学案18 山西大学附中几何概型学案18

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专题52 几何概型教学案-2018年高考数学文一轮复习资料

1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.1．几何概型的定义事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积、体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，满足上述条件的试验称为几何概型． 2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 3．几何概型的概率公式 P (A )＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示子区域A 的几何度量．高频考点一、与长度(角度)有关的几何概型【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12C.23D.34(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.解析 (1)如图所示，画出时间轴：答案 (1)B (2)13【方法规律】(1)解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.(2)①第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.②当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比. 【变式探究】 (1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的2倍的概率是( ) A.34 B.12 C.13 D.35(2)在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________.解析 (1)如图，作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵上运动时，弦长|AB |＞2R ，∴P ＝l MmC ︵圆的周长＝12.(2)设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4（3p －2）≥0，x 1＋x 2＝－2p ＜0，x 1·x 2＝3p －2＞0，解得23＜p ≤1或p ≥2，结合p ∈[0，5]得p ∈⎝⎛⎦⎤23，1∪[2，5]，故所求概率为⎝⎛⎭⎫1－23＋（5－2）5＝23.答案 (1)B (2)23高频考点二与面积有关的几何概型(【例2】 (2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n mB.2n mC.4mnD.2m n由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12，故π＝4mn .答案 C【举一反三】在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14B.34C.13D.23解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.答案 B【方法规律】(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.(2)解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.【变式探究】如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12答案 B高频考点三与体积有关的几何概型【例3】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________.1×1×121×1×1＝12.答案 12【方法规律】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.【变式探究】一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________.解析依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V 0＝18×43π×13＝π6(立方米).又空屋子的体积V ＝5×4×3＝60(立方米)，三个捕蝇器捕捉到的空间体积V ′＝3V 0＝π2(立方米).故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.答案π1201.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )108810解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58. 答案 B2.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n mB.2n mC.4mnD.2m n由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12，故π＝4mn . 答案 C3.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.解析直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3.则|5k －0|k 2＋1＜3，解之得－34＜k ＜34，故所求事件的概率P ＝34－⎝⎛⎭⎫－341－（－1）＝34.答案 344.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )4334解析由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34，故选A. 答案 A5.(2015·福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12答案 B6.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A.p 1<p 2<12B.p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D.p 1<12<p 2答案 D1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，即x ≤1，故所求的概率为( ) A.45B.35C.25D.15解析在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，且x ≤1，即－2≤x ≤1，故所求的概率为P ＝35. 答案 B2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )A.π3 B.π C.2π D.3π解析设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得S S ′＝13，则S ＝3π. 答案 D3.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8解析设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4.答案 B4.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B.1－π12 C.π6 D.1－π6答案 B5.已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16B.13C.12D.23解析如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.答案 C6.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4故选D.答案 D7.在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A.14 B.316 C.916 D.34解析由x ，y ∈[0，4]知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A (4，2)，S 正方形＝16， S 阴影＝（2＋4）×42＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.答案 D8.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( ) A.78B.34C.12D.14解析当点P 到底面ABC 的距离小于32时， V P －ABC ＜12V S －ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78.答案 A9.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析因为复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )且|z |≤1，所以|z |＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，答案 D10.在区间[－1，4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( )A.12B.13C.25D.35解析由2x －x 2≥14，得－1≤x ≤2.又－1≤x ≤4.∴所求事件的概率P ＝2－（－1）4－（－1）＝35. 答案 D11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3. 答案 312.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.解析因为VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16. 答案 1613. 如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.答案 4π－1。

学案2-山西大学附中高二年级极坐标

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计编号2 极坐标系【学习目标】1.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；3.能进行极坐标与直角坐标的互化. 【学习重点】能进行极坐标与直角坐标的互化.【学习难点】能进行极坐标与直角坐标的互化.【学习过程】一．知识导学：情境：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏北60°方向走120m 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？【探究】1.为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？2.如何刻画这些点的位置？类比直角坐标系的建立，如何建立用“角度”和“距离”来确定点的位置的新的坐标系？（一）.极坐标系的建立如右图，在平面内取一个 O ，叫做；自极点O 引一条射线Ox ，叫做；再选定一个，一个（通常取）及其（通常取方向），这样就建立了一个。

（二）.极坐标的规定设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M的，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M的，记为。

有序数对叫做点M 的，记作。

例1.写出图中G F E D C B A ,,,,,,各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>.【探究】2.（1）平面上一点的极坐标是否唯一？（2）同一点极坐标的不同是由什么导致的？（3）能否写出点),(θρM 的统一的极坐标表达式？（三）.极坐标的多值性（1）给定极坐标),(θρM ,在平面上可以确定。

（2）给定平面上一点，却有个极坐标，),(θρ与为同一点特别地，极点),0(θ，θ取一切实数。

（3）如果规定，则点的极坐标与平面上的点一一对应（极点除外）。

【探究】3.1.在直角坐标系中，点)1,3(M ，如何建立适当的极坐标系把它表示出来？2.点M 的极坐标为),(θρ，直角坐标为),(y x ，如何建立两种坐标系和坐标的关系？),(θρM● ρθ Ox⎩⎨=______y ⎩⎨=________tan θ 例2．（1）将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标；（2）将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.二.当堂检测1.在极坐标系中，与点)6,3(π重合的点是 A.)617,3(π B.)65-,3(π C.)613,3(π D.)6-,3(π 2.在极坐标系中,与点)6,3(π关于极轴对称的点是 A. )6-,3(πB. )65,3(πC.)67,3(πD.)613,3(π 3.在极坐标系中，若点),(θρM ，则（写出点的一个极坐标即可） ⑴点M 关于极点的对称点为；⑵点M 关于极轴对称点的坐标为；⑶点M 关于过极点且与极轴垂直的直线的对称的点的极坐标是 .4.（1）将点的极坐标)2,1(),6,3(ππ-B A 化成直角坐标；（2）将点的直角坐标)20(),3,3(--D C 化成极坐标.5.在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A ，求B A ,中点的极坐标.6. 已知在极坐标系中，若)67,3(),3,3(ππB A （1）求B A ,两点之间的距离；（2）求ABO ∆的面积（O 为极点）；（3）求直线AB 与极轴的夹角.。

