基于Benford定律的会计舞弊发现研究
浅析奔福德定律在舞弊审计中的运用
据 的变化 与奔福德 定 律 相差 较 大 。那 么非 上 市公 司 的财 务 数据 是否也 符合奔 福德 定律 的规律 呢？
笔 者 利 用 在 会 计 师 事 务 所 工 作 之 便 ， 集 了 一 家 经 过 注 收
册 会计 师审计 的生 产型 企业连 续三 年的财务 资料 ， 选择 了应 收账款 、 付账 款 、 应 主营 业 务收 入 和 主 营业 务 成本 等 四个指
中 所 获 得 的 企 业 财 务 数 据 ， 助 于 数 值 分 析 技 术 手 段 ， 企 借 就
符 合奔福 德定 律数 据 类 型一 般 有 ： 流 的 长度 ， 口分 河 人 布数 ， 煤气耗 用量 、 电的 账单 金 额 数 、 司的 缴纳 税 款 数 、 用 公
个 人所 得税 的纳税 额 等 。一般 认 为 ， 会 计 、 计 、 收 、 与 统 税 金
对舞 弊风 险 ， 财务舞 弊 审计至 关重要 的环节 。本文 首先就 奔福 德 定律 的主 要 内容 进行 了 简要 介 绍 ， 是 然后 利 用企 业
的 部 分 财 务 数 据 资料 ， 财 务 数 据 是 否 符 合 奔 福 德 定 律 进 行 了 测 试 ， 证 了运 用 奔 福 德 定 律 识 别 企 业 财 务 舞 弊 风 险 对 验
会 计 与 审 计
浅 析 奔 福 德 定 律 在 舞 弊 审 计 中 的 运 用
李 岩
（ 苏省徐 州生物 工程职 业技 术学 院， 苏 徐 州 ２１０ ） 江 江 ２ ０ ６
摘 要 ： 务 舞 弊 风 险 是 财 务 报 表 审计 中 需要 关 注 的 特 别 风 险 。如 何 识 别 和 评 估 财 务 舞 弊 风 险 ， 便 采 取 相 应 措 施 应 财 以
基于Benford模型下的财务舞弊行为发现的分析
在 常 年与财 务 数据 打 交 道 的过 程 中都 有 这 样 的 感 觉 ： 以“ １ ” 或“ ２ ” 为 首位 数 的所 谓 “ 小数字” 数 字似 乎 总 是 要 比以“ ８ ” 或“ ９ ” 开头的“ 大数 字 ” 多８ ” 或“ ９ ” 开头的“ 大数 字” 多。该定律借助于计算机数值分析技术 ， 可 以侦 查 财 务 舞 弊 的有 关征 兆 ， 为 进 行 财 务 审 计提 供 了一 种 有 力 的手 段 。 关键 词 ： Ｂ ｅ ｎ ｆ ｏ ｒ ｄ模 型 ；财 务 舞 弊 ； 行 为发 现 中图分类号 ： Ｆ ２ ３ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ４ － ３ ４ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ４ ） ２ － ０ ０ ７ ３ ０３ －
２ ． ２ ． ２ 数值 在一 个很 宽 的范 围里连 续变 动 ， 不存 在 间
断点或 间 断 区间 。 ２ ． ２ ． ３ 数字 没有 被 特 别 赋 值 ， 如 社 会保 险号 ， 身 份证 号等。
比其他 页更 为 破 旧 。当时他 所 能得 到的 唯一 的解 释是 人 们对 小数 字 的计算 量 要大 于对 大数 字 的计算 量 。经 过 大量 的统计 分析 ， 他 发 现 了许 多 类 型 的数 字 都 很 好 地 符合 这样 的规律 ： 以 １为 第 一位 数 的 随机 数 要 比 以 ２为第 一 位数 的 随机 数 出现 的概 率 要 大 ， 而 以 ２为 第
这 一揭 示整 数 １～ ９数 字 首 位 出 现 概率 分 布 规 律 的数
学 定律 就是 “ 奔 福德 定律 （ Ｂ ｅ ｎ ｆ ｏ ｒ ｄ ’ Ｓ Ｌ ａ ｗ） ” 。 ２ 奔 福德 定律 的数 值规 律
利用奔福德定律开展财务造假案例研究
利用奔福德定律开展财务造假案例研究发布时间：2021-05-19T03:18:37.761Z 来源：《中国科技人才》2021年第8期作者：岳娇[导读] 1881年，美国数学家、天文学家西蒙·纽卡姆（SimonNewcomb）无意间发现自然数中许多类型的数字都能很好的遵从这个规律，即：数字1出现在首位的概率明显大于2出现在首位的概率，数字2出现在首位的概率又大于3出现在首位的概率，其他数字以此类推能够得到相同结论。
浙江能源天然气集团有限公司 310051摘要: 财务造假一直以来都是一个顽疾，并且长期困扰审计学界。
奔福德定律是一个数学定律，揭示了不同数位上数字的分布概率，在会计、审计领域中引入奔福德定律，能够起到传统审计技术意想不到的效果。
利用奔福德定律开展财务造假案例研究，能够有效的提升审计技术，为高效预测财务造假行为提供了全新的思路。
关键词：奔福德定律预测舞弊案例研究一、奔福德定律的简介1881年，美国数学家、天文学家西蒙·纽卡姆（SimonNewcomb）无意间发现自然数中许多类型的数字都能很好的遵从这个规律，即：数字1出现在首位的概率明显大于2出现在首位的概率，数字2出现在首位的概率又大于3出现在首位的概率，其他数字以此类推能够得到相同结论。
但这一数学现象却在50多年的时间里都没有受到应有的重视，直到1938年才重新受到数学界的关注。
1938年，美国通用电气的物理学家弗兰克·奔福德（FrankBenford）他观察到了同样的现象。
他收集并验证了20组共20229个不同类型的数据，这些数据中包括：原子辐射的半衰期、原子的摩尔重量、物理与数学常数、河流的流域面积、城镇人口分布数、电费账单等，从实证的角度验证了西蒙·纽卡姆的理论，即：数字1在首位出现的概率约为30%，数字2在首位出现的概率约为17%，数字3在首位出现的概率约为12%，而8和9在首位出现的概率约为5%和4%。
本福特定律：如何不懂报表也能发现企业财务造假？
本福特定律：如何不懂报表也能发现企业财务造假？本福特定律是近来备受资本市场青睐的一种分析财务报告的方法。
只是数数就可以发现企业财务造假的端倪。
这不是才蹦出来的定律，只是最近才应用于会计和金融领域：保险公司开始用这种方法检测虚假申报，美国国内税务局用来检测税务欺诈，而四大会计师事务所则用它检测会计造假。
心动了没？本文先对本福特定律进行简要介绍，然后以茅台、暴风以及造假的金亚科技的财务报表为例，说明该定律是如何发现报表造假问题的。
