高考状元数学错题本 第1章《集合》易错题

高考数学错题本

第1章 集合易错题

易错点1 遗忘空集致误

由于空集是任何非空集合的真子集，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B =∅这种情况，导致解题结果错误．

【例 1】 设2

{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，B A ⊆，求的值． 【错解】 {3,1}A =-,1{}B a =，从而1

3

a =或1-． 【错因】忽略了集合B =∅的情形 【正解 】当B ≠∅时，得13a =

或1-；B =∅时，得0a =．所以1

3

a =或1a =-或0a =． 【纠错训练】已知{|23}A x a x a =≤≤+，{|15}B x x x =<->或，若=A B ∅，求a 的取值

范围． 【解析】由=A

B ∅，

（1）若A =∅，有23a a >+，所以3a >． （2）若A ≠∅，则有21

3523

a a a a ≥-⎧⎪

+≤⎨⎪≤+⎩

，解得122a -≤≤．

综上所述，的取值范围是1

{|23}2

x a a -

≤≤>或． 易错点2 忽视集合元素的三要素致误

集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求． 【例2】已知集合{1,4,}A a =,2

{1,,}B a b =，若A B =，求实数，的值．

【错解】由题意得，24a a b ⎧=⎨=⎩

，解得22a b =⎧⎨=⎩或2

2a b =-⎧⎨=-⎩．

【错因】本题误认为两个集合相等则对应项相同，这显然违背了集合的无序性． 【正解】∵A B =，由集合元素的无序性，∴有以下两种情形：

（1）24a a b ⎧=⎨=⎩

，解得22a b =⎧⎨=⎩或2

2a b =-⎧⎨=-⎩；

（2）24

a a

b ⎧=⎨=⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=-⎩，经检验12a b =⎧⎨=-⎩与元素互异性矛盾，舍去．

∴22a b =⎧⎨

=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩或0

4

a b =⎧⎨=⎩．

【例3】 已知集合{1,4,}A a =,集合2

{1,}B a =，若B A ⊆，求的值． 【错解】24a =或2a a =，解得2a =±或0a =或1a =．

【错因】没有将计算结果代回到集合中检验，忽略了集合中元素的互异性，导致出现了增解． 【正解】24a =或2a a =，解得2a =±或0a =或1a =，经检验当1a =时，{1,4,1}A =，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去，所以2a =±或0a =．

【纠错训练】已知集合{1,2}A =，{|30}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数的值是（ ）

A ．30,,32

B ．0,3

C ．

3

,32

D ．

【解析】若B A ⊆，则集合B 是集合A 的子集，当B =∅，显然0a =；当B ≠∅时，解得

3B a ⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭

，则有31a =或32a =，解得3a =或32a =，即的值为30,,32，选A ．

易错点3 弄错集合的代表元 【例4】已知{}| 1 A y y x ==+，{}22(,)|1B x y x y =+=，则集合A B 中元素的个数为________． 【错解】 1个或无穷多个

【错因】没有弄清集合B 的代表元的含义 【正解】集合A 是一个数集，集合B 是一个点集，二者的交集为空集，所包含的元素个数为0． 【

例

5

】

已

知

函

数

()y f x =，[,]x a b ∈，那么集合

{(,)|(),[,]}{(,)|2}x y y f x x a b x y x =∈=中元素的个数为（ ）

A ．1 A ．0 C ．0或1 D ．1或2 【错解】不知题意，无从下手，蒙出答案D

【错因】没有弄清两个集合打代表元，事实上，{|()}x y f x =、{|()}y y f x =、

{(,)|()}x y y f x =分别表示函数()y f x =的定义域、值域、函数图象上的点的坐标组成的集

合．

【正解】本题中集合的含义是两个图象交点的个数，从函数值的唯一性可知，两个集合的交中之多有一个交点，故选C ．

【纠错训练】1．已知集合2

{|1}A y y x ==+，{|2}B x y ==

，则

A B =_______________．

【解析】{|1}A y y =≥，{|0}B x x =≥，所以{|1}A

B x x =≥．

【纠错训练】2．设集合{(,)|25}A x y x y =+=，{(,)|23}B x y x y =-=-，则

A B =______．

【解析】由25

23x y x y +=⎧⎨-=-⎩

，解得12x y =⎧⎨=⎩，从而{(1,2)}A B =．

易错点4 忽略了题目中隐含的限制条件

【例6】【2015高考陕西，理1】设集合2

{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，

则M N =

（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞ 【错解】{}

{}2

0,1x x x M ===，{}{}

lg 01x x x x N =≤=≤，所以(,1]M

N =-∞，故

选D ．

【错因】在解lg 0x ≤时，忽略了0x >这个隐含的限制条件．

【正解】{}

{}2

0,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M

N =，

故选A ．

【纠错训练】【2015高考重庆，理4】“1x >“是“12

log (2)0x +<”的（ ）

A 、充要条件

B 、充分不必要条件

C 、必要不充分条件

D 、既不充分也不必要条件

【解析】12

log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B ．

易错点5 集合的交并运算弄反

【例7】【2015高考山东，理1】已知集合{}

2430A x x x =-+<，{}

24B x x =<<,则A

B =（ ）

A ．（1，3）

B ．（1，4）

C ．（2，3）

D ．（2，4）

【错解】因为{}

13A x x =<<，{}24B x x =<<，所以{}14A B x x =<<，故选B ．

【错因】将集合的“交运算”误认为是“并运算”．