Schwarz不等式及其在数学分析中的应用

柯西施瓦茨不等式数学归纳法

柯西施瓦茨不等式数学归纳法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：柯西施瓦茨不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在许多领域中都有着广泛的应用。

柯西施瓦茨不等式是由法国数学家柯西（Augustin Louis Cauchy）和瑞士数学家施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz）分别独立提出的，后来被称为柯西施瓦茨不等式。

这个不等式可以用来描述内积空间中的向量之间的关系，也可以用来证明各种数学问题。

柯西施瓦茨不等式的数学表达式如下：\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)a和b都是n维向量，\sum_{i=1}^{n} a_i b_i是向量a和b的内积，\sum_{i=1}^{n} a_i^2和\sum_{i=1}^{n} b_i^2分别是向量a和b的范数的平方。

柯西施瓦茨不等式的几何意义是，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的范数的乘积。

这个不等式可以用来证明一系列的数学问题，例如在线性代数、实分析、概率论等领域中经常会用到。

下面我们将通过数学归纳法来证明柯西施瓦茨不等式。

我们来看一下当n=2时的情况。

假设有两个向量a和b，它们的分量分别为a=(a_1,a_2)，b=(b_1,b_2)。

根据柯西施瓦茨不等式的定义，我们有：(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)展开计算可得：这就证明了当n=2时，柯西施瓦茨不等式成立。

假设当n=k时柯西施瓦茨不等式成立，即对于任意k维向量a=(a_1,a_2,...,a_k)和b=(b_1,b_2,...,b_k)，有：假设有两个k+1维向量a=(a_1,a_2,...,a_{k+1})和b=(b_1,b_2,...,b_{k+1})。

