《数值逼近逼近》教学规划
数值逼近课程设计报告
课程设计报告课程名称数值逼近专业信息与计算科学班级计算092姓名杜青学号 50指导教师秦新强、胡钢日期 2011-07-01理学院应用数学系一、目的意义(1)进一步熟悉掌握复化梯形公式。
(2)进一步掌握熟悉复化抛物线公式。
(3) 学会比较复化梯形公式和复化抛物线公式如何达到所要求的精度。
二、内容要求积分计算问题：分别用复化梯形和复化Simpsom 求积公式计算积分dx e x x x 5.142)(13-⎰-，并比较计算量（精度为10-8）。
三、问题解决的方法与算法方法：利用复化梯形和复化抛物线积分公式。
算法：输入：端点a 、b 以及要计算的积分公式f(x)；输出：积分f(x)在指定区间上的近似值以及当其达到所要求的精度时要做的等分数n 的值。
Step1：编写复化梯形公式程序。
Step2：通过所要达到的精度作为条件，算出要做的等分数以及对应的近视值。
Setp3：编写复化抛物线积分公式程序。
Setp4：通过所要达到的精度作为条件，算出要做的等分数以及对应的近视值。
Setp5：然后比较复化梯形和复化抛物线的所需等分数，比较谁的精度比较高。
四、计算程序1.复化梯形数值积分及其应用报告1#include <>#include <>double f(double x){double s;s=13*(x-x*x)*exp*x);return s;}void main(){int n,i;double h,m,y,a,b,t[3000];printf("请输入端点的值a,b\n"); scanf("%lf",&a);scanf("%lf",&b);for(n=1;;n++){h=(b-a)/n;m=(f(a)+f(b))/2;for(i=1;i<n;i++){m+=f(a+i*h);}t[n]=m*h;h=(b-a)/(n+1);m=(f(a)+f(b))/2;for(i=1;i<n+1;i++){m+=f(a+i*h);}t[n+1]=m*h;if(fabs(t[n+1]-t[n])< break;}printf("求得结果为n=%d",n);printf("求得结果为:t[n+1]=%10.8f\n",t[n+1]); }2.复化抛物线#include <>#include <>double f(double x){double s;s=13*(x-x*x)*exp*x);return s;}void main(){int i,n;double h,m,p,q,x,s,a,b,t[1000];printf("请输入端点的值a,b\n");scanf("%lf",&a);scanf("%lf",&b);for(n=1;;n++){h=(b-a)/(2*n);m=f(a)+f(b);p=0;q=0;for(i=1;i<2*n;i++){ x=a+i*h;if(i%2==0)q=q+f(x);elsep=p+f(x);}t[n]=h*(m+2*q+4*p)/3;h=(b-a)/(2*(n+1));m=f(a)+f(b);p=0;q=0;for(i=1;i<2*(n+1);i++){ x=a+i*h;if(i%2==0)q=q+f(x);elsep=p+f(x);}t[n+1]=h*(m+2*q+4*p)/3;if(fabs(t[n+1]-t[n])< break;}printf("求得结果为:n=%d\n",n);printf("求得结果为:%10.8f\n",t[n+1]);}五、计算结果与分析1.复化梯形的运行结果：2.复化抛物线的运行结果：分析与评价：通过对复化梯形的运行结果和复化抛物线的运行结果的分析得到，当其所要求的精度相同时，复化抛物线的的等分数明显比复化梯形的等分数少，因此可以得到复化抛物线的精度比复化梯形的精度高。
数值计算中的逼近理论-教案
数值计算中的逼近理论-教案一、引言1.1数值计算与逼近理论的关系1.1.1数值计算在科学研究和工程应用中的重要性1.1.2逼近理论在数值计算中的核心地位1.1.3数值计算与逼近理论的相互促进与发展1.2逼近理论的基本概念1.2.1逼近理论的定义及其数学表述1.2.2逼近理论的主要研究内容和方法1.2.3逼近理论在数值分析中的应用领域1.3教学目标和意义1.3.1培养学生理解和掌握逼近理论的基本概念和方法1.3.2培养学生运用逼近理论解决实际问题的能力1.3.3提高学生对数值计算的兴趣和科学素养二、知识点讲解2.1函数逼近的基本概念2.1.1函数逼近的定义和分类2.1.2函数逼近的主要方法和技术2.1.3函数逼近在数值计算中的应用2.2最佳逼近理论2.2.1最佳逼近的定义和数学表述2.2.2最佳逼近的存在性和唯一性2.2.3最佳逼近的计算方法和应用2.3等价逼近和插值逼近2.3.1等价逼近的定义和性质2.3.2插值逼近的定义和性质2.3.3等价逼近和插值逼近的比较和应用三、教学内容3.1函数逼近的基本方法3.1.1代数多项式逼近3.1.2三角多项式逼近3.1.3有理函数逼近3.1.4小波逼近3.2最佳逼近理论的应用3.2.1数据拟合与回归分析3.2.2信号处理与图像重建3.2.3最优化问题与数值求解3.2.4工程问题中的应用案例3.3插值逼近与数值微分和积分3.3.1插值逼近的基本方法和原理3.3.2数值微分和积分的概念和方法3.3.3插值逼近在数值微分和积分中的应用3.3.4数值微分和积分的计算误差分析四、教学目标1.1知识与技能目标1.1.1使学生理解逼近理论的基本概念和方法1.1.2培养学生运用逼近理论解决实际问题的能力1.1.3使学生掌握数值计算中的逼近算法和技巧1.1.4培养学生的数学思维和科学素养1.2过程与方法目标1.2.1通过实例分析，让学生体会逼近理论在实际中的应用1.2.2通过小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力1.2.3通过上机实践，提高学生的计算机操作能力和编程能力1.2.4通过课后练习，巩固学生对逼近理论知识的理解和应用1.3情感态度与价值观目标1.3.1培养学生对数值计算和逼近理论的兴趣和热情1.3.2培养学生的科学精神和创新意识1.3.3培养学生的团队合作精神和责任感1.3.4培养学生的批判性思维和自主学习能力五、教学难点与重点2.1教学难点2.1.1逼近理论的基本概念和方法的理解2.1.2最佳逼近的存在性和唯一性的证明2.1.3数值计算中逼近算法的实现和优化2.1.4逼近理论的数学表述和逻辑推理2.2教学重点2.2.1函数逼近的基本方法和原理2.2.2最佳逼近的计算方法和应用2.2.3插值逼近与数值微分和积分的关系和应用2.2.4逼近理论在实际问题中的应用案例2.3教学难点与重点的关系2.3.1教学难点是学生在学习过程中可能遇到的困难和挑战2.3.2教学重点是学生在学习过程中需要重点掌握的知识和技能2.3.3教学难点与重点相互关联，教学难点的突破有助于学生对教学重点的理解和应用2.3.4教学难点与重点的把握和处理好坏，直接影响到教学效果和学生的学习效果六、教具与学具准备3.1教具准备3.1.1多媒体设备（电脑、投影仪、音响等）3.1.2教学课件（PPT或PDF）3.1.3黑板和粉笔（或白板和白板笔）3.1.4教学视频和动画（可选）3.2学具准备3.2.1笔记本和笔3.2.2数值计算相关的教材和参考书3.2.3计算器和计算机（用于上机实践）3.2.4小组讨论材料（如问题案例、数据集等）3.3教具与学具的管理和使用3.3.1教师应提前检查和准备好教具3.3.2学生应提前准备好学具，并保持整洁3.3.3教具和学具的使用应结合教学内容和教学方法3.3.4教具和学具的使用应有助于提高教学效果和学生的学习效果七、教学过程4.1导入新课4.1.1通过实例引入逼近理论的概念和应用4.1.2提出问题，激发学生的兴趣和思考4.1.3引导学生回顾相关的知识和方法4.1.4明确教学目标和要求4.2讲解新课4.2.1讲解逼近理论的基本概念和方法4.2.2通过实例演示逼近算法的实现和应用4.2.3讲解最佳逼近的存在性和唯一性4.2.4讲解插值逼近与数值微分和积分的关系和应用4.3练习与应用4.3.1布置课后练习，巩固学生对知识的理解和应用4.3.2提供实际问题案例，让学生运用逼近理论解决4.3.3安排上机实践，让学生动手实现逼近算法4.3.4组织小组讨论，让学生分享问题和经验4.4.2对教学效果进行反思和改进4.4.3收集学生的反馈意见和建议4.4.4为下一节课的教学做好准备八、板书设计1.1板书内容1.1.1逼近理论的基本概念和方法1.1.2最佳逼近的存在性和唯一性1.1.3插值逼近与数值微分和积分的关系和应用1.2板书结构1.2.1采用总分结构，先总体介绍逼近理论，再详细讲解各个部分1.2.2使用图表和公式，直观展示逼近算法的实现和应用1.2.3通过案例和实例，引导学生理解和掌握逼近理论1.3板书设计原则1.3.1突出教学重点和难点1.3.2逻辑清晰，条理分明1.3.3简洁明了，易于理解1.3.4与教学内容和教学方法相匹配九、作业设计2.1作业内容2.1.1基本概念和方法的理解和应用2.1.2最佳逼近的计算方法和应用2.1.3插值逼近与数值微分和积分的关系和应用2.1.4实际问题案例的解决2.2作业形式2.2.1选择题和填空题（用于巩固基本概念和方法）2.2.2计算题和应用题（用于提高计算能力和应用能力）2.2.3论述题和拓展题（用于培养学生的思维能力和创新能力）2.2.4小组讨论和报告（用于培养学生的合作能力和表达能力）2.3作业评价2.3.1作业的难易程度和量要适中2.3.2作业要能够反映学生的学习情况和掌握程度2.3.3教师要及时批改和反馈作业情况2.3.4学生要认真完成作业，及时改正错误十、课后反思及拓展延伸3.1课后反思3.1.2对学生的学习情况进行评价和分析3.1.3对教学效果进行评估和改进3.1.4对教学内容和方法进行反思和调整3.2拓展延伸3.2.1引导学生阅读相关的文献和资料3.2.2提供实际问题案例，让学生进行深入研究和探索3.2.3安排上机实践，让学生动手实现逼近算法3.2.4组织小组讨论，让学生分享问题和经验重点关注环节的补充和说明：2.教具与学具准备：教具与学具的准备是教学过程中的重要环节，要结合教学内容和教学方法进行选择和使用。
《数值逼近》课程实验教学大纲
《数值逼近》课程实验教学大纲一、制定实验教学大纲的依据根据本校《2004级本科指导性培养计划》和《数值逼近》课程教学大纲制定。
二、本实验课在专业人才培养中的地位和作用《数值逼近》是“信息与计算科学”专业的一门基础课程，它是将数学知识与计算机语言相结合，在计算机上实现数值计算和微积分计算等。
主要内容包括：误差分析初步，代数插值和样条插值，最佳逼近，数值积分和数值微分，高斯型积分公式等。
对于学生深入了解计算机数值计算，掌握算法构造思想，针对实际问题建立新的计算方法具有重要的理论指导作用。
本门课程的16个上机学时就是针对所学习的基本算法进行程序设计、编程、调试与计算，通过对基本算法的计算机实现，对实际计算问题的解决和后续课程的学习都有着重要实际意义和指导作用。
三、本实验课讲授的基本实验理论1、代数插值的基本算法：Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、分段Hermite插值和三次样条插值。
2、数值积分基本算法：复化梯形公式、复化抛物线公式、Gauss积分公式以及多重积分公式。
3、数据拟合的最小二乘法。
四、本实验课学生应达到的能力1、对Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、分段Hermite插值、三次样条插值、复化梯形公式、复化抛物线公式、Gauss积分公式、多重积分公式以及数据拟合的最小二乘法进行程序设计、上机调试并给出计算结果。
能够熟练的利用一种语言完成所有任务。
2、对所有算法写出上机实验报告。
学会实验报告的写作。
五、学时、教学文件学时：本课程总学时为64学时,其中实验为16学时,占总学时的25%。
教学文件：《数学建模与计算教学大纲》、《数值逼近上机指导书》。
要求学生实验前对算法进行程序设计，画出计算流程图。
上机后进行代码编写、调试，真并针对具体数据进行计算、检验。
六、实验考核办法与成绩评定实验课成绩占本课程总成绩20%。
七、仪器设备及注意事项仪器设备：PC机。
注意事项：注意保护设备。
《数值逼近》教学大纲
《数值逼近》教学大纲第一篇：《数值逼近》教学大纲《数值逼近》教学大纲（课程编号520271）（学分3.5，学时56）一、课程的性质和任务本课程是信息与计算科学专业的专业大类课。
函数逼近论研究函数的各类逼近性质，是计算数学和其它科学工程计算中诸多数值方法的理论基础。
本课程除了介绍几类古典的函数逼近理论和方法之外，还介绍了现代逼近理论中样条函数、曲线与曲面拟合等方面的理论与技巧。
在介绍上述内容的同时，安排学生上机实习，使学生能够更深刻地理解与掌握逼近论的基本理论与方法，达到理论与实践相结合的目的。
二、课程内容、基本要求 Weierstrass 定理与线性算子逼近掌握 Weierstrass 第一定理、第二定理，了解算子逼近理论。
一致逼近掌握函数一致逼近理论中的Borel 存在定理、最佳逼近定理，熟练掌握Tchebyshev 最小零偏差多项式，了解三角多项式逼近理论和代数多项式逼近理论中的 Jackson 型和 Bernstein 型定理。
多项式插值方法熟练掌握 Lagrange 插值公式、Newton 插值公式、Hermite 插值，等距节点插值与差分，插值余项估计等。
平方逼近理论掌握最小二乘法、最佳平方逼近理论，空间中的直交函数系与广义Fourier 级数、直交函数系的构造方法、直交多项式的一般性质，了解直交多项式级数的收敛性、几种特殊的直交多项式。
数值积分掌握Newton-Cotes 公式、Romberg 方法，熟练掌握代数精度法构造求积公式，熟练掌握Gauss 型求积理论，了解Euler-Maclaurin 公式，三角精度与周期函数的求积公式、奇异积分的计算等内容。
样条逼近方法掌握样条函数及其基本性质、B-样条及其性质、三次样条插值。
曲线、曲面的生成和逼近了解微分几何中的曲线、曲面论，掌握数据处理、累加弦长法、参数样条曲线、Bezier 方法、B-样条方法等曲线与曲面设计方法。
三、课程的教学环节课内 56 学时，课外 12 学时（学生自行上机完成数值实习作业）。
王仁宏老师的《数值逼近》6
第七章样条逼近方法教学目的及要求：掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。
借助于多项式来逼近，虽然有很多优点，但由于多项式乃幂级数的特例，其在一点附近的性质足以决定它的整体性质。
然而自然界较大范围内的许多现象，如物理或生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。
亦即在不同区域中，它们的性状可以完全不相关。
另一方面，从数学上讲，例如在多项式插值理论中，具有n 个插值点的一元插值多项式是一个n-1次的多项式，它可能有n-3个拐点。
这对于比较平滑的函数来说就不是那么理想了。
本章介绍的样条（函数）是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某中连接性质。
因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了相对独立的局部性质。
数十年来的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。
