线性代数综合练习题
线性代数考试题库及答案(九)
线性代数（经管类）综合试题三（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.当( D )成立时，阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行列式所有阶子式全为零2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是( B ).A.ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( D ).A. (AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=A T B TD.4.下列矩阵不是初等矩阵的是( B ).A.B.C. D.5.设是4维向量组，则(D ).A.线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6.设A为m×n矩阵，且m<n，则齐次线性方程组Ax = o必( C ).A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，又是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是(D ).A. B.C.D.8.如果矩阵A与B满足( D )，则矩阵A与B相似.A.有相同的行列式B.有相同的特征多项式C.有相同的秩D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是 (D ).A. |A|>0B. A的每一个元素都大于零C. D. A的正惯性指数为n10.设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则 ( C ).A. A与B相似B. A与B合同C. A与B等价D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.行列式24 .12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|= 6.13.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X=11 12-⎛⎫⎪-⎝⎭.14.已知向量组的秩为2，则k =-2 .15.向量的长度16.向量在基下的坐标为(3，-4，3) .17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)= 1 .18.设是三阶矩阵A的特征值，则a = 1 .19.若是正定二次型，则λ>.满足520.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|= 360 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2).解：(1) A-2E=300200100 110020110 123002121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭| A-2E |= -1；(2)100100100100 110010010110 121001021101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭100100010110001121⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭1100(2)110121-⎛⎫⎪∴-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E . 22.已知向量组求：(1)向量组的秩； (2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：(1)将所给向量按列构成矩阵A ，然后实施初等行变换：121012101202240400240012243200120000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，向量组的秩1234(,,,)2r =αααα；(2)向量组的一个极大无关组为：13,αα，且有214132,22==-ααααα.23.讨论a 为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：1222201111111311151a -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭A 122220*********03333a -⎛⎫⎪-- ⎪→ ⎪-- ⎪--⎝⎭12222011110000100000a -⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭10040011110000100000a ⎛⎫⎪-- ⎪→⎪- ⎪⎝⎭. 若方程组有解，则()()2r r ==A A ，从而a =1.当a =1时，原方程组的通解方程组为：1423441x x x x x =-⎧⎨=++⎩，34,x x 为自由未知量.令340x x ==，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0)T .导出组的同解方程组为：142344x x x x x =-⎧⎨=+⎩，34,x x 为自由未知量. 令34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别取10,01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得导出组的基础解系：(0, 1, 1, 0)T ，(-4, 1, 0, 1)T . 所以，方程组的通解为：(0, 1, 0, 0)T +c 1(0, 1, 1, 0)T +c 2(-4, 1, 0, 1)T ，其中，c 1，c 2为任意常数.24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性. 解：因为12112111022(2)(6)24082a a a a a a ----=+=-++. 当a =2或a =-6时，向量组相性相关；当a ≠2且a ≠-6时，向量组线性无关.25.已知矩阵A =，(1)求矩阵A 的特征值与特征向量； (2)判断A 可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P 及相应的对角形矩阵Λ.解：矩阵A 的特征多项式为：2110|430(2)(1)102λλλλλλ+--=-=----|E A ， 所以，A 的特征值为：1231,2λλλ===.对于121λλ==，求齐次线性方程组()-=E A x o 的基础解系，210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值121λλ==的全部特征向量为：121c -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，(c ≠0). 对于32λ=，求齐次线性方程组(2)-=E A x o 的基础解系，3101002410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值32λ=的全部特征向量为：00(0)1c c ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为三阶矩阵A 只有两个线性无关的特征向量，所以， A 不能相似于对角矩阵.26.设二次型(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.解：(1) 利用配方法，将二次型化为标准形： 222123112132233,,22243f x x x x x x x x x x x x =+-+--() 22222112323232233[2()()]()243x x x x x x x x x x x x =+-+---+-- 2221232233()24x x x x x x x =+-+-- 222212322333()(2)5x x x x x x x x =+-+-+-222123233=()()5x x x x x x +-+--. 令112322333y x x x y x x y x ⎧=+-⎪=-⎨⎪=⎩，即11222333x y y x y y x y ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩，得二次型的标准形为：2221235y y y +-.(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2.四、证明题（本大题共6分）27.已知A 是n 阶方阵，且，证明矩阵A 可逆，并求证：由2()+=A E O ，得： A 2+2A = -E ，从而 A (A +2E )= -E , A (-A -2E )= E 所以A 可逆，且12-=--A A E .。
青岛理工成人教育 线性代数(本科、专升本)综合练习题及参考答案
解：A2=A (B2+2B+E)= (B+E)B2+2B+E=2B+2EB2=E
3、矩阵 的秩为2。
4、若A为n阶可逆矩阵，则R(A)＝n。
5、设A,B是两个三阶矩阵，且|A|=－1，|B|=－2，则 ＝1。
二、单项选择题
1、如果矩阵A,B满足|A|=|B|，则( )
6、n维向量组1，2，…，s(s1)若是线性相关的，则有一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使k11+k22+…+kss=0成立。
7、设1，2，…，sRn，该向量组的秩为r，则对于s和r，当r=s时向量组线性无关；当r<s时向量组线性相关。
8、已知向量组1=(1,2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),，则该向量组的秩为(2)
解：(P-1AP)6=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1A6P
A6= , P-1= ,
(P-1AP)6= =
线性代数练习与答案(3)
一、填空题：
1、向量组1=(1,1,1,1),2=(1,0,2,2),3=(2,3,1,1)的线性相关性为线性相关.
2、向量组1=(1,2,0,0),2=(1,2,3,4),3=(3,6,0,0)的极大线性无关组为1,2或2,3
线性代数（1）练习与答案
一、填空题：
1、排列13582467的逆序数为7。
2、若排列21i36j87为偶排列，则i=(4),j=(5)
3、行列式 中，元素a12的代数余子式为15.
4、设行列式 ，则D1与D2的关系为D2=2D1。
《经济数学基础》综合练习(线性代数)
《经济数学基础》综合练习（线性代数）一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . TT T )(A B AB = C . 1T 11T)()(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .TTT)(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111)(---=A B AB4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A=-15．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --16．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.A ．AB = AC ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 08．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）．A .kA -1B .11kA n- C . --kA 1D . 11k A - 9．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 11．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（）时线性方程组无解．A ．12B ．0C ．1D ．2 13． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解14．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .2．计算矩阵乘积[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡10211000321= ．3．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B=．4．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 ．5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 6．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆. 7．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X．8．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ．9．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．10．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b．11．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ．12．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．13．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .14．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.15．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0 .三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T -．2．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．3．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1-A ．4．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 5．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 6．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 7．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ．8．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X . 9．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+bax x x x x x x x 321321312022讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.10．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.11．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.14．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.15．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013611λ A问λ取何值时，方程组b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.四、证明题1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 3．已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.5．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．。
线性代数综合练习
