变质量相对运动动力学系统的对称性与守恒量
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Ｏ ｏ０ ‘ ．
（０ １）
其 中
释
”啬 毒＋一 寺 《 （ 毒 口
（， ，） 足 结构方 ｚｇ口 满
则 这种不 变性称 为变 质量 相对运 动动力 学 系统 的 Ｌｅ 称 性 。 ｉ对
定理 ２ 如果无 限小 变换 的生 成元 ， 足确定 方 程 （０ ， 存 在规 范 函数 Ｇ ￡满 】 ）且
Ｑ
３ 系统 的 Ｌ ｅ对 称性 与守 恒 量 ｉ
Ｌｅ 称性是 微分 方程 在无 限小变换 Ｆ ｉ对 的不变性 。由微分 方程 在无 限小变 换 下的不 变性 理论 可知 。 如果 无 限小变换 的生 成元 ， 毒满 足如下 确定 方程
轴 龇 ＝ （？ ０， ｏ， （ｒ ￣） Ｏ － ０ 《 ＋ ０ ｏｏ， ｅ 一 ｏ ｏ
证 明
，
岳
楠等 ： 变质量 相对 运动 动 力学 系统 的对称性 与 守恒量
２ １
０ （ 口） （Ｏ－ｏ㈣ ） ｜ ＋ ￡ ＋ 一 ＋ ￡ｇｔ－ （一” ）一 ） ｓ 軎 一ｏ２ 厶（＋ ＋（亩＝ — ） Ｘ Ｑ （口（ 一ｒＩ — 。 毒 軎 —一 ） －） Ｏ Ｑ 一＝ ” Ｌ
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（３ ２）
Ｑｌ Ｑ”￡ｑ亩，：，Ｑ ＝ ２ｇ ， ” － ，，・口） 口十 １ ＝ （ 口 其 中 ｍ ，［ ｇபைடு நூலகம்常数 。试研 究 系统 的对 称性 与守恒 量 。 ｏ０， ∞，
Ｌ 。 ‘（，＋ Ｑ” ＋ ）￡ 口 。＋ ＾０ ，＋ Ｌ） （ 。 ＋ ＋ （ 一 ）ｅ
则 变质 量相对运 动 动力学 系统 的 Ｌｅ 称性 导致 守恒 量 ． 如 ｉ对 形
（ 口 ） Ｇ 。 ｓ 一 ＋ ｃｎｔ ．
ｄ 。 ｑ
（ １） １
（２ １）
第 １期
系统 相对 于非 惯性 系 的最 小作 用量原 理旧； 志新 【研 究 了变 质量 完整 力 学系 统 的非 Ｎ ｅ ｅ 守恒 量 等 。笔 许 ３ ］ ｏｔ ｒ ｈ
者试 图研 究变 质量 完 整系 统相 对于非 惯性 系 的 Ｎｏｔｅ 对 称性 、ｉ ｅｈ ｒ Ｌｅ对称性 与守 恒 量 。
ＯＬ ２
…
—
（ ８ １）
假设
ｄ ｔ‰ ） ｄｔ ｅ（ ＝ ｅ 则 由方程 （８ 解 得 １）
：
ｒ
一
） ≠ 。
，
（９ １）
旦
ｄ
（： １
，
…
几 ）
（０ ２）
其 中 五 。 ＆
（ １ ２）
再令 积分 （３ 等 于守恒 量 （ ２ ， １） １ ） 即 廓＋ Ｌ 。Ｇ ＝ 生 ＋ ＮＩ
引入 时 Ｉ 司和广义 坐标 的无 限小变换
ｔ ｔＡ ， （ 一 ） △ ｜ （＝ ， ， ） Ｌ＋ ｔ ＝ ） ｇ（ ＋ ｇ ｓ ｌ … ｎ 其展 开式 为
（） ５
ｔ ｆ （，，）ｇ’ ＝ ｔ＋ ￡（， ，） （＝ ， ， ＋ ￡ｇ圣 ， （ ｇ（）占 ｚｑ圣 ＝ ） ｓ ｌ… ） 其 中 为无 限小参 数 ， ， ￡为无 限小生 成元 。
（） ６
Ｎ ｅｈｒ 称性是 Ｈ ｍｌｎ作 用量 在群 的无 限小 变换 下 的一 种不 变性 。根 据 Ｎ ｅｈｒ 论 可 以得 到 ， ｏｔｅ 对 ａ ｉｏ ｔ ｏｔｅ 理 如
果存在规范函数 Ｇ ．ｔ ，） Ｇ （， 圣 使得无限小生成元 ， 一 ｑ ｖ ￡满足 Ｎ ｅ ｅ 等式 ｏｔ ｒ ｈ