§1. 样条函数及其基本性质设给定一组结点∞=<<<<=∞-+110N N x x x x （1.1） 又设分段函数S(x)满足条件： 1．于每个区间[]),,0(,1N j x x j j =+上，S(x)是一个次数不超过n 的实系数代数多项式；2．S(x)于),(∞-∞上具有一直到n-1阶的连续导数。
则称)(x S y =为n 次样条函数。
常把以（1.1）为结点的n 次样条函数的总体记为N N n x x x x x S ,,.),,(121 称为样条结点。
一个（奇次）2n-1次样条函数)(x S y =，如果起在区间),[],(1∞-∞N x x 与上的表达式都是n-1次多项式（并不要求该两个n-1次多项式相同），则特别称之为2n-1次的自然样条函数。
以（1.1）为结点的2n-1次自然样条函数的总体记为.),,(2112N n x x x N -显然.),,(),,(21122112N n N n x x x S x x x N --⊂ （1.2） 下面来给出样条函数类),,(2112N n x x x S -中任一样条函数的一般表达式。
数值逼近
第一章 Weierstrass 定理与线性算子逼近教学目的及要求：要求掌握基本Weierstrass 第一定理、Weierstrass 第二定理、线性正算子与Korovkin 定理如所知，逼近的目的，是用简单的函数来逼近复杂的函数.本章讲述用多项式序列逼近有界闭区间上连续函数的可行性.§１．Weierstrass 第一定理在实变函数的数学分析中，最重要的函数类实连续函数类[]b a C ,与连续的周期函数类π2C .[]b a C ,是定义在某一闭区间[]b a ,上的一切连续函数所成的集合；π2C 是定义在整个实轴()∞∞-,上的以π2为周期的连续函数全体所成的整体.定理1（Weierstrass ） 设()∈x f []b a C ,，那么对于任意给定的0>ε，都存在这样的多项式()x P ,使得()()ε<-≤≤x f x P bx a m ax关于这个著名的定理，现在已有好多个不同的证法，下面介绍Bernstein 的构造证法.Bernstein 证法：不妨假定函数的定义区间是[]b a ,[]1,0≡.事实上,通过如下的线性代换:()a x a b t +-=,就能将x 的区间10≤≤x 变换成t 的区间b t a ≤≤.同时,显而易见,x 的多项式将变成t 的多项式, x 的连续函数将变成t 的连续函数. 因此只须就连读函数类[]b a C ,来证明Weiersrtass 定理就行了,对于给定的()∈x f []1,0C ,作如下的一串多项式()⋅⋅⋅=,3,2,1n ：()()kn k nk x x k nn k f x B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑10ｆｎ， （1.1） 显然()x B ｆｎ是一个n 次多项式.下面我们要证明极限关系式()()x f x B n =∞→ｆｎlim 换句话说, Weierstrass 定理中提及的()x P ,只要取()x B ｆｎ(其中N n ≥)就可以了.为了证明上述命题, 需要用到一个初等恒等式:()()()x nx x k n k nx kn k nk x -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑112（1.1） 这个恒等式式容易验证的. 事实上, 由于()()[]1101≡-+≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-=-n nk k n k x x k n x x ,可知 左端 =()()x x kx n kn k nk k n nkx -∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+102222=x n 22+()()x x x xk k n n k kkn knk k n k nx k n +∑-∑-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛110022=x n22+()()x x kn knk k n k k -∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101+()()∑-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+nk kn kx xk n k nx 0121=xn 22+()()()nx nx k n n n k x xk n k nk 212211222-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----∑--==x n22+()x n n 21-+()nx nx 21- =右端.对于[]1,0中的每一固定的x 及任一固定的正整数n , 令()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k f x f x n max ε,上式右端代表当k 取所有合乎条件⎪⎭⎫ ⎝⎛<-n x n k 141 的正整数式所得的最大差数. 根据()x f 在[]1,0上的一致连续性, 可见必存在一串0>εn , 使得()x n ε<εn 0↓ ()∞→n记()()()()()()x n k f x f x n k f x f x x f k n k n B λλ,'','⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑ｆｎ, 其中∑'与∑"分别表示对满足如下条件的一切k 所取的和：n nx k 43<- ，n nx k 43≥-；而()()x x k n k k n k nx --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,λ． 令()x f M max =,则显然有()()()()()x M x M x x x f k n n k n k n n B λελλε,",",'22∑∑∑+<+<-ｆｎ，而且利用已经验证过的恒等式()2.1可知()()()()4,02,"23nx nx x x kn nk k n nx k n ≤=≤∑-∑=λλ． 因此，()21,"141⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑n x kn λ，()()x x f Bｆｎ-＜εn ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛n M．注意上列不等式的右端与x 无关, 而且随着x 的无限增大而趋向0.这就证明了多项式序列()x B ｆｎ对于()x f 的一致连续性.W eierstrass 的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数来表示连续函数的问题.因此任意取定一个单调下降于0的数列δn , 则对每个δn 都可以找到一个多项式()x P n 使得#()()δnn x f x P <-. 于是令()()x x P Q 11=，()()(),1x x x P P Q n n n --= 1>n ，可知级数()x n n Q ∑∞=1的前n 项之和恰好与()x P n 相合, 因而该级数也就一致的收敛于()x f .在Bernstein 的证明中, 不仅证明了近似多项式序列()x P n 的存在性, 而且还给出了构造()x P n 的一个具体方法. 事实上,()x B ｆｎ()⋅⋅⋅=,3,2,1n 便构成了连续函数()()10≤≤x x f 的一个近似多项式序列.这样的证法通常称之为构造性的证明方法, 它要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更有价值.§２．Weierstrass 第二定理周期连续函数(不妨假定周期为#)的最简单逼近工具式如下三角多项式()()∑=++=nk k k kx kx A x T b a 1sin cos ．如果其中的系数a k 和b k 不全为0,则称()x T 为n 阶三角多项式. 相应Weierstrass 第一定理, 有如下的定理1 (Weierstrass 第二定理) 设()C x f π2∈, 则对任意给定的0>ε,都有三角多项式()x T 存在, 使得()()εππ<-≤≤-x T x f x ma x （2.1）这个定理可以从Weierstrass 第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接才用Vallee-Poussin 算子[]()()()dt x t t f n n x f V n n 2!!12!!221;cos 2--=⎰-πππ来证明, 其中()()()()()()133212!!1224222!!2⋅⋅⋅⋅--=-⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n ，． 作平移,显然有⎰⎰-=-=πππ0222cos 22cosdt t dt x t n nn I再做变换#,可算得上述积分为()()()⎰⎰---=--=10212110121112dv v v dv v v v n nn I＝()121212+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γn n ＝()()!!2!!122n n -π．从而()[]()()[]dt x t t f x f x f V x f n nn I 21;cos 2--=-⎰-ππ因为()C x f π2∈,所以()x f 一致连续.即对任意给定的0>ε,有0>δ存在,使得当δ<''-'x x 时,()()2ε<''-'x f x f ．今将()[]x f V x f n ;-分成两部分()[]()()[]dt x t t f x f x f V x f n x t n n I 21;cos 2--=-⎰<-δ+()()[]dt x t t f x f n x t n I 21cos 2--⎰≥-δ21C C += （2.2）以下估计1C 和2C≤1C ()()21221cos2εεδ=<--⎰≥-dt x tt f x f n x t n I ． （2.3）记()x f M x maxππ≤≤-=，12cos<=δq ，则≤1C ()()dt x tt f x f n x t n I 21cos 2--⎰≥-δ≤ πδ2212cos2⋅⋅⋅n nI M()()qn n n M 2!!12!!22-⋅= q nn M 24⋅⋅<．因此存在自然数N 使得当时N n >22ε<C（2.4）综合（2.2），（2.3）和（2.4），即可知Weierstrass 第二定理成立．§３．线性正算子与Korovkin 定理设()t x ,ϕ对集E 中每一个x , 在区间b t a ≤≤#上关于t 都连续, 则积分()()()()()()x g dt t f t x x x f L x f L ba ===⎰,;;ϕ （3.1） 对于每一在区间[]b a ,上连续的函数()x f 都确定了一个函数()()x f L x g ;=. 定义 1 设已知函数集F, 如果对于集F 中的每一函数()t f , 均有一个函数()()x f H x ;=ϕ与之对应,则说在函数集F 上定义了算子()()()x t f H x f H ;;=.定义2 称算子()x f H ;是线性的,如果随着()t f .与()t g .属于它的存在域,()()t bf t af +.(其中a 与b 为任意的实数)也属于它的存在域且成立如下等式:()()()x bH x f aH x b af H ;;;ϕϕ+=+.例1 由(3.1)式定义的算子()x f L ;.是线性的.事实上,由下列等式即可以推出算子()x f L ;.的线性性质:()()()()()dt t f t f t x x f f L ba 2121,;βαϕβα+=+⎰=()()()()dt t f t x dt t f t x ba b a 21,,⎰⎰+ϕβϕα=()()x f L x f L ;;21βα+.例2 设()x u 1，()x u 2，．．．()x u n 为定义于集E 上的函数.令()()()x t f x f H u k nk k ∑==1;，其中()t f .为在实数集1t ，2t ，．．．，n t 上有定义的函数.可以证明算子()x f H ;.是线性的. 事实上()()()()()x u t b t af x b af H k nk k k ∑=+=+1;ϕϕ.＝()()()()x u t b x u t f a k nk k k n k k ∑∑==+11ϕ＝()()x bH x f aH ;;ϕ+．定义 3 如果对于每一个正函数()t f .及E x ∈.,线性算子()x f L ;.满足条件:()0;≥x f L , 则称()x f L ;.为集E 上的线性正算子.显然,对于每一固定的值x ,线性算子()x f L ;.成为线性泛函数.因此,如果对于集E 中每一固定的值x ,线性泛函数均是正的,则线性算子()x f L ;.在集E 上是正的.例如,当()x u k ()n k ,...2,1=.在E 上为函数时,算子()()()∑==nk k k x u t f x f L 1;为集E 上的线性正算子.又如,若()t x ;ϕ.对集E 中每一固定的x 在区间[]b a ,上关于t 为连续的正函数,则算子()()()⎰=ba dt t f t x x f L ,;ϕ在集E 上是正的.还须指出的是,在线性算子()x f L ;中,变元f 的变元与x 不同,()()()x t f L x f L ;;=,在计算算子()x f L ;的值时,我们将x 当作常数(但为集E 中任意的),因此等式()()()()x L x f x x f L ;1;=成立,这是由于()x f 为常数(与t 无关).现在我们来研究线性正算子序列()x f L n ;.在区间[]b a ,上的一致收敛于函数()x f .的条件.这里的()x f 是[]b a ,上的连续函数,并且在整个实轴上有界.如在泛函数情形一样,我们将证明,序列()x f L k n ;在[]b a ,.上一致收敛于()k k x x f =()2,1,0=k 蕴含序列()x f L n ;.一致收敛于()x f .(如果()x f .满足上面指出的条件).下面将引进这一论断的一种证法,它是以闭区间上的连续函数必一致连续这个事实为基础的.先证明一个引理.引理 1 若函数()x f 在区间[]b a ,上连续,在点b 为右连续,在点a 为左连续,则对0>ε,有0>δ,使得当b x a x y ≤≤<-,δ时,恒成立不等式()()ε<-x f y f证明 令02'>=εε.根据函数()x f 在区间[]b a ,上的一致连续性可以求出这样的01>δ.,使得当b x a x y ≤≤<-,1δ时,有不等式()()'ε<-x f y f （3.2）由于函数()x f 在点a 连续(左连续是假定的,而右连续则是依函数在闭区间[]b a ,上的连续性得知),所以对0'>ε有02>δ,使得当2δ<-x y 时()()'ε<-a f y f （3.3）同理有03>δ,使得当3δ<-x y 时()()'ε<-b f y f （3.4）令取()321,,min δδδδ=.