函数的连续性(课件)

(二)、函数的间断点及类型 二、
数 函 f (x)在 x0处 续 须 足 三 条 : 点 连 必 满 的 个 件 (1) f ( x )在点 0处有定义; ( 2) xlim f ( x )存在; 在点x →x
0
( 3) lim f ( x ) = f ( x 0 ).
定 :设 = f (x)在 0处 足 面 条 之 , 义 y x 满 下 三 件 一 (1 f (x)在 0的 心 域 有 义但 x0无 义 ) x 去 邻 内 定 , 在 定 . (2) lim f (x)不 在 存
− x, 例4 讨论函数 f ( x ) = 1 + x ,
x ≤ 0, 在x = 0处的连续性 . x > 0,
y
o
x
处的左、 1.第一类间断点 如果 f ( x )在点 x0 处的左、右极限都 第一类间断点 存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第一类间断点 .
1)跳跃间断点 跳跃间断点
解 f (0 − 0) = 0,
f (0 + 0) = +∞ ,
o x
∴ x = 0为函数的第二类间断点 .
这种情况称为无穷间 断点.
1 例7 讨论函数 f ( x ) = sin 在 x = 0处的连续性 . x 解 Q 在x = 0处没有定义 , 处没有定义
1 且 lim sin 不存在. x→0 x
例5
讨论函数 2 x , 0 ≤ x < 1, f ( x ) = 1, x=1 1 + x, x > 1, 在x = 1的连续性
y
2 1
y = 1+ x
y=2 x
1
o
x
为函数的可去间断点 ∴ lim f ( x ) = 2 ≠ f (1), ∴ x = 0为函数的可去间断点 .
x →1
在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。 在定义域 内每一点处都间断，且都是第二类间断点。 内每一点处都间断
★
, x 有 数 , 1 当是 理 时 f (x) = , x 无 数 , −1 当 是 理 时
内每一点处都间断, 在定义域 R内每一点处都间断 但其绝对值处处连续 内每一点处都间断 但其绝对值处处连续.
四、函数的连续性
(一)、连续的定义 一、 1.函数的增量 函数的增量
设函数 f ( x )在O δ ( x 0 )内有定义 , ∀ x ∈ O δ ( x0 ), ∆x = x − x 0 , 称为自变量在点 x0的增量 .
∆y = f ( x ) − f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于 ∆x的增量 .
y = f (x)
y
y = f (x)
1
o
π 2
x o
1 2
x
Th3 (介值定理 介值定理) 介值定理
设f ( x )在[a, b]连续, M , m分别为其最大 , 最小值 , 则 ∀c ∈ [m, M ], 一定∃x 0 ∈ [a, b], 使f ( x 0 ) = c
y
M C
y = f (x)
1 (f(x) ≠ 0),f 2(x), f(x)在 0连 . x 续 可 : 得 f(x)
复合函数的连续性
若g(x)在x 0点连续 ,
f (u )在u 0 = g( x 0 )点连续 , 则f [g( x )]在x 0连续. 1 例如, 例如 u = 在 ( −∞ , 0) U (0, + ∞ )内连续 , x
令 f (1) = 2,
2 x , 0 ≤ x < 1, 则 f ( x) = x ≥ 1, 1 + x , 在x = 1处连续 .
y
2 1
o
1
x
2.第二类间断点 第二类间断点
处的左、 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 例6 讨论函数 f ( x ) = x , x > 0,在x = 0处的连续性 . x , x ≤ 0, y
定理2 最大 最小值定理)设 最大、 上连续,则 定理 (最大、最小值定理 设f(x)在[a,b]上连续 则f(x) 在 上连续 上可取到最大值,最小值 在[a,b]上可取到最大值 最小值 上可取到最大值 最小值.
即∃ξ1 , M = max f ( x ) = f (ξ1 )
x∈[ a ,b ]
y
y = f (x)
∃ξ 2 , m = min f ( x ) = f (ξ 2 )
x∈[ a ,b ]
o
a
ξ2来自百度文库
ξ1 b
x
注意: 若区间是开区间 定理不一定成立; 若区间是开区间, 注意:1.若区间是开区间 定理不一定成立 2.若区间内有间断点 定理不一定成立 若区间内有间断点, 若区间内有间断点 定理不一定成立. y
0 ∆x→
例1： 证明y = x 在x = x0处连续
2
证明： lim y = lim[( x0 + x ) − x0 ]
2 2 x →0 x →0
= lim[2 x0 x + ( x) ] = 0
2 x →0
∴ y = x 在x = x0处连续
2
1 x sin , x ≠ 0, 例1 试证函数 f ( x ) = 在x = 0 x 0, x = 0, 处连续 . 1 证 Q lim x sin = 0, x→0 x
f ( x0 + 0 ) ≠ f ( x0 − 0 )
2)可去间断点 可去间断点 lim f ( x ) = A , 但(1)A ≠ f ( x0 ),
x→ x 0
或( 2) f ( x )在点 x0处无定义 则称点 x0为函数 f ( x )的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 数的定义 则可使其变为连续点
y = sin u 在 ( −∞ , + ∞ )内连续 ,
1 ∴ y = sin 在 ( −∞ , 0) U (0, + ∞ )内连续 . x 结论: 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间内都是连续的 结论: 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间. 定义区间是指包含在定义域内的区间.
