量子力学习题分解
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学习题
= Ly z − Lz y + yLz − zLy = ( Ly z − zLy ) + ( yLz − Lz y ) = [ Ly , z ] + [ y, Lz ] = 2ix = (2ir ) x
= Ly pz − Lz p y + p y Lz − pz Ly = ( Ly pz − pz Ly ) + ( p y Lz − Lz p y ) = [ Ly , pz ] + [ p y , Lz ]
① 写出Ψ（ｘ，ｔ）； ② 求在Ψ（ｘ，ｔ）态中测量粒子的能量的可能值及其概率。 ③ 求 ｔ＝０ 时的＜ｘ＞（即坐标的平均值），并问＜ｘ＞是否随时间 ｔ 变化。
x 2 + y 2 + z 2 ， k、α 是实
的正常数。求： ① 粒子的角动量是多少？ ② 角动量 ｚ 方向的分量的平均值。 ③ 若角动量的 ｚ 分量 L z 被测量，求 L z = + 的概率有多大？ ④ 发现粒子在θ、φ方向上 ｄΩ立体角内的概率是多少？θ、φ是通常球 坐标中的方向角。
二、 算符的本征态及力学量的测量
１、证明：若两个算符具有共同的本征态，而且这些本征态构成体系状态的完备 集，则这两个算符对易。
Axe− λ x ( x > 0) ψ ( x) (λ > 0) = 0( x < 0) ２、一维运动的粒子处在 求动量和坐标的不确定度，
并验证不确定关系
并说明算符 Ａ、Ｂ 厄米性。 ５、证明：设 A、B 都是矢量算符 Ｆ 是标量算符，证明： F , A ⋅= B F , A ×= B F , A ⋅ B + A ⋅ F , B F , A × B + A × F , B
量子力学习题答案
量子力学习题答案1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ⨯），故： 2eE P /(2)=μ69h /p h E c E 1.241030.7110m 0.71n m--λ====⨯=⨯=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。
解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.1232323123---⨯=⨯⋅⨯⨯==kT E 于是有m一维谐振子处于22/2()xx Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求：1.归一化系数；2.动能平均值。
（22x e dx /∞-α-∞=α⎰）解：1.由归一化条件可知：22*2x(x)(x)d x A e d x1A/1∞∞-α-∞-∞ψψ===α=⎰⎰取相因子为零，则归一化系数1/21/4A/=απ2.2222222222222222222*2x/2x/2222x/2x/222x/22x/22222x2x/222242x2T(x)T(x)dx A e(P/2)e dxdA e()e dx2dxdA e(xe)dx2dxA{xe(xe)dx}2A x e dx A22∞∞-α-α-∞-∞∞-α-α-∞∞-α-α-∞∞∞-α-α-∞-∞∞-α-∞=ψψ=μ=-μ=--αμ=--α--αμ=α=μμ⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝（）＝＝2222224x2224x x2222222421()xd(e)21A(){xe e dx}221AA()242∞-α-∞∞∞-α-α-∞-∞α-α=α---μαππααα--μμα⎰⎰若α，则该态为谐振子的基态，T4ω=解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。
量子力学 第八章自旋 习题解(延边大学)
第八章：自旋[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态 （解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是： λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是： βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ 前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi e c 212=δ 是任意的相位因子。
当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi e c 212-=最后得x σˆ的本征函数： )(21βαδ+=i e x 对应本征值1)(22βαδ-=i e x 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi e x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn 是),(ϕθ方向的单位矢。
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
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4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
量子力学典型例题解答讲解
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
量子力学曾谨言习题解答第四章