(完整版)各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1. 预备知识 (1)2.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 (2)2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式 (2)2.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广 (4)2.3 Holder积分不等式 (5)2.4 Minkowski积分不等式 (9)3. 实例应用 (10)3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例 (10)3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用 (12)3.3 Holder积分不等式的应用 (12)3.4 运用Minkowski积分不得不等式证明范数 (13)4. 结束语 (13)参考文献 (14)各种Schwarz 积分不等式的归纳及其应用举例学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学指导老师：职称：摘要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz 积分不等式，然后对其进行证明，并举例说明它在一些实际问题中的应用.关键词：Cauchy-Schwarz 积分不等式；行列式；Holder 积分不等式；Minkowski 积分不等式The examples of application and induction on some forms ofSchwarz integration inequalitiesAbstract ：This paper will enumerate and then prove some forms of Schwarz integration inequality, thereby illustrate its implementation in practical problems.Key words ：Cauchy-Schwarz integral inequality; D eterminant; Holder integral inequality; Minkowski integral inequality前言本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz 积分不等式，首先我们给出了Schwarz 积分不等式的一般形式、Schwarz 积分不等式的形式推广和Schwarz 积分不等式最出名的推广就是Holder 积分不等式以及Minkowski 积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.1. 预备知识定理1.1 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为实数，则222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (1)等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =.这是最常见的Cauchy 不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家grange . Cauc-hy 不等式可以推广至复数. 如何推广呢? 不等式只在实数时才有意义，对于复数自然的选择其长度. 对任意复数z x iy =+，其长度z =(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.定理1.2 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为复数, 则222111nn ni ii i i i i a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (2) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ为复数.定理1.3 (Cauchy 不等式)[3]已知i a ,i b ∈C ,则112222,111i j i j i j i j a b a b ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (3) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ∈C .如果21i i a ∞=<∞∑、21i i b ∞=<∞∑，则1i ii a b∞=<∞∑.从Cauchy 不等式的角度而言，无穷数列{}1i i a ∞=的平方和收敛，21i i a ∞=<∞∑，是很自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为2l 空间. 这是n 维实数空间n R 最自然的推广，它是一个Hilbert 空间，最重要的应用就是量子力学.在数学中尤其是分析学的思考过程通常是有限和⇔无穷级数⇔积分 (4)因此想当然Cauchy 不等式是可以推广至积分.2. Cauchy-Schwarz 积分不等式及其推广2.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式定理2.1.1 (Cauchy-Schwarz 积分不等式)[1]已知()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (5)证明（法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我们也从级数开始，设[],a b 上有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=，i =1,2,…,n. i b an-∆=，记{}12,,,n T =∆∆∆. 这些分点构成对[],a b 的一个分割.在每个小区间i ∆上任取一点i ξ，作以()()i i f g ξξ为高，i ∆为底的小矩形.因为()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()f x ,()g x 均在[],a b 上可积，有222111()()()()nn n i i i i i i i b a b a b a f g f g n n n ξξξξ===---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，两边求极限，()2201lim ()()()()nbi i aT i b a f g f x g x dx n ξξ→=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，2222011lim ()()()()n n b i i a T i i b a b a f g f x g x dx n n ξξ→==--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰，则()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.