x→ 0 x
x → x0
(3) lim f (x)存 但 等 f (x0). 在 不 于
x→ 0 x
则 函 f (x)在 x0处 连 (或 断 并 点 0为 称 数 点 不 续 间 ), 称 x f (x)的 连 点或 断 ). 不 续 ( 间 点
x2 − 4 1 例3 f(x) = x(x + 2) + 的间断点个数为 __ 个, ( x − 2)( x + 1) x=2 间断点为 _____ .
f ( x ) → f ( x 0 )就是∆y → 0.
x → x 0就是 ∆x → 0,
x→ x 0
∴ 定义 2.9中 lim f ( x ) = f ( x 0 )可写成
∆x → 0
lim ∆y = 0
, 义 可 成 定 2.9 写 : 设 数 = f(x) 定 域 D x0 ∈D 函 y 的 义 为 , 若lim∆y = 0,则 f(x)在 0连 . 称 x 续
a
x1
o
m
ξ1
ξ2 ξ3 x2 b
x
几何解释: 几何解释 连续曲线弧 y = f ( x )与水平
直线 y = C至少有一个交点 .
定义: 定义: 如果 x0使 f ( x0 ) = 0, 则 x0称为函数
y = sin 1 x
∴ x = 0为第二类间断点 . 为第二类间断点
这种情况称为振荡间断 点.
不要以为函数的间断点只能是个别的几个点 个别的几个点. 注意 不要以为函数的间断点只能是个别的几个点 ★ 狄利克雷函数
, x 有 数 , 1 当 是 理 时 y = D x) = ( x 无 数 , 0, 当 是 理 时
有 故 limf(x) = f(x0)
x→ 0 x
(x0 ∈定 区 ) 义 间
(四)、闭区间上连续函数的性质 四、 定理1 有界性定理 有界性定理)设 上连续,则 定理 (有界性定理 设f(x)在[a,b]上连续 则f(x) 在 上连续 上有界. 在[a,b]上有界 上有界
意 [ 改 ( [ 注 : 若a,b] 成a,b]或a,b),(a,b)结 未 成 . 论 必 立 1 如 : y = 在(0,1] 连续但无界 x
又 f ( 0 ) = 0,
lim f ( x ) = f (0), x →0
由定义2.9知 由定义 知
函数 f ( x )在 x = 0处连续.
3.单侧连续 单侧连续
若函数 f ( x )在( a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .
x →0 x →0
lim f ( x ) = lim( x − 2) = −2 ≠ f ( 0),
x → 0− x →0−
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x = 0处不连续 .
4.连续函数与连续区间 连续函数与连续区间 f(x)在(a,b)内连续 在 内连续: 内连续
∀x 0 ∈ (a, b ), f ( x )在x 0连续
x→ x 0
x 0称为f ( x )的连续点.
与 lim f ( x ) = A定义的区别在于 :
x→x0
x→ x 0
lim f ( x ) = A : (1)f ( x )在x 0可以无定义 . ( 2)A = f ( x 0 )或A ≠ f ( x 0 )
设 ∆x = x − x 0 ,
∆y = f ( x ) − f ( x0 ),
y
y = f (x)
y
∆y ∆y
y = f (x)
0
∆x x0 x 0 + ∆x x
∆x
0
x0
x 0 + ∆x
x
2.连续的定义 连续的定义
定义 2.9 设函数 y = f(x)的定义域为 D, x 0 ∈ D, 若 lim f ( x ) = f ( x 0 ), 则称 f ( x )在 x 0连续 .
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例8 当a取何值时 ,
cos x , x < 0, 函数 f ( x ) = 在 x = 0处连续 . a + x , x ≥ 0, 解 Q f ( 0) = a ,
f (0 − 0) = lim cos x = 1, −
x→0
f (0 + 0) = lim (a + x ) = a , +
x →0
要使 f (0 − 0) = f (0 + 0) = f (0), ⇒ a = 1,
故当且仅当 a = 1时, 函数 f ( x )在 x = 0处连续 . 时
(三)、连续函数的性质 三、
若函数 f ( x ), g( x )在点 x 0处连续 , 则 f ( x ) ± g( x ), f (x) f ( x ) ⋅ g( x ), ( g( x 0 ) ≠ 0)在点 x 0处也连续 . g( x )
f(x)在 区 [a,b]上 续: 闭 间 连
(1)f ( x )在(a, b )连续
( 2) lim f ( x ) = f (a ) + ( 3) lim− f ( x ) = f (b )
x →b x →a
在定义域内连续,则称 为连续函数. 若f(x)在定义域内连续 则称 在定义域内连续 则称f(x)为连续函数 为连续函数 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 定理2.3: 基本初等函数在定义域内都是连续的 基本初等函数在定义域内都是连续的. 定理
性质2.14 性质
数 函 f(x)在x0 处 续⇔f(x0 −0) = f(x0 +0) = f(x0) 连
x + 2, x ≥ 0, 例2 讨论函数 f ( x ) = 在 x = 0处的 x − 2, x < 0, 连续性 .
解 lim f ( x ) = lim( x + 2) = 2= f ( 0), + +
定义: 定义
于 区 I 有 义 函 对 在 间 上 定 的 数f (x), f (x) ≤ f (x0) ( f (x) ≥ f (x0))
果 x 如 有 0 ∈I, 使 对 任 x∈I 都 得 于 一 有 称 则 f (x0)是 数f (x)在 间 上 最 (小值 函 区 I 的 大 ) .
例如, 例如 y = 1 + sin x , 在[0,2π ]上, ymax = 2, ymin = 0;