[推荐]2020年苏教版高中数学必修三(全册)精品教学案汇总
苏教版高中数学必修3教案
苏教版高中数学必修3教案
教学目标：通过本节课的学习，使学生能够掌握以下知识点：
1. 了解导数的概念及求导法则；
2. 理解导数的几何意义；
3. 使用导数求函数的极值和函数的增减性；
4. 运用导数解决实际问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入本节课的主题，引起学生的兴趣。
2. 回顾上节课的内容，复习相关知识点。
二、导数的概念和求导法则（15分钟）
1. 简要介绍导数的概念和意义。
2. 讲解导数的定义及求导法则。
3. 通过例题演练，帮助学生掌握求导的方法。
三、导数的几何意义（10分钟）
1. 讲解导数在几何上的意义，如切线斜率、切线方程等。
2. 通过几何图形展示，帮助学生理解导数的几何意义。
四、导数在函数中的应用（15分钟）
1. 讲解导数在函数中的应用，如函数的极值、函数的增减性等。
2. 通过例题演练，让学生掌握如何使用导数求函数的极值和函数的增减性。
五、实际问题解决（10分钟）
1. 带领学生解决实际问题，如最优化问题、曲线的切线方程等。
2. 引导学生运用所学知识解决实际问题。
六、小结与作业布置（5分钟）
1. 总结本节课的重点内容，强化学生的理解。
2. 布置相关练习作业，巩固所学知识。
教学反思：本节课主要介绍了导数的概念及应用，通过理论讲解、例题演练和实际问题解决，帮助学生掌握了导数的相关知识点。
在教学过程中，要注重培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生灵活运用导数解决实际问题。
同时，要及时进行课堂互动，了解学生的学习情况，及时调整教学策略，确保教学效果。
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-2 2-2-1 2-2-2 频率分布表 频率分布直方图与折线
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-2 2-2-1 2-2-2 频率分布表 频率分布直方图与折线图-含解析．2.1 &2.2.2 频率分布表 频率分布直方图与折线图[新知初探]1．频率分布表(1)定义：当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布．我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．(2)我们将整个取值区间的长度称为全距，一般的全距等于数据中最大值与最小值之差；分成的区间的长度称为组距．(3)绘制频率分布表的步骤：①求全距，决定组数和组距，组距＝全距组数.②分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间． ③登记频数，计算频率，列出频率分布表． [点睛](1)在频率分布表中，除最后一个区间是闭区间，其他区间均为左闭右开区间，这样做的目的是为了不重不漏，避免丢失样本数据．(2)频率分布表中各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于1. 2．频率分布直方图(1)定义：我们用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图． (2)绘制步骤： ①制作频率分布表．②建立直角坐标系：把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，并标上一些关键点． ③画矩形：在横轴上，以连结相邻两点的线段为底，以纵轴上频率组距为高作矩形，这样得一系列矩形，就构成了频率分布直方图．3．频率分布折线图(1)定义：把频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图．(2)总体分布密度曲线：频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．[点睛]频率分布折线图反映了数据的变化趋势，可用来对数据进行估计和预测．[小试身手]1．已知一个容量是40的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是________，频率是________．答案：4 0.12．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空．(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为________； (2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________． 答案：(1)0.32 (2)363．对于样本频率分布折线图与总体分布的密度曲线的关系，有下列说法： ①频率分布折线图与总体分布的密度曲线无关； ②频率分布折线图就是总体分布的密度曲线；③样本容量很大的频率分布折线图就是总体分布的密度曲线；④如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限趋于总体分布的密度曲线．其中正确的是________．(填序号) 答案：④[典例] 某中学40名男生的体重数据如下(单位：kg)：61 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 56 56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54 54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51 50 50 49 48请根据上述数据列相应的频率分布表． [解] ①计算全距，61－48＝13；②决定组距和组数，取组距为2，全距组距＝132＝6.5，所以共分7组；③决定分点，使分点比数据多一位小数，并把第一小组分点减小0.5，即分成七组：[47.5,49.5)，[49.5，51.5)，[51.5,53.5)，[53.5,55.5)，[55.5,57.5)，[57.5,59.5)，[59.5,61.5]；④列出频率分布表，如下：频率分布表的制作[活学活用]下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).(1)列出样本频率分布表；(2)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．解：(1)样本频率分布表如下：(2)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.频率分布直方图与频率分布折线图的绘制[典例]为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55，11.65]，2.(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图．[解](1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图．有一个容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12.5,15.5)，3；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5,24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，5；[30.5，33.5]，4.(1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图估计数据落在[15.5,24.5)的频率约是多少． 解：(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如图所示：(3)数据落在[15.5,24.5)的频率约为0.16＋0.18＋0.22＝0.56.[典例] 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月频率分布直方图的识、读、用1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第3组的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多？有多少件？(3)经过评比，第4组和第6组分别有10件和2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？[解] (1)依题意得第3小组的频率为 42＋3＋4＋6＋4＋1＝15，又第3小组频数为12， 故本次活动的参评作品数为1215＝60(件)． (2)根据频率分布直方图可看出第4组上交的作品数量最多， 共有60×62＋3＋4＋6＋4＋1＝18(件)．(3)第4组获奖率是1018＝59.第6组上交作品数量为60×12＋3＋4＋6＋4＋1＝3(件)．第6组的获奖率为23>59，显然第6组的获奖率较高．[活学活用]从某校参加2016年全国高中数学联赛预赛的600名同学中，等可能抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．(1)根据表中已知数据，依次写出在①、②、③处的数值；(2)补全在区间[70,140]上的频率分布直方图；(3)若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？解：(1)样本容量＝160.32＝50， ∴①处为50；∴250＝0.04，②处为0.04；③处为1－0.08－0.36－0.32－0.08－0.04－0.02＝0.10. (2)频率分布直方图如图：(3)成绩不低于110分的同学能参加决赛的频率为0．08＋0.04＋0.02＝0.14，所以估计该校能参加决赛的人数大约为600×0.14＝84.层级一 学业水平达标1．已知样本：12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10，那么样本在[11.5,13.5)上的频率为________．答案：0.252．一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n ＝________.解析：由题意n ＝300.25＝120.答案：1203．观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在[2 700,3 000)内的频率为________．解析：由图可知当新生婴儿体重在[2 700,3 000)内时，频率组距＝0.001，而组距为300，所以频率为0.001×300＝0.3.答案：0.34．为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第1小组的频数是100，则n ＝________.解析：由图可知，第1小组的频率为25×0.004＝0.1， ∴n ＝1000.1＝1 000.答案：1 0005．鲁老师为了分析一次数学考试的情况，将全班60名学生的数学成绩分为5组，第一组到第三组的频数分别是8,24,22，第四组的频率是0.05，那么落在第五组的频数是多少？频率是多少？全校300人中分数在第五组中的约有多少人？解：因为第四组的频数为0.05×60＝3，所以第五组的频数为60－8－24－22－3＝3，频率为360＝0.05，全校300人中分数在第五组的约有0.05×300＝15(人)．层级二 应试能力达标1．将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分成8个组，如下表：则第六组的频率为________．解析：由9＋14＋14＋13＋12＋x ＋13＋10＝100，得x ＝15.故第六组的频率为15100＝0.15.答案：0.152．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人做进一步调查，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是________．解析：抽出的100人中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的频率是0.5×0.5＝0.25，所以这10 000人中用分层抽样方法抽出100人，在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是100×0.25＝25.答案：253．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数是________．解析：频率分布直方图中所有小长方形的面积和等于1，则中间小长方形的面积为15，也就是中间一组的频率是15，中间一组的频数为160×15＝32.答案：324．为提高公众对健康的自我管理能力和科学认识，某调查机构共调查了200人在一天中的睡眠时间．现将数据整理分组，如下表所示．由于操作不慎，表中A ，B ，C ，D 四处数据污损，统计员只记得A 处的数据比C 处的数据大4，由此可知B 处的数据为________.解析：设A 处的数据为x ，则C 处的数据为x －4， 则x ＋x －4＋8＋52＋20＋4＝200，x ＝60，则B处数据为60＝0.30.200答案：0.305．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h＝0.04.(2)志愿者年龄在[25,35)的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)4406．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100 g的个数是36，则样本中净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品的个数是________．解析：由频率分布直方图可知，产品净重小于100 g的频率是0.05×2＋0.1×2＝0.3，所以样本中产品的个数为36＝120，产品净重大于或等于104 g的频率为0.075×2＝0.15，∴产0.3品净重大于或等于98 g而小于104 g的频率为1－0.15－0.1＝0.75，则净重在此范围内的产品个数为120×0.75＝90.答案：907．为了解某商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，已知图中从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________．解析：由条件可得，第二小组的频率为2×1－0.175－0.0751＋2＋3＝0.25，因为第二小组的频数为10，所以抽取的顾客人数是100.25＝40. 答案：408．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析：∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a ＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人． 答案：0.030 39．对某电子元件进行寿命追踪统计，情况如下：(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计电子元件寿命在100 h～400 h以内的比例；(4)估计电子元件寿命在400 h以上的比例．解：(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如图：(3)频率为0.1＋0.15＋0.4＝0.65.所以我们估计电子元件寿命在100 h～400 h以内的比例为65%.(4)寿命在400 h以上的电子元件的频率为1－0.65＝0.35.所以我们估计电子元件寿命在400 h以上的比例为35%.10．为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)求出各组相应的频率；(2)数据落在[1.15，1.30]中的频率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中还有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．解：(1)由频率分布直方图和频率＝组距×频率组距可得下表(2)因为0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30]中的频率约为0.47.(3)由分层抽样中每个个体被抽到的概率相同知：设水库中鱼的总条数为N ，则120N ＝6100，即N ＝2 000，故水库中鱼的总条数约为2 000条．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 2.4.1 线性回归方程》4