因为[]()2222()()()2()()()bb b ba a a a xf t g t dt f t dt x f t g t dt x g t dt ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰，可视为x 的二次方程式，由于[]2()()0b axf t g t dt +≥⎰，而且2()0b a f t dt ≥⎰,所以上式表示的是开口向上而且在轴x 上方的抛物线，由于和x 轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.判别式()()()2224()()4()()0bbbaaaf tg t dtf t dtg t dt ∆=-≤⎰⎰⎰，整理得()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法三:半正定)注意到关于1t ，2t 的二次型[]22222121122()()()2()()()bbbbaaaat f x t g x dx t f x dx t t f x g x dx t g x dx +=++⎰⎰⎰⎰为非负二次型，从而系数行列式()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰=2()baf x dx⎰2()bag x dx ⎰-()2()()0baf xg x dx≥⎰，即()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证.从实变函数论的角度而言，我们仅需要求()f x 、()g x 是平方可积分函数([]2,L a b )则Cauchy-Schwarz 积分不等式仍然成立. 其空间关系可对照前一式(4):222R l L ⇔⇔. (6)2.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式上的推广根据上面的Cauchy-Schwarz 积分不等式()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰0≥ .以这种形式给出的好处在于形式便于推广.定理2.2.1 (Schwarz 积分不等式形式推广)[2]设()f x ，()g x ，()h x 均在[],a b 上可积，则有()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (7) 证明注意到关于1t ，2t ，3t 的二次型[]2123()()()bat f x t g x t h x dx ++⎰222222123()()()b b baaat t f x dx t t g x dx t t h x dx=++⎰⎰⎰1213232()()2()()2()()b b baaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++⎰⎰⎰为非负二次型，从而其系数行列式()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dx f x g x dx g x g x dx h x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证. 2.3 Holder 积分不等式定理2.3.1 (Holder 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为任意复数，且p ，q 1≥，111p q+=，则 11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (8) 证明令11ii n pp i i a a a ==⎛⎫⎪⎝⎭∑ ， 11ii n qq i i b b b ==⎛⎫⎪⎝⎭∑，利用几何平均不等式①，得到11p qi i i i a b a b p q≤+，或1111111111p q i ii i n nn n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b ====≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，取有限和，得11111111111111nnnpq i iii i i i n n n n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b =======≤+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑，因此可得11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 注 ①几何平均不等式2211()22a b ab a b ≤+⇔≤+.当2p q ==时就是Cauchy-Schwarz 不等式.Holder 不等式对n =∞也成立.另外最著名的就是积分不等式.定理2.3.2 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知()f x ，()g x [],C a b ∈，111p q+=，且p ，q 1≥则()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰. (9)或更一般的形式定理2.3.3 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知1()f x ，2()f x ，…，()n f x [],C a b ∈，且1211p p ++ (1)p =1，1i p ≥ 则 ()()()12121111212()()()()()()nnbbbbpp p p p p n n aaaaf x f x f x dx f x dxf x dxf x dx≤⎰⎰⎰⎰. (10)证明 (定理2.3.2) 设()f x ，()g x [],C a b ∈，则当()0f x ≡或()0g x ≡时，上式(10)显然成立.令 i b ax a ia i x n-=+=+∆， (0,1,,i n =)则由Holder 不等式(9)可知11111()()()()n n npqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式两边同时乘以1n ，有1111111()()()()n nnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式右端=11111()()nnpqp q i i i i n f x g x -==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=111111()()nnpqp q p q i i i i nf xg x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ =1111()()nnpqp q i i i i f x g x n n ==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，于是11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑可转化为 11111()()()()nnnpqp q iii i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，而b a x n -∆=，故b