第 ２ 卷 第 １期 ８
２ １ 年 ３月 ０１
苏 州 科 技 学 院 学 报 （ 然 科 学 版） 自
Ｊｕｎｌ ｆ ｕｈ ｕＵ ｉ ｒｉ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙ（ ａ ｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏｒａ ｚｏ ｎｖ ｓｙｏ ｉ ｅａｄＴ ｃｎ ｌ ｏＳ ｅ ｔ Ｓ ｎ ｇ Ｎ ｔ ａ ｉｎｅ ｕ Ｓ
［ 基金项 目］江苏 省高校 自然科学基金 资助项 目（ ８ Ｊ １０ ０ ） ０ Ｋ Ｂ ３ ０ ２
［ 者 简 介】 作 岳 楠 （９ ６ ）男 ， 苏 苏 州 人 ， 究 方 向 ： 析力 学 。 １８ 一 ， 江 研 分
苏 州科技 学院 学报 （ 自然科 学版 ）
２１ ０ １年
２ 系统 的 Ｎｏ ｔ ｅ 称 性 与 守恒 量 ｅｈ ｒ对
口 Ｏ《 ＋ Ｌ 等砖Ｌ（ ） ｒ Ｏ ，
则 这种 不变性称 为 变质量 相对运 动动 力学 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对 称 性 。 ｏｔ ｒ ｈ
－ 口
（ ７ ）
判 断 Ｎ ｅ ｅ 对称性 的另 一种方 法是 Ｋ ｌｎ 方 程有解 。变质量 相对 运动 动力学 系统 的 Ｋｌｎ 方 程为 ｏｔ ｒ ｈ ｉｉｇ ｌ ｉｉｇ ｌ
Ｖ０ ． Ｎｏ １ １ ２８ ． Ｍａ ． ２ １ ｒ ０１
变质量相对运动动力学系统的 对称性与守恒量
岳 楠 ．张 毅
（ 苏州 科 技 学 院 土 木 工 程 学 院 ， 苏 苏 州 ２５ １ ） 江 １０ １ 摘 要 ： 究 了 变质 量 相 对 运 动动 力 学 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对 称 性 、ｉ 对 称 性 与 守 恒 量 ， 出 了对 称 性 导 致 守 恒 量 的 条 研 ｏｔ ｒ ｈ Ｌｅ 给
軎 ＝『 十 。 一，５ （ Ｏ Ｑ Ｌ ， 十
（ １ ）
其 中 ＝ Ｖ ｏＶ … Ｖ 为 系 统 相 对 运 动 的 Ｌｇａｇ ａｒｎｅ函 数 ； 非 势 广 义 力 ； 为 系 统 相 对 运 动 动 能 ， Ｑ” 为 ＝
ｍ：；０ （＋Ｘ）／ 平动 ｉ２ ＿ １￣Ｐ ． 即 运动的广义 Ｊ ；－ ｏｒ ｉ ｔ ｏＯ 惯性力场势能； 一 ． 为离心力势能； 一∑（ｘ ． Ｑ ｗ
Ｒ 产
）（ ２ 】 ’ ’ …
（ ２ ）
（） ３
而 为微 粒相 对 第 ｉ 个质 点 的相对速 度 。假设 系 统 非奇 异 ， 由方 程 （ ） 则 １可解 出所有 广义 加 速度 ， 记作
＝
（， 圣 （＝ ， ， ） ｔｑ，） ｓ ｌ … ｒ ｔ
（） ４
【 稿 日期】 ０ ８ １－ ９ 收 ２ ０ － ０ １
（ ） ｒ毒 － 口
它 如解 有 下
方程 （ １ ， 所得对 称 性是 系统 的 Ｌｅ 称性 。 １）则 ｉ 对
苏州科技 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
２ｌ ０ １年
５ 算例
例 １ 巴 卿 网 目 由度 ， 质 量 相 对 运 动 动 力 学 系 统 为 爻