并证明,当b x a x y ≤≤<-,δ时,有()()εε=<-'2x f y f事实上,若x 与y 均属于区间[]b a ,,则后面的不等式由(3.2)推得.若a y <(当然x 必须属于区间[]b a ,),则a x a y x y -+-=-.,且由于δ<-x y ,所以δ<-a y ,δ<-a x 现在得到()()()()()()()()()()a f x f a f y f x f a f a f y f x f y f -+-≤-+-=-. 依(3.3)式不等式右边第一项小于'ε;而依(3.2)式第二项也小于'ε.从而()()εε=<-'2x f y f如此已证明当a y <.时引理为真,对于b y >得情况可以同样证明. 现在我们给出线性正算子序列的收敛性定理.定理 3(korovkin ) 设线性正算子序列()x f L n ;满足条件:(1) ()()x a x L n n +=1;1. (2) ()()x x x t L n n β+=;(3)()()x x x t L n n γ+=22;其中()x a n ,()x n β,()x n γ在区间[]b a ,上一致收敛于零;又设函数()t f 有界且在区间[]b a ,上连续,于点b 为右连续,于点a 为左连续.则在区间[]b a ,上序列()x f L n ;一致收敛于函数()t f . 证明 由于函数()t f 有界()()M t f M <<-#.,所以对一切x 与t 均成立不等式()()M x f t f M 22<-<- (3.5)其次,依引理1,对于0>ε有0>ε使得,当b x a ≤≤,δ<-x t 时,成立不等式()()εε<-<-x f t f (3.6)假定()()2x t t -=ψ(x 为区间[]b a ,上的任意一点,且一经取好就固定了),由(3.5)、(3.6)式不难得到()()()()t Mx f t f t Mψδεψδε2222+<-<--.由此再依算子()x f L n ;的线性性质与单调性(其中x 为固定的,因而()x f #.为常数)()()()()()x x f L x f L x L Mx L n n n n ;;;2;12-≤--ψδε. (3.7)=()()()()()x L Mx L x L x f x f L n n n n ;2;1;1;2ψδε+≤- (3.8)现在我们可以断定, ()x L n ;ψ在区间[]b a ,一致收敛于零.事实上,由定理的条件与算子()x f L n ;的线性性质推出()()x x tx t L x L n n ;2;22+-=ψ=()()()x L x x t xL x t L n n n ;1;2;22+-=()()()()()x a x x x x x x n n n +++-+1222βγ =()()()x a x x x x n n n 22+-βγ =()x n δ;其中()x n δ在区间[]b a ,上一致收敛于零.考虑到这一点及定理中第一个条件,便可断言不等式(3.8)右边在区间[]b a ,上一致收敛于ε,而左边一致收敛于ε-据此可以求出这样的序标N ε,使得当N n >,b x a ≤≤时,成立不等式()()()εε<-<-x L x f x f L n n ;1;最后,依ε的任意性,序列()()()x L x f x f L n n ;1;-在区间[]b a ,上一致收敛于零,从而再依定理中第一各条件便可断言序列()x f L n ;在区间[]b a ,上一致收敛于零()x f .定理4(Korovkin) 设线性正算子序列()x f L n ;满足条件: (1) ()()x a x L n n +=1;1. (2) ()()x x x t L n n β+=cos ;cos (3) ()()x x x t L n n γ+=sin ;sin其中()x a n ,()x n β,()x n γ在区间[]b a ,.上一致收敛与零;又设函数()t f .有界且具有周期π2,在区间[]b a ,上连续,于点b 右连续,于点a 左连续.在上述条件下,序列()x f L n ;在[]b a ,上一致收敛于()x f证明 对于对于函数()x f ,定理3的条件满足,由此不等式(3.5)与(3.6)成立,其中第一个适于一切x 与t 的值,而第二个为一下条件所约束:b x a ≤≤,δ<-x t .对固定的x (b x a ≤≤),依这些不等式,类似定理3中(3.7)式的证明,可得()()()()t M x f t f t M ψδεψδε2sin 22sin 222+<-<-- (3.9)其中 ()2s i n2xt t -=ψ,b x a ≤≤,∞≤≤∞-x 由不等式(3.9)得到()()()()()x L x f x f L x L M x L n n n n ;1;;2sin2;1-≤--ψδε ()()x L M x L n n ;2s i n2;12ψδε+≤. (3.10)但是()()t x t x t sin sin cos cos 121--=ψ. 于是 ()(){()()}x t L x x t xL x L x L n n n n ;sin sin ;cos cos ;121;--=ψ.(){()()}x x x x x x x nn n 322sin sin cos cos 121γβα----+= (){()()}x x x x x nn n sin cos 212γβα--==()x n δ 其中()x n δ于区间[]b a ,上一致收敛于零.依上述等式及定理条件可推出,不等式(3.10)右边在区间[]b a ,上一致收敛于ε,而左边一致收敛于ε-.因此有εN ,使得当N n >,b x a ≤≤时,有不等式()()()εε2;1;2<-<-x L x f x f L n n由此可以推出.()()()()x x L x f x f L n n n λ=-;1;,其中()x n λ在区间[]b a ,上一致收敛于零.从而依据定理条件得到()()()()(){}1;1;-+=-x L x f x x f x f L n n n λ=()()()()x v x x f x n n n =+αλ其中()x v n 在区间[]b a ,上一致收敛于零,于是序列()x L n ;ψ在这个区间上一致收敛于函数()x f .注记 请注意,在定理3与定理4的证明过程中我们已经指明,如果序列()x L n ;1在区间[]b a ,上一致收敛于1,而序列()x L n ;ψ (在定理3中, ()()2x t t -=ψ;在定理4中, ()2sin 2xt t -=ψ)在这区间上一致收敛于零,那么这些定理是正确的. 验证在所述诸定理中指出的这两个条件,而非三个条件,在多数情形下是较易实现的.下面研究特殊的算子序列的一致收敛性. 引理2 设函数()x ϕ满足条件:(1) ()x ϕ在区间[]c c ,-,0>c 上连续,(1) ()1=x ϕ;当0≠x , []c c x ,-∈时, ()10<≤x ϕ.若令c <≤δ0固定,()dx x I cc n n ⎰-=ϕ及()()dx x I n n ⎰-=δδϕδ则()1lim =∞→nn n I I δ 证明 我们有()()()()dx x dx x dx x dx x I cn n c n cc n n ⎰⎰⎰⎰++==----δδδδϕϕϕϕ＝()()()δϕϕδδn cn c n I dx x dx x ++⎰⎰-- (3.11) 由于函数()x ϕ在区间[]δ--,c 上连续,可设()x q cx c ϕmax 1≤≤-=#..由引理条件(2)推出101<<q ,同理()1max 2<=≤≤x q cx ϕδ．令(){}21,max q q q q ==δ,则在集[]δ--,c 和[]c ,δ上函数()x ϕ满足不等式()()10<=≤≤δϕq q x据此有()()()()n n n cn c n cq c q c q dx x dx x 20<-+-<+≤⎰⎰--δδϕϕδδ． (3.12)现在来估计()δn I 依()x ϕ在点0=x #.处的连续性及()1=o ϕ.,对于021>-=qε有01>δ（δδ<1）.使得,当1δ<x 时,有 ()q q q x >=+=->~211εϕ 由此再依函数()x ϕ.的正性,得到()()n n n n qdx x dx x I ~2111⎰⎰-->≥=δδδδδϕϕ (3.13) 由(3.11)与(3.12)推出()()n n n n cq I I I 2+<≤δδ把这些不等式各部分除以()δn I .并注意到不等式(3.13),得到()()nn n n n n nq q q c q c cq I cq I I ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+<+<≤~1~2212111δδ (3.14) 由于q q>~,所以上面的不等式的右边趋于1,由此便证明了引理. 定理5 设函数()x ϕ满足引理2的条件且()dx x I cc n n ⎰-=ϕ又设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则算子序列()()()dt x t t f I x f L nba nn -=⎰ϕ1;（c a b ≤-≤0） 在区间[]δδ-+b a ,（0>δ）上一致收敛于函数()x f证明：依定理4的注记，要证明定理只需验证，在区间[]δδ-+b a ,上序列()x L n ;1一致收敛于1,且序列()x L n ;ψ一致收敛于零,此处()()2x t t -=ψ. 我们有 ()()dt x t I x L n bann -=⎰ϕ1;1.令x t z -=,则得()()dz z I x L xb x a nnn ⎰--=ϕ1;1 我们指出, δδ-≤≤+b x a .,故()()c c a b b a x a ->-≥--=--≥-δδδ ()δδ-=+-≤-a a x a ()δδ=--≥-b b x b()()c c a b a b x b <-≤--=+-≤-δδδ 由此再依函数()x ϕ的正性有()()()()n cc n xb x a n n n I dz z dz z dz z I =≤≤=⎰⎰⎰----ϕϕϕδδδ.()()()1;1≤=≤⎰--x L dz z I I n x b x a nnn ϕδ 又依引理2,上述最后的不等式的左边趋于1,因此若εN n >,0>ε,δδ-≤≤+b x a ,则有不等式()1;11≤<-x L n ε，()01;1≤-<-x L n ε这就验明了序列()x L n ;1在区间[]δδ-+b a ,上一致收敛于零.剩下的是要验证序列()x L n ;ψ在这一区间上一致收敛于零，其中()()2x t t -=ψ,我们有()()()dt x t x t I x L nba nn --=<⎰ϕψ21;0 ()dz z z I x b xa nn⎰--=ϕ21由于c x a -≥-,而c x b ≤-.且函数()x ϕ#.在区间#[]c c ,-上是正的,所以()()dt x t zI x L n cc nn -≤<⎰-ϕψ21;0=(){()dz z z dz z z I n c a n a c n ϕϕ⎰⎰+--221()dz z zI n aa nϕ⎰-+21在第一与第二积分号下22c z ≤,而在第三积分号下22a z ≤.因而()(){()}()⎰⎰⎰---++<<aa nnca na cn nn dz z I a dz z dz z I c x I ϕϕϕψ22;0依不等式(3.12)得到()()a I I a I cq c x L n n nn n n +⋅<<2;02ψ (3.14)现在设0>ε及22ε=a ..依引理2,不等式(3.15)右边第二项有极限数22ε=a 而依不等式(3.14),第一项趋于零.因而成立不等式()εψ<<x L n ;0如果εN n >,b x a ≤≤.从而推得,序列()x L n ;ψ在区间b x a ≤≤上一致收敛于零,定理得证.采用Korovkin 定理和上述定理,可证明许多算子的收敛性质.例如Bernstein 算子,Landau 算子,Weierstrass 算子,Jackson 算子,以及Kontrovitch 算子等的相应收敛性均可由它们验证.第二章 一致逼近教学目的及要求：要求掌握一致逼近定理、收敛速度估计、函数的构造性理论、代数多项式逼近理论中的有关结果。
数值逼近 (4)
第六章非线性逼近方法教学目的和要求：要求掌握非线性一致逼近、有理函数逼近、Pad 'e 逼近方法、有理逼近的一些算法 .考虑函数)1ln(x +的逼近问题.它的Taylor 展开式为∑∞=-≤<--=+11)11()1()1l n (k kk x kxx .记上式右端前s 项的和为)(x T s ，显然)(x T s 可以作为)1ln(x +的一种近似.由连分式展开的方法，)1ln(x +又有如下的连分式展开式： .524231211)1l n (2222+++++=+x x x x x x不难算出它的前4个渐近分式依次为.612054084042025260630420)(,3369060116060)(,6636)(,22)(4324324323232221xx x x xx x x x R xx x xx x x R xx xx x R xx x R +++++++=+++++=+++=+=可以具体算出，)(x R n 的展开式将含有函数)1ln(x +之Taylor 展开式的前n 2项和)(2x T n .下面来比较)(x R n 与)(2x T n 的逼近误差.设以R ε与 分别记)(x R n 与)(2x T n 同)1ln(x +之间的误差，并取1=x .它们误差的对比，如下表：（)18147693.02(ln =由上表可知，)1(4R 的精确度竟比)1(8T 的精确度高几乎510倍.这说明开展某些函数的有逼近或一般非线性逼近的研究是很有必要的.§1. 非线性一致逼近首先讨论如下有理分式，∈n m R ,n m R ,：,)()()(,x Q x P x R n m n m =（1.1）其中n n m m P x Q P x P ∈∈)(,)(分别为x 的n m ,次多项式.设)(,x R x m 是既约有理分式，即)(x P m 与)(x Q n 互质.设)(x f 是有界闭区间],[b a 上的连续函数.定义偏差函数)()(,x R x f n m -的绝对值的上确界为)(,x R n m 与)(x f 的最大偏差，简称为偏差： )()(s u p )(,,x R x f R n m bx a n m -=∆≤≤.(1.2) 又定义量)()(s u p i n f )(,,,x R x f f n m bx a R n m nm -=≤≤ρ（1.3）为形如（1.1）的有理分式类：{})(,,x R def R n m n m 对给定函数)(x f 的最佳逼近或最小关于偏差的下界估计，有： 定理1（Vall ée-Poussin）设多项式,)(0μμ--++=m m a xa x A νν--++=n n b x b x B 0)(互质，其中.0,0,00≠≤≤≤≤b n m νμ且设 )(/)()(x B x A x R =于],[b a 区间上为有穷，差函数)()(x R x f -在],[b a 中的点列 N x x x <<< 21 上以正负交错的符号取异于0的值 N N λλλ121)1(,,,---（不妨假定各个0>j λ）.