《线性代数》总复习题一、判断题1. 仅当021====n k k k 时等式02211=++n n k k k ααα才成立，则向量组n ααα,,21线性无关. ( )2. 若r ααα ,,21线性相关，则r ααα ,,21,n r αα,1+也线性相关.( ) 3. 一个向量组如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关. ( ) 4. 如果矩阵A 存在一个不为零的r 阶子式则矩阵的秩为r . ( )5. r ααα ,,21为向量组T 的一部分向量，如果r ααα,,21线性无关，则r ααα,,21为向量组T 的最大无关组. ( )6. 由n 维向量r ααα,,21生成的子空间或者是n 维的或者是r 维的.( ) 7. 任意齐次线性方程组或者无解，或者有唯一解，或者有无穷多解.( ) 8. 初等矩阵可理解为单位矩阵经过一次初等变换而得到. ( ) 9. 矩阵经过初等变换后得到的新矩阵实际上与原矩阵相等. ( ) 10. 矩阵经过初等变换其行列式的值不变. ( ) 11. 矩阵经过初等变换其秩不变. ( ) 12．线性方程组0=⨯x A n m 的解空间维数仅与m ,n 有关. ( ) 13.线性方程组b x A n m =⨯的解全体构成一个)(A R n -维子空间. ( ) 14．方阵A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值为实数. ( ) 15．方阵A 的对应于特征值λ的特征向量x 必定是齐次线性方程组0)(=-x E A λ的解. ( )16．矩阵的秩就是其列（或行）向量组中线性无关向量的个数. ( )17.如果向量空间V 的任一向量均可由r ααα,,21线性表示，则称r ααα,,21为V 的一个基. ( )18. 若在矩阵A 中有一个r 阶子式不为0，则A 中至少有一个r -1阶子式不为0. ( ) 19. 上三角方阵的值就是主对角线上元素的乘积. ( )20. 若r ααα ,,21线性相关，则1α 可由r αα,2线性表示. ( ) 二 、选择题1. 设B A ,为n 阶矩阵，且0≠A ,而0=AB ，则 A ）0=B B ）0=A 或0=B C) 0=BA D ）()222B A B A +=+2.设B A ,为n 阶矩阵且A 可逆，则有A ）11---=-A A B ）()k k kB A AB =C ）111)(---=B A ABD ）1*-=n AA3.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=210A B A A ，其中21,A A 都是方阵，且0≠A ，则有 A ）1A 可逆但2A 不一定可逆 B ）2A 可逆但1A 不一定可逆C ）1A 与2A 的可逆性不定D ）1A 与2A 均可逆4.设A 为n 阶方阵，则0=A 的充分必要条件是A ）两行（列）元素对应成比例B ）必有一行为其余行的线性组合C ）A 中有一行元素全为0D ）任一行为其余行的线性组合 5.A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是A 的（A ） 列向量组线性无关 （B ）列向量组线性相关 （C ）行向量组线性无关 （D ）行向量组线性相关6.设线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，则正确的是（A ） 若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解 （B ） 若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解（C ） 若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解 （D ） 若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0有非零解7.线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，且r(A )=r, 则此方程组（A ）r=m 时，有解 （B ）r=n 时，有唯一解 （C ）m=n 时，有唯一解 （D ）r<n 时，有无穷多解8.方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=--=++=-+08870430252032321321321321x x x x x x x x x x x x 的解的情形是(A) 无解， (B) 基础解系中有一个向量 ，(C) 仅有零解 (D) 基础解系 中有两个向量9.设,,333222111333222111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b y c b y c b y B c b x c b x c b x A 且A B ==-27,,则A B + 等于 (A) 5 (B) 5- (C) 10- (D) 20- 10.设向量组αααα1234,,, 线性无关， 则线性无关的向量组是()14433221 , , , αααααααα-+++A ()14433221 , , , αααααααα--++B()14433221 , , , αααααααα-+-+C ()14433221 , , , αααααααα----D三、填空题1. 设A 为44⨯矩阵, B 为55⨯矩阵，且2=A ，2-=B ，则B A -= ，A B -= 2.设()E B A +=21，则当且仅当2B = 时，A A =2 3.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100110202211A ，则=A4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，()()=-+-E A E A 93215. []n n b b b a a a 2121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6. 行 列 式a b b d a c c d++++=________________.7. 设E (,)i j 表 示 由n 阶 单 位 矩阵 第i 行 与 第j 行互 换 得 到 的 初 等 矩 阵， 则E (,)i j -=1__________.8. 设A 为正交矩阵， 且*A A T -=, 其中*A 是A 的伴随矩阵, 则A 的行列式等于________.9. 设 A, B 都是n 阶方阵且A 可 逆, 则)(11---AB AB AA T ＝10. 行列式 i j k→→→123213= 11. 设,100010011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121112301B 则A -=112. 设V 是由向量TT )3,0,2(,)0,1,1(21==αα 生成的子空间，则向量T )3,1,5(1=β ，T TT)3,1,3(,)3,3,5(,)3,2,0(432-==-=βββ中 属于V .13．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011012111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001b ,则线性方程组b Ax =的解为14. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----020212022的特征值为 15．行列式 D =4443343332312423211412110000a a a a a a a a a a a a 的元素11a 的代数余子式为16.设向量Tb a ),0,,1(=α与向量T )1,1,1,1(-=β和T )1,1,1,1(--=γ都正交， 则a,b 分别为17.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000010042103101A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1020013600020021B ，则AB ＝ ，（利用分块矩阵乘法求解）18.设向量T )4,3,2,1(=α，T )1,1,1,1(--=β ，则βα,,的夹角为19．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=+-5321132053321321321x x x x x x x x x 的通解为20．设Tx )2,3,(1=αT )3,1,2(2-=α T )1,2,3(3=α,则当=x 时321,,ααα线性相关.21. 已知α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11k 是A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112的逆矩阵A 1-的特征向量，则k ＝ .四、计算题1. 计算行列式1111 11111111 1111--+---+---=x x x x D2. 计 算 ()2333333433333333332333331≥=n nD n3. 设A 是3阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，21=A ，求行列式()*123A A --的值.4. 讨论向量组,T)3,2,1(1-=α,T )5,2,0(2-=α ,T )2,0,1(3-=α的线性相关性.5. 设3维向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1111λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1112λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=λα1113 , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ 问当λ取何值时, β 可由321,,ααα线性表示且表达式唯一.6. 求四维向量组T )5,3,1,2(1-=α T )3,1,3,4(2-=α T )4,3,2,3(3-=αT )17,15,1,4(4-=α T )0,7,6,7(5--=α的秩及最大无关组.7. 试确定参数λ，使矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=152********λλA 的秩最小.8. 验证四维向量T)1,1,1,1(1=αT )1,1,1,1(2--=α T )1,1,1,1(3--=αT)1,1,1,1(4--=α是4R 的一个基，并求向量T )1,1,2,1(=→β在这个基下的坐标.9．验证集合{}R x x x x x x V ∈-==211211,|)3,2,(是否为向量空间.10．问λ取何值时, 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++=+++04707)2()33(0)33(28321321321x x x x x x x x x λλλλ 有非零解，并将其通解用基础解系表示出来.11．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+λ4321432143212312022x x x x x x x x x x x x 无解？何时有解？在有解的情况下求其通解。
线性代数综合训练
5．设 3 元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 2，已知向量 η1 ,η 2 ,η 3 是它
⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 的三个解向量，η1 + η 2 = ⎜ 1 ⎟ ， η 2 + η 3 = ⎜ 1 ⎟ ，则该方程组的通解为 ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6．设方阵 A 满足 2003 A 2 = 5 A + 16 E ，则 ( A − E ) −1 =
A C⎞ (C) 若 A, B, C , D 都是正定矩阵，则 ⎛ ⎜ ⎟ 也是正定矩阵； ⎝D B⎠
(D) 若 A ， B 都是正定矩阵，则 A − B 也是正定矩阵。
6．设 A, B 都是 n 阶非零方阵，且 AB = O ，则 A 和 B 的秩 (A) 必有一个等于零； (B) 都小于 n ；
1 2 24.行列式 3 5
2 3 2 0
3 4 0 0
4 0 = 0 0
。
⎧kx + y − 2 z = 0 ⎪ 25. 若 齐 次 线 性 方 程 组 ⎨ x + ky + 2 z = 0 有 非 零 解 ， 且 k 2 ≠ 1 , 则 k 的 值 ⎪ kx + y + kz = 0 ⎩
为
。 。
⎛ 4 0 2⎞ ⎜ ⎟ 11．设 A 为 4×3 阶矩阵，且 R(A)=2，又 B = ⎜ 0 2 0 ⎟ ，则 R(AB)- R(A)= ⎜ 1 0 3⎟ ⎝ ⎠
12．若二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2tx1 x2 + 2 x1 x3 是正定的，
型. 22．已知三阶方阵 A 的特征值是 1， − 1，2，方阵 B = A2 − E ，则 B 的特征值 是 .
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。
（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。
5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。
2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
线性代数综合练习100题
综合练习100题一、填空题1．设A 是n 阶矩阵，满足,||0'=<AA E A ，则||+=A E 0. 2．若4阶行列式D 的某一行的所有元素及其余子式都相等，则D =0.3．在一个n 阶行列式中，如果等于零的元素多于2n n -个，那么这个行列式D =0. 4．设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，若m n >，则||=AB 0. 5．若n 阶方阵,A B 满足,||0=-≠AB B A E ，则=B 0. 6．若n 阶方阵,A B 满足+=A A B E ，则+=A B A E . 7．若n 阶方阵,,A B C 满足=A B C E ，则'''=B A C E .8．若、A B 都是n 阶方阵，||1,||3==-A B ，则*1|3|-=A B 13n --. 9．若n 阶方阵A 满足*||0.=≠0A A ，则秩()=A 1n -. 10．设,A B 是两个n 阶方阵，||1,||2+=-=A B A B ，则=A B BA2 .11．设矩阵111022003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A 11166611033102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 12．A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，||,||a b ==A B ，则C =0A B(1)m nab -.13．设矩阵A 满足24+-=0A A E ，其中E 为单位矩阵，则1()--=A E 1(2)2+A E .14．设A 为3阶方阵，其特征值为3,1,2-，则2||+=A E 100. 15．已知110001011001001101000111101a -⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪=- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 则4,4,()5,4.a R a =-⎧=⎨≠-⎩当时当时A16．已知n 阶方阵A 的各行元素之和都等于0，且()1n =-R A ，则=0A X 的通解为(1,1,,1),k k ' 为任意常数.17．矩阵m n ⨯A 满足,m n <||0'≠AA ，则=0A X 的基础解系一定由n m -个线性无关的解向量构成.18．若矩阵A 满足3=A A ，则A 的特征值只能是0或1或1-. 19．如果(1,1,1)'=-ξ是方阵2125312a b-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量，则a =3-；b =0. 20．已知A 与B 相似，且3021⎛⎫=⎪⎝⎭B ，则2||λ-=A A 3(1)(31)λλ--. 21．已知33⨯A 的特征值为1,2,3，则1*||-+=AA 376.22．已知2是A 的一个特征值，则2|6|+-=A A E 0.23．设,αβ是n 维列向量，0'=βα，则'αβ的特征值为0()n 重. 24．若n 阶方阵A 的行向量组线性相关，则0一定是A 的一个特征值. 25．直线1022270x y x x y z +-=⎧⎨+-=⎩的单位方向向量为±.26．已知2768444424798188D =，41424344,,,A A A A 为D 中第4行元素的代数余子式，则41424344+++=A A A A 0.27．