课题名称：线性回归方程
课堂设计
学生学习活动设计
一、课程标准的研究解读：
思考拟合函数确实定方法，了解用最小二乘法研究两个变量线性相关问题的思想方法，会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
二、学习目标形成与设计
1．理解函数关系、相关关系的含义，理解两种关系的差异与关联；
2．自主学习，合作探究，理解拟合函数确定的几种方法；
问题：观察散点图，能观察出什么样的函数图形？
问题：如何确定这条直线呢？
预案：线性回归方程系数公式．
归纳：用数学建模的思想看，
①取均值确定直线是否具有科学的依据？
②取距离最小时的直线是否具有科学依据，以什么样的运算来表达距离？
③本单元学习的统计学中有没有更加完美的拟合方法？
四、培训设计与要求
1预习培训：先精读课本线性回归方程的根底知识及例题，用红色笔进行勾画；再答复导学案中预习导学设计的问题，并完成预习检测。时间不超过2021；
三、重点难点易错点及突破策略
重点：线性回归方程系数公式
难点：探究拟合函数方法
易错点：
1数据运算。
2拟合函数的数学模型。
突破策略：
1.找出自己的疑惑和需要讨论的问题通过课堂展示，组间动态点评，查漏补缺，取长补短，解决所有疑难。
2借助多媒体展示有代表性的错误，让学生在讨论辨析当中感受错因，领悟提升。
3以探究案例1为例用问题进行易错点突破。
应寻找出一种新的运算方法〔最小二乘法〕求离差平方和最小时的拟合函数。
【例2】假设关于某设备的使用年限年和所支出的维修费用万元有如下统计资料：
使用年限年
2
3
4
5
6
维修费用万元
苏教版高中数学必修三教案
苏教版高中数学必修三教案课时：第一课时教学目标：1. 掌握数列的概念及常见类型。
2. 能够实际应用数列解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维和数学分析能力。
教学重点：1. 掌握数列的定义和常见类型。
2. 初步掌握数列的求和方法。
教学难点：1. 理解数列的性质和规律。
2. 能够熟练运用数列的求和方法。
教学准备：1. 教材：《高中数学必修三》2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学课件、学生练习册3. 学生学习资料：笔记本、铅笔、尺子教学过程：一、导入（5分钟）教师简要介绍数列的概念，并展示一些实际生活中的数列例子，引起学生对数列的兴趣。
二、讲解（15分钟）1. 数列的定义和性质：教师讲解数列的定义，序号、通项公式等概念，并引导学生理解数列的性质。
2. 常见数列类型：介绍等差数列、等比数列等常见数列类型，并讲解其特点和求和方法。
三、练习（20分钟）1. 学生跟随教师做一些简单的数列练习，巩固对数列的基本概念和性质的理解。
2. 学生独立解决一些实际问题，运用数列解决实际生活中的问题。
四、总结（5分钟）教师总结本节课的重点内容，强调数列的重要性和应用价值，鼓励学生继续学习深入数列的知识。
五、作业布置（5分钟）布置一些相关的作业，要求学生按时完成，并提醒学生复习今天所学的知识点。
六、课外拓展（自由活动）鼓励学生利用课外时间进行更多的数列练习和拓展，加深对数列知识的理解和应用。
教学反思：通过本节课的教学，学生对数列的基本概念和常见类型有了初步的了解，能够初步掌握数列的求和方法。
但也发现部分学生对数列的应用还存在一定困难，需要在后续的教学中加强练习和巩固，提高学生的数学分析能力。
2019-2020学年高中数学苏教版必修3教学案：第1章 1.2 1.2.1 顺序结构 Word版含解析
1．2.1 顺序结构[新知初探]1．流程图的概念流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．2．常见的图框、流程线及各自表示的功能[点睛]关于流程图，要注意以下几点(1)起止框是任何流程图必不可少的，它表明算法的开始和结束．(2)输入、输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入、输出的字母、符号、数据都填在框内．(3)处理框用于数据处理需要的算式、公式等，另外，对变量进行赋值，也用到了处理框．(4)流程线是有方向箭头的，不要忘记画箭头，因为它是反映流程图的先后执行顺序的，如不画箭头，就难以判定各框内程序的执行顺序了．3．顺序结构及形式[小试身手]1．下列几个选项中不是流程图符号的是________．答案：(1)2．下面三个流程图，不是顺序结构的是________．答案：(2)[典例]下列关于流程图的符号的理解中，正确的有________． ①任何一个流程图都必须有起止框；②输入框只能在开始框之后，输出框只能在结束框之前； ③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号； ④判断框内的条件是唯一的．[解析] 任何一个程序都有开始和结束，因而必须有起止框；输入框和输出框可以放在算法中任何需要输入、输出的位置；判断框内的条件不是唯一的，如条件a >b ，也可写成a ≤b ，故只有①③正确．[答案] ①③流程图的基本概念[活学活用]下列关于流程线的说法：①流程线表示算法步骤执行的顺序，用来连接图框； ②流程线只要是上下方向就表示自上向下执行可以不要箭头； ③流程线无论什么方向，总要按箭头的指向执行； ④流程线是带有箭头的线，它可以画成折线． 其中正确的有________． 答案：①③④[典例]已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，求点P (x 0，y 0)到直线l 的距离d .设计算法，并画出流程图．[解] 算法如下：S1 输入点的坐标x 0，y 0，输入直线方程的系数A ，B ，C ； S2 E 1←Ax 0＋By 0＋C ； S3 E 2←A 2＋B 2；S4 d←|E1|E2；S5 输出d . 流程图如图所示：画顺序结构的流程图利用梯形的面积公式计算上底为2，下底为4，高为5的梯形的面积．设计出该问题的算法及流程图． 解：算法如下：S1 a ←2，b ←4，h ←5；S2 S ←12(a ＋b )h ；S3 输出S .该算法的流程图如图所示．[典例]如图是为解决某个问题而绘制的流程图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：(1)图框①中x ←2的含义是什么？ (2)图框②中y 1←ax ＋b 的含义是什么？ (3)图框④中y 2←ax ＋b 的含义是什么？ (4)该流程图解决的是怎样的一个问题？(5)若最终输出的结果y 1＝3，y 2＝－2，当x 取5时，输出的结果5a ＋b 的值应该是多少？ (6)在(5)的前提下输入的x 值越大，输出的ax ＋b 的值是不是也越大？为什么？ (7)在(5)的前提下，当输入的x 为多大时，输出的结果为0? [解] (1)图框①中x ←2表示把2赋给变量x (即使x ＝2)． (2)图框②中y 1←ax ＋b 的含义：当x ＝2时， 计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y 1.(3)图框④中y 2←ax ＋b 的含义：当x ＝－3时， 计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y 2.(4)该流程图解决的是求函数f (x )＝ax ＋b 的函数值的问题，其中输入的是自变量x 的值，输出的是x 对应的函数值．(5)y 1＝3，即2a ＋b ＝3；y 2＝－2，即－3a ＋b ＝－2；从而可得a ＝1，b ＝1，故f (x )＝x ＋1，当x 取5时，顺序结构流程图的识读5a ＋b ＝f (5)＝6.(6)输入的x 值越大，输出的函数值ax ＋b 越大， 因为f (x )＝x ＋1是(－∞，＋∞)上的增函数． (7)令f (x )＝x ＋1＝0，得x ＝－1，因而当输入值为－1时，输出的函数值为0.图1是计算图2中阴影部分面积的一个流程图，其中，①中应填________________．解析：∵一个花瓣形面积为2·ð··⎛⎫⎪⎝⎭1a21a a 44222＝2⎝⎛⎭⎫a216π－18a2＝14a 2·π－22， ∴图中阴影部分面积应为π－22a 2，故①处应填S ←π－22a 2. 答案：S ←π－22a 2[层级一 学业水平达标]1．下列几个选项中，不是流程图的符号的是________．(填序号)答案：(2)(3)(4)2.如图表示的算法结构是________． 答案：顺序结构3．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不 出其流程图的是________． ①当n ＝10时，利用公式1＋2＋3＋…＋n ＝错误!，计算1＋2＋3＋ (10)②当圆的面积已知时，求圆的半径；③给定一个数x ，求函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x>0，－1，x≤0的值；④当x ＝5时，求函数f (x )＝x 2－3x －5的函数值． 答案：③4．阅读下列流程图：若输出结果为15，则①处的执行框内应填的是________．解析：先确定①处的执行框是给x 赋值，然后倒着推，b ＝15时，2a －3＝15，a ＝9，当a ＝9时，2x ＋1＝9，x ＝3.答案：x ←35．某学生五门功课成绩为80,95,78,87,65.写出平均成绩的算法，画出流程图． 解：算法如下： S1 S ←80； S2 S ←S ＋95； S3 S ←S ＋78； S4 S ←S ＋87； S5 S ←S ＋65； S6 A ←S /5； S7 输出A . 流程图：[层级二应试能力达标] 1．如图所示的流程图解决的数学问题是________．答案：计算半径为2的圆的面积2．阅读如图所示流程图，其输出的结果是________．答案：43．下面四个流程图中不是顺序结构的是________．4．如图所示的流程图最终输出的结果是________．解析：由题意y＝(22－1)2－1＝8.答案：85．下列流程图表示的算法最后运行的结果为________．解析：无论a，b输入什么数值，程序执行到第二、三步重新对a，b进行赋值，a＝4，b＝2，所以T＝8.答案：86．如图所示的流程图的输出结果是________．解析：执行过程为x ＝1，y ＝2，z ＝3， x ＝y ＝2，y ＝x ＝2，z ＝y ＝2. 答案：27．如图是解方程组⎩⎨⎧2x －y ＝1 ①4x ＋3y ＝7 ②的一个流程图，则对应的算法为：S1 _________________________________________________________； S2 _________________________________________________________； S3 _________________________________________________________. 答案：将方程②中x 的系数除以方程①中x 的系数得商数m ＝4÷2＝2方程②减去m 乘以方程①的积消去方程②中的x 得到⎩⎨⎧2x －y ＝1，5y ＝5将上面的方程组自下而上回代求解得到y ＝1，x ＝18．要求底面边长为4，侧棱长为5的正四棱锥的侧面积及体积．甲、乙二同学分别设计了一个算法并画出了相应的流程图如下，其中正确的是________．9．如图所示是一个流程图，根据该图和下列各小题的条件回答问题．(1)该流程图解决的是一个什么问题？(2)若输入的a值为0和4时，输出的值相等，则当输入的a的值为3时，输出的值为多少？(3)在(2)的条件下，要想使输出的值最大，输入的a值应为多大？解：(1)该流程图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)若输入的a值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．∵f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，∴－16＋4m＝0.∴m＝4，∴f(x)＝－x2＋4x.∵f(3)＝－32＋4×3＝3，∴当输入的a的值为3时，输出的值为3.(3)∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)max＝4，∴要想使输出的值最大，输入的a的值应为2.10．阅读下列两个求三角形面积的流程图，回答问题．(1)图①的流程图输出结果S 是多少？图②中若输入a ＝4，h ＝3，输出的结果是多少？(2)对比一下两个流程图，你有什么发现？解：(1)图①运行后，S ＝12×4×3＝6，故图①输出结果为6.图②当a ＝4，h ＝3时输出的结果也为6. (2)通过对比，图①只能求底边长为4、高为3的三角形的面积．图②由于底边长和高要求输入，故可求任意三角形的面积．可见一个好的算法，不仅可以解决某个问题，更可以解决某一类问题，也就是说，设计算法时，我们应尽量“优化”．。
2020高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3
20xx最新高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B 分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)事件A、B、C的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[思路点拨] 明确事件的特征，利用互斥事件或对立事件求解．[精解详析] P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(3分)故事件A，B，C的概率分别为，，.(4分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.(5分)∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(6分)＝＝.故1张奖券的中奖概率为.(7分)(3)法一：设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，(9分)∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.(11分)故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.(12分)法二：不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖∴P＝＋＝.(12分)[一点通]针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和．最后用概率加法公式求得．3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.答案：3 54．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18) 概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10，16)(m)；。
