华东师大版八年级：尺规作图

尺规作图
教学目标
1、学习用尺规作线段与角；
2、对直线与角做简单复习。

学习内容
知识梳理
一．尺规作图、基本作图：
在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．二．作一个角等于已知角：
已知：∠AOB（如图）．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB.
作法：1．作射线O'A'.
2．以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．
3．以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O'A'于C'．
4．以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'．
5．经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．
证明:连结CD、C'D'．由作法可知：△C'O'D'≌△COD(SSS)，
∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形的对应角相等)，
即∠A'O'B'=∠AOB．Ⅲ．经过一点作已知直线的垂线．
三．平分已知角：
已知：∠AOB（如图）．
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
作法：1．在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．
2．分别以D 、E 为圆心，大于
DE 2
1
的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． 3．作射线OC ．OC 就是所求的射线．
证明：连结CD 、CE ，由作法可知：△ODC ≌△OEC （SSS ），
∴∠COD=∠COE （全等三角形的对应角相等），即 ∠AOC ＝∠BOC ． 四．经过一点作已知直线的垂线：
（1）经过已知直线上的一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 上一点C （图3－44）． 求作：AB 的垂线，使它经过点C ．
作法：作平角ACB 的平分线CF ．直线CF 就是所求的垂线．
图3-44 图3-45
证明：由作法可知， ∠ACF=∠BCF=
ACB 2
1
． ∵∠ACB=180°（平角的定义） ∴∠ACF=90°，即 CF 是AB 的垂线．
（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 外一点C （图3-45）． 求作：AB 的垂线，使它经过点C ．
作法：1．任意取一点K ，使K 和C 在AB 的两旁．
2．以C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．
3．分别以D 和E 为圆心，大于DE 2
1的长为半径作弧，两弧交于点F ． 4．作直线CF ．直线CF 就是所求的垂线． 五．作线段的垂直平分线：
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线． 已知：线段AB （如图）． 求作：线段AB 的垂直平分线． 作法：1．分别以点A 和B 为圆心，大于
2
1
AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ． 2．作直线CD ．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．
例1．如图，在△ABC 中，△C=90°，△B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中不正确的是（ ）
A ．AD 是△BAC 的平分线
B ．△ADC=60°
C ．点
D 在AB 的中垂线上 D ．S △DAC ：S △ABD =1：3 【答案】D
【解析】解：根据作图方法可得AD 是△BAC 的平分线，故△正确；
△△C=90°，△B=30°，△△CAB=60°，△AD 是△BAC 的平分线，△△DAC=△DAB=30°，△△ADC=60°，故△正确；
△△B=30°，△DAB=30°，△AD=DB ，△点D 在AB 的中垂线上，故△正确； △△CAD=30°，△CD=
21AD ，△AD=DB ，△CD=21DB ，△CD=3
1
CB ，S △ACD =21CD•AC ，S △ACB =21CB•AC ，△S △ACD ：S △ACB =1：3，△S △DAC ：S △ABD ≠1：3，故△错误， 例2．尺规作图的工具是（ ）
A ．刻度尺、量角器
B ．三角板、量角器
C ．直尺、量角器
D ．没有刻度的直尺、圆规 【答案】D
例3．如图，已知E 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的点，连接DE ．
例题讲解
（1）过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使△CBF=△ADE（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状并证明．
【解析】解：（1）如图所示：作△CBM=△ADE，其中BM交CD于F即可；
（2）四边形BFDE的形状是平行四边形，理由如下：
△在平行四边形ABCD中，△△DAC=△ACB，AD=BC，
在△ADE和△CBF中，
△△ADE△△CBF（ASA），△DE=BF，△AED=△BFC，
△△DEF=180°﹣△AED，△BFE=180°﹣△BFC，
△△DEF=△BFE，
△DE△BF，△四边形DEBF是平行四边形．
例4．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
△作△DAC的平分线AM．△连接BE并延长交AM于点F．
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
【解析】解：（1）如下图所示；
（2）AF△BC ，且AF=BC.理由如下：
△AB=AC ， △△ABC=△ACB ， △△DAC=△ABC+△ACB=2△ACB ， 由作图可得△DAC=2△FAC ， △△ACB=△FAC △AF△BC ， △E 为AC 中点， △AE=EC ， 在△AEF 和△CEB 中，
，
△△AEF△△CEB （ASA ）． △AF=BC ．
例5．已知△ABC,求作△DEF ，使△DEF△△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。

