第4节 梁的刚度条件和提高弯曲刚度的措施
提高弯曲梁强度和刚度的措施
提高弯曲梁强度和刚度的措施弯曲梁的定义和应用领域弯曲梁是一种常见的结构元素，用于承受外部荷载时发生弯曲变形。
在工程领域中，弯曲梁广泛应用于桥梁、建筑、机械设备等结构的设计和制造中。
提高弯曲梁的强度和刚度可以增加结构的安全性，并且有助于减小结构的变形，以满足设计要求。
弯曲梁强度的提高措施1. 材料的选择与设计优化弯曲梁的强度受到材料的影响，选择高强度、耐腐蚀、高韧性的材料能够提高梁的强度。
同时，在设计过程中应考虑梁的断面形状和尺寸，通过施加适当的曲率和截面形状，进一步提高梁的强度。
2. 加强梁的支撑与约束加强梁的支撑和约束可以防止梁在受力时发生过度变形和破坏。
可以采用增加支撑点、加固梁支座、增加截面板厚度等措施，提高梁的承载力和抗弯性能。
3. 增加横向加劲与剪力连接横向加劲和剪力连接可以增加梁的刚度和稳定性，有效降低梁受力时的挠度和变形。
通过在梁的截面处加设剪力墙、剪力板、横向加劲肋等，可以提高梁的弯曲承载能力。
4. 使用预应力或钢筋混凝土结构预应力或钢筋混凝土结构具有良好的抗弯性能和刚度，通常能够提供较高的弯曲梁强度。
预应力技术通过施加预先拉应力，抵抗弯曲梁受力时的拉应力，提高梁的抗弯能力。
弯曲梁刚度的提高措施1. 增加梁的截面面积和高度增加梁的截面面积和高度可以提高梁的刚度，减小梁在受力时的挠度和变形。
可以通过增加梁的宽度、高度或采用变截面结构，来增加梁的刚度。
2. 加强梁的约束与支撑加强梁的约束和支撑可以增加梁的刚度和稳定性。
可以采用增加支撑点、加固梁支座、增加截面板厚度等措施，提高梁的刚度和抗弯性能。
3. 使用高强度材料选择高强度材料可以提高梁的刚度，增加梁的抗弯能力。
在设计过程中应考虑使用高强度钢材或纤维增强复合材料等材料，以增加梁的刚度和强度。
4. 增加剪力连接与加劲措施剪力连接和加劲措施可以增加梁的刚度和稳定性，减小挠度和变形。
通过在梁的截面处加设剪力墙、剪力板、横向加劲肋等，可以提高梁的刚度和弯曲承载能力。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
范中查到。
在梁的设计计算中,通常是根据强度条件确定截面尺寸,然
后用刚度条件进行校核。具体过程参看下面例题。
工程力学
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
(1)小跨度梁或荷载作用在支座附近的梁。此时梁的Mm ax可能较小而FSmax较大。
(2)焊接的组合截面(如工字形)钢梁。当梁截面的腹板厚 度与高度之比小于型钢截面的相应比值时,横截面上可能产 生较大的切应力τmax。
(3)木梁。木梁在顺纹方向的抗剪能力差,可能沿中性层 发生剪切破坏。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
2. 强度条件的应用 【例8-6】
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
(2)内力分析。绘制内力图如图8-27(b)和(c)所示, 确定最大剪力、弯矩为
FSmax=60 kN，Mmax=18 kN·m (3)根据正应力强度条件选择截面。由式(8-26)得
查附录型钢表,可选用16号工字钢,其抗弯截面系数 Wz=141 cm3,高h=16 cm,腿厚t=9.9 mm,腹板厚b1= 6 mm。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
图8-27
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
1.2 弯曲梁的刚度条件
梁除满足强度条件外,还应满足刚度要求。根据工程实际的
需要,梁的最大挠度和最大(或指定截面的)转角应不超过某一规
定值,由此梁的刚度条件为
ymax≤y
(8-28)
θmax≤θ
(8-29)
式中,许可挠度y和许可转角θ的大小可在工程设计的有关规
工程力学
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梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
1.1 梁弯曲的强度条件及应用 1. 强度条件
由于梁弯曲变形时横截面上即有正应力又有切应力,因此强度条 件应为两个。当弯曲梁横截面上最大正应力不超过材料的许用正应力, 最大切应力不超过材料的许用切应力时,梁的强度足够,即
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
