信号与线性系统题解第三章

第三章习题答案

da

3.1 计算下列各对信号的卷积积分()()()y t x t h t =*：

(a) ()()

()()t t

x t e u t h t e u t αβ==（对αβ≠和αβ=两种情况都做）

。 (b) 2()()2(2)(5)()t

x t u t u t u t h t e =--+-=

(c) ()3()()

()1t

x t e

u t h t u t -==-

(d) 5,

0()()()(1),0

t

t t e t x t h t u t u t e e t -⎧<⎪==--⎨

->⎪⎩

(e) []()sin ()(2)()(2)x t t u t u t h t u t π=--=--

(f) ()x t 和()h t 如图P3.1(a)所示。 (g) ()x t 和()h t 如图P3.1(b)所示。

图P3.1 解：(a) ()

()0

()()()(0)t t

t

t

y t x t h t e

e

d e

e

d t βτατ

βαβτ

ττ------=*=

=>⎰

⎰

当αβ≠时，()1

()()t

t

e

y t e u t αβββα

----=

-

当αβ=时，()()t y t te u t α-=

(b) 由图PS3.1(a)知， 当1t ≤时，25

2()

2()

22(2)2(5)0

2

1

()22t t t t t y t e

d e

d e e e ττττ----⎡⎤=

-=

-+⎣

⎦⎰

⎰ 当13t ≤≤时，25

2()

2()

22(2)2(5)1

2

1

()22t t t t t y t e

d e

d e e e ττττ-----⎡⎤=

-=

-+⎣

⎦⎰

⎰ 当36t ≤≤时，5

2()

2(5)21

1

()2t t t y t e

d e e ττ---⎡⎤=-=

-⎣

⎦⎰ 当6t >时，()0y t =

(c) 由图PS3.1(b)知，当1t ≤时，()0y t = 当1t >时，133(1)0

1

()13t t y t e

d e τ

τ----⎡⎤==

-⎣

⎦⎰

3

(1)

1

()1(1)

3

t y t e u t --⎡⎤

∴=

--⎣⎦

(d) 由图PS3.1(d)知： 当0t ≤时，1

1

()t

t t t y t e d e e

ττ--=

=-⎰

当01t <≤时，055(1)

10

14()(2)25

5

t t

t

t t y t e d e e d e e

e

τ

τ

τ

ττ-----=+-=+

--

⎰

⎰

当1t >时，555(1)

(1)

1

11()(2)2255t t

t t

t t y t e e

d e

e

e

e

τ

τ

τ------=-=-+-⎰

(e) 如下图所示：

(f) 令()11()(2)3

h t h t t δ⎡⎤

=+-

-⎢⎥⎣⎦

，则11()()()(2)3

y t x t h t x t =*-

- 由图PS3.1(h)知，11

424()()()()(21)3

3

3

t t y t x t h t a b d a t b ττ-=*=

+=-+⎰

2411

()(21)(2)()

3333

a y t t

b a t b a t b x t ∴=

-+---

=+= (g) ()x t 是周期信号，由此可推知()()()y t x t h t =*也是周期的，且周期也为2。因此只需求出()y t 的一个周期。由图PS3.1(j)可知：

当112

2

t -≤≤时，12

2

11

2

1()(1)(1)4

t t y t t d t d t t ττττ---

=

--++

-+=++⎰

⎰

当

132

2

t ≤≤

时，12

2

11

2

7()(1)(1)34

t t y t t d t d t t ττττ-=

-+-

-+=-+

⎰

⎰

∴ ()y t 的一个周期为

2

2111,()422

()7133,()422

t t t y t t t t ⎧+--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩

图PS3.1

3.2 计算下列各对信号的卷积和()()():y n x n h n =*

(a) ()()()()n

n

x n u n h n u n αβαβ==≠

(b) ()2()()()n x n u n h n u n =-=

(c) []

()(1)

()(8)()()(8)n x n u n u n h n u n u n =-----=--

(d) ()x n 和()h n 如图P3.2(a)所示。 (e) ()x n 和()h n 如图P3.2(b)所示。 (f) ()x n 和()h n 如图P3.2(c)所示。