这个叠加式中，D和 都有两个指标，第一个是量子数 ，第二个是量子数 ，从（12）可以看出在 的状态中， 取各种可能测值的几率如下表：
的本征值
2
0
-
-2
相应的几率
+
+
+
诸D的计算有两种方法，第一法是直接法，此法是从方程组（7）中解出，我们需要的 ，而用 的本征函数 ， ， 的项表示它，这方法是初等的，结果
再将文字A，B对易得
（5）证明
（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即
从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得
取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有
(6)证明 是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。
当
因此：
现在利用前二式来证明题给一式的x分量的关系成立，该式左方：
86-87
利用（1）和（2）得
同理可得
综合3式得
[4]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式：
前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 (A等是实数)是厄密算符
（证明）此算符F( )不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则
运用这个关系于下面的计算：
满足厄密算符的定义。
（8）证明 （ 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明 , 都是厄密算符，即：
量子力学典型例题分析解答(完整资料).doc
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2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率, 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
量子力学练习参考解答
量子力学练习参考解答第一章 波函数与薛定谔方程1.1，1.2，1.3题解答略。
1.4（a ）设一维自由粒子的初态为一个Gauss 波包，222412)(1)0,(απαψxx p i e e x -=证明：初始时刻，0=x ，0p p =[]2)(12α=-=∆x x x[]α2)(12=-=∆p p p2 =∆⋅∆p x证：初始时刻012222===-+∞∞-+∞∞-⎰⎰dx exdx x x x απαψ2122222222απαψα===-∞+∞-∞+∞-⎰⎰dx exdx x x x()22122α=-=∆xx x)0,(x ψ的逆变换为⎰+∞∞--=dx ex p ipx/)0,(21)(ψπϕ＝⎰+∞∞---dx eeeipx x x p i/2412220)(121απαπ＝2220()22214(/)p p eααπ--22202()()p p p eααϕπ--=因此02)(p dp p p p ==⎰+∞∞-ϕ2222222)(0αϕ +==⎰∞+∞-p dp p p p()α22122 =-=∆p p p2 =∆⋅∆p x注：也可由以下式子计算p 和2p ：2222(,0)()(,0)(,0)()(,0)dp x ix dx dxd p x x dxdx ψψψψ+∞*-∞+∞*-∞=-=-⎰⎰1.5 设一维自由粒子的初态为)0,(x ψ，证明在足够长时刻后，()[]⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=t mx t imx i t m t x ϕπψ2exp 4exp ,2式中()()⎰+∞∞--=dx e x k ikx0,21ψπϕ是)0,(x ψ的Fourier 变换。
提示：利用()x e e x i i δπααπα=-∞→24/lim。
证：依照平面波的时刻转变规律 ()t kx i ikxe e ω-→ ， m k E 22==ω，任意时刻的波函数为()()()dk e k t x mtkkx i 2/221, -+∞∞-⎰=ϕπψ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎰∞+∞-22/2ex p 212t mx k m t i k dk etimx ϕπ（1） 那时刻足够长后（所谓∞→t ），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取m t 2 =α ， （2）参照此题的解题提示，即得()()⎰+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≈k d t mx k k e t m et x i timx δϕππψπ4/2221,2⎪⎭⎫⎝⎛=-t mx e e t m t imx i ϕπ2/4/2 （3） 1.6 依照粒子密度散布ρ和粒子流密度散布j的表示式， ()()()t r t r t r ,,,*ψψρ=()()()()()[]t r t r t r t r mi t r j ,,,,2,**ψψψψ∇-∇-=概念粒子的速度散布v()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-∇-==t r t r t r t r m i j v ,,,,2**ψψψψρ 证明：0=⨯∇v 。
量子力学波函数练习题详解
量子力学波函数练习题详解在量子力学中，波函数是描述微观粒子行为的数学工具。
通过解波函数方程，我们可以了解粒子的能量、位置以及其他一系列重要的物理性质。