一、本福特定律简介1、什么是本福特定律？本福特定律因20世纪早期英国物理学家本福特而得名，其内容是：自然数据源（信用卡账单、采购记录、现金收据）生成的数字中，约有30%的数字的首位数是1，如1、1314；首位数为2的数字约有18%；顺序递减，首位数为9的数字少于5%。
2、本福特定律的应用这个分布规律适用的数据集几乎无穷无尽，包括河流的长度、城市和国家的人口、证券交易所的成交量，当然我们的会计数据（数据没有被人为操纵过）也同样适用。
如果一组会计数据不符合本福特定律的话，就存在被篡改过的嫌疑。
比如说，一家会计事务所对某公司的财务报表进行审查，发现会计数据中首位数是7、8、9的数字非常多，这就说明了管理者可能为了达到财务目标而修改了数据。
生活中会有很多的例子。
——图书馆里大部分书的头几页通常比较脏。
因为许多到图书馆看书的人大多只是看书的开头，不喜欢的话就不会再看下去了；把一本书完整看完的人比较少。
靡不有初，鲜克有终。
——数学书后的对数表、化学书后的一些化学常数、财务课本后的终值、现值系数表等等，我们查阅的数据大多在头几页里面。
——如果统计的数据足够多，我们会发现，开头是数字1的数据最多，大约占了所有数据的三分之一；开头是2的数据居于其次；剩下的数字的数量依次递减。
人口、死亡率、物理和化学常数、棒球统计表、半衰期放射性同位数、物理书中的答案、素数数字以及斐波纳契数列数字中均有这一定律的身影。
检测财务数据造假的新工具--奔福德定律的妙用
人 缴纳 的税款 ， 等 。一般认 为 ， 等 与会
计、 统计 、 收、 税 金融 以及证 券市场 的各 种数 字可以很好地符合 奔福 德定律 。
二 、 福 德 定 律 的 国 内 外 研 究 奔
研 究还 比较 少 ” 之 后 ， 开 发 了 对 财 务 随 。 他
奔福德定律 的妙用
口李 荟 （ 海 大 学 管理 学 院会 计 系 上 海 ２０ ４ ） 上 ０ ４ ４
一 鍪 ≯
数据进 行奔 福德 定律 测试 的计 算机 软
件 ，并 成功地 应用 到对 美 国公 司的 财
务审计 中 ， 取得 了相 当好 的效 果 。 Ｎ ｎ （９ ６ 还 发 现纳 税 申报 的 ｉ ｉ１ ９ ） 数据亦 符合 奔福 德定 律 ，如果 不符 则 说明数 据存 在欺 骗性 ，美 国和 欧洲 的
个 古老 而有趣 的数 学 定律 在检 测 数据 方面却 有 着特 殊 的 功 效 。本 文 对 奔福
德 定律 进 行 了简要介 绍 ，结合 国 内外的研 究情 况 阐述 其在 检 测 财 务数 据 舞 弊
归结果 的数 据 。发现 这些 回归 系数 普
遍遵循 奔福 德定 律 。 Ｇ ｉｎｌ和 ＴＳｔｒ２ ０ ） ｔ ｅ ｎ ｉ ｅ （０ ９ 的研 究 发 ｄ
意到 了 同样现 象 。他收 集并 验证 了 ２ ０ 组 共 ２ ２ ０２ ９个 数 字 ， 些来 自不 同领 这
域 的数 字 都 体 现 了 同 一 种 规 律 ： 即 整
主要财 务数 据较好 地 符合 了奔 福德 定 律 。该 作者 （０ ７ 在另 一篇 论 文里 还 ２０ ）
发 现 ，处 于 不 同板 块 的 上 市 公 司 的 财
本福特定律检测会计信息可靠性的国内外研究综述及未来研究展望
本福特定律检测会计信息可靠性的国内外研究综述及未来研究展望作者：方敏来源：《中国集体经济》2021年第34期摘要：本福特定律的发现为检测会计信息可靠性提供了新思路，文章回顾及评述了国内外学者对本福特定律检测会计信息可靠性等方面的研究，并展望了未来本福特定律检测会计信息可靠性的研究方向。
关键词：本福特定律;会计信息可靠性;财务舞弊数字，可以用来排序、计算、记录，但人们很难发现在运用数字时会遵循某种规律。
人们通过大量数字的计算和分析发现，首位数为1或2的数据似乎总是比8或9的数据多。
这一揭示了数字1～9在首位出现概率分布的规律，就是本福特定律。
一、本福特定律的发现1881年，美国数学家、天文学家西门·纽康通过对不同类型数据统计分析后发现：随机数，以1为第一位数要比以2为第一位数的概率大，以2为第一位数又比以3为第一位数的概率大，以此类推。
这是人们第一次发现“本福特定律”，但当时没有对这一规律进行总结。
直到1938年，美国物理学家富兰克·本福特在收集并验证了20组数字，得出如表1所示的数字首位分布规律，即本福特定律。
二、本福特定律在检测会计信息可靠性中的应用影响会计信息可靠性的主要因素有：缺乏完善详细会计规则、会计人员综合素养不足、内部控制尚未有效落实。
以上因素都會导致账务处理不正确。
在实务中应用本福特定律检测分析财务数据，判断账务处理是否正确，以此推定会计信息是否可靠。
（一）本福特定律与财务数据的适配性Carslaw（1988）首次将本福特定律应用到会计领域。
研究发现，在报告的收入中，数字第二位出现0的概率远大于出现9的概率，如5984，管理者倾向于使它大于6000。
Hill，T.P（1996）经过研究证明本福特定律不受计量单位的限制。
定律适用于河流的长度，缴纳的税款，大选投票数等。
一般认为，与会计、统计、税收、金融相关的各种数字能很好地符合本福特定律。
Nigrini（1996）研究发现本福特定律可检测企业纳税申报的数据是否存在欺骗性，美国和欧洲的税务机构据此应用该定律来检查纳税申报的数字。
论奔福德定律在舞弊审计中的应用
论奔福德定律在舞弊审计中的应用作者：魏茜嘉来源：《现代经济信息》 2018年第18期引言安然事件的爆发为企业的健康发展敲响了警钟，企业财务信息的公开及真实性的验证受到各界的高度重视。
运用奔福德定律对安然公司2001 至2002 年间所公布的“每股盈利”数据进行检验后发现了较大的差异，后续的审计调查核实确实存在财务舞弊行为。
这一事件之后，众多学者对奔福德定律进行了研究，并将其运用于各行业的数据分析。
一、奔福德定律简介弗瑞克·奔福德曾就职于通用电气实验室，他在上世纪初探究出一系列神奇的数学法则，即在任何一组随机整数数据中，数字1出现的概率大于数字2 出现的概率，同样数字2 出现的概率大于数字3 出现的概率，以此类推后面的数据也呈现出相同的分布规律。
例如日常生活中随机生成的电话号码，其中数字1 出现的概率通常要大于数字9 出现的概率。
会计学教授马克·尼格里尼(Mark J.Nigrini) 于1996 年计算出0~9 在数字的第一位出现的概率表，随后利用奔福德定律识别出会计造假、欺诈和逃税行为。
