连续时间系统状态方程的离散化

合集下载

现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.线性系统的状态空间表达式如下，则系统能控能观子空间为（）维系统。

【图片】答案:22.已知线性定常系统的状态方程如下，状态反馈阵【图片】（）使闭环系统极点配置为【图片】。

【图片】答案:3.下列语句中，正确的是（）。

答案:系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的。

4.线性系统的状态空间表达式为如下，则系统的模拟结构图为（）。

【图片】答案:5.系统方框图，如下图所示，则根据系统方框图建立的状态空间表达式为（）。

【图片】答案:6.已知机械系统如下图所示。

其中质量块m受到外力u(t)的作用产生位移y(t)，质量块m与地面之间无摩擦。

以外力 u(t)为输入信号，位移y(t)为输出量，系统状态空间模型为（）。

【图片】答案:7.若A、B是方阵，则必有【图片】。

答案:错误8.已知单输入单输出系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。

答案:9.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。

答案:10.原系统传递函数阵的阶数一定高于能控能观子系统传递函数的阶数。

答案:错误11.带状态观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有相同的传递函数矩阵。

答案:正确12.带状态观测器的状态反馈系统，观测器的极点会全部被闭环系统的零点相消。

答案:正确13.单输入-单输出线性时不变系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为（）。

答案:14.系统方框图如下所示，则系统的状态空间表达式为（）。

【图片】答案:；15.RLC电路网络如下图所示，其中【图片】为输入电压, 【图片】为输出电压。

选择状态变量【图片】，则系统状态空间表达式为（）。

【图片】答案:16.已知单输入单输出系统的微分方程为【图片】，则系统状态空间模型为（）。

答案:17.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式的对角型实现为（）。

答案:18.已知非线性系统的微分方程为【图片】，则利用近似线性化方法得到系统的局部线性化状态方程是（）。

离散化的状态方程

=
T ∫0
I ⋅ B ⋅ dt = BT
结论：上式为近似计算方法例2.6 已知时变系统
0 5(1 − e −5t ) 5 5e −5t u ɺ x= x + −5t −5t 0 5(e − 1) 0 5(1 − e )
试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为
0, x(0) = 0时，方程在采样时刻的近似解 u (t ) = 0 1
1 (3)H(T) = ∫ 0 0
T T 1/ 2(1−e )0 1 dt= ∫0 −2t e 1 0 −2t −2t
x 1 [( k + 1)T] x 1 (kT ) (4) = [G (T)] x (kT ) + [H (kT) U (kT)] x 2 [( k + 1)T] 2
归纳：将连续状态方程离散化步骤
1、求Φ(t )＝e = L [ SI − A] 2、G(T ) = Φ(T ) = Φ(t ) t = T T At 3、求H (T ) = ∫0 e Bdt 4、求x[(k + 1)T ] = G(T ) x(kT ) + H (T )u (kT )
At
−1
−1
例2.5已知控制对象满足 1 x + 0u，求其离散化方程 ɺ = 0 x 0 1 −2
系统离散状态方程（T＝0.1）可见T较小时， x1[(k + 1)T ] 0.9 0.1 x1(kT ) 0 = + r (kT ) 两种方法得 x2[(k + 1)T ] − 0.1 0.9 x2 (kT ) 0.1 状态空间表 x1(kT ) 达式近似相输出y(kT ) = [1 0] 等。 x2 (kT ) 离散方程求解可按2.3递推法或Z变换求解

状态方程离散化前向欧拉法

状态方程、离散化与前向欧拉法1. 状态方程状态方程是描述动态系统行为的数学模型，可以用来描述物理、生物、经济等各种系统。

在控制论、系统论和动力学中，状态方程常常以微分方程的形式出现，用来描述系统的状态随时间的变化规律。

一般而言，状态方程可以表示为：dx/dt = f(x, u)其中，x表示系统的状态向量，u表示系统的输入向量，f(x, u)表示状态向量x和输入向量u的函数关系。

这个方程可以理解为状态向量x在时间上的导数等于状态向量和输入向量的函数关系。

2. 离散化离散化是将连续时间的系统转换为离散时间的系统的过程。

在实际控制系统中，往往需要将连续时间的状态方程转换为离散时间的状态方程，以便于数字计算机进行处理和控制。

离散化的过程可以通过采样和量化来实现。

采样是指在固定的时间间隔内对系统的状态进行测量，量化是指将连续的状态值映射为离散的数值。

离散化后的状态方程可以表示为：x(k+1) = F(x(k), u(k))其中，k表示离散时间步数，x(k)表示第k个时间步的状态向量，u(k)表示第k个时间步的输入向量，F(x(k), u(k))表示离散时间步之间状态向量和输入向量的函数关系。

