，所以(F ，所以22,b MN OF c a ===．因为MN OF =2=，化简可得2b a =，又2222a b c -==，解得223,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2213y x +=．【小问2详解】由（1）可知()2,0P ，可知过点P 的直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()2y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()222234430k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212243k x x k +=+，2122433k x x k -=+，由()()()2222Δ443430k k k =--+->，解得201k <<．根据弦长公式可得2AP BP x⋅=()()()22121212122142k x x k x x x x=+-⋅-=+-++()()()()22222224384391133k k k kkk k+-+-+=+⋅=++．因为APEV的面积为1,S BPE△的面积为2S，设点E到直线l的距离为d，根据点到直线的距离公式可得d=所以1211,22S AP d S BP d=⋅=⋅，因此()22221222291118181314434343k kS S AP BP dk k k+⎛⎫⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=-⎪+++⎝⎭，因为201k<<，所以2334k<+<，则281381014316k⎛⎫<-<⎪+⎝⎭，从而94<<，的取值范围是90,4⎛⎫⎪⎝⎭．21．【解析】（1）由()f x有两个零点，得方程13e xxa=有两个解，设()3e xxr x=，则()()31e xxr x-'=，由()0r x'>，可得1x<，()r x单调递增，由()0r x'<，可得1x>，()r x单调递减，所以()r x的最大值为()31er=，当x→+∞时()0r x→，当x→-∞时，()r x→-∞，所以可得函数()r x的大致图象，所以13ea<<，解得3ea>，所以，()f x有两个零点时，a的取值范围是e,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）设()()()12sing x f x a x=--，（3）即()()1e312sinxg x x a xa=---，则()0g x≥恒成立，由()100g aa=-≥，π6π1πe3066ga=-⨯⎫⎪⎝⎭≥⎛，可得01a<≤，下面证明当01a<≤时，()()1e312sin0*x x a xa---≥，即证213e2sin10x x xa a-+-≥，令1b a=，则证2e 32sin 10x b bx x -+-≥，[)1,b ∈+∞，令()2e 32sin 1xh b b bx x =-+-为开口向上的二次函数，对称轴为32e xxb =，由（1）可知3312e 2e x x b =≤<，故()h b 在[)1,b ∈+∞时单调递增，则()()1e 32sin 1xh b h x x ≥=-+-，下面只需证明e 32sin 10x x x -+-≥即可，即证32sin 110e xx x -+-≤，令()32sin 11e x x x F x -+=-，则()232sin 2cos exx x xF x -+-'=，令()232sin 2cos q x x x x =-+-，则()π32cos 2sin 304q x x x x ⎛⎫'=-++=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()q x 单调递减，且()00q =，所以当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故()()00F x F ≤=，即32sin 110exx x -+-≤，从而不等式()*得证，综上，a 的取值范围是(]0,1．22.【答案】解：(1)依题意，曲线C 1:(x−2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0,故ρ2−4ρcos θ=0，即ρ=4cos θ,因为ρ2=41+3sin 2α，故ρ2+3ρ2sin 2α=4.即x 2+4y 2=4，即x 24+y 2=1.将θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2α得，ρ2Q =41+3sin 2θ0.将θ=θ0代入ρ=4cos θ得，ρP =4cos θ0.由|OQ|=|PQ|，得ρP =2ρQ ，即(4cos θ0)2=161+3sin 2θ0.解得sin 2θ0=23，则cos 2θ0=13又0<θ0<π2，故ρQ =41+3sin 2θ0=233，ρP =4cos θ0=433故△PMQ 的面积S △PMQ =S △OMP −S △OMQ =12⋅|OM|⋅(ρP −ρQ )⋅sin θ0=12⋅233⋅63=23.23. 【详解】（1）,,0a b c >Q ，()()494949f x x a x b c x a x b c a b c ∴=-+++≥--++=++，当且仅当()()490x a x b -+≤时取等号，494a b c ∴++=，要证9ab bc ca abc ++≥，只要证1119a b c++≥，由柯西不等式得()2211149(231)36a b c a b c ⎛⎛⎫++++≥=++= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当2233a b c ===时取等号，1119,9ab bc ca abc a b c∴++≥∴++≥．（2）由基本不等式得494a b b c c a +≥+≥+≥以上三式当且仅当4493a b c ===时同时取等号，将以上三式相加得49948a b b c c a ≤+++++=，即4≤．。

2022年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷（理科）1.设集合，，，则( )A. B. C. D.2.设复数，则( )A. B. C. D.3.设向量，，如果与共线且方向相反，则m的值为( )A. B. 1 C. D. 24.命题p：，，命题q：，，则下列命题中真命题是( )A. B. C. D.5.已知函数的图像如图所示，则的解析式可以是( )A.B.C.D.6.第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天丙和丁各去一天则不同的安排方法有( )A. 840种B. 140种C. 420种D. 210种7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )A. B. C. D.8.已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若，，则B. 若，且，则C. 若，且，，则D. 若直线m、n与平面所成角相等，则9.已知直线l：将圆C：分为M，N两部分，且M部分的面积小于N部分的面积．若在圆C内任取一点，则该点落在M部分的概率为( )A. B. C. D.10.已知函数满足，且，当时，，则( )A. B. 0 C. 1 D. 211.2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为单位：万元，结果精确到万元参考数据：，( )A. 83B. 60C. 50D. 4412.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点P满足，则椭圆的离心率取值范围为( )A. B. C. D.13.已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为______.14.已知，则的值是______.15.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个载面圆的周长为，则该球的表面积为______.16.关于函数，下列结论正确的有______个．①函数的图像关于直线对称；②函数的图像关于点对称；③函数在区间内是增函数；④函数的图像是函数的图像向右平移个单位长度得到的．17.已知首项为2的数列满足证明：数列是等差数列．令，求数列的前n项和18.某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市3名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝100mL以上的”为常喝．已知在所有的30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为常喝不常喝合计有糖尿病6无糖尿病18合计30请将如表补充完整，并判断是否有的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率．参考公式及数据：，19.如图，在长方体中，E、F分别是棱BC、上的点，，AB：AD ：：2：4，证明：平面；求二面角的余弦值．20.已知函数，，设，求函数的单调区间；设，当函数有两个零点时，求实数a的取值范围.21.已知曲线C：，D为直线上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，证明：直线AB过定点；若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；直线l与曲线C相交于A，B两点，设点，求23.已知函数解不等式；若不等式有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．由并集定义先求出，再由交集定义能求出【解答】解：集合，，，故选：2.【答案】D【解析】解：，的共轭复数是，²故选：由共轭复数的概念及复数的代数形式的运算法则求解即可．本题考查共轭复数的概念，涉及复数的代数形式的运算，属基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题为向量共线的考查，涉及向量共线同向和共线反向的区别，属基础题．由题意可设，可得，解得，又，可得m的值．【解答】解：因为向量与共线且方向相反，故由共线向量定理可设，即解得，由于，，故选：4.【答案】D【解析】解：命题p：由于对已知，，则，则命题p：，，为真命题，为假命题；命题q：由于对，，则命题q：，为假命题，为真命题．则、、为假命题，为真命题．故选：由于命题p：，，为真命题，而命题q：，为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：5.【答案】A【解析】解：根据题意，用排除法分析：对于B，，当时，，与图象不符，对于C，，其定义域为，有，为偶函数，与图象不符；对于D，，其定义域为，当时，，与图象不符；故选：根据题意，用排除法分析：由函数的符号排除B，由函数的奇偶性排除C，由函数的变化趋势排除D，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数图象变换趋势的分析，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由已知，甲的安排方法为，乙的方法为，剩余的两天安排丙丁有种方法，故共有故选：按计数原理，依次将甲，乙，丙丁的服务时间确定好，然后利用乘法计数原理求解．本题考查计数原理的应用，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：设该扇形的半径为r米，连接由题意，得米，米，，在中，，即，，解得米故选：连接OC，由知，可由余弦定理得到OC的长度．本题主要考查用余弦定理求三角形边长，解答的关键是构造三角形后利用余弦定理，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：A如图可否定A；C如图可否定C；D如图可否定D；故选：通过图示采用排除法可否定A，C，D，故选此题考查了直线，平面的位置关系，难度不大．9.【答案】B【解析】解：圆C：，化为标准方程可得，所以圆C的圆心，半径为，直线l：，点C到直线l的距离为，设直线l与圆的两个交点为A，B，故，所以，故，则该点落在M部分的概率为故选：由圆C的方程求出圆心和半径，然后求出圆心到直线l的距离，求出相交弦长，由几何概型的概率公式将问题转化为求解面积问题，即可得到答案．本题考查了几何概型问题，直线与圆的位置关系的应用，点到直线距离公式的运用，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：，，又，，即，，，故选：由，且，可得到函数的周期，从而解答本题．本题考查了函数的周期性，属于基础题．11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等比数列的实际应用，掌握等比数列的前n项和公式是解本题的关键，属于基础题．根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．【解答】解：设每年应扣除的消费资金为x万元，则1年后投入再生产的资金为：，2年后投入再生产的资金为：，5年后投入再生产的资金为：，故，解得故选：12.【答案】C【解析】解：设，由，则，，所以由，可得：，可得：，整理可得：，即，解得：，即，由于椭圆的离心率小于1，所以，故选：设P点的坐标，由，可得等式，再由，求出a，c的表达式，即关于e的不等式求出即可，注意椭圆的离心率本身的范围．考查椭圆的性质，属于中档题．13.【答案】【解析】解：双曲线，渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设，焦距为10，右焦点为，，解得，渐近线方程为故答案为：由标准方程可得，渐近线方程，利用点到直线的距离公式构造方程，求出的值，即可求解．本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，，，，即，则已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出的值为1，由的范围，利用特殊角的三角函数值求出的度数，即可求出的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．15.【答案】【解析】解：由于球心和正方体的中心重合，截面图如图所示：所以，解得；，所以球的半径，故故答案为：首先根据题意确定球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球和正方体的关系，球的半径的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．16.【答案】①②③【解析】解：由于当时，，是函数的最值，故函数的图象关于直线对称；故①正确．由于当时，，故函数的图像关于点对称；故②正确；在区间上，，故函数在区间上是增函数，故③正确；把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故④错误，故答案为：①②③．根据正弦函数的导数、单调性，以及它的图象的对称性，的图象变换规律，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的单调性，以及它的图象的对称性，利用了的图象变换规律，属于基础题．17.【答案】证明：依题意，由，可得，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列．，，解：由知，…………【解析】本题第题依题意可将递推式转化为，即可得到数列是等差数列．第题通过求出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，即可得到数列的通项公式，然后运用分组求和法求出前n项和本题主要考查由数列递推公式求出通项公式，以及运用分组求和法求出前n项和．考查了转化思想的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.【答案】解：，故糖尿病患者总计有8名，其中常喝酒的有名，列联表如下：常喝不常喝合计有糖尿病 62 8无糖尿病 4 18 22合计 10 2030，有的把握认为糖尿病与喝酒有关．由题意可知，常喝酒且有糖尿病的6人中恰有2名老年人，则中年人为4人，现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，故恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率【解析】，故糖尿病患者总计有8名，其中常喝酒的有名，即可求解列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．常喝酒且有糖尿病的6人中恰有2名老年人，则中年人为4人，再结合古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查独立性检验公式，以及古典概型的概率公式，属于基础题．19.【答案】证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，，则，，，，，，于是，因此，，又，平面；解：设平面EFD的法向量，则，取可得，由可知，为平面的一个法向量，于是，，二面角的余弦值为【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到，，的坐标，由，可得，再由线面垂直的判定可得平面；求出平面EFD的法向量，由可知，为平面的一个法向量，可得，，进一步求得二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：因为，其定义域为，所以，当时，；当时，，所以函数的单调递增区间为和；函数的单调递减区间为因为，所以函数有两个零点可转化为关于x的方程有两个实数解，即函数的图象与函数的图象有两个交点．令，其定义域为，则，令，解得易知当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，；当时，，所以当函数的图象与函数的图象有两个交点时，，所以，所以实数a的取值范围是【解析】由条件可得，然后判断的符号，得到函数的单调区间；函数有两个零点可转化为函数的图象与函数的图象有两个交点，构造函数，利用导数可求得当函数有两个零点时，实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想、转化思想，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】证明：设，，则，由于，切线DA的斜率为，故，整理得：设，同理可得故直线AB的方程为直线AB过定点；解：由得直线AB的方程由，可得于是设M为线段AB的中点，则，由于，而，与向量平行，，解得或当时，，所求圆的方程为；当时，，所求圆的方程为故该圆的方程为或【解析】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力．设，，则，利用导数求斜率及两点求斜率求出直线AB的方程为，再由直线系方程求直线AB过的定点；由得直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB的中点，再由，可得关于t的方程，求得或然后分类求得或及所求圆的方程．22.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，消去参数t，可将直线l的参数方程转化为普通方程，，，又，，故曲线C的直角坐标方程为为参数代入到曲线C的方程可得，，则，，在圆内，且在直线l上，【解析】将直线l的方程消去t，即可求得直线l的一般式方程，再结合极坐标公式，即可求解曲线C 的方程．将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，根据直线参数方程中t的几何意义，即可求解．本题主要考查参数方程和极坐标公式的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：，或或，解得：或或无解，综上，不等式的解集是，当时等号成立，不等式有解，，，或，即或，实数m的取值范围是【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．求出的分段函数的形式，问题转化为关于x的不等式组，解出即可；根据绝对值不等式的性质求出代数式的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．。

