第三节正交变换法化二次型为标准型
6.3 用正交变换化二次型为标准型
2 B 0 0
0
0 1 1 . 1 1
8
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 例 设方阵 A 为正交阵，且 | A| 1，试证 A + I 不可逆。 六 证 A I A A AT A ( I AT ) 章 二 次 型
A ( I T AT ) A ( I A)T A ( A I )T ,
则 P 为正交阵，且
T X1 P 1 A P P T A P T A ( X 1 P1 ) P 1
14
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 证明 (1) 设 l 是 A 的特征值, 则存在 X 0 使得 A X l X , 六 (a) X T AX l X T X , 章 其中 X 是 X 的共轭。 二 对上式两端取共轭转置，并利用 A T A 得 次 型 (b) X T AX l X T X , 从而有 l X T X l X T X , 即得
从而 X C Y 为正交变换。 12
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 三、正交变换 六 T 章 目标 求正交矩阵 P，即 P P I , 使得 二 次 型
f (X )
X PY
2 2 2 Y T ( P T AP )Y d1 y1 d 2 y2 d n yn ,
d1 d2 . 或 P T A P P 1 A P Λ dn
P178 定理 6.6
l1 l2 . C T AC C 1 AC ln
17
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 证明 (数学归纳法) 对于 1 阶实对称矩阵，性质显然成立。 六 假设性质对于 n 1 阶成立， 需证对于 n 阶也成立 。 章 (1) 设 A 的某特征值 l 1对应的单位特征向量为 X1 , 二 将 X1 扩充为 Rn 中的标准正交向量组 X 1 , 2 , 3 , , n , 次 型 记为 令 P ( X1 2 3 n ) ( X1 P1 ) ,
用正交变换化二次型为标准形PPT学习教案
个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为 X＝PY； (5) 所求二次型的标准形为
f 1y12 2 y22 n yn2.
第1页/共12页 下页
例1. 用正交变换化下列二次型为标准形．
f (x1, x2, x3) 3x12 6x22 3x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3
求a及正交变换矩阵P．
0 1 -1 000
00 0
得 (4EA)Xo的一般解为 x20x1 x3
其基础解系为
2 (1, 0, 0)T 3 (0, 1, 1)T
将2 ,3正交化标准化得
2 (1, 0, 0)T
3 (0,
1, 2
1 )T 2
所求的正交矩阵为
0 1 0
P
(1,
2
,
3
)
1
2 1
对于λ1=2 ，解方程组 (2E-A)X=0
得基础解系
1 (0, 1, 1)T
第5页/共12页 下页
例2. 已知二次型 f (x1, x2, x3) 4x12 3x22 3x32 2ax2x3 (a 0) 通过正交变换X=PY化为标准形 f 2y12 4y22 4y32 ,
求a及正交变换矩阵P．
1 A b
1
b a 1
1 1 1
0
,
0
0
0 1 0
0
0
4
由已知条件得
P1AP PT AP
即
(b 1)2
0
a 2 5
解得
a 3 b 1
由A相似于对角阵Λ，得Ａ的 特征值为 λ1=0，λ2=1,λ3=4．
线性代数课件-用正交变换化二次型为标准化
1 1 T , ) , 2 2
20 (1, 0, 0)T ,
30 (0,
1 1 T , ) . 2 2
故所求的正交变换矩阵为 0 Q=
1 2 1 2
1 0
0
1 2
且
1Leabharlann 021 0 0 Q 1AQ = 0 2 0 . 0 0 5
从而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T 及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.
上一页
对于 3 = 9,
8 2 2 A E 2 5 4 2 4 5 2 4 5 0 9 9 , 0 0 0
1 2
2
1 2
0
1 2
例4
2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 5x12 5x2 cx3 2x1 x2 6x1 x3 6x2 x3 的秩为 2,
(1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2) 指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何种二次曲面.
对应于 对应于 对应于 特征值 特征值 特征值 1 2 5
定理 5
任意一个 n 元实二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX aij xi x j ,
T
n
n
都存在正交变换 X = QY 使得
i 1 j 1
2 2 X T AX 1 y12 2 y 2 n y n ,
第三节 用正交变换化二次型为标准化
一、实对称方阵的对角化
定理1 实对称方阵的特征值都是实数 .