2018版高中数学A版必修三学案：3-3-1 几何概型精品

3．3.1 几何概型[学习目标] 1.了解几何概型与古典概型的区别.2.理解几何概型的定义及其特点.3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一几何概型的含义 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．思考几何概型与古典概型有何区别？答几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一与长度有关的几何概型例1 取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？解如图，记“剪得两段的长都不小于1m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．跟踪训练1 某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 B解析如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.题型二与面积有关的几何概型例2 射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解如图，记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．解如图所示，区域Ω是长30m 、宽20m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)．所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率约为0.31. 题型三与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78.反思与感悟如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．解依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}．因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟当涉及射线的运动、扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°，所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}，则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分，故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型．1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13B.12C.23D.79 答案 C解析此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78B.56C.34D.12 答案 A解析问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是()A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.112B.38C.116D.56 答案 C解析由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．答案 34解析由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝⎛⎭⎫－341－(－1)＝34.1.几何概型适用于试验结果是无限多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).。

学案 52山西大学附中高二年级椭圆及其简单几何性质(2)

山西大学附中高二年级(上) 导学设计编号52 椭圆及其简单几何性质(2)【学习目标】 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系．【学习重点】椭圆与直线的关系【学习难点】椭圆与直线的关系【学习过程】一、导学复习1：椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（）（）；长轴长、短轴长；离心率．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？探究：问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？二、导练例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．例2 已知椭圆221259x y +=，直线l ：45400x y -+=。

椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？变式：最大距离是多少？练1已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．练2．经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．三、目标检测1．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）．C. 2-1 2．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）．A. 95B. 3C. 94 3．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为．4．椭圆2214520x y +=的焦点分别是1F 和2F ，过原点O 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若2ABF ∆的面积是20，则直线AB 的方程式是．5.求下列直线310250x y +-=与椭圆221254x y +=的交点坐标．6.若椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32⑴这组直线何时与椭圆相交？⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？课堂小结1 ．椭圆在生活中的运用；2 ．椭圆与直线的位置关系：相交、相切、相离（用∆判定）．直线与椭圆相交，得到弦，弦长12l x -= 其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．。

学案15 山西大学附中概率的基本性质15

山西大学附中高中数学（必修3）学案编号15概率的基本性质【学习目标】1.正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；2.正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系；3.了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算.【学习重点】概率的基本性质【学习难点】概率的基本性质的应用【学习过程】知识探究（一）：事件的关系与运算思考1：一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？思考2：交事件的定义：，记作C=A∩B（或AB），思考3：并事件的定义：，记作C=A∪B（或A+B），思考4：互斥事件的定义：，在一次试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？思考5：对立事件的定义：，在一次试验中，事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？知识探究（二）：概率的几个基本性质思考1：必然事件、不可能事件的概率分别是多少？概率的取值范围是什么？思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？f n(A∪B)与f n(A)、f n(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得什么结论？思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P（A）＋P（B）与1的大小关系如何？思考5：对于任意两个事件A、B，P（A∪B）一定比P（A）或P（B）大吗？ P（A∩B）一定比P（A）或P（B）小吗？三、典型例题1、在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是（）A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上选项均不正确2、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为A.0.09B.0.98C.0.97D.0.963、某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是 .4、某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是______.5、判断下列每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？从一副桥牌（52张）中，任取1张，（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”6、为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾.试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数.7、某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率，（2）至少射中7环的概率；（3）射中环数不足8环的概率.。

学案1 山西大学附中任意角学案

山西大学附中高中数学（必修4）学案编号1任意角【学习目标】1. 理解“旋转”定义角的概念，掌握“正角”、“负角”、“零角”的意义．2. 掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法.会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。

【学习重点】任意角、象限角、终边相同的角的定义【学习难点】用集合和符号来表示终边相同的角【学习过程】一、导学:（一）通过阅读本章引言了解本章要解决那些问题。

（二）阅读课本1-3页解决下列问题。

问题1、在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.旋转起始时的射线叫做角的，终止时的射线叫做角的，射线的端点叫做角的 .按方向旋转形成的角叫做正角，按方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。

角的表示方法：①常用字母.......C B A 等表示；②也可以用字母α、β、γ…等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母x 表示.巩固1、画出下列各角（1） 780 （2）120- （3） 660- （4） 1200问题2、为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x 轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角巩固2、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角并指出它们是第几象限角：（1） 420（2）75- （3） 855 （4） 510-（三）阅读课本4-5页回答下列问题。

问题3、在直角坐标系中作出下列各角：（1） 32- （2） 328 （3） 329- （4） 688 （4） 752-以上各角的终边有什么关系？把与 32-角终边相同的所有角都表示为所有与角 32-终边相同的角，连同角 32-在内可构成集合为巩固3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 360720<≤-β的元素写出来：（1）'181303 （2） 225-探究：象限角的理解第一象限角的集合可表示为___________________.第二象限角的集合可表示为___________________.第三象限角的集合可表示为___________________.第四象限角的集合可表示为___________________.终边在x 轴上角的集合可表示为___________________.终边在y 轴上角的集合可表示为___________________.终边落在坐标轴上角的集合可表示为终边在直线x y =上角的集合可表示为___________________.终边在直线x y -=上角的集合可表示为___________________.二、当堂检测：1、在0o ～360o 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出他们是哪个象限的角（1） 265- （2） 1000- （3） 843- （4）39002、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-3600≤β＜360o 的元素写出来：（1） 60（2） 75- （3） 475- （4） 90 （5） 270（6） 180 （7） 0（8） 135。