，＝ ｏＺ叫） 口 一；一 ｌ ｑ ，ｍ （一 ， ＝ Ｊ ｑ －ｄ， ｌ ＝ ｉ
动动 力学 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对 称性 导致 守恒 量 ． ｏｔ ｒ ｈ 形如
，
孝＋ ０
（一 ｇ ）Ｇ 。ｓ 毒 Ｏ ｏ＋ ｃｎｔ ．
（） ９
ｏｓ ｑ
证明
利用 方程 （ ）有 １，
誓＝ 妇 （ｑ０） （ 一 １ ￡ ｇ２ 軎 Ｌ ） －ｏ。 －＋ 善 （
（ 一 ） Ｏ， Ｌ 一 ｜ 一 ）０ ￡ 口 （ｄ 一Ｏ， Ｑ Ｌ 一 — ＝ 于是 ， 系统存 在守 恒量 （ ） ９ 。证毕 。
． ． ．
Ｎ ｅｈ ｒ ｏｔｅ 等式 （ ） 出 ７给
（ ２ ）鹄争 】 争 （口 １ －＋ 一 ， 砉［ｍ２ ） １ ＋ｍ ｏ 口 ： 口 ２ ＋ 寸 一 舢ｑ ＋ ２ 】
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（ ８ ）
定理 １ 如 果无 限小 变换 的生成元 ， ￡满 足 Ｎ ｅ ｅ 等式 （ ） 或 Ｋ ｌｎ 方 程 （ ） ｏｔ ｒ ｈ ７ ， ｉｉｇ ｌ ８ 有解 ， 变质量 相对 运 则
ｄｓ 口
（ ２ ２）
于是 有
定 理 ５ 对 于变 质 量 相对 运 动 动力 学 系 统 ， 由方 程 （０ 、２ ） 定 的无 限小 生 成 元 ， 应 于 系统 的 ２ ） （２ 确 ￡相
Ｎｏｔｅ 对 称性 。 ｅｈ ｒ 定 理 ６ 对 于变 质 量相 对 运 动 动力 学 系统 ， 如果 由方 程 （０ 、 ２ ） ２ ） （ ２ 确定 的无 限 小生 成 元 ， 满足 确 定 ￡
动力 学 系统 的对 称 性 与守 恒量 的研 究 不仅 具有 数 学 意义 ， 而且 有更 为重 要 的 物理 意 义 。利 用对 称 性 寻 求守 恒量 的方法 主 要 有 ： ｏｔｅ 对 称 性口１ ｉ 对 称性 ［删 Ｍｅ 对 称性Ｉ ｏ 由于 空 间技 术 以及 其他 工 业技 Ｎｅ ｒ ｈ －、 ｅ ４Ｌ ５和 ＿ 】 ｉ ４／ 一。 术 的发展 。 变质 量 系统 动力 学 的研究 显 得越 来 越重 要 。梅凤 翔 【研究 了变质 量 完 整 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对称 性 、 Ｏ ｌ ｏｔ ｒ ｈ Ｌｅ对称 性 与守恒 量 ： 绍凯建 立 了变质 量高 阶非 完 整 系统相 对于非 惯性 系 的 Ｎ ｅ ｅ 理 论【 ， 出 了变质 量 ｉ 罗 ｏｔ ｒ ｈ １给 ”
件 以及 守恒 量 的形 式 。 后举 例 说 明结 果 的 应 用 。 最
关 键词 ：分 析 力 学 ； 变质 量 ； 对运 动 ； 相 对称 性 ； 恒 量 守 中 图分 类号 ：０ １ ３６ 文 献 标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：１７ － ６ ７２ １ ）１ ０ １－ ５ ６ ２ ０ ８ （０ １０ － ０ ９ ０
由式 （ ） ２ 知 在一 般情 形下 对茸 是线性 的 ， 记作 （， ，）＾ （， 圣 ｔｇ圣 ＋ ｔｑ，） 将 式 （４ 和式 （ ６ 相 加 ， 出含讥 的项 ， １） １） 分 令其 系 数为零 ， 得
＝
（６ １）
（ ７ １）
ａＬ ２
…
—
，
一
量 。 一Ｏ Ｉ＝
