信号与系统 冲激函数
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f '(ti )
第1章 信号与系统的基本概念
例6 计算下列函数的值
f (t ) (t 2 4)dt
1
f (t ) (t 2 4)dt 1
解： (t 2 4) 0 t 2
f
' (t1 )
d dt
(t 2
4)
t 2
2t
4
f
' (t2 )
1
0 1 2 3 4..... n
第1章 信号与系统的基本概念
单位抽样序列
(n)
1 0
(n 0) (n 0)
1
(n n0 ) 0
(n n0 ) (n n0 )
(n)
0
n
(n n0 )
0
n0
n
第1章 信号与系统的基本概念
性质1： [n] 是 u[n] 的一次差分
第1章 信号与系统的基本概念
•冲激函数的性质
a. f (t) (t) f (0) (t) f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
b. f (t) (t)dt f (0)
f (t) (t t0 )dt f (t0 )
筛选特性
b. f (t) '(t)dt f / (0)
c. '[(t)] '(t)
d. ' (at) 1 1 ' (t)
aa
第1章 信号与系统的基本概念
函数名
冲激函数和冲激偶的对比
特性
(t)
‘ (t )
1.引出
2.奇偶
(t)dt 1
(t) 0(t 0)
－
4
2
1 (2t) 1 (t 2 2)
4
t2 2
t 3
4.5
第1章 信号与系统的基本概念
例6 计算下列函数的值
f (t) (t 2 4)dt 1
f (t) (t 2 4)dt 1
此题要注意应用冲激信号复合函数的性质（见郑君理教材 p77-p78,例2－12），我们知道冲激信号的含义是t≠0时 为零，t=0时有一个冲激信号，而其余全为零。这样就不 难理解如何求解函数的值了
f (0) (t)dt f (0)
f (t) (t t0 )dt
－ f (t0 ) (t t0 )dt f (t0 )
f (0)
0
t
f (t0 )
t
第1章 信号与系统的基本概念
复指数序列： c c e j , e j0
x[n] c n cos(0n ) j c n sin(0n )
第1章 信号与系统的基本概念
虚指数序列： x[n] e j0n c 1, e j0
第1章 信号与系统的基本概念
结论
1. 虚指数序列（或正弦序列）对频率0具有周 期性，周期为2π(图1-38)
e e e e j(0 2k)n
j0n j 2kn
j0n
2. 虚指数序列（或正弦序列）在奇数 的附近 频率最高，在偶数 的附近频率最低。
第1章 信号与系统的基本概念
虚指数序列的周期性
x[n] e j0n
2 为有理数时，虚指数序列（或正弦序列）为 0 周期序列(周期为N 2m )，为无理数时，
0 虚指数序列（或正弦序列）为非周期序列
第1章 信号与系统的基本概念
作业: 1.11 1.18 1.21 (e-h)
第1章 信号与系统的基本概念
筛选特性
f (t) (t)dt f (0) (t)dt
f (t) ' (t)dt f ' (0)
t
'( )d (t)
第1章 信号与系统的基本概念
－
x(t )
(t
t0 )dt
x(t0 )
x(t) (t
例5：计算下列积－分(性质的应用)
t0
)dt
x(t0
)
1. (t 2 2)[ (t 1) (t 1)]dt －
c. (t ) (t ) [(t t0 )] (t t0 )
d . (at ) 1 (பைடு நூலகம் )
a
e. du(t) (t)
t
( )d u(t)
dt
第1章 信号与系统的基本概念
•冲激偶的性质:
a. f (t) '(t) f (0) / (t) f / (0) (t)
(t) (t)
(t) d (t)
dt
(t)dt 0
' (t) ' (t)
3.抽样
f (t) (t) f (0) (t)
f (t) (t)dt f (0)
4.积分
t
( )d u(t)
f (t) (t) f (0) ' (t) f ' (0) (t)
－
－
(2t ) |t1 (t 2 2) |t1
2 3 5
2
2 0 [ ( t) ( t)]d
( t) |02 u( t) |02
(2 t) (t) u(2 t) u(t)
(t 2) (t) u(2 t) u(t)
d dt
(t 2
4)
t 2
2t
4
(t第21章信4号)与系统的1基本概念(t 2) 1 (t 2)
4
4
1 [ (t 2) (t 2)]
4
(t 2 4)dt
[ 1 (t 2) 1 (t 2)]dt 1 2 1
第1章 信号与系统的基本概念
* δ(t)的复合函数δ[f(t)]性质
n
[ f (t)]
i 1
f
1 ' (ti
)
(t
ti
)
冲激发生在f(t) 0所解出的互不相同的实根
t ti上。
此式说明：δ[f(t)可 ] 以化简为t ti处一系列冲激 函数的迭加，每一冲激函数的强度等于 1 .
