贝叶斯决策分析

解：设该公P(司H经i/θ营j)高科技产品θ有1两个行θ动2 方案，即经营方案 （即a畅1）销、（不θ经1）H营、1方滞案销（（aθ2）2）。0.。该95状产态品变的量0市.1的场0先销验售分有布两为种状态，
据题意，该公H司2 的收益矩阵为0.05
0.90
P(θ1)=0.8，P(θ2)=0.2
15000 5000
◆对情信况息作相的出同价合：值理和的成说本明作。主对要比在分于析侧，重对点不决不同策同：分，析预的验经分济析效是益 都验是后通分过析贝和叶预斯验分析的依异据同可：能的调查结果，侧重于判断
j
其中 fY ( y / X x)及
E Y / X x

yfY ( y / X x)dy
fX (x / Y y) 分别是
在X=x的条件下Y的条
E X / Y y

xfX (x / Y y)dx
件概率密度和在Y=y条 件下关于X的条件概率 密度。
★信息值的可靠程度
用在状态变量θ的条件下，信息值H的条件分布p(H/θ) 表示。
★离散情况下
若θ取n个值θj（j=l, 2, …, n），H取m个值Hi（i＝
1, 2, …, m）p，(H则1 /信1)息值p(的H可1 /靠2 )程度对应p(H一1个/n矩) 阵——贝
叶斯决策的似 然p(H分2布/1矩) 阵p：(H2 /2 )
贝叶斯决策分析
主讲人：邓昇
目录
贝叶斯决策概述 贝叶斯决策的基本方法（重点） 贝叶斯决策信息的价值
抽样贝叶斯决策（难点） 贝叶斯风险和贝叶斯原则（难点）
一、、贝贝叶叶斯斯决决策策概概述 述
（一）贝叶斯决策的意义
在管理决策的实际过程中，往往存在两种偏向：
（1）缺乏市场调查，对状态变量的概率分布情况掌握和分析 还十分粗略就匆忙进行决策，使得决策结果与市场现实出入 较大，造成决策失误； 忽视了信息对决策的价值。
即X=E g 的 X条,Y件下，Y的条 g件 x数, y学 期f 望x,，y 记dx作dy
同样地，
对于x二i 元E连 X续/ Y型随y机i 变 量，xjP定义X xi / Y yj
j
E Y / X xi yjP Y yj / X xi
Q
qij
22


0
0

于是，由风险型决策的期望结果值准则
2
E a1 q1 j P j 15000 0.8 (5000) 0.2 11000 j 1 2
E a2 q2 j P j 0 j 1
因此，按状态变量的先验分布进行决策，最满意的行动方案 为a1。即由于
抽样贝叶斯决策以及贝叶斯风险和贝叶斯原则等内容。
①离散情况 设有完备事件组｛ ｝（j=1, 2, …, n），满足：
则对任一随机事件H，有全j 概率公式：
i j ，（i, j 1,2,,n;i j）
n
j
j 1
n
pH p(H / j ) p( j ) ( p( j ) 0)（公式1） j 1
条件密度函数。
为在事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概
率。
3.数学期望
①离散型p(随A)机变量的数学期望
设离散型随机变量X有p(概B率/分A布) p( AB)
若级数
绝对收敛，则称此p级( A数)之和为随机变量X的
数学期望，记为E(X)，即
。

xk pk
k 1
PX xk pk ,k 1, 2,...,
E a1 E a2 , a1 a2
故有
aopt a1
这表示，不论市场状态是畅销或是滞销，应该做出经营该产 品的决策。
有 P(H1/θ1)=0.95， P(H2/θ1)=0.05 P(H1/θ2)=0.10，P(H2/θ2)=0.90
市场预测的准确率可以表示为矩阵
由全概率公式（1），咨询公司预测该产品畅销和滞销的概
销）的先验分布进行修正，得到的状态变量的概率分布称为
后验
P(1 / Hi ) P(2 / Hi )
条P(θ件1 概)当，率市P值(场θP2预()θ，1测再/HH为H计12畅1)算，销00方.时.P91案(78，θ412a48即1/,aH事0021..的80件)去12期85H代261望发替收生先益，验值用分为后布验的分概布率的值
为

g(xi , y j ) pij
j 1 i1

E Z E g X ,Y g(xi , y j ) pij j1 i1
PX xi ,Y yi pij
为
④条件数学期望




g对于x, y二 维f 离x, 散y d型xd随y 机变量（X,Y），在X取某一个定值，
此时，aopt (H1)＝ a1，表示当预测值H1发生时，最满意方案
为经营该产品。 当市场预测为滞销时，即事件H2发生，用后验分布的
条件概率值P (θ2/H2)， P (θ2/H2)去代替先验分布的概率值P (θ1)， P (θ2)，再计算方案a1，a2的期望收益值为
2
E a1 / H2 q1 j P j / H2 j 1 q11 p 1 / H2 q12 p 2 / H2
p(H1 )

0.1 0.2 0.78
0.0256
p(1 / H 2 )
p( H 2 /1 ) p(1 )
p(H 2 )

0.05 0.8 0.22
0.1818
用p补(2充/ H信2息) （p即(H市2p/场(H2预)2)测p(）2 )对状0.态09.2变02.2量（0.即81畅82销或滞
率分别为
P(Hi / 1) P(Hi / 2 )
H1 0.95
H2