学案17 山西大学附中古典概型学案17

山西大学附中高中数学（必修3）学案编号17古典概型【学习目标】通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．【学习重点】理解古典概型及其概率计算公式．【学习难点】理解古典概型及其概率计算公式．【学习过程】1．阅读教材125P 的有关内容，自主完成例1，思考并回答下列问题：（1）什么是基本事件？基本事件具有什么特点？（2）在掷骰子的试验中，随机事件“出现奇数点”可以由哪些基本事件组成？2．阅读教材125P 及126P “思考”以上的内容，思考并回答下列问题：（1）两次试验及例1的试验中，基本事件分别有几个？它们有什么共同特点？（2）什么是古典概型？其特点是什么？3．阅读教材129125~P P 的有关内容，思考并回答下列问题：（1）在“掷一枚质地均匀的骰子的试验”中，基本事件总数是几？每个基本事件出现的概率是多少？随机事件“出现奇数点”的概率如何求？（2）结合上述问题和教材内容，请总结古典概型计算概率的公式．结合公式，体会古典概型两个特征的必要性．4．结合例2，思考并回答下列问题：（1）如果单选题改成是多选题，问题该如何解答？（2）通过上述解决问题的过程，结合教科书归纳求解古典概型的概率问题的步骤．5．结合例3，思考并回答下列问题：（1）请你列出该问题的所有基本事件．（点拨：求基本事件数时，较简单的问题，适合用列举法，较复杂的问题适合用列表法或树状图法）（2）为什么要将两个骰子标上记号？如果不标记会出现什么情况？解释其中的原因，再次体会古典概型的第二个条件的必要性．6．在计算基本事件总数时，要注意分清“有序”和“无序”，不要出现“重复”或“遗漏”的错误，请对教材中的例1、例3、例5进行对比，找出它们之间的联系和区别．课堂自测1．从甲乙丙丁4人中任选2人，甲被选中的概率是2．在20瓶饮料中，有2瓶已经过了保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？3．在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京．从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？4．从1,2,3,4中任取两个不同的数字组成两位数的偶数，则基本事件有哪些？5．5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任取2本，取出的书恰好都是数学书的概率是多少？6．从含有2件正品21,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次抽取一件，（1）每次取出后不放回，连续取两次，求取出的2件产品中恰有1件次品的概率．（2）从中取出一件，然后放回，再任取一件，求取出的2件产品中恰有1件次品的概率．7．一个口袋中装有红、白、黄、黑大小相同的四个小球．（1）从中任取一球，求取出白球的概率；（2）从中任取两球，求取出的是红球、白球的概率；（3）先后各取一球，求先后分别取出的是红球白球的概率．8．在箱子里装有10张卡片，分别写有1到10的10个数字，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数y ．（1）y x 是10的倍数的概率；（2）xy 是3的倍数的概率．。

山西山大附中18-19学度高一2月抽考试题--数学

山西山大附中18-19学度高一2月抽考试题--数学2017—2018年高一第二学期开学综合考试〔2月月考〕数学试题〔考试时间：110分钟总分值：120分〕温馨提示：1.有效训练会使你变的聪明、智慧和成功！请您喜爱有效训练！ 2.哈佛图书馆训言：“谁也不能随随便便成功，它来自完全的自我治理和毅力”。

3.请将答案写在答题纸上，否那么计0分！请您诚信考试，祝您最正确发挥！参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+、用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆay bx =- 一选择题〔每题4分〕1.设U 是全集，那么满足S x P x M x ∉∈∈,,的元素x 组成的集合为() A 、M )(S P B.〔M S P ) C.M )]([S C P U D.〔M )()S C P U 2、将389化成四进位制数的末位是〔〕A 、0B 、1C 、2D 、3 3.以下说法不正确的选项是〔〕A.方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =有零点B.0532=++-x x 有两个不同实根C.)(x f y =在],[b a 上满足0)()(<b f a f ，那么)(x f y =在),(b a 内有零点D.单调函数的零点至多有一个 4.方程022=-x x的解的个数是〔〕A.1B.2C.3D.45、阅读右边的程序框图，假设输出s 的值为7-，那么判断框内可填写〔〕、Ａ、3?i <Ｂ、4?i <Ｃ、5?i <Ｄ、6?i <6.如下四个游戏盘,现在投镖,投中阴影部分概率最大的是()7、函数f (x )＝－x 2＋6x ＋7的单调增区间为() A 、(－∞，3] B 、[3，＋∞)C 、[－1,3] D 、[3,7] 8.同时掷3枚硬币，那么下面两个事件中是对立事件的是()A 、至少有1枚正面和最多有1枚正面B 、最多1枚正面和恰好2枚正面C 、不多于1枚正面和至少有2枚正面D 、至少有2枚正面和恰好有1枚正面 9.假设f x x (ln )=+34，那么f x ()的表达式为〔〕A 3ln xB 3ln 4x +C 3xe D 34xe +10、f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，那么f (3)＝()A 、－15B 、15C 、10D 、－10 11.今有一组实验数据如下表所示：那么最正确表达这些数据关系的函数模型是〔〕A.2log u t =B.22tu =- C.212t u -= D.22u t =-12、函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，那么mM 的值为()A.14B.12C.22D.32 二填空题〔每题4分〕13.治理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发明其中带标记的鱼有2条.依照以上收据能够可能该池塘有__________条鱼.14、假设函数()f x =，那么函数2()log y f x =的定义域为；15、教材中有如此一道题目：()3xf x =，求证：〔1〕()()()f x f y f x y ⋅=+；〔2〕()()()f x f y f x y ÷=-. 类似地，关于函数3log y x =，有：〔1〕()()(f x f y f +=)；〔2〕()()(f x f y f -=). 16、方程log 2(2x +1)log 2(2x +1+2)=2的解为三解答题 17、〔此题总分值8分〕设集合{}52|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B . (Ⅰ)假设B =∅，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)当R x ∈时，不存在元素x 使A x ∈与B x ∈同时成立，求实数m 的取值范围. 18.〔此题总分值8分〕某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算那个射手在一次射击中：〔1〕至少射中7环的概率；〔2〕射中环数不足8环的概率.19、〔此题总分值8分〕假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元),有如下的统计数据()(1,2,3,4,5),i i x i y =由资料知两变量呈线性相关,同时统计得五组数据的平均值分别为4x =, 5.4y =,假设用五组数据得到的线性回归方程a bx y +=∧去可能,使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元,〔1〕求回归直线方程;〔2〕可能使用年限为10年时,维修费用是多少?20、〔此题共10分〕关于x 的方程:22(1)260x a x a +-++=，〔1〕假设方程有两个实根,求实数a 的范围；〔2〕设函数[]2()2(1)26,1,1f x x a x a x =+-++∈-，记此函数的最大值为()M a ，最小值为()N a ，求()M a 、()N a 的解析式。

山西2017届中考数学一轮复习第18讲全等三角形导学案

第18讲全等三角形
学习目标
1. 了解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角。

掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质进行计算和推理。

2. 能运用全等三角形的判断和性质进行证明和计算。

学习重点掌握全等三角形的性质和判定定理学习难点全等三角形性质和判定定理的灵活运用
学习过程
自学指导自学内容：生结合课本完成考点梳理
自学时间：3分钟
方法归纳：证明三角形全等的思路
三角形全等⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧AAS
ASA AAS ASA SAS AAS SSS HL SAS 找任一边找夹边已知两角找边的对角找夹边的另一角
找夹角的另一边边为角的邻边找任一角边为角的对边已知一边一角找另一边找直角找夹角已知两边-- 自学检测
1. 如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=B C ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ．
2.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．
求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．
典例分析
1.典例1
分析：要注意分析题中的已知条件，特别要注意隐含条件的挖掘，在此基础上明确可以采用的思路，然后给出解答。