而且),,min(,2νμ=+-+=d d n m N 则对每一形如（1.1） 的函数),(x Q 恒有}.,,min{)(21N Q λλλ ≥∆（1.4）当0)(≡x R 且2+=m N （即)n d =时，此不等式仍然成立.证明 采用反证法.假若存在一个形如（1.1）的函数),(x Q 满足 }.,,min{)(21N Q λλλ <∆ 考察差)()()(x R x Q x -=η)]()([)]()([x Q x f x R x f ---=.显然)(,),(),(21N x x x ηηη 不等于0且正负交错变号.由于)(x η于],[b a 上连续，连续函数的中值定理，)(x η与),(b a 内至少有11+-+=-d n m N 个零点.然而 )(/)()()()(x u x v x R x Q x =-=η中分子)(x v 的次数.},max{d n m n m n m -+=-+-+≤νμ从而必有0)(≡x η，亦即)()(x R x Q ≡.此与定理假设相矛盾，故定理得证.定理2 在所有形如（1.1）的有理分式中，至少存在一个有理分式),(x Q 使得它与)(x f 的偏差)(Q ∆取到极小值，即min)(=∆Q .证明 只须证明存在形如（1.1）的有理分式),(x Q 使得 )()(,f Q n m ρ=∆.下面我们将具体地构造出)(x Q 来.按下确界的定义，存在无穷函数序列)}({x Q i ，使得)()(lim ,f Q n m i i ρ=∆∞→，其中nin i ni mi m i m i i p xp x p q xq xq x Q ++++++=-- 110110)(.将)(x Q i 如下标准化，使其分母的系数满足).,2,1(122120 ==+++i p p p nii i 我们来证明相应的系数),,1,0(m j q ji =也是有界的.事实上，设).,2,1()( =<∆i M Q i又设121,,,+m ξξξ 为),(b a 内给定的互异点，则对其中任一点ξ，必有ni n i ni mi m i m i p p p q q q ++++++-+ 110110ξξξξ≤)()(110110ξξξξξξf f p p p q q q nin i ni mi m i m i +-++++++-+)(max x f M bx a ≤≤+≤.从而有正常数K 存在，使得Kq q q mi m i mi <+++- 110ξξ.由于多项式mi m i m i q x q x q +++- 110于1+m 个点121,,,+m ξξξ 处的值是有界的，比方设它们依次为121,,,+m K K K ，则按线性方程组)1,,2,1(110+==+++-m j K q q q j mi m j i m j i ξξ， 可以解出li q 的一个表达式),,0(m l =.显然这些),,0(m l q li =均有界. 由于),,0(n j p ji =和),,0(m l q li =有界，根据Bolzano-Weierstrass 定理，在有理分式序列)}({x Q i 中，可以选出某子序列，不妨仍记为)}({x Q i ，使得.lim ,lim l li i j ji i b q a p ==∞→∞→今作（1.1）型有理分式 .)(110110nn nm m m a xa x ab xb xb x P ++++++=--以下来证明).()()(max )(,f x P x f P n m bx a ρ=-=∆≤≤因为)(x P 只可能在有限多个点处变为无穷，而在],[b a 区间的其它点~x 处，显然有)()(lim ~~x P x Q i i =∞→.（1.5）所以)()()()()()(~~~~~~x P x Q x Q x f x f x P i i -+-+≤ i i bx a Q x f ε+∆+≤≤≤)()(m a x即除去可能在有限个点处外，总有.)(m a x )(M x f N x P bx a +=<≤≤从而上式于区间],[b a 上处处成立.即)(x P 在区间],[b a 上处处有限，所以（1.5）式处处成立.由于)(x P 个系数与)(x Q i 个相应系数之间的极限关系，不难看出极限关系式)()()(lim b x a x P x Q i i ≤≤=∞→在],[b a 上一致成立.这样一来，若于 )()(m a x x P x f bx a -≤≤)()(m a x )()(m a x x Q x P x Q x f i bx a i bx a -+-≤≤≤≤≤两边令i 趋于无穷，立即得到).()()(max ,f x P x f n m bx a ρ≤-≤≤是故).()(,f P n m ρ≤∆又显然有)()(,P f n m ∆≤ρ, 所以最终证得)()(,f P n m ρ=∆. 存在性定理2证毕.根据定理2，存在形如（1.1）的有理分式)(x R ，使得)()(,f R n m ρ=∆， （1.6） 其中)(x f 是区间],[b a 上连续函数.称满足（1.6）的有理分式为)(x f 于（1.1） 所示有理分式类中的最佳一致逼近有理分式.下面的Tchebyshev 定理对最佳一致逼近有理分式的特征作了确切的描述.定理3 形如（1.1）的有理分式函数中在],[b a 上与)(x f 偏差最小的有理分式)(x P 由下述特征所唯一确定① . 若将)(x P 写成 )()()(110110x A x B a xa xa b x b xb x P n n n m m m =++++++=--------νννμμμ ，其中)(),(x B x A 互质，n m a ≤≤≤≤≠νμ0,0,00.则在],[b a 上使)()(x P x f - 以正负交错的符号达到)(P ∆的点列之点数2+-+≥d n m N ，其中),m i n (νμ=d .若0)(≡x P ，则2+≥m N . 证明 充分性.设2+-+≥d n m N .并于定理1中取)(P k ∆=λ，则知对任何形如（1.1）的有理分式)(x Q ，必有).()(P Q ∆≥∆ 从而)(x P 是最佳逼近有理分式.必要性.采用反证法.设满足要求的偏离点的个数为1+-+≤d n m N ，我们来证)(x P 必不是最佳逼近有理分式.将],[b a 分为如下的'N 个子区间： ],[,],,[],,[1'211b a N -ξξξξ ， （1.7） 使之在上述区间上，轮流满足α-∆≤-≤∆-)()()()(P x P x f P ，① 此处所说的唯一性，乃指经约分化简后为相同的有理分式者.和).()()()(P x P x f P ∆≤-≤+∆-α并且（1.7）中每个区间内只含有一个偏离点.为证)(x P 不是最佳者，只须求得（1.1）形有理分式)(x Q ，使得)()(P Q ∆<∆成立即可.引入多项式)())(()(1'21----=N x x x x ξξξφ显然它在121',,,-Nξξξ 处依次变号.由于)(x A 与)(x B 互质，于是存在次数分别为m 与n 的多项式)(x φ与)(x ϕ，使得.1)()()()(=+x x B x x A ϕφ于上式两边同乘多项式)(x Φ，得到)()()()()()()(x x x B x x x A x Φ+Φ=Φϕφ.（1.9）用)(x B ，)(x A 分别去除（带余）)()(),()(x x x x ΦΦϕφ：)()()()()()()()()()(2211x r x q x A x x x r x q x B x x +=Φ+=Φϕφ（1.10）其中μ-∈m P x r )(1，ν-∈n P x r )(2分别为νμ--n m ,次多项式.将（1.10）代入（1.9）有)()()()()()()(21x q x B x A x q x B x A x +=Φ )()()()(21x r x B x r x A ++)()()}()]()()[(){(1221x r x A x r x q x q x A x B +++=)()()()(x v x A x u x B ⋅+⋅=，其中)(),(x v x u 为次数不高于m n ,的多项式.作有理分式)()()()()()()(x u x x A x v x x B x Q ωω+Ω-Ω=.于是)()()()()()()()()()(x u x x A x v x x B x A x B x Q x P ωω+Ω-Ω-=-)]()()()[()()]()()()[()]()()()([x u x x A x A x x u x x A x A x v x A x u x B ωωωω+ΩΦ=+Ω+=因为)]()([)]()([)()(x Q x P x P x f x Q x f -+-=-)]()([x P x f -= +)]()()()[()(x u x x A x A x ωω+ΩΦ， （1.11）于是只须特别取1)(≡Ωx ，并取ω充分小，则在调节ω正、负号的前提下可以保证（1.11）最后一等号右端第二项恰与第一项在个偏离点上的值异号.从而，只须对充分小的ω取（1.1）形有理分式 )()()()()(x u x A x v x B x Q ωω+-=，则可保证不等式（1.8）成立.必要性得证.最后证明唯一性，用反证法.设还有（1.1）形有理分式)(x Q ，使得 )()()(,f P Q n m ρ=∆=∆.假设与)(x Q 相应的量'''',,,d N νμ与d N ,,,νμ意义相同.由必要性，知 2,2''+-+≥+-+≥d n m N d n m N .为确定起见，不妨假设N N ≥'. 设'21N βββ<<< 为相应于)(x Q 的偏离点，考虑差函数 )()()(x Q x P x -=η)]()([)]()([x P x f x Q x f ---=.若j β点同样也是)(x P 的同类（同正或同负）偏离点，则应有 0)(=j βη 否则，0)(≠j βη，但此时必然有)].()([)(j j j Q f sign sign βββη-= （1.12）例如假设.0)(,0)()(,0)(11≠===≠+++-k i k i i i βηβηβηβη由于)]()([)1(111-----i i i Q f ββ与)]()([)1(111++++++--k i k i k i Q f ββ同号，从而根据（1.12）知)()1()(11++--=k i ki sign sign βηβη.当k 为偶数时，由（1.13），)(x η于区间],[11++-k i i ββ两端点上同号.于是)(x η在该区间上有偶数个根.当k 为奇数时，由（1.13），)(x η于区间],[11++-k i i ββ两端点上异号.于是)(x η在该区间上有奇数个根.总之，)(x η于区间],[11++-k i i ββ区间中根的个数与k 同奇偶.但已知k i i +ββ,, （共1+k 个）是)(x η的根，于是为保证同奇偶，必有第2+k 个根存在.依此推导，可知)(x η于区间],[b a 内至少应有1'-N 个根.但这是不可能的，因为)(/)()(x D x C x =η中分子的 次数=r 2},max{'''-≤--+--+N n m n m νμνμ 当)(x P 0)(,0≠≠x Q ，,2''-≤-=N m ν 当0)(≡x P ， ,2'-≤-=N m ν 当0)(≡x Q因而定理唯一性证完.最后我们来证明，当0)(≡x P 时，)(x P 是最佳逼近有理分式必须且只须2+≥m N .若2+≥m N ，则于定理1所示的V all ée-Poussin 定理中取)(m a x )(x f P bx a j ≤≤=∆=λ，则队任何（1.1）形有理分式)(x Q ，均有j P Q λ=∆≥∆)()(. 从而)(x P 为最佳逼近有理分式.反之，设0)(≡x P 为最佳逼近有理分式，我们来证2+≥m N .若不然，设偏离点个数1'+≤m N .考虑)())(()(121'----=ΦN x x x x ξξξ .作)()(x x Q Φ=ω，其中ω为一充分小实数，则可以同前面必要性证明一样而引出矛盾.至此定理全部证完.N e w m a n J D ..曾经讨论了x 有理逼近的误差估计问题.下面我们来介绍有关结果.若)(x r n 是两个互质多项式的商：)(/)()(X Q x P x r n n = <<-∞x ()∞+， 则称n r ()x 为n 阶有理函数.定义 ()()()x r x f fn Ax r n n-=∈s u p i n fρ,其中A 为实数集合, n r ()x 取遍一切n 阶有理函数.根据关于函数类的“宽度”的研究可知,对于性质比较好的函数来说,有理函数逼近的优越性不大.然而,对于有较小奇异性的函数,有理逼近却非常有效,下面来考察函数()x x f =在区间[]A =-1,1上用n 阶有理函数逼近的误差估计问题.Newman 证明了下述定理:定理4 当5≥n时恒有()nn ex P -≤3. (1.14)证明 设nea 1-=.则当n 充分大时,a 接近于1,而1-n a 却接近于零,先来证明估计式nn j jj eaa--=≤+-∏1111 )5(≥n (1.15)事实上,利用数学分析中的典型方法不难证明 tett 211-≤+-, 当 0≥t .从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤+-∑∏-=-=a a a a aann j j n j jj 12exp 2exp 111111.又,当5≥n 时,()()122551>-≥---eeaa n.对于所有0≥t,还有t e t≤--1,所以n a≥-11.是故估计式(1.15)成立. 现在设 ()()∏-=+=11n k ka x x p , ()()()[]()()x p x p x p x p x x r n-+--=. (1.16)显然n r ()x 是n 阶有理函数.我们来证明()nn ex r x -<-3 (5≥n, 11≤≤-x ) (1.17)因为x 与()x r n 都是偶函数,为了证明(1.17)只需考虑的情形.对于满足条件()n axn-=≤≤exp 0的x,由于()0≥-x p .从而()x x r n ≤≤0.故有()nnn eex x r x --≤≤≤-3,即当na x ≤≤时(1.17)式成立. 当1≤≤xa n时,必存在某个j(10-≤≤n j ),使得jj a xa≤≤+1.于是由(1.15),有()()∏∏-+==+-+-=-111n j k kk jk kk a x ax xa x a x p x p∏∏-+==+-+-≤111n j k kjk j jk nkn k aa a a aa a a∏∏--=--=+-+-=1111111j n m mm n j n m mm aaa ann m mm eaa--=≤+-=∏1111.因此当1≤≤x an时,由于下述不等式成立(10≤≤x ):()()()()()()122--≤-+-=-x p x p x p x p x p xx r x n ,所以()nnn eex r x -≤-≤-312(5≥n ).定理4证完.Newman 还证明了()nn ex921-≥ρ (5≥n ). (1.18)综合(1.14)与(1.18),可知()nn nexe--≤≤3219ρ (5≥n ). (1.19)它比()x x f =在[]1,1-上的最佳n 次多项式逼近的误差阶O(n 1)要优越得多.D.newman 的不等式(1.19)还可以用来估计某些函数的有理逼近的误差阶.§2. 