2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷（理科）1. 已知R是实数集，集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数的实部与虚部的和为12，则( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.4. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，⋯，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则( )A. 189B. 252C. 324D. 4055. 已知M为抛物线C：上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则( )A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知，则( )A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 18B. 36C. 54D. 1088. 某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额单位：万元和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是( )A. 2020年第四季度的销售额为380万元B. 2020年上半年的总销售额为500万元C. 2020年2月份的销售额为60万元D. 2020年12个月的月销售额的众数为60万元9. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )A. 12B. 14C. 16D. 1810. 在四边形ABCD中如图1所示，，，，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体如图2所示，使得，则四面体外接球的表面积为( )A. B. C. D.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C的离心率为B. 若，且，则C. 以线段，为直径的两个圆外切D. 若点到C的一条渐近线的距离为，则C的实轴长为412. 已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1， (1)2，4，…，，，…，2，1，…的前n项和为，若，则n的最小值为( )A. 81B. 90C. 100D. 202113. 已知是奇函数，且当时，若，则__________.14. 若x，y满足约束条件，则的最大值为______.15. 函数的图象在点处的切线的斜率为____________。

哈尔滨市高考数学一模试卷(理科)A卷

哈尔滨市高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A . {1，2，3}B . {0，1，2，3}C . {2}D . {﹣1，0，1，2，3}2. （2分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·广元模拟) 现用随机模拟方法近似计算积分 dx，先产生两组（每组1000个）在区间[0，2]上的均匀随机数x1 ， x2 ， x3 ，…，x1000和y1 ， y2 ， y3 ，…，y1000 ，由此得到1000个点（xi ， yi）（i=1，2，…，1000），再数出其中满足 + ≤1（i=1，2，…，1000）的点数400，那么由随机模拟方法可得积分 dx的近似值为（）A . 1.4B . 1.6C . 1.8D . 2.04. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A . ﹣3B .C . ﹣D . 25. （2分） (2017高一下·西安期中) 下列不等式中正确的是（）A . sin π＞sin πB . tan π＞tan（﹣）C . sin（﹣）＞sin（﹣）D . cos（﹣π）＞cos（﹣π）6. （2分）(2017·嘉兴模拟) 函数f（x）=（）x﹣x2的大致图象是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·乾安期中) 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A . y=x+1B . y=﹣x2C . y=x|x|D . y=x﹣18. （2分） (2016高一下·舒城期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A . 12B . 18C . 24D . 429. （2分）(2016·安徽) 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2017高二下·太和期中) 如图，F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，若C的离心率为，|AB|=|AF2|，则直线l的斜率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·平坝期中) 假如国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 200 km的某地，他应付的邮资是（）A . 5.00元B . 6.00元C . 7.00元D . 8.00元12. （2分）已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·张家口期末) 若向量 =（0，1），| |=| |，• = ，则||=________．14. （1分） (2016高一下·河源期末) 已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为________．15. （1分）若（1+x）n=1+a1x+a2x2+a3x3+…+xn（n∈N*），且a1：a3=1：2，则n=________．16. （1分）函数f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为________三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2017高一下·长春期末) 在△ABC中，=60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.18. （10分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知数列与，若且对任意正整数满足数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和19. （5分）佛山某中学高三（1）班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179．（Ⅰ）请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；（Ⅱ）利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X，求X的分布列和数学期望．20. （10分） (2018高二下·南宁月考) 已知椭圆的左，右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M.（1）求点M的轨迹的方程；（2）设与x轴交于点Q，上不同于点Q的两点R、S，且满足，求的取值范围．21. （15分）(2016·大连模拟) 设函数f（x）=x2﹣aln（x+2），g（x）=xex ，且f（x）存在两个极值点x1、x2 ，其中x1＜x2 ．（1）求实数a的取值范围；（2）求g（x1﹣x2）的最小值；（3）证明不等式：f（x1）+x2＞0．22. （5分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+2y的最小值．23. （5分）解关于x的不等式：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。

2023年高考数学全真模拟(全国甲卷乙卷通用)理数01试题(含答案解析)

