连续时间系统状态方程的离散化

令T＝0.1秒，得系统离散化状态空间表达式
x2 (kT )
x 1 ( kT ) y ( kT ) = x 1 ( kT ) = [ 1 0 ] x 2 ( kT ) 0 . 095 x 1 ( kT ) x1 ( k + 1)T 0 . 995 0 . 005 x ( k + 1 ) T = − 0 . 095 x ( kT ) + 0 . 095 r ( kT ) 0 . 905 2 2 x 1 ( kT ) y ( kT ) = [ 1 0 ] x 2 ( kT )
1 −2T 1/ 2(1−e ) 4(2T+e −1) dt= 1 −2t e (1−e−2T) 2
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和 H(t)都是确定的系数矩阵 (2)离散化后得状态方程，可按递推法或 Z变换法求出解
x(k ) = Φ (k ) x(0) + ∑ Φ (k − j − 1) Hu ( j )
2.6
连续时间系统状态方程的离散化 －需先将其状态方程化为离散方程
(1)用计算机对连续时间系统状态方程求解
（2）对连续受控对象进行计算机在线控制 －受控对象模型离散化
ɺ x = Ax + Bu y = Cx
假设：(1)t=kT,T为采样周期，且很 小,k=0,1,2…为一正整数 （2）u(t)只在采样时离散化，即在 kt≤t≤(k+1)T,u(t)=u(kT)=常数，0阶保持 一、线性定常系统状态方程的离散化 －（按非齐次状态方程解，求出） 线性定常系统状态方程的解为： t x ( t ) = Φ ( t − t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ Φ ( t − τ)Bu (τ)dτ
方法1、线性定常系统离散化
1 1− e−t (1)a、e = L [sI − A] = −t 0 e −T ∗ AT 1 1− e b、G (t) = e = −T 0 e T + e−T −1 T AT T 1 1− e−t 0 ∗ c、H (T)∫0 e Bdt= ∫0 −t 1dt = −T 0 e 1− e d、x[(k +1)T] = G∗(T)x(kT) + H∗(T)u(kT) 1 1− e−T x1(kT) T + e−T −1 = −T x (kT) + −T u(kT) 1− e 0 e 2
1 (3)H(T) = ∫ 0 0
T T 1/ 2(1−e )0 1 dt= ∫0 −2t e 1 0 −2t −2t
x 1 [( k + 1)T] x 1 (kT ) (4) = [G (T)] x (kT ) + [H (kT) U (kT)] x 2 [( k + 1)T] 2
=
T ∫0
I ⋅ B ⋅ dt = BT
结论：上式为近似计算方法 例2.6 已知时变系统
0 5(1 − e −5t ) 5 5e −5t u ɺ x= x + −5t −5t 0 5(e − 1) 0 5(1 − e )
试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为
0, x(0) = 0时，方程在采样时刻的近似解 u (t ) = 0 1
解：)离散化，取T = 0.2秒，t = kT = 0.2k (1 0 5(1 − e − k ) G∗ ( KT ) = I + TA(kT ) = 1 0 + 0.2 −k 0 1 0 5(e − 1) 1 1 − e − k = 0 e−k 5 5e − k ∗ H (kT ) = TB ( kT ) = 0.2 −k 0 5(1 − e ) 1 e−k = 0 1 − e− k 代入x[(k + 1)T ] = G ∗ (kT ) x(kT ) + H ∗ (kT )u (kT ) 得：离散化方程为 x1[(k + 1)T ] 1 1 − e − k x1 (kT ) 1 e − k u1 (kT ) − k x ( kT ) + x2[(k + 1)T ] = 0 e 0 1 − e − k u2 (kT ) 2
方法2、近似离散化 A(kT)=A定常 B(kT)=B
T a、G ∗ ( kT ) = I + TA = 1 0 1 − T ∗ 0 b、H ( kT ) = TB = T x1[( k + 1)T ] 1 T x1 ( kT ) 0 x2 [( k + 1)T ] = 0 1 − t x2 ( kT ) + T u ( kT ) u ( kT ) = r ( kT ) − x1 ( kT )
00 + 1 10 = 1 10 0 01 0 0.631 + 1 0.370 = 1.37 0.370 0 0.631 0.63 0.8651.37 + 1 0.1350 = 2.05 0.1350.63 0 0.8651 0.95
解： 1 1 / 2(1 − e − 2 t ) （）Φ ( t ) = L−1 [SI − A]−1 = 1 −2 t e 0 1 1 / 2(1 − e − 2 t ) ( 2) G ( T ) = Φ ( t ) t = T = −2 t e 0