有理函数插值给定m+n+1个互异的点 n m x x x +,,,1和相应的函数值()()()n m x f x f x f +,,,10 ,希望构造一个有理分式函数 ()()()101,b x b x b a x a xa x D x N x R nn m m n m n m ++++++==,使之满足插值条件()()j j n m x f x R =, (1,,1,0++=n m j) (2.2)这种问题就是所谓有理函数插值问题.显然,当分母次数0=n时,()x R n m ,是一个m 次的多项式,从而插值问题(2.2)的解存在并且唯一.但是,当0>n,即(2.1)所示的()x R n m ,真正是一个有理分式函数时,插值问题(2.2)是否对任何右端(){}j x f 皆有唯一解存在呢?且看下述几个例子. 例1 设 0=m,()0=jx f ,()0≠kx f ,()010,0b x b x b a x R nn n +++=.于是由()0,0=j n x R 推知00=a .但是当00=a 时,显然()0,0≠x R n不成立.是故,此时相应插值问题无解.例2 设1==nm,且()()()321x f x f x f ≠=.则由相应插值条件,必有 021021011011b x b a x a b x b a x a ++=++.于是 0))(12110=--x x b a b a （.而21x x ≠,从而0110b a b a =.若01=b ,则()x R 1,1退化为一次多项式.既然()x R 1,1于21,x x x=处的值一样(假定),说明()x R y 1,1=是一条平行于X 轴的直线.当然也就不可能满足()()231,1x f x R ≠了.所以不妨设01≠b .于是1010b b a a =.从而()01101101011,1b x b b b a x a b x b a x a x R ++=++=()()c o n s tb a b x b b b x b a ==++=11011011.这样一来,又不可能满足插值条件中所要求的条件 ()()31,111,1x R x R ≠了.总之,本例所讨论的有理插值问题的解不存在. 为了便于讨论,需要引进一些定义.两个有理分式 ()()()x Q x P x R 111=, ()()()x Q x P x R 222=(2.3)称为恒等,如果存在一个非零常数a ,使得()()x aP x P 12=, ()()x aQ x Q 12=.此时记()()x R x R 21≡.(2.3) 所示两有理分式()()x R x R 21,称为等价的,如果 ()()()()x Q x P x Q x P 1221⋅≡⋅.此时常记为()x R 1～()x R 2.对于此处所定义的关系“～”,显然有下列三个性质: (i) R(x) ～ R(x);(ii) R(x) ～Q(x),Q(x) ～S(x)则R(x) ～S(x); (iii) R(x) ～Q(x), 则Q(x) ～R(x) . 所以“～”是一种等价关系.显然可知,两有理分式()x R 1和()x R 2等价,必须且只须()x R 1和()x R 2 的最简(既约)有理分式()x R 1和()x R 2恒等.今后只要两有理分式等价,则认为它们是同一个有理分式,而不加以区别.有理函数插值的唯一性也是在这种意义上说的. 定理5 插值问题(2.2)若有解,则必唯一. 证明 设()()()x D x N x R n m n m =, , ()()()x D x N x R n m n m =,同时满足插值条件(2.2): ()()()j j n m j n m x f x R x R ==,, (n m j+=,,0 ).于是由 ()()()()jnj m j n j m x D x N x D x N =(n m j+=,,0 ).可推知()()()()j n j m j n j m x D x N x D x N =(n m j+=,,0 ).因为()()x D x N n m 与()()x D x N n m 为次数不高于n m +的多项式,所以从上式可知()()()()x D x N x D x N n m n m ≡.从而()x R n m ,～()x R n m ,.定理5证完.定理5说明对于有理函数插值来说,关键的问题是存在性和具体解法. 我们知道,当(2.1)所示的有理分式()x R n m ,满足插值条件(2.2)时,只要分母()0≠j n x D (1,,0+=m j),就应有()()()0=-j n j j m x D x f x N (n m j +=,,). (2.4)它是一个关于系数00,,,,,b b a a nm的线性代数方程组.这当然比非线性方程组(2.2)要容易求解了.那么,(2.2)在什么条件下会与(2.4)等价呢? 下面定理6对这个问题作了明确的回答.定理6 设线性方程组(2.4)有非平凡解.为使满足插值条件(2.2)的最简有理分式()()()x q x p x R n m n m =,存在,必须且只须(2.4)的任一非平凡解()()x D x N n m **,,在约去一切公因子后得到的互斥多项式()()x B x A ,,仍然是(2.4)的解,即 ()()()0=-j j j x B x f x A (n m j+=,,0 ).证明 必要性.设()()x D x N n m **,是(2.4)的任一组非平凡解()()()0=-**j n j j m x D x f x N (n m j +=,,0). (2.5)按假设,有(2.1)型的最简有理分式()()x v x t 存在,使插值条件(2.2)得以满足:()()()j j j x f x v x t =(n m j+=,,0 ). (2.6)由于()x t 与()x v 互质,所以()0≠j x v .因为否则为使上式成立,必亦有()0=j x t ,是故有公共因子(j x x-)了.以(2.6)代入(2.5),得到()()()()0=-**j n j j jmx D x v x t x N(n m j +=,,0 ).两边通乘以()j x v ,得到()()()()0=-**j n j j j m x D x t x v x N (n m j +=,,0 ).这样一来,次数不超过n m+的多项式()()()()x D x t x v x N n m **-已有1++nm个互异的根,从而()()()()x D x t x v x N n m **-≡ 0在上式中约去()()x D x N n m**,的最大公因子,则有()()()()0≡-x B x t x v x A .特别地,也应有 ()()()()0=-j j j j x B x t x v x A (n m j +=,,0 ).注意到(2.6)式,上式亦即()()()0=-j j j x B x f x A (n m j+=,,0 ).必要性得证.充分性.设如上定义的()()x B x A ,是(2.4)的解:()()()0=-j j j x B x f x A (n m j+=,,0 ).可断言()0≠j x B .因为否则由上式,必也有()0=jx A .从而与()()x B x A ,互质的假定相矛盾.既然如此,我们可以用遍除上式两边,而得到()()()j j j x f x B x A =(n m j+=,,0 ).是故()()x B x A 满足插值条件(2.2).充分性得证.定理6全部证完.定理6建立了(2.2)与(2.4)等价的充分必要条件.然而由于所给条件仍不便于检验,所以N.Macon 与D.E.Dupree 还给出了便于检验的条件. 定理7 设(j j y x ,) (n m j+=,,0 )中各j x(n m j+=,,0)是互异的.为使满足插值条件(2.2)的最简有理分式()()()x D x N x R n m n m =,存在,必须且只须诸矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-++++-++++-++++-+++------------n m n n m nm n m nm m nm nm nm j n j j j j m j j j j n j j j j m j j j n m jy x y x y x x x y x y x y x x x y x y x y x x x y x y x y x x x A 1121111111121111111111211010012001111(2.7) (n m j +=,,0 )都是非奇异的.其中()j j x f y =(n m j+=,,0).定理7的证明要用到若干引理,此处不拟列出. H.Salzer 讨论了切触有理插值问题.设()()x D x N ,是x 的两个多项式,r x x ,,1是互异实数,()i j x f)(,1,,1,0-=i s j为一批给定的数.所谓切触有理插值,就是确定()x N 和()x D 的系数,使得()()()()i i x x jj x fx D x N dxd i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= (2.8)若∑==ri isk1,通常取()x N 和()x D 的次数相等或接近相等.即当为k 奇数时,()x N 和()x D 的次数皆取成[]2k ;当k 为偶数时,和的次数则分别取[]2k 和[]2k -1.设()0≠i x D ,一般有理函数插值问题()()()i i i x f x D x N =(r i,,1 =) 自然等价于()()()[]ixx i x f x D x N ==(r i,,1=).一切切触插值()()()()()()i x x i x x x f x D x N x f x D x N ii'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===',, (2.9)可以表示为()()()[]()()()()()[]2,i i i i i xx i x D x D x N x D x N x f x D x N i'-'== = ()i x f ' . (2.10)后一等式中又可以()i x f 代替()()i i x D x N 然后用()i x D 遍乘而化为()()()()()i i i i i x D x f x D x f x N '+'='.因而(2.9)最后化成()()()[]ixx i x f x D x N ==,()()()[]'ix x i x f x D x N =='. (2.11)完全类似地,二阶切触有理插值可转化为()()()[]ixx i x f x D x N ==, ()()()[]'ix x i x f x D x N ==',()()()[]''ixx i x f x D x N =='' (2.12)一般情况下,是否也可把有理切触插值()()()()i m x x mm x fx D x N dxd i=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= (1,,1,0-=i s m) (2.13)化成等价形式(当()0≠i x D 时)()()()()()ixx mm i m x f x D dxd x N==(1,,1,0-=i s m )?(2.14)回答是肯定的.这可以用数学归纳法来证明.事实上,由前面的分析,已知当1,01=-=i s r 时,(2.13)和(2.14)是等价的.今设当1-=sr时,(2.13)与(2.14)也是等价的.我们来证明当s r =时,它们还是等价的.其实只须再证明()()()()i s xx s sx fx D x N dx di=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= (2.15)与()()()()()ixx ss i s x f x D dxd x N==(2.16)等价就够了.设(2.16)成立.因由Leibnitz 公式()()()()()()()()()∑=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==sk i k s i k xx ss i s x D x f k s x f x D dxd x Ni0, (2.17)()()()()()()()()()()()i k s sk k x x s x x i s x D x D x N k s x D x D x N x Ni i-===∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0. (2.18)由归纳假定,后一式右端中()()[]()()()i k k xx x fx D x N i==(1,,1,0-=s k).因而比较上两式右端,即知()()()()()s x x i s ix D x N x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=. 亦即(2.15)成立.反之,假定(2.15)式成立.则由(2.18),有()()()()()()()∑=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sk i k s k x x i s x D x D x N k s x Ni0 = ()()()()∑=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛sk i k s i k x D x fk s 0= ()()[]()s x x i x D x f =. 即(2.16)成立.总之,我们已建立了如下定理: 定理8 设()0≠i x D ,则有理切触插值问题()()()()i m x x mx fx D x N dxdi=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= (1,,1,0-=i s m)与下列线性问题()()()()[]ix x mi m x f x D dx d x N=⎪⎭⎫ ⎝⎛=(1,,1,0-=i s m)是等价的.若把定理8中的微商换成有限差(等距情况)或差商,则可以建立类似的定理.另外,当()x N 和()x D 不是普通多项式,而是广义多项式时,定理8也是照样成立的. 由定理8可知,只要各个()0≠i x D ,则有理切触插值问题(2.8)便等价于线性方程组()()()()[]ixx mi m x f x D dx d x N =⎪⎭⎫ ⎝⎛= (2.19)(1,,1,-=i s m; r i,,1=).下面我们应用定理8来具体讨论有理切触插值的构造问题.Salzer 具体讨论了下述连分式作为有理分式()()x D x N 的表达式:()()1,112,111,110,11--++-+-+=s a x x a x x a x x a x D x N,321,221,220,212a x x a x x a x x a x x s -+-++-+-+-1,1,0,1---++-+-++r s r n r n r n a x x a x x a x x (2.20)为了讨论方便,先介绍一些有关连分式的预备知识:1连分式 ++++nn b a b a b 110表示+++22110b a b a b++n n b a2分式n n b a 称为连分式(2.21)的第n 节;n a 与n b 称为连分式(2.21)的第n节的两项; ,,21a a 称为连分式(2.21)的部分分子, ,,21b b 称为连分式(2.21)的部分分母.