为了更好地理解波函数的应用，下面将详细解答几个关于波函数的练习题。
题目一：给定一个波函数ψ(x) = Aexp(ikx)，求其归一化常数A和归一化因子。
解答：归一化常数A表示波函数的幅度，而归一化因子用于保证波函数的总概率为1。
首先，我们需要将波函数ψ(x)归一化以得到概率密度函数。
概率密度函数是波函数的模的平方，即|ψ(x)|^2。
对于给定的波函数ψ(x) = Aexp(ikx)，我们可以计算模的平方：|ψ(x)|^2 = |Aexp(ikx)|^2= A* A* exp(ikx) * exp(-ikx)= |A|^2我们可以发现，模的平方与A的平方成正比。
为了保证概率密度函数积分为1，我们需要要求 |A|^2 = 1。
因此，归一化常数A的值为A = 1。
归一化因子为整个波函数的积分常数，我们可以通过积分来计算归一化因子：∫|ψ(x)|^2 dx = ∫|A|^2 dx= ∫ dx= ∫ 1 dx= x + C其中C为积分常数。
由于波函数描述的是连续的空间，我们取积分区间为负无穷到正无穷，因此积分结果为无穷大。
为了保证积分结果为1，我们需要引入归一化因子N来调整积分结果：∫|ψ(x)|^2 dx = N ∫ dx= N(x + C)由于积分结果为1，我们可以得到归一化因子N的值为N = 1/√(2π)。
综上所述，给定的波函数ψ(x) = exp(ikx)的归一化常数A为1，归一化因子N为1/√(2π)。
题目二：给定一个波函数ψ(x) = A(x + 2)，求其归一化常数A和归一化因子。
解答：同样地，我们需要将给定的波函数ψ(x)归一化。
首先，计算波函数的模的平方：|ψ(x)|^2 = |A(x + 2)|^2= A*(x + 2)*(x + 2)= A^2*(x^2 + 4x + 4)为了保证概率密度函数积分为1，我们对模的平方进行积分并求出归一化因子N：∫|ψ(x)|^2 dx = ∫ A^2*(x^2 + 4x + 4) dx= A^2 ∫ (x^2 + 4x + 4) dx= A^2 * (1/3 * x^3 + 2 * x^2 + 4 * x) + C其中C为积分常数。
(完整word版)量子力学典型例题分析解答
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当，故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件：给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数［解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为：归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解] 束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求，有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型：1。
算符运算；2。
力学量的平均值； 3.力学量几率分布.一。
有关算符的运算1。
证明如下对易关系（1)（2）（3)(4）(5)［证](1)(2）(3)一般地，若算符是任一标量算符,有(4)一般地，若算符是任一矢量算符，可证明有(5）=0同理:。
2。
证明哈密顿算符为厄密算符[解］考虑一维情况为厄密算符，为厄密算符，为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明：也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
［证］.是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又：可求出:二。
有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值［解]即是的本征函数.本征值2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动,如粒子的状态由波函数描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意：是否归一化波函数能量本征值出现的几率, 出现的几率能量平均值另一做法3 。
一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数,求（1)的数值；2）在态中能量的可能值,相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解］（1) ，归一化，，，（2）,，；，;，；(3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）.4．设氢原子处于状态求氢原子的能量，角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.［解] 能量本征值能量本征态当n=2 时本征值为的，出现的几率为100%可能值为出现的几率分别为:.5 。
量子力学练习题解决波函数和测量问题
量子力学练习题解决波函数和测量问题量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，该领域的研究通常涉及到波函数和测量问题。
在本文中，我们将通过解决一些练习题来进一步理解并解决这些问题。
在解答过程中，我们将遵循合适的格式，以确保文章排版整洁美观，语句通顺，并在内容上满足题目描述的需求。
