千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第97炼 不等式选讲

第97炼 不等式选讲
一、基础知识：
（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >⇔<
（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）
注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+
（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,n
n
a b a b n n N >>⇒>≥∈
（6
）)02,a b n n N >>>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤
（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式
（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12
111n n
n
H a a a =
+
++
②
几何平均数：n G = ③ 代数平均数：12n
n a a a A n
++
+=
④ 平方平均数：2n
n a Q +
+=
（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===
（3）三项均值不等式：
①
a b c ++≥ 222
3a b c abc ++≥
② 3
3a b c abc ++⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
③
a b c ++≤4、柯西不等式：(
)()()2
22
2222
12121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++
+
等号成立条件当且仅当
12
12
n
n
a a a
b b b ===
或120n b b b ====
（1）二元柯西不等式：(
)()()2
22
2
2a b
c d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =
（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：
()
()()2
2
2
22
2
121122n n n b b b a b a b a b +++
+≥
±+±+
+±
② ()2
22
2
1
21212
12n n
n n
a a a a a a
b b b b b b +++++
+≥++
+
()()22
2
2
12121212n
n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++
++++≥+++ ⎪⎝⎭
②式体现的是当各项2
2
212,,
,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，
刚好是均值不等式的一个补充。

③ ()2
121212
1122n n n n n
a a a a a
a
b b b a b a b a b +++++
+≥+++ 5、排序不等式：设1212,n n a a a b b b ≤≤
≤≤≤
≤为两组实数，12,,
,n c c c 是
12,,,n b b b 的任一排列，则有： 121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -++
+≤++
+≤++
+
即“反序和≤乱序和≤顺序和” （二）不等式选讲的考察内容：
1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立
2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”
3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节） 二、典型例题：
例1：若不等式131x x m +++≥-恒成立，则m 的取值范围为________． 思路：本题为恒成立问题，可知()
min
113
m x x -≤+++，所以只需求出13
x x +++的最小值即可，一种思路可以构造函数()13f x x x =+++，通过对绝对值里的符号进
行分类讨论得到分段函数：()24,12
,3124,3x x f x x x x +≥-⎧⎪
=-≤<-⎨⎪--<-⎩
，进而得到()min 2f x =，另一种思路可以想到绝对值不等式：()()13132x x x x +++≥+-+=，进而直接得到最小值，所以12m -≤，从而13m -≤≤ 答案：13m -≤≤
例2：若存在实数x 使得24210x x a a ++-+-=成立，求实数a 的取值范围 思路：本题可从方程有根出发，得到关于a 的不等式，从而解出a 的范围 解：依题意可知二次方程2
4210x x a a ++-+-=有解
()164210a a ∴∆=--+-≥
即214a a -+-≤
当2a ≥时，72342a a -≤⇒≤
72,2a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
当12a ≤<时，21414a a -+-≤⇒≤恒成立 [)1,2a ∴∈ 当1a <时，12142a a a -+-≤⇒≥-
1,12a ⎡⎫
∴∈-⎪⎢⎣⎭
综上所述，可得17,22
a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
例3：已知函数()()20f x x x a a =+-> （1）当1a =时，解不等式()4f x ≤
（2）若不等式()4f x ≥对一切x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围
（1）思路：所解不等式为214x x +-≤，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式 解：（1）当1x ≥时， ()2142x x x +-≤⇒≤ []1,2x ∴∈ 当01x ≤<时，()2142x x x +-≤⇒≥- [)0,1x ∴∈ 当0x <时，()2
2143
x x x -+-≤⇒≥- 2,03
x ⎡⎫∴∈-⎪⎢⎣⎭
综上所述：不等式的解集为2,23
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
（2）思路：若不等式()4f x ≥恒成立，可知只需()min 4f x ≥即可，()f x 含绝对值，从
而可通过分类讨论将其变为分段函数()[)[)()
32,,2,0,23,,0x a x a f x a x x a a x x -∈+∞⎧⎪
=-∈⎨⎪
-∈-∞⎩，通过分析函数性质即
可得到()()min f x f a a ==，所以4a ≥ 解：
()4f x ≥恒成立
()min 4f x ∴≥
考虑()[)[)()
32,,22,0,23,,0x a x a f x x x a a x x a a x x -∈+∞⎧⎪
=+-=-∈⎨⎪
-∈-∞⎩
()f x ∴在(),a -∞单调递减，在(),a +∞单调递增 ()()min f x f a a ∴== 4a ∴≥
例4：已知,,a b c 都是正数,且236a b c ++=,
+
思路一：已知23a b c ++为常数，从所求入手，发现被开方数的和为()233a b c +++也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数≤平方平均数”，进而求得最大值
解：
3
+
≤
=
+≤=
等号成立当且仅当
2
12131
1
236
2
3
a
a b c
b
a b c
c
⎧
⎪=
+=+=+
⎧⎪
⇒=
⎨⎨
++=
⎩⎪
⎪=
⎩
思路二：
由所求可联
想到柯西不等
式（活用1）
：
(22
=111
+
+⋅
，从而可得
：(
()
2222
222
111111⎡⎤
+≤
+++
+
⎢⎥
⎣⎦即(()
2
111323327
a b c
+
≤++
+=，所
以可知++≤
小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数≤平方平均数”。

