一阶非完整约束的理想约束力
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s =1 n
λ β a β ∑∑
β= 1
,s
- R s δqs = 0
( 14)
为了使式 ( 14 ) 恒成立 , 可选择一组乘子 λ 1 ,λ 2 , …, λ g , 使它们满足 :
g
・= 0 δq ∑5 q ・
s s
5 fβ
( 21)
β= 1
g
λ βa βε 1 ∑
, +
Rε+1 = 0 Rε+2 = 0
i i i
∑R
i
δr i = 0 ・
( 9)
则称 R 1 , R 2 , …, R N 为理想约束力 , 式 ( 6 ) 称为一阶 线性非完整理想约束组 . 定理一 在 Cq 空间内一阶线性非完整约束是 理想约束的充分必要条件是 : 约束对系统的作用力
R = [ R 1 , R 2 , …, R n ] 可以表示为
N i =1
式中 r i = x ie x + y i ey + z ie z 为系统中第 i 个质点的位 置矢量 , e x , ey , e z 分别为沿 x , y , z 轴正向的单位矢 量 , 在 考 虑 到 完 整 约 束 式 ( 1 ) 后 , 可 以 选 取 q1 , q2 , …, q n ( n = 3 N - m ) 作为描述系统位形的独立 变量 , 称为广义坐标 . 它们构成的 n 维空间称为广 义坐标位形空间 , 记作 Cq , 系统中第 i 个质点的位 置矢量 r 和速度矢量 v = ・ r 用广义坐标和广义速度
i i i i
N
・ C β β = 0 i z i) + D
( 24) 3. 2 Appell - Ч е т а е в 条件[ 5]
) ,男 ,河南永城人 ,河南商丘师范学院物理与信息工程系讲师 ,主要从事理论物理的教学与研究 . 作者简介 : 王保玉 (1964 —
第 10 期
王保玉等 : 一阶非完整约束的理想约束力
5
其次 , 再证明必要性 . 由于式 ( 8 ) 中的 g 个方程 是彼此独立的 , 所以 , 它们的系数矩阵缺秩为零 . 不 失一般性 , 可以假定 a1 ,ε+ 1 a1 ,ε+ 2 … a 1 , n
第 24 卷第 10 期 2005 年 10 月
大 学 物 理 COLL EGE PH YSICS
Vol. 24 No. 10 Oct . 2005
一阶非完整约束的理想约束力
王保玉 ,李祖海
( 商丘师范学院 物理与信息工程系 ,河南 商丘 476000)
摘要 : 通过一阶非完整约束对系统运动限制条件的分析 ,在 Cq 空间中给出一阶非完整理想约束力的表示形式 . 在速度空 间中阐明一阶非完整约束力的几何意义 . 最后证明 Appell - Ч е т а е в 条件是实现一阶非线性非完整理想约束的充分必要条件 . 关键词 : 一阶非完整约束 ; 理想约束力 ; 速度空间 ;Lagrange 乘子 ; 虚功 ; 虚位移 ; Ч е т а е в 条件 ; 可能速度虚变更 中图分类号 :O 316 文献标识码 :A 文章编号 :1000 20712 ( 2005) 10 20004 204
g
时 , 则称一阶非完整约束式 ( 2) 为理想约束 . 由于式 ( 22) 中 P 的量纲为功率的量纲 , 所以式
( 22) 可以理解为 :在一阶非完整约束下 , 作用在系统
Rs =
β= 1
λ βa β ∑
,s
) ( s = 1 , 2 , …,ε
( 17)
将式 ( 15) 与 ( 17) 合并在一起就是式 ( 10 ) , 即定理得 证.