４ 逆 问题 ’
假设 系统 有 已经积 分
Ｉｌｔｑ ￣ ＝ｏｓ ＝（，，）ｃｎｔ ．
于是 有
一 ＋ 十
＝
（ ３ １）
十姬 ｑ＝ ，ｏ ： ｕ
．
Ｏ １
（４ １）
将 方程 （ ） １ 两端 同时乘 以 考 广 ４
并 对 ｓ求 和 ． 到 得
（５ １）
（Ｏ 豢 一 ＝ Ｌ ｄｒ 一 ｏ —
定 理 ３ 对 于变 质量 相对 运 动动 力学 系统 ， 结构 方程 （ １ 等 价于 Ｎ ｅｈ ｒ １） ｏｔｅ 等式 （ ） ７。 定 理 ４ 对 于变 质量 相对 运动 动力 学 系统 ，ｉ 对 称 性与 Ｎ ｅ ｅ 对称性 有着 同样 的守恒量 形 式 （２ 。 Ｌｅ ｏｔ ｒ ｈ １ ）
ｍ， ） Ｔ ， 义 回 ｉ・ ｉ Ｏｔ ￣ 转惯性 ： 口为 力； 广义陀螺力， 陀螺系 ＝ 数 ∑
０
ｉ１ ＝
口 ｔ
‘
（Ｊ 篙） 只广反 、 ｕ ＝ 为义 ３ ； ｍ ÷ ×ｋ ｔ
推力 。 有
） 等＋ １ ・ 等一 ｄ
这 里 ＾ ， 别为第 ｉ 质 点相对 于非 惯性 系 的矢 径 和速 度 ， 中 ＾ 分 个 其
１ 系统 的运 动 方 程
研 究 由 Ｎ 个 质 点 构成 的力 学 系统 ， 其位 形 由 Ｔ个 广 义 坐标 （： ， ， ， ） 定 ， ｉ 质 点 的质 量 为 ｔ ｓ １２ … ｎ 确 第 个
ｍ ， 圣 ， 变 质量 相对运 动 动力学 系统 的运 动 微 分方 程为 产ｍ（ 口，）则 ￡
（０ １）
其 中
释
”啬 毒＋一 寺 《 （ 毒 口
（， ，） 足 结构方 ｚｇ口 满
则 这种不 变性称 为变 质量 相对运 动动力 学 系统 的 Ｌｅ 称 性 。 ｉ对
定理 ２ 如果无 限小 变换 的生 成元 ， 足确定 方 程 （０ ， 存 在规 范 函数 Ｇ ￡满 】 ）且
Ｑ
３ 系统 的 Ｌ ｅ对 称性 与守 恒 量 ｉ
Ｌｅ 称性是 微分 方程 在无 限小变换 Ｆ ｉ对 的不变性 。由微分 方程 在无 限小变 换 下的不 变性 理论 可知 。 如果 无 限小变换 的生 成元 ， 毒满 足如下 确定 方程
轴 龇 ＝ （？ ０， ｏ， （ｒ ￣） Ｏ － ０ 《 ＋ ０ ｏｏ， ｅ 一 ｏ ｏ
证 明
，
岳
楠等 ： 变质量 相对 运动 动 力学 系统 的对称性 与 守恒量
２ １
０ （ 口） （Ｏ－ｏ㈣ ） ｜ ＋ ￡ ＋ 一 ＋ ￡ｇｔ－ （一” ）一 ） ｓ 軎 一ｏ２ 厶（＋ ＋（亩＝ — ） Ｘ Ｑ （口（ 一ｒＩ — 。 毒 軎 —一 ） －） Ｏ Ｑ 一＝ ” Ｌ
１ 口 ２
。 ，＝ ， 一 ，２， ＿ ＝， ＝２， ＋ ） ， ＿ ０ 口 １删 ２ ０ （１） ， ｓ，
（３ ２）
Ｑｌ Ｑ”￡ｑ亩，：，Ｑ ＝ ２ｇ ， ” － ，，・口） 口十 １ ＝ （ 口 其 中 ｍ ，［ ｇபைடு நூலகம்常数 。试研 究 系统 的对 称性 与守恒 量 。 ｏ０， ∞，
Ｌ 。 ‘（，＋ Ｑ” ＋ ）￡ 口 。＋ ＾０ ，＋ Ｌ） （ 。 ＋ ＋ （ 一 ）ｅ
则 变质 量相对运 动 动力学 系统 的 Ｌｅ 称性 导致 守恒 量 ． 如 ｉ对 形
（ 口 ） Ｇ 。 ｓ 一 ＋ ｃｎｔ ．
ｄ 。 ｑ
（ １） １
（２ １）
第 １期
系统 相对 于非 惯性 系 的最 小作 用量原 理旧； 志新 【研 究 了变 质量 完整 力 学系 统 的非 Ｎ ｅ ｅ 守恒 量 等 。笔 许 ３ ］ ｏｔ ｒ ｈ
