高等数学习题详解-第8章二重积分说课讲解

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高等数学(第三版)课件：二重积分的计算

D
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y

8.2 二重积分的计算法

闭区域D用不等式表示
0 ≤ r ≤ ϕ(θ ),α ≤ θ ≤ β
∫∫ f ( x, y)dσ
D
= ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ
= ∫ [∫
α β
D β
箭头：自内向外
ϕ(θ )
0
f (r cosθ , r sinθ )rdr]dθ 逆时针转动
= ∫ dθ ∫
α
ϕ (θ )
o a
b
x
∫∫ f ( x, y)dσ =∫
D
b
a
A( x)dx
2
［Y－型］－
D
ψ1( y) ≤ x ≤ψ2( y), c ≤ y ≤ d
d
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫ [∫ψ ψ = ∫ dy∫ ψ
c d
c
ψ 2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y)dx]dy
f (x, y)dx
2( y)
π
D
−
r ⋅ rdr
2
17
y (2) ∫∫ ( x + y )arctan dxdy, x D D :1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , y = x, y = 0
2 2
y
所围成的位于第Ⅰ象限的部分
积分区域D 图形为: 的
D: 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤
2 2
π
4
π
o
1
2
x
2 y ∴∫∫ ( x + y )arctan dxdy = ∫ 4 dθ ∫ r 2 ⋅ θ ⋅ rdr 0 1 x D
其中函数ϕ1 (θ ),ϕ2 (θ ) [ 在区间α, β ]上连续。

高等数学习题详解-第8章二重积分

习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；(5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰；（2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)22220()aa y dy x y dx -+⎰⎰；(2)21220;xxdx x y dx +⎰⎰解：(1)224422320()248aa y aa a dy x y dx d r dr πππθ-+==⋅=⎰⎰⎰⎰. (2) 22sin 3122244cos 600001sin 3cos x x dx x y dx d r dr d πθπθθθθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰ 532(21)1cos cos 4().3530πθθ--+=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)222DR x y d σ--其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)222DR x y d σ--3cos 2222222022cos 12()230R R d R r rdr R r d ππθππθθθ--=-=--⎰⎰⎰3333221(sin )33R R R d πππθθ-=--=⎰.4. 求由曲面z =x 2+y 2与22z x y =+所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：21222220[()]().6DV x y x y d d r r rdr ππσθ=++=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 2424004(,)(,).xyy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序： (1)d d 10(,)yyy f x y x ⎰⎰;(2)d d 2220(,)a ax x x f x y y -⎰⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1) 211d (,)d d (,)d y x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰.(2) 222222200d (,)d d (,)d aax x aa a y a a y x f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；（2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.(3) 2242402(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰⎰.(4) 211121(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰.2. 计算积分2122x xxdx dy x y +⎰⎰.解：222sin sin 144cos cos 2220000cos cos xxx r dx dy d rdr d dr x y r πθπθθθθθθθ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 40sin ln 24(ln cos )cos 2d ππθθθθ==-=⎰. 3. 计算积分112201yy dy dx x y ++⎰⎰.解：111114cos 4cos cos 2222000sin sin [sin ]111yy r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθθθθθθθθ==-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 44001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d ππθθθθθθ=-⋅=+⎰⎰令cos t θ=,则原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222dt dt t t t t t =+=+=+++ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1⎡⎤⎣⎦上连续，且1()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰. 解：设1'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=⎰，则.11111()()()[(1)()](1)()()(())xdx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-⎰⎰⎰⎰⎰21()111(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--21[(1)(0)]22A A F F =-=. 5. 计算2Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－y 2=1所围成的闭区域.解：11222022(13Dx yd dy ydx y y σ==+⎰⎰⎰⎰35122222011122(1)(1)(1)1)335150y d y y =++=⋅+=⎰. 6. 计算222y xdx e dy ⎰⎰.解：2222222240000211(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-⎰⎰⎰⎰⎰.7. 证明211()()d ()()d 1b x bn n a a adx x y f y y b y f y y n ---=--⎰⎰⎰，其中n 为大于1的正整数. 证：22()()d ()()b x b bn n aaaydx x y f y y dy x y f y dx ---=-⎰⎰⎰⎰11()()1bn b yax y f y dy n -=--⎰11()()d 1bn ab y f y y n -=--⎰。

高等数学课后答案第八章习题详细解答

习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

大学高数下--二重积分的计算课件

D x
解 :原式 2 4 3 3 tad n1 2co d s
A(1, 3) 22
0 法二: 积分区域关于 x 轴对称,
B(1, 3) 22
y关于y为奇函,数 x 原式 0
33
例4写出积分 f(x,y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D{(x,y)| 1xy 1x2,0x1}.
x－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
3、其他情形
1) 如果积分区域 D 可表示为 x－型区域又可表
示为 y－型区域，且 f(x,y)在D 上连续，则有：
D f(x ,y )da b d x 1 2 (( x x ))f(x ,y )d y
2、极点O在D的边界上区域特征如图
()
,
D
0().
o
A
f(co , ssin )dd
D
d 0 ()f(c o ,ss i) n d .
29
二重积分化为二次积分的公式（３）
3、极点O在D的内部区域特征如图
()
D
02, 0(). o
A
f(co , ssin )dd
D
0 2 d 0 ()f(c o ,ss i) n d .
S { x , y ) ( | 0 x R , 0 y R } R 2R
{x0,y0} 显然有 D 1 S D 2
ex2y2 0,
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
25
三、利用极坐标系计算二重积分

【课件】高等数学下册同济大学出版社经管类第2版第八章第三节二重积分的应用

a sind
d
a
d A a2 sin d d
ad

A a2
2
d

sin d
0
0
o

x
y
4 a2
三、物体的质心
设空间有n个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别
为 mk ( k 1, 2, , n ) ,由力学知, 该质点系的质心坐标
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为
V D f (x, y)dxdy
例1. 求曲面
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积 V .
解: 曲面 S1在点
的切平面方程为
z 2x0 x 2 y0 y 1 x02 y02
它与曲面
的交线在 xoy 面上的投影为
(x x0 )2 ( y y0 )2 1 (记所围域为D )
切平面 : 2x 2 y z 1 0
2x 2 y z 1 0
z

x2

y2
Dxy : ( x 1)2 ( y 1)2 1
则v (2 x 2 y 1 x2 y2 )dxdy
D
[1 ( x 1)2 ( y 1)2 ]dxdy ( x1)2 ( y1)2 1
即
A D
1 (z)2 (z)2 d xd y x y
若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
若光滑曲面方程为 y h (z, x) , (z, x) Dz x ,则有
A
1 (y )2 (y )2 d zd x

高等数学习题详解-第8章二重积分[优质文档]

习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； (5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰；（2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)220)ady x y dx +⎰；(2)21;xxdx ⎰⎰解：(1)4422320)248aaa a dy x y dx d r dr πππθ+==⋅=⎰⎰⎰.(2) 2sin 31244cos 600001sin 3cos x x dx d r dr d πθπθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011c o s 111(c o s )[(c o s )(c o s )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰531cos cos 4()3530πθθ--=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)Dσ其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)Dσ3cos 22222022cos 12()230R R d R r d ππθππθθθ--==--⎰⎰⎰ 3333221(s i n )33R R R d πππθθ-=--=⎰. 4. 求由曲面z =x 2+y 2与z =所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：212220()]().6DV x y d d r r rdr ππσθ=+=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 244004(,)(,).yy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序：(1)d d 10(,)yy f x y x ⎰;(2)d d 20(,)a x x y y ⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1)211d (,)d d (,)d x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰.(2) 200d (,)d d (,)d aaa a x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；（2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.。

第八章重积分

第八章二重积分
第12页
5、二重积分的几何应用
（１）计算平面图形的面积
A d dxdy rdrd
D
D
D
（2）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积
V f x, ydxdy
D
嘉兴学院
7 November 2019
第八章二重积分
D
f 2 xg2 y f 2 yg2 xdxdy
D
2 f x f ygxg ydxdy ab f xgxdx 2 .
D
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7 November 2019
第八章二重积分
第26页
例 . 计算二重积分
其中D 为圆周

1]d
a3 ( 22 ).
92
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7 November 2019
第八章二重积分
第18页
例5 求由曲线y x 1 ，x 2，y 2所围成图形面积A.
x
解
法一
A

D
dxdy

2
1
dx
x 2

1 x
dy

ln
2

1 .
2
法二
A

2
1

x

1 x

D
D1
D2
性质４若为D的面积 1 d d .
D
D
性质５若在D上， f ( x, y) g( x, y)
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
特殊地 f ( x, y)d f ( x, y)d .

