新人教B版必修1高中数学幂函数学案

高中数学 幂函数学案 新人教B 版必修1

一、三维目标：

1．理解幂函数的概念，会画函数x y =，2

x y =，3

x y =，1

-=x y ，2

1x y =的图象.

2．了解幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质，并能进行简单的应用．

3．渗透辨证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分

析的方法分析问题、解决问题的能力。

二、学习重、难点：

重点：1．从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用；

难点：引导学生概括出幂函数的性质；

【自主探究】

（1）反比例函数：

（2）二次函数： y=x 2

（3）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积是S = ，S 是a 的函数。

（4）如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积是V = ，V 是a 的函数。

思考：是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？

【自主探究】

（1）幂函数的定义：

一般地, 叫做幂函数,其中 是自变量, 是

常数.

（2）幂函数与指数函数有什么区别？

（3）请在同一坐标系内作出幂函数x y =，2

x y =，3

x y =，2

1x y =，1-=x y 的图象

（4）函数x y =； 2

3

2

1

1-

归纳幂函数的性质：

1.幂函数y x α=图象过定点 。

2.幂函数y x α=,在第 象限都有图象。我们就先来研究幂函数在第 象限上的性质，函数的奇偶性能够帮助我们完成其他象限的图象。 当0α>时，图象过定点 ,图象在这个象限单调 。 当0α<时，图象过定点 ,图象在这个象限单调 ,

向上

与 轴无限接近,向右与 轴无限接近.

3.当α为奇数时,幂函数奇偶性为 函数,当α为偶数时,幂函数为 函数。

讨论：1.当a 为分数时，幂函数的奇偶性又如何呢？

2,幂函数的图像有哪些规律？

题型一：幂函数概念及性质 例1． 函数

3

22

)1()(-+--=m m

x m m x f 是幂函数，且当），（∞+∈0x 时，)(x f 是增函

数，求)(x f 的解析式。

变式训练：将条件：“f(x)是增函数”改为“f(x)是减函数”，其他条件不变。又如何确定m 的值？

例2.已知幂函数m

x m m y )1(2--=的图像关于原点对称，且在)0,(-∞上是减

函数，求满足3

3

)3()12(m m

a a -<+的a 的取值范围。

变式训练：若本例中的“图象关于原点对称”改为“图象关于y 轴对称”，求a 的取值范围。

题型二：幂函数的定义域、值域 例3：求下列函数的定义域和值域。

（1）3

1x y -

= （2）4

3x y -

=

变式训练：求下列函数定义域：

（1）2

5x y = （2）3

5x y -= （3）5

2x y -=

题型三：利用幂函数图象与性质比较大小： （1）5

.1)1(+a 5

.1a (2) 3

22

)2(-

+a 3

22-

(3) 8

78-- 87)9

1

(- (4) 521.4 328.3- 53

9.1--

(5) 43

)32( 32

)4

3(

练习：

（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 （3）

225

5

2.5 2.7

-

-

与

例5、判下列函数的奇偶性

（1）12132

3

3

2

2

;(2);(3);(4);(5)y x y x y x y x y x --=====

1．下列函数中，哪几个函数是幂函数？

①y =x 7 ②y=2x 2 ③y=2x ④ y=x 2 +2 ⑤ y= —x 3 2．在下列函数中,定义域为R 的是( )

3

512

2. . log x . . A y x B y C y x D y x -====

3．下图为幂函数y x α

=在第一象限的图象，则1234,,,αααα按由小到大的

顺序排列为 。

4.利用单调性判断下列各值的大小：

（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3

（3）22

5

5

2.5 2.7-- 与