人教版数学八年级下册：16 二次根式——二次根式的性质及运算 专题练习(含答案)

二次根式的性质及运算

类型1 二次根式的非负性

1．已知a －b ＋|b －1|＝0，则a ＋1＝ ．

2．已知x ，y 为实数，且y ＝x －9＋9－x ＋4，则x －y 的值为 ．

3．当x ＝ 时，5x －1＋4的值最小，最小值是 ．

类型2 二次根式的运算

4．计算： (1)62×13

6； (2)(－45)÷5145； (3)72－322＋218； (4)(25＋3)×(25－3)．

5．计算： (1)3

34÷(－12123)； (2)(6＋10×15)×3； (3)354×(－89)÷7115；

(4)(12－4

18)－(313－40.5)； (5)(32－6)2－(－32－6)2.

6．计算：

(1)(1－π)0＋|2－3|－12＋(

12)－1； (2)|2－5|－2×(18－102)＋32

.

类型3 与二次根式有关的化简求值

7．已知实数a ，b ，定义“★”运算规则如下：a ★b ＝⎩

⎨⎧b （a ≤b ），a 2－b 2（a>b ），求7★(2★3)的值．

8．已知x ＝3＋1，求x 2－2x －3的值．

9．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．

10．先化简，再求值：(y x －y －y 2x 2－y 2)÷x xy ＋y 2

，其中x ＝3＋1，y ＝3－1.

11．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：

设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋22mn ，

∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.

这样小明就找到了一种把a ＋b 2的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：4＋(1＋2；(答案不唯一)

(3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．

参考答案：

二次根式的性质及运算

类型1 二次根式的非负性

1．已知a －b ＋|b －1|＝0，则a ＋1＝2．

2．已知x ，y 为实数，且y ＝x －9＋9－x ＋4，则x －y 的值为5．

3．当x ＝15

时，5x －1＋4的值最小，最小值是4． 类型2 二次根式的运算

4．计算：

(1)62×1

36； 解：原式＝(6×1

3)2×6

＝212

＝4 3.

(2)(－45)÷514

5；

解：原式＝－45÷(5×355)

＝－45÷3 5

＝－4

3.

(3)72－322＋218；

解：原式＝62－322＋6 2

＝212 2. (4)(25＋3)×(25－3)．

解：原式＝(25)2－(3)2

＝20－3

＝17.

5．计算：

(1)33

4÷(－1212

3)；

解：原式＝[3÷(－12)]3

4÷53

＝－69

20

＝－69×5

20×5

＝－95

5. (2)(6＋10×15)×3；

解：原式＝32＋56× 3

＝32＋15 2

＝18 2.

(3)354×(－89)÷7115

； 解：原式＝3×(－1)×

54×89÷7115 ＝－348÷7

65

＝－3748×56 ＝－67

10. (4)(12－418)－(313－40.5)； 解：原式＝23－2－3＋2 2 ＝3＋ 2.

(5)(32－6)2－(－32－6)2.

解：原式＝(32－6)2－(32＋6)2

＝18＋6－123－(18＋6＋123)

＝－24 3.

6．计算：

(1)(1－π)0＋|2－3|－12＋(12

)－1； 解：原式＝1＋3－2－23＋ 2

＝1－ 3.

(2)|2－5|－2×(18－102)＋32. 解：原式＝5－2－12＋5＋32

＝25－1.

类型3 与二次根式有关的化简求值

7．已知实数a ，b ，定义“★”运算规则如下：a ★b ＝⎩⎨⎧b （a ≤b ），a 2－b 2（a>b ），求7★(2★3)的值． 解：由题意，得2★3＝ 3. ∴7★(2★3)＝7★3＝7－3＝2.

8．已知x ＝3＋1，求x 2－2x －3的值．

解：x 2－2x －3＝x 2－2x ＋1－4

＝(x －1)2－4.

当x ＝3＋1时，

原式＝(3＋1－1)2－4

＝3－4

＝－1.

9．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．

解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，

∴x －y ＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1.

∴原式＝(x －y)2－2(x －y)＋xy

＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)

＝7＋4 2.

10．先化简，再求值：(y x －y －y 2x 2－y 2)÷x xy ＋y 2

，其中x ＝3＋1，y ＝3－1. 解：原式＝[y （x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）－y 2（x ＋y ）（x －y ）]÷x y （x ＋y ）

＝xy （x ＋y ）（x －y ）

·y （x ＋y ）x ＝y 2

x －y

. 当x ＝3＋1，y ＝3－1时， 原式＝（3－1）2

2

＝2－ 3. 11．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：

设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋22mn ，

∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.

这样小明就找到了一种把a ＋b 2的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：4＋(1＋2；(答案不唯一)

(3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．

解：根据题意，得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝m 2＋3n 2，4＝2mn.