二重积分说课

《高等数学》〔下〕——说课稿说课教师：方政蕊〔经济与数学系〕各位评委、老师：大家好!我是经济与数学系的数学教师方政蕊,很荣幸能够参加此次的说课活动,希望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见.下面我将就本学期我所担任的《高等数学》这门课程所使用的教材、该课程的地位作用、教学方法的选择、学生学法的指导和教学过程的设计等几个方面来向大家做一简要介绍.一、教材介绍这门课所使用的教材是同济大学出版的面向21世纪普通高等教育规划教材《高等数学》的下册,该教材内容符合教学大纲的要求,知识系统、体系结构清晰、例题丰富、语言通俗易懂,讲解透彻难度适中,在上册一元函数微积分的基础上进一步较系统地介绍多元函数微分学,多元函数积分学,无穷级数和微分方程等高等数学的知识.二、课程介绍1、地位和作用高等数学在当今社会的各个领域都有广泛的应用,因而"高等数学"是理工类本科教学重要基础课之一,通过本课程的教学,旨在使学生掌握该课程的基本概念、基本理论和方法,提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力,为学生继续学习后续相关专业课奠定必要的数学基础.2、教学目标〔1〕、理解多元函数的概念、会求二元函数的偏导数和全微分〔2〕、能将多元函数应用到几何上,会求极值〔3〕、理解多元函数的概念、性质,掌握二重积分的计算方法〔4〕、掌握三重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法〔5〕、理解无穷级数的概念、性质,掌握判别级数收敛性的方法〔6〕、会将函数展开成幂级数或傅里叶级数〔7〕、理解微分方程的概念,掌握求微分方程的解的方法3、教学重点和难点〔1〕、求二元函数的偏导数、极值〔2〕、求二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分〔3〕、无穷级数的收敛性判别、将函数展开成幂级数或傅里叶级数〔4〕、解微分方程二、教学方法科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍,达到教与学的和谐完美统一.数学是本科教学中的重要基础课,是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此,在教学中,不仅要使学生"知其然"而且要使学生"知其所以然".根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,我主要采取教师启发讲授、适当点拨和学生探究学习的教学方法.教学过程中,教师可以系统的传授知识,充分发挥教师的主导作用,根据教材提供的线索,安排适当的教学情境,让学生展示相应的数学思维过程,使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段,引导学生独立自主地开展思维活动,深入探究,在思考中体会数学图象变换过程中所蕴涵的数学方法,使之获得内心感受,特别是通过多媒体课件的演示,直观展示函数图象的变化过程,激发学生的兴趣,从而创造性地解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力,突出学生的主体地位．除使用常规的教学手段外,还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.三、学生学法指导我们常说："授人以鱼不如授人以渔",因而在教学中要特别重视学法的指导.转变学生数学学习方式,不仅有利于提高学生的数学素养,而且有利于促进学生整体学习方式的转变.我以教学大纲和课程标准为指导,辅以多媒体手段,结合师生共同讨论、归纳,着重引导学生学会探索研究的学习方法.探究式学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程,在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识,在探究过程中学习科学研究的方法,在探究过程中培养坚韧不拔的精神.学生掌握了这种学习方法后,对学生终生学习都有积极意义.四、教学过程的设计为完成本门课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程设计为六个阶段：创设情境,引入课题；归纳探索,形成概念；掌握求法,适当延展；适当练习,巩固新课；归纳小结,提高认识；作业布置,巩固提高.具体过程如下：1、创设情境,引入课题在学生原有的知识体系上,通过类比逐步引导学生从一元函数的极限、连续、求导和积分到多元函数的的极限、连续、求导和积分过渡,发现两者之间的内在联系,这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移到陌生的问题情境中.2、归纳探索,形成概念由引例得出新课的知识点,如在讲多元函数积分的概念上,由两个引例求曲顶柱体的体积和平面薄片的质量的讲解,归纳总结出多元函数积分的概念.3、掌握求法,适当延展通过例题的讲解,让学生掌握多元函数微积分的计算方法.在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解,而与时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力.在课本例题的基础上,适当将题目引申,使例题的作用更加突出,有利于学生对知识的串联、累积、加工,从而达到举一反三的效果.4、适当练习,巩固新课针对学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,从而达到拔尖和"减负"的目的,具体做法是课堂提问和让学生到黑板上解题.5、归纳小结,提高认识知识性内容的小结,可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结,可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用,并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标.6、作业布置,巩固提高：根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择"二重积分"的教学方案的设计经济与数学系方政蕊二重积分是《高等数学》下册第六章第一节的内容.在此之前,学生已学习了定积分,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.本节内容在高等数学中,占据着重要地位,以与为其他学科和今后专业课程的学习打下基础.本着课程标准,在吃透教材的基础上,我确立了如下的教学目标、教学重点和教学难点:一、教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分二、教学重点与难点：二重积分的计算三、教学准备：1、教师：查看参考书、编写教案或课件制作2、学生：课前预习四、教学时间：2课时五、教学方案设计为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学环节设计为四个阶段：创设情境,引入课题；归纳探索,形成概念；掌握求法,适当延展；归纳小结,提高认识,具体过程如下：1、创设情境,引入课题长期以来,我们的学生为什么对数学不感兴趣,甚至害怕数学,其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了.事实上,数学学习应该与学生的生活融合起来,从学生的生活经验和已有的知识背景出发,让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学.概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后,才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解,因此在本节的教学中,我从具体的两个实例引出概念：〔1〕、曲顶柱体的体积先用两分钟时间,让学生回忆学习定积分时求曲边梯形面积的方法,再利用类比的方法讲解求曲顶柱体的体积.〔2〕、平面薄片的质量用同样的方法求出平面薄片的质量2、归纳探索,形成概念把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提,也是培养学生观察分析能力的重要一步,以上两个实例可以抽象地给出二重积分的定义,从而引出二重积分的概念.〔1〕、对概念作进一步解释,并与定积分的概念作比较,加深学生的印象,最后强调几个要点.〔2〕、给出二重积分的性质,使学生能更深刻地理解二重积分.3、掌握求法,适当延展〔1〕、直角坐标系下二重积分的求法在讲二重积分的计算前,先让学生回顾定积分的基本公式和计算方法,提问两位学生,得出结论.再重点介绍二重积分的计算方法,对于不同的区域要用不同的积分次序进行积分,详细讲解两种区域的特点,推导出计算二重积分的公式. 〔2〕、讲解例题选择典型而具有代表性的例题3个,一个的积分区域是X-型,一个既是X-型又是Y-型,一个既不是X-型也不是Y-型,使学生掌握不同积分区域的二重积分的计算,并与时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力. 〔3〕、极坐标下二重积分的求法很多学生没有学过极坐标,所以先对极坐标作简单的介绍,再讲解用极坐标求二重积分,通过直角坐标与极坐标的变换得出公式,并强调在什么情况下选择用极坐标求二重积分.〔4〕、讲解例题选择例题2个,一个是既可以用直角坐标计算又可以用极坐标计算,另一个是只能用极坐标计算的例子,经过对比,使学生了解有时用极坐标计算二重积分会减少很多计算量.〔5〕、能力训练为了使学生达到对知识的深化理解,从而达到巩固提高的效果,我特地设计了一组即时训练题,并且把课本的例题熔入即时训练题中,随机抽两位学生到黑板上做课堂练习,再作评讲,使学生能巩固所学知识与解题思想方法.〔6〕、变式延伸,进行重构重视课本例题,适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出,有利于学生对知识的串联、累积、加工,从而达到举一反三的效果.4、归纳小结,提高认识提出问题：这节课你们学到了什么？