运筹学第2章 整数规划

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10 21

例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：

必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0

请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
因此，可将集合内的整数点一一找出，其最 大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。 如此例中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。
整数规划问题的求解方法
目前，常用的求解整数规划的方法有：
分枝定界法、割平面法；
隐枚举法、匈牙利法。
整数规划模型应用举例
排班问题（人力资源配置问题）
例：邮局每天需要的职工数因业务忙闲而异，据 统计邮局一周内每天需要的人数如下表。排班 要符合每周连续工作5天，休息2天的规定。问 如何排班可使用人最少。

可通过计算每一物品的重要性系数和重量 的比值ci/ai来解决。
布点问题

共同目标：满足公共要 求，布点最少，节约投 资费用。

地 点
一 区
二 区
三 区
四 区
五 区
六 区
学校、医院、商业区、消防 队等公共设施的布点问题。
一 区
二 区 三 区
0
10 16
10
0 24
16
24 0
28
32 12
27
17 27
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 2 到4个点即(1，3) (2， 1 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
1
2
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点 ，如图所示。
(纯整数规划问题) X=(1.3, 3.3, 2, 7.3, 0, 3.3, 5)T , z=22.3 X*=( 7, 5, 1, 8, 0, 2, 0) T , z=23
背包问题

目标：在不超过一定重量的前提下，使所携 带物品的重要性系数之和最大 。 例：登山队员需携带的物品及每一件物品 的重量和重要性系数见下表。假定允许携带 的最大重量为25千克，试确定一最优方案。
58.4
52.8 59.1 57.0
解： 设i=1，2，3，4分别表示甲、乙、丙、丁；j=1， 2，3，4分别表示仰泳、蛙泳、蝶泳、自由泳。并 设 xij= 0，表示 i 不参加 j 1，表示 i 参加 j 据题意，此题的数学模型为：
第四章
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如：
max Z x1 x2 14 x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x , x 0且为整数 1 2
依照决策变量取整要求的不同，整 数规划可分为纯整数规划、 0－1整 数规划、混合整数规划。
例：设整数规划问题如下
max Z x1 x2 14 x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x , x 0且为整数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称 为松弛问题）。 max Z x x
1 2
14 x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x1 , x2 0
一 17 二 13 三 15 四 19 五 14 六 16 日 11
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
求解思路：既然整数规划是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的 基础上，通过舍入取整求解即可。？ 但实际上，两者却有很大的不同，通过 舍入得到的整数解也不一定就是最优解， 有时甚至不能保证所得到的解是整数可 行解。举例说明。
游泳运动员的选拔
例：甲乙丙丁是4名游泳运动员，他们各种姿势的 100m游泳成绩见下表。为组成一个4×100m混合 泳接力队，怎样选派运动员，方能使接力队的游 泳成绩最好？
运动员 仰泳 蛙泳 蝶泳 自由泳
甲
乙 丙 丁
75.5
65.8 67.6 74.0
86.8
66.2 84.3 69.4
66.6
57.0 77.8 60.8

设01为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 ≥1 x1 x2 x x x6 ≥ 1 2 1 x3 x4 ≥1 s.t. x3 x4 x5 ≥1 x4 x5 x6 ≥ 1 x2 x5 x6 ≥ 1 xi 取 0 或 1 ，i 1, , 6
数据 物品 项目 重量(千克) 重要系数 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备
5 212 8
2 4
4 10
背包问题的数学模型： 0－1规划

解：设01变量表示携带物品i，表示不携带 物品i，则问题可写为
maxZ 20 x1 15 x2 18 x3 14 x4 8 x5 4 x6 10 x7 5 x1 5 x2 2 x3 6 x4 12 x5 2 x6 4 x7 ≤ 25 s.t. xi 取 0 或 1，i 1, 2, ,7