设A 是3阶方阵，X 是3维列向量，使得2,,X A X A X 线性无关，且3232=-A X AX A X ，记2(,,)=P X A X A X ，则1-=P AP 000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 28．若两个非零几何向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 是夹角θ=2π.29．直线260:210x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩的参数方程为8,5113,55.x t y t z t ⎧=-⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩30．圆22212462402210x y z x y z x y z ⎧++-+-+=⎨+++=⎩的半径R =3.二、选择题1．设n 元齐次线性方程组=0A X 的系数矩阵A 的秩为r ，则=0A X 有非零解的充要条件是（C ）.（A ）r n =； （B ）A 的行向量组线性无关； （C ）A 的列向量组线性相关； （D ）A 的列向量组线性无关.2．设A 是m n ⨯矩阵，=0A X 是非齐次线性方程组=AX β所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C ）.（A ）若=0A X 只有零解，则=AX β有唯一解； （B ）若=0A X 有非零解，则=AX β有无穷多解； （C ）若=AX β有无穷多解，则=0A X 有非零解； （D ）=AX β的任两解之和还是=AX β的解.3．设非齐次线性方程组=AX β的系数行列式为零，则（C ）. （A ）方程组有无穷多解； （B ）方程组无解； （C ）若方程组有解，则有无穷多解； （D ）方程组有唯一解.4．设A 是m n ⨯矩阵，对于线性方程组=AX β，下列结论正确的是（A ）. （A ）若A 的秩等于m ，则方程组有解； （B ）若A 的秩小于n ，则方程组有无穷多解； （C ）若A 的秩等于n ，则方程组有唯一解； （D ）若m n >，则方程组无解.5．设5阶方阵A 的秩是3，则其伴随矩阵*A 的秩为（C ）. （A ）3； （B ）4； （C ）0； （D ）2.6．设A 是n 阶方阵，*2,n >A 是A 的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B ）. （A ）*||=A A A ； （B ）若||0≠A ，则*||0≠A ； （C ）**1||=A A A ； （D ）秩()=A 秩*()A .7．设,A B 是n 阶方阵，A 非零，且=A B 0，则必有（D ）.（A ）=0B ； （B ）=0B A ； （C ）222()+=+A B A B ； （D ）||0=B .8．设有两个平面方程 11111:0a x b y c z d π+++=，22222:0a x b y c y d π+++=，如果 秩1112222a b c a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭，则一定有（D ） （A ）1π与2π平行； （B ）1π与2π垂直； （C ）1π与2π重合； （D ）1π与2π相交.9．设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随阵*A 的特征根之一是（D ）. （A ）1n λ-； （B ）||λA ； （C ）λ； （D ）1||λ-A . 10．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（B ）. （A ）充分必要条件； （B ）充分而非必要条件； （C ）必要而非充分条件； （D ）既非充分条件也非必要条件. 11．已知n 阶方阵A 与某对角阵相似，则（C ）.（A ）A 有n 个不同的特征值； （B ）A 一定是n 阶实对称阵；（C ）A 有n 个线性无关的特征向量； （D ）A 的属于不同特征值的特征向量正交. 12．下列说法正确的是（D ）.（A ）若有全不为0的数12,,,m k k k 使11m m k k ++=0 αα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（B ）若有一组不全为0的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++≠0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（C ）若存在一组数12,,,m k k k 使1122m m k k k +++=0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性相关；（D ）任意4个3维几何向量一定线性相关.13．设,A B 是n 阶方阵，满足：对任意12(,,,)n x x x '= X 都有''X A X =X B X ，下列结论中正确的是（D ）.（A ）若秩()=A 秩()B ，则=A B ； （B ）若'=A A ，则'=B B ； （C ）若'=B B ，则=A B ； （D ）若,''==A A B B ，则=A B . 14．设,A B 均为n 阶正定矩阵，则必有（B ）.（A ）A B 正定； （B ）2+A B 正定； （C ）-A B 正定； （D ）k A 正定. 15．设A 是n 阶方阵，2=A E ，则（C ）.（A ）A 为正定矩阵；（B ）A 为正交矩阵；（C ）*2()=A E ；（D ）2tr()n =A . 16．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（D ）. （A ）若,A B 都可逆，则'A B 也可逆；（B ）若,A B 都是实对称正定矩阵，则1-+A B 也是实对称正定矩阵；（C ）若,A B 都是正交矩阵，则A B 也是正交矩阵； （D ）若,A B 都是实对称矩阵，则A B 是实对称矩阵. 17．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（B ）. （A ）若A 经列的初等变换化成B ，则秩()=A 秩()B ； （B ）若A 经行的初等变换化成B ，则11--=A B ；（C ）若A 经行的初等变换化成B ，则=0A X 与=0B X 同解；（D ）若A 经列的初等变换化成B ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价. 18．设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B12010100100010001101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P ，则必有（C ）. （A ）12=A P P B ；（B ）21=AP P B ；（C ）12=P P A B ；（D ）21=P P A B . 19．若A 与B 相似，则（B ）.（A ）λλ-=-E A E B ；（B ）||||λλ+=+E A E B ；（C ）**=A B ；（D ）11--=A B . 20．若2=A E ，则（D ）.（A ）+A E 可逆； （B ）-A E 可逆；（C ）+=0A E 或-=A E 0； （D ）≠A E 时，+A E 不可逆. 21．设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，400000000000000⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，则A 与B （A ）. （A ）合同且相似； （B ）合同但不相似； （C ）不合同但相似； （D ）不合同且不相似.22．实二次型f '=X AX 为正定二次型的充要条件是（C ）. （A ）f 的负惯性指数是0； （B ）存在正交阵P 使'=A P P ； （C ）存在可逆阵T 使'=A T T ； （D ）存在矩阵B 使'=A B B . 23．设B 是m n ⨯实矩阵，'=A B B ，则下列结论中错误的是（D ）. （A ）线性方程组=0B X 只有零解⇔A 正定；（B ）()()R R =A B ； （C ）A 的特征值大于等于0； （D ）()R m =⇔B A 正定. 24．设A 是n 阶方阵，||0a =≠A ，则*1||-A A等于（C ）.（A ）a ； （B ）1a； （C ）2n a -； （D ）n a .25．设,A B 是n 阶方阵，则必有（D ）.（A ）11||||||--+=+A B A B ； （B ）111||---+=+A B B A ; （C ）222()=A B A B ； （D ）||||'=A B BA .26．已知12,ηη是非齐次线性方程组=AX β的两个不同的解，12,ξξ是对应的齐次线性方程组=0A X 的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组=AX β的通解为（B ）. （A ）1211222k k -++ηηξξ； （B ）1211212()2k k ++++ηηξξξ；（C ）112121()k k +-+ξηηη； （D ）1121212()()k k +-++ξηηηη. 27．设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（C ）.（A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π.28．若1231,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式1231||,m =αααβ 1223||n =ααβα，则4阶行列式12312||+αααββ等于（D ）.（A ）m n +； （B ）()m n -+； （C ）m n -； （D ）n m -. 29．设n 阶矩阵A 非奇异(2)n >，则（C ）.（A ）**1()||n -=A A A ； （B ）**1()||n +=A A A ； （C ）**2()||n -=A A A ； （D ）**2()||n +=A A A . 30．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩是3，则直线333121212x a y bz ca ab bc c ---==---与直线111232323x a y bz ca ab bc c ---==---（A ）.（A ）相交于一点； （B ）重合； （C ）平行但不重合； （D ）异面.三、计算题1．设1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求5A 及10||A .解：由311111111||(4)11111111λλλλλλλ+---+--==+-+---+E A故A 的特征值为12340,4λλλλ====-.对0λ=，由1()λ-=0E A x ，可解得三个线性无关的特征向量，1(1,1,0,0)'=ξ，2(1,0,1,0)'=ξ，3(1,0,0,1)'=-ξ.对4λ=-，由(4)--=0E A x ，可解得特征向量4(1,1,1,1)'=--ξ， 令 12341111010010(),0101000114D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭T T T T T ，由=A TTD得 11*13111131111113||41111---⎛⎫ ⎪-⎪=== ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭A TD T T T T 故 1111013111001011311()0101011134001141111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭551511110131110010113110101011134001141111--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪==⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A T D T 88111111112211111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 又10161016642,|||2|2||0====AA AA A .2．设0100102ac b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ， （1）,,a b c 满足什么条件时，A 的秩是3; （2）,,a b c 取何值时，A 是对称矩阵; （3）取一组,,a b c ，使A 为正交阵.解：（1）01002002000010010010120120100102a c a bc a bcac b b b ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A 当2a bc ≠时，A 的秩是3.（2）0100102a b c⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，要想A 成为对称矩阵，应满足'=A A ，即1,0a b c ===. （3）要想A 为正交阵，应满足'=A A E ，即0010100100001011010022a b a c cb ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2221,10,211,2a b ac b c ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得1,222a b c ==-=. 3．设有三维列向量123211101,1,1,111λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一；（2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一； （3）β不能由123,,ααα线性表示. 解法1： 设111111111λλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭A , 21110111111λλλλλ+⎛⎫⎪=+⎪ ⎪+⎝⎭B 由22211100(2)(1)1110(1)111111λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+⎛⎫⎪⎪=+−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭行B22222003(12)1110(1)0(1)11100(3)(12)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫----+⎪⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭行行（1）当0λ≠且3λ≠-时，()()3R R ==A B ，此时β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一.（2）当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一. （3）当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示. 解法2：2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A① 当0λ≠且3λ≠-时，||0≠A ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一, ② 当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一， ③ 当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示.4．设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===，对应的特征向量依次为，1231111,2,3149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ，又12322=-+βξξξ，求nA β(n 为正整数).解：由于 123123222(,,)21⎛⎫⎪=-+=-⎪ ⎪⎝⎭βξξξξξξ 又由于 1111n n λ==A ξξξ，22222n n nλ==A ξξξ，33333n n n λ==A ξξξ.所以 12312322(,,)2(,,)211n n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A βξξξξξξ 111232221232(,2,3)2123211231nnn n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ 12132223223223n nn n n n +++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭. 