上一页
例1
正交变换法和配方法化二次型标准形(hfuu)
正交变换法和配方法化二次型标准形1配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=nn n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。
对()n y y y g ,,,32 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止.情形2: 如果二次型()n x x x f ,,,21 不含平方项，及011=a ()n i ,,2,1 =,但含某一个0≠ij a ()j i ≠，则可先作非退化线性替换()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==-=+=j i k n k y x y y x y y x kk j i j ji i ,;,,2,1把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形.例1.1：用配方法化二次型()321,,x x x f =233222312121222x x x x x x x x x --+++为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：先对1x 配方消去所有含有1x 的项21x ，21x x ，31x x ：()321,,x x x f =21x +()1322x x x ++22x -322x x -23x=()2321x x x ++-()232x x ++22x -322x x -23x=()2321x x x ++-324x x -232x再对3x 配方消去所有含3x 的项23x ；32x x ：()321,,x x x f =()2321x x x ++-()322322x x x +=()2321x x x ++-()2223222x x x ++作线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=233223211x y x x y x x x y把二次型化为标准形 ()321,,x x x f =23222122y y y +-注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为()⎪⎩⎪⎨⎧+==++=32322321122x x y x y x x x y 或 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=3232231122222222yy x y x y y x则二次型化得标准形是()321,,x x x f =232221y y y -+例1.2：用配方法化二次型()321,,x x x f =212x x +312x x -326x x 为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x则 ()321,,x x x f =()()21212y y y y -++()212y y +3y -()216y y -3y=323122218422y y y y y y +-- 先对1y 配方，()321,,x x x f =()312122y y y --222y +328y y=()2312y y --222y +328y y -232y再对2y 配方，()321,,x x x f =()2312y y --()322242y y y --232y=()2312y y --()23222y y -+236y作线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333223112yz y y z y y z把二次型化为标准形：()321,,x x x f =232221622z z z +-2正交变换法化二次型标准形正交变换法化二次型标准形的一般步骤：(1)写出A 的特征方程0=-A E λ,求出A 的全部特征值.(2)对于各个不同的特征值λ，求出齐次线性方程组()0=-x A E λ的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化. (3)把上述求得的n 个两两正交的单位特征向量作为矩阵T 的列向量，TY X =就是使二次型AX X '化为标准形2222211n n y y y λλλ+++ 的正交变换.例2.1：用正交变换化二次型()321,,x x x f =213x +233x +214x x +318x x +324x x为标准形，并求所作的正交变换.解: 二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=324202423A , 求出A 的特征值:由 A E -λ=32422423--------λλλ =()()0812=-+λλ 得特征值 121-==λλ，83=λ其次，求属于-1的特征向量 把1-=λ代入()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-=---03240220423321321321x x x x x x x x x λλλ （1） 求得基础解系 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)1,0,1()0,1,21(21αα把它正交化，得 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=-==)1,52,54(,,)0,1,21(11122211βββααβαβ 再单位化，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==)455,452,454()0,52,51(222111ββηββη再求属于8的特征向量，把8=λ代入（1），求得基础解系 )2,1,2(3=α 把它单位化得 )32,31,32(3=η 于是正交矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32455031452523245451T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=811'AT T 作非退化线性替换TY X =,二次型的标准形为()321,,x x x f =2322218y y y --3 两种方法的比较例3.1：用可逆线性变换化下列二次型为标准形.()321,,x x x f =133221x x x x x x ++解：方法1) 用配方法作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x()321,,x x x f =()()2121y y y y -++()21y y -3y +()21y y +3y=3122212y y y y +-=()2322231y y y y --+令 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311yz y z y y z则二次型的标准形为()321,,x x x f =232221z z z --方法2) 用正交变换法二次型的矩阵 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛021212102121210 由 A E -λ=λλλ212121212121------=2)21)(1(+-λλ得特征值 2121-==λλ 13=λ，把21-=λ代入⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--021210212102121321321321x x x x x x x x x λλλ （1）求得基础解系 ⎩⎨⎧-=-=)1,0,1()0,1,1(21αα正交化，得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-==)1,21,21(,,)0,1,1(11122211βββααβαβ 再单位化，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==)62,61,61()0,21,21(222111ββηββη把1=λ代入（1），求得基础解系 )1,1,1(3=α把它单位化得 )31,31,31(3=η令()321,,ηηη=T ,则T 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21000210001'AT T 作非退化线性替换TY X =,二次型的标准形为()321,,x x x f =2322212121y y y --。
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线性代数之化二次型为标准形的方法总结
线性代数考研中的两道大题是线性方程组，二次型和相似轮流来的。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
二次型的标准型：
二次型的标准型
化二次型为标准型：
化二次型为标准型
用正交变换化二次型为标准型的解题步骤为：（1）把二次型表示成矩阵形式；
（2）求矩阵A的特征值及对应的特征向量；（3）对重根对应的特征向量作施密特正交化；（4）全体特征向量单位化；
（5）将正交单位特征向量合并成正交矩阵；（6）令x=Qy。
题型一：化二次型为标准型
例1：用正交变换把如下二次型化为标准型：
解题思路：按照上面用正交变换化二次型为标准型的方法来求解。
解：
总结：用正交变换把二次型化为标准型的题型是考研必考的大题，所以同学们一定要熟练掌握。
二次型化为标准型.