者试 图研 究变 质量 完 整系 统相 对于非 惯性 系 的 Ｎｏｔｅ 对 称性 、ｉ ｅｈ ｒ Ｌｅ对称性 与守 恒 量 。
ＯＬ ２
…
—
（ ８ １）
假设
ｄ ｔ‰ ） ｄｔ ｅ（ ＝ ｅ 则 由方程 （８ 解 得 １）
：
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，
（９ １）
旦
ｄ
（： １
，
…
几 ）
（０ ２）
其 中 五 。 ＆
（ １ ２）
再令 积分 （３ 等 于守恒 量 （ ２ ， １） １ ） 即 廓＋ Ｌ 。Ｇ ＝ 生 ＋ ＮＩ
引入 时 Ｉ 司和广义 坐标 的无 限小变换
ｔ ｔＡ ， （ 一 ） △ ｜ （＝ ， ， ） Ｌ＋ ｔ ＝ ） ｇ（ ＋ ｇ ｓ ｌ … ｎ 其展 开式 为
（） ５
ｔ ｆ （，，）ｇ’ ＝ ｔ＋ ￡（， ，） （＝ ， ， ＋ ￡ｇ圣 ， （ ｇ（）占 ｚｑ圣 ＝ ） ｓ ｌ… ） 其 中 为无 限小参 数 ， ， ￡为无 限小生 成元 。
（） ６
Ｎ ｅｈｒ 称性是 Ｈ ｍｌｎ作 用量 在群 的无 限小 变换 下 的一 种不 变性 。根 据 Ｎ ｅｈｒ 论 可 以得 到 ， ｏｔｅ 对 ａ ｉｏ ｔ ｏｔｅ 理 如
果存在规范函数 Ｇ ．ｔ ，） Ｇ （， 圣 使得无限小生成元 ， 一 ｑ ｖ ￡满足 Ｎ ｅ ｅ 等式 ｏｔ ｒ ｈ
第 ２ 卷 第 １期 ８
２ １ 年 ３月 ０１
苏 州 科 技 学 院 学 报 （ 然 科 学 版） 自
Ｊｕｎｌ ｆ ｕｈ ｕＵ ｉ ｒｉ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙ（ ａ ｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏｒａ ｚｏ ｎｖ ｓｙｏ ｉ ｅａｄＴ ｃｎ ｌ ｏＳ ｅ ｔ Ｓ ｎ ｇ Ｎ ｔ ａ ｉｎｅ ｕ Ｓ
［ 基金项 目］江苏 省高校 自然科学基金 资助项 目（ ８ Ｊ １０ ０ ） ０ Ｋ Ｂ ３ ０ ２
［ 者 简 介】 作 岳 楠 （９ ６ ）男 ， 苏 苏 州 人 ， 究 方 向 ： 析力 学 。 １８ 一 ， 江 研 分
苏 州科技 学院 学报 （ 自然科 学版 ）
２１ ０ １年
２ 系统 的 Ｎｏ ｔ ｅ 称 性 与 守恒 量 ｅｈ ｒ对
口 Ｏ《 ＋ Ｌ 等砖Ｌ（ ） ｒ Ｏ ，
则 这种 不变性称 为 变质量 相对运 动动 力学 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对 称 性 。 ｏｔ ｒ ｈ
－ 口
（ ７ ）
判 断 Ｎ ｅ ｅ 对称性 的另 一种方 法是 Ｋ ｌｎ 方 程有解 。变质量 相对 运动 动力学 系统 的 Ｋｌｎ 方 程为 ｏｔ ｒ ｈ ｉｉｇ ｌ ｉｉｇ ｌ
Ｖ０ ． Ｎｏ １ １ ２８ ． Ｍａ ． ２ １ ｒ ０１
变质量相对运动动力学系统的 对称性与守恒量
岳 楠 ．张 毅
（ 苏州 科 技 学 院 土 木 工 程 学 院 ， 苏 苏 州 ２５ １ ） 江 １０ １ 摘 要 ： 究 了 变质 量 相 对 运 动动 力 学 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对 称 性 、ｉ 对 称 性 与 守 恒 量 ， 出 了对 称 性 导 致 守 恒 量 的 条 研 ｏｔ ｒ ｈ Ｌｅ 给