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ql3/6，D＝－ql4/24。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
3 / 41
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
第九章梁的弯曲变形
a xl
在 x l / 2处
y 0.5l
Fb
(3l 2 4b 2 ) 48 EI
yqx(l32lx2x3) 2E 4 I
A
B
ql3 24EI
x
l 2
ymax
5ql4 384EI
梁的简图
第九章 梁的弯曲变形
挠曲线方程
y6M EI(xllx)2(lx)
yC1
aB
qa4 2EI
yC2
qa4 8EI
3）叠加 y C y C 1 y C 2 2 q E 4a 8 I q E 4a I 5 8 q E 4( a I)
第九章 梁的弯曲变形
例9-5 悬臂梁跨度为 l =2m，截面为矩形，宽b = 100mm，高h =120mm，材料的弹性模量E=210GPa， 梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。
挠曲线方程 y f (x)
第九章 梁的弯曲变形
二、挠度和转角
挠度：截面形心线位 移的垂直分量称为该 截面的挠度，用 y 表 示，一般用 ymax 表示 全梁的最大挠度。
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，
则有以下关系：
tanydy
1
(x)
M(x) EI
曲线 y f(x)的曲率
1
(x)
(1yy2)3/2
二阶小量
y (1y2)3/2
M(x) EI
挠曲轴线 近似微分方程
y M(x) EI
第九章 梁的弯曲变形
挠曲轴线 近似微分方程
y
§8-6 提高梁的刚度的措施
§8-6 提高梁的刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与梁 的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以,要想提高弯曲刚度,就应 从上述各种因素入手： 一、调整加载方式 二、减小跨度或增加支座 三、选择合理截面 四、合理选用材料
§8-6 提高梁的刚度的措施 一、合理安排梁的约束与加载方式
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b= ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为
h 2 时,强 度 最 大; h 3 时,刚 度 最 大.
b
b
§8-6 提高梁的刚度的措施
三、选择合理截面
bh2 Wz 6
h2 d 2 b2
Wz
机械加工，镗孔，尾架，减少挠度。
§8-6 提高梁的刚度的措施
跨度为l 的简支梁，承受均布载荷q作用，如果将梁两端的铰支座各向 内移动 l/4，最大挠度将仅为前者的8.75%。
§8-6 提高梁的刚度的措施 三、选择合理截面
§8-6 提高梁的刚度的措施 三、选择合理截面
矩形木梁的合理高宽比
h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出:
b 6
(d 2
b2 )
d 2b b3 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dW 0 db
d 2 3b2 0
b d 3
h d 2 b2 d 2 d 2 2d 33
h b
2d
3 d
23 2
3
h
b
§8-6 提高梁的刚度的措施 四、合理选用材料
各种材料的弹性模量E差别不大。 选用高强度材料，只能提高许用应力 同类的材料，“E”值相差不多，故换用同类材料只能提高强度，不能提高 刚度。
第7章第4节 提高梁的强度和刚度的措施[6页]
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理。
最大的弯矩值Mmax，比值为1：1/2：1/2
F=ql
ห้องสมุดไป่ตู้
F=ql
A
C
BA
C
BA
l/2 l/2
l/4 l/2 l/4
ql2/4 M图
ql2/8 M图
q B
l ql2/8 M图
+
+
+
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7.4 提高梁的强度和刚度的措施