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
得
2 2 2 f 2 z1 2z2 6z3 .
Page 15
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
其中1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值 .
Page 3
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
Page 12
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
C
1 0.
Page 13
例3 化二次型
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;
2 2 f 1 y1 n yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
Page 4
例1 将二次型
2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
Page 8
二、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
线性代数-利用正交变换化实二次型为标准型
方法：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
即存在可逆矩阵 P , 使得 2
P 1 AP
4
A PP 1
2n
A 3E PP1 3PEP1 P( 3E)P1
P 3E P1 3E
23 43
(1) 1 3
(2n 3)
2n 3
例：设 n 阶方阵 A有 n 个互异的特征值， n 阶方阵 B 与A 有相同的特征值。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例：已知方阵 A 的特征值是 1 0,2 1,3 3,
1 1 1
相应的特征向量是
1
1 1
,2
0 1
,3
2 1
,
求矩阵 A. 书p113 习题4.2 第6题
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。 因为 A有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP
A100 P100 P 1
1 1
5 1
2
0
0 100 1 2
2
3
1
5 1
1 1
5 (1)100
2
0
0 1 2
2100
3
1
5 1
1
3
2 5 2100 2 2101
5 5 2100
5 2101
3. 求行列式
例：设 A 是 n 阶方阵，2,4, ,2n 是A 的 n个特征值， 计算 A 3E .
1 1 1
0
其中
P
1 1
0 1
2 1
,
1
3
,
求得
二次型化为标准型PPT课件
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
Page 17
2024/10/16
18
3．将特征向量正交化
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
Page 6
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次 型,有
n
定理1 任给二次型 f aij xi x j aij a ji , 总有 i, j1
正交变换x Py, 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1, 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
xk yk
k 1,2,,n且k i, j
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
Page 11
例2 化二次型
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 为标 准形, 并求 所用的 变换矩 阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
化二次型为标准型的方法总结
化二次型为标准型的方法总结
线性代数考研中的两道大题是线性方程组，二次型和相似轮流来的。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
用正交变换化二次型为标准型的解题步骤为：
（1）把二次型表示成矩阵形式；
（2）求矩阵A的特征值及对应的特征向量；
（3）对重根对应的特征向量作施密特正交化；
（4）全体特征向量单位化；
（5）将正交单位特征向量合并成正交矩阵；
（6）令x=Qy。
正交变换和配方法正交变换：求出A的所有特征值和特征向量将特征向量单位正交化由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化，二次型就化为标准型了配方法：就按照完全平方公式配方。
但结果不一定能正交（保持图形不变）。
二次型化成标准型的方法是正交变换和配方法正交变换，二次型（quadratic form）是指n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多
项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。
在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
将二次型化为标准型有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称矩阵合同的简单形等等。
另外，化标准形也是解析几何化简二次曲线和二次曲面的需要。