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-3 2-3-2方差与标准差-含解析
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-32-3-2方差与标准差-含解析．3.2 方差与标准差[新知初探]1．极差、方差、标准差(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差． (2)方差与标准差：设一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，则称s 2＝1n ∑i ＝1n(x i －x )2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝1n ∑i ＝1nx i －x2为样本的标准差．2．方差与标准差的作用标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．方差、标准差刻画了一组数据的稳定程度．[小试身手]1．数据0,1,3,4,7的极差为________，方差为________． 答案：7 62．一组数据1,2,3,4，a 的平均数是3，则数据的方差为________，标准差为________． 答案：223．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________． 解析：由5＝1＋2＋3＋x4得x ＝14.同理y ＝9.由s2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.答案：24.56[典例]甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据(单位：cm)为：甲：9910098100100103；乙：9910010299100100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[解](1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝7 3.s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s2甲＞s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．方差、标准差的计算及应用[活学活用]某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图如下图：根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定．解：设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x甲、x 乙，方差分别为s 2甲、s 2乙，则x 甲＝122＋114＋113＋111＋111＋1076＝113，x乙＝124＋110＋112＋115＋108＋1096＝113，s 2甲＝16[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－113)2]＝21，s 2乙＝16[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－113)2]＝2913，由于s 2甲＜s 2乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定.[典例] 设数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，求下列各组数据的方差． (1) x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ； (2)ax 1, ax 2，…，ax n ； (3)ax 1＋b, ax 2＋b ，…，ax n ＋b .[解] 设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ， 则数据x 1＋b ，x 2＋b ，… ，x n ＋b 的平均数为x ＋b ， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x ，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ， 设数据x 1＋b ，x 2＋b ，…， x n ＋b 的方差为s 21， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为s 22，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为s 23，(1) s 21＝1n [(x 1＋b －x －b )2＋(x 2＋b －x －b )2＋…＋(x n ＋b －x －b )2] ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝s 2， (2)s 22＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2] ＝a 2·1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2，(3)s 23＝1n [(ax 1＋b －a x －b )2＋(ax 2＋b －a x －b )2＋…＋(ax n ＋b －a x －b )2] ＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2] ＝a 2·1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2.方差的性质[活学活用]1．已知一组数据x1，x2，…，x8的平均数是2，方差为6，则数据x1－1，x2－1，…，x8－1的平均数是________，方差是________．答案：1 62．已知一组数据x1，x2，…，x n的平均数是－2，方差是4，则数据2x1＋3,2x2＋3，…，2x n＋3的平均数是________，方差是________．答案：－116统计图表中的方差问题[典例](广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2.(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?[解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.[活学活用]从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．层级一学业水平达标1．给出下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据中的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的个数有________个．答案：22．某老师从星期一到星期五收到电子邮件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析：5个数据的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.23．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．解析：易知均值都是90，甲的方差为s 2甲＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.乙的方差为s 2乙＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.∴s 2甲＞s 2乙答案：24.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为________．解析：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84,84,84,86,87，其均值为85，方差为s 2＝15[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝85.答案：855．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？解：(1)∵x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．∴x甲＜x乙，即乙种玉米苗长得高．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1 042＝104.2，s2乙＝110(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－312＝128.8，∴s2甲＜s2乙，即甲种玉米苗长得齐．层级二应试能力达标1．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：则参加奥运会的最佳人选应为________．解析：由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．答案：丙2．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是________．①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数．解析：对①，分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比，所以①错．对②，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以②错．对③，男生方差为8，女生方差为6，所以③正确．对④，抽取的样本平均成绩不能代表总体平均成绩．所以④错．答案：③3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2＋y 2的值为________．解析：由15(x ＋y ＋10＋11＋9)＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得x 2＋y 2＝208.答案：2084．若10个正数的平方和是370，方差是33，则平均数为________． 解析：由s 2＝110(x 21＋x 22＋…＋x 210)－x 2，得33＝110×370－x 2，解得x ＝2. 答案：25．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差等于________．解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵x ＝5，∴s 2＝110[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝110×8×9＝365.∴s ＝655.答案：6556．甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则成绩的方差较小的为________.解析：x 甲＝15(98＋99＋105＋115＋118)＝107， x乙＝15(95＋106＋108＋112＋114)＝107. s 2甲＝15[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8.s2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44.∴成绩的方差较小的为乙．答案：乙7．一组数据的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是________．解析：由平均数与方差的性质知原来数据的平均数1.2＋80＝81.2.方差不变．答案：81.2,4.48．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________．解析：由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200 元、2 250 元、2 150 元，又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，乙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s1＞s3>s2.故填s1＞s3＞s2.答案：s1＞s3>s29．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．解：(1)画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数.从这个茎叶图中可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此，乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．(2)可求x甲＝33，x乙＝33，s甲≈3.96，s乙≈3.56，甲的中位数是33，乙的中位数是33.5，综合比较，乙参加比赛较合适．10．总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，求使该总体的方差最小时a，b的取值．解：∵数据共有10个，且总体的中位数为10.5，∴a＋b＝21，经计算，此时样本数据的平均数是10，∴使该总体的方差最小，则只要(a－10)2＋(b－10)2最小即可，而(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(a－11)2＝2a2－42a＋221，由二次函数的图象可知当a＝10.5时，该总体的方差最小，此时b＝10.5.。
2020年苏教版数学必修三(全套)课件 精品PPT(含492页)
问题 2：利用消元法求解此方程组． 提示：①＋②得 x＝32.③ 将③代入①得 y＝12，得方程组的解xy＝＝1232.， 问题 3：从问题 1、2 可以看出，解决一类问题的方 法唯一吗？ 提示：不唯一．
1．算法的概念 对一类问题的_机__械__的_、_统__一__的__求解方法称为算法． 2．算法的特征 (1)算法是指用一系列运算规则能在有__限__步__骤__内求解某 类问题，其中的每条规则必须是_明__确__定__义__的__、_可__行__的__． (2)算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一__个___确__定_ 的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示 _问__题__得__到__解__答_或_指__出__问__题__没__有__解__答__．
[一点通] 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： (1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
3．写出求两底半径分别为 1 和 4，高也为 4 的圆 台的侧面积、表面积及体积的算法． 解：算法步骤如下： 第一步 取 r1＝1，r2＝4，h＝4； 第二步 计算 l＝ r2－r12＋h2； 第三步 计算 S1＝πr21，S2＝πr22；S 侧＝π(r1＋r2)l； 第四步 计算 S 表＝S1＋S2＋S 侧； 第五步 计算 V＝13(S1＋ S1S2＋S2)h.
