大学数学(高数微积分)第十章线性函数第一节(课堂讲义)
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大学数学(高数微积分)第十章线性函数第三节(课堂讲义)
则有
f ( , ) = XTAY = (CX1)TA(CY1) = X1T(CTAC)Y1 .
而且
不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是 不同的.
反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
对 V 中任意向量 = (1 , 2 , … , n )X 及 = (1 ,
(1)
a11 a21 A a n1
则
a12 a22 an 2
n n
a1n a2 n , ann
f ( X , Y ) aij xi y j .
i 1 j 1
(2)
(1) 或 (2) 实际上是数域 P 上任意 n 维线性空 间 V 上的双线性函数 f ( , ) 的一般形式. 事实上
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
f ( , ) X AY aij xi y j
T i 1 j 1
n
n
定义的函数是 V 上一个双线性函数.
容易计算出
f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵就是 A .
, 是 V 中两个向量
= (1 , 2 , … , n )X = (1 , 2 , … , n ) X1 ， = (1 , 2 , … , n )Y = (1 , 2 , … , n ) Y1 .
那么 X = CX1 , Y = CY1 .
如果双线性函数 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 及1 , 2 , … , n 下的度量矩阵分别为 A , B .
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
高等代数北大版ppt课件.ppt
n
令
f ( ) kiai ,
i 1
kn n
则 f :V P 为线性函数，且
f ( i ) ai , i 1, 2, , n
§10.1 线性函数
例1. 设 a1,a2, ,an P, ( x1, x2,
n
则
f ( ) ai
i 1
是 Pn 到 P的一个线性函数.
, xn ) Pn
解：
f f
( (
1) 2)
f 2
( 3 ) f ( 3
1 )
1
f f
( (
1 2
) )
4 7
f (1) f (2 ) 3
f ( 3 ) 3
所以 f ( x11 x2 2 x3 3 ) 4 x1 7 x2 3 x3 .
§10.1 线性函数
例4. V 是数域 P上的3维线性空间， f 是V上的
x11 x2 2 x3 3 x1a1 x2a2 x3a3 即为V上的线性函数，且 f ( i ) ai , i 1,2, , n
若还有 g 是 V上线性函数使 g( i ) ai , i 1,2, , n,
则 x11 x2 2 x3 3 V , 有
g( ) x1g(1 ) x2 g( 2 ) xn g( n )
f ( ) x2 f ( 2 ) x2 .
§10.1 线性函数
定理1 设V为数域 P上的一个n 维线性空间，
1, 2 , , n为V的一组基， a1,a2 , ,an 为 P中
任意n 个数. 则存在唯一的V上线性函数 f 使
f i ai， i 1,2, ,n.
§10.1 线性函数
证明：映射 f :V P，
x1a1 x2a2 xnan
高等代数(第三版)10.1线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
, an
（2）对于 x11 x2 2
xn n V，
满足上述条件的线性函数为
f ( ) a1 x1 a2 x2
an xn
结论：数域P上的任意n维线性空间上的任 一个线性函数都可表示为
f ( ) a1 x1 a2 x2
一、线性函数 对偶空间 二、双线性函数 辛空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
第一节 线性函数
线性函数的定义 线性函数的性质 结论
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
一、线性函数的概念
设V是数域P上的线性空间，f是V到P的 一个映射，如果f满足
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f (k ) kf ( )
例3、 A是数域P上一个n级矩阵，设
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2 a1n a2 n ann
则A的迹 Tr ( A) a11 a22
ann
是P上全体n级矩阵构成的线性空间上的一 个线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例4、设 V Pnn , A Pnn ,
定义V到P的映射
f ( X ) Tr ( AX ) X P
问f是否是V上的线性函数？
nn
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例5、设V P[ x], T是P中一个取定的数
定义 P[ x]上的函数 Lt 为：
Lt ( p( x)) p(t ), p( x) P[ x]
f (0) 0, f ( ) f ( )
2、 如果 是1，2， ，S
, an
（2）对于 x11 x2 2
xn n V，
满足上述条件的线性函数为
f ( ) a1 x1 a2 x2
an xn
结论：数域P上的任意n维线性空间上的任 一个线性函数都可表示为
f ( ) a1 x1 a2 x2
一、线性函数 对偶空间 二、双线性函数 辛空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
第一节 线性函数
线性函数的定义 线性函数的性质 结论
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
一、线性函数的概念
设V是数域P上的线性空间，f是V到P的 一个映射，如果f满足
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f (k ) kf ( )
例3、 A是数域P上一个n级矩阵，设
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2 a1n a2 n ann
则A的迹 Tr ( A) a11 a22
ann
是P上全体n级矩阵构成的线性空间上的一 个线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例4、设 V Pnn , A Pnn ,
定义V到P的映射
f ( X ) Tr ( AX ) X P
问f是否是V上的线性函数？
nn
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例5、设V P[ x], T是P中一个取定的数
定义 P[ x]上的函数 Lt 为：
Lt ( p( x)) p(t ), p( x) P[ x]
f (0) 0, f ( ) f ( )
2、 如果 是1，2， ，S
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
微积分课件0-1函数
一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素
a∈ M, a∉ M, A = {a1 , a 2 , ⋯ , a n }
有限集
M = { x x所具有的特征 } 无限集
a •
C•
t
M
•
A
B
O
M
x
y = AM − AB
因轮子无滑动
OM = 弧CM = at
所以： 所以：
x = at − a sin t = a (t − sin t ) y = a − a cos t
这条曲线称为旋轮线，又称为摆线。 这条曲线称为旋轮线，又称为摆线。 旋轮线 摆线
4、极坐标系 、
则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 .