n s =1
δΒιβλιοθήκη Baidu =
s =1
s qs = ∑Rδ
β= 1
λ α β∑ β, δ s qs ∑
s =1
( 11)
注意到一阶线性非完整约束对系统虚位移的限制条 件式 ( 8) , 立即可以得到 δW ≡ 0
∑aβ
, s d qs
+ a βd t = 0
( 7)
收稿日期 :2004 - 12 - 06
3 一阶非完整理想约束力的几何意 义 及
Ч е т а е в 条件
3. 1 一阶非完整理想约束力的几何意义
为了看清楚一阶非完整理想约束力的几何意 义 ,我们先从最简单的一阶线性非完整约束开始讨 论 . 在一阶线性非完整约束下 ,式 ( 2) 可以表为
i =1
∑( Aβ x・ + Bβ y・ +
A= a2 ,ε+ 1 a2 ,ε+ 2
统的运动产生限制 , 而对系统的位形没有任何限 制 [ 3 ] . 于是 , 我们把系统在给定时刻 、 给定位形 ( 称 为给定事件) 情况下 , 任意一组满足约束方程式 ( 5 ) ・= [ q ・, q ・ , …, q ・ 的广义速度在 Cq 空间中记作 q
n g n
式 (5) 所表示的一阶非完整约束方程组具有一般性 , 如 果非完整约束是一阶线性约束 ,则式 (5) 可以表示为
n s =1
∑aβ
, s qs
・+ a = 0 (β = 1 , 2 , …, g) β
( 6)
在 d t 时间内 , 系统的真实位移应满足一阶线性非完 整约束方程式 ( 6) , 即
( 20)
δW =
s =1
∑Rδq
s
s
= 0
( 13)
将方程组 ( 8 ) 乘以待定乘子 λ β , 对 β 求和后与式 ( 13) 相减 , 立即可以得到
n g s =1
称为可能广义速度的虚变更 ( 或虚速度 ) . 由于式 ( 18) 和式 ( 19) 都满足约束方程式 ( 5) ,所以有 ・+ δ ・, t ) - f ( q , q ・, t ) = fβ ( qs , q q β s s s s
・, y ・, z ・ , …, x ・,y ・,z ・ 作为空间变 如果取 x 1 1 1 N N N 量 , x 1 , y 1 , z 1 , …, x N , y N , z N , t 作为参数 , 建立一个 速度空间 [ 4 ] 坐标系 , 一阶非完整约束方程组式 ( 2 ) 可以视为速度空间中的 g 张含有参数的曲面 , 系统 的真实运动必定发生在这 g 张曲面的交集上 . 为了 保证非完整约束作用在系统中各质点上的约束力为 理想约束力 , 约束力的方向必定沿着速度空间中各 约束曲面的法线方向 . 于是 , 系统中第 i 个质点受第 β个一阶非完整约束作用的理想约束力可以表示为
β= 1
λ βa βε 2 ∑
, +
式 ( 21) 就是一阶非完整约束对系统运动的限制条 件 . 它从分析力学的角度体现了一阶非完整约束对 系统产生的作用效果 .
2. 2 一阶非线性非完整约束的理想约束力
……
g
β= 1
λ β a β ∑
,n
- Rn = 0
由式 ( 12 ) 知 , 总可以找到一组不全为零的乘子 λ 1, λ λ 2 , …, g 使以上方程组成立 , 即
g
设一阶非线性非完整约束作用在系统中各质点 上的约束力为 R 1 , R 2 , …, R N . 既然一阶非完整约 束只能限制系统的运动 , 而不限制系统的位形 , 当系 ¨ ¨ ¨ 统的可能速度虚变更 δ r 1 ,δ r 2 , …,δ r N 满足约束方 程 ( 2) 时 , 定义 : 当一阶非完整约束作用在系统中各质点上的约 束力满足
g
可分别表示为
r i = r i ( q1 , q2 , …, q n , t ) v = ・ ri = ( 3) ( 4)
T
s =1
・+ ∑5 q q 5t
s s
n
5 ri
5 ri
Rs =
β= 1
λ α β β ∑
,s
( s = 1 , 2 , …, n )
( 10)