1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法， 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．
2．算法是机械的，有时要进行大量重复计算，只要按 部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学 机械化”，其最大优点是可以让计算机来完成．
3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可 能有不同的算法．
苏教版数学高中必修三教案
苏教版数学高中必修三教案1. 知识目标：理解并掌握数列的概念与分类，掌握等差数列和等比数列的性质和规律，能够进行相关计算和推导。
2. 能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，提高数学建模和计算能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和逻辑思维能力。
教学重点与难点：重点：数列的概念与分类，等差数列和等比数列的性质与规律。
难点：求解数列的通项公式，推导数列的求和公式。
教学准备：教师准备：课件、教案、练习册、板书工具等。
学生准备：课本、笔记、计算器等。
教学过程：一、导入新知识（5分钟）教师引入数列的概念，让学生思考日常生活中可以发现的数列，并谈论数列在现实中的应用。
引出等差数列和等比数列的定义，并介绍相关性质。
二、学习新知识（35分钟）1. 等差数列的性质和规律：教师讲解等差数列的定义及性质，引导学生理解等差数列的通项公式以及求和公式，同时通过例题演示，让学生掌握相关计算方法。
2. 等比数列的性质和规律：教师讲解等比数列的定义及性质，引导学生理解等比数列的通项公式以及求和公式，同时通过例题演示，让学生掌握相关计算方法。
三、课堂练习（15分钟）教师布置相关练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
四、课堂讨论（10分钟）教师与学生一起讨论课堂练习的答案，解析相关解题思路，引导学生发现并改正错误，提高学生解题能力。
五、作业布置与反馈（5分钟）教师布置相关作业题，让学生通过复习巩固所学知识，并在下节课上进行作业检查和讨论。
教学反思：通过今天的教学，学生对数列的概念和分类有了更深入的理解，掌握了等差数列和等比数列的性质和规律。
同时，学生在课堂上积极思考、互动讨论，提高了学习兴趣和思维能力。
在接下来的教学中，我将继续引导学生发现数学规律，培养他们解决问题的能力。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 1.3.3 条件语句》
根本算法语句---条件语句无锡市堰桥高级中学郭桂霞教材分析：本节课是苏教版必修3第一章第3节内容，学生具备一定的识别自然语言和流程图能力，已学习了流程图中条件结构内容，本节介绍的条件语句与流程图中的条件结构存在一一对应关系，能帮助学生理解条件语句的结构，并在算法的三种语言〔自然语言、流程图、伪代码〕之间相互转化.学情分析：学习了流程图，会识别条件结构，学会了输入语句、输出语句和赋值语句的根本用法，具备了一定的运用自然语言与流程图两种形式的算法，拥有一定的算法语言翻译能力.教学目标：1、通过实例使学生掌握条件语句的概念、表示方法、结构和用法.2、通过实例使学生能将自然语言整理成程序框图进而翻译成伪代码，表达转化的思想方法.3、使学生能初步运用条件语句设计算法、表达解决具体问题的过程.教学重、难点：条件语句的表示方法、结构和用法教学过程：一、复习导入某居民区的物管部门每月按以下方法收取卫生费：3人 和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超过1人加收1.2元.试设计一个算法，根据输入的人数计算应收取的卫生费. 自然语言：流程图：S1 输入；S2 如果 ，那么y ←5，否那么 y ←1.2(x －3)+5 S3 输出结束 输出yy ←5y ←1.2(x －3)+5开始输入xx YN问题1：流程图中输入，输出，可以用输入、输出语句Read ,Print 表示，中间的选择结构能用伪代码表示吗？〔设计意图：通过复习前面的内容，引出本节课题：条件语句〕问题2：输入伪代码中是Read，即读入数据；输出伪代码中是Print，即输出，打印出.条件结构是先根据条件作出判断，假设满足条件，执行Yes的分支；假设不满足，执行No分支，条件语句如何表示呢？〔设计意图：类比前面输入输出语句的学习，让学生尝试建立条件语句的形式，培养学生的类比能力〕二、知识建构：条件语句的一般格式：If-Then-Else格式If A Then A表示判断的条件B B表示满足条件时执行的操作内容ElseC C表示不满足条件时执行的操作内容End If End If 表示条件语句结束问题3：条件语句有哪些特点？〔设计意图：对概念进行剖析，理解〕剖析1：“语句B〞表示满足条件时执行的操作内容；“语句C〞表示不满足条件时执行的操作内容；End If表示条件语句的结束.剖析2：操作内容B,C要缩进去与条件A对齐.剖析3：Else要单独书写一行.剖析4：End If 表示条件语句结束，不能省略.问题3：你能写出上面算法的伪代码吗？ReadIf x≤3 Theny ←5Elsey ←1.2(x－3)+5End ifPrint〔设计意图：加深对知识的理解，让学生体会学有所用〕三、知识运用：例1：儿童坐火车时，假设身高不超过１．１m,那么无需购票，超过１．１m 但不超过１．４m可买半票，假设超过１．４m,应买全票，试设计一个购票的算法，写出伪代码．问题4：如何设计这个算法呢？设计这个算法需要准备哪些知识？〔设计意图：让学生根据已有的数学建模能力和今天的条件语句知识，自行设计算法，由学生说，教师黑板上板书.〕解：上述购票的算法步骤如下：S1 测量儿童身高h；S2 如果h≤1.1，那么免费乘车；否那么，如果h≤1.4，那么购置半票乘车；否那么，购置全票乘车.用条件语句表示如下：Read hIf h≤1.1m ThenPrint 免费乘车Else输出“半票乘车〞If h≤1.4m ThenPrint 半票乘车Else Print 全票乘车End If End if h1.1开始输入h输出“免费乘车〞h1.4441输出“半票乘车〞输出“全票乘车〞NY〔设计意图：师生共同分析得此题的算法步骤，熟悉条件语句的运用，感知条件语句If-Then-Else可以嵌套，强调书写的标准性.〕例2：函数试用伪代码写出根据输入的的值计算值的一个算法，并画出流程图.ReadIf x＞0 Theny ←1ElseIf x=0 Then y ← 0Elsey ← － 1 End if End if输出y结束x>0YN开始输入xy ←1X=0YNy ←0 y ←－1(设计意图：进一步熟悉条件语句的运用，分段函数都可以用条件语句来表示，通过函数值〔输出值〕是1还是-1来判断输入值是正数还是负数，表达算法的优越性.)变式：设计求的算法〔设计意图：通过具体例子让学生感受到条件语句If-Then-Else可以没有Else 分支.〕四、课堂练习：练习1:如下所示的算法过程,假设输入的x为7，那么输出的y为〔〕;假设输入的x为-1，那么输出的y为〔〕Read xIf x≤6 Theny←3x+2Elsey←x+6End IfPrint y练习2：以下算法的功能是什么〔〕Read xIf x ＜0 Theny ←－x(设计意图：熟悉条件语句表示的算法，加深对条件语句的理解)五、课堂小结由学生自己总结，从知识和方法两方面，缺乏的教师补充.1个知识点：条件语句的结构、特点、作用1个思想方法：转化思想1个注意点：条件语句嵌套格式〔设计意图：加强学生对已有的知识的理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，培养学生反思能力.〕六、作业：新学案P9-P10页七、板书设计用不等式〔组〕表示不等关系投影屏幕情景三的方法：情景四。
2019-2020学年数学苏教版必修3教学案：第1部分 第2章 2.3 总体特征数的估计 Word版含解析
2013年全国青年歌手电视大奖赛决赛中十位评委在第一轮决赛中给某选手打分是：9,9,8,9,10,9,8,10,9,9. 问题1：根据初中学过的知识，能计算得分的平均数吗？提示：能．x＝110(9＋9＋8＋9＋10＋9＋8＋10＋9＋9)＝9.问题2：想一想，还有其它计算平均分的方法吗？提示：有.x＝110(8×2＋9×6＋10×2)＝9.1．平均数的概念一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数(或均值)，一般记为：a＝a1＋a2＋…＋ann.2．平均数的计算(1)定义法：n个数据a1，a2，…，a n的平均数为：a＝a1＋a2＋…＋ann.(2)平均数公式：①在n个数据中，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，x k出现f k次(f1＋f2＋…＋f k＝n)，则这n个数的平均数为：x＝x1f1＋x2f2＋…＋xkfkn.②若取值为x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均数为x＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.2013年9月某军校大一新生军训期间，甲、乙两同学在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：问题1提示：x 甲＝8，x 乙＝8. 问题2：利用x甲和x 乙的大小关系能否判断两同学的射击水平的高低？提示：不能．因为x 甲＝x乙．问题3：观察比较上面表格中的两组数据，哪个同学的射击更稳定些？提示：甲各次的命中环数更靠近在命中的平均环数8附近，故甲的射击更稳定些． 问题4：除观察分析外是否有更准确的方法判断上述问题？ 提示：有．极差、方差、标准差：(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差． (2)方差与标准差：设一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，则称s 2＝1n i ＝1n(x i －x )2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝错误!为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．其中，标准差的单位与原始测量单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方．(3)方差及标准差的意义： 刻画一组数据的稳定程度．1．众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数、众数都不具有的性质．2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．[例1] 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：(1)(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到 30 000元，那么新的平均数又是什么(精确到元)(3)你认为平均数能否反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． [思路点拨]先求出平均数，再根据平均数的意义及影响平均数的因素作答．[精解详析](1)平均数是x ＝133(5 500＋5 000＋2×3 500＋3 000＋5×2 500＋3×2 000＋20×1 500)＝69 00033≈2 091(元)． (2)平均数x′＝133(30 000＋20 000＋2×3 500＋3 000＋5×2 500＋3×2 000＋20×1 500)＝108 50033≈3288(元)．(3)在这个问题中，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．[一点通]1．计算平均数时可直接套用公式计算．2．众数体现了样本数据的最大集中点，中位数是样本数据的“中心”，平均数则描述了数据的平均水平．1．一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)．则甲种树苗高度平均为________；乙种树苗的高度平均为________；甲、乙两种树苗高度平均为________．解析：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：14,20,21,23,24,30,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,11,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度平均为2349＝26，乙树苗高度平均为29810＝29.8，甲、乙两种树苗高度平均为119(234＋298)＝28.答案：26 29.8 282．某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：(1)求这15(2)假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由．解：(1)平均数为：x ＝1×1 800＋1×510＋3×250＋5×210＋3×150＋2×1201＋1＋3＋5＋3＋2＝320(件)．中位数为210件；众数为210件．(2)不合理．因为15人中有13人的销售额达不到320件，320虽是所给数据的平均数，它却不能反映营销人员的一般水平，销售额定为210件合适一些，因为210既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额.[例2] 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？[思路点拨] 计算均值与方差后，作出结论． [精解详析] (1)∵x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)， x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)． ∴x 甲<x 乙，即乙种玉米苗长得高．(2)s 2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144) ＝110×1 042＝104.2， s 2乙＝110[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312] ＝110×1 288＝128.8， ∴s 2甲<s 2乙，即甲种玉米苗长得齐．[一点通] 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差．它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离．3.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的方差为________．解析：该运动员6场的总得分为14＋17＋18＋18＋20＋21＝108，平均得分为1086＝18，方差＝16[(14－18)2＋(17－18)2＋(18－18)2＋(18－18)2＋(20－18)2＋(21－18)2]＝5.答案：54．对划艇运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27,38,30,37,35,31； 乙 33,29,38,34,28,36.根据以上数据，可以判断________更优秀．1 4 7 8 8 20 1解析：x 甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)．s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝946≈15.7(m 2/s 2)．x 乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)，s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝766≈12.7(m 2/s 2)∴x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙，说明甲乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，乙比甲更优秀． 答案：乙[例3] (12分)从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图，如图．试利用频率分布直方图估计： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)高三年级学生的平均成绩．[思路点拨] 由频率分布直方图读取数据后结合众数、中位数、平均数的含义作出分析． [精解详析](1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为75.(3分)由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中中位数左边和右边的频数应相等，即频率也相等，从而小矩形的面积和相等．因此，在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形的面积和为0.3， 而第四个小矩形的面积为0.03×10＝0.3， 且0.3＋0.3>0.5，∴中位数应位于第四个小矩形内．(6分)设中位数为x ，又第四个小矩形的高为0.03， 令0.03(x －70)＝0.2得x ≈76.7，故中位数为76.7. (8分)(2)样本平均数是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可．(10分)故平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×1 0)＝76.2. (12分)[一点通]利用频率分布直方图估计数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点．(2)中位数左右两边直方图的面积应相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．5．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：(2)①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？②从平均数和命中9环以上(含9环)的次数相结合看，谁的成绩好些？③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？解：(1)由题图可知甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环以上(含9环)的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环以上(含9环)的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．②甲、乙的平均数相同，甲命中9环以上(含9环)的次数比乙多，所以甲成绩较好．③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．