第75章工程优化设计实例

1、建立数学模型
（2）建立目标函数
弹簧的体积为：
min
f
(x)
1
4
d
2
Dn
1
4
2
x2 1
x2
x3
例一调压弹簧为普通圆柱螺旋压缩弹簧。阀腔直径为 42mm，弹簧最大工作压力为Fmax=1110N，弹簧的许用应
力[]=665MPa,弹簧的最大刚度kmax=24N/mm,弹簧结构要
求：工作圈数n≥0，弹簧旋绕比4≤ C ≤ 14，弹簧压并高度 λb=1.1h=18.25mm。试在满足弹簧的强度条件、刚度条件、 稳定性条件、旋绕比条件和结构边界等约束条件下，确定 弹簧的簧丝直径d、中径D2和工作圈数n等三个设计参数， 使它的结构重量最轻。
③约束条件：
f
(x)
1 d 2 Dn
4
1
4
2
x2 1
百度文库x2
x3
0.16
g1( X
)
1.66
x1 x2
8Fmax x1 [ ] 0 x2
g2(X )
Gx14
8
x3 2
x3
kmax
0
g3 ( X ) x2 14x1 0
g4 ( X ) 4x1 x2 0
g5 ( X ) x1 x2 42 0
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]=
目标函数在最优解的海色矩阵
fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options)
调用目标函数的函数文件名 初始点
线性不等式约束的常数向量 线性不等式约束的系数矩阵
无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替
1、建立数学模型
（1）确定设计变量
X=[d,D2,n]T=[x1,x2,x3]T
例一调压弹簧为普通圆柱螺旋压缩弹簧。阀腔直径为 42mm，弹簧最大工作压力为Fmax=1110N，弹簧的许用应
力[]=665MPa,弹簧的最大刚度kmax=24N/mm,弹簧结构要
求：工作圈数n≥0，弹簧指数4≤ C ≤ 14，弹簧压并高度 λb=1.1h=18.25mm。试在满足弹簧的强度条件、刚度条件、 稳定性条件、旋绕比条件和结构边界等约束条件下，确定 弹簧的簧丝直径d、中径D2和工作圈数n等三个设计参数， 使它的结构重量最轻。
设置优化选项参数 非线性约束条件的函数名
设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩阵
实例一 圆柱螺旋弹簧的优化设计
圆柱螺旋弹簧的结构参数包括
D—弹簧中径，即螺旋线圆柱直径 D2=D+d—弹簧外径 D1=D-d—弹簧内径 α—弹簧的螺旋角，即螺旋线的升角 t—簧条间距，即螺旋线的节距 d—簧条直径（mm） H0—弹簧的自由高 n—弹簧的有效圈数，即螺旋线的圈数 —螺旋线的极角 C—旋绕比，C=D/d
（3） 对于大规模的线性系统使用共轭梯度算法（PCG preconditioned conjugate gradients）。由于这些算法都具 有一定的复杂性，具体算法这里不再详述。
返回目标函数的最优解
2.使用格式：
返回目标函数的最优值 返回算法的终止标志 优化算法信息的一个数据结构
返回目标函数在最优解的梯度
弹簧设计需要满足刚度、强度、稳定性、共振 性等条件
例一调压弹簧为普通圆柱螺旋压缩弹簧。阀腔直径为 42mm，弹簧最大工作压力为Fmax=1110N，弹簧的许用应
力[]=665MPa,弹簧的最大刚度kmax=24N/mm,弹簧结构要
求：工作圈数n≥0，弹簧指数4≤ C ≤ 14，弹簧压并高度 λb=1.1h=18.25mm。试在满足弹簧的强度条件、刚度条件、 稳定性条件、旋绕比条件和结构边界等约束条件下，确定 弹簧的簧丝直径d、中径D2和工作圈数n等三个设计参数， 使它的结构重量最轻。
g6 ( X ) x3 0
2、优化方法和计算结果 调用MATLAB优化工具箱函数fmincon进行优化计
算
1）编制目标函数的M文件(Spring_f)
%体积目标函数 function f=Spring_f(x) f=1/4*pi*pi*x(1)^2*x(2)*x(3); %x(1)直径,x(2)中径,x(3)圈数
g3 ( X ) x2 14x1 0 g4 ( X ) 4x1 x2 0
弹簧安装空间约束条件：
g5 ( X ) x1 x2 42 0 弹簧圈数应该大于0： g6 ( X ) x3 0
综上所述，该问题的数学模型为：
①设计变量： [ x1, x2, x3 ]T
②目标函数：
min
1、建立数学模型
（3）建立约束函数
弹簧的强度约束条件为：
K
8FD2
d 3
[ ]
g1( X
)
1.66
x1 x2
0.16
8Fmax
x1 [ ] 0
x2
弹簧刚度约束
F Gd 4
k 8D3n , kmin k kmax
g2(X )
Gx14 8x23 x3
kmax
0
弹簧旋绕比约束条件： 4≤ C ≤ 14， C=D/d
束 条
Ceq(X)=0（非线性等式约束）
件
Lb ≤X ≤Ub （边界约束条件）
Fmincon 函数使用的约束优化算法都是目前比较普适的有 效算法：
（1）对于中等的约束优化问题fmincon使用序列二次规划 （SQP sequential quadratic programming）算法；
（2）对于大规模约束优化问题fmincon 使用基于内点反 射牛顿法的信赖域算法(subspace trust region method and is based on the interior-reflective Newton method)；
7.5 工程优优化设计实例解析
约束优化问题的Matlab求解
Fmincon 是matlab 最主要内置的求解约束最优化的函数， 该函数的优化问题的标准形式为：
1. 数学模型标准形式：
min f （X）
s.t. AX≤b （线性不等式约束）
AeqX=beq （线性等式约束）
约
C(X)≤0 （非线性不等式约束条件）
min
f
(x)
1 d 2
4
Dn
1
4
2
x2 1
x2
x3
2）编制约束函数的M文件(Spring_g)
%约束函数
function [g,ceq]=Spring_g(x);
Fmax=1110;G=80*1e9,tao=665*1e6
g(1)=1.66*(8*Fmax/pi)*(x(1)/x(2))^0.16*x(2)/x(1)^3*1e6-tao g(2)=G*x(1)^4/(8*x(2)^3*x(3))*1e-3-24*1000 %刚度约束 g(3)=x(2)-14*x(1); %旋绕比约束 g(4)=4*x(1)-x(2); %旋绕比约束 g(5)=x(1)+x(2)-42; %安装空间