2023年高考数学全真模拟卷一（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}ln 20A x x x =-=，()(){}130B x x x =+->，则A B = （）A ．{}0,3B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．若1i z =-，则2|32i |z +-=（）AB ．5C ．3D ．3．2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Oatar 2022）是第二十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1－11月份说法错误的是（A ．有5个月平均气温在30℃以上B ．有4个月平均降水量为0mm C ．7月份平均气温最高D ．3月份平均降水量最高4．某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M 与该品种水果中氢离子的浓度N 有关，酿醋成功指数M 与浓度N 满足 2.8lg M N =-．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（ 1.259≈）（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.85．数列{}n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为（）A ．12B ．2C ．2D 7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为（）1.414≈ 1.732≈）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．13B ．23C ．129．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos 2Ba a c =+，则ABC 为（）A ．钝角三角形B ．正三角形C ．直角三角形10．高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（）A ．1384B ．34C ．38D ．11611．在三棱锥S ABC -中，2SAC SBC π∠=∠=，23ACB π∠=，1AC BC ==.若三棱锥S ABC -的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．13πB ．373πC ．49πD ．52π12．已知111a =，b =，11ln 10c =．则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．b a c>>第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线()e e xxf x x =+在1x =处的切线方程为___________.14．已知向量1,,()()1,a m b m ==- ，若(2)a b b -⊥，则b = ________．15．已知直线l 与椭圆22221x y a b+=()0a b >>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，当AOB (O 为坐标原点）的面积最小时，1260F PF ∠=（12,F F 是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是_________.16．已知函数f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤2π），x =-4π为f （x ）的零点，x =4π为y =f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（18π，6π）上单调，则ω的最大值为______．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人．这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占310．(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率；(2)请将下面的列联表补充完整，并依据0.05α=的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关．确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且59a =，864S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()11n n n b n a a *+=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP =.(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.20．已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E的坐标为()3-．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．21．已知函数()()212ln 11ax xf x x x +=+-+，R a ∈．(1)当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()()()1g x x f x =+在()0,∞+上不单调，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求C 的上的动点到l 的距离的取值范围.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．2023年高考数学全真模拟卷一（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}ln 20A x x x =-=，()(){}130B x x x =+->，则A B = （）A ．{}0,3B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】B【分析】直接解出{0,1,3}A =，{}13B x x =-<<，根据交集的概念即可得到答案.【详解】由题可得{0A xx ==∣或ln |2|0}{0,1,3}x -==，()(){}{}13013B x x x x x =+-<=-<<，所以{}0,1A B = ，故选：B.2．若1i z =-，则2|32i |z +-=（）AB ．5C ．3D ．【答案】B【分析】根据复数运算，复数的模计算即可解决.【详解】由题知，22|32i |12i+i 32i 34i 5z +-=-+-=-=，故选：B3．2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Oatar 2022）是第二十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1－11月份说法错误的是（）A ．有5个月平均气温在30℃以上B ．有4个月平均降水量为0mmC ．7月份平均气温最高D ．3月份平均降水量最高【答案】D【分析】根据给定的图表，逐项分析判断作答.【详解】观察图表知，5月、6月、7月、8月、9月的5个月平均气温均在30℃以上，A 正确；6月、7月、8月、9月的4个月平均降水量为0mm ，B 正确；7月份平均气温最高，C 正确；2月份平均降水量比3月份平均降水量高，D 错误.故选：D4．某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M 与该品种水果中氢离子的浓度N 有关，酿醋成功指数M 与浓度N 满足 2.8lg M N =-．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（ 1.259≈）（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】D【分析】直接由题目中关系式解氢离子的浓度即可.【详解】由题意知：2.9 2.8lg N =-，整理得lg 0.1N =-，解得0.110N -=，又0.11100.81.259-=≈≈，故0.8N ≈.故选：D.5．数列{}n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由1(1)0a q -<，解得101(0)a q q >⎧⎨<≠⎩或101a q <⎧⎨>⎩，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案.【详解】由已知1(1)0a q -<，解得101(0)a q q >⎧⎨<≠⎩或101a q <⎧⎨>⎩，11n n a a q -=，此时数列{}n a 不一定是递减数列，所以()110a q -<是“数列{}n a 递减”的非充分条件；若数列{}n a 为递减数列，可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩，所以()110a q -<，所以()110a q -<是“数列{}n a 递减”的必要条件.所以“()110a q -<”是“数列{}n a 为递减数列”的必要不充分条件.故选：B.6．若双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为（）A ．12B C ．2D 【答案】C【分析】写出双曲线的焦点，渐近线后，列方程求出b ，然后根据离心率定义计算.【详解】依题意得，双曲线的一条渐近线为0bx y -=，一个焦点为)，根据点b =，于是2c ==，离心率2ce a==.故选：C 7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为（） 1.414≈、1.732≈）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米【答案】B【分析】在Rt ADC 中用CD 表示AC ，Rt BDC 中用CD 表示BC ，建立CD 的方程求解即得.【详解】Rt ADC 中，30DAC ︒∠=，则AC =，Rt BDC 中，45DBC ︒∠=，则BC CD =，由AC-BC=AB 147(1)19.124CD CD -=⇒=≈，CD 约为19米.故选：B8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．13B ．23C ．12D ．43【答案】B【分析】由三视图画出三棱锥原图，利用13V Sh =锥可得结果.【详解】根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，DA ⊥平面ABC ，所以11121223323ABC V S DA ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△故选：B.9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos 2Ba a c =+，则ABC 为（）A ．钝角三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用二倍角公式和正弦定理进行化简，结合三角形内角的范围即可得到答案【详解】由22cos2Ba a c =+结合正弦定理可得1cos 2sin sin sin 2B A A C +⋅=+，即sin sin cos sin sin A A B A C +=+，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，所以cos sin 0=A B ，因为sin 0B >，所以cos 0A =，因为0πA <<，所以π2A =，故ABC 为直角三角形，故选：C 10．高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（）A ．1384B ．34C ．38D ．116【答案】D【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组，高的同学站后即可.【详解】8名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有88A 种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有2222864244C C C C A 种分法，4组人有44A 种站法，故所求概率22228642884444C C C C A A 1A 16P ⋅==.故选：D.11．在三棱锥S ABC -中，2SAC SBC π∠=∠=，23ACB π∠=，1AC BC ==.若三棱锥S ABC -的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．13πB ．373πC ．49πD ．52π【答案】D【分析】由条件可知ASC 和BSC 为以SC 为斜边的直角三角形，则SC 的中点O 为外接球的球心.过S 做SH ⊥平面ABC ，垂足为H，由三棱锥的体积可求出高SH =，根据三角形全等可证明H 在ABC ∠的角平分线上，即60HCA ∠=o ，由线面垂直的定理可知AC HA ⊥，从而可计算2CH =，勾股可知SC 的长，从而计算外接球的半径和表面积.【详解】解：因为2SAC SBC π∠=∠=，所以ASC 和BSC 为以SC 为斜边的直角三角形，则SC 的中点O 到各个顶点的距离都相等，则O 为外接球的球心.即SC 为直径.过S 做SH ⊥平面ABC ，垂足为H ，连结HB ，HA ，则1111132S ABC V SH -=⨯⨯⨯⨯，解得：SH = 1AC BC ==，2SAC SBC π∠=∠=，SC SC =，SAC SBC ∴≅V V ，则SA SB=,AH BH 分别为,SA SB 在平面ABC 内的射影，所以有AH BH =，又AC BC =，HC 为公共边，所以AHC BHC ≅V V ，则HCA HCB ∠=∠，所以H 在ABC ∠的角平分线上，60HCA ∠=o ，AC SA ⊥，AC SH ⊥，SA SH S = ，所以有AC ⊥平面SHA ，AH ⊂平面SHA ，则有AC HA ⊥，因为1AC =，60HCA ∠=o，所以2CH =，则SC ==，则R =故外接球的表面积为2452S R ππ==.故选：D.12．已知111a =，b =，11ln 10c =．则（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．b a c>>【答案】B【分析】令()()ln 1f x x x =-+，()()1ln 111g x x x =+-++，利用导数可求得()(),f x g x在()0,1上的单调性，从而确定()ln 1x x >+，()1ln 111x x +>-+，x >，令110x =即可得到大小关系.【详解】令()()ln 1f x x x =-+，01x <<，则()11011xf x x x '=-=>++，()f x \在()0,1上单调递增，()()00f x f ∴>=，即()ln 1x x >+；令()()1ln 111g x x x =+-++，01x <<，则()()()22110111x g x x x x '=-=>+++，()g x ∴在()0,1上单调递增，()()00g x g ∴>=，即()1ln 111x x +>-+；又当01x <<x >，∴当01x <<()1ln 111x x x >>+>-+；则当110x =1111ln 101011>>>，即b c a >>.故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线()e e xxf x x =+在1x =处的切线方程为___________.【答案】10x y -+=【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得；【详解】解：因为()e e x x f x x =+，所以()1e 1112ef ⨯=+=，()()e 11exx f x -'=+，所以()()1e 11111ef -'=+=，所以切线方程为21y x -=-，即10x y -+=；故答案为：10x y -+=14．已知向量1,,()()1,a m b m ==- ，若(2)a b b -⊥，则b = ________．【答案】2【分析】首先求向量2a b -的坐标，再根据向量的数量积为0，求23m =，最后代入公式求模.【详解】2(23,,23)0)(a b m a b b m -=-⋅=-+= ，得23m =，所以2b == .故答案为：2.15．已知直线l 与椭圆22221x y a b+=()0a b >>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，当AOB (O 为坐标原点）的面积最小时，1260F PF ∠=（12,F F 是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是_________.【分析】先根据题意点()00,P x y 处的切线方程为：00221xx yy a b +=，进而得20,0a A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，200,b B y ⎛⎫⎪⎝⎭，故220012AOBa b Sx y =，再结合椭圆方程与基本不等式可得0021x yab≥，故AOBS ab ≥，当且仅当002x y a b ==时，AOB 的面积最小.再结合椭圆定义与余弦定理得22143b PF PF =，进而根据等面积法得12223F PF S bc ==，故2232b c =，进而得e =.【详解】解：根据题意结合椭圆性质得椭圆在点()00,P x y 处的切线方程为：00221xx yya b+=，由于直线与l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，故20,0a A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，200,b B y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222200001212AOBa b a b x y Sx y =⋅⋅=，由于2200002221x y x y a b ab+=≥，所以0012x y ab ≥，所以222200001122AOBa b a b ab x y x y S⋅=⋅≥=，当且仅当002x y a b ==时，AOB 的面积最小.由于1260F PF ∠=，故在12F PF △中用余弦定理得：()2222212212121214343c PF PF PF PF PF PF PFPF a PF PF =+-=+-=-所以22143b PF PF =，所以12221114sin 60223F PF b SPF PF ==⋅⋅另一方面121201122222F PF S F F y c b bc ==⋅⋅所以232bc =，即：2232b c =，由于222b a c =-，所以2252a c=所以5e =.故答案为：516．已知函数f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤2π），x =-4π为f （x ）的零点，x =4π为y =f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（18π，6π）上单调，则ω的最大值为______．【答案】5【分析】先根据4x π=-是()f x 的零点，4x π=是()y f x =图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得ω的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对ω赋值验证找到适合的最大值即可．【详解】由题意可得4424k T T ππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21212=244k k T ππω++⋅=⋅，解得()=21,k k N ω++∈，又因为()f x 在186，ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以12·618922T ππππω-=≤=，即9ω≤，因为要求ω的最大值，令=7ω，因为4x π=是()y f x =的对称轴，所以()74k k Z πϕπ+=∈，，又2πϕ≤，解得4πϕ=，所以此时()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 在3,2828ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()f x 在3,1828ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在3286ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故()f x 在186，ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，同理，令=5ω，()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在52020，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为51862020ππππ⎛⎫⎡⎤⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，，所以()f x 在186，ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，满足题意，所以ω的最大值为5.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人．这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占310．(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率；(2)请将下面的列联表补充完整，并依据0.05α=的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关．确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)740(2)列联表见解析，认为确诊为新冠肺炎与年龄有关【分析】（1）根据题意，可知50岁及以上的确诊人数为7人，又50岁以上的人数为40，根据古典概型，即可求出结果；（2）由题中的数据，可以直接得出表中的数据，再利用独立性检验公式，计算出2χ，可参考表中的数据可以直接判断．．（1）解：因为100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占310，所以50岁以下的确诊人数为3，所以50岁及以上的确诊人数为7，因为50岁及以上的共有40人，所以50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率估计为740．（2）解：补充列联表如下：确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上7334050岁以下35760合计1090100零假设为0H ：确诊为新冠肺炎与年龄无关．计算可得()220.05100757333254.167 3.841406010906x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯．依据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为确诊为新冠肺炎与年龄有关．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且59a =，864S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()11n n n b n a a *+=∈N ，求数列{}nb 的前n 项和nT ．【答案】(1)21n a n =-(2)21n n T n =+【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得1,a d ，进而得到n a ；（2）由（1）可得n b ，采用裂项相消法可求得n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则518149878642a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，()12121n a n n ∴=+-=-.（2）由（1）得：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，111111111111233557212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP = .(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据空间中的线面关系即可证得；（2）通过建立空间直角坐标，将空间的角度问题转化为空间的坐标运算问题即可得到答案.【详解】（1）连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH.由90BAD ADC ∠=∠=︒，得AB CD ∥，12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PM HC MC =，∴AP MH ∥，又MH ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，∴AP ∥平面MBD.（2）记O 为CD 的中点，连接PO ，BO.∵PCD 为等边三角形，∴PO CD ⊥，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD ＝CD ，∴PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为x 轴，建立空间直角坐标系，如下图，则()0,1,0D -，(P，10,3M ⎛ ⎝⎭，()1,0,0B ，()0,1,0C，11,3BM ⎛=- ⎝⎭，()1,1,0BD =-- .设平面BDM 的法向量(),,n x y z =，则1030n BM x y z n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，取x ＝1得1,n ⎛=- ⎝⎭，平面BCD 的一个法向量()0,0,1m =.设二面角M －BD －C 的平面角为θ，则cos m n m nθ⋅==⋅ .∴二面角M －BD －C20．已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E的坐标为()3-．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）分析可知当点E 为MN 的中点时，FMN 为等腰直角三角形，求出点M 的横坐标，分析可得2M px MF +==，结合抛物线的定义可得出关于p 的等式，解出p 的值，即可得出抛物线C 的方程；（2）分析可知，直线MF 、NF 均不与x 轴重合，设直线MF 的方程为()10x my m =+≠，则直线NF 的方程为11x y m=-+，将直线MF 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可求得点P 的坐标，同理可得出点Q 的坐标，分21m =、21m ≠两种情况讨论，求出直线PQ 的方程，并化简，即可求得直线PQ 所过定点的坐标.【详解】（1）解：因为以MN 为直径的圆过点F ，则MF NF ⊥，当点E 为MN 的中点时，MN EF ⊥，则MF NF =，此时FMN 为等腰直角三角形，又点E 、F 在x 轴上，则MN x ⊥轴，所以3M E x x ==-，6p >-，32p ∴>-F 在E的右侧，所以32pEF =-+由抛物线的定义知2M p x MF +==，所以，33222p p -=-+，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =．（2）证明：若直线MF 与x 轴重合，则直线MF 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意，同理可知，直线NF 与x 轴也不重合，设直线MF 的方程为()10x my m =+≠，则直线NF 的方程为11x y m=-+，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，216160m ∆=+>，设()11,M x y 、()22,A x y ，则124y y m +=，124y y =-，所以()221,2P m m +，同理可得2221,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当21m ≠时，()2222221211PQm m m k m m m +==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，所以直线PQ 的方程为()222121m y x m m m =--+-，化简得()231m y x m =--，当3x =时，0y =，直线PQ 过定点()3,0．当21m =时，直线PQ 的方程为3x =，直线PQ 必过点()3,0，综上所述，所以直线PQ 过定点()3,0．21．已知函数()()212ln 11ax xf x x x +=+-+，R a ∈．(1)当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()()()1g x x f x =+在()0,∞+上不单调，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 在()10-，上单调递增，在()0,∞+上单调递减(2)()01，【分析】（1）当2a =时，确定函数解析式，求出定义域，利用导数求函数()f x 的单调性；（2）由()g x 的解析式求出导数，无法直接判断导函数的正负，构造新函数再求导，分类讨论()g x 的单调性，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，函数()()()2ln 1ln 11x xf x x x x x +=+-=+-+，定义域为()+∞-1,，易知()1111x f x x x -'=-=++，令()0f x ¢>，得10x -<<，令()0f x '<，得0x >，所以函数()f x 在()10-，上单调递增，在()0,∞+上单调递减．（2）由题意知()()()211ln 12g x x x ax x =++--，则()()ln 1g x x ax '=+-，令()()ln 1x x h ax =+-，0x ≥，则()11h x a x '=-+．①当0a ≤时，()0h x '>，则()g x '在()0,∞+上单调递增，所以当0x >时，()()00g x g ''>=，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，不符合题意．②当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+，则()g x '在()0,∞+上单调递减，所以当0x >时，()()00g x g ''<=，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，不符合题意．③当01a <<时，由()101h x a x '=-=+，得110x a=->，当10,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．易知ln 1≤-x x ，当且仅当x ＝1时取等号，则当0x >时，1≤，即)ln 21x ≤．所以当x ＞0时，()()212h x ax a x <--<-+-．取241t a =-，则11t a >-，且()20h t <-=．又()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，所以存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =，所以当()00x x ∈，时，()0h x >，即()0g x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()00x ，上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，故函数()g x 在区间()0,∞+上不单调，符合题意．综上，实数a 的取值范围为()0,1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求C 的上的动点到l 的距离的取值范围.【答案】(1)40x y -+=，22+=13yx(2)【分析】（1）对于直线l ，消去参数t 即可求解，对于曲线C ，根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==即可求解；（2）先将曲线C 化为参数方程，再根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程为40x y -+=，曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ，即222+cos2=3ρρθ，即22222+(cos sin )=3ρρθθ-，222222+cos sin =3ρρθρθ-，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，∴曲线C 的直角坐标方程22222(+)+=3x y x y -，即22+=13y x .（2）曲线C 的直角坐标方程为：22+=13yx ∴曲线C的参数方程为{x y αα=(α为参数),设曲线C上的动点(cos )M αα，则曲线C 上的动点M 到直线l的距离d[]2sin )2,26πα-∈- （，∴曲线C 上的动点到直线l=，故曲线C 上的动点到直线l距离取值范围为：.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．【答案】(1)3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)(]0,8.【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；（2）先求出()21,312,121,1x m x mg x x m x m x m x -++>⎧⎪=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，由函数单调性得到()()max 1g x g m m ==+，根据函数图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，()3,21221,123,1x f x x x x x x >⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩，当2x >时，()32f x =>成立；当12x -≤≤时，()212f x x =->，则322x <≤；试卷第17页，共17页当1x <-时，()32f x =-<不合题意，综上，()2f x >的解集为3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）因为0m >，所以()21,12312,121,1x m x m g x x x m x m x m x m x -++>⎧⎪=+--=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，当1x <-时，()g x 单调递增，当1x m -≤≤时，()g x 单调递增，当x >m 时，()g x 单调递减，所以当x m =时，()g x 取得最大值，()()max 1g x g m m ==+，∴图象与x 轴围成的三角形面积为()()221421154233S m m =⨯+=+≤，解得：108m -≤≤，又0m >，则08m <≤，∴m 的取值范围是(]0,8.。