2.典例2
分析：由全等三角形对应高线相等的性质可解
当堂检测
实战集训夺满分1—4题
P
71
抽生板演4题
课堂小结如何规范解题步骤。

山西省太原市山西大学附属中学2021年高考数学立体几何多选题之知识梳理与训练附答案

山西省太原市山西大学附属中学2021年高考数学立体几何多选题之知识梳理与训练附答案一、立体几何多选题1．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB ．若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C ．若1D N 与AB 所成的角为3π，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为3π，则N 的轨迹为椭圆【答案】BC 【分析】对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3MND π∠=，3ND =，可知N 的轨迹是以D 为圆心，33为半径的圆周；【详解】对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D为球心，1为半径的球的18，其面积214182Sππ=⨯⨯=，故A错误；对于B，由正方体性质知，1BB⊥平面ABCD由线面垂直的性质定理知1NB BB⊥，即NB 是点N到直线1BB的距离，在平面ABCD中，点N到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，所以点N的轨迹是以点B为焦点，直线DC为准线的抛物线，故B正确；对于C，如图以D为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y，1(0,0,2)D，(0,2,0)A，(2,2,0)B，则1(,,2)D N x y=-，(0,2,0)AB=，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB yx yD N ABπ⋅===⨯++⋅，化简整理得：2234y x-=，即221443y x-=，所以N的轨迹为双曲线，故C正确；对于D，由正方体性质知，MN与平面ABCD所成的角为MND∠，即3MNDπ∠=，在直角MDN△中，33ND=，即N的轨迹是以D为圆心，33为半径的圆周，故D错误；故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.2．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的有（）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B ．1BD ⊥平面11AC B C ．球O 的表面积为36πD ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a，则1111AC A B BC ==，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC 所成的角为60，故A 正确；对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为a ，则11A D a =，1A B =，1BD =，由勾股定理知111A D B A ⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误；对于C ，设正方体边长为a，则11AC =，内切球半径为2a，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心，则11123O A AC ='==，又1OA =，∴球心O 到面11A C B 的距离6a ==，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴=，又截面圆的面积2246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积214644S ππ==⨯，故C 错误；对于D ，由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.3．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（） A ．若13A P P 点有且只有一个 B ．若12A P ，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若1//A P 平面11B D C ，则1A P 2D ．若12A P 且1//A P 平面11B DC ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23π【答案】ABD 【分析】选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 2P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =︒，求出6r =，进而求出面积. 【详解】对A 选项，如下图：由13A P =P 在以1A 3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=C满足，故A 正确；对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =-=的小圆圆弧上，在底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD上，则1A P 长的最大值为12A B =，则C 不正确；对选项D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆，利用2126622,,sin 60333A B r r S r ππ==∴=∴==︒.故D 正确.故选：ABD 【点睛】（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，d 为球心到小圆距离）；（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.4．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -的外接球体积为556【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故2252OD OG GD =+=，由矩形的性质知：15OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则52R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为35435V R π==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否. 【详解】如图，连接OA ，则2115OA AA =+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点，如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ，同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ，所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥，因为EFEH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒，故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱，其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8，故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.6．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到2cos 3α=，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到5tan θ=，故D 正确，得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确；若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误；如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上，连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，1CE BF ==，125DG =，12cos 5OG α=，故只需满足12sin 5SO OB α==，在OFB △中，根据余弦定理：2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2cos 3α=，故C 正确；过O 作OMAB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，设OAG OAM θ∠=∠=，84ππθ<<，则22DAG πθ∠=-，tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得到2tan tan 21θθ=，解得5tan θ=，验证满足，故D 正确；故选：ACD .【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.7．（多选题）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上 C ．1AP BC ⊥D ．AP ∥平面11AC D【答案】BD 【分析】对于A ，1111111113326P AA D AA DV S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，对于B,C,D ，如图以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可. 【详解】对于A ，因为点P 在平面11BCC B ，平面11BCC B ∥平面1AA D ，所以点P 到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，所以1111111113326P AA D AA DV S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则11(1,0,0),(,1,),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)A P x z B D B C 所以11(1,1,),(1,1,1),(1,0,1)AP x z BD BC =-=--=--, 因为1AP BD ⊥，所以1110AP BD x z ⋅=--+=，所以x z =，即(,1,)P x x ，所以(,0,)CP x x =,所以1CP xBC =-，即1,,B C P 三点共线，所以点P 必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，因为1(1,1,),(1,0,1)AP x x BC =-=-，所以111AP BC x x ⋅=-+=，所以1AP BC ⊥不成立，C 错误；对于D ，因为11(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)A C D , 所以11(1,0,1),(0,1,1)DA DC ==, 设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1,1z y =-=，所以(1,1,1)n =-，所以110AP n x x ⋅=-+-=，所以AP n ⊥，所以AP ∥平面11AC D ，D 正确，故选：BD【点睛】此题考查了空间线线垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查计算能力，属于较难题.8．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||A B '=D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得A B '=.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()313BCDE f S λλλ=⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ，则22223111010()1()21cos120222A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=()f λ取得最大值()31231339f λ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.9．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 35B ．DP 5C ．1AP PC +6D ．1AP PC +的最小值为1705【答案】AD 【分析】DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355h =111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-，所以217042222()105AC '=+-⨯⨯⨯-=.故选：AD. 【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．10．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（）．A ．棱的高与底边长的比为22B ．侧棱与底面所成的角为4π C ．棱锥的高与底面边长的比为2 D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=-令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a =当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为2，故A 正确，C 错误侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.。

【全国百强校】山西大学附属中学2017-2018学年高一4月月考数学试题(附精品解析)