由此奔福德定律逐渐在财务领域大展身手。
二、奔福德定律与舞弊审计的联系传统的分析性复核依据财务数据的内在关系或者逻辑联系对财务数据进行检验，奔福德定律则是从数值统计的角度揭示数据的内在规律。
真实数据与奔福德定律最为接近，而在人为数据造假操作中，为了使数据显得较为随机，人们通常会等概率地选择0-9 中的所有数字，从而打破奔福德定律。
从国外的研究论证和一系列实证案例来看，将奔福德定律运用于审计，尤其是舞弊审计，作为实质性分析程序的补充，能够取得较好的效果。
随着我国的信息化建设不断推进，信息技术的进步和硬件设施的完善为奔福德定律的应用铺平了道路。
三、银广夏案例分析2001 年银广夏的财务造假丑闻被媒体曝光。
其在1998~2001年间虚增利润77156.7 万元，而在这三年中公司实际上却一直是亏损状态。
奔福德定律及其在审计中的应用研究
奔福德定律及其在审计中的应用研究最近几年来国内外显现了许多审计失败丑闻，其缘故固然很复杂，但现有审计技术和方式的局限性可能是其中最重要的因素之一。
因此，在经济业务日趋复杂多变，被审单位舞弊、讹诈手腕日趋隐蔽的背景下，完善现有舞弊审计的理论水平和技术方式变得尤其重要。
在过去20年里，国内外学术界和实务界就如何提高和改良审计师揭露财务舞弊的能力已开展了大量的研究，探讨了一些统计与数值分析技术和方式。
其中，奔福德定律(Benford's law)在侦查财务讹诈征兆方面具有必然的有效性。
奔福德定律揭露了在知足特定条件情形下大量统计数据中阿拉伯数字1～9在数据首位显现的概率散布规律。
笔者介绍了奔福德定律的理论内涵及其在审计中应用的理论和实践功效，并进一步探讨了在审计实践中应用奔福德定律的条件及应注意的问题。
一、奔福德定律的内涵(一)奔福德定律经典理论奔福德定律是由美国数学家、天文学家赛蒙·纽卡姆(Simon Newcomb)在1881年第一次发觉的。
通过对大量随机数据的统计分析，他发觉这些数据都专门好地符合如此的规律：以1为第一名数的随机数要比以2为第一名数的随机数显现的概率要大，而以2为第一名数的随机数要比以3为第一名数的随机数显现的概率要大，依此类推。
大约50年以后，美国通用电器的物理学家弗瑞克·奔福德(Frank Benford)又独立发觉了这一现象并得出了和Newcomb一样的结论。
他搜集了很多数据进行分析来验证自己的假说，这些数据包括了尽可能多的种类和范围，数据的搜集和整理花费了他7年的时刻。
他验证了总数为20229个的20组数字，其中包括篮球竞赛的数字、河流的长度、湖泊的面积、各城市人口散布数字、在某一杂志里显现的所有数字等。
弗瑞克·奔福德推导了奔福德定律的数学表达式，即数字的第一名上各个非0数字显现的概率，用公式(1)表达如下：其中：D：1，2，3……9；P=probability代表概率。
使用本福德定律甄别数据造假（Benford’sLaw）
使用本福德定律甄别数据造假（Benford’sLaw）数据造假的甄别在数据分析领域是一个热门的话题，也是对数据分析师的一项挑战。
分析数据造假的方法有很多种。
我们在前面的系列文章中曾经介绍过两种检验作弊流量的方法。
一种是根据历史经验及分布情况的多维度交叉检验，另一种是使用随机森林模型根据已知作弊流量的特征对新流量进行分类及预测。
本篇文章介绍一种神奇的数据检验方法，本福德定律(Benford’s Law)。
本福德定律是一种用途广泛的数据检验方法，在安然公司破产和伊朗大选选票甄别中都曾被使用到。
本福德定律通过自然生成的数字中1到9的使用频率对数据进行检验。
如果你的数据具备一定规模，没有人工设定的最大值和最小值，并且数据本身受人为因素影响较小。
那么就可以使用本福德定律对数据进行检验，甄别数据是否经过人为修饰。
本福德定律及公式本福德定律中自然生成的数字首位为1的概率为30.10%，2的概率为17.61%，依次递减，首位为9的概率仅为4.58%。
依据这一期望概率值我们可以对数据进行检验。
以下是本福德定律的计算公式。
通过这一公式可以计算出1-9中每个数字出现数据首位的概率。
举例来说，对于数字9下面的公式可以计算出一组自然生成的数字中9出现在数字首位的概率是多少。
我们使用本福德定律公式逐一计算了数字1-9出现在首位的概率。
以下是每个数字出现的概率值。
后面会根据这一期望的概率值对数据是否进行过人工修改进行甄别。
通过图表可以更较直观的看到本福德定律中每个数字出现的频率以及不同数字间的差异。
与我们想象的不同，数字出现的频率并不是均匀分布的。
1出现的次数为30.10%而9出现的次数仅为4.58%。
下面我们将使用本福德定律对工作中常见的数据进行检验，甄别数据是否经过人为修饰。
广告展现量数据检验首先检验一组广告曝光数据。
下面是某广告一段时间的曝光量数据。
我们将每条展现量数据的第一个数字提取出来，通过本福德定律对这组数据进行检验。
基于奔福德定律的财务报表审计质量研究 -电子商务-毕业论文
目录一、绪论 (2)二、奔福德定律在审计中的应用................... 错误!未定义书签。
（一）奔福德定律的原理 (2)（二）奔福德定律在审计中的应用 (3)三、基于奔福德定律的上市公司财务报表审计质量评价系统构建 (4)（一）评价指标选取 (4)（二）数据来源与处理方法 (5)（三）获得数据计算过程 (6)四、基于奔福德定律的财务报表审计质量分析 (6)（一）奔福德定律对于财务数据适用性的检验 (6)（二）上市公司财务报表审计质量分析 (8)（三）评价系统局限性 (11)五、结论 (12)【参考文献】 (13)基于奔福德定律的财务报表审计质量研究摘要：近年来，上市公司财务舞弊行为层出不穷，如何提高财务报表审计质量成为当下热点问题。
现有审计质量研究主要基于公司治理与审计事务所本身，很少基于奔福德定律进行相关研究。
本文以我国所有上市公司作为样本，并根据它们进十年年年度财务报表数据为数据来源，利用选取评价指标并进行基于奔福德定律的相关系数检验的方法进行财务报表审计质量的研究。
经研究发现：就上市公司而言，财务报表数据与奔福德定律理论数据相关系数较高，奔福德定律对判断企业财务舞弊有效；财务舞弊会导致财务数据首位数的分布不符合奔福德定律，尤其体现在利润表；基于奔福德定律的检测方法能够提高财务报表审计质量，但运用时也应关注其局限性以及选取数据的有效性。