6．一名射击运动员射击8次所中环数如下：9．9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7(1)求这8次射击的平均数x是多少？标准差是多少？(2)环数落在①x －s 与x ＋s 之间；②x －2s 与x ＋2s 之间的各有几次，所占百分比各是多少？ 解：(1)x ＝9.9＋10.3＋9.8＋10.1＋10.4＋10＋9.8＋9.78＝10(环)；s 2＝18[(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.8－10)2＋(10.1－10)2＋(10.4－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.7－10)2]＝18(0.01＋0.09＋…＋0.09)＝0.448＝0.055(环2) 所以s ＝0.055≈0.235(环)(2)①x －s ＝10－0.235＝9.765，x ＋s ＝10＋0.235＝10.235，在这两个数据之间的数有5个，占到58＝62.5%；②x －2s ＝10－0.235×2＝9.53，x ＋2s ＝10＋0.235×2＝10.47，在这两个数据之间的数有8个，占到100%.1．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，因此还要研究样本数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差)，标准差大说明样本数据分散性大，标准差小说明样本数据分散性小或者样本数据集中稳定．课下能力提升(十三)一、填空题1．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x 等于________． 解析：由于中间数有两个， 故x ＋232＝22，即x ＝21.答案：212．一组数据的方差是s 2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是________． 解析：s ′2＝错误! ＝错误!＝4s 2 答案：4s 23.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X 乙，则下列结论正确的有________．甲 乙 8 7 2 7 8 6 8 2 8 291 5①X 甲<X 乙，乙比甲成绩稳定 ②X 甲>X 乙，甲比乙成绩稳定 ③X 甲>X 乙，乙比甲成绩稳定 ④X 甲<X 乙，甲比乙成绩稳定解析：∵甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95， ∴X 甲＝78＋77＋72＋86＋925＝81，X 乙＝78＋82＋88＋91＋955＝86.8，∴X 甲<X 乙，从茎叶图上数据的分布情况看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定． 答案：①4．若样本x 1＋1，x 2＋1，…，x n ＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x 1＋2，x 2＋2，…，x n ＋2的平均数为________，方差为________．解析：∵错误!＝10，故x 1＋x 2＋…＋x n ＝10n －n ＝9n ， 故x 1＋x 2＋…＋x n ＋2n ＝11n ， ∴错误!＝11，s 21＝1n [(x 1＋1－10)2＋(x 2＋1－10)2＋…＋(x n ＋1－10)2]＝1n [(x 1－9)2＋(x 2－9)2＋…＋(x n －9)2]＝1n [(x 1＋2－11)2＋(x 2＋2－11)2＋…＋(x n ＋2－11)2]＝s 2.故所求的平均数为11，方差为2. 答案：11 25．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x 、y 、10、11、9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．解析：x ＝x ＋y ＋10＋11＋95＝10，可得x ＋y ＝20，①根据方差的计算公式s 2＝15[(x －10)2＋(y －10)2＋12＋12]＝2，可得x 2＋y 2－20(x ＋y )＋200＝8，② 由①②得|x －y |＝4. 答案：4 二、解答题6.一次选拔运动员的比赛中，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，测得平均身高为177 cm ，有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x .(1)求x ； (2)求方差s 2.解：(1)180＋181＋170＋173＋178＋179＋170＋x ＝177×7，即1231＋x ＝1239， ∴x ＝8.(2)s 2＝17(72＋42＋1＋1＋22＋32＋42)＝967.7．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货时间(单位：天)： 甲：10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙：8 10 14 7 10 11 10 8 15 12估计两个供货商的交货情况，并判断哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性．解：x 甲＝110(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1(天)s 2甲＝110[(10－10.1)2＋(9－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2＋(11－10.1)2＋(11－10.1)2＋(9－10.1)2＋(11－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2]＝0.49(天2)；x 乙＝110(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)＝10.5(天)，s 2乙＝110[(8－10.5)2＋(10－10.5)2＋(14－10.5)2＋(7－10.5)2＋(10－10.5)2＋(11－10.5)2＋(10－10.5)2＋(8－10.5)2＋(15－10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05(天2)．从交货时间的平均数来看，甲供货商的交货时间短一些；从交货时间的方差来看，甲供货商的交货时间较稳定，因此甲供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性．8．(安徽高17 0 3 x 8 9 180 1考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图.(1)次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值． 解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n . 由题意知30n＝0.05，解得n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56. (2)设甲、乙两校样本平均数分别为x′1，x′2. 根据样本茎叶图可知30(x′1－x′2)＝30x′1－30x′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此x′1－x′2＝0.5.故x1－x2的估计值为0.5分．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 2.3.2 方差与标准差》3
课题： 总体特征数的估计——方差与标准差江阴市成化高级中学 顾红华【教学目标】1．掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法；2．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用。
【教学重点】掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法．用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．【教学难点】理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．一、创设情景，揭示课题有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：g/mm 2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．提出问题：哪种钢筋的质量较好？1．平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小； 2．数据n a a a ，，， 21的平均数或均值，一般记为na a a a n⋯++=21__；3．若取值为n x x x x ，，，， 321的频率分别为n p p p ，，， 21，则其平均数为n n p x p x p x x +++= 2211．2．方差：一般地，设一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，其平均数为－x ，则称－ 212)(1x x n s ni i -=∑=为这个样本的方差．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．3．标准差：21)(1-=-=∑x x n s ni i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 4．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．四、数学运用例1 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表（单位：h ），试估计该 校学生的日平均睡眠时间．例2某单位年收入在10000到15000、15000到20210、20210到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，202125%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入．例3甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．例4为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．分析用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．五、归纳整理，整体认识1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（1）用样本平均数估计总体平均数．（2）用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.2.1 古典概型》40
古典概型教学目标：1、知识与技能目标⑴理解等可能事件的概念及概率计算公式；⑵能够准确计算等可能事件的概率。
2、过程与方法根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到等可能性事件的概念及其概率公式，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。
3、情感态度与价值观概率问题与实际生活联系紧密，学生通过概率知识的学习，可以更好的理解随机现象的本质，掌握随机现象的规律，科学地分析、解释生活中的一些现象，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。
教学重点、难点等可能事件的概念及等可能事件概率公式的简单应用。
教学过程一、温故知新，提出问题1上节课我们学习了随机事件及其概率，现在请大家思考下面两个问题：（1）从事件发生与否的角度可将事件分为哪几类？（2）什么是随机事件A的概率？考察三个试验：可能的结果分别有哪些？（1）抛掷一枚质地均匀的硬币的试验；（2）掷一颗质地均匀的骰子的试验（3）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，请同学现从中任意抽取一张。
二、构建新知：1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
2 等可能事件的基本特点：（1）（2）3古典概型的计算（1）若一个古典概型有n个基本事件，则每个基本事件发生的概率为多少？（2）若某个随机事件A 包含m 个基本事件，则事件A 发生的概率为多少？三．典型例题例1：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球。
试求：（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？例2：豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为D d ，若第二子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率。
（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时才显现矮茎。
苏教版高中数学必修三教学案：第3章 3.2 古典概型
甲、乙两人玩掷骰子游戏，他们约定：两颗骰子掷出去，如果朝上的两个数的和是5，那么甲获胜，如果朝上的两个数的和是7，那么乙获胜．问题1：若甲获胜，那么两颗骰子出现的点数有几种？ 提示：会出现(1，4)，(4，1)(2，3)，(3，2)四种可能． 问题2：若乙获胜，两颗骰子出现的点数又如何？提示：会出现(1，6)，(6，1)，(2，5，)，(5，2)，(3，4)，(4，3)六种可能． 问题3：这样的游戏公平吗？提示：由问题1、2知甲获胜的机会比乙获胜的机会少，不公平． 问题4：能否求出甲、乙两人获胜的概率？ 提示：可以．1．基本事件与等可能事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．古典概型 (1)古典概型的特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．(2)古典概型的定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型． (3)古典概型概率的计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A ) ＝m n．即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型，例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件有两个：“发芽”、“不发芽”，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故此试验不符合古典概型的等可能性．2．古典概型的概率公式P (A )＝m n 与事件A 发生的频率m n 有本质的区别，其中P (A )＝m n是一个定值，且对同一试验的同一事件m 、n 均为定值，而频率中的m 、n 均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P (A )．[例1] 将一颗骰子先后抛掷两次，求： (1)一共有几个基本事件？(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？[思路点拨] 求基本事件的个数可用列举法、列表法、树形图法． [精解详析] 法一：(列举法)：(1)用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数，则试验的所有结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共36个基本事件．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二：(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．(1)由图知，基本事件总数为36.(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．法三：(树形图法)：一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图直接表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用对勾标出)．[一点通]基本事件个数的计算方法有：(1)列举法：列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所含的基本事件．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．(2)列表法：对于试验结果不是太多的情况，可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．(3)树形图法：树形图法是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的求解．1．本例中条件变为“一枚硬币连续掷三次”，会有多少种不同结果？ 解：画树形图共8种．2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球． (1)共有多少种不同的结果(基本事件)? (2)摸出2个黑球有多少种不同结果？解：(1)共有6种不同结果，分别为{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，{白，黑1}，{白，黑2}，{白，黑3}．(2)从上面所有结果中可看出摸出2个黑球的结果有3种.[例2] (12分)同时投掷两个骰子，计算下列事件的概率：(1)事件A ：两个骰子点数相同；(2)事件B ：两个骰子点数之和为8；(3)事件C ：两个骰子点数之和为奇数．[思路点拨] 先判断这个试验是否为古典概型，然后用列举法求出所有基本事件总数及所求事件包含的基本事件的个数，最后用公式P (A )＝m n求结果．[精解详析] (1)将两个骰子标上记号A ，B ，将A ，B 骰子的点数记为(x ，y )，则共有36种等可能的结果．如下(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．⇨(3分)出现点数相同的结果有(1，1)(2，2)(3，3)(4，4)(5，5)(6，6)共6种． ∴P (A )＝636＝16.⇨(6分)(2)出现点数之和为8的结果有(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)共5种， ∴P (B )＝536.⇨(9分)(3)出现点数之和为奇数包括“x 是奇数、y 是偶数”和“x 是偶数、y 是奇数”，共有18种， ∴P (C )＝1836＝12.⇨(12分)[一点通]求古典概型概率的步骤：(1)用列举法求出基本事件总个数n .(2)用列举法求出事件A 包含的基本事件的个数m .