2023年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）1. 以下五个写法中：①；②；③；④，正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则( )A.B.C. D.3.已知命题p ：，，则p 的否定为( )A.， B. ，C. ，D.，4. 已知点，，则满足下列关系式的动点M 的轨迹是双曲线C 的上支的是( )A. B.C.D.5. 祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体，则截面面积为( )A.B. C.D.6. 已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是( )A. B.C.D.7. 已知为等比数列，是它的前n 项和.若，且与的等差中项为，则等于( )A. 37B. 35C. 31D. 298. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉.如图所示，喷头装在管柱OA 的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状.现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA 所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为( )A. 2mB. 3mC.D.9. 如图所示的直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于A、B两点，若B点的纵坐标为，且满足，则的值为( )A.B.C.D.10. 长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为( )A. B. C. D.11. 已知函数，若，其中，则的最小值为( )A. B. C. D.12. 如图，在三棱锥中，侧棱平面ABC，，，侧棱SB与平面ABC所成的角为，M为AC的中点，N是侧棱SC上一动点，当的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的正弦值为( )A.B.C.D.13. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为______ .14. 经过点，且被圆C：所截得的弦最短时的直线l的斜率为______ .15.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，，，则的最小值为______.16. 等腰直角的斜边AB的端点分别在x，y的正半轴上移动点不与原点O重合，，若点D为AB中点，则的取值范围是______.17. 近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展，某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行，方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类，经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分满分100分，将数据分成6组并整理得到如图频率分布直方图：请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎同一组中的数据用该组中间的中点值作代表；以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案.现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望.18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，为PD的中点，点F在PC上，且在求证：平面平面PAD；求二面角的余弦值；设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.19. 重庆某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路不计道路宽度，道路三角形的顶点分别在草坪三角形的三条边上．第一块草坪的三条边米，米，米，若，如图，区域内种植郁金香，求郁金香种植面积．第二块草坪的三条边米，米，米，M为PQ中点，如图，区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值．20. 已知椭圆的焦距为2，经过点，若点P是椭圆C上一个动点异于椭圆C的左右顶点，点，，，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点求椭圆C的标准方程；求证：当点P变化时，点M恒在一条定直线上.21.已知函数的图像与直线l：相切于点求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；求c与a的函数关系；当a为函数的零点时，若对任意，不等式恒成立.求实数k 的最值.22. 如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．当时，求B，C两点的极坐标；当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．23. 已知若a、b、c均为正数，证明：，并且写出等号成立的条件；若，且恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解：“”用于表示集合与元素的关系，故：①正确；空集是任一集合的子集，故②正确；根据集合元素的无序性，可得③正确；空集与任一集合的交集均为空集，故④错误故选：根据“”用于表示集合与元素的关系，可判断①的真假；根据空集的性质，可判断②④的正误；根据合元素的无序性，可判断③的对错，进而得到答案．本题考查的知识点是元素与集合关系，空间的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．2.【答案】D【解析】解：复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，，故选：根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的运算，即可求解．本题主要考查复数的几何意义，以及复数的运算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：命题，的否定是：，故选：对原命题“改量词，否结论”即可求得结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．4.【答案】A【解析】解：对A选项，，，又，动点M的轨迹是双曲线C的上支，选项正确；对B选项，，，又，动点M的轨迹是双曲线C的下支，选项错误；对C选项，，，又，动点M的不表示任何图形，选项错误；对D选项，，，又，动点M的轨迹是双曲线，选项错误．故选：根据双曲线的定义，即可分别求解．本题考查双曲线的定义，属基础题．5.【答案】D【解析】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2，高为2，截面为圆环，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，所以，所以截面圆环的面积为；故选：根据三视图知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，根据圆环面积公式计算即可．本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的计算问题，也考查了空间几何体的结构特征，是基础题．6.【答案】B【解析】解：对任意，都有成立，函数在定义域内单调递增，函数，，解得，故实数a的取值范围为故选：根据条件可知函数在定义域内单调递增，可得，结合分段函数的性质可得，即可得出答案．本题考查分段函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：，，解得，与的等差中项为，，解得，设等比数列的公比为q，则，解得，，，故选：根据等比数列的性质可得，解得结合，解得，利用等比数列的通项公式求出首项和公比的值，即可得出答案．本题考查等比数列和等差数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．.8.【答案】B【解析】解：以B为原点，分别以过点B平行于地面及垂直于地面的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，故可设抛物线方程为，由题意可知，，，，则，故，则，解得，抛物线方程为，由题意可设，则，解得，故故选：先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出抛物线的方程，再结合A点的横坐标，即可求解．本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意可得，，，又，可得：，可得，，即，则故选：由题意可得的值，先由三角形的面积公式求得，可得，将所求利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差的三角函数以及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：设事件“冬季去吉林旅游”，事件“夏季去吉林旅游”，事件“去了一眼望三国”，则，，在冬季去了“一眼望三国”的概率为，在夏季去了“一眼望三国”的概率为，某人去了“一眼望三国”景点的概率为：故选：根据古典概型分别求出冬季去了“一眼望三国”和夏季去了“一眼望三国”的概率，再结合全概率公式能求出某人去了“一眼望三国”景点的概率．本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】A【解析】解：因为，由上面结论可得，所以，其中，则，当时，，当且仅当，时等号成立；当时，，当且仅当，时等号成立；因为，所以的最小值为故选：根据得到，即，然后分和两种情况，利用基本不等式求最小值即可．本题主要考查基本不等式的运用，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意知为等腰直角三角形，因为M为AC的中点，所以又平面ABC，所以，所以平面SAC，所以，故的面积由题意知，所以，所以，当MN最小时，的面积最小，此时当时，过S作，交CA的延长线于点E，则，连接BE，则为异面直线SB与MN所成的角或其补角．因为平面ABC，所以为直线SB与平面ABC所成的角，所以，所以，所以，又，所以，所以，，在中，由题意知，所以由余弦定理得：，故当的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为故选：推导出为等腰直角三角形，，，从而平面SAC，，当MN最小时，的面积最小，此时，过S作，交CA的延长线于点E，则，连接BE，则为异面直线SB与MN所成的角或其补角．由此能求出异面直线SB与MN所成角的正弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：根据题意，的展开式中，二项式系数之和为64，则，解可得，则的展开式为：，令可得：，即展开式中常数项为；故答案为：根据题意，由展开式的二项式系数之和为64，即，求出n的值，进而求出展开式，分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是求出n的值，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，圆C：的圆心C为，当CP与直线l垂直时，点P且被圆C所截得的弦最短，此时，则直线l的斜率故答案为：根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线垂直的性质，即可求解．本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．15.【答案】【解析】解：①当时，，，，，，，令得，，的最小值为，②当时，，不符合题意，综上所述，的最小值为，故答案为：对的值进行分类讨论，结合等差数列前n 项和最值的求法得到的最小值．本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图，设，则，，线段AB 的中点，，，则有，又，，由得，故答案为：设，用的正余弦表示出C 、D 的坐标，结合向量模的坐标表示及三角函数的性质求解作答．本题考查图形上的点的变化引起的线段长度，面积等问题，若点的运动与某角有关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决，属于中等难度题．17.【答案】解：设A 小区方案一的满意度平均分为，B 小区方案二的满意度平均分为，由频率分布直方图可得，，，，方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；由题意可知方案二中，满意度不低于70的频率为，低于70分的频率为，现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，，故X的分布列为：X012345P故【解析】根据已知条件，结合平均数公式，即可求解；由题意可得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，依次求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：证明：平面ABCD，平面ABCD，，又由题意可知，且，平面PAD，又平面PCD，平面平面PAD；以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x 轴，AD ，AP 方向为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：，，，，由，可得点F 的坐标为，由，可得，，，设平面AEF 的法向量为，则，取，又平面AEP 的一个法向量为，，又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为；直线AG 不在平面AEF 内，理由如下：点G 在PB 上，且，，平面AEF 的法向量，，故直线AG 不在平面AEF 内．【解析】根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，即可证明；建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解；根据向量法，向量数量积运算，即可求解．本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直判定定理，向量法求解二面角问题，属中档题．19.【答案】解：，米，米，在中，运用余弦定理可得，，，，在中，，设，则，在中，，，由正弦定理可得，，可得，所以，，，故当时取得最小值450平方米．【解析】本题主要考查解三角形实际应用，以及正余弦定理，需要学生较强的综合能力，属于较难题．根据已知条件，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求解．根据已知条件，结合正弦定理，以及三角含的和差化积公式，即可求解．20.【答案】解：椭圆的焦距为2，经过点，，解得，所以椭圆C的标准方程为设直线PQ的方程为：，，，联立方程得：，则，，所以，又直线PE的方程为：，又直线QF 的方程为：，联立方程得：，把代入上式得：，所以当点P 运动时，点M 恒在定直线上．【解析】由题意可知，求解可得椭圆C 的标准方程；设直线PQ 的方程为：，，，联立方程组可得，，进而可得PE ，QF 的方程，联立直线方程组可得，可求x 为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹是定直线，属中档题．21.【答案】解：，，，函数的图像在点处的切线方程是：令得，所以该切线在x 轴上的截距等于，，函数的图像在处的切线方程是：，即，两端乘以b 变作：①．又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b 得，所以c 与a 的函数关系为：函数的零点为，时对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．①当时，对恒成立，此时②当时，恒成立．设，求得时，由得，由得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以当时，取得极小值，，此时③当时，恒成立．与②同，设，令，则，在上单调递增．所以，时，得，在上单调递减．所以，时，取得最大值，此时整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．所以，实数k的最大值为3，最小值为【解析】利用导数求切线方程，进而求出截距；先求出函数在处的切线方程，对照系数消去b即可得到；把题意转化为对，不等式恒成立．对x分类讨论：①直接判断；②时，利用分离参数法得到恒成立．设，求得利用导数求出；③当时，与②同，求出k的范围．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：根据题意：当时，所以，点，在正方形OBCD中，，所以设，，所以，由题意知曲线M的极坐标方程，将上式代入点D的极坐标方程得到【解析】直接利用转换关系，求出点B和D的极坐标；利用极径的应用求出曲线D的方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】证明：因为，，，所以，，，三式相加可得，，当且仅当时取等号，又，所以，当且仅当时取等号．解：若，因为，则，所以，则，因为恒成立，则，因为，当且仅当时取等号，所以，解得或，故实数a的取值范围为【解析】三次利用基本不等式，再利用不等式的基本性质证明即可；利用绝对值不等式的结论求出的最小值，由题意可知，，求解不等式即可得到答案．本题考查了不等式恒成立问题，不等式的证明，基本不等式的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．。