5．设122212221-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， （1）求A 的特征值；（2）求1-+E A 的特征值.解：（1）2122||212(1)(5)0221λλλλλλ+---=-+=-+=-+E A得A 的特征值为1231,5λλλ===-.（2）由A 是对称阵，A 的特征值是1,1,5-，存在可逆阵T 使1115-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪-⎝⎭T A T 于是 111115--⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭T A T , 112()245--⎛⎫ ⎪ ⎪+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T E A T ， 故1-+E A 的特征值为42,2,5.6．已知(1,,1)k '=α是211121112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆阵1-A 的特征向量，试求常数k 的值. 解：设α为A 的特征值为λ的特征向量，则λ=A αα. 即 2111112111211k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.·129·即 322k k kλλ+=⎧⎨+=⎩解得 220k k +-=，即1k =或2-. 7．设11 111, 1112a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，已知线性方程组=AX β有无穷多解，试求： （1）a 的值；（2）正交阵P ，使'P A P 为对角阵. 解：（1）211111111101101120112a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B111011000(1)(2)2a a a aaa ⎛⎫⎪→-- ⎪⎪-+--⎝⎭要使=AX β有无穷多解，必须()()3R R =<A B ，因此2a =-. （2）此时112121211-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 112||121(3)(3)0211λλλλλλλ---=-+-=-+=--E A ，得A 的特征值1230,3,3λλλ===-.对于10λ=，由1112121211ξ--⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量1111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1333⎛ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭η； 对于23λ=，由2212151212ξ-⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪-⎝⎭0，得特征向量2101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭ξ，单位化得·130·2202⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭η；对于34λ=-，由3412111214ξ--⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量3121⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3636η⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;令326033326⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭P ，此时P 为正交阵，并且'P A P 为对角阵033⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭. 8．已知线性方程组（I ）11112213314421122223324400a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的一个基础解系为112112221213231424, b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，试求线性方程组.（II ）11112213314421122223324400b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎨+++=⎩的通解.解：设11121314111213142122232421222324a a a a b b b b a a a a b b b b ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B 由12,ξξ为（I ）的一个基础解系得0'=A B .由12,ξξ线性无关，所以()2R =B ，又0'=B A ，所以1111213142(,,,),a a a a '==ηη21222324(,,,)a a a a '是B 的基础解系，通解为112212,,k k k k +ηη为任意常数.9．已知方程组·131·1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有三个线性无关的解向量，求,a b 的值及方程组的通解.解：1111111111(|)43511011531310131a b a a b a a--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行A β 1024211530042452ab a a -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭行由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故()(|),()1 3.R R A n R =-+=A A β其中4n =. 于是()(|)2R R ==A A β.从而2,3a b ==-. 该方程组与方程组13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩ 同解. 令3142,x k x k ==得该方程组的通解 112212314224253x k k x k k x k x k -++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数. 10．设3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，问当k 为何值时，存在可逆阵P ，使得1-P AP 为对角阵，并求出一个P 及相应的对角阵A . 解：A 的特征方程为：·132· 322122||101423123k kkλλλλλλλλ-----=+-=+---+--+E A2122(1)01(1)(1)0123k λλλλλ-=-+-=-+=-+. 解得特征根为1231,1λλλ===-.当1λ=时，()2,R -=E A A 有1个线性无关的特征向量.当1λ=-时，211422211100022422000000E A -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪--=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k kk k k 因存在可逆阵P ，使1-P AP 为对角阵，所以(1)1R --=E A ，从而0k =. 因此 322010423-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 对应于11λ=的特征向量为1ξ，由222020424--⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭1=0ξ得1(1,0,1)'=ξ 对应于231λλ==-的特征向量为23,ξξ，由422000422--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭0ξ， 得 23(1,2,0),(0,1,1)''=-=ξξ 令110021101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P 且P 为可逆阵，相应的对角阵111⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . 11．设101020101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，方阵B 满足2+=+AB E A B ，求B . 解：由2+=+AB E A B 得 2()()()-=-=-+A E B A E A E A E 由于001010100⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E ，所以-A E 可逆，·133·得 201030102⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭B A E ， 12．已知将3阶可逆阵A 的第2行的2倍加到第3行得矩阵B ，求1-AB .解：令100010021⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=C A B ，由于,A C 均可逆，故B 可逆，所以 11100010021--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A BC. 13．设有线性方程组123123123000ax bx bx bx ax bx bx bx ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （,a b 不全为0） （1）,a b 为何值时方程组有非零解； （2）写出相应的基础解系及通解； （3）求解空间的维数.解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式0ab b ba b bba= 即 2()(2)0a b a b -+= 故0a b =≠，或20a b =-≠时，方程组有非零解. （2）当0a b =≠时，方程组为1230x x x ++=，即123x x x =--.其基础解系为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，通解为12121110,,10k k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.当20a b =-≠时，方程组为123123123202020x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，解得基础解系为111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，通解为11,1k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.·134· （3）当0a b =≠时，解空间维数为2；当20a b =-≠时，解空间维数为1.14．设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++经正交变换=X P Y 化成22232f y y =+，其中123123(,,),(,,),x x x y y y ''==X Y P 是3阶正交矩阵，求,a b 及满足上述条件的一个P .解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为11111a ab b⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 000010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 故二次型可以写成f '=X AX 和f '=Y BY ，且1-'==B P AP P AP . 由,A B相似知|||λλ-=-E A E B ，即32223(2)()a b a b λλλ-+--+- 3232λλλ=-+，比较系数得：0,0a b ==. 由100010002-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P A P B ，知A 的特征值是0,1,2. 解方程组(0)-=0E A x ，得1101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得11120||2ξξ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ -⎝⎭P 解方程组()-=0E A x ，得22201,0⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξξ，解方程组(2)-=0E A x ，得3101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ξ，单位化得33320||2⎛ ⎪== ⎪ ⎝⎭P ξξ故123022()010022⎛⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P P P P .·135·15．求直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨+--=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩的公垂线方程.解：1L 与2L 的标准式及参数形式分别为：11:011x y z L -==与1,,;x y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩22:210x y z L +==-与2,,2.x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1L 的方向向量为12(0,1,1),L =s 的方向向量为2(2,1,0)=-s .设1L 与2L 公垂线垂足为(1,,),(2,,2t t λλ--A B ，则应有(21,,2)A B t t λλ=-----，且1220s λ⋅=---= A B t ，2520s λ⋅=+-=AB t .解得4,32.3t λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1{1,2,2}3A B =- ，故公垂线方程为44133122y z z ++-==-.16．求直线210:10x y z L x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩在平面:20x y z π+-=上投影的方程.解：A 点坐标为44(1,,)33--.设通过直线L 垂直于平面π的平面0π的方程为21(1)0x y z x y z λ-+-++-+=.0π的法向量为1(2,1,1)λλλ=+-+-n . 平面π的法向量为(1,2,1)=-n . 由0ππ⊥，知10⋅=n n ，得 22(1)(1)λλλ++-+--=解得14λ=.从而得0π方程为310.x y z -+-=所以所求直线0L 方程为310,20.x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩ππL 0L·136· 17．设矩阵A 与B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ， （1）求,a b 的值；（2）求一个可逆阵P ，使1-=P AP B .解：（1）因为A 与B 相似，所以有||||λλ-=-E A E B ，32111||242(5)(53)6633a a a aλλλλλλλ---=--=-++++--E A232||(2)()(4)(44)4bb b b λλλλλλ-=--=-+++-E B 比较两式系数可得：5344664a b a b +=+⎧⎨-=-⎩解得56a b =⎧⎨=⎩.（2）因A 与226⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 相似，所以A 的特征值为2,2,6. 1112222333-⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭E A . 