3. 前向欧拉法前向欧拉法是一种常用的离散化方法，通过使用离散时间步的导数来近似连续时间的导数。

它的基本思想是将连续时间的状态方程在每个时间步上进行线性化，然后通过计算斜率来估计下一个时间步的状态。

前向欧拉法的离散化过程可以表示为：x(k+1) = x(k) + h * f(x(k), u(k))其中，h表示离散时间步长，f(x(k), u(k))表示在第k个时间步上的状态向量和输入向量的导数。

前向欧拉法的优点是简单易实现，计算量小。

然而，它的精度相对较低，容易积累误差，并且在处理非线性系统时可能出现不稳定的情况。

4. 总结状态方程是描述动态系统行为的数学模型，离散化是将连续时间的系统转换为离散时间的系统的过程，而前向欧拉法是一种常用的离散化方法。

2.3线性连续时间状态空间表达式的离散化

§2.3 线性连续时间状态空间表达式的离散化如果用数字计算机对连续时间状态方程求解，或者对连续受控对象采用数字计算机进行在线控制，都要碰到一个将连续时间系统化为离散时间系统的问题。

本节将讨论线性连续时间状态空间表达式的离散化方法。

一、线性时变系统的离散化设原线性系统的状态空间表达式为：).()t (u )t (D )t (X )t (C Y )t (u )t (B )t (X )t (A X612⎩⎨⎧+=+=离散化后状态空间表达式为：[]).()kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y )kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X 6221⎩⎨⎧⋅+⋅=+=+式（2.61）、（2.62）之间的系数关系如下[][]).()t (D )kT (D )t (C )kT (C d )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G kTt kT t T)k (kT632111==+==+=+=⎰τττφφ式中[]kT ,T )k (1+φ表示)t ,t (0φ在kT t T )k (≤≤+1区段内的状态转移矩阵，而)t ,t (0φ则表示原连续系统（2.61）式的状态转移矩阵。

证明：由上节（2.60）式可知（2.61）式的解为：).(d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X t t 642000ττττφφ⎰+=对上式离散化，令hT t ,T )k (t =+=01，T 为采样周期，则得[][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (T )k (X T )k (hT65211110ττττφφ+++=+⎰+再以hT t ,kT t ==0代入（2.64）式，则得 ).(d )(u )(B ),kT (X )hT ,kT ()kT (X kT hT 6620ττττφφ⎰+=将（2.66）式两边同左乘[]kT ,T )k (1+φ，得[][][][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (d )(u )(B ),kT (kT ,T )k (X )hT ,kT (kT ,T )k ()kT (X kT ,T )k (kT hT kT hT 6721111100ττττφφττττφφφφφ+++=++⋅+=+⎰⎰将（2.65）式减去（2.67）式得：[][][]).(d )(u )(B ,T )k ()kT (X kT ,T )k (T )k (X T )k (kT 6821111ττττφφ+++=+⎰+上式中，令[][]τττφφd )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G T)k (kT⎰+=+=+111设在区间[]T )k (,kT 1+内，)kT (u )(u =τ，则（2.68）式可简写成： [])kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X ⋅+⋅=+1 同时，对（2.61）式输出方程离散化，则证明了)kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y ⋅+=二、线性时不变系统的离散化对于线性时不变系统).(uD X C Y u B X A X692⎩⎨⎧+=+=离散化状态空间表达式为).()kT (u D )kT (X C )kT (Y )kT (u )T (H )kT (X )T (G T )k (X 7021⎩⎨⎧+=+=+其中D ,C ),T (H ),T (G 均为常数阵，且).(B)d e ()T (H e)T (G A T AT 7120⎪⎩⎪⎨⎧==⎰ττ证明：由于时不变系统是时变系统的一种特殊情况，所以只需要证明式（2.71）成立即可。