2021年高三数学第一次模拟考试试卷理(含解析)新人教A版

2021年高三数学第一次模拟考试试卷理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释） 1．设全集，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】试题分析：先利用集合的补集的定义求出集合的补集，即；再利用集合的交集的定义求出.故应选B.考点：交、补、并集的混合运算.2．已知是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A.【解析】试题分析：因为函数，所以，化简得，所以i i i i i i i i i 53515311062)3)(3()3(232+=+=+=-+-=+=.根据复数的几何意义知，所对应的点的坐标为，所以其对应的点在第一象限.故应选A.考点：复数的代数表示法及其几何意义.3．设随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线关于直线对称，所以，，所以.故应选D.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.4．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】试题分析：若“”，则由知，，所以，而，此时不能推出，即“”不是“”的充分条件；反过来，若“”，则，又，所以，所以，即“”是“”的充分条件，即“”是“”的必要条件.综上可知，“”是“”的必要不充分条件.故应选B.考点：充分条件与必要条件.5．已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若；②若；③若；④若.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D.【解析】试题分析：对于①，因为，所以直线与平面所成的角为，又因为∥，所以直线与平面所成的角也为，即命题成立，故正确；对于②，若，，则经过作平面，设，，又因为，，所以在平面内，，，所以直线、是平行直线.因为，，∥，所以∥.经过作平面，设，，用同样的方法可以证出∥.因为、是平面内的相交直线，所以∥，故正确；对于③，因为，∥，所以.又因为，所以，故正确；对于④，因为∥，，当直线在平面内时，∥成立，但题设中没有在平面内这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D.考点：平面的基本性质及推论.6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】C.【解析】试题分析：因为函数，所以将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图像.故应选C.考点：函数的图像变换.7．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程是，过右焦点分别作两条渐近线的平行线和，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是.故应选A.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质.8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.720【答案】C.【解析】试题分析：根据题意，可分2种情况讨论：①只有甲乙其中一人参加，有种情况；②甲乙两人都参加，有种情况，其中甲乙相邻的有种情况；则不同的发言顺序种数为种，故应选C ．考点：排列、组合的实际应用.9．设函数若，则关于的方程的解的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B.【解析】试题分析：先由可得，，解之可得，再由可得，解之可得，故，令可得或，解之可得或或，故应选B. 考点：根的存在性及根的个数判断. 10．已知向量与的夹角为，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,2时取得最小值，当时，夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：由题意知，，，所以 θcos )1(44)1()1(2)1(2222222t t t t OB OA t t OA t OB t PQ -=+-=⋅--+-=→→→→→，由二次函数的图像及其性质知，当上式取最小值时，.由题意可得，，求得，所以，故应选C.考点：向量数量积表示两个向量的夹角.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11．若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.【答案】.【解析】试题分析：要使得不等式对任意的恒成立，需的最小值大于，问题转化为求的最小值.首先设，则有.当时，有最小值为4；当时，有最小值为4；当时，有最小值为4.综上所述，有最小值为4.所以，.故答案为.考点：含绝对值不等式；函数恒成立问题.12．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 .【答案】.【解析】试题分析：根据程序框图可得计算出的为：，为了计算，当时，代替，并用代替，进入下一次运算；而当时，代替，恰好，用代替得，，在这次运算中结束循环体并输出的值，因此，判断框内应填.考点：程序框图.13．已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .【答案】.【解析】试题分析：设圆C的圆心C的坐标为，则圆C的标准方程为.圆心C到直线的距离为：，又因为该圆过点，所以其半径为.由直线被该圆所截得的弦长为以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圆C的标准方程为.考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.14．定义：，在区域内任取一点(){}22，则、满足的概率为．++++=++p x y x y x x y x y x x y,min2,42【答案】.【解析】试题分析：由题意知，如下图所示，实验包含的所有事件对应的集合，其面积为；满足条件的事件}42,60,20),{(2++≤++≤≤≤≤=y x y x x y x y x A ，即，由几何概型的计算公式知，.故应填.考点：几何概型.15．已知，若恒成立，则实数的取值范围是．【答案】.【解析】试题分析：因为，所以由基本不等式知，，当且仅当即等号成立.问题恒成立转化为，即，由一元二次不等式解法知，.考点：一元二次不等式及其解法；均值不等式的应用.评卷人得分三、解答题（题型注释）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，且..（1）求的值；（2）若面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）在△ABC 中，首先运用余弦定理公式，并结合已知条件即可求出；然后根据三角形的内角和等于和倍角公式，将所求式子化简为只关于的式子，最后将的值代入即可；（2）将已知b=2代入，即可得到式子；试题解析：（1）在△ABC 中，由余弦定理可知，，由题意知，∴；又在△ABC 中，∴1cos 22cos 12cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222-++=+=+-=++B B B B B B B C A π ，又，∴.（2）∵b=2 ，∴由可知，，即，∴.∵，∴ ∴.∴△ABC 面积的最大值为．考点：余弦定理；均值不等式.17．如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且（1）在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明；（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.（2）锐二面角的余弦值为.【解析】试题分析：（1）设Q为AB上的一点，满足.由线面平行的性质证出MD//NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在中得到OP//AM.最后利用线面平行判定定理，证出// 面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；（2）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标.利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面CMN的法向量.根据线面垂直的判定定理证出DC平面BNC，从而得到即是BNC的法向量，最后利用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面CMN与平面BNC 所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.（2）以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以=（0，-2，2），=（2，0，1），=（0，2，0），设平面CMN的法向量为=（x，y，z）则，所以，所以=（1，-2，-2）.又NB平面ABCD，∴NBDC，BCDC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量为==（0，2，0），设所求锐二面角为，则.考点：利用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定.18．某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。

河北省石家庄市高考一模考试数学（理）试题（A）含解析

石家庄市高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选3. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．4. 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】故选5. ，满足约束条件：，则的最大值为（）A. -3B.C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可画出可行域如下：联立，可得交点(2,-1)，如图所示，当经过点(2,-1)时，z最大为3.故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里【答案】C【解析】由题意可得：代入：则该三角形田面积为平方里故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，几何体为半圆柱挖去半球体几何体的表面积为故选9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选10. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.11. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】如图：设，则：，取中点，分别作垂直于直线，连接则有，相减可得：即故设则，解得故，解得故选12. 设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故可化为方程表示为椭圆化简得：代入方程得：，，，故故选点睛：本题主要考查了三角函数的计算问题，以平面直角坐标系为载体，新定义坐标系，建立两坐标之间的关系，代入化简，由题意中的椭圆求出的值，再次代入求出结果，计算量比较大，有一定的难度。