軎 ＝『 十 。 一，５ （ Ｏ Ｑ Ｌ ， 十
（ １ ）
其 中 ＝ Ｖ ｏＶ … Ｖ 为 系 统 相 对 运 动 的 Ｌｇａｇ ａｒｎｅ函 数 ； 非 势 广 义 力 ； 为 系 统 相 对 运 动 动 能 ， Ｑ” 为 ＝
ｍ：；０ （＋Ｘ）／ 平动 ｉ２ ＿ １￣Ｐ ． 即 运动的广义 Ｊ ；－ ｏｒ ｉ ｔ ｏＯ 惯性力场势能； 一 ． 为离心力势能； 一∑（ｘ ． Ｑ ｗ
Ｒ 产
）（ ２ 】 ’ ’ …
（ ２ ）
（） ３
而 为微 粒相 对 第 ｉ 个质 点 的相对速 度 。假设 系 统 非奇 异 ， 由方 程 （ ） 则 １可解 出所有 广义 加 速度 ， 记作
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（， 圣 （＝ ， ， ） ｔｑ，） ｓ ｌ … ｒ ｔ
（） ４
【 稿 日期】 ０ ８ １－ ９ 收 ２ ０ － ０ １
（ ） ｒ毒 － 口
它 如解 有 下
方程 （ １ ， 所得对 称 性是 系统 的 Ｌｅ 称性 。 １）则 ｉ 对
苏州科技 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
２ｌ ０ １年
５ 算例
例 １ 巴 卿 网 目 由度 ， 质 量 相 对 运 动 动 力 学 系 统 为 爻
，＝ ｏＺ叫） 口 一；一 ｌ ｑ ，ｍ （一 ， ＝ Ｊ ｑ －ｄ， ｌ ＝ ｉ
动动 力学 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对 称性 导致 守恒 量 ． ｏｔ ｒ ｈ 形如
，
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（） ９
ｏｓ ｑ
证明
利用 方程 （ ）有 １，
誓＝ 妇 （ｑ０） （ 一 １ ￡ ｇ２ 軎 Ｌ ） －ｏ。 －＋ 善 （
（ 一 ） Ｏ， Ｌ 一 ｜ 一 ）０ ￡ 口 （ｄ 一Ｏ， Ｑ Ｌ 一 — ＝ 于是 ， 系统存 在守 恒量 （ ） ９ 。证毕 。
． ． ．
Ｎ ｅｈ ｒ ｏｔｅ 等式 （ ） 出 ７给
（ ２ ）鹄争 】 争 （口 １ －＋ 一 ， 砉［ｍ２ ） １ ＋ｍ ｏ 口 ： 口 ２ ＋ 寸 一 舢ｑ ＋ ２ 】
ｔ
［ （口 ：ｒ 寺［ 口 １ ＋ ｝ 口 ＋ｅ １ 争 ＋） ， ２ ｍ：） 。ｘ ］ ＋一 ２￣ 《 ｍ ｑ ２ 一 删 】
鲁钳 等 Ｏ ｓ 豢口 （ 豢口 （ Ｌ） ， （ 警＋ Ｑ 寸鲁＋ ） ＋ ） ＋＋
、 ｇ ｆａ 口 一口 ，， （ 讣 ＋ ａ ＾＝ａ （ …ｎ ｄ 口 ａ 广 ） 口
ｓ
一 鲁口 鲁一
（ ８ ）
定理 １ 如 果无 限小 变换 的生成元 ， ￡满 足 Ｎ ｅ ｅ 等式 （ ） 或 Ｋ ｌｎ 方 程 （ ） ｏｔ ｒ ｈ ７ ， ｉｉｇ ｌ ８ 有解 ， 变质量 相对 运 则
ｄｓ 口
（ ２ ２）
于是 有
定 理 ５ 对 于变 质 量 相对 运 动 动力 学 系 统 ， 由方 程 （０ 、２ ） 定 的无 限小 生 成 元 ， 应 于 系统 的 ２ ） （２ 确 ￡相
Ｎｏｔｅ 对 称性 。 ｅｈ ｒ 定 理 ６ 对 于变 质 量相 对 运 动 动力 学 系统 ， 如果 由方 程 （０ 、 ２ ） ２ ） （ ２ 确定 的无 限 小生 成 元 ， 满足 确 定 ￡