鼓励学生积极回答,答不完整的没有关系,其它同学补充.以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力.5、布置作业根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择.六、板书设计好的板书就像一份微型教案,此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学生,清晰直观,便于学生理解和记忆,理清文章脉络.我在上这节课时较注重板书的设计,将定义、性质和计算方法写在黑板的左边,例题和讲解写在黑板的右边,特别是有的例题没有马上擦去,保留到下一个例子讲完,这样就可以进行对比.下面附上板书设计与详细教案：第一节二重积分教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分教学重点与难点：二重积分的计算一、二重积分的概念 1. 引例1：曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面),(y x f z =<0),(≥y x f >,称这种立体为曲顶柱体.曲顶柱体的体积V 可以这样来计算:<1>用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ∆,2σ∆, ,n σ∆,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1∆Ω,2∆Ω, ,n ∆Ω. 〔假设i σ∆所对应的小曲顶柱体为i ∆Ω,这里i σ∆既代表第i 个小区域,又表示它的面积值,i ∆Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值〕.从而∑=∆Ω=ni iV 1图9-1-1<2> 由于),(y x f 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大.因此,可以将第i 个小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是i i i i f σηξ∆≈∆Ω),(,)),(i i i σηξ∆∈整个曲顶柱体的体积近似值为<3> 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩.为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,定义 2.引例2：平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在),(y x 处的面密度为),(y x ρ〔0),(>y x ρ〕,现计算该平面薄片的质量M .<1>将D 分成n 个小区域1σ∆,2σ∆, ,n σ∆,i σ∆既代表第i 个小区域又代表它的面积.<2>第i 小平面薄片的质量可近似为图9-1-2 i i i i M σηξρ∆≈∆),(,)),(i i i σηξ∆∈整个平面薄片的质量的近似值为<3>记i λ为i σ∆的直径,},,,max {21n λλλλ =,整个平面薄片的质量定义为综上,两种实际意义完全不同的问题, 都归结同一形式的极限.因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分.3. 二重积分的定义定义设),(y x f 是闭区域D 上的有界函数. <1> 将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆,2σ∆, ,n σ∆其中, i σ∆既表示第i 个小区域,也表示它的面积.<2> 在第i 个小区域i σ∆上任取一点),(i i ηξ,作乘积i i i f σηξ∆),(,),,2,1(n i =,作和<3> 记i λ为i σ∆的直径,},,,max {21n λλλλ =,若极限存在,则称此极限值为函数),(y x f 在区域D 上的二重积分,记作⎰⎰Dd y x f σ),(,即其中: ),(y x f 称为被积函数,σd y x f ),(称为被积表达式,σd 称为面积元素,y x ,称为积分变量,D 称为积分区域,∑=∆ni i i i f 1),(σηξ称为积分和式.4. 几点说明：<1> 极限 ∑=→∆ni i i i f 10),(lim σηξλ的存在性不依赖区域D 的分割,也不依赖),(i i ηξ的取法.<2> 二重积分的存在性定理：若),(y x f 在闭区域D 上连续, 则),(y x f 在D 上的二重积分存在.<3>⎰⎰Dd y x f σ),(中的面积元素σd 象征着积分和式中的i σ∆.由于二重积分的定义中对区域D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D ,因此,可以将σd 记作dxdy <dxdy 为直角坐标系下的面积元素 > 二重积分也可表示成为⎰⎰Dd y x f σ),(. 图9-1-3<4> 若(),0f x y ≥,二重积分表示以),(y x f z =为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积,即二、二重积分的性质 1. 线性性质其中:βα,是常数. 2. 对区域的可加性若区域D 分为两个部分区域1D ,2D 则 3. 若在D 上,1),(≡y x f ,σ表示区域D 的面积,则 4. 若在D 上,),(),(y x y x f ϕ≤,则有不等式特别地,由于|),(|),(|),(|y x f y x f y x f ≤≤-,有 5. 估值不等式设M 与m 分别是),(y x f 在闭区域D 上最大值和最小值,σ是区域D 的面积,则6. 二重积分的中值定理设函数),(y x f 在闭区域D 上连续,σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得证明：由于),(y x f 在闭区域D 上连续,故),(y x f 在闭区域D 上取得其最大值M 和最小值m .由性质5,得显然0≠σ,因此有M d y x f m D ≤≤⎰⎰σσ),(1再由二元函数的介值性质知道,至少存在一点D ∈),(ηξ,使得),(),(1ηξσσf d y x f D=⎰⎰即σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰例1 比较积分⎰⎰+Dd y x σ)ln(与⎰⎰+Dd y x σ2)][ln(,其中D 是三顶点为)0,1(,)1,1(和)0,2(的三角形.例2 估计积分值其中}20,10|),({≤≤≤≤=y x y x D三、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分根据二重积分的几何意义可知, 当0),(≥y x f 时,⎰⎰Dd y x f σ),(的值等于以D为底,以曲面),(y x f z =为顶的曲顶柱体的体积. 在区间],[b a 上任意取定一个点0x , 作平行于yoz 面的平面0x ,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间)](,)([0201x x ϕϕ为底, ),(0y x f z =为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间],[b a 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有这也称为先对y , 后对x 的二次积分,也常记作其中：积分区域D 为})()(,|),({21x y x b x a y x ϕϕ≤≤≤≤.如果积分区域D 为})()(,|),({21y x y d y c y x ψψ≤≤≤≤, 则二重积分也可化为例1 计算σd x I D)1(2⎰⎰-=,其中解：由二重积分的计算方法,得例2 σd y x y I D221-+=⎰⎰,其中D 是由直线x y =、1-=x 和1=y 所围成的闭区域.解：由于积分区域}1,11|),({≤≤≤≤-=y x x y x D ,得例3计算σd xy I D⎰⎰=,其中D 是由抛物线x y =2、2-=x y 所围成的闭区域.解：由与积分区域可表为}2,21|),({2+≤≤≤≤-=y x y y y x D , 用先对x 后对y 的积分次序,得如果用先对y 后对x 的积分次序,积分区域分成两个区域,即因此2、利用极坐标计算二重积分直角坐标),(y x 与极坐标),(θρ的变换关系为θρcos =x ,θρsin =y在极坐标),(θρ下,面积元素为因此有如果积分区域为则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθϕθϕθϕθϕβαρρθρθρθθρρθρθρθρρθρθρd f d d d f d d f D)sin ,cos ( ])sin ,cos ([)sin ,cos ()()()()(2121如果积分区域为则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθϕθϕβαρρθρθρθθρρθρθρθρρθρθρd f d d d f d d f D)sin ,cos ( ])sin ,cos ([)sin ,cos ()(0)(0如果积分区域为则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==πθϕθϕπρρθρθρθθρρθρθρθρρθρθρ20)(0)(020)sin ,cos ( ])sin ,cos ([)sin ,cos (d f d d d f d d f D例4计算⎰⎰--Dy xdxdy e 22,其中D 是中心在原点、半径为a 的圆周围成的区域.解：在极坐标下,D 可表示为πθρ20,0≤≤≤≤a ,因此例5 求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+所截得的〔含在圆柱面内的部分〕立体的体积.解：由对称性其中D 为半圆周22x ax y -=与x 轴所围成的区域,即利用极坐标计算,得作业：P88 P89。

