基于Benford定律的会计舞弊发现研究
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三、Be nfo rd 定律舞弊检测的实证分析 （一）样本选择与数据来源 本文选择截止于 2008 年沪深两市发行 A 股的上市公司公 布的 7 项主要财务指标：资产总额、负债总额、股东权益总额、资 本公积、主营业务收入、利润总额和净利润为样本数据（不包含数 值为零的财务数据）。 财务报表舞弊样本公司选择从 1991 至 2010 年 4 月 13 日 因提供虚假财务信息而受到证监会公开处罚的上市公司 （不包
【关键词】 Benford 定律； 会计舞弊； 数值分析
近年来，会计舞弊不断发生，如何发现舞弊、阻止舞弊、证据 舞弊是会计人员、法务工作者、监管部门不断研究的对象。本文 将 Be nford 定律应用于会计舞弊领域研究，试图以统计学角度 检测数字内在分布规律的分析方法，发现财务舞弊者的造假现 象，进一步发现和获得舞弊证据。Be nford 定律是一种数字统计 的内在规律，在财务、人口普查、股票指数等领域有着很强的数据 适用性。会计、统计、税收、金融及证券市场各种数字可以很好地 符合 Be nford 定律。从具体方法上来看，本文的研究对传统舞弊 侦查方法，如分析性复核法、资产质量分析法、奇异分析法等，是 一个很好的补充。
4 0.0994 0.0753 0.0994 0.1145 0.1084 0.0823 0.0960 0.1043 0.0969
首位数 5
0.0969 0.0808 0.0884 0.0822 0.0669 0.0912 0.0892 0.1139 0.0792
6 0.0662 0.0678 0.0713 0.0644 0.0621 0.0789 0.0672 0.0515 0.0669
值的频率较大。为了证明结论，Be nford 收集了 20 229 个 20 组
数据，这些数据来源千差万别，发现整数 1 在首位出现的概率约
为 30%，整数 2 约为 17%，而 8 和 9 在数字首位出现的概率分
别为 5%和 4%。通过分析，Be nford 发现正常的数据集符合某种
规律，并因此推导出 Be nford 定律的数学表达式，即数字第一位
审计与税务
FRIENDS OF ACCOUNTING
基于 Be nfo rd 定律的会计舞弊发现研究*
江苏科技大学 狄 为 施鹏仙
【摘 要】 文章结合我国上市公司的真实数据，运用 Benford 定律进行会计舞弊分析检测，指出 Benford 定律作为一种数值分析技术应 用于会计舞弊检测，具有操作性好、使用成本低、客观性强等特点，是一种常规的舞弊检查技术方法。但单个会计舞弊公司的财务数据首位 数出现的概率分布与 Benford 定律的理论分布存在较大差异。
首位数 5
0.0830 0.0791 0.0838 0.0917 0.0770 0.0861 0.0875 0.0792
6 0.0663 0.0671 0.0681 0.0731 0.0642 0.0692 0.0612 0.0669
7 0.0587 0.0669 0.0566 0.0614 0.0533 0.0583 0.0588 0.0580
ST 大唐 0.8800 0.8766 0.9403 0.9404 0.9312 0.8902 0.9745 0.9756 0.9434
Be nford 定律的理论数值分布存在着差异。 （三）测试结果 1.沪深 A 股公司。表 2 给出了截止于 2008 年 12 月 31 日沪
深两市发行 A 股的 1 576 家上市公司公布的主要财务数据的首 位数分布情况以及与 Be nford 定律理论分布值的比较。
从表 2 所列的概率分布数值以及相关系数可以看出：总 体上，我国沪深两市 A 股上市公司的主要财务数据首位数的 分布明显呈现出 Be nford 定律所描述的数据首位数出现概率 递减的规律，与 Be nford 定律所描述的数据首位数出现概率 分布数值保持高度的相关，其相关系数达到了 0.9995。不同财 务数据数值分布与 Be nford 定律理论分布值间存在一定程度
2.取整数习惯。例如，在“其他应收款”和“管理费用”科目中 记录很多的是个人借款和报销数据，500、10 000 等整数出现的 频率明显增加。
3.季节性、节假日波动。 4.偶尔的大宗交易、短期内的相似频繁交易活动也会使数据 出现变化。在调查阶段，审查人员应非常谨慎，找出异常原因，尤 其要注意区分是正常经济活动造成的数据分布异常还是由于人 为舞弊产生的异常。
含已退市的上市公司退市后的数据）。 上述样本数据来源于上海证监会网站和中国证监会网站。 （二）测试假设 假设 1：我国上市公司年度报告披露的财务数据总体上应符
合 Be nford 定律。 假设 2：我国上市公司不同财务指标其总体的数据表现在
