抛物线中两线段的和最小问题

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x 2

+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

2. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C 1:()()1

y x 2(x m)m 0m

=-

+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

3 （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式及对称轴．

（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

4. （2012四川自贡14分）如图，抛物线l 交x 轴于点A （﹣3，0）、B （1，0），交y 轴于点C （0，﹣3）．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线l 1． （1）求l 1的解析式；

（2）在l 1的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大，并说出理由；

（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线l 1于E 、F 两点，若以EF 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径．

1，（2012湖北恩施8分）

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N 点关于直线x=3的对称点N′，当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小。（3）分BD 为平行四边形对角线和BD 为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG⊥x 轴于点G ，设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2

+2x+3），求得线段PQ=﹣x 2

+x+2。由图示以及三角形的面积公式知

APC APQ CPQ S S +S ∆∆∆=，由二次函数的最值的求法可知△APC 的面积的最大值

解：（1）由抛物线y=﹣x 2

+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，1b+c=04+2b+c=3

--⎧⎨

-⎩，

解得b=2c=3

⎧⎨⎩。∴抛物线的函数关系式为2

y x

2x 3=-++。设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，由直线AC

过点A （﹣1，0）及C （2，3）得k+n=02k+n=3

-⎧⎨

⎩，解得k=1n=1

⎧⎨

⎩。

∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。

（2）作N 点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N （0，3）。 ∴N′（6， 3）由()2

2

y x

2x 3=x 1+4=-++--得D （1，4）

。设直线DN′的函数关系式为y=sx+t ，则6s+t=3s+t=4⎧⎨⎩，解得1s=521

t=5⎧-⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

。∴故直线DN′的函数关系式为121y x 55=-+。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小，∴12118m 3=555=-⨯+。∴使MN+MD 的值

最小时m 的值为185。（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2）， ①当BD 为平行四边形对角线时，由B 、C 、

D 、N 的坐标知，四边形BCDN 是平行四边形，此时，点

E 与点C 重合，即E （2，3）。 ②当BD 为平行四边形边时，∵点E 在直线AC 上，∴设E （x ，x+1），则

F （x ，2

x

2x 3-++）。

又∵BD=2∴若四边形BDEF 或BDFE 是平行四边形时，BD=EF 。∴()2x 2x 3x 1=2-++-+，即2x x 2=2-++。若2

x x 2=2-++，解得，x=0或x=1（舍去）

，∴E（0，1）。若2

x x 2=2-++-，

解得，∴E ⎝

⎭

或E ⎝

⎭

。综上，满足条件的点E 为（2，3）、

（0，1）、⎝

⎭、⎝⎭

。

（4）如图，过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG⊥x 轴于点G ， 设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2

+2x+3）。

∴2

2PQ x 2x 3x 1x x 2=

-++--=-++（）（）。

∴APC

APQ CPQ 1

S

S +S PQ AG 2

∆∆∆==

⋅ 2213127x x 23x 2228=-++⨯=--+（）（）。∵302

<-， ∴当1x=2

时，△APC 的面积取得最大值，最大值为278

。

2，（2012湖北黄冈14分）【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m 的值。 （2）求出B 、C 、E 点的坐标，从而求得△BCE 的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B 、C 关于对称轴x=1对称，连接EC 与对称轴的交点即为所求的H 点。（4）分两种情况进行讨论：①当

△BEC∽△BCF 时，如图所示，此时可求得。②当△BEC∽△FCB 时，如图所示，此时得到矛盾的等式，

故此种情形不存在。

解：（1）∵抛物线C 1过点M(2，2)，∴()1222(2m)m =-+-，解得m=4。

（2）由（1）得()1y x 2(x 4)4

=-+-。 令x=0，得

y 2=。∴E （0，2）

，OE=2。 令y=0，得()10x 2(x 4)4

=-

+-，

解得x 1=－2，x=4。∴B （－2，，0），C （4，0），BC=6。 ∴△BCE 的面积=16262⨯⨯=。（3）由（2）可得()1

y x 2(x 4)4

=-

+-的对称轴为x=1。连接CE ，交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH 最小。设直线CE 的解析式为y kx+b =，则

4k+b=0b=2⎧⎨⎩，解得1k=2b=2

⎧-⎪⎨⎪

⎩。∴直线CE 的解析式为

1y x+22=-。 当x=1时，3y 2= ∴H（1，32

）。（4）存在。分两种情形讨论： ①当△BEC∽△B CF 时，如图所示。

则BE BC BC BF

=，∴BC 2

=BE•BF。由（2）知B （－2，0），E （0，2），即OB=OE ，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。作FT⊥x 轴于点F ，则BT=TF 。∴令F （x ，－x －2）（x ＞0）， 又点F 在抛物线上，∴－x －2=()1

x 2(x m)m

-+-，∵x+2＞0（∵x＞0）

，∴x=2m，F （2m ，－2m －2）。

此时BF m 1BE BC m 2+==+），，