关键词：奔福德定律财务报表审计质量评价系统Research on the Audit Quality of Financial Statements Based on Benford’s LawAbstract：In recent years, the financial fraud of listed companies is endless. How to improve the audit quality of financial statements has become a hot issue. The existing audit quality research is mainly based on the corporate governance and CPAs firm, but rarely based on Benford's law. In this paper, we take all listed companies as samples. According to the relevant information in their annual report in the past 10 years, we use the selected evaluation index to study the audit quality of the financial statements of the correlation coefficient method based on the test of Benford's law. This paper found that: to listed companies, the correlation coefficient between the financial statement data and the data of the Benford's law is close to 1, and Benford's law is effective to judge the enterprise financial fraud; financial fraud will lead to that the distribution of financial data is not in conformity with the first digit Benford's law, especially in the profit statement; the detection method based on Benford's law can improve the audit report quality, but we should also pay attention to its limitations and the validity of the selected data when using it.Keywords：Benford’s Law; Financial statement; Audit quality; Evaluation system一、绪论随着我国经济的进一步发展，市场竞争也日益激烈。
基于Benford法则的舞弊检测方法研究
基于Benford法则的舞弊检测方法研究作者：朱文明， 王昊， 陈伟， ZHU Wen-ming， WANG Hao， CHEN Wei作者单位：朱文明,ZHU Wen-ming(东南大学经济管理学院,南京,210018)， 王昊,陈伟,WANG Hao,CHEN Wei(南京审计学院,南京,210029)刊名：数理统计与管理英文刊名：APPLICATION OF STATISTICS AND MANAGEMENT年，卷(期)：2007,26(1)被引用次数：1次1.Cindy Durtschi The Effective Use of Benford's Law to Assist in Detecting Fraud in Accounting Data 20042.Nigrini M J Adding value with digit analysis 1999(56)3.Nigrini M J;Mittermaier L J The use of Benford's law as an aid in analytical procedures 1997(16)4.T Hill Base-invariance implies Benford's law 1995(123)5.T Hill A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law 1996(10)6.Benford F The Law of anomalous numbers 1938(78)7.辛金国舞弊审计程序研究[期刊论文]-审计研究 2004(04)8.郑朝晖上市公司十大管理舞弊案分析及侦查研究[期刊论文]-审计研究 2001(06)9.李若山对当前我国企业舞弊问题的实证调查[期刊论文]-审计研究 2002(08)1.周芳应用数据挖掘技术识别财务报表舞弊的方法研究[期刊论文]-财务与金融 2010(3)本文链接：/Periodical_sltjygl200701008.aspx。
基于Benford律的Logistic模型及其在财务舞弊识别中的应用
Ｂｅｎｆｏｒｄ律对 中 国 上 市 公 司 的 财 务 数 据 具 有 适 用 性，提出可将 Ｂｅｎｆｏｒｄ律作为查找上市公司财务舞 弊征兆 的 工 具［７］。 朱 文 明 等 进 一 步 给 出 了 应 用
Ｂｅｎｆｏｒｄ 律 进 行 舞 弊 审 计 的 操 作 步 骤 和 分 析 流 程［８］。然而，以上所有学者对 Ｂｅｎｆｏｒｄ律的研究仅 限于评价财务数据整体质量。虽然 Ｂｅｎｆｏｒｄ律可以 检测数据质量低的财务指标，确定异常数据范围，但
财务指标真实可信是 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型成立的前提 条件之一。根据 Ｂｅｎｆｏｒｄ律分布一致性检验原理，如 果财务指标的首位数字分布与 Ｂｅｎｆｏｒｄ律之间差异 显著，说明财务指标受到人为操纵的可能性大，不能