解(2)-=0E A X 得A 的对应于特征值2的特征向量12111,001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，5116222331-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E A . 解()E A X -=60得A 的对应于特征值6的特征向量 3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ.令123111()102013P -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ξξξ，则有1-=P AP B . 18．已知3阶实对称阵A 的特征值为03,2,2,10⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭及01⎛⎪ ⎪⎝⎭分别是A 的对应于特征值3,2的·137·特征向量，（1）求A 的属于特征值2-的一个特征向量；（2）求正交变换=X P Y 将二次型f '=X AX 化为标准形.解：（1）设2-对应的特征向量为X ，则有12(,)0,(,)0==X X ξξ， 可取310⎛⎫⎪= ⎪ ⎝ξ.（2）把特征向量规范正交化后得：12310221,0,00122⎛⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭P P P . 令10221001022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭P ，则在正交变换=X P Y 下f 化为 222123322f y y y =+-.19．已知二次型22212312232355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，求c 及此二次型对应矩阵的特征值，指出123(,,)1f x x x =代表三维几何空间中何种几何曲面. 解：二次型f 所对应的矩阵为51315333c -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 因f 的秩为2，即A 的秩为2，故有||0=A ，所以3c =.513||153(4)(9)0333λλλλλλλ---=-=--=--E A ，得特征值为0,4,9. 与特征值相对应的单位特征向量分别为123(,0),'''=-==-P P P ，取正交变换阵·138·⎛⎫- ⎪ ⎪ =-⎪ ⎪⎝⎭P ， 则在正交线性变换=X P Y 下，方程123(,,)1f x x x =化为椭圆柱面2223491y y +=.20．设有数列01201321120,1,,,,,n n n a a a a a a a a a a a --===+=+=+ ，求1000a . 解法1： 由1121110n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得9991000109991110a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.记 1110⎛⎫=⎪⎝⎭A 得A22，并且12,2211⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别是A的对应于特征值1122+-的特征向量.记12(,)2211⎛ == ⎪ ⎪⎝⎭T ξξ，于是112112-⎛-⎪=⎪+-⎪⎝⎭T则1102102-⎛⎫+⎪= - ⎝⎭A T T99999910202-⎛⎫⎪= ⎝⎭A T T10001000999999555))])522210210555))]522210210-+⎪= ⎪-+⎪⎝⎭所以100010001000)522a =-.·139·解法2：设 1111n D +++=++αβαβαβαβαβαβαβαβ将n D 按第一行展开可得1nn n D D αβ--= （1）由, αβ的对称性可得1n n n D D βα--= （2）若αβ≠，（1）、（2）联立解之11n n n D αβαβ++-=- （3）若αβ=，由（1）1(1)n nn n D D n ααα-=+=+ （4）考察令 11111111111nD --=-补充定义100,1D D -== ，则 12,1,2,n n n D D D n --=+= 于是1n n a D -= 解：11αβαβ+=⎧⎨=-⎩, 得001122αβ+-==，由（3）知·140· 000000001000999000000111a D αβαβαβαβαβαβαβαβ+++==++1000100000αβαβ-=-10001000522⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 四、证明题1．证明69169169(1)316916nn D n ==+，（n 为正整数）. 证：1 1n =时，16(11)3D ==+⋅ 2 假设当n k≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，由226936927(21)316D ==-==+⋅知命题成立.若13k +≥，将1k D +按第一行展开得11169169696(1)39316916kk k k k D D D k k -+-==-=+-⋅⋅1(2)3k k +=+⋅由数学归纳法，对一切自然数n 结论都成立.2．设A 为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m 使m =0A ，则=20A . 证：因m=0A ，所以||||0mm==A A ，又A 为2阶方阵，故()1R ≤A .·141·所以A 经初等变换可以化为100000000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，于是存在可逆阵,P Q ，使1000100000(100)00000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P Q P Q ，取10,(100)0⎛⎫ ⎪ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭U P V Q ，则'=A U V .令k '=V U ，则2.k k '''===A UV UV UV A 由m m k -==10A A 知0k =， 或者=0A ，故2k ==0A A . 3．设A 是幂等阵2()=A A ，试证 （1）A 的特征值只能是1或0， （2）()()n R R n +-=A A E ， （3）A 可相似对角化； （4）()tr()R =A A .证：（1）设λ是A 的任一特征值，则存在≠0X 使λ=A X X . 于是22λ=A X X .由2=A A 知，2λλ=X X . 由≠0X 得2λλ=，故1λ=或0.（2）由2=A A 知，()-=0A A E ，于是()()R R n +-≤A A E （1）由()n n +-=A E A E 知()()()()()n n n R R R R R =≤+-=+-E A E A A A E （2）综合（1），（2）可得()().n R R n +-=A A E（3）记12(),()n R r R r =-=A A E .当10r =或20r =时，=0A 或n =A E ，命题显然成立. 以下设120,0r r ≠≠，由12r r n +=知10r n <<，20r n <<. 取112,,,n r - ξξξ为=0A X 的基础解系212,,,n r - ηηη是()n -=0A E X 的基础解系，则112,,,n r - ξξξ是A 的属于特征值0的线性无关的特征向量，212,,,n r - ηηη是A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由12()()n r n r n -+-=知A 有n·142· 个线性无关的特征向量1211,,,,,n r n r -- ξξηη. 从而A 可相似对角化.（4）由（1）、（3）可知存在可逆阵T 使10r-⎛⎫=⎪⎝⎭E TA T 于是1()tr()tr()R r -===A T A T A .4．设,A B 是n 阶正定矩阵，证明：A B 的特征值全大于0. 证：因,A B 正定，则存在可逆阵12,P P ，使11221122''''===A P P B P P AB P P P P12221121212()()()-'''''==P A B P P P P P P P P P因12,P P 可逆，则12'P P 可逆，从而1212()()''P P P P 正定，它的特征值全大于0， 因A B 与1212()()''''P P P P 相似，从而A B 的特征值全大于0. 5．设A 为n 阶方阵，试证：（1）若1k +=0A α且k ≠0A α，则1,,,,k k - A A A αααα线性无关； （2）1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解； （3）1()()n n R R +=A A . 证：（1）反证法若1,,,,k k + A A A αααα线性相关，则存在不全为零的数01,,,k l l l ，使01kk l l l +++=0 αααA A ，设i l 是第一个不等于零的系数，即0110,0i i l l l l -====≠ ，则 11i i ki i k l l l +++++=0 A A A ααα， 两边乘以矩阵k i -A ，得121kk k ii i k l l l +-++++=0 A AAααα，由于1k +=0Aα，故对任意1m k ≥+都有m=0A α，从而由上式得k i l α=0A ，但k≠0A α，故0i l =与假设矛盾. （2）证明：假设α是1n +=0A X 的解，但不是n=0A X 的解，即有 1n +=0A α 但n≠0A α.由（1）知1,,,,nn - A AA αααα线性无关，与1n +个n 维向量1,,,,n n - A A A αααα线性相关矛盾，故α是n =0A X 的解. （3）由（2）知1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解，且易知n =0A X 的解一定是1n +=0AX 的解，所以方程1n +=0AX 与n=0A X 同解，所以1()()n n+=R A R A .6．已知向量组12,,,(2)m m ≥ ααα线性无关，试证：向量组1112,mk =+=βααβ 22111,,,m m m m m m m k k ---+=+= ααβααβα线性无关.·143·证：假设有一组数121,,,,m m l l l l - 使得112211m m m m l l l l --++++=0 ββββ.则有11222111()()()m m m m m m m m l k l k l k l ---+++++++=0 ααααααα，即有112211112211()m m m m m m l l l l k l k l k l ----++++++++=0 αααα由于12,,,m ααα线性无关，所以1211122110m m m m l l l l k l k l k l ---====++++= ，所以1210m m l l l l -===== .故12,,,m βββ线性无关.7．设12,,,m ααα线性无关，m 为奇数，试证：1122231,,,m -=+=+= βααβααβ 11,m m m m -+=+ααβαα线性无关.证：假设存在一组数12,,,m k k k 使112211m m m m k k k k --++++=0 ββββ，则有112223111()()()()m m m m m k k k k --++++++++=0 αααααααα，即111221()()()m m m m k k k k k k -++++++=0 ααα又由于12,,,m ααα线性无关，所以11210m m m k k k k k k -+=+==+= ，因为m 是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式11011101(1)2001001m D +==+-=≠，112100m m m k k k k kk -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （1） 故（1）只有零解，所以120m k k k ==== ，故12,,,m βββ线性无关.8．设n 阶矩阵A 的n 个列向量为12,,,n ααα，n 阶矩阵B 的n 个列向量为·144· 122311,,,,,()n n n R n -++++= ααααααααA ，问齐次线性方程组=0B X 是否有非零解，证明你的结论.证：当n 为奇数时，齐次线性方程组=0B X ，没有非零解. 当n 为偶数时，=0B X 有非零解.由于()R n =A ，所以n 阶矩阵A 的n 个列向量12,,,n ααα线性无关，由上题知，当n 为奇数时，122311,,,,n n n -++++ αααααααα也线性无关，所以()R n =B ，因此齐次线性方程组=0B X 没有非零解，但当n 为偶数时，因122311()()()()n nn -+-++++-+=0 αααααααα，122311,,,,n n n -++++ αααααααα线性相关，所以()R n <B .因此，齐次线性方程组=0B X 有非零解.9．设12,,,n ξξξ是n 阶方阵A 的分别属于不同特征值的特征向量，12n =+++ αξξξ. 试证：1,,,n - A A ααα线性无关.证：设A 的n 个互不相同的特征值为12,,,n λλλ ，对应的特征向量依次为12,,,nξξξ，则1111(),,n n nnλλ=++=++=++ A A A A αξξξξξξ 11111n n n n n λλ---=++ Aαξξ.设有一组数011,,,n k k k - ，使得1011n n k k k --+++=0 αααA A即1101111111()()()n n n n n n n k k k λλλλ---+++++++++=0 ξξξξξξ.可得1101111101212201(λλ)(λλ)(λn n n n n k k k k k k k k ξξ----+++++++++++11)n n nn k λ--+=0ξ.由于12,,,n ξξξ线性无关，所以1011111012121011000n n n n n n n n k k k k k k k k k λλλλλλ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 即 1011212211111n n n n n nk k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0λλλλλλ 又由于1111221111()01n n i j j i nn n n--≤<≤-=-≠∏λλλλλλλλ.·145·所以0110n k k k -==== ， 即21,,,,n - A A A αααα线性无关.10．已知,A B 是两个n 阶实对称矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是,A B 的特征多项式相等.证：（1）若A 与B 相似，记1-=T AT B ，则11||||||||||||λλλλ---=-=-=-E B E TAT T E A T E A .（2）若,A B 的特征多项式相等，则,A B 有相同的特征值12,,,n λλλ . 因,A B 都是实对称矩阵，存在正交阵,P Q 使112211,n n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P Q B Q 于是11--=PA P QB Q .即111()()---=PQA PQB故A 与B 相似.11．设A 是n 阶实矩阵，证明当0k >时，k '+E A A 正定.证：()()()k k k ''''''+=+=+E A A E A A E A A ，即k '+E A A是实对称阵. 对任意n 维非零实列向量X ，有()()()()k k k '''''''+=+=+X E A A X X E X X A AX X X AX AX由于0k >，所以()0k '>X X ，又()0'≥AX AX ，所以()0k ''+>X E A A X .即k '+E A A 正定.12．设A 是m n ⨯实矩阵，证明：()()()R R R ''==A A AA A ，并举例说明A 是复矩阵时，结论未必成立. 证：考察方程组'=0A A X ， （1）=0A X （2）显然（2）的解均为（1）的解，因而()()n R n R '-≤-A A A ，即有()()R R '≤A A A （3）·146· 另一方面，对任意1nn x x ⎛⎫⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭RX 如果'=0A A X ，则()0''=X A AX ， 即()()0'=AX AX （4）设12(,,,)n a a a '= A X ，由（4）知210ni i a ==∑，因为A 为实矩阵，X 为实向量，故i a 均为实数，所以120n a a a ==== ，即=0A X ，由于（2）的解也是（1）的解，故有()()n R n R '-≤-A A A ，即()()R R '≤A A A （5）综合（3），（5）式知()()R R '=A A A由()()R R '=A A 知()(())()()R R R R '''''===AA A A A A故有()()()R R R ''==A A AA A .