Be nford 定律方面应有所差别。 假设 3：因违规被公开处罚的上市公司财务数据分布与
74
会 计 之 友 2010 年 第 9 期 中
表 4 4 家虚假财务信息上市公司主要财务数据首位数测试结果
审计与税务
FRIENDS OF ACCOUNTING
时间
2000 年数据 2001 年数据 2002 年数据 2003 年数据 2004 年数据 2005 年数据 2006 年数据 2007 年数据 2008 年数据
字分布的内在规律。该定律揭示了在满足特定条件的情况下，大
量统计数据中数字 1—9 出现在数据首位的概率分布规律。
1881 年，美国数学家 Ne wc omb 最早发现 Be nford 定律。
1938 年，美国通用电气公司（GE）科学家 Frank Be nford 通过研
究，得出和 Ne wc omb 同样的结论：人们处理较小数字开头的数
Be nford 定律揭示了数字 0—9 在呈自然状态下数据的不同 位数上的概率分布的统计规律。美国学者 Te d Hil（l 1995）从理论 上对 Be nford 定律作出了解释，并进行了严谨的数学证明，随后一
些学者从实证方法证明了会计数据中数字分布存在 Be nford 定 律所描绘的客观规律。如果财务数据经过人为的操控，比如受到盈 余管理或会计造假等非正常操作，将会破坏这种规律，使之出现异 常，而且这种异常是舞弊者个人无法操控的。利用这样的规律，可 以通过比较财务数据的数字分布与标准的数字分布，发现是否存 在异常现象，如果存在异常现象，这种异常就可能是由于人为舞弊 造成的（Nig rini，1999）。在发现异常的基础上，再运用审计人员的 专业经验和专业判断进一步调查，就能发现舞弊行为。在实践中， 可以将 Be nford 定律作为检查财务数字信息是否真实的检验器。
上各个非 0 数字出现的概率，用公式表达如下：
∫DD+1P（x）dx ∫110P（x）dx
=
lg（1+
1 D
）
其中：D=1，2，…，9；P 代表概率。
表 1 Be nford 定律整数 1—9 在数字首位上出现的期望概率分布
首位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 概率（%） 30.1 17.6 12.5 9.7 7.9 6.7 5.8 5.1 4.6
表 3 沪深 A 股虚假财务信息的上市公司主要财务数据首位数分布情况比较
沪深 A 股（样本数） 1
总体数据（10 200） 0.2913
总资产（1 460） 0.2870
负债合计（1 459） 0.3023
所有者权益（1 459） 0.3023
营业收入（1 449） 0.2974
利润总额（1 458） 0.2984
表 2 沪深 A 股上市公司主要财务数据首位数分布情况比较
沪深 A 股（样本数） 1
总体数据
0.2831
总资产（15 597） 0.3156
负债合计（15 589） 0.2961
所有者权益（15 597） 0.2712
利润总额（15 557） 0.2493
净利润（15 557） 0.2800
资本公积（15 552） 0.2742
一、Be nfo rd 定律的内涵
奔福德定律 （Be nford's law） 也 被 称为“首位 数 现象 ”
（Firs t- dig it phe nome na）、有效数字法则（Sig nific ant dig it law）、
对数法则（Log arithm Law），是从统计学角度检测鲜为人知的数
be nford's law
0.3010
2 0.1687 0.1591 0.1731 0.1462 0.1464 0.1755 0.1983 0.1761
3 0.1238 0.1110 0.1270 0.1284 0.1118 0.1263 0.1388 0.1249
4 0.0970 0.0924 0.1015 0.1087 0.0879 0.1056 0.0909 0.0969
7 0.0588 0.0582 0.0583 0.0672 0.0573 0.0521 0.0542 0.0645 0.0580
8 0.0575 0.0616 0.0576 0.0617 0.0455 0.0590 0.0652 0.0522 0.0512
相关系数 9 0.0429 0.9989 0.0507 0.9910 0.0404 0.9968 0.0411 0.9868 0.0435 0.9943 0.0528 0.9900 0.0460 0.9958 0.0261 0.9606 0.0458 1.0000
* 本文为江苏省教育厅ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ校哲学社会科学研究项目（09SJD630026）及江苏科技大学人文社科基金项目（2008JG189J；2009JG111J）资助项目。