直接使用这些财务指标建立 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型。否则，建 立的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型结论的合理性将受到质疑。为此， 本文提出将 Ｂｅｎｆｏｒｄ律和 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型结合的一种舞 弊识别方法。新方法首先基于 Ｂｅｎｆｏｒｄ律生成一组 可以反映财务指标数据质量并标记潜在异常样本点
基于Benford定律的会计舞弊发现研究
基于Benford定律的会计舞弊发现研究【摘要】文章结合我国上市公司的真实数据,运用Benford定律进行会计舞弊分析检测,指出Benford定律作为一种数值分析技术应用于会计舞弊检测,具有操作性好、使用成本低、客观性强等特点,是一种常规的舞弊检查技术方法。
但单个会计舞弊公司的财务数据首位数出现的概率分布与Benford定律的理论分布存在较大差异。
【关键词】Benford定律;会计舞弊;数值分析近年来,会计舞弊不断发生,如何发现舞弊、阻止舞弊、证据舞弊是会计人员、法务工作者、监管部门不断研究的对象。
本文将Benford定律应用于会计舞弊领域研究,试图以统计学角度检测数字内在分布规律的分析方法,发现财务舞弊者的造假现象,进一步发现和获得舞弊证据。
Benford定律是一种数字统计的内在规律,在财务、人口普查、股票指数等领域有着很强的数据适用性。
会计、统计、税收、金融及证券市场各种数字可以很好地符合Benford定律。
从具体方法上来看,本文的研究对传统舞弊侦查方法,如分析性复核法、资产质量分析法、奇异分析法等,是一个很好的补充。
一、Benford定律的内涵奔福德定律(Benford’s la w)也被称为“首位数现象”(First-digit phenomena)、有效数字法则(Significant digit law)、对数法则(Logarithm Law),是从统计学角度检测鲜为人知的数字分布的内在规律。
该定律揭示了在满足特定条件的情况下,大量统计数据中数字1—9出现在数据首位的概率分布规律。
1881年,美国数学家Newcomb最早发现Benford定律。
1938年,美国通用电气公司(GE)科学家Frank Benford通过研究,得出和Newcomb同样的结论:人们处理较小数字开头的数值的频率较大。
为了证明结论,Benford收集了20 229个20组数据,这些数据来源千差万别,发现整数1在首位出现的概率约为30%,整数2约为17%,而8和9在数字首位出现的概率分别为5%和4%。
基于Benford法则的企业财务数据质量评价
基于Benford法则的企业财务数据质量评价随着经济全球化的不断深入，企业的财务数据质量成为了越来越受关注的重要问题。
良好的财务数据质量不仅对企业自身的经营管理和决策具有重要意义，还对投资者、监管机构和社会公众具有重要影响。
本文将介绍基于Benford法则的企业财务数据质量评价方法，并对其应用进行讨论。
一、Benford法则简介Benford法则是由美国数学家弗兰克·本福德在1938年提出的。
该法则指出，自然界和人类社会中以非常高的概率呈现以数字1为首位的数字，其次是数字2，然后是数字3，以此类推，直到9。
具体地说，数字1作为首位数字出现的概率约为30%，而数字9作为首位数字出现的概率仅为4.6%。
Benford法则在分析财务数据中的应用表明，真实的财务数据往往会符合该法则。
而如果财务数据不符合Benford法则，可能意味着存在数据造假、误操作或者编造数据的情况。
Benford法则被广泛应用于财务数据的真实性检验和数据质量评价中。
1. 数据清洗与准备：首先需要对企业财务数据进行清洗和准备工作，包括数据提取、筛选、去除异常值等。
2. 提取首位数字：对财务数据中的数字进行首位数字提取，得到每个数字的首位数字。
4. 检验符合度：利用统计学方法对首位数字的分布情况进行检验，判断其是否符合Benford法则。
5. 分析异常情况：对不符合Benford法则的情况进行分析，寻找可能的原因，并评估数据的质量。
通过以上步骤，可以对企业的财务数据质量进行评价，发现其中可能存在的问题，并为后续的改进提供参考。
三、企业财务数据质量评价案例分析为了更好地理解基于Benford法则的企业财务数据质量评价方法，下面我们以某公司2019年财务数据为例进行分析。
该公司的年报财务数据包括利润总额、营业总收入、总资产等指标。
我们分别对这些指标的首位数字分布情况进行统计和分析，并应用Benford法则来评价财务数据的质量。
我们对这些指标的首位数字分布情况进行统计，得到如下结果：利润总额：1： 25%2： 18%3： 17%4： 14%5： 9%6： 6%7： 5%8： 4%9： 2%通过以上数据，我们可以看出，这些指标的首位数字分布情况基本符合Benford法则。
基于Benford定律的安徽省上市公司财务数据质量研究
和新三板)２００７ 年至 ２０１６ 年资产负债表、利润表和 现金流量表为研究样本ꎮ 依据 Ｂｅｎｆｏｒｄ 定律适用条 件对数据做如下处理:１) 因来源不同的数据经运算 后更符合该定律ꎬ故剔除合计数和累计数ꎬ如资产总 计等ꎮ ２)剔除存在上下限、受人为因素和偶然因素 影响较大的数据ꎬ如应收票据、非经营性净收益等ꎮ 处理后各报表待检测数据量均超过 １００００ꎮ 样本数 据取 自 锐 思 数 据 库ꎬ 处 理 工 具 为 ＥＸＣＥＬ２０１０ 和 ＳＰＳＳ２２. ０ꎮ ２. ２ 假设提出
常用 Ｂｅｎｆｏｒｄ 定律符合性检验方法有相关系数 和 χ２ 检验〔３〕 ꎮ 为降低随检测位数增加而发生Ⅰ型 和Ⅱ错误的可能性ꎬ并进行显著性检验ꎬ本课题组综 合运用 Ｓｔｅｐｈｅｎｓ(２００６) 修正的 Ｋ － Ｓ 统计量 ＶＮ ∗、 Ｍｏｒｒｏｗ(２０１４) 修正的欧式距离统计量 ｄ∗ 和最大距 离统计量 ｍ∗ 进行符合性检验ꎮ 以首位数为例ꎬ显 著性水平为 １０％ 时ꎬ ＶＮ∗、 ｄ∗、 ｍ∗、 临 界 值 分 别 为 １. １９、１. ２１和 ０. ８５ꎮ 表 １ 列示了其修正过程ꎮ
因舞弊数据常在万元以上ꎬ且样本数据以百万
７８ 辽宁科技学院学报 第 ２０ 卷 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