微积分第八章第七节二重积分

求用若干个小平顶柱体
和体积之和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
n
x
D
•
V f (i ,i ) i ，
i
i 1
极
限
曲顶柱体的体积 V lim 0
n
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
3
2.二重积分的定义
设二元函数 z f ( x, y) 是有界闭区域 D 上的有界
函数,若将 D任意分割成 n个小闭区域 1,2,,n,
0
2 x2
2
(1, 3 )
3
y2 2
dy
2
0
f ( x, y)dx
2
x2 y2 4
2
4 y2
o
x
dy
3
0
f ( x, y)dx .
26
利用对称性简化二重积分的计算
设积分区域D关于y 轴对称，
(1) 若f(x,y)关于 x 是奇函数，则有
y y f (x)
f ( x, y)d 0 ;
D
P( x, y)
D4 o
x
(xy cos x sin y)dxdy
D
29
(A) 2 cos x sin y dxdy
(B) 2 xy dxdy
D1
D1
y
(C) 4 ( xy cos x sin y)dxdy (D) 0
D1
D2 D1
解如图将 D 分为四部分 D1, D2 , D3 , D4 ,则: D3
(xy cos x sin y)dxdy
AD
10
二、二重积分的计算 1.在直角坐标系下计算二重积分如果积分区域为D ：1( x) y 2( x), a x b,

高等数学(第二版)课件：二重积分的计算法

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为
D (x, y) | 0 y R2 x2 , 0 x R
如图所示。它的顶是柱面 z R2 x2。于是
V1 R2 x2 d.
D
V1 D
R2 x2 d
R
R2 X 2
0 0
R2 x2 dydx
R 0
d
dy
2 y
f (x, y)dx
c
1 y
D
如果积分区域D是非简单区域，即D的边界与穿过D的内部且平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则可把D分成若干部分，使每个部分都是简单区域。再在每个区域上用前面两个公式来计算。
定理 (富比尼定理)设 f x, y在平面闭区域 D 上连续，
（1）若闭区域 D 可表示为：a x b, 1 x y 2 x ，其中 1(x) 和 2 (x) 在 a,b 上连续，则
且穿过区域D内部平行于 y 轴的直线与D的边界至多交于两点。
2．水平型区域设区域D为由介于上下两条自变量为 y 的单值连续曲线 x 1( y)与 x 2 ( y) 和两条竖直线 y c与y d 之间所构成的，即可表示为
D (x, y) | c y d,1( y) x 2 ( y)
f
cos ,
sin
d d
d
0
f
cos ,
sin
d
D
(3)极点O 在积分区域 D 的内部，如图所示，这时区域 D可表示为
D , | 0 ( ),0 2
f cos, sin dd
D
2
d
f cos , sin d
0
0
由二重积分的性质3可知，闭区域 D 的面积可表示为

高等数学-二重积分的计算PPT课件

二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、无界区域上的反常二重积分
1
一、利用直角坐标计算二重积分
在直角坐标系下用平行于坐 y 标轴的直线网来划分区域D，
则
o
故二重积分可写为
D
x
2
（1）如果积分区域为：［X－型］
y 2( x)
D
y 1( x)
a
b
y 2( x)
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
28
例计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
二、计算广义二重积分
D
(
x
2
d
y2)p
,其中 D
{( x,
y) |
x2
y2
形式的二次积分为
0
0
______________________.
5、将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化
为
极
坐
标
形
式
的
二
次
0
x2
积分为 _______________, 其值为
_______________.
6、 x 2 y 2 2 d =______,其中 D: x 2 y 2 3.

第二节-二重积分的计算市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

即
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x)
b
[
2 ( x) f ( x, y)dy]dx
a 1 ( x)
定理1 设有界闭区域D是一种X型区域
D : a x b, 1( x) y 2( x).
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
在分割后旳三个区域上分别使用积分公式
.
D
D1
D2
D3
D3 D1
D2
例1.求 ( x y)d ,其中D由y x2和y x围成.
D
解: 先画区域D旳图形.
措施1：先对y积分.
y
y=x2
y=x
为拟定累次积分旳上、
下限. 作与y轴同向旳射线, 从下至上穿过D.
0x
x
则y是由下方旳曲线y=x2变到上方旳曲线y=x旳. 里层积分旳下限为x2, 上限为x. 因为该射线变化范围是[0, 1].
1 2x
例3. 求
1
dy
1 sin x dx.
0
yx
解：因为 1 sin x dx 是“积不出”旳，怎么办？
yx 要改换积分顺序. 先画积分区域D旳图形.
由积分体现式知，D： y x 1, 0 y 1
画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1. 如图：
故
原式
=
D
sin x
x
dxdy
所以, 外层积分下限为0, 上限为1. 即
1
x
( x
y)d
dx ( x
0
x2
y)dy
D
x

高等数学课后答案第八章习题详细解答

习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆=.任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

微积分第二版课件第八节二重积分2续

D
D
所以 f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd.
D
D
此式称为二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的
变换公式.
2.极坐标系下化二重积分为二次积分
(1)若极点在区域 D 之外.
D : , r1( ) r r2 ( ), 则有
f (r cos ,r sin )rdrd
解由二重积分几何意义知所求四面体体积为
3
2(1 x )
(6 2x 3y)d 0 dx0 3 (6 2x 3y)dy
D
3 0
(6
2x)
y
3 2
y2
2(1 x ) 3
0
dx
z
3 0
121
x 3
2
61
x 3
2
dx
6
31 0
x 3
2
dx
6.
x
y
例求抛物面 z 4 与x平2 面y2 所围成z 的 0立体体积.
30
o
x
二重积分计算总结：
二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的坐标
系对计算二重积分的计算是至关重要的.
一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环行区域，
而被积函数中含有往比较简便.
的x 2项时y 2,采用极坐标系下计算往
当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，
通常选择在直角坐标系下计算.
二重积分计算过程
三、二重积分在极坐标系下的计算
1.极坐标系下的面积微元
在极坐标系中, 用r=常数和 =常数来分割区域 D.
设是由半径为r 和 r r
r
的两个圆弧与极角等于和

《高等数学》第八章重积分(电子讲稿)