在考虑到式 ( 3) 和式 ( 4 ) 后 , 一阶非完整约束方程式 ( 2 ) 可以改写成 ・, t) = 0 ( s = 1 , 2 , …, n ;β= 1 , 2 , …, g) ( 5) f ( q , q
1 2
n
… a2 , n … … … ag , n
…
a g ,ε+ 1
…
a g ,ε+ 2
≠ 0
( 12)
] ,称为系统的可能广义速度 . 由于式 ( 5 ) 中方程的
T
数目小于广义速度的分量数目 ,因此 ,在给定事件点 的情况下 ,系统的可能广义速度可以有很多组 . 在某 事件点邻近 ,任取两组可能广义速度 : ・ ・, q ・ , …, q ・] T ( 18) q =[q
s=1
和 g 个一阶非完整约束 fβ0 ( r i , ・ r i , t ) = 0 ( i = 1 , 2 , …, N ;β= 1 , 2 , …, g)
( 2)
∑a β, δ s qs = 0 (β= 1 , 2 , …, g )
n
( 8)
要想使系统的运动满足式 ( 6) , 非完整约束必须 对系统中各质点施加力 R 1 , R 2 , …, R N 的作用 , 称 为一阶线性非完整约束作用在系统中各质点上的约 束力 . 与完整约束相仿 , 如果
s
在专著 [ 2 ]中列举出了许多关于非完整约束系 统的例子 , 通过对这些例子的认真分析可以看出 , 它 们都有一个共同的特点 , 即一阶非完整约束只对系
其中 λ 1 ,λ 2 , …, λ g 是 g 个 待 定 的 lagrange 乘 子 ,
6
大 学 物 理
第 24 卷
・, t ) = 0 是一阶非线性非完整约束 , R 为所 fβ( qs , q s s 有一阶非线性非完整约束作用在系统上的为限制系 统的运动 ・ q s 而施加的广义约束力的合力 . 将式 ( 10 ) 与式 ( 23) 相比较可以看出 , 式 ( 10 ) 是式 ( 23 ) 在非完 整约束为一阶线性约束情况下的特例 . 定理二的证 明与定理一的证明完全相同 ( 这里从略) .
1 一阶线性非完整约束的理想约束力
设一质点系由 N 个质点组成 , 受 m 个完整约 束
F α( r 1 , r 2 , …, r N , t ) = 0 (α= 1 , 2 , …, m ) ( 1)
式中 d q1 , d q2 , …, d q n 称为系统的可能位移 [ 1 ] . 由于 式 ( 7) 中的可能位移数目大于方程数目 , 所以系统 的可能位移可以有很多组 , 任意两组可能位移之差 , δq2 , …δ 称为系统的虚位移 , 记作δq1 , , q n , 而系统 的虚位移满足的约束方程为
2 一阶非线性非完整约束的理想约束力
2. 1 一阶非完整约束限制了什么
中各质点上的非完整约束力的虚功率之和恒等于 零. 定理二 在广义坐标位形空间 Cq 内 , 一阶非 线性非完整约束是理想约束的充分必要条件是 : 约 束对系统的作用力 R = [ R 1 , R 2 , …, R n ] T 可以表 示为 g 5 fβ λ ( 23) Rs = ∑ ( s = 1 , 2 , …, n ) β ・ β= 1 5q
1 2
n
δq n , 使 这样 , 由约束方程组式 ( 8) 解出δq , q ε+ 1 δ ε+ 2 , 它们用δq1 ,δq2 , …,δq ε 表示 , 而δq λ (λ = 1 , 2 , …, ε ) 则是彼此独立的 . 如果约束是理想的 , 根据理想约束定义 , 恒有
n
・ ・ ・ +δq ・, q ・ +δq ・ , …δ ・] T ( 19) q +δq =[q , q 1 1 2 2 n 它们的差 ・ ・δ ・ ・] T δq δq =[ , q 1 , q 2 , …δ n
N
Rε+γ =
β= 1
λ βa β ε γ (γ = 1 , 2 , …, g ) ∑
, +
g
( 15)
将式 ( 15) 代入式 ( 14) 可以得到
ε
s =1
∑
β= 1
λ β a β, s - R s δqs = 0 ∑
( 16)
δP =
i =1