(3)利用公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn求出事件A 的概率．3．先后从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________．解析：基本事件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共10种，所以所求概率为1016＝58.答案：584．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问： (1)两数之积是奇数的概率是多少？ (2)两数之积是3的倍数的概率是多少？解：每次抛出的点数都可能有1，2，3，4，5，6这6种结果，两次点数之积的不同结果如下表所示共有36种.1 2 3 4 5 6112345 6 224681012 3369121518 44812162024 551015202530 661218243036(1)设事件A表示“两数之积是奇数”，则事件A包含的不同结果的个数为9，所以P(A)＝936＝14.(2)设事件B表示“两数之积是3的倍数”，则事件B包含的不同结果的个数为20，所以P(B)＝2036＝59.1．解决古典概型问题的关键是：分清基本事件总数n与事件A所包含基本事件的个数m，注意问题：(1)试验基本结果是否有等可能性．(2)本试验的基本事件有多少个．(3)事件A包含哪些基本事件．只有弄清这三个方面的问题解题才不致于出错．2．求基本事件的个数有列举法、列表法和树形图法，一是注意按一定顺序，防止重复和遗漏；二是可先数一部分，找出规律，推测全部．课下能力提升(十六)一、填空题1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：本题中基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为23.答案：232．在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2}内取值的点中任取一个，此点正好在直线y ＝x 上的概率为________．解析：由x ，y ∈{0，1，2}，这样的点共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)9个，其中满足在直线y ＝x 上的点(x ，y )有(0，0)，(1，1)，(2，2)3个，所以所求概率为P ＝39＝13.答案：133．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．解析：随机选取的a ，b 组成实数对(a ，b )，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15种．其中b >a 的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，所以b >a 的概率为315＝15.答案：154．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求概率为34.答案：345．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：从3只白球、1只黑球中随机摸出两只小球，基本事件有(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(白1，黑)，(白2，黑)，(白3，黑)，其中颜色不同的有三种，故所求概率为P ＝12.答案：12二、解答题6．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，求两种品牌都齐全的概率．解：3台甲型电脑为1，2，3，2台乙型电脑为A ，B ，则所有基本事件为：(1，2)，(1，3)，(1，A )，(1，B )，(2，3)，(2，A )，(2，B )，(3，A )，(3，B )，(A ，B )，共10个. 记事件C 为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的事件为6个，所以P (C )＝610＝35.7．设集合P ＝{b ，1}，Q ＝{c ，1，2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2，3，4，5，6，7，8，9}． (1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解：(1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3，4，5，6，7，8，9；当b ＞2时，b ＝c ＝3，4，5，6，7，8，9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为：714＝12.(2)记“方程有实根”为事件A ，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ＝c ＝4，5，6，7，8，9共6种. 所以P (A )＝614＝37.8．对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A 企业来自辽宁省，B ，C 两家企业来自江苏省，D ，E ，F 三家企业来自山东省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的选法有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．所以，“在中标的企业中，至少有一家来自江苏省”的概率为915＝35.。
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-1 2-1-2 2-1-3系统抽样 分层抽样-含解析
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-1 2-1-2 2-1-3系统抽样 分层抽样-含解析．1.2 & 2.1.3 系统抽样 分层抽样[新知初探]1．系统抽样(1)系统抽样的概念将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样．(2)系统抽样的步骤假设从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，其步骤为：①采用随机的方式将总体中的N 个个体编号；②将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时取k ＝N ′n，并将剩下的总体重新编号； ③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；④按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出．(3)系统抽样的特征①系统抽样也称为“等距抽样”．②适用于总体容量较大的情况．③将总体分成几个部分，各部分必须是均衡的，间隔是相等的．④剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而系统抽样与简单随机抽样有密切联系．⑤它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN.2．分层抽样(1)分层抽样的概念当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几个部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法称为分层抽样，其中所分成的各个部分称为“层”．(2)分层抽样的步骤：①将总体按一定标准进行分层；②计算各层的个体数与总体的个体数的比；③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．(3)分层抽样的特征：总体由差异比较明显的几个部分组成．3．三种抽样方法的比较[小试身手]1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是________．①都是从总体中逐个抽取．②将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取．③抽样过程中每个个体被抽到的可能性是相等的．④将总体分成几层，然后分层按比例抽取．答案：③2．采用系统抽样的方法，从个体数为1 004的总体中抽取一个容量为50的样本，则在抽样过程中，抽样间隔为________．答案：203．某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．40答案：[典例]某工厂有工人1 003名，现从中抽取100人进行体检，试写出抽样方案．[解]样本容量为100，总体容量为1 003，不能被100整除，因此需要剔除3个个体，＝10，利用系统抽样即可．然后确定抽样间隔为1 000100第一步，编号，将1 003名工人编号，号码为0001,0002，…，1 003.第二步，利用随机数表法抽取3个号码，将对应编号的工人剔除．第三步，将剩余的1 000名工人重新编号，号码为0001,0002，…，1 000.＝10，将总体分成100段，每段10名工人．第四步，确定分段间隔k＝1 000100第五步，在第1段中，利用抽签法或者随机数表法抽取一个号码m.第六步，利用抽样间隔，将m，m＋10，m＋20，…，m＋990共100个号码抽出．第七步，将与号码对应的工人抽出，组成样本．[活学活用]1．高三某班有学生56人，学生编号依次为1,2,3，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6,34,48的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为56/4＝14，所以样本编号应为6,20,34,48.答案：202．从某厂生产的883辆同一型号的家用轿车中随机抽取40辆测试某项性能．现在用系统抽样的方法进行抽样，请写出抽样过程．解：采用系统抽样法的步骤如下：第一步，将883辆轿车随机编号：001,002， (883)第二步，用随机数表法从总体中随机抽取3个编号，剔除这3个个体，将剩下的880个个体重新随机编号，分别为001,002，…，880，并分成40段，每段22个编号； 第三步，在第一段001,002，…，022中用简单随机抽样法随机抽取一个个体编号作为起始号(例如008)；第四步，把起始号依次加上22，即可获得抽取的样本的个体编号(例如008,030，…，866)；第五步，由以上编号的个体即可组成抽取的样本.[典例] 一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，请用分层抽样的方法抽取样本，并写出过程．[解] 分层抽样中的抽样比为20160＝18. 由112×18＝14,16×18＝2,32×18＝4，可得业务人员、管理人员、后勤服务人员应分别抽取分层抽样的应14人，2人和4人．确定样本的组成部分之后，下面进行层内抽样，用系统抽样法完成．若将112名业务人员依次编号为1,2,3，...，112，管理人员编号为113,114， (128)后勤服务人员编号为129,130，…，160.在1～112号业务人员中第一部分的个体编号为1～8中随机抽取一个号码．如它是4号，那么可以从4号起，按系统抽样法每隔8个号码抽取1个号码，这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.同样可抽出管理人员和后勤服务人员的号码分别为116,124和132,140,148,156.将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．[活学活用]1．某地区的高中分三类，A类学校共有学生4 000人，B类学校共有学生2 000人，C 类学校共有学生3 000人．现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类学校抽取的试卷份数应为________份．解析：试卷份数应为900×4 0004 000＋2 000＋3 000＝400(份)．答案：4002．某政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．解：由于机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样的方法为妥．∵10020＝5，105＝2，705＝14，205＝4，∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． 由于副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用签法分别抽取2人和4分；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人.[典例] 在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？(1)从8台彩电中抽取2台进行质量检验．(2)一个礼堂有32排座位，每排有40个座位(座位号为1～40)，一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下32名听众进行座谈．(3)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．[解] (1)总体容量为8，样本容量为2，因此选择抽签法进行样本的抽取．(2)总体容量为32×40＝1 280，样本容量为32.由于座位数已经分为32排，因此用系统抽样更合适．(3)总体由差异明显的四部分组成，因此可采用分层抽样方法．[活学活用]在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为 样本．方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00,01，…，99，用抽签法抽取 20个；方法二：采用系统抽样的方法，将所有零件分为20组，每组5个，然后从每组中随机抽取1个；方法三：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法中正确的有________．①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的可能性都是15抽样方法的选取②采用上述三种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的可能性各不相同③在上述三种抽样方法中，方法三抽到的样本比方法一和方法二抽到的样本更能反映总体的特征④在上述三种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一和方法三抽到的样本更能反映总体的特征解析：根据三种抽样方法的定义可知，三种方法都是等可能抽样．对于明显分层的总体，方法三抽到的样本更能准确地反映总体特征，故①③正确．答案：①③层级一 学业水平达标1．下列抽样是系统抽样的是________．(填序号)①从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i 0，以后i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入样；②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5 min 抽一件产品进行检验；③搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止；④电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相同)座位号为14的观众留下座谈． 答案：①②④2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是________．解析：为等距抽样，即为系统抽样．答案：系统抽样3．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为________．解析：分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n ，由题意得，n 120＝2790，解得n ＝36. 答案：364．在学生人数比例为2∶3∶5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________.解析：由22＋3＋5＝6n，得n ＝30. 答案：305．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2.(1)若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？(2)若从青年职工中抽取120人，试求所抽取的样本容量．解：(1)由于中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理．按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为：510×400＝200，310×400＝120，210×400＝80， 因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人、120人、80人．(2)由题设可知青年职工共有310×3 200＝960人． 设抽取的样本容量为n ，则有n 3 200×960＝120.∴n ＝400， 因此所抽取的样本容量为400.层级二 应试能力达标1．从2 016个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________．解析：先从2 016个个体中剔除16个，则分段间隔为2 00020＝100. 答案：1002．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为________．解析：由题意系统抽样的组距为20，则15＋39×20＝795，故第40个号码为0795.答案：07953．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取________人．解析：由题意，全校参加跑步的人数占总人数的34，高三年级参加跑步的总人数为34×2 000×310＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取110×450＝45(人)． 答案：454．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是________．解析：了解学生的健康情况，男、女生抽取比例应该相同，因此应用分层抽样法．由题意，25500＝20400， ∴本题采用的抽样方法是分层抽样法．答案：分层抽样5．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度．其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人．按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学，1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学．