有限连分式nn nn Q P b a b a b a b =++++22110称为连分式(2.21)的第n 个渐近分式.3 相邻三个渐近分式之间有递推关系式⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=----2121n n n n nn n n n nQ a Q b Q P a P b P (2.22)事实上,按连分式的定义111011000,1b a b b Q P b Q P +==,2212102211022a b b b a b b a b a b Q P ++=++=21202122212120210Q a Q b P a P b a b b b a a b b b b ++=+++=.这说明当n=1和n=2时,(2.22)式成立(已人为地取定1-P =1,1-Q =0).设递推公式(2.22)对n 已成立.即2121----++=n n n n n n n n nn Q a Q b P a P b Q P .我们来证明当n 换成n+1时,(2.22)也成立.注意从n n P 变到`11++n n Q P 应以11+++n n n b a b 代替n b ,于是111111211112111111-++-++--++--+-+-++++=++++=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Q a Q b P a P b Q a Q b a Q b P a b P a P b Q P .所以对于一切正整数而言,递推公式(2.22)恒成立(其中已规定1-P =11-Q ,=0). 下面回过来继续讨论(2.20)所述()()x D x N 的切触插值问题.假定1,11,10,11,,,---i s i a a a已经求出,于是由(2.20)可以求出它的渐近分式()()()()x Q x P x Q x P t t t t 2211,----,此处∑-==-111i j jst.根据关系(2.22),有()()()()()()()()()()x Q x x x Q x R x P x x x P x R x D x N t i t i t i t i 211211-------+-+=, (2.23)其中()+-+-+=2,1,0,i i i i i i a x x a x x a x R1,1,110,11,-+++--++-+-+-+n i s n n i i i i s i i a x x a x x a x x a x x (2.24)当按(2.23)所示的()()x D x N 和切触条件(2.8)(其中x=i x )来确定1,1,0,,,,-i s i i i a a a时(共i s 个条件),()x R i 表达式中的项1,1,10,11-++-++--+-n s n i i i i i a x x a x x a x x是可以忽略的.若记()()1,2,1,0,--++-+-+=i s i i i i i i i i i a x x a x x a x x a x T x S则由定理8,()x S i 和()x T i 两多项式的系数应该满足()()()()(){}()m x x t i i t i i x P x T x x x P x S =----+211()()()()()(){}[]()m x x i i i t i i x Q x T x x x Q x S x f =----+=211 (1,,1,0-=i s m). (2.25)由此求出()()x T x S i i 表达式中的各系数1,1,0,,,,-i s i i i a a a .于是(2.24)的渐近分式()()()(),,11x Q x P x Q x P t t t t ++可按渐近分式()()x P a x P k t k i k t 1,-++=当0=k,()()()x P x x x x k t i i 21-+-⋅--+, 当,1,,1-=i s k()()x Q a x Q k t k i k t 1,-++=当0=k, (2.26)()()()x Q x x x x k i i i 21-+-⋅--+当,1,,1-=i s k来逐个地确定.用i+1替代i,用t+i s 替代t 又可重复上述各步骤……当具有较小的i s 值时,比如i s =2,1+i s =3,…,则立即可以比较方便地在多个点处应用公式(2.25).Euler-Minding 曾经推导出关于有限连分式()()x x S i i 的具体有理分式表达:()()∑-≤≤+--++=2011101i i s j j i is i a a x x a a a x S()∑∑<≤-≤+++-+j s k k k j j i i a a a a x x 032112()∑∑∑<≤≤<-++++++-+j l k s l l k k j j ii a a a a a a x x 04322113（2.27）和()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=∑∑∑<≤-≤+++-≤≤+-k j s k k j j i s j j j i s i i i i a a a a x x a a x x a a a x T 1321132111211 其中ja(1,,1,0-=i s j )表示j i a ,(1,,1,-=i s j).具体写出,可列下表:))§3. Padé逼近方法一个函数的Taylor 级数展开的系数同该函数值的关系问题,既是一个有深刻意义的数学问题,又是一个重要的实际问题.它是数学分析研究的基础,又是遍及许多物理和生物学中数学模型的实际计算基础.如所知,如果一个Taylor 级数展开绝对收敛,则它唯一确定一函数的值,且该函数任意次可微.反之,如果一个函数任意次可微,则它也唯一确定一个Taylor 级数展开.此时实际上我们可以用多项式来逼近给定的函数.当然这种功能是有一定限度的.考虑()+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=43221128141161385211121x x x x x x x f . (3.1)容易看到当21>x时,上述Taylor 级数是不收敛的.当然也不能用它来计算()2=∞f 了!如果作变量替换()ωω21-=x或 ()x x 21+=ω,则()[]()211--=ωωx f+++++=4321283516583211ωωωω (3.2)于21=ω(∞=x )处是收敛的.取Taylor 级数(3.2)的前几个截断多项式于21=ω的值,即可得的近似值:1,1.125,1.343 75,1.382 81,1.399 90,…. (3.3)还原于原先的变量x,则(3.2)的前几个关于ω的截断多项式,正是x 的下列有理分式 ()()()(),21843291,21251,122x xx xx +++++. (3.4)下面我们考虑获取由Taylor 级数展开式(3.1)所定义函数()x f 的其它有理分式逼近的一种重要方法—Pad é逼近方法. 考虑()x f 的这样一种有理分式逼近 ()()dx c bx a ++,使其Taylor 级数展开的前3项同(3.1)的前3项相重合,于是求得()() +-+-+=++432128125322585211451471x x x x xx . (3.5) 按它算出()4.12≈∞=f ,它比(3.3)所给近似为好.考虑()x f 的下述有理分式:()()22hx ex d cxbx a ++++,使其Taylor 级数展开的前5项同(3.1)的前5项重合,则得到()()()()221629411116414131xx x x ++++. (3.6)由它算得()413793103.129412=≈∞=f .往下,按同样思路分别考虑分子(母)为3次,4次和5次多项式之有理分式,使其Taylor 级数展开与(3.1)的前7项,9项和11项相重合.于是相应求得()∞=f 2的下述近似值:1.414 201 183,1.414 213 198和 1.414 213 552. (3.7)2同最后一近似的误差仅为810-.足见这种算法还是很优越的.由此即可引导出一般的Pad é逼近方法.设()x f 由下述形式幂级数所定义 ()∑∞==j jj x a x f . (3.8)()x f 的[]M L Pad é逼近为[]()()x Q x P ML M L =, (3.9)其中()L L P x P ∈,()M M P x Q ∈分别为次数不超过L,M 的多项式.(3.9)中()x P L 和()x Q M 的系数,按下述方程来确定:()()()()1++=-M L M L xO x Q x P x f . (3.10)因为一个有理分式的分子、分母同乘一常数其值不变,我们特地要求()x Q M 满足标准化条件 ()0.10=M Q . (3.11)最后要求()x P L 与()x Q M 无公共因子存在. 若记()LL L xp x p p x P +++=10()MM M xq x q x Q +++=11， （3.12）则由标准化条件（3.11），可用()x Q M 遍乘（3.10）式以线性化系数方程。
《数值逼近逼近》课程设计(教学应用)
课程设计报告课程名称数值逼近专业信息与计算科学班级计算091姓名学号指导教师秦新强、胡钢日期2011-07-01理学院应用数学系一、目的意义(1) 进一步掌握复化梯形积分公式，提高运用能力。
(2) 进一步掌握复化抛物线积分公式，提高运用能力。
(3) 进一步掌握c 语言，提高编程能力。
二、内容要求积分计算问题：分别用复化梯形和复化Simpson 求积公式计算积分dx e x x x 5.142)(13-⎰-，并比较计算量（精度为10-8）。
三、问题解决的方法与算法3.1解决方法：利用复化梯形和复化Simpsom 积分公式。
（1）根据两个方程式的误差估计式，求出各自满足精度的等分份数n 。
（2）带入所编写的c 语言程序，检验并计算出结果。
3.2算法设计：（1）输入所求的等分数n 。
（2）调用复化积分公式，算出n+1点和n 点的积分估计数值。
（3）用n+1点和n 点的数值检验，比较数值是否达到精度要求。
（4）若达不到精度要求，输出提示，结束程序。
（5）若达到精度要求，输出积分近似结果，程序结束。
四、计算程序4.1复化梯形积分程序源代码： #include<stdio.h> #include<math.h>#define f(x)(13*((x)-(x)*(x))*exp(-1.5*(x))) #define epsilon 0.00000001double Tixing(double aa,double bb,int n){ int i;double fz;数值积分及其应用报告1double h=(bb-aa)/n;fz=(f(aa)+f(bb))/2;for(i=1;i<n;i++){fz+=f(aa+h*i);}fz*=h;return fz;}int main(){double a=0.0;double b=4.0;int n;printf("请输入等分值：");scanf("%d",&n);printf("\n");double T1;T1=Tixing(a,b,n);double T2;T2=Tixing(a,b,(n+1));if(fabs(T2-T1)>0.00000001){printf("达不到精度要求，请检查等分值是否求解正确！\n");}else printf("用复化梯形积分方法所计算的积分的数值为：%.8lf\n",T1);return 0;}4.2复化Simpson积分程序源代码:#include<stdio.h>#include<math.h>#define f(x)(13*((x)-(x)*(x))*exp(-1.5*(x)))#define epsilon 0.00000001double Simp(double aa,double bb,int n){int i;double S_n;double h=(bb-aa)/(2*n);double fz,fm,fk;fz=f(aa)+f(bb);fm=0;fk=0;for(i=1;i<n+1;i++){fm+=f(aa+(2*i-1)*h);}for(i=1;i<n;i++){fk+=f(aa+(2*i)*h);}S_n=h*(fz+4*fm+2*fk)/3;return S_n;}void main(){ int n;double a=0.0;double b=4.0;printf("请输入等分值：");scanf("%d",&n);double T1;T1=Simp(a,b,n);double T2;T2=Simp(a,b,(n+1));if(fabs(T2-T1)>0.00000001){printf("达不到精度要求，请检查等分值是否求解正确！\n");}else printf("用复化Simpson积分方法所计算的积分的数值为：%.8lf\n",T1);}五、计算结果与分析5.1复化梯形积分计算结果与分析：利用复化梯形积分的误差估计式()()()32222|[]|||,max||12a x bb aRn f M M f xn≤≤-≤=，求出n 的值，带入公式计算，是满足精度要求的。
数值逼近教学设计
数值逼近教学设计背景在数学教学中，数值逼近是一种常见的数值计算方法，它主要用于求解无法通过解析式求解的数学问题。
随着科技的不断进步，计算机的使用也逐渐成为数值逼近算法的重要手段之一。
数值逼近在数学、物理、工程、金融等领域都有着广泛的应用。
要想实现好数值逼近算法的教学工作，需要一定的教学设计方案。
本文将从教学目标、教学内容、教学方法、教学评价等方面，详细探讨数值逼近教学的设计。
教学目标1.理解数值逼近的基本概念和数值逼近算法的原理，能够运用数值逼近方法解决具体的数学问题。
2.掌握利用计算机进行数值逼近计算的方法和技巧，了解计算机在数值计算中的作用和优势。
3.培养学生对数学问题的分析和解决能力，提高学生的科学思维能力和数学素养。
教学内容基本概念•浮点数表示法•绝对误差和相对误差•收敛性和稳定性•截断误差和舍入误差•多项式插值法数值逼近算法•牛顿迭代法•龙贝格公式•正交多项式•最小二乘法•带权最小二乘法•数值微积分计算机实现•MATLAB编程•Python编程•C/C++编程•Excel逼近工具教学方法•讲授：教师通过讲授基本概念和数值逼近算法的原理，增强学生理解和掌握能力。
•实验：教师通过选取具体的实例和算法，引导学生进行计算机实验，培养学生实际操作和分析问题的能力。
•课堂讨论：教师组织学生进行课堂讨论，促进学生之间的互动和交流，提高学生的综合分析与解决问题的能力。
•课外阅读：教师引导学生进行课外阅读，拓展学生的知识面和分析思路。
教学评价•评价方式：教师对学生进行课堂测试、作业考核、实验报告和期末综合考核等方式进行评价。
•评价标准：评价标准主要包括学生的数值逼近算法基本概念掌握、实验操作能力、课堂表现和综合素质等方面。
结语数值逼近是一门重要的数值计算学科，它不仅是现代科技的基础，也是在科学领域推动时代发展和提升人类生活质量的重要工具。
通过合理的教学设计和教学方法，能够有效提高学生对数值逼近算法的理解和掌握能力，培养学生的计算机科学素养和科学创新能力，为未来的科技领域注入新的生力军。
数值逼近课程设计