证明的过程如下：()()2
222222
1212
1
111111
n n
n
a a a a a a
⎛⎫
+++⋅+++≥⋅+⋅++⋅
⎪
⎝⎭
个
()()
2222
1212
n n
a a a n a a a
∴+++≤+++
()
222
1212
n n
a a a n a a a
∴+++≤+++
2
12
n
n
a
a a a
++
⇔+++≤
222
1212
n n
a a a a a a
n n
++++++
⇔≤
例5：已知,,
a b c是实数，且2221
a b c
++=，则22
a b c
++的最大值是__________
思路：考虑将22
a b c
++向222
a b c
++进行靠拢，由柯西不等式可知
()
()()2
222222ax by cz a b c x y z ++≤++++，对照条件可知令2,1,2x b z ===即可，
所以()(
)()2
2
2
2
2
22222
129a b c a b c
++≤++++=，则223a b c ++≤
答案：3
小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。

首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。

例6：已知实数,,,a b c d 满足2
2
2
2
3,2365a b c d a b c d +++=+++=，则a 的取值范围是____________
思路：本题的核心元素为a ，若要求a 的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于,,b c d 的不等关系，考虑到2
2
2
2
3,2365b c d a b c d a ++=-++=-，联想到柯西不
等
式
()()
22
22
12
121212
n
n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫+
+++++≥+++ ⎪⎝⎭
，则有
()()22
22111236235b
c d b c d ⎛⎫
++++≥++ ⎪
⎝⎭
，代入可得
：()2253a a -≥-
解得：
[]1,2a ∈
=
=
在1,2a a ==时均有解。

答案：[]1,2a ∈
例7：已知,,a b c 均为正数，求证：2
222111a b c a b c ⎛⎫
+++
++≥ ⎪⎝⎭
,,a b c 为
何值时，等号成立
思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中
,
a b
互为倒数时，
a b +≥，右侧为一个常
数。

222a b c +
+
≥111a b c ++≥，从而将左侧的项均转化为与abc 相关的项，然后再利用基本不等式即可得到最小值 解：由均值不等式可得：222a b c ++≥
111a b c ++≥
2
111a b c ⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭
2
222111a b c a b c ⎛⎫
∴+++++≥+ ⎪⎝⎭
2≥=等号成立条件：a b c == 例8：已知0,0a b >> （1）若2a b +=，求
14
11a b
+
++的最小值 （2）求证：()22
2
2
1a b a b ab a b ++≥++
（1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与2a b +=找到联系，从而想到柯西不
等式的变式：()2
22
2
1
212
12
12n n
n n
a a a a a a
b b b b b b +++++
+≥++
+，从而()2
1214
3111a b a b
++≥=++++
解：22
14121111a b a b
+=+++++ 由柯西不等式可得：()2
22
12141211111a b a b a b
++=+≥
++++++ 2a b += 14311a b
∴
+≥++ （2）所证不等式等价于：22
2
2
2
2
a b a b a b ab ab ++≥++，观察左右的项可发现对左边任
意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即：22222222
22222a b a a b a b b ab a b ab ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩
，三式相加即完
成证明
证明：由均值不等式可得：22222222
22222a b a a b a b b ab a b ab ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩
∴三式相加：()()
22222222a b a b a b ab ab ++≥++
即()22
2
2
2
2
1a b a b a b ab ab ab a b ++≥++=++
小炼有话说：对于求倒数和（即12,,,n a a a 为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可
供使用：
()2
22
2
1212
1212n n
n n
a a a a a a
b b b b b b ++++++≥++
+和
()2
1212
12
1122n n n n n
a a a a a a
b b b a b a b a b ++++++≥
+++，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。