∑R
i
・ δr ・ i = 0
( 22)
由于δq1 δ , q2 , …δ , q ε 是彼此独立的 , 要使式 ( 16 ) 恒 成立 , 必有
β
s s
式中 λ 1 ,λ 2 , …, λ g 是 g 个待定的乘子 , 仍称为
Lagrange乘子 . R s 为所有一阶线性非完整约束作用
在系统上的约束力的合力在 qs 上的分量 . 证明 :首先证明式 ( 10) 的充分性 . 假定式 ( 10) 成立 , 则一阶线性非完整约束作用 在系统上的约束力对系统所作的虚功之和为
λ β a β ∑∑
β= 1
,s
- R s δqs = 0
( 14)
为了使式 ( 14 ) 恒成立 , 可选择一组乘子 λ 1 ,λ 2 , …, λ g , 使它们满足 :
g
・= 0 δq ∑5 q ・
s s
5 fβ
( 21)
β= 1
g
λ βa βε 1 ∑
, +
Rε+1 = 0 Rε+2 = 0
i i i
∑R
i
δr i = 0 ・
( 9)
则称 R 1 , R 2 , …, R N 为理想约束力 , 式 ( 6 ) 称为一阶 线性非完整理想约束组 . 定理一 在 Cq 空间内一阶线性非完整约束是 理想约束的充分必要条件是 : 约束对系统的作用力
R = [ R 1 , R 2 , …, R n ] 可以表示为
N i =1
式中 r i = x ie x + y i ey + z ie z 为系统中第 i 个质点的位 置矢量 , e x , ey , e z 分别为沿 x , y , z 轴正向的单位矢 量 , 在 考 虑 到 完 整 约 束 式 ( 1 ) 后 , 可 以 选 取 q1 , q2 , …, q n ( n = 3 N - m ) 作为描述系统位形的独立 变量 , 称为广义坐标 . 它们构成的 n 维空间称为广 义坐标位形空间 , 记作 Cq , 系统中第 i 个质点的位 置矢量 r 和速度矢量 v = ・ r 用广义坐标和广义速度
i i i i
N
・ C β β = 0 i z i) + D
( 24) 3. 2 Appell - Ч е т а е в 条件[ 5]
) ,男 ,河南永城人 ,河南商丘师范学院物理与信息工程系讲师 ,主要从事理论物理的教学与研究 . 作者简介 : 王保玉 (1964 —
第 10 期
王保玉等 : 一阶非完整约束的理想约束力
5
其次 , 再证明必要性 . 由于式 ( 8 ) 中的 g 个方程 是彼此独立的 , 所以 , 它们的系数矩阵缺秩为零 . 不 失一般性 , 可以假定 a1 ,ε+ 1 a1 ,ε+ 2 … a 1 , n
第 24 卷第 10 期 2005 年 10 月
大 学 物 理 COLL EGE PH YSICS
Vol. 24 No. 10 Oct . 2005
一阶非完整约束的理想约束力
王保玉 ,李祖海
( 商丘师范学院 物理与信息工程系 ,河南 商丘 476000)
摘要 : 通过一阶非完整约束对系统运动限制条件的分析 ,在 Cq 空间中给出一阶非完整理想约束力的表示形式 . 在速度空 间中阐明一阶非完整约束力的几何意义 . 最后证明 Appell - Ч е т а е в 条件是实现一阶非线性非完整理想约束的充分必要条件 . 关键词 : 一阶非完整约束 ; 理想约束力 ; 速度空间 ;Lagrange 乘子 ; 虚功 ; 虚位移 ; Ч е т а е в 条件 ; 可能速度虚变更 中图分类号 :O 316 文献标识码 :A 文章编号 :1000 20712 ( 2005) 10 20004 204
g
时 , 则称一阶非完整约束式 ( 2) 为理想约束 . 由于式 ( 22) 中 P 的量纲为功率的量纲 , 所以式
( 22) 可以理解为 :在一阶非完整约束下 , 作用在系统
Rs =
β= 1
λ βa β ∑
,s
) ( s = 1 , 2 , …,ε
( 17)
将式 ( 15) 与 ( 17) 合并在一起就是式 ( 10 ) , 即定理得 证.