【题目一】考虑一个自旋1/2的粒子，其纯态波函数表示为|ψ⟩= (1/√3)|↑⟩ + (√2/√3)|↓⟩，其中|↑⟩和|↓⟩分别表示自旋向上和向下的状态。
请回答以下问题：1. 这个粒子处于自旋向上和向下状态的概率分别是多少？2. 这个粒子的自旋在x轴和z轴方向的期望值分别是多少？3. 如果对这个粒子进行自旋z方向的测量，测量结果有哪些可能性？每个结果的概率是多少？【解答一】1. 这个粒子处于自旋向上和向下状态的概率分别是 |⟨↑|ψ⟩|²和|⟨↓|ψ⟩|²。
根据题目中给出的波函数，可以计算得到概率分别为：|⟨↑|ψ⟩|² = (1/√3)² = 1/3 和 |⟨↓|ψ⟩|² = (√2/√3)² = 2/3。
2. 对于自旋在x轴和z轴方向的期望值，可以使用对应的算符来计算。
自旋在x轴的算符为σₓ = |↑⟩⟨↓| + |↓⟩⟨↑|，自旋在z轴的算符为σ₃ = |↑⟩⟨↑| - |↓⟩⟨↓|。
期望值⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩。
代入波函数和算符，我们可以计算得到自旋在x轴的期望值⟨σₓ⟩ = ⟨ψ|σₓ|ψ⟩= ((1/√3)(√2/√3) + (√2/√3)(1/√3))= 0。
同样地，自旋在z轴的期望值⟨σ₃⟩ = ⟨ψ|σ₃|ψ⟩ = (1/3 - 2/3) = -1/3。
3. 当进行自旋z方向的测量时，测量结果有两种可能性：测量得到自旋向上的状态|↑⟩或测量得到自旋向下的状态|↓⟩。
根据波函数的线性叠加性质，可以计算得到各自的概率。
测量得到自旋向上的概率为|⟨↑|ψ⟩|² = (1/√3)² = 1/3，测量得到自旋向下的概率为 |⟨↓|ψ⟩|² =(√2/√3)² = 2/3。
大学物理量子力学习题答案解析
一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。
写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。
解：()⎰Ω=adrr r d P 022,,ϕθψ。
2. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π ，,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。
解：有两个条件：0],[,0==∂∂H Q t Q。
4.）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？解：()zL L,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlmY。
),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。
5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。
解： ()dxx x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。
6. 一个电子运动的旋量波函数为()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。
解：电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r 处的几率密度为()22/, r ψ；电子自旋向下（2 -=z s ）的几率为()232/,⎰-r r d ψ。
施密特分解例题
施密特分解例题施密特分解（Schmidt Decomposition）是一种在量子力学中用于将一个高维纯态分解为两个低维纯态的方法。
以下是一个施密特分解的例题：题目：设一个复合系统AB 的纯态为psirangle，其中A 和B 是两个子系统。
已知psirangle 在A 系统的特征值为λ1，B 系统的特征值为λ2。
求psirangle 的施密特分解。
解题步骤：1. 设A 和B 的标准正交基分别为iArangle 和iBrangle，其中iAra ngle 和iBrangle 的维度分别为n 和m。
2. 根据施密特分解定理，存在非负实数lambdai，使得psirangle 可以表示为：psirangle = ∑λi^2 * iArangle⟨iA|iA⟩* iBrangle⟨iB|iB⟩3. 由于psirangle 是一个纯态，所以∑λi^2 = 1。
4. 根据psirangle 的定义，有：⟨iA|iA⟩= ∑λi^2 *⟨iA|iA⟩^2 = 1⟨iB|iB⟩= ∑λi^2 *⟨iB|iB⟩^2 = 15. 由于A 和B 是纯态，所以它们的特征值是相同的，即λ1= λ2。
6. 根据特征值相同的性质，有：⟨iA|iB⟩= ⟨iB|iA⟩7. 将psirangle 表示为施密特分解的形式：psirangle = ∑λi^2 * iArangle⟨iA|iA⟩* iBrangle⟨iB|iB⟩= ∑λi^2 * iArangle⟨iA|iB⟩* iBrangle⟨iB|iA⟩8. 选取合适的基矢，例如iArangle 和iBrangle，使得psirangle 能够被分解为A 和B 系统的纯态之积。
9. 根据施密特分解，可以得到psirangle 在A 和B 系统中的约化密度矩阵分别为：ρA = ∑λi^2 * iArangle⟨iA|iA⟩ρB = ∑λi^2 * iBrangle⟨iB|iB⟩通过这个例题，我们可以看到施密特分解是将一个高维纯态分解为两个低维纯态的方法。
量子力学门福殿近似方法习题解