数值逼近课程设计一、设计目的本课程设计旨在让学生通过编写程序实现数值逼近的算法，掌握数值逼近的基本原理以及实现方法，提高数学分析与程序设计的能力。
二、设计要求1.掌握数值逼近的基本原理，了解相关概念和定理。
2.掌握数值逼近的常用算法，能够灵活选择算法来实现数值逼近。
3.能够使用程序进行数值逼近，编写简单的程序验证数值逼近算法的正确性。
4.能够用数值逼近解决实际问题，熟悉数值逼近在实际应用中的作用。
三、设计内容1.基本概念和定理介绍数值逼近的基本概念和定理，包括数学函数近似、最小二乘法、插值等概念，以及相关定理的推导与证明。
2.数值逼近的常用算法介绍数值逼近的常用算法，包括最小二乘法、Lagrange插值法、Newton插值法、Hermite插值法、样条插值法等算法，对每种算法的原理和实现方法进行详细讲解。
3.数值逼近的程序实现编写程序实现数值逼近算法，包括输入数据、计算过程、输出结果等部分。
通过实现不同的算法，对比分析它们的优缺点，体会不同算法在不同问题中的适用性。
4.数值逼近在实际应用中的应用介绍数值逼近在实际应用中的应用，如曲线拟合、信号处理、图像处理等领域，介绍每种应用的具体实现思路和方法。
四、设计步骤1.首先熟练掌握数值逼近的相关概念和定理，对每种算法进行深入理解。
2.建议使用各种语言编写数值逼近程序，可以选择Matlab、Python、C++或者其他语言，通过编写程序验证各种算法的正确性。
3.在编写程序的过程中，要注重数据的预处理和后处理，对于程序的中间结果要进行有效的调试和解释。
4.在实现数值逼近算法的过程中，要进行可视化的效果展示，例如用图表展示结果，方便观察和比较算法的优劣。
5.对于实际应用的部分，要注重与实际问题的结合，提高解决实际问题的能力。
五、课程考核1.编写数值逼近程序并验证其正确性；2.论述各种算法的优缺点及在不同问题中的适用性；3.能够对实际问题进行分析和解决，将算法运用于实际问题中。
数值逼近课程设计报告样本
课程设计报告课程名称数值逼近专业信息与计算科学班级计算092姓名杜青学号指导教师秦新强、胡钢日期-07-01理学院应用数学系资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除。
一、 目的意义(1)进一步熟悉掌握复化梯形公式。
(2)进一步掌握熟悉复化抛物线公式。
(3) 学会比较复化梯形公式和复化抛物线公式如何达到所要求的精度。
二、 内容要求积分计算问题: 分别用复化梯形和复化Simpsom 求积公式计算积分dx e x x x 5.1402)(13-⎰-, 并比较计算量( 精度为10-8) 。
三、 问题解决的方法与算法方法: 利用复化梯形和复化抛物线积分公式。
算法:输入: 端点a 、 b 以及要计算的积分公式f(x);输出: 积分f(x)在指定区间上的近似值以及当其达到所要求的精度时要做的等分数n 的值。
Step1: 编写复化梯形公式程序。
Step2: 经过所要达到的精度作为条件, 算出要做的等分数以及对应的近视值。
Setp3: 编写复化抛物线积分公式程序。
数值积分及其应用报告1Setp4: 经过所要达到的精度作为条件, 算出要做的等分数以及对应的近视值。
Setp5: 然后比较复化梯形和复化抛物线的所需等分数, 比较谁的精度比较高。
四、计算程序1.复化梯形#include <stdio.h>#include <math.h>double f(double x){double s;s=13*(x-x*x)*exp(-1.5*x);return s;}void main(){int n,i;double h,m,y,a,b,t[3000];printf("请输入端点的值a,b\n");scanf("%lf",&a);scanf("%lf",&b);for(n=1;;n++){h=(b-a)/n;m=(f(a)+f(b))/2;for(i=1;i<n;i++){m+=f(a+i*h);}t[n]=m*h;h=(b-a)/(n+1);m=(f(a)+f(b))/2;for(i=1;i<n+1;i++){m+=f(a+i*h);}t[n+1]=m*h;if(fabs(t[n+1]-t[n])<0.00000001) break;}printf("求得结果为n=%d",n);printf("求得结果为:t[n+1]=%10.8f\n",t[n+1]); }2.复化抛物线#include <stdio.h>#include <math.h>double f(double x){double s;s=13*(x-x*x)*exp(-1.5*x); return s;}void main(){int i,n;double h,m,p,q,x,s,a,b,t[1000];printf("请输入端点的值a,b\n");scanf("%lf",&a);scanf("%lf",&b);for(n=1;;n++){h=(b-a)/(2*n);m=f(a)+f(b);p=0;q=0;for(i=1;i<2*n;i++){ x=a+i*h;if(i%2==0)q=q+f(x);elsep=p+f(x);}t[n]=h*(m+2*q+4*p)/3;h=(b-a)/(2*(n+1));m=f(a)+f(b);p=0;q=0;for(i=1;i<2*(n+1);i++){ x=a+i*h;if(i%2==0)q=q+f(x);elsep=p+f(x);}t[n+1]=h*(m+2*q+4*p)/3;if(fabs(t[n+1]-t[n])<0.00000001) break; }printf("求得结果为:n=%d\n",n);printf("求得结果为:%10.8f\n",t[n+1]);。
数值方法中的插值与逼近-教案
数值方法中的插值与逼近-教案一、引言1.1数值方法的重要性1.1.1数值方法在现代科学和工程中的应用1.1.2数值方法在解决复杂问题中的优势1.1.3数值方法的基本概念和分类1.1.4数值方法的发展历程和未来趋势1.2插值与逼近的基本概念1.2.1插值的定义和意义1.2.2逼近的定义和意义1.2.3插值与逼近的关系1.2.4插值与逼近在数值方法中的应用1.3教学目标和内容安排1.3.1教学目标1.3.2教学内容安排1.3.3教学方法和手段1.3.4教学评价和考核方式二、知识点讲解2.1插值方法2.1.1拉格朗日插值法2.1.2牛顿插值法2.1.3埃尔米特插值法2.1.4克朗插值法2.2逼近方法2.2.1最小二乘法2.2.2最佳逼近法2.2.3样条逼近法2.2.4神经网络逼近法2.3插值与逼近的应用2.3.1数值积分和微分2.3.2函数逼近和曲线拟合2.3.3工程优化和设计2.3.4信号处理和图像重建三、教学内容3.1插值方法的教学内容3.1.1拉格朗日插值法的原理和步骤3.1.2牛顿插值法的原理和步骤3.1.3埃尔米特插值法的原理和步骤3.1.4克朗插值法的原理和步骤3.2逼近方法的教学内容3.2.1最小二乘法的原理和步骤3.2.2最佳逼近法的原理和步骤3.2.3样条逼近法的原理和步骤3.2.4神经网络逼近法的原理和步骤3.3插值与逼近的应用实例3.3.1数值积分和微分的实例3.3.2函数逼近和曲线拟合的实例3.3.3工程优化和设计的实例3.3.4信号处理和图像重建的实例四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法和克朗插值法的原理和步骤4.1.2理解最小二乘法、最佳逼近法、样条逼近法和神经网络逼近法的原理和步骤4.1.3能够运用插值与逼近方法解决实际问题，如数值积分、微分、函数逼近、曲线拟合等4.1.4能够运用MATLAB等软件实现插值与逼近算法，并进行结果分析和验证4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的数学建模能力和数值计算能力4.2.2培养学生运用数学软件进行问题分析和求解的能力4.2.3培养学生的团队合作和沟通交流能力4.2.4培养学生的创新思维和解决实际问题的能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数学学科的兴趣和热爱4.3.2培养学生的科学精神和求真务实的工作态度4.3.3培养学生的团队合作精神和责任感4.3.4培养学生的创新意识和勇于探索的精神五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1插值多项式的构造方法和原理5.1.2逼近方法的数学原理和求解过程5.1.3插值与逼近方法在实际问题中的应用5.1.4数学软件在插值与逼近问题中的应用5.2教学重点5.2.1插值与逼近方法的基本原理和步骤5.2.2插值与逼近方法在数值计算中的应用5.2.3数学软件在插值与逼近问题中的实现5.2.4插值与逼近方法在实际问题中的应用实例六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体教学设备6.1.2白板和记号笔6.1.3教学PPT和讲义6.1.4MATLAB等数学软件6.2学具准备6.2.1笔记本电脑和MATLAB软件6.2.2教材和参考书籍6.2.3计算器和草稿纸6.2.4小组讨论和合作学习的材料七、教学过程7.1课堂导入7.1.1引入实际问题，激发学生学习兴趣7.1.2回顾相关知识点，为新课做好铺垫7.1.3提出本节课的教学目标和内容7.1.4引导学生积极参与课堂讨论和互动7.2知识讲解与示范7.2.1讲解插值与逼近方法的基本原理和步骤7.2.2示范MATLAB等数学软件在插值与逼近问题中的应用7.2.3通过实例演示插值与逼近方法在实际问题中的应用7.2.4引导学生进行课堂练习和讨论，巩固所学知识7.3课堂练习与讨论7.3.1布置课堂练习题，让学生独立完成7.3.2分组讨论，促进学生之间的交流和合作7.3.3针对学生的疑问和问题进行解答和指导7.4课堂小结与作业布置7.4.2强调插值与逼近方法在实际问题中的应用7.4.3布置课后作业，巩固所学知识7.4.4鼓励学生进行拓展学习和探索八、板书设计8.1插值方法板书设计8.1.1拉格朗日插值法的原理和步骤8.1.2牛顿插值法的原理和步骤8.1.3埃尔米特插值法的原理和步骤8.1.4克朗插值法的原理和步骤8.2逼近方法板书设计8.2.1最小二乘法的原理和步骤8.2.2最佳逼近法的原理和步骤8.2.3样条逼近法的原理和步骤8.2.4神经网络逼近法的原理和步骤8.3插值与逼近应用实例板书设计8.3.1数值积分和微分的实例8.3.2函数逼近和曲线拟合的实例8.3.3工程优化和设计的实例8.3.4信号处理和图像重建的实例九、作业设计9.1基础练习题9.1.1拉格朗日插值法的基础练习9.1.2牛顿插值法的基础练习9.1.3埃尔米特插值法的基础练习9.1.4克朗插值法的基础练习9.2综合应用题9.2.1最小二乘法的综合应用9.2.2最佳逼近法的综合应用9.2.3样条逼近法的综合应用9.2.4神经网络逼近法的综合应用9.3拓展阅读与思考题9.3.1插值与逼近方法的发展历程和研究前沿9.3.2插值与逼近方法在各个领域的应用案例9.3.3插值与逼近方法与其他数值方法的联系和区别9.3.4插值与逼近方法在实际问题中的创新应用十、课后反思及拓展延伸10.1课后反思10.1.1教学目标是否达成10.1.2教学难点和重点是否解决10.1.3教学方法和手段是否有效10.1.4学生的参与度和学习效果如何10.2拓展延伸10.2.1引导学生进行拓展学习和探索10.2.2鼓励学生参加数学建模和科研活动10.2.3提供相关的学习资源和资料10.2.4组织学生进行小组讨论和合作学习在教学难点与重点环节，需要针对学生的实际情况进行讲解和示范，确保学生能够理解和掌握插值与逼近方法的基本原理和步骤。
《数值逼近》课程设计报告
数值逼近课程设计报告数值逼近课程设计一、目的意义(1)进一步熟悉掌握复化梯形和复化抛物线公式(2)学会比较复化梯形公式和复化抛物线公式如何达到所要求的精度(3) 提高编程能力(4)通过数值方法求出很难求得原函数的积分和解析表达是没有明确的给出积分的近似值二、内容要求积分计算问题：分别用复化梯形和复化Simpsom 求积公式计算积分dx e x x x 5.1402)(13-⎰-，并比较计算量（精度为10-8）。
三、问题解决的方法与算法方法：解决该积分问题时，运用了数值积分近似解法的方法，运用复化梯形和复化Simpsom 求积公式进行计算3.1 复化梯形积分3.1.1复化梯形积分公式表达式()()()1122n n i i h T f a f b f x -=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑ 3.1.2复化梯形积分误差表达式[]()()()2,,12n b a h R f f a b ηη-''=-∈3.2复化抛物线积分3.2.1复化抛物线积分公式表达式()()()()()11/21142n n bk k a k k f x dx f a f x f x f b --==⎡⎤≈+++⎢⎥⎣⎦∑∑⎰3.2.2复化抛物线积分误差表达式[]()()()()()()()54444,,28802880n b a h b a R f f f a b n ηηη--=-=-∈3.3算法 3.3.1复化梯形积分算法第一步：根据精度计算n 的值，输入两端点的值，计算步长h第二步：根据步长计算出各个节点x[i]的值，i=0,1,2,…,n第三步：根据x[i]计算出各个节点对应y[i]的值，i=0,1,2,…,n第四步：对各个节点的值进行求和第五步：输出最终的积分的值3.3.2复化抛物线积分算法第一步：根据精度计算n 的值，端点a,b 的值，计算步长h第二步：根据步长计算出各个节点x[i]的值，i=0,1,2,…,n第三步：根据x[i]计算出各个节点对应y[i]的值，i=0,1,2,…,n第四步：对各个节点的值进行求和,分情况，对左右端点先求和，对剩下的端点，奇数的求和后乘以4倍，偶数的求和后乘以2倍，最终将各个值进行加和第五步：对加和的值乘以步长除以3第六步：输出最终的积分的值四、计算程序// 复化梯形公式.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
数值逼近第二版课程设计 (2)
数值逼近第二版课程设计一、课程设计背景随着科学技术和社会经济的快速发展，数值计算逼近算法在科学计算和工程设计等领域中发挥着越来越重要的作用。
本次课程设计旨在通过对数值逼近算法的学习和实践，提高学生对数值计算方法的理解和掌握能力，为以后的科学研究和工程实践打下坚实的学科基础。
二、设计目标本次课程设计的主要目标是：1.掌握基本的数值逼近算法理论和方法；2.熟悉矩阵计算和线性方程组的求解方法；3.能够利用MATLAB等软件工具实现数值逼近算法，并对结果进行分析和评价；4.能够独立开展数值逼近算法的应用实践，解决实际问题。
三、设计方案1. 课程内容本次课程设计内容主要包括以下几个方面：•插值和拟合问题的基本概念与方法：包括样条插值法、最小二乘拟合、矩阵分解法等；•数值微分和数值积分问题的基本概念与方法：包括差分公式、复合求积公式、Gauss型公式等；•线性方程组的求解方法：包括直接法和迭代法等；•数值误差分析：包括截断误差和舍入误差等；•MATLAB等软件工具的使用与应用实践。