奔福德定律与舞弊审计+——基于_人为造假_与随机数样本的实证测试
论检测在交易数据中隐藏的舞弊[2—3]；如何有效运用奔福德 奇妙数学定律
定律在会计数据中侦测舞弊的思路与方法[4]；如何将奔福
（一）历史的简要回顾
德定律作为数值分析技术与分析性程序相结合提高注册
奔福德定律最初是由美国数学家、天文学家塞蒙·
会计师查证舞弊的技能的问题[5—6]。随着计算机辅助审计技 纽卡姆（Simon Newcomb）在 1881 年偶然发现的。塞
姆理论的同时，也进一步发展了该理论。他发现了数 首位数的人口数自然就会比以“7”“8”“9”为首位数的所谓
字在多位数的自然数中出现的概率也存在显著的递 “大数字”多。
减规律。弗兰克·奔福德推导出了序数 10—99 在自然
（三）适合奔福德定律数据的条件
数前二位以及 100—999 在前三位数上出现概率的数
二、对奔福德定律的实证测试：基于“人为造假”与随 机数样本数据
（一）样本数据及其来源 为了加深对奔福德定律的认识，全面了解“人为造假”数 据的统计学特征，并验证奔福德定律在识别财务舞弊方面 的有效性，笔者利用近年来面对面给各类学员授课的机会 先后请了 321 名学员以财务造假者的心态书写了 6 组总数 为 9 630 个“人为造假”数据，这些数据的收集情况见表 1。
40 000 需要 14 年的时间……人口从 80 000 增长到 90 000 只需要 4 年的时间，是人口从 10 000 增长到 20 000 所需要
Anomalous Numbers）。
36 年时间的九分之一。如果在某一特定的时点统计全国各
弗兰克·奔福德在运用实证的方法证实塞蒙·纽卡 县的人口分布数，看到的以“1”“2”“3”等所谓“小数字”为
第三位数 0—9。
基于Benford法则的企业财务数据质量评价
率应该符合这一法则。相反，假若一组 ２ 企业财务数据质量评价实证分析 数据经过人为的修饰或者造假，那么被
检测样本数据的首位数字出现的概率，若发
为 了 保 证 数 据 的 可 获 得 性， 截 至
现一组被检测样本数据的首位数字出现 2017 年底山东省共有上市公司 167 家，
象。为了证明这个结论的真实性，他利
用在 7 年时间里收集的 20 组不同领域
和过程的 20229 个样本数据。经过分析
推导，终于成功地出描述这一现象的数
学表达式：
p(di)=log10(1+1/di)，di=1，2，3，4，
…9，且 Σp(di) =1
（1）
式中的 p(di) 代表的是任意一个样
本数据中的首位数字 i 出现的概率，这
图。
出现概率和理论概率的相关性就越强，
从 图 1 可 以 看 出， 首 位 数 字 出 现 也就间接说明这组被检验样本数据的真
的概率随着数字的增大呈现出递减的趋 实性越高。反之，若得到的结果越接近
势。因此，如果一组被检测样本数据的 于 0，数据被篡改的可能性就越大。具
质量越高，越真实，首位数字出现的概 体的判断标准，见表 1。
１ Ｂｅｎｆｏｒｄ 法则介绍及检验
１．１ Ｂｅｎｆｏｒｄ 法则 在人们的一般印象中，每个数字出
现的概率是相同的，其实不然。Benford
法则认为数字的出现是有其规律可循
的。1881 年， 美 国 天 文 学 家 Simon
Newcomb 在一次查询对数表手册时，偶
然发现手册前面的页码（即以 1、2、3
为首位数字的页码）的纸页要比后面的
页码（即以 7、8、9 为首位数字的页码）
的纸页的磨损程度明显严重，并且首位
本福德定律
本福德定律（Benford's Law）在审计中的应用(2008-09-30 15:53:09)转载分类：Accounting&Study标签：杂谈笨福特法则不管是做股票还是做期货、外汇，经常会遇到一些数字。
比如公司年报中的会计数字，政府公布的财政数据的等。
面对越来越多的造价和虚报，作为普通散户，我的们怎么去识别它们的真伪呢？答案是:学习知识,运用知识的力量。
先讲两个名词：（1）第一位有效数字：第一位有效数字是指这个数的第一非零数字。
例如8.1、81、0.81的第一位有效数字都是8。
（2）本福德法则：任意选择一个真实的数，以十进制的形式表示，则第一位有效数字为ｄ的概率为log10[(d+1)/d]。
当D=1时，对应的概率为 log10 2=0.301。
即第一位有效数字为1的概率为30.1％。
当D=2时，对应的概率为log10 （3/2）=0.1761。
即第一位有效数字为2的概率为17.6％。
第一位有效数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9根据本福德法则计算的结果 30.1 17.6 12.5 9.7 7.9 6.7 5.8 5.1 4.6注意：本福德法则有一个前提:”任意选择一个真实的数”。
如果我们精心挑选数据来源可以得到相反的结论。
罗嗦了这么一大堆，本福德法则到底有什么现实意义呢？用本福德法则可以检验公司年报、政府公布的财政数据是否真实。
真实的数据应当符合本福德法则。
如果我们发现一段时间和一系列的结果与本福德法则有较大出入，就有理由怀疑有人做了手脚。
大家有兴趣不妨用本福德法则检验一下你刚刚看好准备买进的绩优股。
简单的方就可以辨别真伪。
一个名叫马可.尼格林尼的会计师走得更远，他根据本福德法则的思想发展的一套方法用来检验帐目的真实性。
如果有人对帐目做过手脚，利用他的方法可以发现疑点。
这种方法被成为“尼格林尼求和法”。
你可以依赖经济学家的一件事，就是提供大量数字。
对此，你可以谴责一位名叫威廉•佩蒂(William Petty)的人。
论Benford法则作为一种反舞弊审计手段的局限性
论Benford法则作为一种反舞弊审计手段的局限性作者：吴国平来源：《时代经贸》2019年第13期【摘要】二十世纪80年代末以来，国内外理论界试图将Benford法则作为一种数值分析方法引入舞弊审计领域;国内外相关研究文献虽多，却鲜少论及最核心、最关键的问题：即Benfird法则作为一种数值分析方法在舞弊审计中是否具有有效性的问题。
stCVCnw.smich基于傅里叶变换视角提出的一套理论解析框架，有助于该关键性问题的分析。
这一理论解析框架的适当完善与扩展，表明并非所有随机过程产生的數据都符合Benford法则，因此，在审计实务中把Benford法则作为一种财务舞弊检验器是缺乏严密理论依据的。