控制系统仿真及MATLAB语言-连续系统的离散化方法

tyode45?rigid?0120结果如图图中数值算法的稳定性特征根在数值算法的选择原则matlab提供了微分方程数值求解的一般方法作为仿真算法的使用者而应关心各种方法在使用中会出现的问题精度受算法和影响截断误差计算速度受算法和影响算法简单速度就快些
第四章连续系统的离散化方法
2021/4/10
1
ba12
a2
a2
1 12
a2b1 1 2
三个方程，四个未知数，解不唯一
2各021/个4/10系数的几种取法——见书上。
12
3) r=4时，四阶龙格库塔公式-最常用：
h
xk 1
xk
( 6
K1
2K2
2K3
K4
)
K1 f tk ,xk
K2
K3
f f
tk
tk
h 2
,
xk
h 2 , xk
2 病态系统中绝对值最小的特征值对应于系统动态性能解中瞬态分量衰减最慢的部分，它决定了整个系统的动态过渡过程时间的长短。一般与系统中具有最小时间常数Tmax的环节有关，要求计算步长h取得很大。
3 对于病态问题的仿真需要寻求更加合理的算法，以解决病态系统带来的选取计算步长与计算精度，计算时间之间的矛盾。
在仿真中，对于n阶系统，状态方程可以写成一阶微分方程
xi ai1x1 ai2 x2 ain xn biu fi (t, x1, x2, x3, , xn )(i 1, 2, , n)
2021/4/10
14
根据四阶龙格-库塔公式,有
T=tk+h时刻的xi值
T=tk时刻的xi值
xk 1 i
2021/4/10 K3 [k13

连续系统的状态变量方程求解

连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。

在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。

求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。

以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。

例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。

2. 离散化。

将状态变量方程转化为离散方程。

常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。

具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。

例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。

3. 初始化。

给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。

4. 数值求解。

使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。

5. 分析结果。

根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。

在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。

以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。

现代控制理论第二章

第二章控制系统状态空间表达式的解建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。

§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。

状态方程为齐次矩阵微分方程：AX X= （2－1）若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。

0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥（2－2）若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：0)(x e t x At =， 0t t ≥（2－3）证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(（2－4）对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x代人式（2-1）得：A x= ( +++++kk t b t b t b b 2210) （2－5）既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==，0323!3131b A Ab b ==，… 01!11b A k Ab kb k k k ==-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：022)!1!211()(x t A k t A At t x k k +++++= （2－6）括号内的展开式是n n ⨯矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e221112!!At k ke At A t A t K =+++++ （2－7）式（2-6）可表示为：0()At x t e x =再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。

现代控制理论试卷及答案总结

2012年现代控制理论考试试卷一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，（√）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（√）2.若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。

（×）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（√）4.对线性定常系统xAx =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。

（√）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。

（×）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；（√）7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；（×）8.若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；（×）9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（×）10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。

二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。

（10分）解：（1）由电路原理得：二．（10分）图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。

解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。

以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：从上述两式可解出1x •，2x •，即可得到状态空间表达式如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-211212110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+2120三、（每小题10分共40分）基础题（1）试求32y y y u u --=+&&&&&&&的一个对角规范型的最小实现。

现代控制理论(第二章)讲解

sI

A 1

s 2
s3
1 1 s 3

(s
1)(s 2

2)
(s 1)(s 2)
1

(s
1)(s s

2)

(s 1)(s 2)
s3
e At

L1

(s

1)( s 2

2)
(s 1)(s 2)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
第二章控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化

(s

1)( s 2

2)
(s 1)(s 2)
1
(s

1)( s s

2)

(s 1)(s 2)
eAt L1
sI A 1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t

et

2e2t

et

2e2t

例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！例2-3与例2-7也请注意自学！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用方程为非齐次矩阵微分方程：

连续时间信号离散化及恢复

第5章连续时间信号离散化及恢复
5.1 抽样信号及其频谱
5.2 抽样定理 5.3 理想滤波器的分析 5.4 系统的无失真传输 5.5 连续时间信号的恢复
5.1 抽样信号及其频谱
前面各章主要研究的都是连续时间的信号与系统，它们的突出特点是比较直观、物理概念比较明确。但在实际应用过程中，特别是随着计算机技术的发展，通常是以离散信号或数字信号替换原来的连续信号，进而进行数字信号的加工或操作。这就需要对连续时间信号进行抽样和量化，从而实现其离散化。连续信号的离散化通常是以 A/D(模数转换器)来实现的，主要表现为两个过程：时间离散化称为抽样，这时信号在时间轴上是离散的，但在幅值上却是连续的，通常称为抽样信号，用 f s (t ) 表示；如果对抽样信号的幅值也进一步离散化，此时信号在时间轴和幅值上都是离散的，通常称为数字信号，用 f (nTs ) 表示，通常简单表示为 f (n) 。
Fs ()
周期重复而得到的，在此过程中幅度被抽样脉冲 p (t ) 的傅里叶变换 P( ) 的系数 c n 加权。因为 c n 只是 n(而不是 )的函数，所以 F ( ) 在重复过程中不会使形状发生变化。
1.周期矩形脉冲抽样图 5.1-1 所示的抽样原理从理论上分析可表述为 f(t)与抽样脉冲序列PTs(t)的乘积，即
1 cn Ts