在从前几节可知，等直梁上的最大弯曲正应力和 梁上的最大弯矩Mmax 成正比，和抗弯截面系数Wz成 反比。梁的变形和梁的跨度l的高次方成正比，和梁 的抗弯刚度Iz成反比。设计梁时，应满足安全性好而 材料消耗少的目的，即省料、省钱而又尽量提高梁 的强度和刚度。可从以下几方面入手。
最大的挠度ymax
13.0210-3ql4/EI、1.23810-3ql4/EI、0.325510-3ql4/EI
比值约为
1：0.095：0.025
A M图
q
l ql2/8
BA 0.2l
q
q
BA
B
0.6l
0.2l 0.5l 0.5l
ql2/40
ql2/50
ql2/5 0
ql2/6 4
ql2/6 4
ql2/3 2
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7.4.3 合理地布置载荷 当载荷已确定时，合理地布置载荷可以减小梁 上的最大弯矩，提高梁的承载能力。例如，图示桥梁 可简化成一简支梁，其额定最大承载能力系指载荷在 桥中间时的最大值，超出额定载荷的物体要过桥时， 采用长平板车将集中载荷分为几个载荷，就能安全过 桥。吊车采用副梁可以吊起更重的物体也是这个道理。
材料力学-第八章叠加法求变形(3-4-5)
C
刚化
P
EI=
C
θc1
fc1
pa3 3EI
fc1
c1
pa2 2EI
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B2
θB2
P Pa
c
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 2EI
PaL 3EI
fc fc1 fc2
fc
pa3 3EI
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
。
例题 5-7
解:一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横 截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸， 再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件 进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条 件不满足，应适当增加横截面尺寸。
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL4 384EI
A
qL3 24EI
B
qL3 24EI
+
PL3 48EI
PL2
16EI PL2
16EI
+
ML2 16EI
ML 3EI
ML 6EI
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
16EI
1 qa4 24 EI
()
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
弯曲变形求解方法
①建立刚度条件，解决刚度问题
②建立变形协调条件，解决超静定问题
③为振动计算奠定基础。
§6.2挠曲线的微分方程
一、概念
以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。
①挠曲线：
在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。
②挠度：
一、梁的刚度条件
在工程中，梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。梁的刚度条件为
式中 ——最大挠跨比；
——许用挠跨比。许用挠跨比可从设计规范中查得，一般在 ～ 之间。
[例6－2]受力情况如图9－42a所示的简支梁，由型号为45a工字钢制成。材料的许用应力 MPa， ，材料的弹性模量为 GPa，试校核梁的强度和刚度。
梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。
③挠曲线的方程式：
w=f(x)
④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故
⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。
⑥挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。
[解]（1）作梁的弯矩图（图9－42b）。
由图可知： kN·m
