第六章非线性方程组的迭代解法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章非线性方程组的迭代解法6.4 非线性方程组的数值解法
6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法
6.4.2 非线性方程组的Newton法
6.4.3非线性方程组的Newton法
第六章非线性方程组的迭代解法
T
n x f x f x f x F ))
(),(),(()(21L =设含有n 个未知数的n 个方程的非线性方程组为
(6,4,1)其中为n 维列向量，
0)(=x F T
n x x x x ),,(21L =6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法
),,2,1)((n i x f i L =中至少有一个是x 的非线性函数，
并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组
(6.4.1)与一元非线性方程f(x)=0具有相同的形式，可以与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法。例如不动点迭代法和Newton 型迭代法。但是，这里某些定理的证明较为复杂，我们将略去其证明。
第六章非线性方程组的迭代解法
T
n x x x x x ))
(,),(),(()(21ϕϕϕL =Φ=(6.4.2)
并构造不动点迭代法
L
,1,0),()()1(=Φ=+k x x k k (6.4.3)
把方程组(6.4.1)改写成下面便于迭代的等价形式：
的解。是方程组
从而的不动点，是迭代函数即满足连续函数.则的是自变量
是连续的,即且收敛，
若由此生成的序列对于给定的初始点)1.4.6()(),(,,,)(,),(),()(,*****2121)0(x x x x x x x x x x x x x x n
n φφϕϕϕφ=L K {}k x *)(lim x x k k =∞
→
第六章非线性方程组的迭代解法
例6.11 设有非线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=++−0
81008102122122121x x x x x x x (6.4.4)
把它写成等价形式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧++==++==)8(101),()8(101),(121121222
2212111x x x x x x x x x x x ϕϕ并由此构造不动点迭代法
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧++==++==++]8)([101),(]8)()[(101),()(122)(1)(2)(12)1(22)(22)(1)(2)(11)1(1k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕL
,1,0=k (6.4.5)
第六章非线性方程组的迭代解法
)
(1
k x
)(2
k x
取初始点。计算结果列于表6－9，可见迭代收敛到
方程的解
T
x )0,0()0(=T x )1,1(*=表6-9
k
01
2
(18)
19
00.80.928…0.9999999720.9999999890
0.8
0.931
…
0.999999972
0.999999989
函数也称映射，若函数的定义域为，则可
用映射符号简便地表示为。为了讨论不动点迭代法（6.4.3）的收敛性，先定义向量值函数的映内性和压缩性。
)(x Φn
R D ⊂→n
n R R D →⊂Φ:
第六章非线性方程组的迭代解法
定义6.3设有函数若则称在
D上是映内的，记做，又若存在常数，使得
n
n R R D →⊂Φ:D x D x ∈∀∈Φ,)()(x ΦD D ⊂Φ)()1,0(∈L D
y x y x L y x ∈∀−≤Φ−Φ,,)()(则称在D 上是压缩的，L 称为压缩系数
)(x Φ压缩性与所用的向量范数有关，函数对某种范数是压缩的，对另一种范数可能不是压缩的。
)(x Φ定理6.7（Brouwer 不动点定理）若在有界凸集上连续并且映内，则在内存在不动点。
ΦD D ⊂0Φ0D 定理6.8（压缩映射定理）设函数在闭集上是映内的，并且对某一种范数是压缩的，压缩系数为L ，则
（1）在上存在唯一的不动点。（2）对任何初值迭代法（6.4.3）生成的序列且收敛到，并且有误差估计式
n
n R R D →⊂Φ:D D ⊂0)(x Φ0D *
x 0)
0(D x ∈{}0
)
(D
x
k ⊂*
x
第六章非线性方程组的迭代解法
)
1()(*
)
(1−−−≤−k k k x
x L
L x x
例6.12 对于例6.11，设试证：对任何初始点，由迭代法（6.4.5）生成的序列的都
收敛到方程（6,4.4）在中的唯一解{}5.1,5.1:),(21210≤≤−=x x x x D T
0)
0(D x ∈0D T
x )
1,1(*=Φ0D 证：首先容易算出，对于任何，都有
因此，迭代函数在上是映内的。进而，对于任何
都有021),(D x x x T
∈=25.1),(8.0211≤≤x x ϕ2875.1),(3125.0212≤≤x x ϕ0
21),(D x x x T
∈=0
21),(D y y y T ∈=))(())((10
1
)()(2222111111y x y x y x y x y x −++−+=−ϕϕ122113.0)(10
3
y x y x y x −=−+−≤