Ts 2 Ts 2
T (t )e
jns t
1 dt Ts

Ts 2 Ts 2
(t )e jn t dt
s
1 Ts
代入式(5.1-4)，得冲激抽样信号的频谱为
1 Fs ( ) Ts
n
F ( n )
s

现代控制理论知识点汇总

第一章控制系统的状态空间表达式１．状态空间表达式n 阶 DuCx y Bu Ax x +=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。

２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。

④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。

３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４．状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。

② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。

通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。

利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。

2.6 连续时间系统状态方程的离散化

0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0.63 1 1 0.37 0 1.37 0.37 0 0 0.63 1 0.63 0.865 1.37 1 0.135 0 2.05 0.135 0.63 0 0.865 1 0.95
1 (3)H(T) 0 0
T
T 1 1 / 2(1 e2 t ) 0 dt 0 2 t e 1 0
x 1[(k 1)T] x 1 (kT) (4) G(T) H(kT) U(kT) x 2 [(k 1)T] x 2 (kT)
1
解：
例2.5已知控制对象满足 0 1 0 x x u，求其离散化方程 2 0 1
2 t 1 1 / 2 ( 1 e ) 1 1 （ 1 ）( t ) L [SI A] 2 t e 0 1 1 / 2(1 e 2 t ) (2)G (T) ( t ) t T 2 t e 0
1 2T 2 t ( 2 T e 1 ) 1 / 2(1 e ) 4 dt 1 2 t 2 T e (1 e ) 2
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和
H(t)都是确定的系数矩阵
(2)离散化后得状态方程，可按递推法或
At 1 1
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化状态方程。
x1[(k 1)] 1 1 e T x1 (kT ) T e T 1 u (kT ) x [(k 1)] T T e x2 (kT ) 1 e 2 0 2 T e T 1 e T x1 (kT ) T e T 1 T r (kT ) T T e x2 (kT ) 1 e e 1

计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法

1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。

状态方程离散化方法

状态方程离散化方法状态方程离散化是个挺有趣的事儿呢。

那什么是状态方程离散化呀？简单来说，就像是把一个连续的故事按照一页一页的方式记录下来。

在连续的状态方程里，变量是随时间连续变化的，就像水流一样不间断。

而离散化呢，就是把这个连续的过程切成一小段一小段的，就像把一长条面包切成一片片的。

常见的离散化方法有好几种哦。

比如说欧拉法，这个方法就像是一个很老实的小伙伴，它是用一种比较简单直接的方式去近似。

就好比你要估算从家到学校的路程，你就简单地按照当前的速度一直走，不考虑路上速度可能会有小变化。

这种方法简单，但是有时候不是特别精确啦。

还有龙格 - 库塔法，这个就像是一个聪明的小机灵鬼。

它会多考虑几步，不只是看当前的状态，还会看看周围的情况来调整。

就像你去学校，你不仅看现在的速度，还会考虑到前面是不是有个小坡会减慢速度，或者有没有什么捷径可以加快速度。

这种方法就比欧拉法要精确一些。

离散化状态方程在很多地方都超级有用哦。

在计算机模拟里，计算机可不能处理那种连续不断的变化，就像电脑不能理解水流到底是怎么连续流动的每一个瞬间。

但是我们把状态方程离散化之后呢，电脑就能明白啦，就像给电脑讲了一个它能听懂的故事。

在控制工程里也很有用，就像是给控制系统制定了一个一个小目标，让系统一步一步地达到我们想要的状态。

不过离散化也不是完美无缺的啦。

有时候切得太粗糙了，就像面包片切得太厚，得到的结果就会和实际情况差很多。

所以要根据具体的情况去选择合适的离散化方法，就像挑选合适的鞋子一样，要找到最适合的那个。

总之呢，状态方程离散化是一个很实用又很有意思的东西，它就像一把神奇的小钥匙，能打开很多科学和工程领域的大门呢。

线性连续系统的时间离散化_线性系统理论与设计_[共2页]