第五章 近似方法1．一维无限深势阱宽度为a ，其势能函数为(0,)()0(0/4,3/4)(/43/4)x x a U x x a a x a K a x a ∞<>⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪≤≤⎩K 是个很小的常数，把此势阱中的粒子看成是受到微扰的一维无限深势阱中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。
解：无微扰时的本征函数为(0)()(1,2,)n n x x n aπψ== 对应的能量本征值为：222(0)22nn E aπμ= 能量的一级修正为：3/43/4(1)'(0)*(0)220/4/422ˆ'd sin d sin aa a nnnnn a a n x K n x E H H x K x dxa a a aππψψ====⎰⎰⎰3/43/4/4/421c o s 223c o s [s i n s i n ]222222a a a a n x K K K n x K K n n a dx dx a a a n πππππ-==-=--⎰⎰ 12/2((1)(2n K n K Kn n π-⎧⎪=⎨+-⎪⎩为偶数时）为奇数时)波函数的一级修正：'(1)(0)(0)(0)mn nm m n n mH E E ψψ≠=-∑ 现在来求：'mn H3/43/4'(0)*(0)0/4/422ˆ'd sin sin d sin sin aa a mnmn a a m x n x K m x n x H H x K x dx a a a a a a ππππψψ===⎰⎰⎰3/43/4/4/421()()()()[cos cos ][cos cos ]2a a a a K m n x m n x K m n x m n x dx dx a a a a a aππππ-+-+=-=-⎰⎰3/4/4()()[sin sin ]|()()a a K a m n x a m n x a m n a m n aππππ-+=--+ 3()()3()(){sin sin }{sin sin }()44()44K m n m n K m n m n m n m n ππππππ--++=----+2()()2()()cos sin cos sin()24()24K m n m n K m n m n m n m n ππππππ--++=--+ 将此式代入上式可得波函数的一级修正2．一维无限深势阱（a x <<0）中的粒子受到微扰：⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=)0()1(2)20(2)(/a x a xax a x x H λλ 的作用，求基态能量的一级修正。
量子力学经典题目及解答.ppt
00
2 er2 d ( r 2 ) er2 0
0
2
I
,A
1
1/4
,
1
1/4
ex2 /2
<2>
2d xA 2x2 e 2xd x 1 ,(分 部 积 分 )
0
A 2 x 2e 2 xdx
A2
[ x 2e 2 x 2 xe 2 xdx ]
0
2
0 0
A2 [ 1
偶宇称解)。
解：定态schr.eq
2
2
d2 dx2
u(x)
E
(1)
u0
(x) 2(E u) 0 (1)
2
ⅠⅡ
-a
o
Ⅲ a
即,222E(u02E0), 0
xa x a
(2) (3)
令 k 2 2 2 E ,2 2 ( u 0 2 E )， 解 为 : , ( x ( ) x ) A a e e ik x x B b e e i k x x
4
f1 f
sin(
)x
2.试将以下波函数归一化：(1)Aex2/2，(2)Ax0e， xx，x00
(3)(x)Ax(ax)，0xa
解：<1> 2 dx A2 ex2 dx A2I 1
2
I 2 ex2 dx e y2 dy e(x2 y2 )dxdy er2 rdrd
1khTv1c2Tv
decc2 1vv/T 3d v1c c1 2vv3/dT vc c1 2Tv2dv
----R-J公式
2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式E n
解： 角动量量子化条件，
ers22
Ln
量子力学例题与解答
《量子力学》复习例题与题解一、基本概念1. 波粒二象性微观粒子具有波粒二象性，即微观粒子既有波动性—弥漫性，又有粒子性—不可 分割性，德波罗意关系式是两者的统一： k p E==,ω 关系式的左边体现粒子性；右边体现波动性。
2. 测不准关系描述微观粒子体系的力学量算符一般是不可对易的，也就是说，这两个力学量不能同时测准，他们的不确定度可用测不准关系来描述：222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A ≥∆∆ 3. 本征方程如下方程：n n n Q Q ψψ=ˆ（其中n Q 为常数）称为力学量算符Q ˆ的本证方程，n Q 为 力学量算符Q ˆ的相应于本征态nψ的本征值。
4. 简并度一个本征值相应于多个本征态的情形称为简并情形，本征态的个数称为相应于该本征值的简并度。
5. 全同性原理全同微观粒子体系，当两个粒子交换坐标时，波函数要末不变号，要末变号，即概率分布不变。
6．.波函数微观粒子体系的态必须用具有统计意义的波函数),(t x ψ来描述，2),(t x ψ为概率密度，即在t 时刻，x附近单位体积内找到微观粒子的概率 7. 归一化常数为了让波函数),(t x ψ表示绝对的概率幅，),(t xψ必须归一化，即1),(2=⎰τψd t x A ，其中的A 即为归一化常数8. 力学量完全测量集合完全确定一微观粒子体系的状态所需要的力学量测量集合，这些力学量必须满足：他们是可测量；它们必须互相独立；与他们相应的力学量算符必须两两对易 9. 微扰理论当'ˆˆˆ0H H H +=，且>><<<<0ˆ'ˆH H ，零级近似的本征方程)0()0()0(0ˆnn n E H ψψ=可以 严格求解时，可用微扰理论来处理，即在零级近似)0()0(,k k E ψ的基础上，根据需要 的精度逐步进行一级、二级或高级修正。