例9：设,,a b c R +
∈，求证：()
3
a b c
a b c
a b c abc ++≥
思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。

则所证不等式等价于()()3ln 3ln 3ln ln ln ln a a b b c c a b c a b c ++≥++++，化简后可得：
2ln 2ln 2ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b a c b a b c c b c a ++≥+++++①，所证不等式为
轮换对称式，则不妨给,,a b c 定序，即0a b c ≥≥>，则ln ln ln a b c ≥≥，由①的特点想到排序不等式，则ln ln ln a a b b c c ++为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b b c c a
a a
b b
c c b a c b a c
++≥++⎧⎨++≥++⎩，两式相加即可完成
证明。

证明：
,,a b c R +∈
∴ 将所证不等式两边同取对数可得：
()
()
()3
ln ln ln ln ln ln 3
a b c a b c
a b c a b c abc a a b b c c a b c ++++≥⇔++≥
++
()()3ln 3ln 3ln ln ln ln a a b b c c a b c a b c ⇔++≥++++
3ln 3ln 3ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a a a b a c b a b b b c c a c b c c ⇔++≥++++++++2ln 2ln 2ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b a c b a b c c b c a ⇔++≥+++++
所证不等式为轮换对称式
∴不妨设0a b c ≥≥>
ln ln ln a b c ∴≥≥
ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b b c c a a a b b c c b a c b a c ++≥++⎧∴⎨
++≥++⎩①
②
+①②可得：2ln 2ln 2ln ln ln ln ln ln ln a a b b c c a b a c b a b c c b c a ++≥+++++
即证明不等式()
3
a b c a b c
a b c abc ++≥
小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有
,,a b c 的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即
0a b c ≥≥>，从而能够使用排序不等式。

例10：设正数,,x y z 满足221x y z ++= （1）求3xy yz zx ++的最大值
（2）证明：
311125
11126
xy yz zx ++≥+++
（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由221x y z ++=得
()21x y z +=-，则()13332
z
xy yz zx xy z x y xy z -++=++=+⋅
，下面考虑将xy 进行转化，向x y + 靠拢，利用基本不等式()
2
4
x y xy +≤
进行放缩，可得：
()()()2
2
11313342442
z z z z xy yz zx x y z ---++≤++⋅=⋅+
，再求关于z 的表达式的最大值即可。