（2）用递推法求离散方程的近似解： 取k＝0，1，2…T＝0.2秒，并代入输入函数和 初始条件可得近似解：
x1(0.2) 1 x2 (0.2) = 0 x1(0.4) 1 x2 (0.4) = 0 递推求下去 x1(0.6) 1 x2 (0.6) = 0
1 解：对象 的状态方程和输出方程为 s ( s + 1)
说明：
ɺ x1 0 1 x1 0 x = 0 − 1 x + 1u 2 ɺ2 x1 y = x1 = [1 0] x2
u(t)是零阶保持器的输出，即u(kT)=常数 满足假设，可离散化
t = kT ：
x[(k + 1)T ] − x(kT ) ɺ x(kT ) = = A(kT) x(kT ) + B(kT )u(kT) T x[(k + 1)T ] = [I + TA(kT )]X (kT) + TB(kT )u(kT ) ∗ ∗ x[(k + 1)T ] = G (kT ) x(kT ) + H (kT )u(kT ) ∗ G (kT) = I + TA(kT ) ∗ H (kT ) = TB(kT )
t0
取t 0 = kT, t = (k + 1)T, u (τ) = u (kT ) = 常数
(k+1)T x([( +1பைடு நூலகம்T] = Φ(T)x(kt) + ∫kT φ[(k +1)T −τ]Bu kT)dτ k ( AT
令 G (T ) = Φ (T ) = e ( k +1)T A[( k +1)T −τ ] H (T ) = ∫kT e ⋅ Bd τ 设 t = ( k + 1)T − τ , dt = − d τ 下限 τ = kT , 相当于 t = T 上限 τ ＝（ k ＋1） T , 相当于 t = 0 T AT T 则： H (T ) = ∫0 e Bdt = ∫0 Φ ( t )Bdt 得连续离散化方程 : x ([( k + 1)T ] = G (T ) x ( kT ) + H (T ) u ( kT ) 即 t = kT 时刻， y ( kT ) = Cx ( kT ) + Du ( kT ) 离散后 C 与 D 不改变
比较: 当 G (kT) = Φ(T ) = e
∗ AT
1 = I + AT + ( AT)2 + ⋯≈ I + AT 2!
T的值越小,近似程度越高
= 又 H（kT）
∗
T AT ∫0 e Bdt
=
T ∫0 [ I
1 + At + ( At ) 2 + ⋯]Bdt 2!
T很小,t就很小,将包含t的各式略去
三、计算机控制系统的状态空间表达式 （一）计算机控制系统的组成 连续部分：保持和被控对象串联 离散部分：数字计算机
（二）连续部分离散化，求被控对象离散化状 态方程。
（三）系统的离散化状态空间表达式： 根据系统结构确定系统的离散状态方程和输出 方程。特点u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-Cx(kT), 例2.7 求如图所示的计算机控制系统的状态方程
归纳：将连续状态方程离散化步骤
1、求Φ(t )＝e = L [ SI − A] 2、G(T ) = Φ(T ) = Φ(t ) t = T T At 3、求H (T ) = ∫0 e Bdt 4、求x[(k + 1)T ] = G(T ) x(kT ) + H (T )u (kT )
At
−1
−1
例2.5已知控制对象满足 1 x + 0u，求其离散化方程 ɺ = 0 x 0 1 −2
At −1 −1
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化 状态方程。
x1[(k + 1)] 1 1 − e −T x1 (kT ) T + e −T − 1 u (kT ) x [(k + 1)] = + −T −T e x2 (kT ) 1 − e 2 0 2 − T − e −T 1 − e −T x1 (kT ) T + e −T − 1 = −T r (kT ) + −T −T e x2 (kT ) 1 − e e −1 x1 (kT ) 系统输出方程 y (kT ) = x1 (kT ) = [1 0]
系统离散状态方程（T＝0.1） 可见T较小时， x1[(k + 1)T ] 0.9 0.1 x1(kT ) 0 = + r (kT ) 两种方法得 x2[(k + 1)T ] − 0.1 0.9 x2 (kT ) 0.1 状态空间表 x1(kT ) 达式近似相 输出y(kT ) = [1 0] 等。 x2 (kT ) 离散方程求解可按2.3递推法或Z变换求解
j =1 k −1
二、线性时变系统状态方程的离散化 －－按导数定义近似求出，也称近似计算方法 假设T很小T≤0.1Tmin（最小时间常数），精度要 求不高时，可用差商代替微商。
x (t + ∆ t ) − x (t ) ɺ x ( t ) = lim ∆t→ 0 ∆t 求取 [ kT , ( k + 1 ) T ]区间的导数 x [( k + 1 ) T ] − x ( kT ) ɺ x ( t ) = lim T → 0 T