【解析】画线段EF=BC ；
分别以E 、F 为圆心，线段AB ，AC 为半径画弧，两弧交于点D ；
连结线段DE 、DF 。

△△DEF 就是所求作的三角形
例6．尺规作图：学校决定在植物园内开辟一块梯形土地ABCD 培植草皮（如图），AD△BC.其中MN 是园林里的一条主水管，点B 、点C 在MN 上.如今要在BC 上的P 点接一条与BC 垂直的水管 ，并在这条新接水管的某处安置喷淋器E ，喷淋器位于草坪内，且到AB 、BC 的距离相等.请你运用尺规作图，在原图中帮助确定点E 的位置.（要求：不写已知、求作及作法；保留作图痕迹）
A
B
C
D
A
【解析】解：因为MN是园林里的一条主水管，点B、点C在MN上.如今要在BC上的P点接一条与BC 垂直的水管，并在这条新接水管的某处安置喷淋器E，喷淋器位于草坪内，且到AB、BC的距离相等，那么在角ABC的平分线上，同时过点P垂直于BC，因此交点就是所求的结果
例7．按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）
（1）在图（1）中作出△ABC的平分线；（2）在图（2）中作出△DEF的外接圆O．
【答案】如图：
例8．如图，已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE．
（1）在△ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F，使△CBF=△ADE；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，求证：△ADE△△CBF．
【解析】（1）解：以点C为圆心，AC长为半径画弧，交CD于点F，连接BF，则△CBF=△ADE。

作图如下：
（2）证明：△四边形ABCD是平行四边形，△△A=△C，AD=BC。

△△ADE=△CBF，△△ADE△△CBF（ASA）。

例9．已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.
（1）利用尺规作出△AˊBD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设D Aˊ 与BC交于点E，求证：△BAˊE△△DCE.
【解析】解：（1）作图如下：
作法：
△过点A作BD的垂线；
△以点B 为圆心，AB为半径画弧，交BD的垂线于点Aˊ；
△连接AˊB，AˊD。

则△AˊBD即为所求。

（2）证明：△四边形ABCD是平行四边形，△△A=△B，AB=DC。

△△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD，
△△Aˊ=△A，AˊB= AB。

△△Aˊ=△B，AˊB= DC。

又△△AˊEB=△DEC，△△BAˊE△△DCE（AAS）。

例10．如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF△△ABC，且
EF=1
2
BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）
【答案】画图
例11．如图，在△ABC中，已知△B=△C
（1）尺规作图：作底角△ABC的平分线BD，交AC于点D（作图不写作法，但保留作图痕迹）；（2）猜想：“若△A=36°，则△ABD和△BDC都是等腰三角形”。

请你通过计算说明猜想是否成立．
【解析】
试题分析：（1）首先以B 为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB 、BC 于M 、N 两点；再分别以M 、N 为圆心，大于
1
2
MN 长为半径画弧，两弧交于一点O ，画射线BO 交AC 于D ． 试题解析：（1）如图所示：BD 即为所求； （2）△△A=36°，
△△ABC=△C=（180°-36°）÷2=72°， △BD 平分△ABC ，
△△ABD=△DBC=72°÷2=36°， △△CDB=180°-36°-72°=72°， △△A=△ABD=36°，△C=△CDB=72°， △AD=DB ，BD=BC ，
△△ABD 和△BDC 都是等腰三角形．
例12．已知：如图，在△ABC 中，△A ＝30°，△B ＝60°。

（1）作△B 的平分线BD ，交AC 于点D ；作AB 的中点E （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作 法和证明）；
（2）连接DE ，求证：△ADE△△BDE 。