那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多________人．解析：本班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度的人数比例为5∶1∶3，可设三种态度的人数分别是5x ，x,3x ，则3x －x ＝12，∴x ＝6.即人数分别为30,6,18.∴30－30＋6＋182＝3.故结果是3人． 答案：36．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：m ＋k ＝6＋7＝13，由规定知抽取号码的个位数字为3，第7组中号码的十位数字为6.所以抽取号码为63.答案：637．一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、丙二条生产线抽取的个体数和为乙生产线抽取的个体数的两倍，则乙生产线生产了________件产品．解析：甲、乙、丙抽取的个体数为x ，y ，z ，由题意x ＋z ＝2y ，即乙占总体的13，故乙生产线生产了16 800×13＝5 600. 答案：5 6008．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C 产品的数量是______件．解析：设C 产品的数量为x ，则A 产品的数量为1 700－x ，C 产品的样本容量为a ，则A 产品的样本容量为10＋a ，由分层抽样的定义可知1 700－x a ＋10＝x a ＝1 300130，解得x ＝800. 答案：8009．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样过程，阅读并回答问题． 本村人口：1 200人，户数：300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；抽样间隔：1 20030＝40； 确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编码为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，编号为52的户为第二样本户；……(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)说明抽样过程中存在哪些问题，并修改．(3)抽样过程中何处应用了简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对该村各户收入情况进行抽样而不是对该村个人收入情况抽样，故抽样间隔11 / 11应为30030＝10. 其他步骤相应改为：确定随机数字：任取一张人民币，编号的最后一位为2；确定第一样本户：编号为002的户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，编号为012号的户为第二样本户；……(3)在确定随机数字时，应用的是简单随机抽样，即任取一张人民币，记下编号的最后一位．10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36， 抽取的工程师人数为n 36·6＝n 6， 技术员人数为n 36·12＝n 3， 技工人数为n 36·18＝n 2， 所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.2.1 古典概型》60
§第3课时古典概型1江苏省仪征中学杨娟教学目标（1）理解基本事件、等可能事件等概念；（2）正确理解古典概型的两大特点：有限性、等可能性；（3）掌握古典概型的概率计算公式，会用枚举法求解简单的古典概型问题。
教学重点、难点古典概型的特征和用枚举法解决古典概型的概率问题．教学过程一、问题情境1．引入：我们知道现实世界中的事件大多是随机事件，而在过去，人们通过对随机事件的大量重复试验的结果进行理性探究，发现随机事件也不是毫无规律可循。
研究这些规律，终于促使概率论的诞生。
复习随机事件概率的统计定义。
2．情境：（1）抛1枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率有多大？（2）有红心1，2，3和黑桃4，5这五张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取1张，抽到的牌为红心的概率有多大？展示历史上的掷硬币的实验次数，指出：大量重复试验的工作量大，不仅试验数据不够准确，而且有时候试验带来一定的破坏性．3．问题：有更好的解决方法吗？二、学生活动问题1：上述试验中所有可能出现的基本结果有哪些？问题2：上述试验中每个基本结果发生的可能性是否都一样？追问：为什么等可能？（质地均匀、任意抽取）问题3：根据以上分析，你能求出上述随机事件的概率吗？（学生自主探究）三、建构数学1．介绍基本事件的概念，等可能基本事件的概念；问题4：上述试验的基本事件有什么共同特点？（有限性、等可能性）2 总结归纳得出古典概型的定义，并介绍历史背景；问题5：古典概型的概率如何计算？你能从刚才两个问题的解决过程中探究出出计算公式吗？3．学生合作讨论，得出古典概型的概率公式：()=A m P A n包含的基本事件的个数基本事件的总数． 四、概念辨析1．抢答题（设置抢答功能，激发学生的学习兴趣）下列试验中的结果是否是等可能的？（1）有红心1、2、3和黑桃5、5这五张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取1张，出现的结果为红心1、红心2、红心3、黑桃5（2）将1枚质地均匀的硬币抛掷2次，出现的结果为正正、反反、一正一反2当堂测试（根据统计数据确定学生对古典概型概念的掌握情况，有重点地讲解）判断下列随机试验的数学模型，是否为古典概型？（1）从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率（2）从区间 [1,10] 内任意取出一个实数，求取到实数2的概率（3）向正方形ABCD 所在平面投一点m ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是 2 一个密码箱的密码由5个数字组成，5个数字都可任意设定为0～9中的任何一个数字，假设某人已经设定了5位密码（1）若此人忘记了密码的所有数字，则他一次就能把锁打开的概率是（2）若此人只记得密码的前4位数字，则他一次就能把锁打开的概率是3 从长度分别为3，4，5，7的四条线段中任取三条，能围成三角形的概率是 4从1，2，3，4，5这5个数字中任取2个数字，（1）2个数字都是奇数的概率为_________；（2）2个数字之和是偶数的概率为_______。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.3.1 几何概型》0
几何概型教案设计（防城港市实验高级中学上官雪华）一、教学目标1、知识与技能：①体会几何概型的意义；②了解几何概型的特点和概率计算公式。
2、过程与方法：①让学生感受生活中的数学，通过对几个实例的探究，让学生经历概念数学化的过程；②以问题为载体，让学生参与并成为探索问题的主体，让学生在讨论中明知，在辩论中解惑，在思考中提升。
3、情感态度价值观：体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。
二、教学重点、难点1、重点：掌握几何概型的判断及其概率的计算公式。
2、难点：①理解几何概型的特征，把实际问题转化为用几何概型解决的概率问题（建模）。
②不同测度几何概型问题，在概率公式应用上把握几何概型的区域和测度。
三、教学课时与手段1、教学课时：1课时2、教学手段：多媒体教学四、教学基本流程复习引入→问题猜想→概念形成→对比迁移→思维拓展→课堂小结→知识应用→挑战高考→分层作业五、教学过程一、知识回顾古典概型：1、特点2、计算公式复习题：在区间[0，10]上任意取一个整数，则不大于3的概率为：二、问题猜想探究一：剪彩剪出的数学问题为庆祝防城港市天和百货的正式建成，商家进行了隆重的剪彩仪式，一根长为30cm的彩带，拉直后在任意位置剪断，记“只剪一次，剪得两段的长不小于10cm”为事件A，那么事件A的概率是多少？（提示：可将彩带平均分为三段，找出符合题中的区域）问题1：试验中任意位置剪断彩带会有多少种情况发生？（无限性）问题2：这些情况的发生是等可能的吗？（等可能性）问题3：如何去计算事件A的概率？强调：（等可能性无限性成比例）探究二：飞镖掷出的数学问题某飞镖盘由两个半径分别为5cm和10cm的同心圆组成，现向圆盘投掷飞镖，假设飞镖都能射中圆盘，且射中圆盘上每一个点都是等可能的，记“射中红色区域”为事件A，那么事件A的概率是多少？（强调：等可能性无限性成比例）探究三：取水取出的数学问题有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出升，记“小杯水中含有这个微生物”为事件A，那么事件A的概率是多少？（强调：等可能性无限性成比例）三、概念形成从三个探究的过程，思考以下问题：1、从基本事件的角度出发，这类概率问题的特点是什么？【等可能性、无限性】2、以上两个事件中，事件A的概率与构成事件A的区域长度（面积）有何关系？【成比例】3、这类概率问题的计算方法是什么？【归纳三个测度】师生互动过程：教师组织学生讨论，然后给出结论。
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[推荐]2020年苏教版高中数学必修三(全册)精品教学案汇总第1章算法初步1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程．提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ,③把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组． 提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12, 得方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法．[例1]下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的, 不能存在歧义④算法执行后一定能产生确定的结果其中, 不正确的有________．[思路点拨]利用算法特征对各个表述逐一判断, 然后解答．[精解详析]由算法的不唯一性, 知①不正确；由算法的有穷性, 知②正确；由算法的确定性, 知③和④正确．[答案]①[一点通]1．针对这个类型的问题, 正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京, 再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1, 高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3, －5)两点连线的方程, 可先求MN 的斜率, 再利用点斜式方程求得 解析：算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值, 能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的, 并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0, 求l 1, l 2, y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1, l 2的交点坐标, 再求l 1, l 2与y 轴的交点的纵坐标, 即得到三角形的底；最后求三角形的高, 根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1, l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12, 从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3, 得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法, 通常按以下步骤： (1)认真分析问题, 找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4, 高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1, r 2＝4, h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21, S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π, 求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝43πR 3；第四步 输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝43π(S 4π)3； 第三步 输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费, 计算方法是：3人或3人以下的住房, 每月收取5元；超过3人的住户, 每超出1人加收1.2元．设计一个算法, 根据输入的人数, 计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人, 根据题意, 应收取的卫生费y 是x 的分段函数, 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步 输入人数x ；(6分)第二步 如果x ≤3, 则y ＝5, 如果x >3, 则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题, 应当首先建立过程模型, 根据模型, 完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立, 则y ＝2x , 否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4, 则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ,求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a , b , 设计一个求该三角形周长的算法． 解：算法如下：第一步 计算斜边c ＝a 2＋b 2； 第二步 计算周长l ＝a ＋b ＋c ； 第三步 输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．在具体设计算法时, 要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括, 它要借助一般问题的解决方法, 又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤, 有些步骤是重复执行的, 但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．(3)要使算法尽量简单, 步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________； 第二步__________________________________________________________________． 答案：第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2, 得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89, 数学成绩为96, 外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步 令A ＝89, B ＝96, C ＝99； 第二步 计算总分S ＝________； 第三步 计算平均分M ＝________； 第四步 输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和, 平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时, 计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时, 输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立, 故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0, y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0, 求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0, y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A , B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________． 解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18, 必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18, 则执行第三步, 否则返回第一步 二、解答题6．写出求a , b , c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a , b 的大小, 当a >b 时, 令“最小值”为b ；否则, 令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小, 当“最小值”大于c 时, 令“最小值”为c ；否则, “最小值”不变；第三步 “最小值”就是a , b , c 中的最小值, 输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85， ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量, 如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 解：算法步骤如下：第一步 输入行李的重量ω； 第二步 如果ω≤50, 那么c ＝0.53ω； 如果ω>50, 那么c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85； 第三步 输出运费c .8．下面给出一个问题的算法： 第一步 输入a ；第二步 若a ≥4, 则执行第三步, 否则执行第四步； 第三步 输出2a －1； 第四步 输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当输入a 等于多少时, 输出的值最小？ 解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时, f (x )＝2x －1≥7,当x <4时, f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时, f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时, 输出的值最小．