【关键词】Benford法则;舞弊审计;卷积定理;smith判别定理随着财务欺诈与舞弊行为的频繁发生，欺诈与舞弊手段也日趋隐蔽复杂，如何改进和提升财务欺诈与舞弊行为审计能力成为审计界与社会公众共同关注的焦点。
20世纪80年代末以来，作为一种数值分析方法，Benford法则逐渐被引入舞弊审计领域。
相关研究文献虽多，却鲜少论及最核心也是最关键的问题：即Benford法则作为一种数值分析方法在舞弊审计中是否具有有效性问题。
众多研究文献事实上都先验性假定其所分析的数据对象，本质上应符合该法则，如果“实然”状态偏离“应然”状态，则推断存在欺诈与舞弊行为。
本文认为正是囿于此种逻辑推理上的局限，导致了对该工具本身普适性的怀疑，因而不具有广泛、系统地推广使用的基础。
一、Benford法则内涵Benford法则是关于随机数组非零首位数概率分布的规律，亦称“首位数分布规律”。
simon New comb在1881年首次发现许多类型的随机数组都很好地符合以下规律：以1为首位数的随机数要比以2为首位数的随机数出现的概率大，而以2为首位数的随机数又比以3为首位数的随机数出现的概率要大，依此类推，但纽卡姆并没有对这一定律做出任何解释。
基于Benford定律的会计舞弊发现研究
＝
合 Ｂ ｎｏｄ法则 的可 能性较 小 。 ｅ ｆｒ （ ） 析数 据 ， 三 分 发现 异常
奔福 德 定 律 （ ｅ ｆｒ。 ｌ Ｂ ｎｏｄｓ ａ ｗ）也 被 称 为 “ 位 数 现 象 ” 其 主要操作步 骤如 下 ： 首
（ｉ ｃｄｇｔ ｈ ｎ ｍｅ ａ 、 Ｆ ｓ ｉｉ ｅ ｏ ｎ ） ｒ— ｐ 有效数 字法则 （ ｉｎｉａ ｔ ｉｉａ 、 Ｓｇ ｉ ｎ ｇｔ ｗ） ｆ ｃ ｄ ｌ 对数 法则 （ｏ ａｉ ｍ Ｌ ｗ） 从统 计学 角度 检测 鲜 为人知 的数 Ｌ ｇ ｒ ａ ， ｔ ｈ 是
如果存在异常现象 ， 种异 常就可能是 由于人 为舞弊 这 的 内在规 律 ， 在财 务 、 口普 查 、 票指数等 领域有 着很强 的数据 在异常现 象 ， 人 股
Ｎｇｉ 。 ９ ） ｎ１ 再运 适用 性。会计 、 统计 、 税收 、 金融 及证 券市场 各种数 字可 以很好地 造成 的（ ｉｒ ｉ ９ ９。在发现异 常的基础上 ， 用审计人 员的
并对数据 进行初 步的 处理。 字分布 的内在规律 。该定律 揭 示了在满足 特定条 件的情况 下 ， 大 需要 的数据 ，
量统计数据 中数字 １ —９出现 在数据首位 的概率分 布规律 。
１８ 年 ，美 国数学 家 Ｎ ｗ ｏ ８１ ｅ ｃ ｍｂ最 早发 现 Ｂ ｎｏｄ定 律 。 ｅ ｆｒ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含已退市的上市公司退市后的数据）。 上述样本数据来源于上海证监会网站和中国证监会网站。 （二）测试假设 假设 1：我国上市公司年度报告披露的财务数据总体上应符
合 Be nford 定律。 假设 2：我国上市公司不同财务指标其总体的数据表现在
Be nford 定律方面应有所差别。 假设 3：因违规被公开处罚的上市公司财务数据分布与
表 3 沪深 A 股虚假财务信息的上市公司主要财务数据首位数分布情况比较
沪深 A 股（样本数） 1
总体数据（10 200） 0.2913
总资产（1 460） 0.2870
负债合计（1 459） 0.3023
所有者权益（1 459） 0.3023
营业收入（1 449） 0.2974
利润总额（1 458） 0.2984
首位数 5
0.0830 0.0791 0.0838 0.0917 0.0770 0.0861 0.0875 0.0792
6 0.0663 0.0671 0.0681 0.0731 0.0642 0.0692 0.0612 0.0669
7 0.0587 0.0669 0.0566 0.0614 0.0533 0.0583 0.0588 0.0580
* 本文为江苏省教育厅高校哲学社会科学研究项目（09SJD630026）及江苏科技大学人文社科基金项目（2008JG189J；2009JG111J）资助项目。
73
审计与税务
FRIENDS OF ACCOUNTING
复发生的交易。当把这类交易的数据剔除之后，剩下的会计数据 就非常好地吻合了 Be nford 定律的分布。
2.取整数习惯。例如，在“其他应收款”和“管理费用”科目中 记录很多的是个人借款和报销数据，500、10 000 等整数出现的 频率明显增加。
3.季节性、节假日波动。 4.偶尔的大宗交易、短期内的相似频繁交易活动也会使数据 出现变化。在调查阶段，审查人员应非常谨慎，找出异常原因，尤 其要注意区分是正常经济活动造成的数据分布异常还是由于人 为舞弊产生的异常。
Be nford 定律的理论数值分布存在着差异。 （三）测试结果 1.沪深 A 股公司。表 2 给出了截止于 2008 年 12 月 31 日沪
深两市发行 A 股的 1 576 家上市公司公布的主要财务数据的首 位数分布情况以及与 Be nford 定律理论分布值的比较。
从表 2 所列的概率分布数值以及相关系数可以看出：总 体上，我国沪深两市 A 股上市公司的主要财务数据首位数的 分布明显呈现出 Be nford 定律所描述的数据首位数出现概率 递减的规律，与 Be nford 定律所描述的数据首位数出现概率 分布数值保持高度的相关，其相关系数达到了 0.9995。不同财 务数据数值分布与 Be nford 定律理论分布值间存在一定程度
字分布的内在规律。该定律揭示了在满足特定条件的情况下，大
量统计数据中数字 1—9 出现在数据首位的概率分布规律。
1881 年，美国数学家 Ne wc omb 最早发现 Be nford 定律。
1938 年，美国通用电气公司（GE）科学家 Frank Be nford 通过研
究，得出和 Ne wc omb 同样的结论：人们处理较小数字开头的数
一、Be nfo rd 定律的内涵
奔福德定律 （Be nford's law） 也 被 称为“首位 数 现象 ”
（Firs t- dig it phe nome na）、有效数字法则（Sig nific ant dig it law）、
对数法则（Log arithm Law），是从统计学角度检测鲜为人知的数