0.05
0.10 0.90
2
P(H1) p( j ) p(H1 / j ) 0.95 0.8 0.10 0.2 0.78 j 1
2
P(H2 ) p( j ) p(H2 / j ) 0.05 0.8 0.90 0.2 0.22
2）预验分析 比较分析补充信息的价值和成本的过程。
目的：判断是否值得去补充信息？
判断：如果信息的价值高于其成本，则补充信息给企业 带来
正效益，应该补充信息．反之，补充信息大可不 必。
验后分析
3）
◆利用补充信息修正先验分布,得到更加符合实际的后验分
布；
◆再利用后验分布进行决策分析，选出最满意的可行方案；
15000 0.1818 (5000) 0.8182 134（6 元）
E a2 / H1 （0 元）
此时，aopt (H2)＝ a2，表示当预测值H2发生时，最满意方案
为不经营该产品。
例1告诉我们，贝叶斯决策就是通过市场调查分析获取 补充信息，利用补充信息修正状态变量的先验分布，依据风 险型决策的期望值准则，用后验分布替代先验分布，使状态 变量的概率分布更加符合实际情况，从而作出决策，找出最 满意方案，提高决策的科学性和效益性。
先看下面的例子。
例：某公司经营一种高科技产品，若市场畅销，可以获
利15000元；若市场滞销，将亏损5000元。根据历年的市场
销售资料，该产品畅销的概率为0.8，滞销的概率为0.2。请
问该公司经营该产品应如何决策？
经营：15000*0.8-5000*0.2=11000元；
不经营：0元。
选择经营。
这是一种常见的风险型决策，其基本方法是将状态变量
2
E a1 / H1 q1j P j / H1 j 1 =q11 p 1 / H1 q12 p 2 / H1
15000 0.9744 (5000) 0.0256 14487.（2 元）
E a2 / H1 （ 0 元）
为了进一步摸清市场对这种产品的需求情况，拟聘请某咨询
公(H司1)和进滞行销市状场(H调态2)两查θ种和，分畅对析销畅，（销该预θ公测司1）的对滞准销确销售率情（为况θ0预2.）9测5，也对有滞畅销销
概率P(θi)
0.8
0.2
利润（万元） 1.5
－0.5
试根据市场咨询分析结果，该公司经营该产品应如何决策？

E X xk pk k 1
设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y)（g是连续函数），
则Z是一个一维随机变量。

xf (x)dx
若二维离散型随E机 X变量（X,Yx）f (的x联)dx合分布律为
i,j=1,2,…且 学期望
绝对收敛，则Z=g(X,Y)的数
贝叶斯公式：
p i
/H
p(H
/ i ) p(i )
p(H )

p(H / i ) p(i )
n
p(H / j ) p( j )
j 1
(i 1, 2, , n; p(H ) 0)
（公式2）
②连续情况
设随机变量 的概率密度为 p( ) ，则对任一随机变量 ，有

p(
H
2
/

n
)






p(Hm /1)
p(Hm /2 )

p(Hm /n )
2.贝叶斯决策的基本步骤 ห้องสมุดไป่ตู้叶斯决策的基本步骤如下：
1）验前分析
依据数据和资料以及经验和判断，去测算和估计状态
变量θ的先验分布p(θ) ；
计算各可行方案在不同θ下的条件结果值； 根据某种决策准则评价选择，找出最满意方案。
PX =k Cnk pkqnk
4.离散型随机变贝叶量斯决中策概的述 二项分布
若随机变量X有分布
律
,k=0,1,…,n(其中0<p<1,q=1-p)，则
称X贝服叶斯从决策参意义数为n,p的二项分概率布论与，数理记统计为X~B(n,p)。
全概率公式
贝叶斯公式
条件概率
数学期望
二项分布
（θ1），滞销（θ2）两种，据以往的经验，估计两种情况 发生的概率分布和利润如下表所示：
由贝叶斯公式j（1 2），在不同的预测值Hi(i=1,2)的条件下， 状态值θj(j=1,2)的条件概率分别为
p(1 / H1 )
p( H1 /1 ) p(1 )
p(H1 )

0.95 0.8 0.78
0.9744
p(2 / H1 )
p(H / ) p( )
12
2
（2）市场调查或局部试验的费用过高，收集的信息没有给企 业带来应有的效益。 没有考虑信息本身的成本。
因此，我们既要充分重视信息对决策的价值，用补充信 息的方法，使状态变量的概率分布更加符合现实市场状况， 又要充分注意信息自身的价值，少花钱对办事。只有将两者 合理地结合起来，才能提高决策分析的科学性和效益性。而 如何将两者有机结合并加以科学分析，这就是贝叶斯决策所 要解决的问题。
视为随机变量，用先验状态分布表示状态变量的概率分布，
用期望值准则计算方案的满意程度。
由于先验状态分布与实际情况存在一定误差，为了提高
决策质量，需要通过市场调查或局部试验等方法收集有关状
态变量的补充信息，对先验分布进行修正，用后验状态分布
进行决策——这就是本章将要介绍的贝叶斯（Bayes）决策。
这里主要介绍贝叶斯决策的基本方法、补充信息的价值、
（二）贝叶斯决策的基本方法
1.几个概念的含义
★状态变量
指将研究的对象可能处于的状态视为变量，这里我们通 常用来表示。如上面例1中的市场销售的两种状态，即畅销 （θ1）、滞销（θ2）。
★先验状态分布
指根据历年的资料所获得的状态变量的概率分布。
★补充信息（信息值）
指通过市场调查分析所获取的补充信息，用已发生的 随机事件H或已取值的随机变量τ表示，称H或τ为信息值。

h( ) p( ) ( / )d
（公式3）
k( / ) p( ) ( / ) h( )

p( ) ( / )

(h( ) 0)（公式4）
p( ) ( / )d
其中 h( ) 表示随机变量 的密度函数， ( / ) 表示在 条件下 的