（2）校核梁的强度。
查型号为45a工字钢知，惯性矩 cm4，抗弯截面系数 cm3。
梁内最大正应力
N/mm2=103.18MPa＜
梁满足强度要求。
（3）校核梁的刚度
用叠加法计算梁跨中的挠度为
mm
=18.5mm
＜ =0.002
梁满足刚度要求。此梁安全。
二、提高梁刚度的措施
要提高梁的刚度，应从影响梁刚度的各个因素来考虑。梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载、梁的跨度、支座条件及梁的抗弯刚度有关，因此，要降低挠度，提高刚度，可采用以下措施：
提高弯曲梁强度和刚度的措施
提高弯曲梁强度和刚度的措施提高弯曲梁强度和刚度作为一种常见的结构元素，弯曲梁广泛应用于建筑、桥梁等领域。
为了提高弯曲梁的强度和刚度，需要采取以下措施：1. 采用高强度材料弯曲梁的强度和刚度与材料的性能密切相关，因此可以采用高强度材料来提高弯曲梁的强度和刚度。
目前常用的高强度材料包括钢、混凝土、玻璃钢等。
2. 优化截面形状设计弯曲梁的截面形状对其弯曲强度和刚度有较大的影响。
通过优化截面形状设计，可以使弯曲梁在受力状态下更加稳定，从而提高其强度和刚度。
3. 增加梁的厚度和宽度增加弯曲梁的厚度和宽度可以有效提高其承载能力和强度。
在设计弯曲梁时，可以根据实际需要适当增加其厚度和宽度，以提高其强度和刚度。
4. 加强支撑和连接弯曲梁的强度和刚度还受到支撑和连接的影响。
因此，在设计弯曲梁时需要重点考虑其支撑和连接的情况，并采取适当的措施加强其支撑和连接。
5. 应用预应力和后张力技术预应力和后张力技术可以有效提高弯曲梁的强度和刚度。
通过施加预应力或后张力，可以使弯曲梁在受力状态下更加平稳，从而提高其强度和刚度。
以上是提高弯曲梁强度和刚度的几种常用措施，通过采取这些措施，可以有效提高弯曲梁的承载能力和使用寿命，为建筑和桥梁工程的安全运行提供重要保障。
6. 增加梁的深度梁的深度也是影响弯曲梁强度和刚度的重要因素之一。
增加梁的深度可以增加其惯性矩，从而提高其弯曲强度和刚度。
在设计梁的深度时，需要考虑材料的性能和实际的使用环境等因素。
7. 采用复合材料和新型材料随着科技的不断发展，新型材料的研制和应用不断涌现，例如碳纤维复合材料、纳米材料等，这些材料具有高强度、高刚度、轻重量等优点，广泛应用于桥梁、航空航天、汽车等领域。
采用这些新型材料可以进一步提高弯曲梁的强度和刚度。
8. 优化施工工艺和质量控制弯曲梁的施工工艺和质量控制也是影响其强度和刚度的重要因素之一。
在施工过程中，需要严格按照设计要求进行施工，并采取有效的质量控制措施，以确保弯曲梁的质量和性能达到要求。
7.4刚度条件及提高梁刚度的措施
一、刚度条件
y [ y], [ ]
max
max
建筑钢梁的许可挠度： l ~ l 250 1000
机械传动轴的许可转角：
1
3000
精密机床的许可转角： 1 5000
例8：图示工字钢梁受均布荷载作用，已知l＝2 m， q ＝20 kN/m，材料的弹性模量E=200 GPa，y =l/700。 A
2、减少梁的弯矩——减少梁的长度
y A
l
y
max
F
Fl3
B x ymax 3EI
max
y
A max l 2
q
B
max l 2
5ql4
x ymax 384EI
y max
y q
A
l
max
y
ql4
B
x
ymax
8EI
max
y
A max l 2
y max
F
B
Fl 3 x ymax 48EI
查附录D-3可知，选取工字钢型号为NO.16，它的 I 1130cm4 729cm4 。
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二、提高梁刚度的措施 1、选择合理的截面形状dBiblioteka y dx2M (x) EI
即Iz/A越大，截面越合理。为了充分利用材料，应将材料尽可能放置到距离中性轴较远处。
q B
试确定工字钢的型号。
l
解：1）简支梁在均布载荷作用时，中点有最大挠度
5ql 4 ymax 384EI
2）代入刚度条件
ymax
5ql 4 384EI
y
l 700
梁的变形
2
写出挠曲线方程和转角方程，并画出挠曲线
P v( x ) ( L x )3 3 L2 x L3 6 EI P q ( x ) v' ( L x )2 L2 2 EI
最大挠度及最大转角
v
P L
度量梁变形的两个基本量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v 表示。
v向下为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用q 表示， 顺时针转动为正，反之为负。