73
审计与税务
FRIENDS OF ACCOUNTING
复发生的交易。当把这类交易的数据剔除之后，剩下的会计数据 就非常好地吻合了 Be nford 定律的分布。
净利润（1 458） 0.2936
资本公积（1 457） 0.2581
be nford's law
0.3010
2 0.1729 0.1904 0.1679 0.1460 0.1946 0.1543 0.1770 0.1805 0.1761
3 0.1256 0.1281 0.1145 0.1206 0.1242 0.1310 0.1118 0.1489 0.1249
8 0.0518 0.0578 0.0510 0.0518 0.0492 0.0538 0.0486 0.0512
相关系数 9 0.0458 0.9995 0.0510 0.9922 0.0428 0.9993 0.0441 0.9904 0.0406 0.9989 0.0451 0.9979 0.0411 0.9858 0.0458 1.0000
二、Be nfo rd 定律的舞弊检测 基于 Be nford 法则的舞弊检测方法是一种对比检验方法。 其主要操作步骤如下： （一）研究被调查事项，采集数据 审查人员需要深入了解被审计单位的业务，识别和采集审计 需要的数据，并对数据进行初步的处理。 （二）评估 Be nford 法则的适用性，选择目标样本 用 Be nford 定律进行舞弊检测并非放之四海而皆准，而是 有其适用条件的。根据 Hill 的理论，如果这些数据是不同来源、随 机抽样形成的统计数据，那么这些数据将符合 Be nford 法则。 Nig rin（i 1997）提出满足以下三个条件的数据可以用 Be nford 定律进行分析。首先，数据量具备一定规模，能够代表所有样 本，一般而言，数据集越大，统计规律的符合程度越高。其次，没有 人为的范围限制，不能设置最大值与最小值的限制。最后，目标数 据受人的主观意愿影响较小。一般认为人为直接赋值的数据符 合 Be nford 法则的可能性较小。 （三）分析数据，发现异常 可以利用通用软件来完成数字分析，例如 Exc e l、SPSS 等都 可以用来进行分析。本步骤是数据分析中的重点步骤，审查人员 应根据专业经验灵活设定条件，按时间段、科目等进行分类深入 分析，并对出现的偏差持专业谨慎怀疑态度。 （四）延伸调查，落实异常产生原因 步骤 3 中发现的显著性偏差称为异常。会计数据中数字分 布产生异常的原因较多，除了可能的舞弊行为之外，造成数据分 布异常的原因还有： 1.企业特殊的购销特点或者管理规定。例如，经过授权的、反
【关键词】 Benford 定律； 会计舞弊； 数值分析
近年来，会计舞弊不断发生，如何发现舞弊、阻止舞弊、证据 舞弊是会计人员、法务工作者、监管部门不断研究的对象。本文 将 Be nford 定律应用于会计舞弊领域研究，试图以统计学角度 检测数字内在分布规律的分析方法，发现财务舞弊者的造假现 象，进一步发现和获得舞弊证据。Be nford 定律是一种数字统计 的内在规律，在财务、人口普查、股票指数等领域有着很强的数据 适用性。会计、统计、税收、金融及证券市场各种数字可以很好地 符合 Be nford 定律。从具体方法上来看，本文的研究对传统舞弊 侦查方法，如分析性复核法、资产质量分析法、奇异分析法等，是 一个很好的补充。
4 0.0994 0.0753 0.0994 0.1145 0.1084 0.0823 0.0960 0.1043 0.0969
首位数 5
0.0969 0.0808 0.0884 0.0822 0.0669 0.0912 0.0892 0.1139 0.0792
6 0.0662 0.0678 0.0713 0.0644 0.0621 0.0789 0.0672 0.0515 0.0669
值的频率较大。为了证明结论，Be nford 收集了 20 229 个 20 组
数据，这些数据来源千差万别，发现整数 1 在首位出现的概率约
为 30%，整数 2 约为 17%，而 8 和 9 在数字首位出现的概率分
别为 5%和 4%。通过分析，Be nford 发现正常的数据集符合某种
规律，并因此推导出 Be nford 定律的数学表达式，即数字第一位
审计与税务
FRIENDS OF ACCOUNTING
基于 Be nfo rd 定律的会计舞弊发现研究*
江苏科技大学 狄 为 施鹏仙
【摘 要】 文章结合我国上市公司的真实数据，运用 Benford 定律进行会计舞弊分析检测，指出 Benford 定律作为一种数值分析技术应 用于会计舞弊检测，具有操作性好、使用成本低、客观性强等特点，是一种常规的舞弊检查技术方法。但单个会计舞弊公司的财务数据首位 数出现的概率分布与 Benford 定律的理论分布存在较大差异。