2023年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合，则( )A. B. C. D.2. 设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 若是纯虚数，则复数z可以是( )A. B. C. D.4. 已知中，D为BC边上一点，且，则( )A. B. C. D.5. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.6. 如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为( )A. 4B. 2C.D.7. 已知，则的最大值为( )A. 2B. 3C. 5D. 68. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则满足的x 的取值范围是( )A. B. C. D.9. 已知数列的前n项和，若，则( )A. 8B. 16C. 32D. 6410. 已知点到点和点的距离之和为4，则( )A. 有最大值1B. 有最大值4C. 有最小值1D. 有最小值11. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为( )①平面ABCD；②平面平面；③直线MN 与所成的角为；④直线与平面所成的角为A. 1B. 2C. 3D. 412. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是( )A. B. C.D.13. 若函数的一个零点为，则______ .14.已知点，，C 为y 轴上一点，若，则______ .15. 3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部最细处的直径为______16.在数列中，，记是数列的前n 项和，则______ .17.在中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知，求的值；若，求18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p ，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为求p 的值；记“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为X ，求X 的分布列与期望.19. 如图，是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，平面平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，证明：平面ABC；求二面角的余弦值.20. 已知函数，若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；当时，求在上的最小值；证明：21. 如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处进行作图，当和时分别得到曲线和如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.求曲线和的方程；已知直线l与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，记的面积为S，证明：22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，为曲线C 上一点的坐标.将曲线C的参数方程化为普通方程；过点O任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C交于点A，B，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程，并化为普通方程.23. 已知函数当时，求的最小值；若，时，对任意，使得不等式恒成立，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，故选：先求得，再运算可得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：命题p：，为全称量词命题，则为：，故选：根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可．本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：设，则，因为是纯虚数，所以，经验证可知，，适合，即复数z可以是故选：设代入化简，根据其为纯虚数，可得a，b的关系，验证得答案．本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为，所以所以故选：利用向量的线性运算即可求得．本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设圆锥母线长为l，高为h，底面半径为，则由得，所以，所以故选：由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．本题主要考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由可得，，即甲同学成绩的方差为故选：由平均数相等求出m，再求方差．本题主要考查了茎叶图的应用，考查了方差的计算，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：作出可行域如图：由可得：，平移直线经过点A时，z有最大值，由，解得，平移直线经过点A时，z有最大值，故选：作出可行域，根据简单线性规划求解即可．本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：因为是定义域为R的偶函数，所以，又在上单调递减，所以在上单调递增，若，则，解得故选：利用的奇偶性、单调性可得，再解不等式可得答案．主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：，，，，时，，符合上式，故，，，故选：根据题意，写出，结合，，计算即可．本题考查数列的通项与前n项和的关系，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：因为点到点和点的距离之和为4，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆，且长轴长，焦距，所以点P的轨迹方程为，设，，则，所以xy有最大值故选：根据题意，求出点P的轨迹方程，利用三角换元法即可求解．本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：在正方体中，点M，N分别是，的中点，以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，则，，，，，，，由正方体的性质可知：平面ABCD，则平面ABCD的法向量为，，，，平面ABCD，平面ABCD，故①正确；设平面的法向量为，，，，取，得，同理可求出平面的法向量，，，平面平面，故②正确；，，，异面直线所成的角范围为直线MN与所成的角为，故③正确；设直线与平面所成的角为，，平面的法向量为，，直线与平面所成的角不是，故④错误．故选：以D为坐标原点，DA，DB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，利用向量法求解．本题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、异面直线所成角、线面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：由题意得，存，使得，即，即，设，，设，所以在单调递减，且，，，，所以在上单调递增，，，，所以在上单调递减，所以，当，则，当，则，所以的图像为：要想成立，则与有交点，所以，故选：根据题意列出关于和a的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点，考查分离变量思想以及数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：函数的一个零点为，，，函数，故答案为：由题意，根据三角函数的零点，求得A值，再利用两角差的正弦公式，求得的值．本题主要考查三角函数的零点，两角差的正弦公式，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：设，点，，，，，，，，解得或舍去，故答案为：设，依题意，利用平面向量数量积的坐标运算可求得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由已知，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，由已知可得，，且，所以，所以双曲线方程为，底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：，解得：，，所以喉部最细处的直径为故答案为：由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出a，b之间的关系，由题意底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部最细处的直径．本题主要考查了双曲线的性质在实际问题中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题知，，，当n为奇数时，，所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，当n为偶数时，，所以，所以故答案为：根据当n为奇数时，，当n为偶数时，，分组求和即可．本题主要考查数列的求和，数列递推式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：，，，则，由正弦定理得，又，则，又A，B均为三角形内角，，即，又，即，即，又，则；若，则，由得，由余弦定理可得，即，解得或，当时，，则，即为等腰直角三角形，又，此时不满足题意，故【解析】先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得角A，B的关系，即可得出答案；由得的值，根据余弦定理公式展开列方程求解c，即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p，“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为，，解得；由得，“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为X，则随机变量X的取值可能有0，1，2，3，4，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中都没有猜对成语，则，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中有1个猜对一个成语和有1个一个都没有猜对成语，则，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中甲一个都没猜对和乙全对、乙一个都没猜对和甲全对、甲乙两人两轮都只猜对一个，则，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中甲猜对1个和乙全对、乙猜对1个和甲全对，则，当，即甲、乙两人组成“星队”在两轮活动中两人都全对，则，随机变量X得分布列如下所示：X01234P【解析】根据题意可得，求解即可得出答案；由得，“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为X，则随机变量X的取值可能有0，1，2，3，4，根据概率的乘法法则和加法法则分别计算其概率，即可得到分布列，即可得出答案．本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：取CF的中点D，连接DM，DN，，N分别是AF，CE的中点，，，又平面ABC，平面ABC，平面ABC，又，，同理可得，平面ABC，平面MND，平面MND，，平面平面ABC，又平面MND，平面ABC；取AB的中点O，连接OC，OE，由已知得，，是平行四边形，，，是正三角形，，又平面平面ABEF，且平面平面，平面ABEF，又平面ABEF，，设，，在中，由，解得，即，取EF的中点P，连接OP，则，以OP，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，在根据题意可得：，，，，，，易知平面ABM的一个法向量为，设平面ABN的法向量为，则，，取，，又由图可知二面角为锐角，二面角的余弦值为【解析】取CF的中点D，连接DM，DN，只需证明平面平面ABC，从而即可证明；取AB的中点O，连接OC，求出，取EF的中点P，连接OP，以O为原点，OP，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图所示．利用向量法求解即可．本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．20.【答案】解：由已知，可得恒成立，即恒成立，又，所以，即由已知，可得，则，令，则在上单调递减，又因为，，所以存在，使得，则有x正负递增递减又有，，所以在上，则在上单调递增，所以最小值为证明：由可得在上恒成立，令，在上，所以单调递增且，所以，，从而当时，，令，，，…，得到，，，…，，相加得【解析】由是R上的单调递增函数，得到的恒成立，再求出a的取值范围；对求导，判断单调性，再求出在上的最小值即可；由可得在上恒成立，用导数证明恒大于0，则，令，，，…，不等式左右累加即可证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意，，设，，，所以，，所以，即，解得，又因为，所以，则，将和分别代入，得，；证明：①直线l斜率不存在时，，代入方程得，所以；②直线l斜率存在时，设l：，l与曲线相切，所以，即，联立可得，由得，所以，，于是得，，因为，所以，，综合①②可证，【解析】根据，设，，，利用向量等式关系确定坐标转化关系，由，即得，按照坐标代换可得x，y所满足的方程，最后取和，即可得曲线和的方程；根据直线l与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，讨论直线l的方程情况，按照面积公式分别求证即可．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．22.【答案】解：因为曲线C的参数方程为为参数，消去参数t可得：，将点代入可得，所以曲线C的普通方程为；由已知得OA，OB的斜率存在且不为0，设OA的斜率为k，方程为，则OB的方程为，联立方程，可得，同理可得，设，所以为参数，所以，所以，即为点M轨迹的普通方程．【解析】根据曲线C的参数方程为为参数，消去参数t求解；设OA的斜率为k，方程为，则OB的方程为：，分别与抛物线方程联立，求得A，B的坐标，再利用中点坐标求解．本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，，当，，；当，，；当，，；当时，的最小值为证明：，，当时，恒成立可化为恒成立，令，，，，，当且仅当时取得等号；又当时，，故【解析】分段求解的最小值和范围，即可求得结果；将问题转化为，结合二次函数在区间上的最值和基本不等式，即可证明．本题考查了分段函数的最值问题以及不等式的证明问题，属于中档题．。

_2023年广西南宁三中高考数学一模试卷(理科)

邕衡金卷·南宁三中2023届高三校一模理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2100M x Z x x =∈−<，{}2100x N x Z =∈>，则M N =A ．{}5,6,7B ．{}6,7,8C ．{}7,8,9D ．{}8,9,102．已知函数()1,02,0x x x f x x −+<⎧=⎨≥⎩，那么()()1f f −=A ．7B ．6C ．5D ．4 3．已知直线y x =是曲线()ln f x a x =+的切线，则a =A ．1−B ．2−C ．1D ．24．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin α=，则cos()αβ+= A ．89B ．89−C ．59−D ．595．已知,,,,a b c d e 成等比数列，１和４是其中的两项，则e 的最小值为A ．64−B ．8−C ．164D ．186．有下列四个命题，其中是假命题的是A ．已知()()1i 12i z =+−，其在复平面上对应的点落在第四象限B ．“全等三角形的面积相等”的否命题C ．在ABC Δ中，“6A π>”是“1sin 2A >”的必要不充分条件 D ．命题“321,x x x ∀>>”的否定是“321,x x x ∃>≤”7．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621n x mx ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 A ．15− B ．20−C ．15D ．208．如图，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 A ．484π− B ．48π8− C ．648π−D ．644π−9．某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案：方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车．方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为12,p p ，则 A ．112p =B ．216p =C ．1213p p ==D ．1214p p ==10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是A ．32B ．64C ．128D ．25611．若3273log 273log a b a b +=+，则A ．3a b <B ．3a b >C ．2a b >D ．2a b <12．已知()(),f x g x ′′分别为定义在R 上的()f x ,()g x 的导函数，且()()2f x g x −′=，()()22f x g x +′−=，若()g x 是偶函数，则下列结论一定正确的是A ．函数()f x 的图象关于点()1,1对称B ．函数()f x ′的图象关于直线2x =对称C ．3是()g x ′的一个周期D ．()20241f =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