2. 2[ ( t) ( t)]d 0
3. (t 2 2)[ (4－2t) (2t＋6)]dt －
第1章 信号与系统的基本概念
1 (t 2 2)[ (t 1) (t 1)]dt －
(t 2 2) (t 1)dt (t 2 2) (t 1)dt
[n] u[n] u[n 1]
性质2： [n]的求和函数是 u[n]
n
u[n] [m] m
性质3： [n]与任意函数的乘积
x[n][n] x[0][n]
第1章 信号与系统的基本概念
复指数序列
x[n] c n
实指数序列：此时 c 和 都是实数、如图1-35所示
第1章 信号与系统的基本概念
3. (t 2 2)[ (4－2t) (2t＋6)]dt －
(t 2 2){ [2(t 2)] [2(t＋3)]}dt －
(t 2 2)[ 1 (t 2) 1 [(t＋3)]}dt
4
4
4
2
1
f (t) (t 2 4)dt 0
1
第1章 信号与系统的基本概念
1.6 基本离散时间信号
单位阶跃序列 单位抽样序列 复指数序列
第1章 信号与系统的基本概念
单位阶跃序列
0 n 1,2,...... u[n] 1 n 0,1,2,......
第1章 信号与系统的基本概念
例6 计算下列函数的值
f (t ) (t 2 4)dt
1
f (t ) (t 2 4)dt 1
解： (t 2 4) 0 t 2
f
' (t1 )
d dt
(t 2
4)
t 2
2t
4
f
' (t2 )
1
0 1 2 3 4..... n
第1章 信号与系统的基本概念
单位抽样序列
(n)
1 0
(n 0) (n 0)
1
(n n0 ) 0
(n n0 ) (n n0 )
(n)
0
n
(n n0 )
0
n0
n
第1章 信号与系统的基本概念
性质1： [n] 是 u[n] 的一次差分
第1章 信号与系统的基本概念
•冲激函数的性质
a. f (t) (t) f (0) (t) f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
b. f (t) (t)dt f (0)
f (t) (t t0 )dt f (t0 )
筛选特性
b. f (t) '(t)dt f / (0)
c. '[(t)] '(t)
d. ' (at) 1 1 ' (t)
aa
第1章 信号与系统的基本概念
函数名
冲激函数和冲激偶的对比
特性
(t)
‘ (t )
1.引出
2.奇偶
(t)dt 1
(t) 0(t 0)
－
4
2
1 (2t) 1 (t 2 2)
4
t2 2
t 3
4.5
第1章 信号与系统的基本概念
例6 计算下列函数的值
f (t) (t 2 4)dt 1
f (t) (t 2 4)dt 1
此题要注意应用冲激信号复合函数的性质（见郑君理教材 p77-p78,例2－12），我们知道冲激信号的含义是t≠0时 为零，t=0时有一个冲激信号，而其余全为零。这样就不 难理解如何求解函数的值了
f (0) (t)dt f (0)
f (t) (t t0 )dt
－ f (t0 ) (t t0 )dt f (t0 )
f (0)
0
t
f (t0 )
t
第1章 信号与系统的基本概念
复指数序列： c c e j , e j0
x[n] c n cos(0n ) j c n sin(0n )
第1章 信号与系统的基本概念
虚指数序列： x[n] e j0n c 1, e j0
第1章 信号与系统的基本概念
结论
1. 虚指数序列（或正弦序列）对频率0具有周 期性，周期为2π(图1-38)
e e e e j(0 2k)n
j0n j 2kn