正交变换法化二次型为标准型例题
正交变换法化二次型为标准型例题正交变换是线性代数中一个重要概念，它可以帮助我们将一个复杂的二次型化简为标准型，从而更好地理解和分析问题。
在本文中，我们将以正交变换法化二次型为标准型为主题，深入探讨其原理、方法和应用，并提供一个具体的例题来帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 正交变换的概念和原理正交变换是指一个线性变换，在这个线性变换下，原来的向量空间中保持内积不变。
简单来说，就是变换后的向量之间的夹角保持不变。
在实际应用中，我们通常使用正交矩阵来进行正交变换，因为正交矩阵的行向量（或列向量）是两两正交彼此且模为1的向量。
2. 正交变换法化二次型为标准型的方法对于一个二次型矩阵A，我们可以通过正交变换将其化为标准型。
简单来说，就是存在一个正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。
这样做的好处在于，通过正交变换，我们可以将原来复杂的二次型化为易于分析和理解的标准型，从而更好地研究其性质和特点。
3. 一个具体的例题：将二次型矩阵化为标准型假设我们有一个二次型矩阵A，如下所示：A = [[3, 0, 0],[0, 2, -1],[0, -1, 2]]现在我们希望通过正交变换将其化为标准型。
我们可以按照以下步骤进行操作：（1）求出A的特征值和特征向量。
（2）将特征向量组成正交矩阵P。
（3）计算P^TAP，得到标准型矩阵。
通过具体的计算，我们可以得到最终的标准型矩阵B，如下所示：B = [[3, 0, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 3]]4. 总结和回顾通过以上例题，我们深入探讨了正交变换法化二次型为标准型的方法，从而更好地理解了这一概念和原理。
通过正交变换，我们可以将原来复杂的二次型化为标准型，更好地研究其性质和特点。
这对于线性代数和数学分析领域的学习和研究具有重要意义。
5. 个人观点和理解我个人认为，正交变换法化二次型为标准型是线性代数中一个重要且实用的技巧。
通过正交变换，我们可以将复杂的二次型化简为简单的标准型，从而更好地理解和分析问题。
5_3用正交变换化二次型为标准形
例3. 已知二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + ax 22 + x32 + 2bx1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x 2 x3
通过正交变换X=PY化为标准形 f = y2 + 4 y3 ，求a , b的值
2 2
及正交变换矩阵P． 把ξ１单位化，得对应于λ1=0 的单位特征向量 对应于λ３=４的单位特征向量为
2 x1 3 1 x2 = x 3 3 2 3 2 2 0 − 2 2 2 6 y 1 2 2 − y2 3 2 y3 6
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例2. 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x12 + 3x22 + 3x32 + 2ax2 x3 (a > 0) 2 2 f = 2 y12 + 4 y2 + 4 y3 , 通过正交变换X=PY化为标准形
第三节 用正交变换化二次型为标准形
一、正交变换 二、利用正交变换化二次型为标准形
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一、 正交变换
定义1 定义 阶正交矩阵， 、 是 中的n维向量 设P为n阶正交矩阵，X、Y是 R n中的 维向量， 为 阶正交矩阵 上的正交变换. 称线性变换 X＝PY 是R n上的正交变换 ＝ 性质： ）正交变换是可逆线性变换； 性质： 1）正交变换是可逆线性变换； （ （2）正交变换不改变向量的内积. ）正交变换不改变向量的内积. 定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 定理 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵 的 ri 重特征值
第三节 用正交变换化二次型
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 说明：本节所提到的对称矩阵， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 明，均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数. 定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 设复数λ为对称矩阵A的特征值 , 复向量X为
取正交矩阵P2
1 0 P2 = 0 Q 1
0 1 0 0 1 0 λ1 0 Q = 0 QT B 0 Q Bk −1 1 k −1 1 1
1
1 0 λ1 P BP2 = 0 QT 0 1
0 −2 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
2−λ
( 第二步 由 A− λi E)X = 0, 求出A的特征向量 对 λ1 = 4,由( A − 4 E )X = 0, 得
第三节 用正交变换化二次型 为标准型
对于二次型，我们讨论的主要问题是： 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． x1 = c11 y1 + c12 y 2 + L + c1n y n , x = c y + c y + L+ c y , 21 1 22 2 2n n 设 2 LLLLLLLLLLLLL x n = c n1 y1 + c n 2 y 2 + L + c nn y n