青海省高考数学一模试卷(理科)A卷

青海省高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2016·海南模拟) 当m=1时，复数z= 的虚部为（）A . -B .C . -D .2. （2分） (2016高一上·襄阳期中) 已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|ln（1﹣x）＞0}，则A∩B=（）A . （﹣1，2）B . [﹣1，1）C . [﹣1，0）D . （﹣1，0）3. （2分）设a=2﹣2 ， b=， c=log25，则a，b，c的大小关系为（）A . a＜c＜bB . b＜a＜cC . b＜c＜aD . a＜b＜c4. （2分）(2014·广东理) 已知向量 =（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A . （﹣1，1，0）B . （1，﹣1，0）C . （0，﹣1，1）D . （﹣1，0，1）5. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 下列命题正确的是（）A . 存在，使得的否定是：不存在，使得B . 对任意，均有的否定是：存在，使得C . 若，则或的否命题是：若，则或D . 若为假命题，则命题与必一真一假6. （2分）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A .B .C .D . 17. （2分）下列程序框图的输出结果为（）A .B .C .D .8. （2分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝－1，且对任意x∈R，有f(x)＝－f(2－x)成立，则f(2 017)的值为（）A . 1B . －1C . 0D . 210. （2分） (2019高三上·城关期中) 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，设，则数列的前11项和为（）A . 1062B . 2124C . 1101D . 110011. （2分） (2016高一上·安庆期中) 将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·合肥期中) 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A . 2个B . 1个C . 3个D . 4个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．14. （1分） (2017高三下·新县开学考) 展开式中含x2项的系数是________．15. （1分）(2017·武邑模拟) 已知实数u，v，x，y满足u2+v2=1，，则z=ux+vy的最大值是________．16. （1分）(2016·赤峰模拟) 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣2，an+1=﹣，n∈N* ，则Sn=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2017高一上·吉林期末) 已知函数f（x）=2sin（3ωx+ ），其中ω＞0（1）若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；（2）若f（x）在（0， ]上是增函数，求ω的最大值；（3）当ω= 时，将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．18. （10分）(2017·江西模拟) 某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，2，…，5），且pi= （i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望．19. （10分）(2017·衡阳模拟) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E 是CD的中点，D1E⊥CD，AB=2BC=2．（1）求证：BC⊥D1E；（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．20. （10分） (2018高二下·遂溪月考) 已知椭圆的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点，的距离之和为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆交于，两点，，在椭圆上，且，两点关于直线对称，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. （10分） (2015高二下·河南期中) 设f（x）=x3+ax2+bx+1的导函数f′（x）满足f′（x）=2a，f′（2）=﹣b，（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设g（x）=f′（x）ex，求函数g（x）的单调区间．22. （10分）(2017·宝鸡模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4 （1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．23. （10分） (2017高二下·广州期中) 解下列不等式（1） |x﹣1|+|x+3|＜6（2） 1＜|3x﹣2|＜4．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2023年陕西省西安市新城区东方中学高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年陕西省西安市新城区东方中学高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设等差数列的前n项和为，已知，则( )A. 6B. 5C. 4D. 34. 如图是2010年年记2010年为第1年中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是( )A. 从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势B. 2021年的创新产业指数超过了2010年年这3年的创新产业指数总和C. 2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大D. 2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢5. 已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则( )A. B. 1 C. D. 26. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为( )A. 5B. 6C. 7D. 87.如图，在正三棱柱中，，，D为的中点，则与所成角的余弦值为( )A.B.C.D. 8. 已知，则( )A. B. C. D.9. 函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则a 的值可能是( )A.B.C.D.10. 已知等比数列的前n 项和为，若，则( )A.B. 5C.D.11. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱容器中注入了一定量的水，若将侧面固定在地面上，如图2所示，水面恰好为水面与AB ，AC ，，分别相交于D ，E ，F ，，若将点A 固定在地面上，如图3所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为，则在图2中( )A. B. C.D.12. 已知e 是自然对数的底数，，，，则( )A.B.C.D.13. 设x ，y 满足约束条件，则的最大值为______ .14. 已知，，，则与的夹角为______ .15. 已知双曲线C ：的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C 的离心率为______ .16. 由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有______ 种.17. 已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，，，且B 为钝角.求B ；求的面积.18. 已知函数求在上的极值；若过点作曲线的切线，求切线方程.19. 如图，三棱柱的底面ABC 是正三角形，侧面是菱形，平面平面ABC ，E ，F 分别是棱，BC 的中点.证明：平面；若，求直线与平面EFG 所成角的正弦值.20. 2022年卡塔尔世界杯于当地时间11月20日开赛，A，B，C三支球队同在一个小组，小组赛中，这三支球队之间将有3场比赛，每两支球队之间只打场比赛，每场比赛胜方记3分，负方记0分，平局各记1分，根据大量训练数据统计，这三支球队之间的胜率如表：AVSB AVSC BVSC胜平胜平胜平各场比赛相互独立，互不影响.求这3场比赛后三支球队得分相同的概率；记这3场比赛这三支球队累积总得分为X，求随机变量X的期望与分布列.21. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆C上.求椭圆C的方程.设O为坐标原点，过点的直线斜率不为交椭圆C于不同的两点A，异于点，直线PA，PB分别与直线交于M，N两点，MN的中点为Q，是否存在实数t，使直线PQ的斜率为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为写出的普通方程和的直角坐标方程；若曲线与曲线交于A，B两点，P的直角坐标为，求23. 已知函数求不等式的解集；若的最小值为，求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，则故选：求出集合A，B，利用交集定义能求出本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选：化简复数z，求得其坐标，即可得到答案．本题考查复数的运算及其定义，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得故选：利用等差数列的前n项和公式推导出，由此能求出本题考查等差数列的第6项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：从统计图估计得到2021年的创新产业指数大约为350，而2010年年这3年的创新产业指数总和大约为，故2021年的创新产业指数没有超过2010年年这3年的创新产业指数总和，B错误；从统计图可看出从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势，A正确；因为2021年的创新产业指数大约为350，2010年的创业指数小于150，，故2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大，C正确；2010年到2014年的创新产业指数的折线倾斜程度小，而2017年到2021年的创业指数的折线倾斜程度大，故2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢，D正确．故选：由统计图中对应年份的创业指数及走势，判断出四个选项的正误．本题考查统计图相关知识，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为为定义在R上的奇函数，所以，又，所以故选：由奇函数的性质可得，，，由此得解．本题考查奇函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：抛物线C：的焦点为，准线l的方程为，如图，过P作于M，由抛物线的定义可知，所以则当Q，P，M三点共线时，最小为所以的最小值为故选：抛物线的准线l的方程为，过P作于M，根据抛物线的定义可知，则当Q，P，M三点共线时，可求得最小值，答案可得．本题考查抛物线的定义及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：取的中点E，AC的中点O，连接OE，OB，则OB，OC，OE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，，，，，，与所成角的余弦值为故选：可取的中点E，AC的中点O，连接OE，OB，然后分别以OB，OC，OE三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据条件可求出向量的坐标，进而可求出的值，然后即可求出与所成角的余弦值．本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标求异面直线所成角的余弦值的方法，向量夹角的余弦公式，向量坐标的数量积运算，根据向量坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：，，，，，故选：根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意得：，，，，解得，，，，，，，的图象向左平移个单位长度，得到函数，为奇函数，，，解得，，又，则时，；故选：由图象求出函数的解析式，通过平移变换得出函数，利用三角函数的奇偶性列方程求a，结合选项得出答案．本题考查三角函数的图象和性质，考查五点作图法和图象的平移变换，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：等比数列的前n项和为要满足，又，故选：根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：设正三棱柱边长为a，记水的容积为，该正三棱柱的容积为V，则，，，故该正三棱柱去掉水后的剩余体积为，即，由，得，又∽，所以有故选：由题意，设正三棱柱边长为a，分别求出正三棱柱、水以及剩下的容积，可得出图2中的与正三棱柱的容积V的比例，从而可得，再由相似三角形性质可得的比例，从而得出答案．本题主要考查了棱柱、棱锥的体积公式，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：，，，因为，所以，所以，即，所以故选：根据指数函数的单调性即可比较a，b，根据，结合对数函数的性质即可比较b，c，即可得解．本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．13.【答案】22【解析】解：不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示：即，当直线过点A时，在y轴上截距最小，z取最大值，解，得，此时z取最大值故答案为：可画出不等式组表示的平面区域，由得到，从而直线在y轴上的截距最小时z取最大值，结合图象找出使得在y轴上的截距取最小值时经过的可行域上的点的坐标，从而求出z的最大值．本题考查了找不等式组表示的平面区域的方法，线性规划的定义及利用线性规划求z的最值的方法，数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，所以，又，则，即，所以，又，所以故答案为：根据题意可得，再由，可得，再由向量的夹角公式即可得解．本题考查两向量垂直的条件以及向量的夹角，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线C：的一个顶点为，一条渐近线方程为，所以顶点到渐近线的距离为，即，，所以，解得，所以离心率为故答案为：先根据方程，得到一个顶点和一条渐近线方程，再由顶点到一条渐近线的距离为实轴长的求解．本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．16.【答案】480【解析】解：先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种，4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种，由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种，故答案为：由排列组合采用插空法，再利用分步乘法计数原理即可得结果．本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．17.【答案】解：，，，由正弦定理得，，又B为钝角，；，，，又由知，，又，，的面积为【解析】根据正弦定理，即可求解；由诱导公式和两角和的正弦公式得到，再根据三角形的面积公式，即可求解．本题考查解三角形，正弦定理的应用，三角函数公式的应用，三角形面积公式的应用，属中档题．18.【答案】解：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值．设切点坐标为，由知：，，切线方程为：，，即，解得：，切线方程为：，即【解析】求导后，根据正负可得单调性，根据单调性确定极值点后即可求得极值；设切点为，利用导数几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程，代入切点坐标即可构造方程求得t的值，进而得到切线方程．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．19.【答案】解：证明：取的中点M，连接ME，MB，因为E，F分别是棱，BC的中点，则，，四边形MEFB为平行四边形，所以，平面，平面，平面；在平面中过点作于O，连接OB，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又因为，，所以，，因为点O为AC的中点，，故以O为原点，OB、OC、分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，设平面EFG的法向量为，则有，则可取，设直线与平面EFG所成角为，则【解析】取的中点M，连接ME，MB，易证四边形MEFB为平行四边形，从而有，故而得证；过点作于O，连接OB，以O为原点，OB、OC、分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用向量法求解即可．本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解线面角的正弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：记事件“3场比赛后三支球队得分相同”，则M表示3场比赛各胜一场，或都是平局，所以随机变量X的可能取值为6，7，8，9，；；；，所以X的分布列为X6789P所以【解析】若三支球队得分相同，则它们的胜负情况相同，即都是一胜，或者三场都是平局，结合表格，求出概率即可；求出随机变量的X的可能取值，再求出对应的事件概率，写出分布列即可．本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：因为椭圆的长轴长为，所以，得，所以椭圆为，因为椭圆过点，所以，得，所以椭圆方程为；由题意设直线l为，，，由，得，，得，则，，因为，所以直线AP为，当时，，所以，因为，所以直线BP为，当时，，所以，因为MN的中点为Q，所以，所以，若为定值，则与m无关，所以，解得，所以当时，直线PQ的斜率为定值．【解析】根据长轴长可得a，再将点的坐标代入椭圆方程可求出椭圆方程；由题意设直线l为，，，将直线方程代入椭圆方程化简再利用根与系数的关系，然后分别表示出直线AP，BP的方程，表示出点M、N的坐标，从而可表示出点Q的坐标，则可表示出，化简可得结果．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率为定值问题，考查计算能力，属于难题．22.【答案】解：因为曲线的参数方程为为参数，所以曲线的普通方程为，因为曲线的极坐标方程为，所以曲线的直角坐标方程为；点P在直线上，为参数，将的参数方程代入的普通方程，化简整理可得，，设A，B对应的参数分别为，，则，，，同时小于0，则【解析】曲线的参数方程消去参数推出曲线的普通方程，利用极坐标与普通坐标的互化，求解曲线的极坐标方程化为曲线的直角坐标方程；根据已知条件，结合参数方程的几何意义，即可求解．本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．23.【答案】解：，当时，，解得，故，当时，，解集为R，故，当时，，解得，综上所述，，故不等式的解集为；，当且仅当时，等号成立，故，的最小值为，，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为【解析】根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，分类讨论，并取并集，即可求解；根据已知条件，结合绝对值三角不等式公式，求出的最小值，再结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．。

2023年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2023?合肥一模）已知复数z=3+4i，表示复数z的共轭复数，则，=（）A．考点：专题：分析：解答：复数求模．数系的扩充和复数．菁优网权版所有B5．C．D6．首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，写出复数的共轭复数，求出共轭复数的模长．解：复数z=3+4i，=3﹣4i，=，=，﹣4﹣3i，=故选：B．==5．=﹣4﹣3i，点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数求模长，实际上一个复数和它的共轭复数模长相等，本题是一个基础题．2．（5分）（2023?合肥一模）设集合S={0，a}，T={x∈Z，x＜2}，则“a=1”是“S?T”的（）A充分不必要B必要不充分．条件C充分必要条．件考点：专题：分析：解答：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网权版所有2．条件D既不充分也．不必要条件简易逻辑．求出集合T，根据集合元素关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解：T={x∈Z，x＜2}={﹣1，0，1}，当a=1时，S={0，1}，满足S?T．若S?T，则a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“S?T”的充分不必要条件．故选：A．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用集合元素和集合之间的关系是解决本题的关键．2点评：3．（5分）（2023?合肥一模）过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A点P（a，b）一定在单位圆内．B点P（a，b）一定在单位圆上．-9-C点P（a，b）一定在单位圆外． D当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上．考点：专题：分析：解答：平面向量的基本定理及其意义．菁优网权版所有平面向量及应用．根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系．解：易知，∵∴，==1 ，=，= =1 ∴OP=又圆的半为1 ∴点P一定在单位圆上故选：B 点评：4．（5分）（2023?合肥一模）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题．点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．考点：专题：分析：解答：解：不妨设A（c，y0），代入双曲线∵线段AB的长度恰等于焦距，∴， =1，可得y0=±．双曲线的简单性质．计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．菁优网权版所有B． C． D．先求出AB的长，进而可得，从而可求双曲线的离心率．∴c2﹣a2=ac，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）（2023?合肥一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A18+2．考点：专题：分析：由三视图求面积、体积．菁优网权版所有B24+2．C24+4．D36+4．空间位置关系与距离．根据三视图判断几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，利用勾股定理求出腰为公式计算．=，代入棱柱的表面积解答：解：由三视图知几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，腰为∴几何体的表面积S=（2+4+2）×2+2××2=24+4．=，点评：故选：C．本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键． 6．（5分）（2023?合肥一模）已知函数f（x）=，f（﹣x）） B（x，﹣f（x）） C A（x，（．．．﹣sinx，﹣，﹣x，﹣f）） +sinx，则一定在函数y=f（x）图象上的点是（） D（．（+x，﹣f﹣x））（x﹣考点：专题：分析：解答：函数的图象．函数的性质及应用．在函数y=f（x）图象上的点只需把点的坐标代入方程，满足表达式即可．菁优网权版所有解：对于A，f（﹣x）=，确；对于B，﹣f（x）=﹣，对于C，﹣f（x﹣=﹣，+sin（﹣sin（﹣x），﹣，+sin（﹣x），=，+sinx，﹣，﹣sinx，≠f （x），∴A不正﹣sinx，+，+sinx，≠f（x），∴B不正确；），+，+sin（x﹣）， +sin（﹣x），=f（﹣x），）=﹣，﹣sin（x﹣﹣x），+，﹣sin（﹣x），=，﹣sin（﹣x），﹣，∴C正确；对于D，﹣f（x﹣）=﹣，﹣sin（x﹣），+，+sin（x﹣）， - 11 -=﹣，≠f（+sin（﹣x），+，﹣sin（﹣x），=，﹣sin（﹣x），﹣，+sin（﹣x），=f（﹣x）+x），∴D不正确；故选：C．点评：本题考查函数的定义，函数的图象的应用，考查计算能力．7．（5分）（2023?合肥一模）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A5．考点：专题：分析：解答：程序框图．算法和程序框图．根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件n＞117时，确定输出i的值．菁优网权版所有B6．C7．D8．解：由程序框图知：程序第一次运行n=12﹣4=8，i=1+1=2；第二次运行n=4×8+1=33，i=2+1=3；第三次运行n=33﹣4=29，i=3+1=4；第四次运行n=4×29+1=117，i=4+1=5；第五次运行n=117﹣4=113，i=5+1=6；第六次运行n=113×4+1=452，i=6+1=7．此时满足条件n＞117，输出i=7．故选：C．本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．点评：8．（5分）（2023?许昌三模）在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（） A等边三角形． C锐角非等边B等腰直角三．角形D钝角三角形-12-。