C v v
q
P x
C’
转角与挠度的关系
挠曲线上任一点的纵坐标 v（x）即为该点的
横截面的挠度。
dv tgq v' dx
qmax
x
vmax
PL3 v ( L) ( ) 3 EI
q max
PL2 q ( L) ( ) 2 EI
例： 简支梁受集中力F作用，求梁的转角方程和挠度方程， 并求C截面的挠度和A截面的转角。已知梁的EI，l=a+b，a>b。 解：1）由梁整体平衡分析得： HA
H A 0, RA Fb Fa , RB l l
前面讨论了(梁）弯曲 内力、弯曲应力，接下
来讨论弯曲变形。
第10章
梁的变形
梁在外力作用下除了限制其应力，使其满 足强度条件外，还必须限制它的变形，即必须 具有足够的刚度，满足刚度条件。 例如：楼板弯曲变形太大.则平顶下面的粉 刷层就会剥落，不但影响美观，而且给人以不 安全的感觉；高速铁路桥梁变形过大，就无法 提高行车速度。
2、尽量减小梁的跨度或长度，减少弯矩数值
提高弯曲梁强度和刚度的措施(一)
提高弯曲梁强度和刚度的措施(一)提高弯曲梁强度和刚度随着现代建筑的发展，钢铁结构在建筑中的应用越来越广泛。
而作为钢结构中最常用的构件之一，弯曲梁的强度和刚度的提高是非常重要的。
针对此问题，可以采取以下措施：选择适当的材料弯曲梁的材料是影响其强度和刚度的关键因素之一。
在选择材料时，需要考虑其弹性模量、屈服强度、密度等因素。
具有高弹性模量和强屈服强度的材料，如高强度钢，能够提高弯曲梁的强度和刚度，并且减轻结构负荷。
采用加强措施在设计和制造过程中，采用加强措施也是提高弯曲梁强度和刚度的常用方法。
加强措施主要包括增加截面尺寸、安装中间支撑、设置撑杆等。
这些措施能够有效地抵抗扭矩和剪力，提高梁的弯曲刚度和荷载能力。
优化截面形状优化截面形状也是提高弯曲梁强度和刚度的重要手段之一。
常用的截面形状包括圆形、方形、矩形、梯形等。
根据弯曲梁受力情况的不同，可以选择适当的截面形状，以达到最佳的性能表现。
加强构造设计弯曲梁的构造设计是影响其性能的关键因素之一。
在进行构造设计时，需要考虑承载能力、强度、稳定性等多个方面的因素。
特别是在较大跨度的设计中，应加强受力部位的设计，增加加强板、加强筋、加厚板和加强角等构件，以增强其强度和刚度。
结语综上所述，改善弯曲梁的强度和刚度可以采用多种综合措施，如选择适当的材料、采用加强措施、优化截面形状、加强构造设计等。
这些措施不仅能够提高弯曲梁的性能，还能够增强建筑结构的整体性能。
注意事项在提高弯曲梁的强度和刚度时，还需要注意以下事项：1.材料的选择应当符合国家和行业标准，以确保其质量和性能符合要求。
2.加强措施的选择应当根据实际受力情况进行，避免盲目进行。
3.截面形状的优化应当结合实际情况，考虑结构的实用性和美观性。
4.构造设计应当符合国家及行业相关规定，确保结构安全稳定性。
5.在运输和安装过程中，应注意弯曲梁的保护，避免受到损坏而影响其性能。
结论弯曲梁的强度和刚度关系到建筑结构的稳定性与安全性。
材料力学第四章弯曲变形
习题： 182页，5-11、13、15
第4章
弯曲变形
叠加法
§4-4 梁的刚度校核提高梁的刚度 的措施
1、梁的刚度校核
保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生 的变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：
wmax w l l
w 其中， 与 l
qmax q
第4章
弯曲变形
叠加法
2、提高刚度措施
除外加载荷外，梁的位移w、q还与梁的弯曲刚 度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提高 刚度的措施有：
1）升高EI。 各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积 A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。 如工字形、箱形等截面。
2）减少梁的跨度或增加支承。 如下图所示结构：
从以上两例题知: 转角及挠度方程中的积分常数C,D的几何意义为: C EIw ' x 0 EIq 0
D EIw0
θ0和w0分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。 梁的刚度条件
wmax w
q max q
其中[q]称为许用转角；[w]称为许用挠度。
习题： 180页，5-2、3、5
Fl q B1 q C1 2 EI
2
（顺时针）