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
化二次型为标准形的方法 - 扬州大学
−3 λ+2
得到 A 特征值为： λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 ， λ 4 = −3 ； ⑶求特征值 λ = 1 所对应的特征向量： ① 解 ( I − A) X = 0 ，以求三个线性无关的特征向量，运用矩阵的初等行变
⎡ 1 −1 −1 1 ⎤ ⎡1 − 1 − 1 1 ⎤ ⎢− 1 1 ⎢0 0 1 − 1⎥ 0 0⎥ ⎥⎯ ⎥， ( I − A) = ⎢ ⎯→ ⎢ 换， ⎢− 1 1 ⎢0 0 1 − 1⎥ 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0⎦ ⎣ 1 −1 −1 1 ⎦ ⎣0 0 x1 − x 2 − x3 + x 4 = 0 ， x1 = ~ x2 + ~ x3 − ~ x4 ， 得到同解方程组
③ 再使它们单位化：
α 1 1 [1 1 0 0] T = ⎡ β1 = 1 = ⎢ α1 2 ⎣ 2 1 2 ⎤ 0 0⎥ ⎦
T
α β2 = 2 = α2
2 3
⎡1 ⎢2 ⎣
⎡ 1 ⎢− 3 ⎣
⎡ 1 1 ⎤ − 1 0⎥ = ⎢ 2 ⎦ ⎣ 6
1 3
T ⎡ 1 1 ⎤ 1⎥ = ⎢− 3 ⎦ ⎣ 2 3
T
α1 = [0 0 1] ；
② λ2 = 1
⎡1 − 1 0 ⎤ ⎡ 1 − 1 0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ λ 2 I − A = ⎢ − 1 1 0⎥ → ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ， ⎢ ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0⎥ ⎦ ⎣0
T
∴
α 2 = [1 1 0] ；
③ λ 3 = −1
⎡1 1 0⎤ ⎡− 1 − 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ λ 3 I − A = ⎢− 1 − 1 0 ⎥ → ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ， ⎢ ⎢ 0 − 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0 ⎥ ⎦ ⎣0
第三节正交变换法化二次型为标准型
例2：用正交变换化二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2 x3 2x2 x4 2x3x4
•
为标准形，并求相应的正交变换.
注：此种类型需要先写出二次型矩阵.
补充知识
(1) 矩阵等价. 设A,B为同型矩阵，若A• 经过有限次初等变 换可以化为B,则称A与B等价. 判别方法：A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).
(E A) X 0的基础解系恰有k个解向量，
亦即：r(E A) n k,从而对应特征值
恰有 k 个线性无关的特征向量.
对比复习：第五章
定理6：设0是n阶矩阵A的k重特征值， 则A的对应于0的特征子空间的维数
不超过重数k.
由定理1和定理2可得:n阶对称矩阵A一定有
n个线性无关的实特征向量，从而它必相似
2(1 a)x1x2的秩为2. • (1)求a. (2)求正交变换X QY , 把二次型化为标准二次型.
3 求f x1, x2 , x3 =0的解.
谢谢观赏
T
1
1 X1 T AX1 •T
T T
1
T
A,
1
于是 1 X T1 X 2 X T1 AX 2 2 X T1 X 2
(1 2 ) X1T X 2 0 , 1 2 ,
故：X1T X 2 0, 即二者正交.
由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，
可得以下定理4：
定理4 对n阶对称矩阵• A，一定存在
于对角矩阵.
•
现须说明，一定存有A的n个特征向量组成
的标准正交组，为简化计算，先看下面的
定理：
定理3 设 1和2是对称矩阵A的互异特征根，
X1和X 2分别A的属于它们的特征向量，则
2--正交变化法化二次型为标准型
1 1 1 1 1 ,2 2 ,3 3 . 3 3 3
2 1 2 1 于是所求正交变换的矩阵为 Q 1 2 2 , 3 2 1 2
2 2 令 X QY，则二次型化为标准形 y12 4 y2 2 y3 .
练 习
用正交变换法将二次型
y 2 y n y .
2 1 1 2 2 2 n
1 , 1 , , n为 f 的矩阵 A的特征值。 n
正交变换法将二次型化为标准形的一般步骤：
(i) 写出二次型的矩阵 A；
(ii ) 求出A的所有相异的特征值1, 2 , , m ; (iii) 对每一个重特征值i，求出对应的ri 个线性无关的特征向量
0 2 2 3 5 4 3 5 5 3 5 1 3 2 . 3 2 3
2 2 令 X QY，则二次型化为标准形 2y12 2 y2 7 y3 .
正交变换法将二次型化为标准形的一般步骤：
(i) 写出二次型的矩阵 A；
(ii ) 求出A的所有相异的特征值1, 2 , , m ; (iii) 对每一个重特征值i，求出对应的ri 个线性无关的特征向量
i
(v) 将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵 Q，则Q即为所求的正交方阵。此时 Q 1 AQ QT AQ 为对角阵。
(vi) 作正交变换 X QY , 即可将二次型化为标准形
f X T AX (QY )T A(QY ) Y T (QT AQ)Y Y T Y .