2. 实验设计本次课程设计将通过几个实验来帮助学生掌握数值逼近算法的理论与实践：•实验1：MATLAB Software和Numerical Methods Toolbox的基本使用；•实验2：使用多种插值方法进行函数逼近，并对结果进行分析和评价；•实验3：使用多种数值微分和数值积分方法计算函数的导数和积分值，并对结果进行分析和评价；•实验4：使用不同的线性方程组求解方法，比较它们的计算精度和计算速度，并对结果进行分析和评价。
3. 实验报告学生需要完成每个实验的实验报告，报告应包括以下内容：•实验目的和要求；•实验思路和具体步骤；•计算结果和分析；•实验感悟和总结。
四、考核方式本次课程设计的考核方式包括以下几个方面：•实验成绩：占总成绩的60%；•课堂表现：占总成绩的20%；•期末答辩：占总成绩的20%。
五、总结通过本次数值逼近第二版课程设计的学习和实践，学生将能够深入理解数值计算的基本原理和方法，灵活运用MATLAB等软件工具进行数值计算，提高数学建模和工程设计的能力和水平，为未来的研究和实践奠定良好的基础。
上下取整与数值逼近的教案实现
本文将会探讨上下取整与数值逼近的教案实现方法。
上下取整和数值逼近是大学数学中的重要概念，对于学生来说，掌握这些概念并熟练应用是十分必要的。
本文将会从以下三个方面来论述教案的实现方法：教学目标设定、课堂教学设计和教学评价与反馈。
一、教学目标设定教学目标是教案编写中最核心的部分，它直接决定了教学效果的好坏。
上下取整和数值逼近的教案设置目标应当包括以下内容：（1）学习目标学生需要通过本课学习掌握上下取整和数值逼近的概念、原理和应用。
同时，学生应当具备一定的数学思维能力和应用能力，在课后能够运用所学知识解决实际问题。
（2）思想品质目标学生应当具备求知欲和创新精神，积极参与课堂讨论，勇于表达自己的看法和想法。
同时，学生要秉持着严谨的数学态度，认真对待每一个问题，不断提高自己的数学素养。
（3）能力目标学生应当具备分析运用数学知识解决问题的能力，同时也要具备推理与证明能力。
在课堂上，学生还应当具备观察、解释、判断和应用数学思想的能力。
二、课堂教学设计课堂教学的设计直接关系着学生对知识的掌握情况。
教案的编写过程中，应当充分考虑和把握学生的认知规律和学习兴趣，做好教学设计。
下面是一些教学设计策略的简要介绍：（1）激起学生兴趣通过知识引导，掌握学生的兴趣点，调动他们的学习积极性和参与度。
例如，在介绍数值逼近的概念时，可以将其应用到实际生活中，如地球表面的曲率半径的求解。
（2）符合学生的认知规律教学设计应当符合和尊重学生的认知规律，采用启发式教学方法，例如通过实例理解、抽象概念的建立、以及问题解决的思路建设等。
（3）运用多种教学手段教育教学是一门多重技术的艺术，应当灵活运用多种教学手段，如PPT展示、语音解释、云板编写、实验演示等。
三、教学评价与反馈教学评价与反馈是课堂教学中一个必不可少的环节。
它可以帮助教师全面分析学生的学习成绩、知识水平和学习巩固情况。
同时，它还可以反思和检验授课教师的教学方法和课程安排。
在教学评价与反馈环节中，应当主要考核以下两个方面：（1）知识掌握情况教学评价中，学生的作业、课堂测试和期末考试成绩都是参考对象。
数值逼近课程设计最佳逼近
数值逼近课程设计最佳逼近一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握数值逼近的基本概念，理解最佳逼近的原理及其在数值计算中的应用。
2. 使学生能够运用不同的数值方法进行数据逼近，并分析其优缺点。
3. 帮助学生建立误差分析的基本框架，培养他们评价逼近效果的能力。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件或编程工具实现数值逼近算法的能力。
2. 提高学生解决实际问题时选择合适数值逼近方法的能力，并能进行相应的参数调优。
3. 培养学生通过团队协作，共同解决复杂数值计算问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学科学的兴趣，特别是对数值逼近这一领域的探索热情。
2. 增强学生的实证思维，培养他们严谨的科学态度和精益求精的学术追求。
3. 通过数学建模和问题解决，激发学生的创新意识，增强他们面对挑战时的自信心和坚持到底的决心。
本课程设计针对高中年级学生，考虑到他们已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，课程性质为理论与实践相结合。
在教学过程中，要求教师注重启发式教学，鼓励学生主动探究和动手实践，通过案例分析、小组讨论等形式，提高学生的问题解决能力和团队合作精神。
课程目标的设定旨在使学生不仅掌握数值逼近的相关知识，而且能够将这些知识应用于实际问题中，培养他们的综合素养。
二、教学内容本章节教学内容围绕以下三个方面展开：1. 数值逼近基本概念：- 介绍逼近的概念、逼近的误差及度量方法。
- 解释最佳逼近的定义及其判定标准。
2. 数值逼近方法：- 分析常用的数值逼近方法，如插值法、最小二乘法、样条插值等。
- 详述各种方法的原理、步骤和适用范围。
教学大纲：a. 插值法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等。
b. 最小二乘法：线性最小二乘法及其应用。
c. 样条插值：线性样条、二次样条和三次样条插值。
3. 数值逼近应用及误差分析：- 结合实际案例，展示数值逼近方法在实际问题中的应用。
- 分析逼近过程中的误差来源，探讨如何降低误差。
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课程设计报告课程名称数值逼近专业信息与计算科学班级计算091姓名学号指导教师秦新强、胡钢日期 2011-07-01理学院应用数学系一、目的意义(1) 进一步掌握复化梯形积分公式，提高运用能力。
(2) 进一步掌握复化抛物线积分公式，提高运用能力。
(3) 进一步掌握c 语言，提高编程能力。
二、内容要求积分计算问题：分别用复化梯形和复化Simpson 求积公式计算积分dx e x x x 5.142)(13-⎰-，并比较计算量（精度为10-8）。
三、问题解决的方法与算法3.1解决方法：利用复化梯形和复化Simpsom 积分公式。
（1）根据两个方程式的误差估计式，求出各自满足精度的等分份数n 。
（2）带入所编写的c 语言程序，检验并计算出结果。
3.2算法设计：（1）输入所求的等分数n 。
（2）调用复化积分公式，算出n+1点和n 点的积分估计数值。
（3）用n+1点和n 点的数值检验，比较数值是否达到精度要求。
（4）若达不到精度要求，输出提示，结束程序。
（5）若达到精度要求，输出积分近似结果，程序结束。
四、计算程序4.1复化梯形积分程序源代码： #include<stdio.h> #include<math.h>#define f(x)(13*((x)-(x)*(x))*exp(-1.5*(x))) #define epsilon 0.00000001double Tixing(double aa,double bb,int n){ int i;double fz;double h=(bb-aa)/n;数值积分及其应用报告1fz=(f(aa)+f(bb))/2;for(i=1;i<n;i++){fz+=f(aa+h*i);}fz*=h;return fz;}int main(){double a=0.0;double b=4.0;int n;printf("请输入等分值：");scanf("%d",&n);printf("\n");double T1;T1=Tixing(a,b,n);double T2;T2=Tixing(a,b,(n+1));if(fabs(T2-T1)>0.00000001){printf("达不到精度要求，请检查等分值是否求解正确！\n");}else printf("用复化梯形积分方法所计算的积分的数值为：%.8lf\n",T1);return 0;}4.2复化Simpson积分程序源代码:#include<stdio.h>#include<math.h>#define f(x)(13*((x)-(x)*(x))*exp(-1.5*(x)))#define epsilon 0.00000001double Simp(double aa,double bb,int n){int i;double S_n;double h=(bb-aa)/(2*n);double fz,fm,fk;fz=f(aa)+f(bb);fm=0;fk=0;for(i=1;i<n+1;i++){fm+=f(aa+(2*i-1)*h);}for(i=1;i<n;i++){fk+=f(aa+(2*i)*h);}S_n=h*(fz+4*fm+2*fk)/3;return S_n;}void main(){ int n;double a=0.0;double b=4.0;printf("请输入等分值：");scanf("%d",&n);double T1;T1=Simp(a,b,n);double T2;T2=Simp(a,b,(n+1));if(fabs(T2-T1)>0.00000001){printf("达不到精度要求，请检查等分值是否求解正确！\n");}else printf("用复化Simpson积分方法所计算的积分的数值为：%.8lf\n",T1);}五、计算结果与分析5.1复化梯形积分计算结果与分析：利用复化梯形积分的误差估计式()()()32222|[]|||,max||12a x bb aRn f M M f xn≤≤-≤=，求出n 的值，带入公式计算，是满足精度要求的。
5.2复化Simpson积分计算结果与分析：这里同样利用复化Simpson的误差估计式，求出n的值，带入公式计算，求出数值。
比较两种方法，可见满足同样精度的积分算式，复化Simpson比复化梯形要求的等分数小得多。
六、参考文献[1] 谭浩强. C语言程序设计[M]. 北京:清华大学出版社,2007.[2] 秦新强. 数值逼近[M]. 西安:西安理工大学印刷厂,2011.一、目的意义(1)利用有限个离散点构造n 次Lagrange 插值计算式来解决实际问题。
(2)掌握利用分段线性插值计算式来解决实际问题。
(3)进一步提高c 语言编程能力，提高实际问题分析能力。
二、内容要求机械设计问题：万能拉拨机中有一个圆柱形凸轮(见图1)，其底圆半径R=30cm,凸轮的上端面不在同一平面上，要根据从动杆位移变化的需要进行设计制造。
将底圆周长36等分为x i (i =0,1, …， 36)，每一圆弧段长为h=52.36mm,对应于每 一分点的柱高为y i (i =0,1, …， 36)。
为方便，将圆柱展开为平面，柱面的的顶端成为图2所示的平面曲线，并已知该曲线上的37个点的坐标（表1）。
y CAB y i y ix 0O x i x 17 x 36 xx图1 凸轮模型 图2 展开曲线x i x 0 x 1x 2x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 y i 502.75 520.96 525523.6 514.3 492 451 394.6 326.5x i X 0 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17- x 36 y i 256.7 188.6 132.1 92.2 68.9 59.658.2 62.2480.45-502.75x i =jh, x 0 =0, x 36=1884.96mm, h =52.36mm 。
BC 是直线段，AB 是曲线段，为了数控加工，需要计算出圆周上任一点处的柱高,试构造算法、设计程序、编程计算。
机械设计问题报告2三、问题解决的方法与算法 3.1解决方法：（1）利用Excle 算出 0x到 36x各点的值；x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 0 52.36 104.72 157.08 209.44 261.8 314.16 366.52 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 418.88 471.24 523.6 575.96 628.32 680.68 733.04 785.4 x 16 x 17 x 18 x 19 x 20 x 21 x 22 x 23837.76 890.12 942.48 994.84 1047.2 1099.56 1151.92 1204.28 x 24 x 25 x 26 x 27 x 28 x 29 x 30 x 31 1256.64 1309 1361.36 1413.72 1466.08 1518.44 1570.8 1623.16 x 32 x 33 x 34 x 35 x 361675.52 1727.88 1780.24 1832.6 1884.96（2）对于前17个点和后20个点分别构造Lagrange 插值函数和分段线性插值函数。
3.2算法设计：（1）输入要计算的坐标点值。
（2）用if 语句进行控制，对坐标值进行判断裁定，选择相应的插值计算式进行。
（3）输出计算的圆柱体高度，结束程序。
四、计算程序#include<stdio.h> #include<math.h> void main(){ double a; printf("********请输入要求的点的坐标值（范围为0到1884.96mm ）："); scanf("%lf",&a); if(a>=0&&a<=837.76){ int i,j,n;double tmp=1,lagrange=0,e; double fm=1,fz=1; double l[20]; n=16; doublex[17]={0,52.36,104.72,157.08,209.44,261.8,314.16,366.52,418.88,575.96, 628.32,680.68,733.04,785.4,837.76}, y[17]={502.75,520.96,525,523.6,514.3,492,451,394.6,326.5,256.7, 188.6,132.1, 92.2,68.9,59.6,58.2,62.24};表2-3-1 各坐标点对应的数值e=a;for(j=0;j<=n;j++){fm=1;fz=1;for(i=0;i<=n;i++){if(i!=j){fm*=e-x[i];fz*=x[j]-x[i];}l[j]=fm/fz;}}for(j=0;j<=n;j++)lagrange=lagrange+l[j]*y[j];printf("\n得到圆柱体的高度为：%lf（mm）\n",lagrange);}if(a>837.76){double h=a;double q[2]={890.12,1884.96},w[2]={80.45,502.75};double fq=(h-q[1])/(q[0]-q[1]);double fw=(h-q[0])/(q[1]-q[0]);double s=w[0]*fq+w[1]*fw;printf("\n得到圆柱体的高度为：%lf（mm）\n",s);}}五、计算结果与分析在程序中任意输入范围内的一点，得到（截图）：对于计算的结果，前17个点用了Lagrange插值法，计算出的高度肯定存在一定的误差，但是可以满足数控加工的精度要求。
后面的点运用点斜式编程求出计算式，在认为数据没有误差的前提下，求出的圆柱体的高度精确成立。
c语言程序运用if结构，来选择输入的坐标值点满足哪个计算式，从而选择正确的计算式，计算出相应的近似结果。