随机变量及其类型

2.1.3 离散型随机变量
一、 离散型随机变量及其分布律
1、离散型随机变量的概念
若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可 列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。
讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要 知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道 X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。
● 用样本空间的子集，即基本事件的集合来表示
随 机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机 试验的统计规律性及数学工具的运用存在较大局限。 为此，我们将随机试验结果量化，即引入随机变量的 概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存 在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积 分的方法来讨论随机试验。
(3)随机变量X(ω)的值域即为其一切可能取值的全体 构成的集合；
(4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而 且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。
例2.1 一批产品中任意抽取20件作质量检验，作
为检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机 变量。X的一切可能取值为
0，1，2，…，20 {X=0}表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”； {X=1}表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格 品”；
……
{X=k}表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格 品”。
例2.2 将一颗骰子投掷两次，观察所的点数，以X表示
所得点数之和，则X的可能取值为2，3，4，…，12， 而且
{X=2}={(1,1)}, ……………………P(X=2)=1/36 {X=3}={(1,2),(2,1)}, ……………P(X=3)=2/36 {X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)}, ……P(X=4)=3/36
2、分布律
设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1, x2, …, xk, …, 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pk, …, 即
P(X=xk)=pk, (k=1, 2, … )
而且满足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1 , 2, … )
（2） P(Xxk)pk 1
k1
k1
则称P(X=xk)=pk(k=1, 2, … ) 为随机变量X 的概率分布 律，简称分布律。
分布律可用表格形式表示为： X x1 x2 x3 … xk … P p1 p2 p3 … pk …
例2.5 设袋中有5只球，其中有2只白球， 3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求 抽得的白球数X为k的概率。
解 X是一个随机变量 X=k的所有可能取值为0，1，2
P(X＝ k)＝ C2kC C 5333k, k0,1,2
X=X(n)是除得尽n的正整数的个数，则X是一个随机变量，且 有下表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X(n) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 4 4
即可得X取各个可能值的概率为：
X
1
2
3
4
6
P
1/15 6/15 2/15 5/15 1/15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1.1随机变量的概念
由定义可知，随机变量
X(ω)是以样本空间Ω为
定义域的一个单值实值函
数
。
有关随机变量定义的几点说明：
(1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点e的函数，
常用大写字母X、Y、Z 或小写希腊字母、、 等表
示。
(2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验 结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预 知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“a<X<b”的 概率是确定的；
例2.4 一个地铁车站，每隔5分钟有一列地
铁通过该站。一位乘客不知列车通过该站的 时间，他在一个任意时刻到达该站，则他候 车的时间X是一个随机变量，而且X的取值范 围是[0，5]
? 请举几个实际中随机变量的例子
2.1.2 随机变量的分类
随机变量的分类：
随机变量
离散型随机变量 非离散型奇异型 连（ 续混 型合型）
在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对 应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果ω， 都有一个实数X(ω)与之对应，
试验的结果ω 对应关系X
实数X(ω)
则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量， 且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就 是说X是一个随机取值的变量。由此，我们很自然地称 X为随机变量。
二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律
1、 (0-1)分布
若随机变量X的分布律为：
P(X=k)=pk(1-p)1-k， k=0，1，(0<p<1)
…… {X=12}={(6,6)}。 …………………P(X=12)=1/3
6 随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：
X2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/3
6
例2.3 一正整数n等可能地取1,2,3,…,15共十五个值，且设
P ( X 1 ) P ( A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .. 5.p(1) p)4
P ( X 2 ) P { A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .. C. 52p) 2(1p)3
P (X k ) C 5 k p k ( 1 p ) 5 k k 0 ,1 ,.5 ..
例2.6 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标
的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。
解 设Ai 第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5
则A1, A2，…，A5相互独立，且 P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},
P (X 0 ) P (A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ) ( 1 p )5
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概率论与数理统计
● 讲授
第二章 随机变量及其分布
• 随机变量 • 离散型随机变量 • 随机变量的分布函数 • 连续型随机变量 • 随机变量的函数的分布
2.1 随机变量及其类型
2.1.1 随机变量 2.1.2 随机变量的分类 2.1.3 离散型随机变量及其分布 2.1.4 随机变量的分布函数