第4章
弯曲变形
叠加法
对图b，可得D截面的挠度和转角为：
F
·
(b)
wD2
直线
wD 2
wD2
F 2l 3EI
F 2l 2 EI
3
qD2
qD2 BD qB 2
wB2
2
qD2
同理可得此时B截面的挠度和转角为：
wB 2
8Fl3 4 Fl 2 14Fl3 wD 2 q D 2 BD l （向下） 3EI 2 EI 3EI
第九章弯曲变形和刚度计算
3. 转角θ：横截面绕中性轴转过的角度，即 y 轴与挠曲线法线 的夹角，或 x 轴与挠曲线切线的夹角。逆时针方 d 向为正。 tan dx d f x 小变形： tan dx 即:截面转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率。
M 纯弯曲时曲率与弯矩的关系式为： EI
不可能
A B
不可能
问题讨论：
y
A B
问题的边界条件、连续条件 ？
q c x
O A
边界条件
分几段？ 连续条件
A处： wA=0 B处： wB=0
A处： wA=0， A =0 分OA一段。
AB、BC两段
B处： w1=w2 1 = 2
11
例：图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁, 在自由端受一集 中力 F作用。试求梁的挠度方程和转角方程 , 并确定 其最大挠度wmax和最大转角max 。
(a x l )
17
（2）建立挠曲线近似微分方程并积分来自梁段I ( 0 x a)
挠曲线近似 微分方程
b EIw1 M 1 F x l
梁段II ( a x l)
EIw2 M 2 F b x F ( x a) l
2 积分一次 b x 转角方程 EIw1 F l 2 C1
P x1 a 2 C1 2 P EI1 x1 a 3 6 C1 x1 a D1 EI1
EIw M ( x) Fl Fx
Fx 2 EIw Flx C1 (a) 2 2 Flx Fx3 EIw C1 x C2 (b) 2 6
(3) 由边界条件确定积分常数 在x＝0处: w＝0 θ＝ 0 y
A
梁的挠度和转角
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题 一简支梁受力如图所示。试求 ( x), ( x) 和 , 。 A max F y 解： 1、求支座反力 x x C B A Fb Fa x FAy , FBy a b
L
L
L
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb( L2 b 2 ) A 0, 6 LEI
则由 解得：
C 1 x a
Fab(a b) 0( a b) 3LEI
0在AC段。
Fb 1 ( x ) [3x 2 ( L2 b 2 )] 0 6 LEI
x L2 b 2 3
D左 D右 连续条件： D左 D右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
④积分常数的物理意义和几何意义
物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 C 即坐标原点处梁的转角，它的 EI o EI倍就是积分常数C； 即坐标原点处梁的挠度的 EI倍就是积分常数D。 D EI o 几何意义：C——转角 D——挠度
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 边界条件： A 0
连续条件：
B左 B右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 解：边界条件： A 0 C 0
答案 D
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)
FA＝0 FB＝0 MCD＝const
A C D B
答案 D
强度、刚度、稳定性
x F x EI x O y F M(x)
w w ( x) y O
F 2 k EI
d 2 w( x) 2 k w( x) 0 2 dx
解微分方程得到通解为
w( x) C1 sin kx C2 coskx
C1和C2为待定常数，根据压杆的约束边 界条件来确定，在两端铰支的情况下， 边界条件为
可以通过以下措施提高梁的刚度
提高梁的刚度的措施
Fpl3 挠度wmax 3EI Fpl2 转角 θ max 2 EI
1、减小梁的跨度，当梁的长度无法减小时，增加中间支座； 2、选择合理的截面增加惯性矩I
3、选用弹性模量E较高的材料。
压杆稳定182