第八章重积分本章和下一章是多元函数积分学的内容．在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限．这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念．本章将介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、性质、计算以及它们的一些应用．第一节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1．曲顶柱体的体积设有一个立体，它的底是xOy 面上的闭区域D （为简便起见，本章以后除特别说明外，都假定平面闭区域和空间闭区域是有界的，且平面闭区域有有限面积，空间闭区域有有限体积），它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面(,)z f x y =，这里(,)0f x y ≥且在D 上连续（图8-1），这种立体叫做曲顶柱体．现在我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V .我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积=底面积×高来定义和计算．关于曲顶柱体，当点(,)x y 在区域D 上变动时，高度(,)f x y 是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算．但如果回忆起第五章中求曲边梯形面积的问题．就不难想到，那里所采用的解决方法，原则上可以用来解决目前的问题．首先，用一组曲线网把D 分成n 个小闭区域12,,,,n σσσ∆∆∆分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体．当这些小闭区域的直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于(,)f x y 连续，对同一个小闭区域来说，(,)f x y 变化很小，这时细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体．我们在每个i σ∆（这小闭区域的面积也记作i σ∆）中任取一点(,)i i ξη，以(,)i i f ξη为高而底为i σ∆的平顶柱体（图8-2）的体积为(,)(1,2,,).i i if i n ξησ∆=这n 个平顶柱体体积之和1(,)niiii f ξησ=∆∑可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值．令n 个小闭区域的(,)i i ξηi∆σO xy图8-3直径中的最大值（记作λ）趋于零，取上述和的极限，所得的极限便自然地定义为所讨论曲顶柱体的体积V ，即1lim (,).ni i i i V f λξησ→==∆∑2. 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D ，它在点(,)x y 处的面密度为(,)x y μ，这里(,)0x y μ>且在D 上连续．现在要计算该薄片的质量M .我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量可以用公式质量=面密度×面积来计算．现在面密度(,)x y μ是变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算．但是前面用来处理曲顶柱体体积问题的方法完全适用于本问题．由于(,)x y μ连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域i σ∆的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片．在i σ∆上任取一点(,)i i ξη，则(,)i i i μξησ∆(1,2,i =,)n可看作第i 个小块的质量的近似值（图8-3）．通过求和、取极限得出01=lim (,).ni i i i M λμξησ→=∆∑上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限．在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限．因此，我们有必要研究这种和的极限的一般形式，抽象出下述二重积分的定义．设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数．将闭区域D 任意分成n 个小闭区域12,,,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积．在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη，作乘积(,)(1,2,,)i i i f i n ξησ∆=，并作和 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑．如果当每个小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(,)d Df x y σ⎰⎰，即1(,)lim (,).ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰ (1)其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)d f x y σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x 与y 叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f ξησ=∆∑叫做积分和．在二重积分的定义中对闭区域D 的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计），其余的小闭区域都是矩形闭区域．设矩形闭区域i σ∆的边长为j x ∆和k y ∆，则i j k x y σ∆=∆⋅∆，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素d σ记作d d x y ，而把二重积分记作(,)d d ,Df x y x y ⎰⎰其中d d x y 叫做直角坐标系中的面积元素．这里我们要指出，当(,)f x y 在闭区域D 上连续时，（1）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数(,)f x y 在D 上的二重积分必定存在．如无特别说明，本章总是假定函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，所以(,)f x y 在D 上的二重积分都是存在的．由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分(,)d ,DV f x y σ=⎰⎰平面薄片的质量是它的面密度(,)x y μ在薄片所占闭区域D 上的二重积分(,)d .DM x y μσ=⎰⎰一般地，如果(,)0f x y ≥，被积函数(,)f x y 可解释为曲顶柱体的顶在点(,)x y 处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果(,)f x y 是负的，曲顶柱体就在xOy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果(,)f x y 在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么，(,)f x y 在D 上的二重积分就等于xOy 面上的曲顶柱体体积减去xOy 面下方的曲顶柱体体积所得之差．二、二重积分的性质比较定积分与二重积分的定义可以想到，二重积分与定积分有类似的性质，现叙述如下：性质1 设αβ、为常数，则[(,)(,)]d (,)d (,)d .DDDf x yg x y f x y g x y αβσασβσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质2 如果闭区域D 被有限条分段光滑曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和．例如分D 为两个闭区域1D 与2D ，则12(,)d (,)d (,)d .DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰该性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．性质3 如果在D 上，(,)1f x y =，σ为D 的面积，则1d d .DDσσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰该性质表明被积函数为1的二重积分在数值上就等于积分区域D 的面积．性质4 如果在D 上，(,)(,)f x y x y ϕ≤，则有(,)d (,)d .DDf x y x y σϕσ≤⎰⎰⎰⎰特殊地，由于(,)(,)(,),f x y f x y f x y -≤≤又有(,)d (,)d .DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰性质5 设M m 、分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有(,)d .Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰上述不等式是对于二重积分估值的不等式．因为(,)m f x y M ≤≤，所以由性质4有d (,)d d ,DDDm f x y M σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰再应用性质1和性质3，便得此估值不等式．性质6 （二重积分的中值定理）设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)d (,).Df x y f σξησ=⎰⎰证显然0σ≠．把性质5中不等式除以σ，得1(,)d .Dm f x y M σσ≤≤⎰⎰这就是说，确定的数值1(,)d Df x y σσ⎰⎰介于函数(,)f x y 的最大值M 与最小值m 之间．根据闭区域上连续函数的介值定理，在D 上至少存在一点(,)ξη使得函数在该点的值与这个确定的数值相等，即1(,)d (,).Df x y f σξησ=⎰⎰所以(,)d (,).Df x y f σξησ=⎰⎰●●例1 设D 是圆环域：2214x y ≤+≤，证明2243πe e d 3πe .xy Dσ+≤≤⎰⎰证在D 上，22(,)e xyf x y +=的最小值e m =，最大值4e M =．而D 的面积()S D =4ππ3π-=．由性质５得2243πe e d 3πe .xy Dσ+≤≤⎰⎰习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系． 3. 利用二重积分定义证明：（1） d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；（2） (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；（3）12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =，1D ，2D 为两个无公共内点的闭区域.4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1） 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成；（2） 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（3） ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三个顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)；（4） ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)35,01}D x y x y =≤≤≤≤.5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(2) 22sin sin d DI x y σ=⎰⎰其中{(,)0π,0π}D x y x y =≤≤≤≤；(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰其中{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤；(4) 22(49)d DI x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.第二节二重积分的计算方法按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，这种方法不是最优方法，有时甚至行不通．为此，本节介绍一种将二重积分化为二次积分（即二次定积分）的计算方法．一、利用直角坐标计算二重积分下面用几何观点来讨论二重积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰的计算问题．