解：
221x y z ++=
()21x y z ∴+=-
()()13332
z z xy yz zx xy z x y xy -∴++=++=+
()
()
2
2
14
16
x y z xy +-≤
=
()
()2
2
115111
3316
2
16555
z z z xy yz zx z --⎛⎫∴++≤⋅
+
=--+≤ ⎪⎝⎭
3xy yz zx ∴++的最大值为15，此时1155221
x y z x y z x y z =⎧⎪⎪
=⇒===⎨⎪
++=⎪⎩
（2）思路：由（1）可知3xy yz zx ++的最大值为
1
5
，且所证不等式的左边分母含有,,xy yz zx 项，所以考虑向3xy yz zx ++的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：
()2
1212
12
1122n n
n n n
a a a a a a
b b b a b a b a b ++++++≥
+++，可得： 31125
11153xy yz zx xy yz zx
++≥++++++，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可
证明不等式
解：由柯西不等式可得：
()()2
31131125
111311153xy yz zx xy yz zx xy yz zx
++++≥=+++++++++++
由（1）知135
xy yz zx ++≤
3112525125
=
1111532655
xy yz zx xy yz zx ∴
++≥≥+++++++ 等号成立条件：1
5x y z ===
三、历年好题精选
1、设()11,f x x x x R =++-∈ （1）求证：()2f x ≥ （2）若不等式()211b b
f x b
+--≥
对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围
2、（2014吉林九校联考二模，24）已知关于x 的不等式()110ax ax a a -+-≥> （1）当1a =时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．
3、（2015，福建）已知0,0,0a b c >>>，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4 （1）求a b c ++的值
（2）求
2221149
a b c ++的最小值 4、（2015，新课标II ）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：
（1）若ab cd >>
（2+>+是a b c d -<-的充要条件
5、（2015，陕西）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}|24x x <<
（1）求实数,a b 的值
（2+的最大值
6、已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a
（1）求a 的值
（2）若,,p q r 是正实数，且满足p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥
7、（2014，江西）对任意的,x y R ∈，111x x y y -++-++的最小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8、（2014，浙江）（1）解不等式：2213x x --+>
（2）设正数,,a b c 满足abc a b c =++，求证：4936ab bc ac ++≥，并给出等号成立条件
9、（2016，苏州高三调研）设函数()()10f x x x a a a
=+
+-> （1）证明：()2f x ≥
（2）若()35f <，求实数a 的取值范围
习题答案：
1、解析：（1）()()()11112f x x x x x =++-≥+--=
（2）恒成立不等式为：211111121b b
x x b b b
+--++-≥=+-- max
111121x x b b ⎛⎫++-≥+-- ⎪⎝⎭ 设()()
()(](]13,1,1121211,2,00,113,,2b g b b b b
b b ⎧∈+∞⎪⎪⎪=+--=-∈-⎨⎪⎪-∈-∞-⎪⎩
()max 3g b ∴= 113x x ∴++-≥
当1x ≥时，3232
x x ≥⇒≥ 当[)1,1x ∈-时，11323x x +-+≥⇒≥不成立
当1x <-时，3232x x -≥⇒≤- 33,,22x ⎛⎤⎡⎫∴∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
2、解析：（1）1a =时，不等式为121112
x x -≥⇒-≥ 112x ∴-≥或112x -≤-，解得13,,22x ⎛⎤⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
（2）问题转化为x R ∀∈，不等式11ax ax a -+-≥恒成立
()min 11ax ax a ∴-+-≥
设()()()111f x ax ax a ax ax a a =-+-≥---=-
112a a ∴-≥⇒≥或0a ≤
3、解析：（1）()()()f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++
4a b c ∴++=
（2）()()2
22222221111231231164923a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++⋅++≥⋅+⋅+⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22211168=49147a b c ∴++≥，等号成立条件：871118322317427a b a c b a b c c ⎧=⎪⎧⎪⎪⎪⎪==⇒=⎨⎨⎪⎪++=⎪⎪⎩=⎪⎩
4、解析：（1
22
+>+⇔+>
a b c d ab cd ⇔++>++⇔>⇔>
从而不等式得证
（2）若a b c d -<-，则()()22
a b c d -<-
即()()2244a b ab c d cd +-<+- a b c d +=+
ab cd ∴>，由（1
>
+>+
，则
22
+>+
即a b c d ab cd ++>++⇔
>⇔> ()()()()222244a b ab c d cd a b c d ∴+-<+-⇒-<-
a b c d ∴-<-
+>+是a b c d -<-的充要条件
5、解析：（1）x a b b x a b +<⇒-<+<
∴不等式解得：a b x b a --<<-
2341a b a b a b --==-⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩
（2）由（1
+=+=
由柯西不等式可得：
(
)
22222116⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎣⎦
4+≤
6、解析：（1）()()()12123f x x x x x =++-≥+--=
3a ∴=
（2）由柯西不等式可得：
()()()()()22
2222222221113p q r p q r p q r p q r ++++≥++⇒++≥++ 3p q r ++= 2223p q r ∴++≥
7、答案：C 解析：()()()1111113x x y y x x y y -++-++≥--+--+=
8、解析：（1）当2x ≥时，()()2213x x --+>解得8x >
当12x -≤<时，()()2213x x --+>解得0x < 10x ∴-≤<
当1x <-时。

()()2213x x -++>解得2x < 1x ∴<-
综上所述：解集为()(),08,-∞+∞
（2）由abc a b c =++可得：1111bc ac ab
++= ∴由柯西不等式可得：
()2111
4936ab bc ac ab bc ac ⎛⎫++⋅++≥+= ⎪⎝⎭ 等号成立条件：2,3,1a b c ===
9、解析：（1）()()()1112f x f x x a x x a x a a a a ⎛⎫==++-≥++-=+≥ ⎪⎝
⎭ （2）()35f =即1335a a
++-< 3a >时，不等式转化为：()213335510f a a a a =+
-+<⇒-+<
解得：3a <<当03a <≤时，()2136510f a a a a
=-+<⇒-->
3a <≤
综上所述：不等式的解集为：1522⎛++ ⎝⎭。