n s =1
δΒιβλιοθήκη Baidu =
s =1
s qs = ∑Rδ
β= 1
λ α β∑ β, δ s qs ∑
s =1
( 11)
注意到一阶线性非完整约束对系统虚位移的限制条 件式 ( 8) , 立即可以得到 δW ≡ 0
∑aβ
, s d qs
+ a βd t = 0
( 7)
收稿日期 :2004 - 12 - 06
3 一阶非完整理想约束力的几何意 义 及
Ч е т а е в 条件
3. 1 一阶非完整理想约束力的几何意义
为了看清楚一阶非完整理想约束力的几何意 义 ,我们先从最简单的一阶线性非完整约束开始讨 论 . 在一阶线性非完整约束下 ,式 ( 2) 可以表为
i =1
∑( Aβ x・ + Bβ y・ +
A= a2 ,ε+ 1 a2 ,ε+ 2
统的运动产生限制 , 而对系统的位形没有任何限 制 [ 3 ] . 于是 , 我们把系统在给定时刻 、 给定位形 ( 称 为给定事件) 情况下 , 任意一组满足约束方程式 ( 5 ) ・= [ q ・, q ・ , …, q ・ 的广义速度在 Cq 空间中记作 q
n g n
式 (5) 所表示的一阶非完整约束方程组具有一般性 , 如 果非完整约束是一阶线性约束 ,则式 (5) 可以表示为
n s =1
∑aβ
, s qs
・+ a = 0 (β = 1 , 2 , …, g) β
( 6)
在 d t 时间内 , 系统的真实位移应满足一阶线性非完 整约束方程式 ( 6) , 即
( 20)
δW =
s =1
∑Rδq
s
s
= 0
( 13)
将方程组 ( 8 ) 乘以待定乘子 λ β , 对 β 求和后与式 ( 13) 相减 , 立即可以得到
n g s =1
称为可能广义速度的虚变更 ( 或虚速度 ) . 由于式 ( 18) 和式 ( 19) 都满足约束方程式 ( 5) ,所以有 ・+ δ ・, t ) - f ( q , q ・, t ) = fβ ( qs , q q β s s s s
・, y ・, z ・ , …, x ・,y ・,z ・ 作为空间变 如果取 x 1 1 1 N N N 量 , x 1 , y 1 , z 1 , …, x N , y N , z N , t 作为参数 , 建立一个 速度空间 [ 4 ] 坐标系 , 一阶非完整约束方程组式 ( 2 ) 可以视为速度空间中的 g 张含有参数的曲面 , 系统 的真实运动必定发生在这 g 张曲面的交集上 . 为了 保证非完整约束作用在系统中各质点上的约束力为 理想约束力 , 约束力的方向必定沿着速度空间中各 约束曲面的法线方向 . 于是 , 系统中第 i 个质点受第 β个一阶非完整约束作用的理想约束力可以表示为
β= 1
λ βa βε 2 ∑
, +
式 ( 21) 就是一阶非完整约束对系统运动的限制条 件 . 它从分析力学的角度体现了一阶非完整约束对 系统产生的作用效果 .
2. 2 一阶非线性非完整约束的理想约束力
……
g
β= 1
λ β a β ∑
,n
- Rn = 0
由式 ( 12 ) 知 , 总可以找到一组不全为零的乘子 λ 1, λ λ 2 , …, g 使以上方程组成立 , 即
g
设一阶非线性非完整约束作用在系统中各质点 上的约束力为 R 1 , R 2 , …, R N . 既然一阶非完整约 束只能限制系统的运动 , 而不限制系统的位形 , 当系 ¨ ¨ ¨ 统的可能速度虚变更 δ r 1 ,δ r 2 , …,δ r N 满足约束方 程 ( 2) 时 , 定义 : 当一阶非完整约束作用在系统中各质点上的约 束力满足
g
可分别表示为
r i = r i ( q1 , q2 , …, q n , t ) v = ・ ri = ( 3) ( 4)
T
s =1
・+ ∑5 q q 5t
s s
n
5 ri
5 ri
Rs =
β= 1
λ α β β ∑
,s
( s = 1 , 2 , …, n )
( 10)
在考虑到式 ( 3) 和式 ( 4 ) 后 , 一阶非完整约束方程式 ( 2 ) 可以改写成 ・, t) = 0 ( s = 1 , 2 , …, n ;β= 1 , 2 , …, g) ( 5) f ( q , q
1 2
n
… a2 , n … … … ag , n
…
a g ,ε+ 1
…