y M y=f(x) o -M x 有界 X M y
x0
o -M X 无界
x
2．函数的单调性: ．函数的单调性
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间I ∈ D , 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 < x 2时, 恒有 (1) f ( x1 ) < f ( x 2 ),
D : [−1,1]
D : ( −1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个， 是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数， 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数． 则叫与多值函数．
⋅( x, y)
x
例如， 例如， x + y = a ．
2 2 2
o
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素
a∈ M, a∉ M, A = {a1 , a 2 , ⋯ , a n }
有限集
M = { x x所具有的特征 } 无限集
a •
C•
t
M
•
A
B
O
M
x
y = AM − AB
因轮子无滑动
OM = 弧CM = at
所以： 所以：
x = at − a sin t = a (t − sin t ) y = a − a cos t
这条曲线称为旋轮线，又称为摆线。 这条曲线称为旋轮线，又称为摆线。 旋轮线 摆线
4、极坐标系 、
则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 .
y M y=f(x) o -M x 有界 X M y
x0
o -M X 无界
x
2．函数的单调性: ．函数的单调性
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间I ∈ D , 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 < x 2时, 恒有 (1) f ( x1 ) < f ( x 2 ),
D : [−1,1]
D : ( −1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个， 是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数， 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数． 则叫与多值函数．
⋅( x, y)
x
例如， 例如， x + y = a ．
2 2 2
o
高等数学同济大学第六版1-01-函数课件
x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x
2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他 用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质 变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函 数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。 微积分的研究是以极限的思想为基 本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。 但根本上，微积分这一学说的诞生 的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:
【线性代数】07-线性函数
【线性代数】07-线性函数1. 线性函数1.1 k重线性函数 前⾯讨论了纯代数意义上的线性空间，在实际场景中，我们经常需要处理向量的度量。
度量⼀般表现为向量的函数，⽐如⾏列式可以看成是n个⾏（列）向量的函数，矩阵之积的每⼀个元素其实就是⼀个⾏向量和⼀个列向量的函数。
严格来讲，对域F上的线性空间V，映射V\times\cdots\times V\mapsto F（k个V）叫做线性空间V上的k元函数，⼀般记作f(\xi_i,\cdots,\xi_k)。
如果函数在每⼀个变量\xi_i上都满⾜线性等式（1），它也叫V上的k重线性函数。
由定义容易知道，如果选定V的⼀组基，k重线性函数可以由\xi_1,\cdots,\xi_k分别取遍这组基所唯⼀确定。
特别地，n维线性空间上的k重线性函数由n^k个独⽴变量完全确定。
所有k重线性函数可以组成F上的线性空间，严格定义你可以⾃⼰给出。
f(\cdots,\xi_{i-1},k_1\alpha+k_2\beta,\xi_{i+1},\cdots)=k_1f(\cdots,\xi_{i-1},\alpha,\xi_{i+1},\cdots)+k_2f(\cdots,\xi_{i-1},\beta,\xi_{i+1},\cdots)\tag{1} 前⾯举的⾏列式和⾏列向量乘法显然都是线性函数，观察这两个例⼦，我们发现线性函数还有⼀个性质可以继续讨论，那就是变量\xi_i,\xi_j位置的交换对函数值的影响。
当然我们只讨论最典型的情况，对任何向量，式（2）恒成⽴的函数叫对称线性函数，⽽式（3）恒成⽴的叫反对称线性函数，这两种情况都是⽐较常见的。
容易证明，对称线性函数变量的顺序可以随意改变，⽽不影响函数的值。
f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{2}f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=-f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{3} 反线性函数中，若\xi_i=\xi_j，则有f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=0，继⽽将某个变量的倍数加到另⼀个变量后，函数的值不变。
大学数学高数微积分专题一第1讲集合常用逻辑用语不等式课堂讲解
围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间
的运算．
热点分类突破
(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命 题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q
本
讲 栏
(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
目 开
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
关 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
(B )
解析 (1)通过否定原命题得出结论．
原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
热点分类突破
(2)已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－
1 2
；命题q：
若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是
大学数学高数微积分专题一第1讲 集合常用逻辑用语不等式课堂讲解
第1讲 集合与常用逻辑用语
【高考考情解读】
1．本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含
本 讲
有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等
栏 目
式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在
开 关
一起考查.