an x-=∆，将n 代入11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，得 11111()()()()n nnpqp q i i i i i i i x x x f x g x f x g x b a b a b a ===∆∆∆⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑，即11111111()()()()n n npqp qi i i i i i i f x g x x f x x g x x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤∆∆ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，对上式两端取极限，当n →∞时，0x ∆→，得()()1111()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx b a b a≤--⎰⎰⎰，化简上式，即得()()11()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，又由 ()()()()bb aaf xg x dx f x g x dx ≤⎰⎰，故()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰，从而定理2.3.2得证.定理2.3.4 (pL 上的Holder 积分不等式)[5]设1p >，111p q+=,()[,]p f x L a b ∈，()[,]p g x L a b ∈，那么()()f x g x 在[,]a b 上L 可积，并且成立()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (11)证明首先证明当1p >，111p q +=时，对任何正数A 及B ，有11p q A BA B p q≤+.(12)事实上，作辅助函数 ()x x x αϕα=-(0)x <<∞，01α<<，则 '1()(1)x x αϕα-=-，所以在(0,1)上'()0x ϕ>，在(1,)∞上'()0x ϕ<，因而(1)ϕ是函数()x ϕ在(0,)∞上的最大值，即 ()(1)1x ϕϕα≤=-，(0,)x ∈∞. 由此可得(1)x x ααα≤+-，(0,)x ∈∞.令 Ax B =，代入上面不等式，那么 (1)A A B B αααα≤+-.两边乘以B ，得到 1(1)A A B Bαααα-≤+- .令1p α=，则 11q α-=，于是上式成为 11p q A B A B p q≤+.如果()1()0bppaf x dx=⎰或()1()0bqqag x dx=⎰，则()0f x =..a e 于[,]a b 或 ()0g x =..a e 于[,]ab ，这时不等式(11)自然成立，所以不妨设()1()0bppaf x dx>⎰，()1()0bqqag x dx>⎰.作函数 ()1()()()bppaf x x f x dxϕ=⎰， ()1()()()bqqag x x g x dxψ=⎰.令()pA x ϕ= ， ()qB x ψ=，代入不等式(12)，得到()()()()pqx x x x pqϕψϕψ≤+. (13)由(13)立即可知()()x x ϕψ在[,]a b 上L 可积，由此可知)(()f x g x 也L 可积，对(13)的两边积分，得到 ()()()()1pqbbba aax x x x dx dx dx pqϕψϕψ≤+=⎰⎰⎰.因此()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，证毕.2.4 Minkowski 积分不等式定理2.4.1 ([,]pL a b 上的Minkowski 积分不等式)[5]设1p ≥，()f x , ()g x ∈[,]p L a b ，那么()()[,]p f x g x L a b +∈，并且成立不等式111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. (14) 证明当1p =时，因()()()()f x g x f x g x ≤+，由积分性质可知不等式(14)自然成立.如果1p >，因为(),()[,]pf xg x L a b ∈，所以()()[,]p q qf xg x L a b ∈，由Holder 积分不等式，有()11()()()()()()pppbbbpqqaa af x f xg x dx f x dx f x g x dx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，类似对()g x 也有()11()()()()()()pqqbbbpqqaa ag x f x g x dx g x dx f x g x dx⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，因而 1()()()()()()pbbp aaf xg x dx f x g x f x g x dx -=⎰⎰()()()()()()p pbbqqaaf x f xg x dx g x f x g x dx ≤+⎰⎰()111()()()()p q p q b b bpqa a af x dxg x dx f x g x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰(15)若()()0bpa f x g x dx =⎰，则()1()()bppaf xg x dx⎰，(14)式显然成立，若()()0bpaf xg x dx ≠⎰，则在(15)式两边除以()1()()b pqaf xg x dx ⎰，得到()1111()()()()ppppbb b pqaa a f x g x f x dx g x dx -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 由111p q+=，得到 111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰，证毕.无论是Holder 积分不等式，还是Minkowski 积分不等式，当2p q ==时，就是Cauc- hy- Schwarz 积分不等式.上面我们从空间R 和p L 空间上说明Holder 积分不等式和Min- kowski 积分不等式，对于p l 空间也有类似的Holder 积分不等式和Minkowski 积分不等式，11111pqpqi i i i i i i ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， (Holder 积分不等式)其中1p >，111p q+=，()123,,,p l ξξξ∈，()123,,,q l ηηη∈.pp p x yx y +≤+， (Minkowski 积分不等式)其中1p ≥，()123,,,x ξξξ=，()123,,,p y l ηηη=∈，11ppip i x ξ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11qq i pi y η∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.由此可知p l 按范数p x 成赋范线性空间.3. 实例应用3.