a g ,ε+ 2
≠ 0
( 12)
] ,称为系统的可能广义速度 . 由于式 ( 5 ) 中方程的
T
数目小于广义速度的分量数目 ,因此 ,在给定事件点 的情况下 ,系统的可能广义速度可以有很多组 . 在某 事件点邻近 ,任取两组可能广义速度 : ・ ・, q ・ , …, q ・] T ( 18) q =[q
s=1
和 g 个一阶非完整约束 fβ0 ( r i , ・ r i , t ) = 0 ( i = 1 , 2 , …, N ;β= 1 , 2 , …, g)
( 2)
∑a β, δ s qs = 0 (β= 1 , 2 , …, g )
n
( 8)
要想使系统的运动满足式 ( 6) , 非完整约束必须 对系统中各质点施加力 R 1 , R 2 , …, R N 的作用 , 称 为一阶线性非完整约束作用在系统中各质点上的约 束力 . 与完整约束相仿 , 如果
s
在专著 [ 2 ]中列举出了许多关于非完整约束系 统的例子 , 通过对这些例子的认真分析可以看出 , 它 们都有一个共同的特点 , 即一阶非完整约束只对系
其中 λ 1 ,λ 2 , …, λ g 是 g 个 待 定 的 lagrange 乘 子 ,
6
大 学 物 理
第 24 卷
・, t ) = 0 是一阶非线性非完整约束 , R 为所 fβ( qs , q s s 有一阶非线性非完整约束作用在系统上的为限制系 统的运动 ・ q s 而施加的广义约束力的合力 . 将式 ( 10 ) 与式 ( 23) 相比较可以看出 , 式 ( 10 ) 是式 ( 23 ) 在非完 整约束为一阶线性约束情况下的特例 . 定理二的证 明与定理一的证明完全相同 ( 这里从略) .
1 一阶线性非完整约束的理想约束力
设一质点系由 N 个质点组成 , 受 m 个完整约 束
F α( r 1 , r 2 , …, r N , t ) = 0 (α= 1 , 2 , …, m ) ( 1)
式中 d q1 , d q2 , …, d q n 称为系统的可能位移 [ 1 ] . 由于 式 ( 7) 中的可能位移数目大于方程数目 , 所以系统 的可能位移可以有很多组 , 任意两组可能位移之差 , δq2 , …δ 称为系统的虚位移 , 记作δq1 , , q n , 而系统 的虚位移满足的约束方程为
2 一阶非线性非完整约束的理想约束力
2. 1 一阶非完整约束限制了什么
中各质点上的非完整约束力的虚功率之和恒等于 零. 定理二 在广义坐标位形空间 Cq 内 , 一阶非 线性非完整约束是理想约束的充分必要条件是 : 约 束对系统的作用力 R = [ R 1 , R 2 , …, R n ] T 可以表 示为 g 5 fβ λ ( 23) Rs = ∑ ( s = 1 , 2 , …, n ) β ・ β= 1 5q
1 2
n
δq n , 使 这样 , 由约束方程组式 ( 8) 解出δq , q ε+ 1 δ ε+ 2 , 它们用δq1 ,δq2 , …,δq ε 表示 , 而δq λ (λ = 1 , 2 , …, ε ) 则是彼此独立的 . 如果约束是理想的 , 根据理想约束定义 , 恒有
n
・ ・ ・ +δq ・, q ・ +δq ・ , …δ ・] T ( 19) q +δq =[q , q 1 1 2 2 n 它们的差 ・ ・δ ・ ・] T δq δq =[ , q 1 , q 2 , …δ n
N
Rε+γ =
β= 1
λ βa β ε γ (γ = 1 , 2 , …, g ) ∑
, +
g
( 15)
将式 ( 15) 代入式 ( 14) 可以得到
ε
s =1
∑
β= 1
λ β a β, s - R s δqs = 0 ∑
( 16)
δP =
i =1
∑R
i
・ δr ・ i = 0
( 22)
由于δq1 δ , q2 , …δ , q ε 是彼此独立的 , 要使式 ( 16 ) 恒 成立 , 必有
β
s s
式中 λ 1 ,λ 2 , …, λ g 是 g 个待定的乘子 , 仍称为
Lagrange乘子 . R s 为所有一阶线性非完整约束作用
在系统上的约束力的合力在 qs 上的分量 . 证明 :首先证明式 ( 10) 的充分性 . 假定式 ( 10) 成立 , 则一阶线性非完整约束作用 在系统上的约束力对系统所作的虚功之和为