10. 玻色子与费密子自旋量子数s 为整数的微观粒子称为玻色子；自旋量子数s 为半整数的微观粒子称为费米子；前者对波函数有对称性的要求；后者对波函数有反对称性的要求，受泡里原理的约束。
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量子力学习题（三年级用）山东师范大学物理与电子科学学院二O O七年第一部分 量子力学的诞生1、计算下列情况的Broglie d e-波长，指出那种情况要用量子力学处理：（1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。
2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。
第二部分 波函数与Schrödinger 方程1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,xx ==2、求ikrikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。
3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证0=υ⨯∇其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=ϕ0求：?)t ,x (=ϕ2第三部分 一维定态问题1、粒子处于位场()000000〉⎩⎨⎧≥〈=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。
（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x 2=().n a x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒子在下列位场中运动的能级()⎪⎩⎪⎨⎧>μω≤∞=021022x x x V X6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
7、质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)(1x V 的基态，02121>=k kx V )x (（1）若弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为22kx V )X (=随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场2V 基态几率；（2）势场1V 突然变成2V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成1V ，问τ取什么值时，粒子仍恢复到原来1V 场的基态。
8、设一维谐振子处于基态，求它的22x p ,x ∆∆，并验证测不准关系。
第四部分 力学量用算符表示1、若())z ,y ,x (z y x V p p p H+++μ=22221 证明：,xVi ]P ,H [x ∂∂=,p i ]x ,H [xμ-= 2、设[]q )q (f ,i p ,q 是 =的可微函数，证明（1）[],ihpf )q (f p ,q 22=（2）[];f p i)q (f p ,p '=223、证明0≡++]]B ˆ,A ˆ[,C ˆ[]]A ˆ,C ˆ[,B ˆ[]]C ˆ,B ˆ[,Aˆ[ 4、如果，B A ˆ,ˆ是厄密算符 （1）证明()[]B ˆ,Aˆi ,B ˆA ˆn+是厄密算符；（2）求出B ˆAˆ是厄密算符的条件。
5、证明：[][][][]][[] ++++=-A ˆ,L ˆ,L ˆ,L ˆ!,A ˆ,L ˆ,L ˆ!A ˆ,L ˆA e A ˆe L ˆL31216、如果B ,A 与它们的对易子[]B ˆ,Aˆ都对易，证明 []B ˆ,A ˆB A ˆB ˆA e e e 21++=⋅（提示，考虑(),eee)(f B ˆAˆBˆAˆ+λ-λλ⋅⋅=λ证明[]f B ,A d dfλ=λ然后积分）7、设λ是一小量，算符1-A ˆAˆ和存在，求证+λ+λ+λ+=λ---------1112121111A ˆB ˆA ˆB ˆA ˆA ˆA ˆB ˆA ˆA ˆ)B ˆAˆ( 8、如ni u 是能量n E 的本征函数（为简并指标i ），证明()⎰=+*0d x u x p xp u nj x x ni从而证明：⎰δ=τij nj x ni d xu p u i 29、一维谐振子处在基态()22122/x a /ea x -π=ϕ求： （1）势能的平均值;X m A2221ω=（2）动能的平均值;m /P T x 22=（3）动量的几率分布函数其中ω=m a10、若证明,iL L L y x ±=±(1)±±±=L ˆ]L ˆ,L ˆ[z 022==-+]L ˆ,L ˆ[]L ˆ,L ˆ[ (2)11++=lm lm Y C Y L ˆ12--=lm lm Y C Y L ˆ(3)()--+++=-L ˆL ˆL ˆL ˆL ˆL ˆy x 212211、设粒子处于),(Y lm ϕθ状态，利用上题结果求22y x l ,l ∆∆12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的2X ∆随时间的变化为：()()()()()()2220000221212t P p x X p XP X X x t x X X t∆μ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+μ+∆=∆ （注：自由粒子2x x P ,P 与时间无关）。