动力 学 系统 的对 称 性 与守 恒量 的研 究 不仅 具有 数 学 意义 ， 而且 有更 为重 要 的 物理 意 义 。利 用对 称 性 寻 求守 恒量 的方法 主 要 有 ： ｏｔｅ 对 称 性口１ ｉ 对 称性 ［删 Ｍｅ 对 称性Ｉ ｏ 由于 空 间技 术 以及 其他 工 业技 Ｎｅ ｒ ｈ －、 ｅ ４Ｌ ５和 ＿ 】 ｉ ４／ 一。 术 的发展 。 变质 量 系统 动力 学 的研究 显 得越 来 越重 要 。梅凤 翔 【研究 了变质 量 完 整 系统 的 Ｎ ｅ ｅ 对称 性 、 Ｏ ｌ ｏｔ ｒ ｈ Ｌｅ对称 性 与守恒 量 ： 绍凯建 立 了变质 量高 阶非 完 整 系统相 对于非 惯性 系 的 Ｎ ｅ ｅ 理 论【 ， 出 了变质 量 ｉ 罗 ｏｔ ｒ ｈ １给 ”
件 以及 守恒 量 的形 式 。 后举 例 说 明结 果 的 应 用 。 最
关 键词 ：分 析 力 学 ； 变质 量 ； 对运 动 ； 相 对称 性 ； 恒 量 守 中 图分 类号 ：０ １ ３６ 文 献 标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：１７ － ６ ７２ １ ）１ ０ １－ ５ ６ ２ ０ ８ （０ １０ － ０ ９ ０
由式 （ ） ２ 知 在一 般情 形下 对茸 是线性 的 ， 记作 （， ，）＾ （， 圣 ｔｇ圣 ＋ ｔｑ，） 将 式 （４ 和式 （ ６ 相 加 ， 出含讥 的项 ， １） １） 分 令其 系 数为零 ， 得
＝
（６ １）
（ ７ １）
ａＬ ２
…
—
，
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假设 系统 有 已经积 分
Ｉｌｔｑ ￣ ＝ｏｓ ＝（，，）ｃｎｔ ．
于是 有
一 ＋ 十
＝
（ ３ １）
十姬 ｑ＝ ，ｏ ： ｕ
．
Ｏ １
（４ １）
将 方程 （ ） １ 两端 同时乘 以 考 广 ４
并 对 ｓ求 和 ． 到 得
（５ １）
（Ｏ 豢 一 ＝ Ｌ ｄｒ 一 ｏ —
定 理 ３ 对 于变 质量 相对 运 动动 力学 系统 ， 结构 方程 （ １ 等 价于 Ｎ ｅｈ ｒ １） ｏｔｅ 等式 （ ） ７。 定 理 ４ 对 于变 质量 相对 运动 动力 学 系统 ，ｉ 对 称 性与 Ｎ ｅ ｅ 对称性 有着 同样 的守恒量 形 式 （２ 。 Ｌｅ ｏｔ ｒ ｈ １ ）
ｍ， ） Ｔ ， 义 回 ｉ・ ｉ Ｏｔ ￣ 转惯性 ： 口为 力； 广义陀螺力， 陀螺系 ＝ 数 ∑
０
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（Ｊ 篙） 只广反 、 ｕ ＝ 为义 ３ ； ｍ ÷ ×ｋ ｔ
推力 。 有
） 等＋ １ ・ 等一 ｄ
这 里 ＾ ， 别为第 ｉ 质 点相对 于非 惯性 系 的矢 径 和速 度 ， 中 ＾ 分 个 其
１ 系统 的运 动 方 程
研 究 由 Ｎ 个 质 点 构成 的力 学 系统 ， 其位 形 由 Ｔ个 广 义 坐标 （： ， ， ， ） 定 ， ｉ 质 点 的质 量 为 ｔ ｓ １２ … ｎ 确 第 个
ｍ ， 圣 ， 变 质量 相对运 动 动力学 系统 的运 动 微 分方 程为 产ｍ（ 口，）则 ￡