概念 临界力和欧拉公式 压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施
EI '' M ( x )
上式积分一次得转角方程： EI ' EI
M ( x )dx C
再积分一次, 得挠度方程： EI [ M ( x )dx ]dx Cx D C、D ——积分常数；由边界条件和连续性条件确定。
34
梁的变形计算· -----叠加法P133
梁的强度条件115
1、梁的正应力强度条件：
2、梁的切应力强度条件：
max
满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足剪应力的强 度条件。因而可不对切应力进行强度校核
必须进行剪应力的强度校核的情况： (1) 梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷；以致梁 的弯矩较小，而剪力很大。 (2) 焊接或铆接的工字梁，如果腹板较薄而截面高度很大，
即横截面上、下边缘各点处：
0
y =0，即中性轴上各点处：
max
梁的刚度校核
第五节 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施一、梁的刚度条件在按强度条件选择了梁的截面后，往往还需要进一步按梁的刚度条件检查梁的变形是否在设计条件所允许的范围内。
因为当梁的变形超过一定限度时，梁的正常工作条件就会得不到保证，为此还应重新选择截面以满足刚度条件的要求。
根据工程实际的需要，梁的最大挠度和最大转角不超过某一规定值。
由此梁的刚度条件为m ax y≤][y （9-5）m ax θ≤][θ （9-6） 式中][y 为许可挠度，][θ为许可转角。
其数值可以从有关工程设计手册中查到。
例9-11 图9-18所示为一吊车梁，跨长m 10=l ，最大起重量30kN =W F ，梁为工字钢截面，许用应力=][σ140MP a ，许可挠度400][ly =，弹性模量a GP 200=E 。
试选择工字钢型号。
图9-18解 （1）按正应力强度条件设计截面，选择工字钢型号由于截面尺寸未定，暂不考虑梁的自重影响。
当起吊重物在跨中点C 时，C 截面将产生最大弯矩和最大挠度。
最大弯矩为4103041)(max ⨯==l F M W W kN ·m =75kN ·m根据强度条件得z W ≥63max 101401075][)(⨯⨯=σW M m 63107.535-⨯=m 33cm 7.535=查附录C 型钢表，初选32a 号工字钢，3cm 602=z W ，11100=z I cm 4。
（2）刚度校核389333max 102.281011100102004810103048--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z W EI l F y m 2.28=mm40010000400][==l y mm 25=mm由于m axy ＞][y ，则32a 号工字钢不能满足刚度要求，需根据刚度条件重新选择型号，由[]z W EI l F y 483=得3933310251020048101030][48-⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y E l F I W z m 441025.1-⨯=m 412500=cm 4查型钢表得36a 号工字钢15800=z I cm 4，875=z W cm 3，单位长度自重588≈q N/m（3）按选得的工字钢考虑自重影响，对梁的强度和刚度进行校核如图9-18(c )所示，自重引起梁跨中最大弯矩22max 105888181)(⨯⨯==ql M q N ·m 35.7=kN ·m载荷和自重共同引起梁的最大弯矩为。
§8-6 提高梁的刚度的措施
§8-6 提高梁的刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与梁 的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以,要想提高弯曲刚度,就应 从上述各种因素入手： 一、调整加载方式 二、减小跨度或增加支座 三、选择合理截面 四、合理选用材料
§8-6 提高梁的刚度的措施 一、合理安排梁的约束与加载方式
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b= ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为
h 2 时,强 度 最 大; h 3 时,刚 度 最 大.