在讨论中假定(,)0f x y ≥．设积分区域D 可以用不等式12()(),x y x a x b ϕϕ≤≤≤≤ 来表示（图8-4），其中1()x ϕ，2()x ϕ函数在区间[,]a b 上连续．按照二重积分的几何意义，(,)d d Df x y x y ⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面z =(,)f x y 为顶的曲顶柱体（图8-5）的体积．下面我们应用第五章中计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积．先计算截面面积．为此，在区间[,]a b 上任意取定一点0x ，作平行于yOz 面的平面0x x =．这平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间1020[(),()]x x ϕϕ为底、曲线0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形（图8-5中阴影部分），所以这截面的面积为2010()00()()(,)d .x x A x f x y y ϕϕ=⎰一般地，过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为21()()()(,)d .x x A x f x y y ϕϕ=⎰再计算曲顶柱体的体积．应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为21()()()d [(,)d ]d .bbx aax V A x x f x y y x ϕϕ==⎰⎰⎰这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式21()()(,)d d [(,)d ]d .bx ax Df x y x y f x y y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰（1）上式右端的积分叫做先对y 、后对x 的二次积分，就是说，先把x 看作常数，把(,)f x y 只看作y 的函数，并对y 计算从1()x ϕ到2()x ϕ的定积分；然后把算得的结果(是x 的函数)再对x 计算在区间[,]a b 上的定积分，这个先对y 、后对x 的二次积分也常记作21()()d (,)d .bx ax x f x y y ϕϕ⎰⎰因此，等式(1)也写成21()()(,)d d d (,)d ,bx ax Df x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰⎰⎰（1'）这就是把二重积分化为先对y 、后对x 的二次积分的公式.在上述讨论中，我们假定(,)0f x y ≥，但实际上公式(1)的成立并不受此条件限制. 类似地，如果积分区域D 可以用不等式12()(),y x y c y d ϕϕ≤≤≤≤ 来表示(图8-6)，其中函数1()y ϕ，2()y ϕ在区间[,]c d 上连续，则有21()()(,)d [(,)d ]d .dy cy Df x y f x y x y ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰（2）上式右端的积分叫做先对x 、后对y 的二次积分，这个积分也常记作21()()d (,)d ,dy cy y f x y x ϕϕ⎰⎰因此，等式(2)也可写成21()()(,)d d (,)d ,dy cy Df x y y f x y x ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰（2'）这就是把二重积分化为先对x 、后对y 的二次积分的公式.以后我们称图8-4所示的积分区域为X -型区域，图8-6所示的积分区域为Y -型区域，应用公式(1)时，积分区域必须是X -型区域， X -型区域D 的特点是:穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交不多于两点；而用公式（2）时，积分区域必须是Y -型区域，Y -型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界相交不多于两点．如果积分区域D 如图8-7那样，既有一部分，使穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交多于两点；又有一部分，使穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界相交多于两点，即D 既不是X -型区域，又不是Y -型区域．对于这种情形，我们可以把D 分成几部分，使每个部分是X -型区域或是Y -型区域．例如，在图8-7中，把D 分成三个部分，它们都是X -型区域，从而在这三部分上的二重积分都可应用公式（1）．各部分上的二重积分求得后，根据二重积分的性质2，它们的和就是在D 上的二重积分．如果积分区域D 既是X -型的，又是Y -型的，既可用不等式1()x ϕ≤y ≤2()x ϕ，a ≤x ≤b 表示，又可用不等式1()y ϕ≤x ≤2()y ϕ，c ≤y ≤d 表示(图8-8)，则由公式（1'）及（2'）就得2211()()()()d (,)d d (,)d .bx dy ax cy x f x y y y f x y x ϕϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰（3）上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分(,)d .Df x y σ⎰⎰●●例1 计算积分2d d Dyx y x⎰⎰，其中D 是正方形区域: 1≤x ≤2,0≤y ≤1. 解212222101111d d d d d .24Dy y x y x y x x x x ===⎰⎰⎰⎰⎰y图8-7图8-8y●●例2 计算221d Dy x y σ+-⎰⎰，其中D 是由直线y x =，1x =-和1y =所围成的闭区域．解画出积分区域D （图8-9），若把D 看成X -型，则利用公式（1）得112222131221211311301d d 1d 1[(1)]d 31(||1)d 321(1)d .32xDx y x y x y x y y x y xx xx x σ---+-=+-=-+-=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰若把D 看成Y -型（图8-10），则利用公式（２）得12222111d d 1d ,yDy x y y y x y x σ--+-=+-⎰⎰⎰⎰其中关于x 的积分计算比较麻烦，所以这里用公式（1）计算较为方便． ●●例3 计算d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x=及直线2y x =-所围成的闭区域．解画出积分区域D （如图8-11），若把D 看成Y -型，则利用公式（２）得2222222112251246321d d d d 21[(2)]d 214452.24368y y y Dy x xy y xy x y y y y y y y y y y σ++----⎡⎤==⎢⎥⎣⎦=+-⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰若把D 看成X -型利用公式（1），则由于在区间[0,1]及[1,4]上表示1()x ϕ的式子不同，所以要用经过交点(1,1)-且平行于y 轴的直线1x =把区域D 分成1D 和2D 两部分（图8-12），其中12{(,)|,01},{(,)|2,14}.D x y x y x x D x y x y x x =-≤≤≤≤=-≤≤≤≤因此，根据二重积分的性质2，就有121412d d d d d d d .DD D xxxx xy xy xy x xy y x xy y σσσ--=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由此可见，这里用公式（1）来计算比较麻烦．●●例4 求110sin d d y xy x x⎰⎰.解由不定积分可知，因为sin x dx x ⎰的被积函数sin xx的原函数不能用初等函数表示，因此依题中所给积分次序不能计算出二重积分．对此类问题考虑采用交换积分次序的方法来解决，计算如下：11111000000sin sin sin sin d d d d d d d 1cos1.x x y x x x x y x x y x y x x x x x x ===⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰交换积分次序方法的一般步骤为：（1）先依给定的二次积分限，写出积分区域D 的范围，并依此作出D 的图形；（2）再依区域D 的图形确定出另一种积分次序的积分限．上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序．这时，既要考虑积分区域D 的形状，又要考虑被积函数(,)f x y 的特性. ●●例5 求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为222x y R +=及222x z R +=.利用立体关于坐标平面的对称性，只需算出它在第一卦限部分(图8-13(a ))的体积1V ，然后再乘以8就行了.所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为{}22(,)|0,0,D x y y R x x R =≤≤-≤≤如图8-13(b )所示，它的顶是柱面22z R x =-.于是222222222210222230d d d d 2[]d ()d .3RR x DDRRRxV R x R x x R x yy R x x R -x x R σσ--=-=-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而所求立体的体积为31168.3V V R ==图8-14i θ二、利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量ρ，θ表达比较简单．这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰．按二重积分的定义1(,)d lim (,),niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰ 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式．假定从极点O 出发且穿过闭区域D 内部的射线与D 的边界曲线相交不多于两点．我们用以极点为中心的一族同心圆：ρ=常数，以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D 分成n 个小闭区域（图8-14）．除了包含边界点的一些小闭区域外，其余小闭区域的面积i σ∆可计算如下：22_11()221(2)2()2,i i i i i ii i i i i i i i i i i i σρρθρθρρρθρρρρθρρθ∆=+∆⋅∆-⋅∆=+∆⋅∆⋅∆++∆=⋅∆⋅∆=⋅∆⋅∆其中_i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值，在这小闭区域内取圆周_i ρρ=上的一点__(,)i i ρθ，该点的直角坐标设为(,)i i ξη，则由直角坐标与极坐标之间的关系有__cos i i i ξρθ= ，__sin i i i ηρθ=，于是_____11lim (,)lim (cos ,sin ),nni i i i i i i i i i i i f f λλξησρθρθρρθ→→==∆=⋅∆⋅∆∑∑即(,)d (cos ,sin )d d DD f x y f σρθρθρρθ'=⎰⎰⎰⎰．由于在直角坐标系中(,)d Df x y σ⎰⎰也常记作(,)d d Df x y x y ⎰⎰，所以上式又可写成(,)d d (cos ,sin )d d .DD f x y x y f ρθρθρρθ'=⎰⎰⎰⎰ （4）这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中D '是区域D 径极坐标变换后在极坐标系下的区域，d d ρρθ就是极坐标系中的面积元素．公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标，只要把被积函数中的x ，y 分别换成cos ρθ，sin ρθ，并把直角坐标系中的面积元素d d x y 换成极坐标系中的面积元素d d ρρθ．αβ2()ρϕθ=1()ρϕθ=O()a αβ2()ρϕθ=1()ρϕθ=OD()b 图8-15ρϕθ=()αβOD图8-17图8-16αβ2()ϕθ1()ϕθθEFD O图8-18OD ()ρϕθ=极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算．设积分区域D 可以用不等式12()(),ϕθρϕθαθβ≤≤≤≤ 来表示（图8-15），其中函数1()ϕθ，2()ϕθ在区间[,]αβ上连续．先在区间[,]αβ上任意取定一个θ值，对应这个θ值， D 上的点(图8-16中这些点在线段EF 上)的极径ρ从1()ϕθ变到2()ϕθ．又θ是在[,]αβ上任意取定的，所以θ的变化范围是区间[,]αβ．