山西大学附中2017-2018 学年高一年级第二学期 4 月（总第二次）模块诊疗数学试题第Ⅰ卷（共 36 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 3 分 , 共 36 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1. 的值为（）A. B. C. D.2. 的值为（）A. B. C. D.3. 某扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则它的面积是（）A. B. C. D.4. 函数的最小正周期为（）A. B. C. D.5. 以长为的线段为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）A. B. C. D.6. 已知，则的值为（）A. B. C. D.7. 函数的图象以下图，为了获得的图象，则只需将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8. 设，，，则以下结论正确的选项是（）A. B. C. D.9. 若，且，则（）A. B. C. D.10. 在中，，，则的形状是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形11. 函数的大概图象是（）A. B.学&科&网...C. D.12. 函数的图象与曲线全部的交点横坐标之和为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共 64 分）二、填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上）13. 在中，，，则的值为 __________．14. 函数的单一增区间为 __________ ．15. 若函数在区间上的最大值为，则__________．16.给出以下命题：（ 1）存在实数，使得建立；（ 2）若，则是第二或第三象限的角；（ 3）若，是锐角的内角，则；（ 4）函数，的一个对称中心为.此中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共5 小题，共 48 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 化简：（ 1）；（ 2）（为第四象限角） .18. 已知角终边上的一点.（ 1）求的值；（ 2）求的值 .19. 在中，已知，（ 1）求角；（ 2 ）若，且，求.20. 设函数（ 1）若，且，求的值；（ 2）画出函数在区间上的图象（在答题纸上达成列表并作图）.1. 列表2.描点，连线21. 已知函数，.（ 1）若对随意，都有建立，求的取值范围；（ 2）令，求的最小值的表达式.山西大学附中2017-2018 学年高一年级第二学期 4 月（总第二次）模块诊疗数学试题第Ⅰ卷（共 36 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 3 分 , 共 36 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.的值为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】试题剖析：由题意得，应选 B.考点：引诱公式的应用.2.的值为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】==sin应选 C.3. 某扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则它的面积是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】由题得因此它的面积是学%科%网...学%科%网... 学 %科 %网 ...学 %科%网 ...应选 A.4. 函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由题得因此函数f(x) 的最小正周期为应选 C.5. 以长为的线段为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】解：如图，设∠ NOB=θ，则矩形面积 S=5sin θ?2?5cosθ=50sin θ?cosθ=25sin2，θ∴ sin2 θ=1时，函数获得最大值 25故 Smax=25应选 C．6. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】．此题选择 D 选项 .7. 函数的图象以下图，为了获得的图象，则只需将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】 C【分析】由图得函数的周期由于函数的图像过点，因此，，因此为了获得的图象，则只需将的图象向右平移个单位长度.应选 C.8. 设，，，则以下结论正确的选项是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】试题剖析：由于，，，又函数在上是增函数，因此，，应选 D.考点： 1、两角和的正弦公式；2、正弦函数的单一性.9.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】试题剖析：由，两边平方得：，由是一元二次方程：的两个实根，解得：，且由上可知：，，应选 A．考点： 1.同角三函数间的关系； 2.余弦的倍角公式．10. 在中，，，则的形状是（）A.锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】 B【分析】由题得sinA=因此cosC=, 因此 C 是钝角，故三角形式钝角三角形，应选 B.11. 函数的大概图象是（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】由于，因此，由于，应选 B.12. 函数的图象与曲线全部的交点横坐标之和为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图像，以以下图所示，明显它们有六个交点 A 、B 、 C、 D、 E 、F, 而且对于直线x=1 对称，因此因此函数的图象与曲线全部的交点横坐标之和为 6. 应选 D.点睛：此题是一个对于零点的问题，因此一般采纳数形联合的方法，重点是发现它们两个函数的图像都关于直线x=1 对称发现这个对称性，后边的问题就好解答了.,第Ⅱ卷（共 64 分）二、填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上）13. 在中，，，则的值为__________．【答案】【分析】因此=故填.14. 函数的单一增区间为__________ ．【答案】【分析】由题得，因此因此函数的单一增区间为，故填.点睛：此题是一个易错题，要求函数f(x) 的增区间，部分同学转变为求正弦函数的增区间就错了. 将原函数分解得，因此要求原函数的增区间，转变为求正弦函数的减区间.对这一点，大家要理解掌握并灵巧运用.15. 若函数在区间上的最大值为，则__________．【答案】【分析】由题得，因此当故填 3.16.给出以下命题：（ 1）存在实数，使得建立；（ 2）若，则是第二或第三象限的角；（ 3）若，是锐角的内角，则；（ 4）函数，的一个对称中心为.此中正确的命题的序号是__________．【答案】（1）（ 3）（4）【分析】对于(1),因此存在实数，使得建立.所以是正确的 . 对于（ 2），若，则是第二或第三象限的角或轴线角，如因此错误.对于（3），因此是正确的.对于（ 4），令因此函数，的一个对称中心为. 因此是正确的 . 故填（ 1）（ 3）（4） .三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.化简：（1）；（ 2）（为第四象限角） .【答案】 (1)1 ； (2) .【分析】试题剖析：（ 1 ）第（ 1 ）问，先把正切化成正弦余弦，再利用和角的余弦和协助角等公式化简.(2) 第（ 2）问，先对根式分母有理化，再利用协助角公式化简.试题分析：（ 1）；（ 2）∵ 是第四象限角，∴，上式.18. 已知角终边上的一点.（ 1）求的值；（2）求的值.【答案】 (1) ；(2) .【分析】试题剖析：（ 1 ）利用角的终边上点坐标可得，从而由引诱公式化简代入求值即可；（2）利用，可求，代入求值即可 .试题分析：（ 1）依题意有，原式.（ 2）原式.19. 在中，已知，（ 1）求角；（ 2）若，且，求.【答案】 (1) ； (2) .【分析】试题剖析：（ 1）第（ 1）问，先利用降幂公式，再利用和角的余弦公式化简获得角 A 的值 .(2) 第（2）问，先变角，再利用差角的正弦公式求值 .试题分析：（ 1）由题可得，，则，则，∴.（ 2）∵，，，∴.∴.20. 设函数（ 1）若，且，求的值；（ 2）画出函数在区间上的图象（在答题纸上达成列表并作图）.1. 列表2.描点，连线【答案】 (1)；(2)答案看法析.【分析】试题剖析：（ 1）第（ 1）问，先化简获得，再利用同角的三角函数关系求的值 . (2) 第（ 2）问，先利用对称性达成表格，再描点绘图连线.试题分析：（1）由，，得：，∵，∴，∴.（2） 1. 列表2. 描点，连线函数在区间上图象以下21. 已知函数，.（ 1）若对随意，都有建立，求的取值范围；（ 2）令，求的最小值的表达式.【答案】 (1)；(2).【分析】试题剖析：（ 1 ）第（ 1 ）问，先利用三角恒等变换的公式化简获得,再求 f(x) 在上的最小值，即得实数 a 的范围 . (2) 第（ 2）问，先设，，换元获得新函数，再分类议论求二次函数的最小值, 即得的最小值的表达式.试题分析：（ 1）由三角函数公式化简可得，若对随意，都有建立，则只需即可∵，∴，∴当，即时，有最小值，故；（2）令，，则，当，即时，；当，即时，；当，即时，；综上，.点睛：对于构造比较复杂，而且某一个式子出现频次比较高时，一般利用换元法优化解题，换元时必定要注意新元的范围，实现问题的等价转变. 此题的第（ 2）问就利用了换元法. 大家要理解掌握换元法的原理，并灵巧运用 .。