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式的实例例1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥，()1b a f x dx =⎰. 证明:k R ∀>，有()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰.证明因为()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积，有()()22()cos baaf x kxdxkxdx =⎰⎰，()()22()()cos ()cos bb b aa af x dxf x kxdx f x kxdx =⎰⎰⎰，因为Cauchy-Schwarz 积分不等式，有()()()22()()cos bbaaakxdxf x dxf x kxdx ≤⎰⎰⎰，从而()22()cos ()cos bbaa f x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，同理()22()sin ()sin bbaaf x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，()()2222()cos ()sin ()(cos sin )1bb baaaf x kxdx f x kxdxf x kx kx dx +≤+=⎰⎰⎰.例2. 设()f x 在[]0,a 上连续可导，(0)0g =,证明:20()()()2a a a g x g x dx g x dx ≤⎰⎰′′. 等号成立()g x cx ⇔=(c 为常数).证明设0()()xf xg t dt =⎰′，()()f x g t =′′，(0)0f =，因为()()(0)()()()xxg x g x g g t dt g t dt f x =-=≤=⎰⎰′′，()2222()()1()()()()1()()2222aaaa af x f a ag x g x dx f x f x dx g x dxg x dx ≤===⋅≤⎰⎰⎰⎰′′′′，当()g x cx =时，左边=2222aa c c xdx =⎰，右边=222022a a a c c dx =⎰，则左边=右边.由Schwarz 积分不等式，()g x c =′，[]0,x a ∈()g x c =′或()g x c =-′，0()()x xg t dt cdt g x cx =⇒=⎰⎰′. 3.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式推广的运用例3.[4]设()f x ，()g x 均在[],a b 上可积且满足: 1) ()0f x m ≥>， 2) ()0ba g x dx =⎰，则有:22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明利用(7)，取()1h x =，并注意到()0bag x dx =⎰，则()()()()()()()()()()0bbba a abbaabaf x f x dx f xg x dx f x dx f x g x dxg x g x dxo f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222()()()()()()()()bbbbbaaa aa b a f x dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx ⎡⎤⎡⎤=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰0≥，由此得到:222221()()()()()()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx f x dx g x dx b a ⎡⎤⎡⎤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰，注意到定理中的条件1): ()0f x m ≥>,于是22()()baf x dx m b a ≥-⎰，从而22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 3.3 Holder 积分不等式的应用例4. 设()f x ，()g x 为区间[],a b 上的可积函数，m N ∈，则:()()11()()()()m b m ba mm ab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰.证明把区间[],a b 分成n 等分，每个小区间长为x ∆，在每个小区间上取一点i ξ，则有11111()()()()nm m i ni i n m mi i ii f xf xg g xξξξξ++===∆∆≥∆∑∑∑因为()f x ，()g x 可积所以上式0x ∆→两端取极限，由极限保号性和黎曼积分定义有()()11()()()()m b m ba mmab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰结论得证.3.4 运用Minkowski 积分不等式证明范数例5.[5]当1p ≥时，证明[,]p L a b 按1()()ppbpa f x f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰定义中的范数()p f x 成为赋范线性空间.证明由 1()()0ppb pa f x f x dx ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭⎰，且()0f x =等价于()0f x =， ()()pp f x f x αα=，其中α为任意实(复)数.又由 Minkowski 积分不等式，当1p ≥时，对任何(),()[,]p f x g x L a b ∈，有 1()()()()ppb pa f x g x f x g x dx ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰11()()ppppb b a a f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()p p f x g x =+，所以[,]p L a b 按()p f x 成为赋范线性空间.4. 结束语本文主要给出了各种类型的Schwarz积分不等式，首先我们给出了的最基本Schwarz积分不等式，也就是最常见的Schwarz积分不等式；其次将Schwarz积分不等式进行一般形式推广；然后给出Schwarz积分不等式最出名的推广Holder积分不等式；最后给出Minkowski积分不等式.每一种Schwarz积分不等式都给出了相应的新的证明方法并给出一些实例加以说明.参考文献:【1】华东师范大学数学系编，数学分析上册(第三版)[M].高等教育出版社，2001.6.【2】匡继昌，常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989.【3】林琦焜，Cauchy-Schwarz不等式之本质和意义[J].数学传播，1995，24(1)：p26-42.【4】张小平, 解析不等式[M].北京:科学出版社，1987.【5】程其襄魏国强等编，实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].高等教育出版社，2003.7.。