这样就可以看出，极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为21()()(cos ,sin )d d [(cos ,sin )d ]d .Df f βϕθαϕθρθρθρρθρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰（5）上式也写成21()()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .Df f βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（5'）如果积分区域D 是图8-17所示的曲边扇形，那么可以把它看作图8-15(a )中当1()0ϕθ≡，2()()ϕθϕθ=时的特例．这时闭区域D 可以用不等式0(),ρϕθαθβ≤≤≤≤ 来表示，而公式（5'）成为()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .Df f =⎰⎰⎰⎰βϕθαρθρθρρθθρθρθρρ如果积分区域D 如图8-18所示，极点在D 的内部，则可以把它看作图8-17中当0α=，2πβ=时的特例，这时闭区域D 可以用不等式0≤ρ≤(),0ϕθ≤θ≤2π 来表示，而公式（5'）成为2π()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .Df f ϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰●●例6 计算二重积分22ln(1)d d Dx y x y ++⎰⎰，其中D 是单位圆域：221x y +≤．解采用极坐标222ln(1)d d ln(1)d d ,DDxy x y ρρρθ++=+⎰⎰⎰⎰原点在D 内部，故02πθ≤≤，而01ρ≤≤．故()2π122122100ln(1)d d d ln(1)d π[(1)ln(1)]2d π(2ln 21).Dρρρθθρρρρρρρ+=+=++-=-⎰⎰⎰⎰⎰●●例7 计算22e d d xyDx y --⎰⎰，其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域．解在极坐标系中，闭区域D 可表示为0,02π.a ρθ≤≤≤≤ 由公式（4）及（5）有22222222π02π2π000e d d e d d d e d 11e d (1e )d π(1e ).22ax y DDaa a x y ρρρρρθθρρθθ-------==⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰本题如果用直角坐标计算，由于积分2e d x x -⎰不能用初等函数表示，所以算不出来．现在我们利用上面的结果来计算工程上常用的广义积分20e x dx +∞-⎰．设22212222{(,)|,0,0},{(,)|2,0,0},{(,)|0,0}.D x y x y R x y D x y x y R x y S x y x R y R =+≤≥≥=+≤≥≥=≤≤≤≤ 显然12D S D ⊂⊂（图8-19），由于22e 0x y -->，从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式22222212e d d e d d e d d .xy xy xy D S D x y x y x y ------<<⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （６）因为2222220e d d e d e d (e d ),RRRxy x y x Sx y x y x -----=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰由例７知2221πe d d (1e ),4x y R D x y ---=-⎰⎰ 22222πe d d (1e ),4x y R D x y ---=-⎰⎰ 于是不等式（６）可写成222220ππ(1e )(e d )(1e ).44R R x R x ----<<-⎰令R →+∞，上面两端趋于同一极限π4，从而 2πe d .x x +∞-=⎰ ●●例8 求球体22224x y z a ++≤被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积（图8-20）．解由对称性，22244d d ,DV a x y x y =--⎰⎰其中D 为半圆周22y ax x =-及x 轴所围成的闭区域，在极坐标系中，闭区域D 可用不等式π02cos ,02a ρθθ≤≤≤≤来表示．于是π2cos 222220π3332044d d 4d 4d 3232π2(1sin )d ().3323a DV a a a a θρρρθθρρρθθ=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰习题 8-21. 计算下列二重积分：(1) 22()d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)||| 1,|| 1}D x y x y =；(2) (32)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；(3)323(3)d D xx y y σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；（4） cos()d Dx x y σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域． 2. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1)d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域；图8-20OyxzD2aOθxyaD2cos a ρθ=()b(2) 2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由圆周224xy +=及y 轴所围成的右半闭区域；(3) ed x yD σ+⎰⎰，其中{(,)||||| 1}D x y x y =+；(4)22()d Dxy x σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．3. 化二重积分(,)d DI f x y σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：(1) 由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；(2) 由x 轴及半圆周222(0)x y r y +=≥所围成的闭区域；(3) 由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域；(4) 环形闭区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤． 4. 改换下列二次积分的积分次序：（1） 1d (,)d yy f x y x ⎰⎰ ；(2) 2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰ ；（3） 221101d (,)d y y y f x y x ---⎰⎰；(4)22212d (,)d x x xx f x y y --⎰⎰；（5）eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (6)πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰．5. 计算由四个平面0x =，0y =，1x =，1y =所围成柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体的体积．6. 求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积．7. 画出积分区域，把积分(,)d Df x y σ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：(1) 222{(,)|}(0)x y x y a a +≤>； (2) 22{(,)|2}x y x y x +≤；(3) 2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，其中0a b <<； (4) {(,)|0x y ≤y ≤1,0x -≤x ≤1}． 8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1) 110d (,)d x f x y y ⎰⎰ ； (2)230d (,)d xxx f x y y ⎰⎰；(3)21101d (,)d x xx f x y y --⎰⎰； (4)21d (,)d x x f x y y ⎰⎰．9. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： (1) 222220d ()d aax x x x y y -+⎰⎰； (2)2200d d axx x y y +⎰⎰；(3) 211222d ()d xxx x y y -+⎰⎰ ； (4) 22220d ()d aa y y x y x -+⎰⎰．10. 利用极坐标计算下列各题：(1) 22e d x y Dσ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域；(2) arctan d Dyx σ⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=，221x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限内的闭区域.11. 选用适当的坐标计算下列各题：(1) 22d D x y σ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域；(2) 22221d 1Dx y x yσ--++⎰⎰，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) 22()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3(0)y a a =>所围成的闭区域；(4) 22d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是圆环形闭区域2{(,)|x y a ≤22x y +≤2}b ．12. 求由平面0y =，(0)y kx k =>，0z =以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）．第三节三重积分一、三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.设(,,)f x y z 是空间有界闭区域Ω上的有界函数．将Ω任意分成n 个小闭区域，其12,,,,n v v v ∆∆∆中i v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积，在每个i v ∆上任取一点(,,)i i i ξηζ，作乘积(,,)(1,2,,)i i i i f v i n ξηζ∆=，并作和1(,,)ni i i i i f v ξηζ=∆∑．如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时，这个和的极限总存在，则称此极限为函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上的三重积分，记作(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰，即1(,,)d lim (,,),ni i i i i f x y z v f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ （1）其中d v 叫做体积元素.在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，那么除了包含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域i v ∆为长方体．设长方体小闭区域i v ∆的长、宽、高为i x ∆，i y ∆，i z ∆，则i i i i v x y z ∆=∆∆∆，因此在直角坐标系中，有时也把体积元素d v 记作d d d x y z ，此时也把三重积分记作(,,)d d d ,f x y z x y z Ω⎰⎰⎰其中d d d x y z 叫做直角坐标系中的体积元素.当函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上连续时，（1）式右端的极限必定存在，也就是函数(,,)f x y z在闭区域Ω上的三重积分必定存在．以后我们总假定函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上是连续的．关于二重积分的一些术语，例如被积函数、积分区域等，也可相应地用到三重积分上．三重积分的性质也与本章第一节中所叙述的二重积分的性质类似，这里不再重复了.