2．试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本
D．(－∞，－1]∪(0,1)
热点分类突破
弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．
解析 (1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，
A＝{1,2,3,4,5}，
本
讲 栏
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，
目 开
最新版高等数学教学教案-函数的微分(Word)PPT
x
x
于是 当x0 时 由上式就得到
A lim
x0
y x
f
(x0)
因此 如果函数 f(x)在点 x0 可微 则 f(x)在点 x0 也一定可导 且 Af (x0) 反之 如果 f(x)在点 x0 可导 即
lim
x0
y x
f
(x0)
存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成
y x
f
(x0)
其中0(当x0) 且 Af(x0)是常数 x o(x) 由此又有
讲解方法四
引进实际问题，由研究函数的改变量 y = f（x0+x） f（x0）与自变量改变量 x 之间的关系，计 算函数改变量的大小，引发出微分的根本思想是在局部范围内用线性函数来近似函数的本质.
例如：
计算正方形面积增量
S=2xx + (x)2
计算圆面积增量
S=2 rr + (r)2
计算球体积增量 计算自由落体路程增量
V 4πr 2 r 4πr (r)2 4 π (r)3 3
S gt t g (t)2 2
以上实际问题的增量计算都可以被分解成两部分之和，第一部分是函数关于自变量增量的线性函数，
第二部分是关于自变量增量的高阶无穷小，当自变量的增量很微小时，函数的增量可近似地用第一部分代替.
定义：设 y=f（x）在某区向内有定义，x0 及 x0+x 在这区间内. 如果函数的增量 y = f（x0+x）f（x）
作业布置 《高等数学》标准化作业
导数：derivative；连续性：continuity；连续函数：continuous function ；
斜率：slope ；微分：differential calculus；阶：order ；
线性函数
故
f ( X ) = (a1, a2 ,", an )X
第十章 双线性函数
结论1 只要知道基向量的函数值，则V中任一向量的函数值
就可得到（任一向量的函数值由基向量的函数值唯一确定）。
证明：设 f 是数域F上线性空间ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上的线性函数。
α1,α2 ,",αn 是V的一个基，且
f (αi ) = ai , i = 1, 2,", n
2）若 β = k1α1 + k2α2 + " + knαn ,
则
f (β ) = k1 f (α1 ) + k2 f (α2 ) + " + kn f (αn ) 。
f (k1α1 + k2α2 ) = f (k1α1 ) + f (k2α2 ) = k1 f (α1 ) + k2 f (α2 )
证明：设 f ( X ) 是 F n 上的一个线性函数，对
∀X , Y ∈ F n , k ∈ F , f ( X + Y ) = f ( X ) + f (Y ), f (kX ) = kf ( X )
令
εi = (0,", 0,1, 0,", 0)′, i = 1, 2,", n
则 ε1,ε2 ,",ε n 是 F n 的一个基。
§10.1 线性函数
§10.1 线性函数
一、线性函数的概念 二、线性函数的表示 三、线性函数的运算
第十章 双线性函数
一、线性函数的概念
1、定义 设V是数域F上的一个线性空间， f 是V 到F的一个
映射，如果对 ∀α , β ∈V , k ∈ F , f 满足以下两条： ① f (α + β ) = f (α ) + f (β );
《高等数学(一)微积分》讲义
f −1 : f (D) → D
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
第1 节 函数的微分-线性逼近
）
M
dy y
xx0Fra bibliotekx0 xx
当 x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
四、微分的求法
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d (c ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec xdx
八、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题 导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学. ★ 导数与微分的联系: 可导 可微.
近似计算的基本公式
当 x 很小时,
y
x x0
dy
x x0
f ( x 0 ) x .
常用近似公式 ( x 很小时)
1 (1) 1 x 1 x; ( 2) sin x x ( x为弧度); n ( 3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x; (5) ln(1 x ) x . 1 1 1 n 证明 (1) 设 f ( x ) n 1 x , f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n (0) x 1 x . f ( x ) f ( 0) f n
2 2 2 2 2
2 2
dx 指 (dx ) ; d x表示x的二阶微分；
2 2 2
d ( x 2 )表示 x 2的一阶微分 .
七、近似计算 1、计算函数增量的近似值
y
x x0
dy
x x0
M
dy y
xx0Fra bibliotekx0 xx
当 x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
四、微分的求法
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d (c ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec xdx
八、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题 导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学. ★ 导数与微分的联系: 可导 可微.