令1i ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则(1,)i '=A ，于是(0)'=A A ，即A 是复矩阵，结论不成立.13．若任意n 维列向量都是n 阶方阵A 的特征向量，试证：A 一定是标量矩阵.证：先证A 的任两个特征值都相等，否则设1212,()λλλλ≠是A 的两个特征值，≠0X ，≠0Y ，使12,λλ==AX X AY Y . 因12λλ≠，所以,X Y 线性无关，+≠0X Y . 依题意存在k ，使()()k +=+A X Y X Y ，于是1212()(),k k k λλλλ-+-===0X Y ，矛盾，故A 的所有特征值都相等，记为λ.令j e 为n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,,j n = ，于是1()E e e e = j n由已知,1,2,,j j j n λ== A e e得11()(),,A e e e e e e A E E A E λλλ=== j n j n即A 是数量矩阵.14．设A 是n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B 使2=A B . 证：A 是正定阵，则存在正交矩阵P ，使得·147·121n λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P A P D ，其中0,(1,2,,)ii n λ>=令(1,2,,)i i n δ== ，则21111222222n n n n λδδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 而 11221n n δδδδδδ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PD PP P 1122n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 12n δδδ⎛⎫⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P P ，易验证B 为正定阵，故2=A B . 15．设α是n 维非零实列向量，证明：2'-'E αααα为正交矩阵.证：因为22()'''-=-''E E αααααααα，故 2222()()()()'''''--=--''''E E E E αααααααααααααααα 224444()()()()()''''''=-+=-+''''E E αααααααααααααααααααα 44''=-+=''E E αααααααα.因而2'-'E αααα为正交矩阵.16．设方程组=0A X 的解都是=0B X 的解，且()()R R =A B ，试证：=0A X 与=0B X 同解.证：设()()R R r ==A B ，则=0A X 的基础解系含有n r -个线性无关的向量，不妨设为·148· 12,,,n r - ξξξ. 有,(,,)A ==-01 i i n r ξ.又=0A X 的解必为=0B X 的解，从而,(,,)i i n r ξ==-01 B 从而12,,,n r - ξξξ也是=0B X 的基础解系.于是=0B X 的通解为11.n r n r k k --+ ξξ则=0A X 与=0B X 同解.17．设A 是n 阶方阵，12(,,,)n b b b '= β是n 维列向量，0⎛⎫=⎪'⎝⎭AB ββ，若()()R R =A B，则=AX β有解.证：由于()()()R R R ≤= A B A β，又由于()()R R ≤ A A β，所以()()R R = A A β即=AX β有解.18．设12(,,,)(1,2,,,)i i i in a a a i r r n '==< α是r 个线性无关的n 维实向量，12(,,,)n b b b '= β 是线性方程组1111221211222211220n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的实非零解向量， 试证：12,,,,r αααβ线性无关.证：假设12,,,,r αααβ线性相关，由已知12,,,r ααα线性无关，必有1122r r k k k =+++ βααα， （1）又由β为方程组的解，从而(,)0,(1,,)i i r == βα于是11(,)(,)0r r k k =++= βββαα，从而=0β，矛盾.所以12,,,,r αααβ线性无关.19．设,A B 是两个n 阶正定矩阵，若A 的特征向量都是B 的特征向量，则A B 正定. 证：因为,A B 是两个n 阶正定矩阵，因此,A B 也必为实对称矩阵， 设12,,,n P P P 为A 的n 个标准正交的特征向量，记12()n = P P P P ，则112211,,n n k k k λλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P P B P 并且,0,(1,,)i i k i n λ>= ，所以。
线性代数(专升本)综合测试1
单选题1. 若行列式，则_____.(5分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B2. 对任意同阶方阵，下列说法正确的是_____.(5分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：C3. 设可逆，则的解是_____.(5分)(A) :(B) :(C) :(D) : 不存在参考答案：B4. 若向量组线性相关，则它的部分向量组是_____.(5分)(A) : 线性相关(B) : 线性无关(C) : 或者线性相关，或者线性无关(D) : 既不线性相关，也不线性无关参考答案：C5. 若阶方阵不可逆，则必有_____.(5分)(A) :(B) : 0为的一个特征值(C) : 秩(D) :参考答案：B填空题6. ，，且，则___(1)___ .(5分)(1). 参考答案: -47. 阶方阵的个特征值互不相同是与对角矩阵相似的___(2)___ 条件(5分) (1). 参考答案: 充分问答题8. 计算行列式：. (10分)参考答案：先提出各列的公因子，再利用展开法则得到原式.解题思路：9. 解矩阵方程，求，其中.(10分)参考答案：解答,解题思路：10. 设阶方阵满足关系式，证明可逆，并写出的表达式.(10分)参考答案：因为，通过移项与提取公因子得从而由可逆定义知可逆，并且.解题思路：11. 论线性方程组的解的结构与计算无论是在科学研究领域，还是在工程技术应用中，大量的问题可以归结为线性方程组的求解，因此研究线性方程组的求解问题是线性代数的一个重要内容.（1）请描述齐次线性方程组AX=0的解的结构定理(即什么条件下只有唯一的零解？什么条件下有无穷多组非零解，此时的非零解由什么组成？)（2）请描述非齐次线性方程组AX=b的解的结构定理( 即利用系数矩阵与增广矩阵的秩的关系，给出在:什么条件下无解？什么条件下有唯一解？什么条件下有无穷多组解，此时的解由哪两部分组成？)（3）请利用齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构定理讨论：若齐次线性方程组AX=0有无穷多组解，则非齐次线性方程组AX=b是否也必有无穷多组解？(15分)参考答案：（1）设有ｎ元齐次线性方程组AX＝0 ，则它的解的结构定理是：当秩R(A)＝ｎ时，方程组只有唯一的零解;当秩R(A)＝ｒ＜ｎ时，方程组有无穷多组非零解.此时所有的解构成解空间，解空间中存在着ｎ－ｒ个线性无关的解向量，构成基础解系，方程组中的每一个解均可表为基础解系的一个线性组合.（2）对于ｎ元非齐次线性方程组AX＝ｂ而言：当系数矩阵的秩R(A)＝增广矩阵的秩R (Aｂ)时，方程组有解；当R(A)≠R(Aｂ)时，方程组无解.且R(A)＝R(Aｂ)＝ｎ时有惟一解，R(A)＝R(Aｂ)＜ｎ时有无穷多解；此时AX＝ｂ的通解由齐次通解与非齐次特解相加构成.（3）答案是不一定必有无穷多组解.由解的结构定理可知，AX＝0有无穷多解，则其秩必有R(A)＝ｒ＜ｎ，但仅此并不能保证AX＝ｂ有无穷多组解，因为不能保证R(A)＝R(A ｂ)，所以非齐次线性方程AX＝ｂ也可能无解.解题思路：由线性方程组的解的结构定理，描述及应用12. 论特征值与特征向量(1) 设A为n阶方阵，是A的特征值，x是A的关于的特征向量，则A、、x必须满足什么条件？应如何求得？(2) n阶方阵A必有n个特征值:，则这n个特征值必须满足哪两条性质？(3) 两个n阶方阵A与B相似的定义是什么？它们的特征值之间有什么关系？方阵A与一个对角矩阵相似通常需要满足哪些条件(条件不止1个，任意写出1条即可）？(20分)参考答案：解答要点(1)特征值与特征值向量必须满足关系式；并且是通过解特征多项式求出所有的特征值，通过解线性方程组求出所有的特征向量；(2) 阶方阵必有个特征值，这个特征值必须满足两条性质:①，②。
《线性代数(经管类)》综合测验题库完整
《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )A.A-1正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于nD.A合同于单位阵2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说确的是( )A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为1D.其秩为23.设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则( )未必是正定二次型。
A.X T（A+B）XB.X T A-1XC.X T B-1XD.X T ABX4.设A，B为正定阵，则( )A.AB，A+B都正定B.AB正定，A+B非正定C.AB非正定，A+B正定D.AB不一定正定，A+B正定5.二次型f=x T Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y T By，则矩阵A与B( )A.一定合同B.一定相似C.即相似又合同D.即不相似也不合同6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为( )A.rB.t-rC.2t-rD.r-t7.设8.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是( )9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C T AC，则下述结论( )不成立。
A.A与B相似B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B有相同的特征向量10.下列命题错误的是( )A.属于不同特征值的特征向量必线性无关B.属于同一特征值的特征向量必线性相关C.相似矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是( )12.已知矩阵有一个特征值为0，则( )A.x=2.5B.x=1C.x=-2.5D.x=013.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=( )A.2B.-6C.6D.2414.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为( )A.3，1，1B.2，-1，-2C.3，1，-1D.3，0，115.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是( )A.α和β线性无关B.α+β是A的特征向量C.α与β线性相关D.α与β必正交16.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中( )是P-1AP对应于λ的特征向量。
线性代数(化材)综合复习资料
《线性代数（材化）》综合练习资料第一章 n 阶行列式一、判断题1．任意一个n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列1 2 3 …n 。
（ ）2．每作一次对换改变排列的奇偶性。
( )3．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。
（ ）4、若排列abcdfe 为奇排列，则排列badcfe 为偶排列． （ ） 5．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。
（ ） 6．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号( ). 7. 已知n 阶矩阵A 各列元素之和为0，则A ＝0 ( ) 8．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )9、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。
（ ） 10、1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ （ ）二.填空题：1．排列54218637的逆序数为______________。
2、五阶行列式的含乘积5243142531a a a a a 的项的符号为 .3．多项式=)(x P 333322221111x c b a x c b a xc b a（其中a,b,c 是互不相同的数）的根是 . 4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+430302321321321ax x x x ax x x x ax 有非零解的充要条件是a 满足._____________ 5.. 三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 。
6,____________.n ij ij D a a D a ===-=若则 7.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=00A B ⎛⎫⎪⎝⎭，则|C |=___________.8、设四阶行列式321421431432，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ， _______3432=+A A . 9．已知4阶行列式D 的第一行元素分别是－1，1，0，2；第四行元素对应的余子式依次为5，x ，7，4，则x ＝10、已知n 阶行列式100110111 =D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于 .三.选择题1. 关于n 级排列i 1i 2…i n ,以下结论不正确的是（ ）(A)、逆序数是一个非负整数 (B)、一个对换改变其奇偶性 (C)、逆序数最大为n (D)、可经若干次对换变为12…n2、设）（则=---===333231312322212113121111333231232221131211324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）13．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D= ( )（A ） -5 （B ） 5 （C ） 0 （D ） 1 4、设5阶方阵,()i j A a =的行列式展开式中应有一项为（ ）(A) 1123455344a a a a a (B) 1123344554a a a a a (C)1123355244a a a a a (D) 1123355144a a a a a5、已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ ）（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―26、n 阶行列式D 不为零的充分必要条件是（ ）（A ）D 中至少有n n -2个元素不为零 （B ）D 中所以元素都不为零（C ）D 的任意两列元素之间不成比例 （D ）以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解7．如果行列式0200200011=kk k ，则（ ）。
线代期末综合考试及答案