schwartz不等式及其应用

schwartz不等式及其应用
schwartz不等式（Schwartz Inequality）是由俄国数学家Laurent Schwartz于1951年提出的一个基本数学不等式，也叫Cauchy-Schwartz不等式或Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz不等式。

它将一个多元积分以及一些高等数学中的有关空间的重要概念联系在一起，在微积分、几何、线性代数等许多领域都有重要的应用，因此被称为“数学家的宝石”。

Schwartz不等式的数学表述如下：
设$\left\{\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2},
\ldots, \mathbf{a}_{n}\right\}$为$R^n$上的一组向量，则有
$\left|\sum_{i=1}^{n}\mathbf{a}_{i} \cdot
\mathbf{a}_{i}\right|
\leqslant\left(\sum_{i=1}^{n}\left|\mathbf{a}_{i}\r ight|^{2}\right)^{1 /
2}\left(\sum_{i=1}^{n}\left|\mathbf{a}_{i}\right|^{ 2}\right)^{1 / 2}$
其中$\mathbf{a}_{i} \cdot \mathbf{a}_{i}$表示内积。

Schwartz不等式在几何、线性代数、复数论、Fourier分析等领域都有广泛的应用。

在几何中，它可以用来证明贝尔定理；在线性代数中，它可以用来证明正交矩阵的特殊性质；在复数论中，它可以用来证明欧拉定理等。

此外，Schwartz不等式还可以用来证明雅可比积分的相对定理和Hodge定理，以及Stokes定理等重要定理。

柯西施瓦茨不等式

柯西施瓦茨不等式的应用及推广作者：查敏指导老师:蔡改香摘要本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用，并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题，反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特别是在概率统计中的广泛应用.关键词 Cauchy-Schwarz 不等式 Minkowski 不等式 Holder 不等式 Hermite 阵1引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决，这个不等式结构和谐，无论代数、几何，都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用，对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 在实数域中的Cauchy 不等式命题1 设,(1,2,,)i i a b R i n ∈=，则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤⋅∑∑∑ （1）其中当且仅当,(1,2,,)i i b ka i n ==（k 为常数）等号成立.证明由21()()0,,niii f x xa b x R ==+≥∀∈∑则222111)(2)0n n nii i i i i i a x a b x b ===-+≥∑∑∑（由于x R ∀∈,因此上述不等式的判别式大于零，即：2221114()4)()0n n ni i ii i i i a b a b ===-≤∑∑∑（易得（1）式成立.例1 设(1,2,...,),i a R i n +∈=求证21212111()(++n na a a n a a a ++++≥）证明由不等式左边的形式，很容易想到柯西不等式解之1212111)(+)n n a a a a a a +++++（22222212222+][(+)]()()()(111)nnnaa a aan=++⋅++≥++⨯=+++=（）柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛，而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski不等式定理1任意的2n个实数1212,,,,,,,n na a ab b b，有()111222222111n n ni i i ii i ia b a b===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑（2）事实上，由（1）得()22211112n n n ni i i i i ii i i ia b a a b b====+=++∑∑∑∑11111222222222221111112=n n n n n ni i i i i ii i i i i ia ab b a b======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑这就证明了（2）.将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.定理2 对任意的非负数(),1,2,,i ia b i n=有11111()()n n np qp qi i i ii i ia b a b===≤⋅∑∑∑其中,p q R+∈，满足111p q+=且1p>.证明由杨格不等式p qa pb ab+≥，其中,0a b≥且111p q+=得111111111111111()()(())1111()()1nn n n n n p q p q pq q p i ii i i i i i i i i i i i p q n n n p q p q i i i i i i i a ba b a a b b a a b b p q p q =========⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑赫尔德不等式中，当2,2p q ==时为柯西施瓦茨不等式，若将n →∞则可导出相应的无穷不等式.由定理2可将定理1的幂指数进行扩充定理3 若对任意的非负实数,i i a b ，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则()111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 证明()()()-1=p p i i i i i i a b a b a b ++⋅+()()()()==+pqi i i i p pq q i i i i i i a b a b a a b b a b +⋅+⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由杨格不等式()()()111nnnpp pqqiii i i i i i i i i a b a a b b a b ===+≤⋅++⋅+∑∑∑()111111n n n p p q p p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+⋅+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑∑ 化简即得所要证得的不等式.还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式：推论1 若对任意非负实数,i i a b ，有11,nnii i i ab ==<∞<∞∑∑，则11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑下面将上命题1进行推广：引理1 （算术-几何平均值不等式）设12,,,n a a a 为个n 正数，则11ni i a n =≥∑等号成立的充要条件为12n a a a ===.