首位数 5
0.0830 0.0791 0.0838 0.0917 0.0770 0.0861 0.0875 0.0792
6 0.0663 0.0671 0.0681 0.0731 0.0642 0.0692 0.0612 0.0669
7 0.0587 0.0669 0.0566 0.0614 0.0533 0.0583 0.0588 0.0580
ST 大唐 0.8800 0.8766 0.9403 0.9404 0.9312 0.8902 0.9745 0.9756 0.9434
Be nford 定律的理论数值分布存在着差异。 （三）测试结果 1.沪深 A 股公司。表 2 给出了截止于 2008 年 12 月 31 日沪
深两市发行 A 股的 1 576 家上市公司公布的主要财务数据的首 位数分布情况以及与 Be nford 定律理论分布值的比较。
从表 2 所列的概率分布数值以及相关系数可以看出：总 体上，我国沪深两市 A 股上市公司的主要财务数据首位数的 分布明显呈现出 Be nford 定律所描述的数据首位数出现概率 递减的规律，与 Be nford 定律所描述的数据首位数出现概率 分布数值保持高度的相关，其相关系数达到了 0.9995。不同财 务数据数值分布与 Be nford 定律理论分布值间存在一定程度
2.取整数习惯。例如，在“其他应收款”和“管理费用”科目中 记录很多的是个人借款和报销数据，500、10 000 等整数出现的 频率明显增加。
3.季节性、节假日波动。 4.偶尔的大宗交易、短期内的相似频繁交易活动也会使数据 出现变化。在调查阶段，审查人员应非常谨慎，找出异常原因，尤 其要注意区分是正常经济活动造成的数据分布异常还是由于人 为舞弊产生的异常。
含已退市的上市公司退市后的数据）。 上述样本数据来源于上海证监会网站和中国证监会网站。 （二）测试假设 假设 1：我国上市公司年度报告披露的财务数据总体上应符
合 Be nford 定律。 假设 2：我国上市公司不同财务指标其总体的数据表现在
Be nford 定律方面应有所差别。 假设 3：因违规被公开处罚的上市公司财务数据分布与
74
会 计 之 友 2010 年 第 9 期 中
表 4 4 家虚假财务信息上市公司主要财务数据首位数测试结果
审计与税务
FRIENDS OF ACCOUNTING
时间
2000 年数据 2001 年数据 2002 年数据 2003 年数据 2004 年数据 2005 年数据 2006 年数据 2007 年数据 2008 年数据
字分布的内在规律。该定律揭示了在满足特定条件的情况下，大
量统计数据中数字 1—9 出现在数据首位的概率分布规律。
1881 年，美国数学家 Ne wc omb 最早发现 Be nford 定律。
1938 年，美国通用电气公司（GE）科学家 Frank Be nford 通过研
究，得出和 Ne wc omb 同样的结论：人们处理较小数字开头的数
Be nford 定律揭示了数字 0—9 在呈自然状态下数据的不同 位数上的概率分布的统计规律。美国学者 Te d Hil（l 1995）从理论 上对 Be nford 定律作出了解释，并进行了严谨的数学证明，随后一
些学者从实证方法证明了会计数据中数字分布存在 Be nford 定 律所描绘的客观规律。如果财务数据经过人为的操控，比如受到盈 余管理或会计造假等非正常操作，将会破坏这种规律，使之出现异 常，而且这种异常是舞弊者个人无法操控的。利用这样的规律，可 以通过比较财务数据的数字分布与标准的数字分布，发现是否存 在异常现象，如果存在异常现象，这种异常就可能是由于人为舞弊 造成的（Nig rini，1999）。在发现异常的基础上，再运用审计人员的 专业经验和专业判断进一步调查，就能发现舞弊行为。在实践中， 可以将 Be nford 定律作为检查财务数字信息是否真实的检验器。
上各个非 0 数字出现的概率，用公式表达如下：
∫DD+1P（x）dx ∫110P（x）dx
=
lg（1+
1 D
）
其中：D=1，2，…，9；P 代表概率。
表 1 Be nford 定律整数 1—9 在数字首位上出现的期望概率分布
首位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 概率（%） 30.1 17.6 12.5 9.7 7.9 6.7 5.8 5.1 4.6
表 3 沪深 A 股虚假财务信息的上市公司主要财务数据首位数分布情况比较
沪深 A 股（样本数） 1
总体数据（10 200） 0.2913
总资产（1 460） 0.2870
负债合计（1 459） 0.3023
所有者权益（1 459） 0.3023
营业收入（1 449） 0.2974