审计与税务
FRIENDS OF ACCOUNTING
基于 Be nfo rd 定律的会计舞弊发现研究*
江苏科技大学 狄 为 施鹏仙
【摘 要】 文章结合我国上市公司的真实数据，运用 Benford 定律进行会计舞弊分析检测，指出 Benford 定律作为一种数值分析技术应 用于会计舞弊检测，具有操作性好、使用成本低、客观性强等特点，是一种常规的舞弊检查技术方法。但单个会计舞弊公司的财务数据首位 数出现的概率分布与 Benford 定律的理论分布存在较大差异。
上各个非 0 数字出现的概率，用公式表达如下：
∫DD+1P（x）dx ∫110P（x）dx
=
lg（1+
1 D
）
其中：D=1，2，…，9；P 代表概率。
表 1 Be nford 定律整数 1—9 在数字首位上出现的期望概率分布
首位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 概率（%） 30.1 17.6 12.5 9.7 7.9 6.7 5.8 5.1 4.6
【关键词】 Benford 定律； 会计舞弊； 数值分析
近年来，会计舞弊不断发生，如何发现舞弊、阻止舞弊、证据 舞弊是会计人员、法务工作者、监管部门不断研究的对象。本文 将 Be nford 定律应用于会计舞弊领域研究，试图以统计学角度 检测数字内在分布规律的分析方法，发现财务舞弊者的造假现 象，进一步发现和获得舞弊证据。Be nford 定律是一种数字统计 的内在规律，在财务、人口普查、股票指数等领域有着很强的数据 适用性。会计、统计、税收、金融及证券市场各种数字可以很好地 符合 Be nford 定律。从具体方法上来看，本文的研究对传统舞弊 侦查方法，如分析性复核法、资产质量分析法、奇异分析法等，是 一个很好的补充。
净利润（1 458） 0.2936
资本公积（1 457） 0.2581
be nford's law
0.3010
2 0.1729 0.1904 0.1679 0.1460 0.1946 0.1543 0.1770 0.1805 0.1761
3 0.1256 0.1281 0.1145 0.1206 0.1242 0.1310 0.1118 0.1489 0.1249
4 0.0994 0.0753 0.0994 0.1145 0.1084 0.0823 0.0960 0.1043 0.0969
首位数 5
0.0969 0.0808 0.0884 0.0822 0.0669 0.0912 0.0892 0.1139 0.0792
6 0.0662 0.0678 0.0713 0.0644 0.0621 0.0789 0.0672 0.0515 0.0669
三、Be nfo rd 定律舞弊检测的实证分析 （一）样本选择与数据来源 本文选择截止于 2008 年沪深两市发行 A 股的上市公司公 布的 7 项主要财务指标：资产总额、负债总额、股东权益总额、资 本公积、主营业务收入、利润总额和净利润为样本数据（不包含数 值为零的财务数据）。 财务报表舞弊样本公司选择从 1991 至 2010 年 4 月 13 日 因提供虚假财务信息而受到证监会公开处罚的上市公司 （不包
74
会 计 之 友 2010 年 第 9 期 中
表 4 4 家虚假财务信息上市公司主要财务数据首位数测试结果
审计与税务
FRIENDS OF ACCOUNTING
时间
2000 年数据 2001 年数据 2002 年数据 2003 年数据 2004 年数据 2005 年数据 2006 年数据 2007 年数据 2008 年数据
be nford's law
0.3010
2 0.1687 0.1591 0.1731 0.1462 0.1464 0.1755 0.1983 0.1761
3 0.1238 0.1110 0.1270 0.1284 0.1118 0.1263 0.1388 0.1249
4 0.0970 0.0924 0.1015 0.1087 0.0879 0.1056 0.0909 0.0969
7 0.0588 0.0582 0.0583 0.0672 0.0573 0.0521 0.0542 0.0645 0.0580
8 0.0575 0.0616 0.0576 0.0617 0.0455 0.0590 0.0652 0.0522 0.0512
相关系数 9 0.0429 0.9989 0.0507 0.9910 0.0404 0.9968 0.0411 0.9868 0.0435 0.9943 0.0528 0.9900 0.0460 0.9958 0.0261 0.9606 0.0458 1.0000
二、Be nfo rd 定律的舞弊检测 基于 Be nford 法则的舞弊检测方法是一种对比检验方法。 其主要操作步骤如下： （一）研究被调查事项，采集数据 审查人员需要深入了解被审计单位的业务，识别和采集审计 需要的数据，并对数据进行初步的处理。 （二）评估 Be nford 法则的适用性，选择目标样本 用 Be nford 定律进行舞弊检测并非放之四海而皆准，而是 有其适用条件的。根据 Hill 的理论，如果这些数据是不同来源、随 机抽样形成的统计数据，那么这些数据将符合 Be nford 法则。 Nig rin（i 1997）提出满足以下三个条件的数据可以用 Be nford 定律进行分析。首先，数据量具备一定规模，能够代表所有样 本，一般而言，数据集越大，统计规律的符合程度越高。其次，没有 人为的范围限制，不能设置最大值与最小值的限制。最后，目标数 据受人的主观意愿影响较小。一般认为人为直接赋值的数据符 合 Be nford 法则的可能性较小。 （三）分析数据，发现异常 可以利用通用软件来完成数字分析，例如 Exc e l、SPSS 等都 可以用来进行分析。本步骤是数据分析中的重点步骤，审查人员 应根据专业经验灵活设定条件，按时间段、科目等进行分类深入 分析， 中发现的显著性偏差称为异常。会计数据中数字分 布产生异常的原因较多，除了可能的舞弊行为之外，造成数据分 布异常的原因还有： 1.企业特殊的购销特点或者管理规定。例如，经过授权的、反
8 0.0518 0.0578 0.0510 0.0518 0.0492 0.0538 0.0486 0.0512