高等数学单元自测题常微分方程

《高等数学》单元自测题答案

第六章 常微分方程

一、填空题：

1、C x y +=2arcsin ；

2、x x y cos 1sin ln +=

； 3、x x xe C e C y 21+=。 二、选择题：

1、B ； 2 、A ； 3、B 。

三、求下列微分方程的通解：

1、解 分离变量得x

dx y ydy =+sin 1cos ， 两边同时积分 ⎰⎰=+x dx y ydy sin 1cos ，即⎰⎰=++x dx y y d sin 1)1(sin 。 所以，C x y +=+2)sin 1ln(，其中C 是任意常数。

2、解 令x y u =

，则ux y =，dx

du x u dx dy ⋅+=，代入方程得 u e dx du x u u +=⋅+，即 u e dx du x =⋅。 所以，⎰⎰=x dx e du u ，解得1ln C x e u +=--，从而C x e x y

+-=-ln ，其中C 是任意常数。 3、解 方程变形为

2)2(22-=--x x y dx dy ，所以，可得 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-⋅⎰⎰=⎰-----C dx x e

e y dx x dx x 2)21()21()2(2 ])2)[(2()2(22122)2ln(C x x C dx x x e x +--=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-⋅-=⎰-，其中C 是任意常数。 4、解 方程对应的齐次方程为 0='+''y y

特征方程为 02=+r r

解得特征根为 1,021-==r r

所以，齐次方程的通解为x e

C C y -+=211，其中21,C C 为任意常数。 设x e c bx ax y )(2*++=是非齐次方程的特解，则

x e c b x b a ax y )]()2([2*++++='

x e c b a x b a ax y )]22()4([2*+++++="

代入非齐次方程化简得

2

22232)26(2x c b a x b a ax =+++++ 比较系数得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=023202622c b a b a a ，解得 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-==2731c b a ． 所以，x e x x y )2

73(2*+-=． 从而，非齐次方程的通解为x x e x x e C C y )2

73(221+-++=-． 5、解 方程对应的齐次方程为 0=-''y y ．

特征方程为 012=-r ．

解得 11-=r ，12=r ．

所以，齐次方程的通解为x x e C e C y 211+=-，其中21,C C 为任意常数．

设x b x b x a x a y sin )(cos )(1010*+++=是非齐次方程的特解，则

x b a x a x b a x b y sin )(cos )(010100*+--+++='

x a b x b x a b x a y sin )2(cos )2(010100*++--+-="

代入原方程化简得

x x x a b x b x a b x a sin sin )222(cos )222(010100=++--+-

所以，⎩

⎨⎧=---=-+-x a b x b a b x a 0101002220222。 比较系数得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=-=-0221

202202010100a b b a b a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-===0212101

010b b a a 。 所以，)sin (cos 2

1sin 21cos 21*

x x x x x x y +-=--=． 从而，原方程的通解为)sin (cos 2121x x x e C e C y x x +-+=-。

四、应用题：

1、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，求该曲线的方程.

解 由题意知，0)0(=y ，2)0(-='y 。

微分方程052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r , 解得特征根为i r 212,1±= 。

所以，方程的通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=。

又由0)0(=y 得，01=C 。

由2)0(-='y ，且]2sin )2(2cos )2[(1221x C C x C C e y x -++='知，2221-=+C C 。 解得12-=C 。从而可得曲线方程为x e y x 2sin -=.

2、设连续函数)(x y 满足方程⎰+=

x x e dt t y x y 0)()(，求)(x y 。

解 方程两边同时对x 求导： x e x y x y +=')()(，即x e y y =-'。

所以，)(][][)(C x e C dx e e e C dx e e e x y x x x x x dx dx +=+⋅=+⋅⎰⎰=⎰

⎰--。 又因为1)0(=y ，所以1=C . 从而).1()(+=x e x y x