线性代数期末综合练习（二）班级 姓名 学号一、 填空题 1、设1234555533325422221146523A =，则3132333435()()A A A A A ++-+= . 2、设1212,,,,ααββγ都是3维行向量，且行列式 112212122ααααββββγγγγ====，则12122ααββγ++= . 3、设A 是4阶矩阵，12,ξξ是齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解，则A 的伴随矩阵A *= .4、方阵A 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，其为 .5、设A 是n 阶可逆矩阵，若行列式1A n=-，则1A -= . 6、设矩阵0,0C A D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若C 、D 可逆，则A 也可逆，且1A -= . 7、设α与β是4阶正交矩阵A 的前两列，则内积(,)αβ= . 8、设3阶矩阵A 的3个特征值为2，3，4，则行列式2A = .9、三阶矩阵122121330A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦有一个2重特征值，其值为3， 则它的另一个特征值为 . 二、设A 是n 阶方阵，2A I =，证明矩阵的秩的关系式：()()r A I r A I n ++-=三、 计算n 阶行列式：111111111111n n n n----四、 设矩阵A 、B 满足：AB A B =+，求A B +，其中211264213A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦五、设三维向量123(1,1,1),(,1,1),(1,2,),(2,3,4)a b αααβ====，问当a 、b取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表法不唯一. （2）β不能由123,,ααα线性表示.六、设线性方程组123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩a) 问λ为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ b) 当有无穷多解时求出其解.七、设12,αα是矩阵A 的分别属于不同特征值12λλ≠的 特征向量，证明12αα+不是A 的特征向量.八、对实对称矩阵A ，求一个正交矩阵P ，使1P AP -为一个对角矩阵.212151212A -⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭线性代数期末综合练习（二）班级 姓名 学号 一、填空题1、设1234555533325422221146523A =，则3132333435()()A A A A A ++-+= 0 . 解析: 将3132333435()()A A A A A ++-+还原成行列式 即31323334351234555533()()1111102221146523A A A A A ++-+=--= 2、设1212,,,,ααββγ都是3维行向量，且行列式 112212122ααααββββγγγγ====，则12122ααββγ++= 16 . 解析：12122ααββγ++=1122αββγ++2112212121222222αααααββββββγγγγγ+=+++112212122222ααααββββγγγγ=+++ 3、设A 是4阶矩阵，12,ξξ是齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解，则A 的伴随矩阵A *= 0 .解析：12,ξξ是齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解，则0Ax =的基 础解系中至少含有两个解向量，则()22r A n ≤-=，所以A 中所有3阶子 式都为0。
《线性代数(经管类)》综合测验题库
《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( ) 正定没有负的特征值的正惯性指数等于n 合同于单位阵2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( )A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为1D.其秩为23.设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则( )未必是正定二次型。
（A+B）X4.设A，B为正定阵，则( )，A+B都正定正定，A+B非正定非正定，A+B正定不一定正定，A+B正定5.二次型f=x T Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y T By，则矩阵A与B( )A.一定合同B.一定相似C.即相似又合同D.即不相似也不合同6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为( )7.设（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是( )9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C T AC，则下述结论( )不成立。
与B相似与B等价与B有相同的特征值与B有相同的特征向量10.下列命题错误的是( )A.属于不同特征值的特征向量必线性无关B.属于同一特征值的特征向量必线性相关C.相似矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是( )12.已知矩阵有一个特征值为0，则( )==1==013.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=( )14.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为( )，1，1，-1，-2，1，-1，0，115.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是( )A.α和β线性无关B.α+β是A的特征向量C.α与β线性相关D.α与β必正交16.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中( )是P-1AP对应于λ的特征向量。
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共15分)：1．设A 是三阶矩阵,将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为( ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010; （B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010; （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量； (C ）R n 中,坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；(D)R n 中，坐标满足x 1=1,x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）—1有一个特征值等于（ ）。
（A)34； （B ）43； （C ）21； （D ）41.5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它( ）。
（A)合同; （B ）相似； （C ）等价； （D)以上都不对。
二、填空题(每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA ＊=2BA ＊+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵,则|B ｜= .2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
线性代数综合练习
《线性代数》综合练习题 一、单项选择题1．排列41325的逆序数为 【 】A 、2B 、3C 、4D 、52．设有矩阵3433,4331,A B C D ⨯⨯⨯⨯和，则下列运算中没有意义的是 【 】 A 、BAC B 、AC +DD T C 、A T B +2C D 、AC +D T D3．已知A 为n 阶矩阵，则下述结论中不正确的是 【 】 A ．T T ()kA kA = （k 为常数） B ．若A 可逆，则111()kA k A ---= （k 为非零常数） C ．若A 可逆，则T T 111T [()][()]A A ---= D ．若A 可逆，则-1-1T T 11[()][()]A A --=4．已知向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】 A ．1312,3,,2αααα- B ．1223312,,2ααααααα+---C ．13131,,ααααα+-D ．23232,,ααααα-+5．设有齐次线性方程组0AX =和0BX =，其中A ，B 都是m ×n 矩阵.现有4 个命题：【 】 ①若0AX =的解都是0BX =的解，则r()r()A B ≥. ②若r()r()A B ≥，则0AX =的解都是0BX =的解. ③若0AX =与0BX =同解，则r()r()A B =. ④若r()r()A B =，是0AX =与0BX =同解. 为真命题是A ．①③④B ．①②③C ．①④D ．①③ 6.多项式10223()71043173x x xf x x-=--中的常数项是（ ）. 【 】 A ．3 B ．-3 C ．15 D ．-157.已知2122231112132122233111321233133132331121122213232223322a a a a a a a a a m a a a a a a a a a a a a a a a =---+++，则=（ ）. 【 】 A ．6m B ．-6m C ．12m D ．-12m8.设12,,,s ααα 均为n 维向量，则下述结论中正确的是（ ）. 【 】 A ．若11120s s k k k ααα+++= ，则向量组12,,,s ααα 线性相关B ．若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有11120s s k k k ααα+++≠ ，则向量组12,,,s ααα 线性无关C ．若向量组12,,,s ααα 线性相关，则其中任意一个向量都可以用其余s -1个向量线表示D ．若向量组12,,,s ααα 线性相关，则对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有11120s s k k k ααα+++= 9.设A ，B 均为n 阶矩阵，则下列结论中正确的是（ ）. 【 】 A ．22()()A B A B A B +-=- B ．()k k k AB A B = C ．B A k kAB =D ．kk kB A AB =)(10.下述各结论中不正确的是（ ）. 【 】 A ．单位矩阵E 是正交矩阵 B ．两个正交矩阵的和为正交矩阵 C ．两个正交矩阵的积是正交矩阵 D ．正交矩阵的逆矩阵为正交矩阵二、填空题1.3125--= . 2.设10102011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，n 为正整数，则12n n A A --=_______________ 3、已知向量)3,0,1,2(-=α，)3,0,1,1(--=β，则αβ3-= 4.已知三阶矩阵A 的特征值为-1，3，-3，则A _____________5、已知向量组123(3,1,),(4,,0),(1,0,)a a a ααα===，则当a =____________时，123,,ααα线性相关；三、计算题1、计算行列式的值：D=313023429722203- 2、 设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A . 求1-A .3、设向量组T T T T T 12345(1,2,3,4),(2,3,4,1),(2,5,8,3),(5,26,9,12),(3,4,1,2)ααααα=-=-=--=--=-求该向量组的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
线性代数第4,5章综合练习题和答案
线性代数第4,5章综合练习题和答案第4，5章综合练习题⼀、填空题1.已知211A 121112=，100B 01000a ??=且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的⼀个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的⼀个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112??-相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112??=有⼆重特征值1，则A 的另⼀个特征值是______.5．⼆元⼆次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ??= ?的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的⼀个特征值为0，则A =7. ⼆次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ?? ?= 与20000001B y ??= -相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -??= 的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α，则与21,αα等价的正交向量组为___________.12.=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. ⽤配⽅法把⼆次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .⼆、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性⽆关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同⼀个对⾓矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003 ;(B)120210002 ;(C)120240001??????; (D)200012023.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同⼀个对⾓矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94??=，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7．⼆次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8．设001A 010100??=,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ；（C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（）（A）A 、B 都不可逆；（B）A 、B 有相同的特征值；（C ）A 、B 均与同⼀个对⾓矩阵相似；（D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --??=成⽴的P 是（）（A ）（123,,ααα）（B）（132,,ααα）（C）（321,,ααα）（D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（）（A）存在⾮奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对⾓矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式（D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零（D）各阶顺序主⼦式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成⽴的为（）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（）A. A 的任n 个特征向量线性⽆关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性⽆关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶⽅阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性⽆关的特征向量，则（）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不⼀定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -??=，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（）（A）?? ? ??；（B）cos sin sin cos θθθθ-?? ???；（C ）1001?? ???；（D）11222??- 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（）（A）A 、B 同时可逆或不可逆；（B）A 、B 有相同的特征向量；（C ）A 、B 均与同⼀个对⾓矩阵相似；（D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶⽅阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（）。