高中数学 3.3.1 几何概型学案新人教B版必修3(2021年整理)

2016-2017学年高中数学3.3.1 几何概型学案新人教B版必修3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学3.3.1 几何概型学案新人教B版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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3.3.1 几何概型1。

理解几何概型的定义及特点。

（重点)2。

掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.（难点）3.与长度、角度有关的几何概型问题。

(易混点）[基础·初探]教材整理几何概型阅读教材P109，完成下列问题.1.定义如果把事件A理解为区域Ω的某一子区域A（如图3。

3。

1所示），A的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.图3。

3.12.几何概型的概率公式在几何概型中,事件A的概率定义为：P(A)＝错误!，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示子区域A的几何度量.1。

判断（正确的打“√"，错误的打“×"）（1）几何概型的概率与构成事件的区域形状无关。

（)（2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0，1)内。

（）（3）几何概型的基本事件有无数多个。

( )【答案】(1)√(2)×(3)√2.在区间[－1,2］上随机取一个数x，则｜x|≤1的概率为________。

【解析】∵区间［－1，2］的长度为3，由｜x|≤1得x∈［－1，1],而区间[－1，1］的长度为2，x取每个值为随机的，∴在［－1，2］上取一个数x，｜x|≤1的概率P＝错误!。

【配套K12】山西省山西大学附属中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题

山西大学附中2017-2018学年高一第二学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.π411cos 的值为（） A.21 B.21- C.22 D.22-2.已知向量()21，-=，()1，λ=若a 与b 平行，则=λ（） A.-5 B.25 C.7 D.21- 3.如果点()θθcos 3sin 2，P 位于第四象限，那么角θ所在的象限是（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知()12，=，()11，-=则在方向上的投影为（） A.22-B.22C.55-D.555.函数⎪⎭⎫⎝⎛--=4tan 1πx y 的定义域为（）A.Z ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+k 4k k ，πππ，B.Z ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+k 2k k ，πππ，C.Z ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+k 2k 4-k ，ππ，ππD.Z ∈⎪⎭⎫⎝⎛k k 4-k ，π，ππ6.已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos πx x f ，下面结论正确的是（）A.函数()x f 的最小正周期为 2B.函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上是增函数C.函数()x f 的图象关于直线8π=x 对称 D ．函数()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛08，π对称 7.若103cos sin =θθ，则=+θθθθcos -sin cos sin （）A.-2B.2C.2±D.43 8.为了得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图象，只需要把函数x y sin =的图象上（）A.各点的横坐标缩短到原来的21倍，再向左平移3π个单位 B.各点的横坐标缩短到原来的21倍，再向左平移6π个单位C.各点的横坐标缩短到原来的2倍，再向左平移3π个单位D.各点的横坐标缩短到原来的2倍，再向左平移6π个单位9.ABC ∆的边BC 所在直线上有一点D 满足04=+，则可表示为（）A.4145-=B.3431+-= C.AC AB AD 32+-= D.3134-=（（（（（（（10.函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=20,00sin π＜＜＞，＞ϕωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则()0f 的值是（）A.23 B.43 C.26 D.4611.已知()21tan =-βα，71tan -=β、且()，π、0∈βα，则βα-2（）A.4πB.45443π、π、πC.43π-D.454π、π 12.在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥，2==CD AB21=，动点E 和F 分布在线段CD 和BC 上，且∙的最大值为27，则AF AC ∙的取值范围为（） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2547， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2723， C.⎥⎦⎤ ⎝⎛-345，D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡445，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．一个半径为2的扇形，若它的周长为π324+，则扇形圆心角的弧度数为．14．已知、3=2=4=+= ．15．已知函数()x x x x f cos sin 3cos 2+=，⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，x 则()x f 的单调递增区间为．16．给出下列命题：①已知任意两个向量b ，a 不共线，若+=、2+=、-=2则A B C 、、三点共线；②已知向量()26，=与()k ，3-=的夹角是钝角，则k 的取值范围是0k <； ③设4π≤x ，则函数()x x x f sin cos 2+=的最小值是221-；④在ABC ∆中，若2cos sin sin 2AC B =，则ABC ∆是等腰三角形；其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知()54sin 2=-ααπ＜π，＜π（1）求α2tan 的值；（2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-42cos πα的值.18．已知是同一平面内的三个向量，其中()21，=.（152=，且a c ∥，求c 的坐标；（2）若()()01b ＜，m m =且b 2a +与b 2-a 垂直，求a 与b 的夹角θ．19．已知向量()12cos 2a ，x =，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132cos 2b ，πx ，令()b a x f ∙= （1）求()x f 的最小正周期及单调增区间；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24π，πx 时，求()x f 的最小值以及取得最小值时x 的值．20．已知ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，AD 为角平分线．用向量的方法解答：（1）求AD 的长度；（2）过点D 作直线交,AB AC 于不同两点E F 、，且满足AB x AE =，AC y AF =，求:yx 21+的值，并说明理由．21．已知1a ≥，函数()()()a x a a x x f 2cos sin +--= （1）求当1=a 时，()x f 的值域；（2）若函数()x f 在[]，π0内有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．山西大学附中2017-2018学年高一第二学期期中考试数学答案一、选择题1-5:DDBAC 6-10:CCBBC 11、12：CC 二、填空题 13．3π 14．06π⎛⎤⎥⎝⎦， 16．③④ 三、解答题17．解：（1）()4sin 5πα-=，4sin 5α=， ∵2παπ<<，∴3cos 5α=-，4tan 3α=-， 282tan 243tan 2161tan 719ααα-===--；（2）cos 2cos cos 2sin sin 2444πππααα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭2222αα+)22cos 12sin cos 2ααα=-+=2343212255550⎫⎛⎫⎛⎫⨯--+⨯⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．解：（1）∵,,a b c r r r是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =r，c =r ，且c a ∥r r ，∴设(),2c t t =r=，解得2t =±，∴()2,4c =r 或()2,4c =--r；（2）()23,22a b m +=+r r ，()21,22a b m -=--r r，∵22a b a b -⊥+r r r r ，∴()()22a b a b -⋅+=r r r r 22224a a b a b b +⋅-⋅-=r r r r r r 25440m --=，2140m -=∵0m <，∴12m =-，即11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，1122cos 0a b a b a bθ⎛⎫+⨯- ⎪⋅⎝⎭===⋅⋅r r r r r r，∴2πθ=.19．解：（1）()2cos 22cos 23f x a b x x π⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎝⎭r r 14cos 2cos 2cos sin 2sin 133x x x ππ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭22cos 22cos 21x x x =+-cos 441x x =-sin 416x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为242ππ=. 令242262k x k πππππ-+≤+≤+，求得62122k k x ππππ-+≤≤+，可得()f x 的增区间为,62122k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7134,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，11sin 462x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故当3462x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为-2，此时3x π=.20．解：（1）根据角平分线定理：2BD AB DC AC ==，∴23BD BC =，∴23AD AB BD AB BC =+=+=uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r ()212333AB AC AB AB AC +-=+uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ，∴222144999AD AB AB AC AC =+⋅+=uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r 44449999-+=，∴23AD =uuu r ，即23AD =；（2）1233AD AB AC =+=uuu r uu u r uuu r 1133AE AF x y +uu u r uu u r ， ∵,,E D F 三点共线，∴12133x y +=，∴123x y+=. 21．解：（1）当1a =时，()()()sin 11cos f x x x =--sin cos sin cos 1x x x x =-++-令sin cos t x x =+，则t ⎡∈⎣，21sin cos 2t x x -=，()()2112t f x g t t -==-+-+=()2112t --当1t =时，()max g t =t =()min 32g t =-，所以，()f x的值域为32⎡-⎢⎣. （2）()()()sin cos f x x a a x =--=()2sin cos sin cos x x a a x a -++-，令sin cos u a x =+，则当[]0,x π∈时，u ⎡∈-⎣，21sin cos 2u x x -=，()()2212u f x h u au a -==-+-+()22111222u a a =---++，()f x 在[]0,π内有且只有一个零点等价于()h u 在[)1,1-U内有且只有一个零点，在⎡⎣上无零点.因为1a ≥，所以()h u 在[)1,1-内为增函数.①若()h u 在[)1,1-内有且只有一个零点，⎡⎣内无零点.故只需()()10100h h h ⎧>⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎩，即))2221010102a a a a a ⎧-+>⎪⎪⎪-+≤⎨⎪⎪-+->⎪⎩，求得11a ≤<.()h u的零点，⎡-⎣内无零点，则2102a -+-=，得a =.a =符合题意.综上：11a ≤<或2a =.。