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 2 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤(精)
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
C
1 0.
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成标准形, 并求所用的变换矩阵. 解 由于所给二次型中无平方项，所以 x1 y1 y 2 x1 1 1 0 y1 令 x 2 y1 y 2 , 即 x 2 1 1 0 y 2 x y x 0 0 1 y 3 3 3 3
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
i 令 i , i 1,2,3, i
得
1 1 2 2
2 5 2 45 3 3 , 2 1 5 , 3 4 45 . 0 5 45 3
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
得
2 2 2 f 2 z1 2z2 6z3 .
所用变换矩阵为
从而得特征值 1 9, 2 3 18. 2．求特征向量 将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系 1 (1 2,1,1)T . 将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 2 ( 2,1,0)T , 3 ( 2,0,1)T . 3．将特征向量正交化 2 , 3 2, 取 1 1, 2 2 , 3 3 2 , 2 得正交向量组 T T , ( 2,1,0) , 1 (1 2,1,1) 2 T . ( 2 5 , 4 5 , 1 ) 3
正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法化二次型为标准型技巧正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法是一种有效的数学方法，它可以将一般形式的二次型变换为标准型。
通常，将一般形式的二次型变换为标准型，有助于求解二次型问题。
怎样将一般形式的二次型变换为标准型呢？将正交变换法化二次型为标准型的
技巧可以概括为两个步骤：第一步是要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型；第二步是要把这一标准型变换过程中的参数化为正交变换的取值。
具体而言，要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型，首先要取f(x, y) = ax + by + c为原来型式中参数系数，把x', y'取为标准型形式中系数，把r, a, b取为原来型式中系数，把A, B, C取为标准型形式中的系数，这样原来的不
规则二次型就被转变成标准型。
然后，我们可以把此标准型变换之后的参数量化为正交变换系数，即：A = ax + by + c, B = ay - bx + c, C = -(ax - by + c), D = -axy + bx^2 + cx。
通
过将原来的不规则二次型参数转换成正交变换参数，就可以把任意二次型变换为标准型。
经过上述两步，正交变换法可以有效地将一般形式的二次型变换为标准型形式，其精准性和有效性在求解二次型问题上非常有用。
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例 1： 设 对 称 矩 阵
4 2 2
A
2
4
2
2 2 4
求 一 个 正 交 矩 阵 C， 使 得 C T AC 为
对 角 矩 阵 ， 并 写 出 此 矩 阵.
注： (1)求出特征值后，正交对角化后的 矩阵已经确定;
(2)每次只需对同一特征值的特征向量正交 化即可.
正 交 矩 阵 C ,使 得 ：
1
C T AC C 1AC 2. Nhomakorabean
对角线元素是矩阵A的全部特征值.
定理5 任一个n元实二次型f XTAX, 一定存在正换X CY(C1 C),把该 二次型化为标准形：
f YTBY 1y12+2y22 ...nyn2.
二次项系数是矩阵A的全部特征值.
利用正交矩阵将对称矩阵对角 化的方法
由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只 要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定 有n个特征向量组成的标准正交组,则问题 就可以得到完全解决. 定理1 n阶对称矩阵的特征值必为实数.
定理1的意义
由于对称矩A的 阵特征值 i为实数 ,所以齐次
线性方程组
(Ai E)x0 是实系数方程 ,由组 Ai E 0知必有实的基础
(3)每一特征值的特征向量正交化后，单位化， 构成正交矩阵，特征向量与特征值要位置一致.
(4)正交矩阵不唯一，依赖于基础解系参数的选择.
例 2： 用 正 交 变 换 化 二 次 型 f 2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4 为 标 准 形 ， 并 求 相 应 的 正 交 变 换 .
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向
量单位化；(4)最后正交化．
思考题
设 n 阶实对 A 满A 称 2 足 A ,矩 且 A 的 阵 秩 r,
试求d行 e 2E t 列 A 的 式 . 值
A的特征值：r个1，n-r个0
作业：
1：设二次型
f x1, x2, x3 ax12 2x22 2x32 2bx1x3(b 0)
系,从 而 对 应 的 特 征 向以量取可实 向. 量
证明：
设 复 为数 对 A 的 称特 矩 ,复 征 阵 x 向 为 值 量
对应的 , 特征向量
即A x ,x 0 .