利润总额（1 458） 0.2984
表 2 沪深 A 股上市公司主要财务数据首位数分布情况比较
沪深 A 股（样本数） 1
总体数据
0.2831
总资产（15 597） 0.3156
负债合计（15 589） 0.2961
所有者权益（15 597） 0.2712
利润总额（15 557） 0.2493
净利润（15 557） 0.2800
资本公积（15 552） 0.2742
一、Be nfo rd 定律的内涵
奔福德定律 （Be nford's law） 也 被 称为“首位 数 现象 ”
（Firs t- dig it phe nome na）、有效数字法则（Sig nific ant dig it law）、
对数法则（Log arithm Law），是从统计学角度检测鲜为人知的数
be nford's law
0.3010
2 0.1687 0.1591 0.1731 0.1462 0.1464 0.1755 0.1983 0.1761
3 0.1238 0.1110 0.1270 0.1284 0.1118 0.1263 0.1388 0.1249
4 0.0970 0.0924 0.1015 0.1087 0.0879 0.1056 0.0909 0.0969
7 0.0588 0.0582 0.0583 0.0672 0.0573 0.0521 0.0542 0.0645 0.0580
8 0.0575 0.0616 0.0576 0.0617 0.0455 0.0590 0.0652 0.0522 0.0512
相关系数 9 0.0429 0.9989 0.0507 0.9910 0.0404 0.9968 0.0411 0.9868 0.0435 0.9943 0.0528 0.9900 0.0460 0.9958 0.0261 0.9606 0.0458 1.0000
* 本文为江苏省教育厅ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ校哲学社会科学研究项目（09SJD630026）及江苏科技大学人文社科基金项目（2008JG189J；2009JG111J）资助项目。
73
审计与税务
FRIENDS OF ACCOUNTING
复发生的交易。当把这类交易的数据剔除之后，剩下的会计数据 就非常好地吻合了 Be nford 定律的分布。
净利润（1 458） 0.2936
资本公积（1 457） 0.2581
be nford's law
0.3010
2 0.1729 0.1904 0.1679 0.1460 0.1946 0.1543 0.1770 0.1805 0.1761
3 0.1256 0.1281 0.1145 0.1206 0.1242 0.1310 0.1118 0.1489 0.1249
8 0.0518 0.0578 0.0510 0.0518 0.0492 0.0538 0.0486 0.0512
相关系数 9 0.0458 0.9995 0.0510 0.9922 0.0428 0.9993 0.0441 0.9904 0.0406 0.9989 0.0451 0.9979 0.0411 0.9858 0.0458 1.0000
二、Be nfo rd 定律的舞弊检测 基于 Be nford 法则的舞弊检测方法是一种对比检验方法。 其主要操作步骤如下： （一）研究被调查事项，采集数据 审查人员需要深入了解被审计单位的业务，识别和采集审计 需要的数据，并对数据进行初步的处理。 （二）评估 Be nford 法则的适用性，选择目标样本 用 Be nford 定律进行舞弊检测并非放之四海而皆准，而是 有其适用条件的。根据 Hill 的理论，如果这些数据是不同来源、随 机抽样形成的统计数据，那么这些数据将符合 Be nford 法则。 Nig rin（i 1997）提出满足以下三个条件的数据可以用 Be nford 定律进行分析。首先，数据量具备一定规模，能够代表所有样 本，一般而言，数据集越大，统计规律的符合程度越高。其次，没有 人为的范围限制，不能设置最大值与最小值的限制。最后，目标数 据受人的主观意愿影响较小。一般认为人为直接赋值的数据符 合 Be nford 法则的可能性较小。 （三）分析数据，发现异常 可以利用通用软件来完成数字分析，例如 Exc e l、SPSS 等都 可以用来进行分析。本步骤是数据分析中的重点步骤，审查人员 应根据专业经验灵活设定条件，按时间段、科目等进行分类深入 分析，并对出现的偏差持专业谨慎怀疑态度。 （四）延伸调查，落实异常产生原因 步骤 3 中发现的显著性偏差称为异常。会计数据中数字分 布产生异常的原因较多，除了可能的舞弊行为之外，造成数据分 布异常的原因还有： 1.企业特殊的购销特点或者管理规定。例如，经过授权的、反