学案18 山西大学附中高一年级指数与指数函数学案

山西大学附中高中数学（必修1）学案编号18指数函数及其性质【学习目标】1.掌握（理解并背会）指数函数的定义；2.能熟练画出指数函数的图象以及熟知指数函数的性质.3.会利用指数函数的图象及性质解题．【学习重点】会利用指数函数的图象及性质解题．【学习难点】会利用指数函数的图象及性质解题．【学习过程】一、导学1．指数函数的定义一般地，函数＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做指数函数，其中x 是自变量.函数的定义域为_________.2．指数函数的图象与性质3.指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数变化时，对函数图象间有什么影响？二、导练1.在下列的关系式中，是指数函数的有________________（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π=（5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）2.已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.例3.函数()x a a a y 332+-=是指数函数，则有（）21.==a a A 或 1.=a B 2.=a C 10.≠>a a D 且三、目标检测：1设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的关系是（）.A 1b a << .B 1a b << .C 1b a << .D 1a b <<2.已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M N =（）.A {}11-， .B {}1- .C {}0 .D {}10-，3.设()31x f x =-，c b a <<且()()()f c f a f b >>，则下列关系式一定成立的是（） .A 33c b > .B 33b a > .C 332c a +> .D 332c a +<4. 比较1132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）.5.设31212,,x xy a y a +-==其中a ＞0，a ≠1，确定x 为何值时，有：①12y y = ②1y ＞2y6.已知指数函数x a y =（a ＞0，且a ≠1）在区间[]2,0上的最大值与最小值的和为5，求a 的值.。

学案 51山西大学附中高二年级椭圆及其简单几何性质(1

山西大学附中高二年级(上) 导学设计编号51椭圆及其简单几何性质（1）【学习目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质，画图．【学习重点】根据几何性质求出椭圆方程【学习难点】根据几何性质求出椭圆方程【学习过程】一、导学复习1：椭圆2211612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是．问题：椭圆的标准方程22221x y+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比a 称为离心率，记e a=，且01e <<．试试：椭圆221169y x +=的几何性质呢？二、导练例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：椭圆的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =； ⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =； ⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、目标检测1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值是（）．A ．3B ．3或253C 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（）．A ．34B ．23C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（）．A ．3 B ．6 C ．12 D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．6.比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936x y +=与221610x y += ． 7.求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．。

2018届高考数学总复习教学案：几何概型

几_何_概_型[知识能否忆起]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[小题能否全取]1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2．(·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：161.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1] (2011·湖南高考)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 5 16本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P (A )＝π×232π×23＝12.由题悟法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1)(·福建四校联考)已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P ＝2π32π＝13.(2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB ≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14. 答案：(1)13 (2)14与面积有关的几何概型典题导入[例2] (1)(·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a (a ＞0)表示平面区域M ，若点P (x ，y )在所给的平面区域M 内，则点P 落在M 的内切圆内的概率为( )A.(2－1)4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π [自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ，所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a )r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a .所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a ]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S＝(3－22)π.[答案] (1)A (2)B由题悟法求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2．(·湖南联考)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为( )A.14 B.12 C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|P A |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.与体积有关的几何概型典题导入[例3] (1)(·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C由题悟法与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3．(·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________．解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231．(·北京模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( )A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.2．(·辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.3．(·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( )A.12B.23C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b )(a －2b )＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34. 4．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f (x )≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f (x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，有－1≤k ≤1，所以所求概率为1－(－1)1－(－2)＝23. 5．(·盐城摸底)在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概率P ＝15.6．(·沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7．(·郑州模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128．(·孝感统考)如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h (2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39.(·宜春模拟)投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A 发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P (A )＝⎝⎛⎭⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12．(·长沙模拟)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，且－2x ＋y ＜0}；画出图形，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，因此当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233．(·晋中模拟)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23 解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12. 2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0，∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12. 答案：123．(·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4. 为( )A.14B.34C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.。