６２线性系统理论与设计
{ ·ｘ（ｔ）＝Ａ（ｔ）ｘ（ｔ）＋Ｂ（ｔ）ｕ（ｔ）ｘ（ｔ０）＝ｘ０
（２８８）
其中，ｘ（ｔ）为ｎ维状态，ｕ（ｔ）为ｒ维输入，Ａ（ｔ）和Ｂ（ｔ）分别为ｎ×ｎ和ｎ×ｒ维时变
矩阵。
如果在考察区间[ ｔ０，ｔ] 内，Ａ（ｔ）的元是绝对可积的，Ｂ（ｔ）和ｕ的元是平方可积的，则存在唯）
∫ｔ
＝Φ（ｔ，ｔ０）ｘ（ｔ０）＋Φ（ｔ，ｔ０） Φ（ｔ０，τ）Ｂ（τ）ｕ（τ）ｄτ
ｔ０
ｔ
∫ ＝Φ（ｔ，ｔ０）ｘ（ｔ０）＋ Φ（ｔ，τ）Ｂ（τ）ｕ（τ）ｄτ ｔ０
证毕。
∫ｔ
＝Φ（ｔ，ｔ０）ｘ０＋ Φ（ｔ，τ）Ｂ（τ）ｕ（τ）ｄτ
ｔ０
比较式（２８９）和式（２６５）可知，线性定常系统和线性时变系统的运动规律在形式上是
·
Φ（ｔ，ｔ０）ξ（ｔ）＝Ｂ（ｔ）ｕ（ｔ）或
两端积分得
·ξ（ｔ）＝Φ－１（ｔ，ｔ０）Ｂ（ｔ）ｕ（ｔ）
∫ｔ
ξ（ｔ）＝ξ（ｔ０）＋ Φ－１（τ，ｔ０）Ｂ（τ）ｕ（τ）ｄτ
ｔ０
令上式中ｔ＝ｔ０，则有 ξ（ｔ０）＝ｘ（ｔ０）
于是
[ ∫ ] ｔ
ｘ（ｔ）＝Φ（ｔ，ｔ０）ｘ（ｔ０）＋ Φ－１（τ，ｔ０）Ｂ（τ）ｕ（τ）ｄτ
∫ｔ
ｘ（ｔ）＝Φ（ｔ，ｔ０）ｘ０＋ Φ（ｔ，τ）Ｂ（τ）ｕ（τ）ｄτ
ｔ０
证明假设式（２８８）的解为
（２８９）
ｘ（ｔ）＝Φ（ｔ，ｔ０）ξ（ｔ）其中，ξ（ｔ）为待定函数。对上式求导，得
（２９０）
·ｘ（ｔ）＝Φ·（ｔ，ｔ０）ξ（ｔ）＋Φ（ｔ，ｔ０）·ξ（ｔ）＝Ａ（ｔ）Φ（ｔ，ｔ０）ξ（ｔ）＋Φ（ｔ，ｔ０）·ξ（ｔ）（２９１）将式（２９１）与式（２８８）相比较，有

34 线性连续系统状态空间模型的离散化

近似法的计算结果为
2. 当T=0.001s时,精确法的计算结果为
近似法的计算结果为
近似离散化方法(6/6)—例3-12
从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。
线性时变连续系统的离散化(1/6)
3.4.2 线性时变连续系统的离散化
线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定的采样周期T下,将连续系统的状态方程
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 ➢ 整个系统工作于单一的离散状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等。 ➢ 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
线性连续系统状态空间模型的离散化(5/5)
➢ 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 ✓ 采样频率2/大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。
满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空间模型。 ➢ 下面分别针对 ✓ 线性定常连续系统和 ✓ 线性时变连续系统讨论离散化问题。
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)
➢ 对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组又有一阶差分方程组。
✓ 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。 ❖由此,提出了连续系统的离散化问题。
✓ 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制时,都会遇到离散化问题。
图33连续系统离散化的实现线性连续系统状态空间模型的离散化45线性连续系统的时间离散化问题的数学实质就是在一定的采样方式和保持方式下由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型并建立起两者的各系数矩阵之间的关系为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程必须满足如下条件和假设