工程数学(线性代数)综合练习题
一、判断题：1.四阶行列式 D =000000000000d c b a = abcd. ( )2.n 阶行列式D =1111110000000000000000001321nn λλλλλ-=.21n λλλ()3.设A 为n 阶矩阵,k 为不等于零的常数,则.A k kA =( ) 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,则.2)(222B AB A B A ++=+ ( ) 5.若n 阶矩阵A ,B 满足AB =0,则有A =0或者B =0.()6.对n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使AB=E (E 为n 阶单位矩阵),则A 可逆且有.1B A =-( ) 7.设A ,B 均为n 阶矩阵且A B →,则A ,B 均可逆. ( ) 8.若n 阶矩阵A ,B 均为可逆矩阵,则A+B 仍为可逆矩阵. ( ) 9.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则[])()(111'='---A B AB .( ) 10.若n 阶矩阵A 为对称矩阵,则A 为可逆矩阵. ( ) 11.若n 阶矩阵A 为正交矩阵,则A 为可逆矩阵.()12.若n 阶可逆矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21,则.112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----n A λλλ ( )13.若存在),,2,1(0m i k i ==使式子02211=++m m k k k ααα 成立,则向量组m ααα,,,21 线性无关.( ) 14.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则m α可用121,,,-m ααα 线性表示. ()15.设),,2,1(n i i =α为基本单位向量组,则n ααα,,,21 线性无关. ( )16.若)(,,,21m r r ≤ααα 是向量组m ααα,,,21 的一个极大无关组,则2),,2,1(m i i =α均可用r ααα,,,21 线性表示.( ) 17.等价向量组所含向量个数相同.()18.若)(,,,21m r r <ααα 是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. ( ) 19.若n m ⨯矩阵A 有一个r (r<m<n )阶子式不等于零,一个r +1阶子式等于零,则Rank(A )=r. ( ) 20.任意n m ⨯矩阵A 的秩等于它的等价标准形中1的个数. ( ) 21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系. ( ) 22.任何一个齐次线性方程组都有解. ( ) 23.若线性方程组AX=B (A 为n m ⨯矩阵,X =),,,(,),,,(2121'='m n b b b B x x x )满足 Rank ),()(A Rank B A = 则此方程组有解.( )24若线性方程组AX =0(A 为n 阶矩阵,X 同上)满足0=A ,则此方程组无解. ()25.若线性方程组AX=B (A ,X 同24题,B =)),,,(21'n b b b 满足,0=A 此方程组有无穷多解.( ) 26.若21,γγ都是AX=B (A ,X ,B 同23题)的解,则21γγ+仍是此方程组的解.()二、填空题：1. 四阶行列式 101 32235 120 26 43711 78D ---==----_____________________.2. 五阶矩阵,0021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A 其中 ,100010103,542321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A 则=1A _______, =2A ________, =A _____________.3. 设A ,B 均为n 阶矩阵,且,3,2-==B A 则B A 2=_______________.4. 设矩阵()3310132 101 1ijA a ⨯-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则12a 的余子式为_________________,12a 的代数余子式为________________,A 的顺序主子式为__________________________.35. 设三阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a c a c b c b a A 则kA -E =________________(k 为不等于零的常数,E 为三阶单位矩阵),若,2=A 则kA =________________.此时A 在等价关系下的标准形为____________________.6. 已知),3,2,1(),2,0,1(),0,0,1(321===ααα当321,,a a a 为任意常数时,向量组)3,2,,1(),2,0,,1(),0,0,,1(332211a a a ===βββ线性________关(相关还是无关). 3α_______(能还是不能)用21,αα线性表示.7.设),2,1,2(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(321-====βααα则向量β用向量321,,ααα线性表示的表达式为_______________________.向量组βααα,,,321_____________(是或不是)线性相关.8. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.9. 设A 为五阶矩阵,且,3=A 则_,__________,__________1==*-A A 其中*A为A 的伴随矩阵. 10.设矩阵,0021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A 其中,0121,311121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则11A -= ，12A -= ，1A -= 。
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线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。
（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。
5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。
2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
3．若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，则a = ，b = 。
4．设A 为n 阶矩阵，且|A|≠0，A *为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵。
若A 有特征值λ，则（A *）2+E 必有特征值 。
5．若二次型f = 2x 12+x 22+x 32+2 x 1 x 2+t x 2 x 3是正定的，则t 的取值范围是。
三、（15分）设有齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++0)4(44403)3(33022)2(20)1(4321432143214321x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a 试问a 取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。
四、（10分）设R 3的两组基为：T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ξξξ和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===ηηη，向量α=（2，3，3）T（1）求基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵； （2）求α关于这两组基的坐标。
五、（15分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1 = -2，λ2 = 1（2重），α1=（1，1，1）T 是属于λ1 = -2的特征向量。
试求：（1）属于λ2 = 1（2重）的特征向量； （2）A 的伴随矩阵A *。
六、（10分）设二次型323121232221222x bx x x x ax x x x f +++++=通过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x 化为：23222y y f +=，求a 、b 。
七、（10分）已知A ，B 为n 阶可逆方阵，且满足2A -1B=B-4E ，其中E 是n 阶单位矩阵，试证：A-2E 可逆。
并求出（A-2E ）-1=？八、（10分）设A 为n 阶矩阵，且1,1)(2211=+⋯++-=nn A A A n A r ，其中ii A 是A 中元素ii a 的代数余子式（i =1，2，…，n ）。
试证：A 的伴随矩阵A *的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。
线性代数综合练习参考答案一、选择题：1．（D ）；2（A ）；3．（A ）；4．（B ）；5．C ）； 二、填空题：1．91；2．-1；3． ±21， 21；4．1||2+⎪⎭⎫ ⎝⎛λA ；5．-22<<t三、解：A=B a a a a a a aa a a a =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++00400300211114444333322221111行 （1）当a =0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x 1+x 2+x 3+ x 4=0由此得一基础解系为：TT Ty y y )1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(321-=-=-=， 故全部解为：332211y C y C y C X ++= （其中321,,C C C 为任意常数）……（7分）（2）当a ≠0时，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+→100401030012000101004010300121111a a B 当a =-10时，r （A ）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-040302413121x xx x x x ，解之，可得一个基础解系为： y=（1，2，3，4）T ，故全部解为：X=ky （其中k 为任意常数）……（15分）备注：此题也可另解 ∵|A|=（a +10）a 3∴当|A|=0时，即a =0或a =-10时，齐次线性方程组有无穷解。
四、解：（1）记B=（321,,ξξξ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101110011，C=（321,,ηηη）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121211111则有：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112110010210100121001121101211110111011 从而，由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵为：A=B -1C=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121………………………（5分） （2）设α关于基321,,ηηη的坐标为（321,,y y y ）即：0332211=++ηηηy y y由此可得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++32322321321321yy y y y y y y y ，解之得：1,1,0321===y y y ， 故α关于基321,,ηηη的坐标为（0，1，1），又∵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y A x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211110即α关于基321,,ξξξ的坐标为（1，1，2）…………………………（10分） 五、解：（1）设A 的属于特征值λ2=1（2重）的特征向量为（x 1，x 2，x 3）T ， 则∵A 是实对称矩阵，∴（x 1，x 2，x 3）T 与α1正交，即有：（x 1，x 2，x 3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111=0， 也即：x 1+x 2+x 3=0， 解之：α2=（-1，1，0）Tα3=（-1，0，1）T∴A 的属于λ2=1的全部特征向量为：k 1α2+ k 2α3（k 1，k 2不同时为0）………………（5分）（2） ∵A *=|A|A -1∴A *的特征值为：|A|·（-21），|A|·1（2重） 又∵|A|=-2∴A *的特征值为：1，-2（2重）………………………………（10分）A *（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--221A *=（α1，α2，α3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200020001（α1，α2，α3）-1 =1101011111200020001101011111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--323131313231313131200020001101011111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3333333333121112111120102122131 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111111111……………………………………………（15分） 六、解：f 的正交变换前后的矩阵分别为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A 和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B于是，A 、B 相似，从而有相同的特征多项式即：|λE-A|=|λE-B|…………（5分）也即：λ3-3λ2+（2-a 2-b 2）λ+（a -b ）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ各幂次项系数有：⎩⎨⎧=--=-220)(222b a b a ∴⎩⎨⎧==00b a ………………………………………………………（10分）七、证明：∵2A -1B=B-4E左乘A ，得：2B=AB-4A …………………………………………（5分） 即：AB-2B-4A=0 ∴（A-2E ）（B-4E ）=8E 故A-2E 可逆，且（A-2E ）-1=81（B-4E ）……………………………………（10分）八、证明：∵r （A ）=n-1∴r （A *）=1………………………………………………………（2分）又∵齐次线性方程组（0E-A *）X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量， ∴0是A *的特征值，其重数不小于n-1…………………………………（5分） 另外，tr （A *）= A 11+A 22+…A nn=λ1+λ2+…λn-1+λn=1…………………………………………………………（8分）故有：1是A *的单特征值；0是A *的n-1重特征值。
………………………………………（10分）。