学案10山西大学附中高二年级二元一次不等式与平面区域

山西大学附中高中数学（必修2）学案编号10二元一次不等式（组）与平面区域【学习目标】了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；【学习重点】学会从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；【学习难点】用二元一次不等式组表示平面区域；【学习过程】一．导学阅读必修5课本第82页—第84页完成以下内容：问题1.一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040x x +>⎧⎨-<⎩的解集为 . 那么，在平面直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？我们先研究具体的二元一次不等式6x <-y 的解集所表示的图形. 问题2．在平面直角坐标系中，6x =-y 的图形是 .问题3.二元一次不等式6x <-y 即6-x <y 的解集与6-=x y 的解集有什么关系？满足6x <-y 的点在哪个区域呢？满足6x >-y 的点在哪个区域呢？设点1(,)P x y 是直线6x y -=上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式x y -，请同学们完成以下的表格.横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 点P 的纵坐标1y 点A 的纵坐标2y问题4.A P 6x y -=左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？直线6x y -=右下方点的坐标呢？归纳：平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线6x y -=的__ _；反过来，直线6x y -=左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<. 因此，在平面直角坐标系中，不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域，如图1；类似的：二元一次不等式6x y ->表示直线6x y -=右下方的区域，如图2；直线6x y -=叫做这两个区域的边界.这里，我们把直线6x y -=画成虚线，以表示不包括边界.结论：1.二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2.不等式中仅>或<不包括；但含“≤”“≥”包括 . 二．导练1.画不等式44x y +<表示的平面区域.分析：先画 ________（用线表示），再取 _______判断区域，即可画出．归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点.变式：(1)画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域； (2)画出不等式x ≤y 表示的平面区域.2.用平面区域表示3122y x x y<-+⎧⎨<⎩解集.变式1：画出不等式(21)(4)0x y x y ++-+<表示的平面区域.变式2：由直线20x y ++=，210x y ++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为:三．课堂自测1.已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧，则a 的取值范围是 .2.用平面区域表示不等式组32326x y x x y <⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩的解集.3.求不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示平面区域的面积.。

几何概型学案

山西大学附中高一年级（上）数学学案编号25几何概型一．学习目标：对比古典概型，通过实例，理解几何概型；会用几种常见几何概型模型的概率计算公式，求解与之相关的概率问题．二．学习重难点：理解几何概型及其概率计算公式．三．学习过程：1．阅读教材135P 及136P 的有关内容，思考并回答下列问题：（1）什么是几何概型？它有什么特点？与古典概型的区别是什么？如何判断一个概率模型是否为几何概型？（2）对比古典概型的概率计算公式，理解几何概型的概率计算公式.2．阅读教材136P 的例1，思考并回答下列问题：（1）该问题是几何概型吗？如何将其抽象成几何概型？（2）请总结求几何概型的概率的步骤，并与求古典概型的概率步骤进行对比，进一步理解并掌握这两种概型．3．几种常见的几何概型（1）与长度有关的几何概型例．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少？（2）与面积有关的几何概型例．甲、乙二人相约于7点至8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，超时就离去，若甲、乙两人都在7点到8点之间的任意时刻到达该地，试求这两个人能会面的概率（3）与体积有关的几何概型例．用橡皮泥做成一个棱长为6cm 的正方体，假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒（其大小忽略不计），从这块橡皮泥的一角切下一个棱长为2cm 的小正方体，求这个砂粒正好在这个小正方体中的概率.（4）与角度有关的几何概型例.在等腰ABC Rt ∆中， 90=∠C ．① 在直角边BC 上任取一点M ，求 30<∠CAM 的概率；② 过点A 在CAB ∠内作射线交线段BC 于点M ，求 30<∠CAM 的概率.四．课堂自测1．计算下列两题的概率：（1）在区间]10,0[上任取一个整数x ，这x 不大于3的概率为；（2）在区间]10,0[上任取一个实数x ，这x 不大于3的概率为．2．在等腰ABC Rt ∆中，在斜边AB 上取一点M ，求AC AM <的概率．3．在半径为R 的圆周上取C B A ，，三点，求ABC ∆为锐角三角形的概率．。

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山西大学附中高中数学（必修3）学案18
几何概型
【学习目标】：对比古典概型，通过实例，理解几何概型；会用几种常见几何概型模型的概率计算公式，求解与之相关的概率问题．
【学习重点】理解几何概型及其概率计算公式．
【学习难点】理解几何概型及其概率计算公式．
【学习过程】
一、导读
1．阅读教材135P 及136P 的有关内容，思考并回答下列问题：
（1）什么是几何概型？它有什么特点？与古典概型的区别是什么？如何判断一个概率模型是否为几何概型？
（2）对比古典概型的概率计算公式，理解几何概型的概率计算公式.
2．阅读教材136P 的例1，思考并回答下列问题：
（1）该问题是几何概型吗？如何将其抽象成几何概型？
（2）请总结求几何概型的概率的步骤，并与求古典概型的概率步骤进行对比，进一步理解并掌握这两种概型．
3．几种常见的几何概型
（1）与长度有关的几何概型
例．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少？
（2）与面积有关的几何概型
例．甲、乙二人相约于7点至8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，超时就离去，若甲、乙两人都在7点到8点之间的任意时刻到达该地，试求这两个人能会面的概率
（3）与体积有关的几何概型
例．用橡皮泥做成一个棱长为6cm 的正方体，假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒（其大小忽略不计），从这块橡皮泥的一角切下一个棱长为2cm 的小正方体，求这个砂粒正好在这个小正方体中的概率.
（4）与角度有关的几何概型
例.在等腰ABC Rt ∆中， 90=∠C ．
① 在直角边BC 上任取一点M ，求 30<∠CAM 的概率；
② 过点A 在CAB ∠内作射线交线段BC 于点M ，求 30<∠CAM 的概率.
二、导练
1．计算下列两题的概率：
（1）在区间]10,0[上任取一个整数x ，这x 不大于3的概率为；
（2）在区间]10,0[上任取一个实数x ，这x 不大于3的概率为．
2．在等腰ABC Rt ∆中，在斜边AB 上取一点M ，求AC AM <的概率．
3．在半径为R 的圆周上取C B A ，，三点，求ABC ∆为锐角三角形的概率．。