引理2 设{}{}1212,,,,,,,,nnx x x y y y V k R αβ∀==∈∈,作定义：{}{}(){}1122121122,,,,,,,,,,,,n nnn nx y x y x y k kx kx kx x y x y x y αβααβ+=+++==，则在V 中定义了的加法、数乘、内积作成R 上的线性空间一定构成欧几里得空间，简称欧氏空间 (在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义).推论2 设,,,,(1,2,)i i i x y z i n =是m 组实数，则有1111()()()()nn nnmm m m i ii iii i i i i x y z x y z ====⋅⋅≤∑∑∑∑ （2）等号成立的充要条件为111222::::=::n n n x y z x y z x y z ==.证明为方便起见，不妨设1,nm mxi i S x ==∑ 1,,nm myi i S y ==∑1,nm m zi i S z ==∑,ii xx a S =,,i i y y b S =,(1,2,)ii zz c i n S ==从而由引理1有i i i x y z i i i x y z S S S a b c ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅m m mi i i x y z a b c S S S m+++≤⋅⋅⋅对上式进行n 的累次求和，可得11()mnm m m i ii x y z i i i ii x y z S S S a b c m =⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑即1111()mn nnmmm i ii x y z i i i ii i i x y z S S S a b c m===⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑∑∑ （4）由于111()1nminnmm i i im i i x xxx aS S ======∑∑∑ 同理11nmii b==∑，11n m i i c ==∑这样（4）式为mi ii x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑再两边m 同时次幂，得()mm m m m i i i x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑故证得（3）式成立.注1 在命题1中，除,,(1,2,,)i i i i x a y b i n ===，其余均为1，且2m =，则不等式（3）就是不等式（1）的推广.推论3 （将命题1推广为无限和不等式）设,,,,i i i x y z R i N ∈∈且1m ii x∞=<∞∑，1m i i y ∞=<∞∑，1,m i i z ∞=<∞∑，则1111()()()()mm m m i i i iii i i i i x y z x y z ∞∞∞∞====⋅⋅≤∑∑∑∑（证明过程可仿推论2的证法并结合引理2）.3 微积分中的Cauchy-Schwarz 不等式命题2 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ （5）证明类似命题1可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:因为(),()f x g x 在[],a b 上可积，则由定积分的性质22,,f g fg 均在上[],a b 上可积，对区间[],a b 进行n 等分，分点为+,0,1,2,,i b ax a i i n n-==.由定积分的定义，有1()()lim ()()bni i n i a b af xg x dx f x g x n→∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i a b af x dx f x n →∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i ab ag x dx g x n→∞=-=∑⎰ 由（1）式知222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 再由极限的保号性易知（5）式成立.注2 若对[],,()0x a b f x ∀∈=，或(),()f x g x 成正比，则（5）式等号成立，但其逆不真.例如，除有限点外，[]()(),,f x g x x a b =∈，有()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，但(),()f x g x 并不成比例.例2 利用柯西施瓦茨不等式求极限：设(),()f x g x 在[],a b 上连续，()0,()f x g x ≠有正下界，记()()(),1,2,bnn ad f x g x dx n ==⎰，求证：1limmax ()n n a x bnd f x d +→∞≤≤= .证明为了分析1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的变化趋势，研究n d 邻项之间的关系. n d =()()bna f x g x dx ⎰()()1122112211112211()()()()bn n a bbn n a a n n f x f x dxg x f x dx g x f x dx d d -+-+-+=⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅⎰⎰⎰ 因为0n d >，平方得211n n n d d d +-≤，即11n n n n d dd d +-≥. 因为()f x 在[],a b 连续，所以存在0M >，使得()f x M ≤,故()()()()()()()()110bbbbn nnnn n aaaad g x f x dxg x f x dx M g x f x dxg x f x dx Md ++≤=≤=⎰⎰⎰⎰因为1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调有上界，所以有极限. 即1limmax ()n n a x bnd M f x d +→∞≤≤==在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式，如下面介绍的Minkowski 不等式：定理4 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则Minkowski 不等式()111222222()()()()bbba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 证明由（5）式()()222()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()2b a f x g x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰()()()()222b b b a a af x dx f xg x dx g x dx =++⎰⎰⎰ ()()()()1222222b b bb a a a af x dx f x dxg x dx g x dx ⎛⎫≤+⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2112222()()b b aa f x dx g x dx ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰⎰因为两边都大于等于零，且右边大括号也大于等于零，所以有()111222222()()()()bbba a a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充，有Holder 不等式定理5 (),()0f x g x >，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则11()()()()bbbpqp q aa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰证明11()()()()bbbpqp qaa a f x g x dxf x dxg x dx ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰11=()()()()()()()()111b b b p q p q a a a bpqbbp q aaaf x f x dxg x g x dx dx f x g x dxp f x dxq g x dxp q⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤+⋅⋅=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰得证.