高考数学毕业班第一次模拟考试理 A 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年高中毕业班第一次模拟考试高三数学(理科〕本卷须知：1.本套试卷分第I.I卷时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在套本套试卷上无效.3.答复第II卷时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效.4.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.第I卷(选择题60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.复数=A.iB.–iC.1-iD.1+i2.下面四个条件中，使a>b成立的充要条件是A.a>b+1B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b33.向量，且，那么点P的坐标为A.(2,-4)B.(-)C.(-)D.(-2,4)4.函数为常数，〕的局部图象如右图所示，那么f(0)的值是A. B. C.0D.5..，假设，那么f(-a)的值是A.-3B.-2C.-1D.06.实数x，y满足那么的最大值为A.9B.17C.5D.157.等差数列{an}的前n项和为，那么使Sn获得最小值时n的值是A.4B.5C.6D.78.程序框图如右图所示，当输入2与-2时，输出的值均为10，那么输入1时输出的值是A.2B.4C.6D.89.A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O-ABC的高为且，AB=2，BC=4,那么球O的外表积为A. B. C. D.10.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且，F2到直线PF1的间隔等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的离心率为A. B. C. D.11.点P在曲线y=ex(e自然对数的底数)上，点Q在曲线y=lnx上，那么丨PQ丨的最小值是A. B.2eC. D.e12.三棱锥的三组相对的棱〔相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱〕分别相等，且长各为、m、n，其中m2+n2=6，那么该三棱锥体积的最大值为A. B. C. D.第II卷〔非选择题一共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部，第13题〜第〜第24题为选考题，考生根据要求答题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.各项均为正数的等比数列|an|的前n项和为Sn,a1=1,a2.a4=16那么S4=________.14.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进展试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0〜9之间随机整数的20组如下：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为_______.15.设M，m分别是f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，那么由上述估值定理，估计定积分的取值范围是_______16.动圆的圆心C在抛物线.上，该圆经过点A(0，P),且与x轴交于两点M、N，那么的最大值为._______三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.(本小题总分值是12分〕要测量河对岸的烟囱A〔I)画出图形，指出要测量的数据〔用字母表示并在图中标出〕；〔II)用文字和公式写出计算烟囱高AB的步骤〔测角仪的高度忽略不计〕18.(本小题总分值是12分〕四棱锥的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形.(I)假设正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上挪动时，是否总有BF丄CM，请说明理由；(II)假设平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.19.(本小题总分值是12分〕有一批货物需要用汽车从消费商所在城甲运至销售商所在城乙，从城甲到城乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间是互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城甲到城乙的200辆汽车所用时间是的频数分布如下表：所用的时间是〔天数〕10 11 12 13通过公路1的频数20 40 20 20通过公路2的频数10 40 40 10假设汽车A只能在约定日期〔某月某日〕的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发.(I)为了尽最大可能在各自允许的时间是内将货物运往城乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的途径；(II)假设通过公路1、公路2的“一次性费用〞分别为万元、1.6万元〔其它费用忽略不计〕，此项费用由消费商承担.假设消费商恰能在约定日期当天将货物送到，那么销售商一次性支付给消费商40万元，假设在约定日期前送到，每提早一天销售商将多支付给消费商2万元；假设在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给消费商2万元.假设汽车A、B长期按〔I)所选途径运输货物，试比较哪辆汽车为消费商获得的毛利润更大.(注：毛利润=(销售商支付给消费商的费用〕-(一次性费用〕)20. (本小题总分值是12分〕在平面直角坐标系xOy中，定点A(-2，0)、B(2，0)，M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为，设动点M的轨迹为曲线C.(I)求曲线C的方程；(II)过定点T(-1，0)的动直线l与曲线C交于P,Q两点，是否存在定点S(s，0)，使得为定值，假设存在求出s的值;假设不存在请说明理由.21. (本小题总分值是12分〕函数在〔0，)内有极值.(I)务实数a的取值范围；(II)假设.且时，求证:，.请考生在第22〜24三题中任选一题做答，假设多做，那么按所做的第一题记分.22. (本小题总分值是10分)选修4-1几何证明选讲ΔABC中AB=AC，D为ΔABC外接圆劣弧，上的点(不与点A、C重合〕，延长BD至E,延长AD交BC的延长线于F.(I)求证。

杭州市高考数学一模试卷(理科)A卷(模拟)

杭州市高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2016·四川理) 设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 62. （2分）(2017·潍坊模拟) 设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（）A . ﹣1+iB . ﹣1﹣iC . 1+iD . 1﹣i3. （2分） (2019高二上·中山月考) 已知中，则等于（）A . 60°或120°B . 30°C . 60°D . 30°或150°4. （2分） (2017高二上·伊春月考) 用抽签法进行抽样有以下及格步骤：①把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条制作）②将总体中的个体编号；③从这容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀；这些步骤的先后顺序应为（）A . ②①④③B . ②③④①C . ①③④②D . ①④②③5. （2分）(2016·湖南模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 6πB .C . 3πD .6. （2分）(2017·和平模拟) “|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）直线x+y-2=0与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A . 2B . -2C . 4D . -48. （2分） (2016高二上·郑州期中) 若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A . 5B . 6C . 7D . 89. （2分）(2018高二上·宜昌期末) 已知双曲线的右焦点为，是双曲线C上的点，，连接并延长交双曲线C与点P，连接，若是以为顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A .B .C .D .10. （2分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）的图像关于y轴对称，并且对任意的x1 ，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，则当n∈N﹡时，有（）A . f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）B . f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C . f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）D . f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高二下·张家港期中) 观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为________．12. （1分）(2016·深圳模拟) 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）13. （1分） (2016高三上·金山期中) 在（）16的二项展开式的17个项中，整式的个数是________．14. （1分） (2016高三上·成都期中) 若曲线y=1nx的一条切线与直线y=﹣x垂直，则该切线方程为________．15. （1分）(2018·丰台模拟) 己知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则M的标准方程为________.三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2016高一下·吉林期中) 已知：函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）的图象是将f（x）的图象先向右平移1个单位，然后纵坐标不变横坐标缩短到原来的一半得到的，求g（x）的单调递增区间．17. （10分） (2017高二下·嘉兴期末) 如图所示，正方体中，分别是的中点，将沿折起，使 .（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.18. （5分） (2017·成都模拟) 数列{an}中，a1=2，an+1= ．（Ⅰ）证明数列{ }是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，若数列{bn}的前n项和是Tn ，求证：Tn＜2．19. （15分）(2017·黑龙江模拟) 某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背．为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排粪型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如xIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验．不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验．两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不舍右端点）（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；（2）从乙组准确回忆结束在|12，24）范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量x．求X分布列及数学期望；（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由．20. （10分）(2018·榆社模拟) 已知函数 .（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数的最小值为，求的取值范围.21. （10分）(2017·嘉兴模拟) 如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为（，0），（1，）是椭圆上的一个点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，P（x0，y0）（x0≠0）是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q 为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l：y=﹣1于点C，N为线段BC的中点，如果△MON的面积为，求y0的值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分) 16-1、答案：略16-2、答案：略17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。

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高考数学一模试卷（理科）（a卷）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高三下·凯里开学考) （）2=（）
A . ﹣2i
B . ﹣4i
C . 2i
D . 4i
2. （2分） (2016高三上·兰州期中) 若集合A={x| }，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）
A . {x|0＜x＜1}
B . {x|0≤x＜1}
C . {x|0＜x≤1}
D . {x|0≤x≤1}
3. （2分） (2016高三上·金华期中) 已知实数x、y满足，若z=x﹣y的最大值为1，则实数b的取值范围是（）
A . b≥1
B . b≤1
C . b≥﹣1
D . b≤﹣1
4. （2分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别
是（）
A . 2，﹣
B . 2，﹣
C . 4，﹣
D . 4，
5. （2分） (2017高一下·福州期中) 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）
A . k＞4？
B . k＞5？
C . k＞6？
D . k＞7？
6. （2分）(2018·南充模拟) 为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）
A . ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B . ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C . ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D . ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
7. （2分） (2019高三上·梅州月考) 已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，
，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点M，则四边形AMCF的面积为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2018高二下·河南月考) 下面几种推理中是演绎推理的序号为（）
A . 由金、银、铜、铁可导电，猜想:金属都可导电
B . 猜想数列的通项公式为
C . 半径为的圆的面积，则单位圆的面积为
D . 由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为
9. （2分） (2015高二下·赣州期中) 已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1 ，直径为4的球的体积为V2 ，则V1:V2等于（）
A . 1:2
B . 2:1
C . 1:1
D . 1:4
11. （2分）已知向量、满足=+2，=-5+6，=7-2，则一定共线的三点是（）
A . A、B、D
B . A、B、C
C . B、C、D
D . A、C、D
12. （2分） (2017高二下·黄陵开学考) 若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM ， kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM•kBM=（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分）(2017·安庆模拟) 若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=________．
14. （1分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知f(x)是上最小正周期为的周期函数，且当时，
，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为________。

15. （1分）(2017·大理模拟) 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a=4，b=5，cos（B ﹣A）= ，则cosB=________．
16. （2分）已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）
A .
B .
C .
D .
三、解答题 (共8题；共60分)
17. （10分）(2016·襄阳模拟) 已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ， a4的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an•log2an，其前n项和为Sn，若（n﹣1）2≤m（Sn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
18. （10分）(2017·江苏模拟) 如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且
= ．
（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；
（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．
19. （10分） (2018高二下·永春期末) 近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．
图1 图2
附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
；
②参考数据：．
（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；
（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中 (单位：年)表示二手车的使用时间， (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于
其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：
①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．
20. （5分）(2017·河南模拟) 已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）若 =﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．
21. （10分） (2018高二下·如东月考) 如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD， CD 两段，其中两固定点A，B 间距离为1 米，AB 与杆 AC 的夹角为60° ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 3a 元/米. 设ÐADB = a ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.
（1）求S关于a 的函数表达式，并求出a的取值范围；
（2）问段多长时，S最小？
22. （5分）如图，已知AC是以AB为直径的⊙O的一条弦，点D是劣弧上的一点，过点D作DH⊥AB于H，交AC于E，延长线交⊙O于F．
（Ⅰ）求证：AD2=AE•AC；
（Ⅱ）延长ED到P，使PE=PC，求证：PE2=PD•PF．
23. （5分）(2017·石家庄模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）= ．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；
（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB= ，求△OAB的面积最大值．
24. （5分）已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0
时，有＜0．
（Ⅰ）证明：f（x）在区间[﹣1，1]上是单调减函数；
（Ⅱ）解不等式f（x+ ）＜f（）；
（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣mt﹣1对所有x∈[﹣1，1]，m∈[0，1]恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、答案：略
2-1、答案：略
3-1、答案：略
4-1、答案：略
5-1、答案：略
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、答案：略
10-1、答案：略
11-1、答案：略
12-1、答案：略
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、答案：略
三、解答题 (共8题；共60分)
17-1、答案：略
17-2、答案：略
18-1、答案：略
18-2、答案：略
19-1、
19-2、答案：略
20-1、答案：略
21-1、答案：略
21-2、
22-1、答案：略
23-1、
24-1、。