(第8讲)离散系统状态方程及解

T
f (t )
*
f * (t )
t t 0 0 * f ( t ) f ( nT ) ( t nT ) f ( t ) ( t nT ) f ( t ) ( t ) T
n 0

n 0

f (t )
0
f (t ) 幅值调制 t
f * (t )
f * (t )
z 1 z 1 1 1 [ 解 ] ： ( zI G ) 0 . 16 z 1 0 . 16 z ( z 0 . 2 )( z 0 . 8 ) 2 z 1 z z z 1 z x ( 0 ) Hu ( z ) 2 z 2 z z 1 z 1 z 1
k 1 i 0 k i 1
Example
1 1 0 1 G ,H ,x (0 ) ,u (n ) 1, n 1,2, 0 .16 1 1 1
1 1
已知系统 x (n 1 )G x (n )Hu (n ), 求状态方程的解。
x u * x ( t ) A x ( t ) bu ( t )
*
AnT A ( n k ) T x ( nT ) e x ( 0 ) e ( kT ) bu k 0
n 1
* u ( t ) u ( nT ) ( t nT ) t nT t ( n 1 ) T , A ( t nT ) A ( t ) * x ( t ) e x ( nT ) e bu ( ) d nT AT AT x [( n 1 ) T ] e x ( nT ) e bu ( nT ) A T A T x ( n 1 ) G x ( n ) Hu ( n ), G e , H e b

现代控制理论基础2线性系统的运动分析修改课件

*
3、可逆性总是非奇异的，必有逆存在，且：
[证明]：
4、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：
*
故上式成立。
5．倍时性
由于
6、微分性和交换性：对有：
*
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设，即A为对角阵且具有互异元素时，有
x(k)的Z变换为：
将G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z变换式有:
*
整理得：
上式Z反变换有：
*
2.2 状态转移矩阵
*
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件：
2）状态转移矩阵满足状态方程本身：
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。
说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
*
1） A的特征值两两相异时，
注意求逆
推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。
注意：
推导时可以看到：
*
注意求逆
2）A的特征值为 (n重根）
推导：此时只有一个方程：
缺少n-1个独立方程，故需要对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程
输入引起的响应,零状态响应
说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。
2.3 线性系统运动分析
*
[证]：
1）先把状态方程写成
3）对上式在区间内进行积分，得:
2）两边左乘，利用的性质
即：
将此式代入的定义中：
其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。

连续状态空间方程离散化离散精度

一、概述连续状态空间方程是描述系统状态随时间演化的重要数学模型，在许多领域都有着广泛的应用。

然而，实际系统往往是离散的，为了将连续状态空间方程应用到离散系统中，需要进行离散化处理。

离散化是指将连续系统的状态空间方程转化为离散系统的状态空间方程，以便于在计算机上进行分析和仿真。

二、连续状态空间方程连续状态空间方程可被描述为：dx/dt = f(x,u)y = h(x)其中，x表示系统状态，u表示输入，f(x,u)表示状态方程，h(x)表示输出方程。

连续状态空间方程描述了系统状态随时间的变化规律，是控制系统、信号处理、通信系统等领域的重要数学工具。

三、离散化方法对于离散系统，通常使用下面的方法将连续状态空间方程离散化：1. Euler方法Euler方法是一种简单且常用的数值积分方法，可以用来离散化连续状态空间方程。

通过欧拉方法，可以将连续时间上的状态方程转化为离散时间上的状态更新方程。

2. 隐式Euler方法隐式Euler方法相比于显式Euler方法，具有更好的数值稳定性。

使用隐式Euler方法进行离散化处理，可以有效解决一些数值不稳定的问题。

3. 4阶Runge-Kutta方法4阶Runge-Kutta方法是一种更加精确的数值积分方法，同样可以应用于连续状态空间方程的离散化处理。

相比于Euler方法，Runge-Kutta方法通常能够提供更准确的结果。

四、离散化精度在进行连续状态空间方程的离散化处理时，离散化精度是一个重要的衡量指标。

离散化精度决定了离散系统模型的精确程度，对系统分析和控制设计都具有重要的影响。

1. 离散化步长离散化步长是指在进行离散化处理时，时间或空间上的离散化间隔大小。

步长越小，离散化的精度越高，但计算负荷也越大。

2. 离散化误差离散化误差是指离散系统模型与连续系统模型之间的差距。

通过控制离散化步长和选择合适的离散化方法，可以有效降低离散化误差，提高系统模型的精确度。

五、离散化应用离散化处理后的系统模型可以在计算机上进行仿真和实时控制，应用十分广泛。