j0n
2. 虚指数序列（或正弦序列）在奇数 的附近 频率最高，在偶数 的附近频率最低。
第1章 信号与系统的基本概念
虚指数序列的周期性
x[n] e j0n
2 为有理数时，虚指数序列（或正弦序列）为 0 周期序列(周期为N 2m )，为无理数时，
0 虚指数序列（或正弦序列）为非周期序列
第1章 信号与系统的基本概念
作业: 1.11 1.18 1.21 (e-h)
第1章 信号与系统的基本概念
筛选特性
f (t) (t)dt f (0) (t)dt
f (t) ' (t)dt f ' (0)
t
'( )d (t)
第1章 信号与系统的基本概念
－
x(t )
(t
t0 )dt
x(t0 )
x(t) (t
例5：计算下列积－分(性质的应用)
t0
)dt
x(t0
)
1. (t 2 2)[ (t 1) (t 1)]dt －
c. (t ) (t ) [(t t0 )] (t t0 )
d . (at ) 1 (பைடு நூலகம் )
a
e. du(t) (t)
t
( )d u(t)
dt
第1章 信号与系统的基本概念
•冲激偶的性质:
a. f (t) '(t) f (0) / (t) f / (0) (t)
(t) (t)
(t) d (t)
dt
(t)dt 0
' (t) ' (t)
3.抽样
f (t) (t) f (0) (t)
f (t) (t)dt f (0)
4.积分
t
( )d u(t)
f (t) (t) f (0) ' (t) f ' (0) (t)
－
－
(2t ) |t1 (t 2 2) |t1
2 3 5
2
2 0 [ ( t) ( t)]d
( t) |02 u( t) |02
(2 t) (t) u(2 t) u(t)
(t 2) (t) u(2 t) u(t)
d dt
(t 2
4)
t 2
2t
4
(t第21章信4号)与系统的1基本概念(t 2) 1 (t 2)
4
4
1 [ (t 2) (t 2)]
4
(t 2 4)dt
[ 1 (t 2) 1 (t 2)]dt 1 2 1
第1章 信号与系统的基本概念
* δ(t)的复合函数δ[f(t)]性质
n
[ f (t)]
i 1
f
1 ' (ti
)
(t
ti
)
冲激发生在f(t) 0所解出的互不相同的实根
t ti上。
此式说明：δ[f(t)可 ] 以化简为t ti处一系列冲激 函数的迭加，每一冲激函数的强度等于 1 .
2. 2[ ( t) ( t)]d 0
3. (t 2 2)[ (4－2t) (2t＋6)]dt －
第1章 信号与系统的基本概念
1 (t 2 2)[ (t 1) (t 1)]dt －
(t 2 2) (t 1)dt (t 2 2) (t 1)dt
[n] u[n] u[n 1]
性质2： [n]的求和函数是 u[n]
n
u[n] [m] m
性质3： [n]与任意函数的乘积
x[n][n] x[0][n]
第1章 信号与系统的基本概念
复指数序列
x[n] c n
实指数序列：此时 c 和 都是实数、如图1-35所示
第1章 信号与系统的基本概念
3. (t 2 2)[ (4－2t) (2t＋6)]dt －
(t 2 2){ [2(t 2)] [2(t＋3)]}dt －
(t 2 2)[ 1 (t 2) 1 [(t＋3)]}dt
4
4
4
2
1
f (t) (t 2 4)dt 0
1
第1章 信号与系统的基本概念
1.6 基本离散时间信号
单位阶跃序列 单位抽样序列 复指数序列
第1章 信号与系统的基本概念
单位阶跃序列
0 n 1,2,...... u[n] 1 n 0,1,2,......