如果用(,,)f x y z 表示某物体在点(,,)x y z 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，若(,,)f x y z 在Ω上连续，则1(,,)ni i i i i f v ξηζ=∆∑是该物体的质量M 的近似值，当0λ→时，这个和的极限就是该物体的质量M ，所以(,,)d .M f x y z v Ω=⎰⎰⎰如果(,,)1f x y z =时，用V 表示空间闭区域Ω的体积，则1d d .V v v ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、三重积分的计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算.下面在不同的坐标系下分别讨论将三重积分化为三次积分的方法，且只限于叙述方法.1.在直角坐标系中计算三重积分假设平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域Ω的边界曲面相交不多于两点．把闭区域Ω投影到xOy 面上，得一平面闭区域xy D (图8-22)．以xy D 的边界为准线作母线平行于z 轴的柱面．这柱面与曲面S 的交线从S 中分出的上、下部分，它们的方程分别为11:(,),S z z x y =22:(,),S z z x y =其中1(,)z x y 与2(,)z x y 都是xy D 上的连续函数，且12(,)(,)z x y z x y ≤．过xy D 内任一点(,)x y 作平行于z 轴的直线，这直线通过曲面1S 穿入Ω内，然后通过曲面2S 穿出Ω外，穿入点与穿出点的竖坐标分别为1(,)z x y 与2(,)z x y ．在这种情形下，积分区域可表示为{}12(,,)|(,)(,),(,).xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈先将x ，y 看作定值，将(,,)f x y z 只看作z 的函数，在区间12[(,),(,)]z x y z x y 上对z 积分．积分的结果是x ，y 的函数，记为(,)F x y ，即21(,)(,)(,)(,,)d .z x y z x y F x y f x y z z =⎰然后计算(,)F x y 在闭区域xy D 上的二重积分21(,)(,)(,)d [(,,)d ]d .xyxyz x y z x y D D F x y f x y z z σσ=⎰⎰⎰⎰⎰假如闭区域{}12(,)|()(),,xy D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式:2211()(,)()(,)(,,)d d d (,,)d .by x z x y ay x z x y f x y z v x y f x y z z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）公式⑵把三重积分化为先对z 、次对y 、最后对x 的三次积分.如果平行于x 轴或y 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S 相交不多于两点，也可把闭区域Ω投影到yOz 面上或xOz 面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分．如果平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与边界曲面S 的交点多于两个，也可像处理二重积分那样，把Ω分成若干部分，使Ω上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和．●●例1 计算三重积分d d d x x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域．解作闭区域Ω如图8-23所示.将Ω投影到xOy 面上，得投影区域xy D 为三角形闭区域OAB ．直线OA ，OB 及AB 的方程依次为0y =，0x =及21x y +=，所以1{(,)|0,01}.2xy xD x y y x -=≤≤≤≤ 在xy D 内任取一点(,)x y ，过此点作平行于z 轴的直线，该直线通过平面0z =穿入Ω内，然后通过平面12z x y =--穿出Ω外．于是，由公式⑵得1112200011201230d d d d d d d (12)d 11(2)d .448x x yx x x y z x y x zx x x y y x x x x ---Ω-==--=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有时，我们也可以把一个三重积分化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即有下述计算公式．设空间闭区域12{(,,)|(,),},z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤其中z D 是竖标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域(图8-24)，则21(,,)d d (,,)d d .zc c D f x y z v z f x y z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）●●例2 计算三重积分2d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由椭球面2222221x y z a b c ++=所围成的空间闭区域.解空间闭区域Ω可表为222222{(,,)|1,},x y z x y z c z c a b c+≤--≤≤如图8-25所示．由公式（3）得Oxyz (,,)M x y z zρθ()P ρ,θOxyzd θd ρd ρθd zρ图8-27图8-262222324d d d d d d π(1)d π.15zccc c D z z x y z z z x y ab z z abc c --Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2.在柱面坐标系中计算三重积分设(,,)M x y z 为空间内一点，并设点M 在xOy 面上的投影P 的极坐标为(,)ρθ，则这样的数组,,z ρθ就叫做点M 的柱面坐标(图8-26)，这里规定,,z ρθ的变化范围为:0≤ρ,0<+∞≤θ≤2π,.z -∞<<+∞三组坐标面分别为ρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z 轴的半平面； z =常数，即与xOy 面平行的平面.显然，点M 的直角坐标与柱面坐标的关系为cos ,sin ,.x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩（4）现在要把三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰中的积分变量变换为柱面坐标．为此，用三组坐标面ρ=常数，θ=常数，z =常数，把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体．今考虑由,,z ρθ各取得微小增量d ,d ,d z ρθ所成的柱体的体积(图8-27)．这个体积等于高与底面积的乘积．现在高为d z 、底面积在不计高阶无穷小时为d d ρρθ (即极坐标系中的面积元素)，于是得d d d d ,v z ρρθ=这就是柱面坐标系中的体积元素．再注意到关系式⑷，并设经变换后，Ω变为'Ω，得 (,,)d d d (,,)d d d ,f x y z x y z F z z ρθρρθ'ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （5）其中(,,)(cos ,sin ,)F z f z ρθρθρθ=．（５）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式．至于积分变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行．化为三次积分时，积分限是根据,,z ρθ在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明．●●例3 利用柱面坐标计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域.解把闭区域Ω投影到xOy 面上，得半径为2的圆形闭区域{(,)|02,02π}xy D ρθρθ=≤≤≤≤.在xy D 内任取一点(,)ρθ，过该点作平行于z 轴的直线，此直线通过曲面22z x y =+穿入Ω内，然后通过平面4z =穿出Ω外．因此闭区域Ω可用不等式24,02,02πz ρρθ≤≤≤≤≤≤图8-28图8-30来表示．于是22π2422π2426000d d d d d d d d d 11164d (16)d 2π8π.2263z x y z z z z zρρρθθρρθρρρρρΩΩ==⎡⎤=-=⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.在球面坐标系中计算三重积分设(,,)M x y z 为空间内一点，则点M 也可用这样三个有次序的数,,r ϕθ来确定，其中r 为原点O 与点M 间的距离，ϕ为有向线段OM 与z 轴正向所夹的角， θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段OP 的角，这里P 为点M在xOy 面上的投影(图8-28).这样的三个数,,r ϕθ叫做点M 的球面坐标，这里,,r ϕθ的变化范围为0≤r ,0<+∞≤ϕ≤π,0≤θ≤2π,三组坐标面分别为r =常数，即以原点为球心的球面； ϕ=常数，即以原点为顶点、z 轴为轴的圆锥面； θ=常数，即过z 轴的半平面.设点M 在xOy 面上的投影为P ，点P 在x 轴上的投影为A ，则OA x =，AP y =，PM z =.又sin ,cos .OP r z r ϕϕ==因此，点M 的直角坐标与球面坐标的关系为 cos sin cos ,sin sin sin ,cos .x OP r y OP r z r θϕθθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩（6）为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面r =常数，ϕ=常数，θ=常数，把积分区域Ω分成许多小闭区域.考虑由,,r ϕθ各取得微小增量 d ,d ,d r ϕθ所成的六面体的体积(图8-29).不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为d r ϕ ，纬线方向的宽为sin d r ϕθ，向径方向的高为d r ，于是得2d sin d d d ,v r r ϕϕθ=这就是球面坐标系中的体积元素.再注意到关系式（6），并把区域Ω在球坐标系下的区域记为'Ω，就有2(,,)d d d (,,)sin d d d ,f x y z x y z F r rr ϕθϕϕθ'ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （7）其中(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )F r f r r r ϕθϕθϕθϕ=.⑺式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式. 要计算积分变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化r 、对ϕ及对θ的三次积分.若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，球面坐标方程为(,)r r ϕθ=，则。

大学课件高等数学下学期8-2二重积分的计算

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例设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
y
xR
解 z R2 x2 y2 是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
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二、在直角坐标系下计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
1
y
dx 1
2
(x
x3 )dx
9.
1
4
x
14/46
例1 求
双曲线xyD
xy122围d成,的其闭中区 D是域由. 直线xy
2,
y
x和
y x
解2 将D看成Y型区域
D2 x 1
1
1
xy D11
D1 : 2 y 1, y x 2 O
x 第
D2 : 1 y 2, y x 2
一种
D1
26/46
记 I=
xy cos x sin ydxdy (1,1)
y
(1,1)
D
D2 D1
则I= I1+ I2, 其中
D3
D4 O
x
I1= xydxdy
(1,1)
D
I2= cos x sin ydxdy
D
D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称
而 I1 = xydxdy xydxdy xydxdy
D
D
a
1 ( xa)
b
(
2( x)
f ( x, y)dy)dx
a 1 ( x)
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