近似计算的基本公式
当 x 很小时,
y
x x0
dy
x x0
f ( x 0 ) x .
常用近似公式 ( x 很小时)
1 (1) 1 x 1 x; ( 2) sin x x ( x为弧度); n ( 3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x; (5) ln(1 x ) x . 1 1 1 n 证明 (1) 设 f ( x ) n 1 x , f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n (0) x 1 x . f ( x ) f ( 0) f n
2 2 2 2 2
2 2
dx 指 (dx ) ; d x表示x的二阶微分；
2 2 2
d ( x 2 )表示 x 2的一阶微分 .
七、近似计算 1、计算函数增量的近似值
y
x x0
dy
x x0
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
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二、性质
从定义可推出线性函数的以下简单性质：
性质 1 证明
设 f 是 V 上的线性函数，则
f (0) = 0 , f ( - ) = - f ( ) .
因为
f ( 0 ) = f ( 0 ) = 0 f ( ) = 0 ,
f ( - ) = f ( (- 1) ) = (- 1) f ( ) = - f ( ) .
证毕
本节内容已结束 !! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! ! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 . . , ,! 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 ., 若想结束本堂课 ,.,. 请单击返回按钮 若想结束本堂课 请单击返回按钮 若想结束本堂课. , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮.. 请单击返回按钮
(2)
因此，f ( ) 由 f (1) , f (2 ) , … , f (n) 的值唯一确 定.
定义 V 上一个函数 f :
n n f xi i ai xi . i 1 i 1
这是一个线性函数，并且
f (i) = ai , i = 1 , 2 , … , n .
n n f ( X ) f xi i xi f ( i ) . i 1 i 1
令 ai = f (i ) 则 f (X ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n i=1,2,…,n,
就是上述形式.
例2
A 是数域 P 上一个 n 级矩阵，设
函数 X = (x1 , x2 , … , xn) 是 P n 中的向量，
f (x1 , x2 , … , xn) = a1x1 + a2x2 + … + anxn 就是 P 上的一个线性函数.
(1)
当 a1 = a2 = … = an = 0
时，得 f (X) = 0，称为零函数，我们仍用 0 表示
零函数. 事实上，P n 上的任一线性函数都可表成这种 形式.
令
i = (0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0) ,
第 i个
i=1,2,…,n.
P n 中任一向量 X = (x1 , x2 , … , xn) 可表成
X = x11 +x22 + … + xnn . 设 f 是 P n 上的一个线性函数，则
a11 a21 A a n1
则 A 的迹
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
Tr(A) = a11 + a22 + … + ann 是 P 上全体 n 级矩阵构成的线性空间 P n n 上的 一个线性函数.
V 上任意线性函数， 是 V 中任意向量，且
= x11 +Байду номын сангаас22 + … + xnn .
则
n n f ( ) f xi i xi f ( i ) . i 1 i 1
反之，任给 P 中 n 个数 a1 , a2 , … , an , 用下式
四、基与线性函数
定理 1
设 V 是 P 上一个 n 维线性空间，
1 , 2 , … , n 是 V 的一组基， a1 , a2 , … , an是 P 中
任意 n 个数，存在唯一的 V 上线性函数 f 使 f (n ) = ai , i = 1 , 2 , … , n .
证明
设 1 , 2 , … , n 是 V 的一组基， f 是
第十章
双线性函数与辛空间
读者在读这一章的时候，将会发现它的部分内
容与二次型、欧氏空间及酉空间的部分内容有类似 的地方.
然而这一章的目的就是把这些内容统一到
双线性函数的概念之下来进行讨论. 首先介绍线性空间上的线性函数.
第一节
线性函数
主要内容
定义 性质 举例 基与线性函数
一、定义
定义 1
设 V 是数域 P 上的一个线性空间，f 是 V 到 P 的一个映射，如果 f 满足 1) f ( + ) = f ( ) + f ( ) ; 2) f ( k ) = k f ( ) , 式中 , 是 V 中任意元素，k 是 P 中任意数， 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 则
证毕
性质 2
那么
如果 是 1 , 2 , … , s 的线性组合
= k11 + k22 + … + kss ,
f ( ) = k1 f (1 ) + k2 f (2 ) + … + ks f (s ) .
证明略.
三、举例
例1
设 a1 , a2 , … , an 是 P 中任意数，
例3
设 V = P[ x ]，t 是 P 中一个取定的数.
定义 P[ x ] 上的函数 Lt 为:
Lt ( p ( x ) ) = p ( t ) , p ( x ) P[ x ] , 即 Lt ( p ( x ) ) 为 p ( x ) 在 t 点 的值， Lt ( p ( x ) ) 是 P[ x ] 上的线性函数.