复数与三角函数的联系

课 题：研究性学习课题：复数与三角函数的联系 教学目的：了解复数的三角形式及相关概念，并探究其运算 教学重点：化复数为三角形式． 教学难点：复数辐角主值的探求 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P

与原点的距离||r OP ==

=>2．比值

r y

叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r

x

叫做α的余弦 记作： r

x =

αcos 3．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应

平面向量OZ 4. 复数z a bi =+←−−−

→一一对应

平面向量OZ 二、讲解新课：

１．复数的模：2||||||z a bi OZ a =+==2. 复数z a bi =+的辐角θ及辐角主值：以x 轴的非负半轴为始边、以OZ 所在射线为终边的角在[0,2)π内

的辐角就叫做辐角主值，记为argz

当+

∈R a 时，=a arg 0 ，=-)arg(a π，

=

)arg(ai 2

π

，=-)arg(ai 23π

3. 复数的三角形式：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+

其中22b a r += ，r a =

θcos ， r

b

=θsin ；

复数的三角形式的特征：①模r ≥0；②同一个辐角θ的余弦与正弦；③θcos 与θsin i 之间用加号连结

4. 复数的三角形式的乘法：

若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则12121212(cos()sin(z z r r i θθθθ=+++

5. 复数的三角形式的乘方(棣美弗定理)：

若(cos sin )z a bi r i θθ=+=+，则(cos sin )n n

z r n i n θθ=+

6. 复数的三角形式的除法：

若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则1

1212122

(cos()sin(r z z i r θθθθ÷=

-+- 7. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算： ①复数z a bi =+开平方，只要令其平方根为x yi +，

由2

()x yi a bi +=+222x y a

xy b ⎧-=⇒⎨=⎩

，解出,x y 有两组解

②复数(cos sin )z r i θθ=+的n 方根为：

22

sin ),(0,1,,1)k k i k n n n

πθπθ

+++=-

共有n 个值

三、讲解范例：

例 化下列复数为三角形式：①z=3+i ;②z=1-i ③z=-1

解：①z=3+i 2(cos

sin )66i ππ

=+;

②z=1-i 77sin )44

i ππ=+ ③z=-1cos sin i ππ=+

例2下列复数中那些是三角形式？那些不是？为什么？ （1）

)4sin 4(cos 21π

πi - ；

（2）)3

sin 3(cos 21ππi +-；

（3）

)43sin 43(cos 21ππi +；（4）5

7sin

57cos π

πi +； （5）)30sin 90(cos 20

0i + ；（6）2

7cos 27(sin 4ππi +

答案（略）

四、课堂练习：

1．复数(sin100+icos100)3

的三角形式为

A ．sin300+icos300

B ．cos2400+isin2400

C ．cos300+isin300

D ．sin2400+icos2400

2. 设复数2-i 和3-i 的辐角主值分别为βα、，则βα+等于

A.1350

B.3150

C.6750

D.5850

3．复数tan (

)2

z i π

θθπ=+<<的三角形式是（ ）

A.

1(sin cos )cos i θθθ+； B.133[cos()sin()]cos 22i ππ

θθθ--+-； C.

1(cos sin )cos i θθθ+；D.133[cos()sin()]cos 22

i ππ

θθθ-+++ 4．arg(3-i)+arg(2-i)=

．

答案：1. B 2.C 3. B 4. 4

15π

五、小结 ：复数的模、辐角、三角形式及复数的开方运算的意义 六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：