用 表示 的 共轭复数 ,
x表x示 的 共轭复向量 ,
则 AxAx A x x x .
于是有 xT Ax xTAx xTx xTx,
特别的：A与B均为n阶对称矩阵，由 于对称矩阵都可对角化，故只要A与 B相同，则A相似与B.
(3) 矩阵合同.
实对称矩阵，转置
判别方法：A与B均为n阶实对称矩阵，则A与B
合同的充要条件是：矩阵A与B的正负特征值个
数相同.
A：-2，1，2
练习1：设
B：1，1，-1
0 0 2
1
B A0 1 0，B 1 ，则( )
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1求 矩 阵 A 的 特 征 值 , 2 求 特 征 值 的 特 征 向 量 , 3 将 属 于 同 一 特 征 值 的 特 征 向 量 正 交 化 , 4单 位 化 特 征 向 量 ,
5单 位 化 的 向 量 为 列 ， 构 造 正 交 矩 阵 ；
T
1
1X1TA X1T
T 1
T
T
A,
1
于是 1 X T 1 X 2 X T 1 A X 22X T 1 X 2
(12)X 1 TX 20 , 12,
故 ： X 1 TX 2 0 ,即 二 者 正 交 .
由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，
可得以下定理4：
定 理 4 对 n阶 对 称 矩 阵 A， 一 定 存 在
2 0 0
1
A相似但不合同 B合同但不相似
C相似且合同 D不合同也不相似
练习2：设
1
1
C
A
0
，B
1
，则( )
0
0
1
0
A相似但不合同 B合同但不相似
C相似且合同 D不合同也不相似
E A E B 2 ( 1 )2 0
三、小结
1. 对称矩阵的性质：
(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值．
3求f x1, x2, x3 =0的解.
其中矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为,? 12， (1)求a,b. (2)求正交变换X QY,使得二次型经过该 正交变换化为标准二次型.
2 ： 设 二 次 型 f x1, x2 , x3 X T A X 经 过
正 交 变 换 X QY化 为 标 准 形
f
y
2 1
3
y
2 2
b
y
2 3
,
其
注：此种类型需要先写出二次型矩阵.
补充知识
(1) 矩阵等价.
设A,B为同型矩阵，若A经过有限次初等变 换可以化为B,则称A与B等价. 判别方法：A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).
(2) 矩阵相似. 方阵，逆
判别方法：A与B均为n阶矩阵，若A与B的特征 值相同且都可以相似对角化，则A相似与B.
中
正
交
矩
阵
1
3
k12
k13
Q
=
1 3
k 22
k
23
,
又
A
9， 求 矩 阵 A.
1 3
k 32
k
33
3：已知二次型
f x1, x2, x3 (1 a)x12 (1 a)x22 2x32
2(1 a)x1x2的秩为2. (1)求a. (2)求正交变换X QY,把二次型化为标准二次型.
定 理 3 设1和 2是 对 称 矩 阵 A的 互 异 特 征 根 ，
X1和 X2分 别 A的 属 于 它 们 的 特 征 向 量 ， 则
X1与 X2正 交 .
证 明 ： 1 X 1 A X 1 ,2 X 2 A X 2 ,1 2 ,
A 对 ,A 称 A T ,
X X A X 1
(E A)X 0的基础解系恰有k个解向量， 亦即：r(E A) n k,从而对应特征值 恰有 k 个线性无关的特征向量.
对比复习：第五章
定理6：设0是n阶矩阵A的k重特征值， 则A的对应于0的特征子空间的维数
不超过重数k.
由定理1和定理2可得:n阶对称矩阵A一定有 n个线性无关的实特征向量，从而它必相似 于对角矩阵. 现须说明，一定存有A的n个特征向量组成 的标准正交组，为简化计算，先看下面的 定理：
及 xTAxxTA Tx AxTx xTxxTx.
两式相减，得
x T x 0 .
但因x 为 0,
所x 以 T x nx ix i nx i2 0 , 0 ,
i 1
i 1
即, 由此可 是得 实 . 数
定理2 设 A为 n阶对称矩阵, 是A 的k重特征根,则矩阵A的对应于的特征
子空间的维数恰等于k,即齐次线性方程组：