b
b
§8-6 提高梁的刚度的措施
三、选择合理截面
bh2 Wz 6
h2 d 2 b2
Wz
b 6
(d 2
b2 )
d 2b b3 6
dW 0 db
d 2 3b2 0
b d 3
h d 2 b2 d 2 d 2 2d 33
h b
2d
3 d23 2来自3hb
§8-6 提高梁的刚度的措施 四、合理选用材料
各种材料的弹性模量E差别不大。 选用高强度材料，只能提高许用应力 同类的材料，“E”值相差不多，故换用同类材料只能提高强度，不能提高 刚度。
§8-6 提高梁的刚度的措施
由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：梁的挠度和 转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂）
提高梁的刚度的措施
b
英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为
h 2 时,强度 最大; h 3 时,刚度 最大.
b
b
§8-6 提高梁的刚度的措施
三、选 2 b2
Wz
b 6
改善结构形式，减少弯矩数值
改 变 支 座 形 式
yB
Fl 3 3EI
yC
Fl 3 48 EI
§8-6 提高梁的刚度的措施
改 变 载 荷 类 型
§8-6 提高梁的刚度的措施 二、减小跨长或增加支座
调整跨长和改变结构；
缩短跨长：如将简支梁改为外伸梁；
或增加支座等。
q
A
B
l
q
A
B
l
q
A
B
§8-6 提高梁的刚度的措施 二、减小跨长或增加支座
机械加工，镗孔，尾架，减少挠度。
§8-6 提高梁的刚度的措施
跨度为l 的简支梁，承受均布载荷q作用，如果将梁两端的铰支座各向 内移动 l/4，最大挠度将仅为前者的8.75%。
§8-6 提高梁的刚度的措施 三、选择合理截面
§8-6 提高梁的刚度的措施 三、选择合理截面
矩形木梁的合理高宽比
h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出:
(d 2
b2 )
d 2b b3 6
dW 0 db
d 2 3b2 0
b d 3
h d 2 b2 d 2 d 2 2d 33
h b
2d
3 d
23 2
3
h
b
§8-6 提高梁的刚度的措施 四、合理选用材料
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梁的挠度与抗弯刚度EI成反比，因此提高梁的抗弯刚度 EI，可以降低梁的变形。值得注意的是，由于各种钢材的弹 性模量较为接近，使用高强度的合金钢代替普通低碳钢，并 不能明显提高其刚度。要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变 的情况下增大截面的惯性矩，例如使用工字形、圆环形截面， 可提高单位面积的惯性矩。
2）减小梁的跨度
因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以减小梁的 跨度，将使梁的挠度大为减小。
如果把简支梁的支座向内移动 a ，简支梁变成外伸梁， 梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷使梁产生向上的挠 度，中间梁段的载荷使梁产生向下的挠度，它们之间有一部 分相互抵消，因此挠度减小了。
y
y
y
3）改善梁的载荷作用方式
第四节 梁的刚度条件和提高弯曲 刚度的措施
一、梁的刚度条件
设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和max，[ f ]和[ ]
分别为挠度和转角的许用值，则
梁的刚度条件
ymax [ f ]
max [ ]
挠度的许用值[ f ]一般为梁的跨度l 的1/200～1/1000。
在安装齿轮或滑动轴承处，轴的[ ]=0.001rad。
查表可得梁的跨中挠度为
故该梁满足刚度条件
y
Fl3 48EI
20103 8.863 48 210109 11100108
m
1.24102 m [ f ] l / 500 1.77 102 m
二、提高梁弯曲刚度的措施
梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度l以及梁的载 荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以提高梁的刚度，可 以从以下几方用转角可在机 械设
计手册中查得。
例8-6 如图所示简支梁，选用32a工字钢，跨中作用有
集中力F = 20kN，跨度为l = 8.86m，弹性模量 E = 210GPa，
梁的许用挠度
。试校核梁的[ 刚f ]度。l / 500
解：查型钢表可得32a工字钢 的惯性矩为：
I z 11100 cm4
合理调整载荷的位置及分 布方式，可以降低弯矩，从而 减小梁的变形。如图所示作用 在跨中的集中力，如果分成一 半对称作用在梁的两侧（见右 图 ），甚至化为均布载荷， 则梁的变形将会减小。