运筹学课程设计范文

淮阴工学院

《数学建模与数学实验》课程设计

班级：计科1072

姓名：唐莹

学号： 1074101207

教师：盖如栋胡平

数理学院

2010年6月

关于湖水的自我净化问题

摘要

本文讨论了关于湖水的自我净化问题，探讨了湖水污染浓度的变化。

通过已知条件我们可以分析出湖水浓度的变化是一个动态变化的过程，因此我们利用微积分方程的求解方法。根据质量守恒定律，找出湖水浓度变化量与流入湖水、流出湖水的污染物浓度之间的等价关系。根据等价关系建立湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型。根据已知数据运用MATLAB软件求出问题的结果。得到：污染源切断后，污染物下降到原来的5%所需时间为398.3289天。

关键词：湖水自我净化、质量守恒定律、微分方程、MATLAB软件

1、问题重述

设一容积为V （单位：3

m ）的大湖受到 某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖

中。若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （单位：3

m /天）。试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。美国密西根湖的容积为9

487110⨯（3m ）,湖水的流量为103.663959132 10⨯(3m /天)，求污染终止后，污染物下降到原来的5%所需的时间。

2、问题假设

1、湖水的流量r 一定，为常量；

2、湖水的体积是不改变的；

3、湖水的流入量和流出量相等且一直未变；

4、流入湖水、流出湖水的污染物浓度均是常量；

5、在t 时刻流出湖水的污染物的浓度是不变的；

3、符号说明

()X t ：t 时刻湖区的污染物浓度；

t ：时间，以天作单位； r ：湖水更新的速率； V ：湖水的容积；

m ：流入湖水中的污染浓度；

X ：t 时间内湖水污染物浓度的变化量；

0X ：0时刻湖区的污染物浓度(0)X ，即初始值。

4、问题分析

在前假设条件的基础之上，湖水容量不变，仅有一个污染源，故我们可将湖泊作为一个封闭的生态系统，其简化的湖水被污染的动态过程为：污染物流入湖水，与湖水均匀混合，受污湖水进行自我净化，湖水输出湖泊。

本问题的实质就是要分析湖水污染物浓度的变化。由于流入和流出的湖水浓度不同，且浓度的变化是动态的，故在考虑此问题时，运用质量守恒定律可知道，湖水污染浓度的变化量=流入湖水的污染量—流出湖水的污染量。再根据微积分的知识可知，在适当短的时间段之内，通过建立微分方程，可以将连续的过程离散化，从而可得到湖水污染浓度与时间的关系表达式；运用MATLAB 软件进行求解。而在污染源被切断的情况，即湖水的污染浓度不再改变，即0m =，由问题给出污染物浓度下降到原来的5%的已知条件，可以求得所需的时间。

湖水污染问题水流的动态流程图：

流入 流出

湖区：V

5、模型建立与求解

建立湖水污染浓度随时间变化的微分方程模型： 设t 时刻湖区的污染物浓度为()X t ，考虑时间区间[],t t t + 并利用质量守恒定律：t 时间内湖中污染浓度的变化量=流入湖水的污染量—流出湖水的污染量。而t 时间内，湖水中污染物变化量为[]()()V X t t X t +- ，即V X ；流入湖水中污染物质量为rm t ，流出湖水的污染物质量为()rX t t ，故数学表达式可表示为：

()V X rm t rX t t =- （1）

于是得，当0t → 时，数学表达式（1）可化为：

[]()VdX r m X t dt =- （2） 将表达式（2）进行变型可以得到：

()

dX r m X dt V

-= （3） 变换成可用标准的微分方程模型，又0t >，0(0)X X =，可用MATLAB 软件求得（详细程

序见附件中程序一）：

r t -()V

0()m+(-m+X )X t e ⨯=⨯ （4） 在问题中，m=0,从而表达式（4）可进一步化简为：

(

)0()r t V

X t e

X ⨯-=⨯ （5） 对表达式（5）求其对数，得到表达式：0ln ln r t

X X V -⨯=⨯，进而得到t 的表达式：0

ln

X

V X t r

-⨯= （6）

其中：12V=4.87110⨯,10

r=3.663959132 10⨯ ,0()0.05X t X =代入（6）中，再运用MATLAB 软件进行求解（详细程序见附件中程序二），得出计算结果398.3289t =天，即污染终止后，污染物下降到原来的5%所需的时间为398.3289天。

6、模型的检验与优缺点

通过分析，所建立的模型表达式（5）为一个关于时间t的指数负增长模型，即随着

t变大，()

X t在逐渐减小，表明,()0

t X t

→∞→。我们令V

00.8

X=，V，r以本题所给的值，代入表达式（5），得到时间与湖水污染物浓度之间的关系图（详细程序见附件中程序三）：

图像显示了随着时间的增长，湖水污染物浓度在逐渐的减小。在现实生活中，随着污染源的切断，即再没有污染物流入湖水中，那么湖水在逐渐的进行自我净化，将湖水中的污染物渐渐分解，且不断有已被污染湖水流出，故湖水中的污染物浓度在逐渐的减小。根据分析，所建立的模型符合实际情况。

6.1模型的优点：

（1）对于首先建立的含参数的微分方程模型，在其有精确解的时候，能给出湖水污染浓度随时间变化的规律，得到很好的预测效果。本题建立的模型能与实际紧密联系，考虑了实际情况的多样性，从而使模型贴近实际，通用性、推广性较强。

（2）对本题建立的模型进行了讨论，为模型的推广和解决同类问题提供了一定的参考。

6.2模型的缺点：

微分方程并不是任何条件下都有解，在本模型中，只有当流入湖水的污染浓度恒定微分方程可解，故适用的范围受到了限制。而且模型仅考虑了理想化的湖水自我净化问题，忽略了不少实际因素；在实际中，一般情况下经过湖水的自我净化，湖水中的污染物浓度是不会和流出湖水的污染物浓度相同的，应有所减小。本模型为了简化问题，没有考虑湖水被净化后浓度被稀释。