第1章 算 法 初 步1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A 报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程． 提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ,③把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组．提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12, 得方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法．[例1]下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的, 不能存在歧义④算法执行后一定能产生确定的结果其中, 不正确的有________．[思路点拨] 利用算法特征对各个表述逐一判断, 然后解答． [精解详析] 由算法的不唯一性, 知①不正确； 由算法的有穷性, 知②正确； 由算法的确定性, 知③和④正确． [答案] ① [一点通]1．针对这个类型的问题, 正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京, 再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1, 高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3, －5)两点连线的方程, 可先求MN 的斜率, 再利用点斜式方程求得 解析：算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值, 能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的, 并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0, 求l 1, l 2, y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1, l 2的交点坐标, 再求l 1, l 2与y 轴的交点的纵坐标, 即得到三角形的底；最后求三角形的高, 根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1, l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12, 从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3, 得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法, 通常按以下步骤： (1)认真分析问题, 找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4, 高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1, r 2＝4, h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21, S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π, 求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝43πR 3；第四步 输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝43π(S 4π)3； 第三步 输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费, 计算方法是：3人或3人以下的住房, 每月收取5元；超过3人的住户, 每超出1人加收1.2元．设计一个算法, 根据输入的人数, 计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人, 根据题意, 应收取的卫生费y 是x 的分段函数, 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步 输入人数x ；(6分)第二步 如果x ≤3, 则y ＝5, 如果x >3, 则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题, 应当首先建立过程模型, 根据模型, 完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立, 则y ＝2x , 否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4, 则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ,求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a , b , 设计一个求该三角形周长的算法． 解：算法如下：第一步 计算斜边c ＝a 2＋b 2； 第二步 计算周长l ＝a ＋b ＋c ； 第三步 输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．在具体设计算法时, 要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括, 它要借助一般问题的解决方法, 又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤, 有些步骤是重复执行的, 但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．(3)要使算法尽量简单, 步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________； 第二步__________________________________________________________________． 答案：第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2, 得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89, 数学成绩为96, 外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步 令A ＝89, B ＝96, C ＝99； 第二步 计算总分S ＝________； 第三步 计算平均分M ＝________； 第四步 输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和, 平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时, 计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时, 输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立, 故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0, y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0, 求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0, y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A , B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________． 解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18, 必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18, 则执行第三步, 否则返回第一步 二、解答题6．写出求a , b , c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a , b 的大小, 当a >b 时, 令“最小值”为b ；否则, 令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小, 当“最小值”大于c 时, 令“最小值”为c ；否则, “最小值”不变；第三步 “最小值”就是a , b , c 中的最小值, 输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85， ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量, 如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 解：算法步骤如下：第一步 输入行李的重量ω； 第二步 如果ω≤50, 那么c ＝0.53ω； 如果ω>50, 那么c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85； 第三步 输出运费c .8．下面给出一个问题的算法： 第一步 输入a ；第二步 若a ≥4, 则执行第三步, 否则执行第四步； 第三步 输出2a －1； 第四步 输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当输入a 等于多少时, 输出的值最小？ 解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时, f (x )＝2x －1≥7,当x <4时, f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时, f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时, 输出的值最小．第1章 算 法 初 步1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A 报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程． 提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ,③把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组．提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12, 得方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法．[例1]下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的, 不能存在歧义④算法执行后一定能产生确定的结果其中, 不正确的有________．[思路点拨] 利用算法特征对各个表述逐一判断, 然后解答． [精解详析] 由算法的不唯一性, 知①不正确； 由算法的有穷性, 知②正确； 由算法的确定性, 知③和④正确． [答案] ① [一点通]1．针对这个类型的问题, 正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京, 再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1, 高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3, －5)两点连线的方程, 可先求MN 的斜率, 再利用点斜式方程求得 解析：算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值, 能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的, 并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0, 求l 1, l 2, y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1, l 2的交点坐标, 再求l 1, l 2与y 轴的交点的纵坐标, 即得到三角形的底；最后求三角形的高, 根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1, l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12, 从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3, 得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法, 通常按以下步骤： (1)认真分析问题, 找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4, 高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1, r 2＝4, h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21, S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π, 求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝43πR 3；第四步 输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝43π(S 4π)3； 第三步 输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费, 计算方法是：3人或3人以下的住房, 每月收取5元；超过3人的住户, 每超出1人加收1.2元．设计一个算法, 根据输入的人数, 计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人, 根据题意, 应收取的卫生费y 是x 的分段函数, 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步 输入人数x ；(6分)第二步 如果x ≤3, 则y ＝5, 如果x >3, 则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题, 应当首先建立过程模型, 根据模型, 完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立, 则y ＝2x , 否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4, 则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ,求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a , b , 设计一个求该三角形周长的算法． 解：算法如下：第一步 计算斜边c ＝a 2＋b 2； 第二步 计算周长l ＝a ＋b ＋c ； 第三步 输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．在具体设计算法时, 要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括, 它要借助一般问题的解决方法, 又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤, 有些步骤是重复执行的, 但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．(3)要使算法尽量简单, 步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________； 第二步__________________________________________________________________． 答案：第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2, 得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89, 数学成绩为96, 外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步 令A ＝89, B ＝96, C ＝99； 第二步 计算总分S ＝________； 第三步 计算平均分M ＝________； 第四步 输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和, 平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时, 计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时, 输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立, 故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0, y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0, 求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0, y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A , B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________． 解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18, 必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18, 则执行第三步, 否则返回第一步 二、解答题6．写出求a , b , c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a , b 的大小, 当a >b 时, 令“最小值”为b ；否则, 令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小, 当“最小值”大于c 时, 令“最小值”为c ；否则, “最小值”不变；第三步 “最小值”就是a , b , c 中的最小值, 输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85， ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量, 如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 解：算法步骤如下：。