第五部分 变量可分离型的波动方程1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。
2、对于球方位势(){000><=r V a r r V试给出有0=ln 个的束缚态条件。
3、设氢原子处于状态()()()()()ϕθ-ϕθ=ϕθϕ-,Y r R ,Y r R ,,r 112110212321 求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。
4、证明[]r r r ,∂∂+=∇1212 []∇=∇r ,221 5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域()0〈=-T V E 的几率。
6、设()022>+=B ,A ,r /A Br r V其中，求粒子的能量本征值。
7、设粒子在半径为a ，高为h 的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。
8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示：()2rA r e Z r +'=φ 其中，e Z '表示原子实的电荷，0>A ，证明，电子在原子实电场中的能量为()222412l nl n z e E δ+'μ-=而l δ为l 的函数，讨论l δ何时较小，求出l δ小时，nl E 公式，并讨论能级的简并度。
9、粒子作一维运动，其哈密顿量()x x V mp H +=220 的能级为)(n E 0，试用H ellm ann F eynm en -定理，求mP H H x λ+=0 的能级n E 。
10、设有两个一维势阱()()x V x V 21≤若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为() 2121,n E ,E nn = （1）证明n nE E 21≤ （提示：令()()211V V x ,V λ+λ-=λ（2）若粒子的势场 ⎪⎩⎪⎨⎧=<>b x KX bx Kb )X (V 222121中运动，试估计其束缚能总数的上、下限11、证明在规范变换下ϕ*ϕ=ρ()ϕ*ϕμ-ϕϕ-ϕ*ϕμ=* A ˆc q P ˆP ˆj 21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=υμA ˆc q P ˆˆ 不变。
12、计算氢原子中P D 23→的三条塞曼线的波长。
13．带电粒子在外磁场()B ,,B 00= 中运动，如选⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02121,xB ,yB A ˆ或),xB ,(A 00= 试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。
14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E 及均匀磁场B 中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z 轴方向，电场方向为X 轴方向）。
第六部分 量子力学的矩阵形式及表象理论1、列出下列波函数在动量表象中的表示（1）一维谐振子基态：()t i x a e a t ,x ω--π=ψ222122 （2）氢原子基态：()t E i a r n e a t ,r 2031--π=ψ2、求一维无限深位阱（0≤x ≤a ）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
3、求在动量表象中角动量x Lˆ的矩阵表示。
4、在（z l ,l 2）表象中，求1=l 的空间中的x Lˆ的可能值及相应几率。
5、设)r (V p H +μ=22，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则 ()∑μ=-n nm m n x E E 222 （提示：求[][][]X ,X ,H ,X ,H 然后求矩阵元[][]>m X ,X ,H m ）6、若矩阵A ，B ，C 满足iA CB BC ,I C B A2222=-=== （1）证明：0=+=+CA AC BA AB ；（2）在A 表象中，求B 和C 矩阵表示。
7、设),x (V p H x +=μ22分别写出x 表象和x P 表象中x p ,x 及H 的矩阵表示。
8、在正交基矢21ψψ,和3ψ展开的态空间中，某力学量⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=010100002a A求在态321212121ψ+ψ+ψ=ψ中测量A 的可能值，几率和平均值。
第七部分 自 旋1、设λ为常数，证明λσ+λ=λσsin i cos e z i z 。
2、若(),i y x σ±σ=σ±21证明02=σ± 3、在z σ表象中，求n ⋅σ的本征态，()θϕθϕθcos ,sin sin ,con sin n 是),(ϕθ方向的单位矢。
4、证明恒等式：()()()()B A i B A B A ⨯⋅σ+⋅=⋅σ⋅σ其中B ,A 都与σ 对易。
5、已知原子c 12的电子填布为22020221j )p ()s ()s (，试给出（1）简并度；（2）给出jj 耦合的组态形式；（3）给出LS 耦合的组态形式；6、电子的磁矩算符S e l e 002μ-μ-=μ，电子处于z j ,j ,l 22的本征态>j j m l 中，求磁矩μ。