【解析】解：（1）作图如下：
△以B 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 、BC 于F 、N ，再以F 、N 为圆心， 大于
1
2
FN 长为半径画弧，两弧交于点M ，过B 、M 作射线，交AC 于D ，线段 BD 就是△B 的平分线。

△分别以A 、B 为圆心，大于
1
2
AB 长为半径画弧，两弧交于X 、Y ，过X 、Y 作直线与AB 交于点E ，点E 就是AB 的中点。

（2）证明：△△ABD ＝
1
2
×60°＝30°，△A ＝30°，△△ABD ＝△A 。

△AD ＝BD 。

又△AE ＝BE ，△△ADE△△BDE （SAS ）。

A
B C
例13．（9分）如图9，△ABC 是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE =CD . （1）用尺规作图的方法，过D 点作DF △BE ，垂足是F （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BF =EF ．
【答案】
（2）△ △ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点， △ △ABC =△ACB ，△ABC =2△DBE ． △ CE =CD ， △ △E =△CDE ． △ △ACB =2△E ． △ △DBE =△E ，
△ BD =DE ． 又△ DF △BE ，
△ BF =EF ．
1. 在△ABC 中，按以下步骤作图：△分别以B 、C 为圆心，以大于
2
1
BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M 、N ；△作直线MN 交AB 于点D ，连接CD . 若CD =AC ，△B =250，则△ACB 的度数为 . 答案：1050.
图9
A
C
B
D
E 综合题库
A
C
B
D
E
F
图1
2．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在△FME的内部
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．
解答：解：（1）答图如图：
（2）作CD△MN于点D，
由题意得：△CMN=30°，△CND=45°，
△在Rt△CMD中，=tan△CMN，
△MD==；
△在Rt△CND中，=tan△CNM，
△ND==CD；
△MN=2（+1）km，
△MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，
解得：CD=2km．
△点C到公路ME的距离为2km．
3. 把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．
（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．
解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5；
即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形，如图所示：
（2）如图所示：
当三边的单位长度分别为3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径2.5；
当三边的单位长度分别为4，4，4．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为，
△当三条线段分别为3，4，5时其外接圆周长为：2π×2.5=5π；
当三条线段分别为4，4，4时其外接圆周长为：2π×=π．
4. 如图，△ABC中，△C=90°，△A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分△CBA．
解答： （1）解：如图所示，DE 就是要求作的AB 边上的中垂线；
（2）证明：△DE 是AB 边上的中垂线，△A =30°，
△AD =BD ，
△△ABD =△A =30°，
△△C =90°，
△△ABC =90°﹣△A =90°﹣30°=60°，
△△CBD =△ABC ﹣△ABD =60°﹣30°=30°，
△△ABD =△CBD ，
△BD 平分△CBA ．
5．如图，在△ABC 中，先作△BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，再以AC 边上的一点O 为圆心，过A 、D 两点作△O （用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
解：作出角平分线AD ，
作AD 的中垂线交AC 于点O ，作出△O ，
△△O 为所求作的圆．
55cos ,546.6===∆C AC AB ABC 中，，如图
（1）动手操作：利用尺规作以AC 为直径的
，并标出与AB 的交点，与BC 的交点E （保留作图痕迹，不写作法）：
（2）综合应用：在你所作的圆中，
①求证：
； ②求点到的距离．
【答案】（1）如图所示，圆为所求
（2）①如图连接，设
,
又
则
②连接,过作于,过作于
cosC=, 又
,
又为直径
设，则，
在和中，有
即解得：，即
又
即
7．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则：
（1）△ADE=90°；
（2）AE=EC；（填“=”“＞”或“＜”）
（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=7．
解答：解：（1）△由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
△△ADE=90°．故答案为：90°；
（2）△MN是线段AC的垂直平分线，
△AE=EC．故答案为：=；
（3）△在Rt△ABC中，△B=90°，AB=3，AC=5，
△BC==4，
△AE=CE，△△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．故答案为：7．。