利用定理5，将定理4的幂指数进行扩充，有()111()()()()bbbppppp p aa a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 证明可参考定理3 的证明，且p=2即为定理4中的不等式. 同样将上命题2进行推广. 推论4 设()(1,2,,)i f x i n =是闭区间[],a b 上为正的n 个可积函数，则111()((()))bbn nnniii i a af x dx f x dx ==≤∏∏⎰⎰ （6）证明不妨设(())(1,2,,),bni i af x dx k i n ==⎰则11111()(())()bnibn ni a i n ni ia n ii f x dxf x dx k k====∏⎰∏⎰∏由引理1可得111(())(())1()()1b bn nnn i i ni i i i a a f x f x dx dx k n k ==≤=∑∏⎰⎰ 这样就证得不等式（6）成立.注3 在推论4中，取2n =，则得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）. 注4 不等式（5）可写成()()()()()()()()22b ba ab baaf x dxf xg x dx f x g x dxg x dx≥⎰⎰⎰⎰受此启发，易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式：设(),()(,1,2,,)i j f x f x i j n =是闭区间[],a b 上的可积函数，则有det(()())0bi j af x f x dx ≥⎰即为()()()()()()()()()()()()()()()21121221222120bbbnaaabbbna a abbbn n n aaaf x dxf x f x dxf x f x dxf x f x dxf x dxf x f x dx f x f x dxf x f x dxf x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰并且等号成立的充要条件为：存在不全为零的常数12,,,m ααα使得1()0i i i f x α∞=≡∑.推论5 （将命题2再推广）设()()0()0,(1,2,,),0ni i f x i n f x dx ∞≥=≤<∞⎰则11100()((()))n nnniii i f x dx f x dx ∞∞==≤∏∏⎰⎰ （7）（可仿推论4并结合反常积分理论即证）.4 n 维欧氏空间中Cauchy-Schwarz 不等式在n 维欧氏空间中，对任意的向量()()1212,,,,,,,,n n a a a b b b αβ==定义内积()()1122,,,,;n n a b a b a b αβ=定义的长度或范数为()12,ααα=.命题3 对任意的向量,αβ有(),αβαβ≤⋅ （8）当且仅当,αβ线性相关时等号才成立.证明若0α=，则()0,0β=，（8）式显然成立.若0α≠，则令()2,βαγβαα=-⋅，则(),0γα=，且()()2222,,0,βαβαγβαβααα⎛⎫≤= -⋅-⋅⎪ ⎪⎝⎭()()()2,,,βαββαβα=-⋅()222,αββα=-当,αβ线性相关时等号显然成立.反之，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或0α=或0γ=，即()2,βαβαα=⋅也就是说,αβ线性相关.根据上述在n 维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式，我们有三角不等式αβαβ+≤+ （9）因为()()()()()2222,,2,,2=+αβαβαβαααβββααββαβ+=++=++≤++所以（9）式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题，如下例3 求证2221212++++nn a a a a a a nn++≤.证明这里可取()()12,,,,1,1,,1,n a a a αβ==由柯西施瓦茨不等式()()()()22222221212+++,=1+1++1+++n n a a a a a a αβαβ=≤⋅整理即得2221212++++nn a a a a a a nn++≤5 概率空间(),,F ΩP 中的Cauchy-Schwarz 不等式命题4 设(),X Y 为任意随机变量，若()()22,X Y E E 存在，则()XY E 也存在，且()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦ （10）式中等号成立当且仅当存在常数0t ，使得{}01Y t X P == （11）证明定义实变量t 的二次函数为()()()()()22222u t tX Y X t XY t Y =E -=E -E +E因为对一切t ，必然有()20tX Y -≥,从而有()0u t ≥，于是方程()0u t =要么无实根，要么就有一个实根，亦即重根，即判别式非正，从而 ()()()2220XY XY E -E E ≤⎡⎤⎣⎦即 ()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦当等号成立时，方程()0u t =有一个重根0t ，使()200t X Y E -= 从而 ()()()()22000D t X Y t X Y t X Y -=E --E -()200t X Y ≤E -=即 ()00D t X Y -= 且 ()00t X Y E -= 于是 {}001t X Y P -== 即 {}01Y t X P ==反之，若存在常数0t ，使得（11）式成立，即{}001t X Y P -==从而 {}222001t X Y P -==，(){}001t X Y X P -==于是 {}22200Y t X E -=，{}200YX t X E -=即 ()()2220Yt X E =E ，且()()2XY t X E =E故 ()()()()222222200XY t X t X X ⎡⎤E =E =E E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22Y X =E E 即在（10）式中等号成立.例4 设随机变量i X 与j X 的相关系数i j ρ存在，则1i j ρ≤且1i j ρ=的充要条件为i X 与j X 以概率1线性相关.即存在常数(),0a b a ≠，使{}1j i X aX b P =+=，其中当1i j ρ=时，0a >；当1i j ρ=-时0a <.证明X X -EX X -E 应用柯西施瓦茨不等式，有()()()()()()222i i i j j j i i i j X X X X X X X X D X D X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤-E -E -E ⎡⎤-E ⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦E ≤E E ⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭即21i j ρ≤，所以1i j ρ≤，此时等式成立当且仅当存在0t ，使得1X X X X t ⎡⎤-E -E P == 其中0t 是方程2210i j t t ρ-+=当1i j ρ=时的解.显然，当1i j ρ=时，01t =，即1X X X X ⎡⎤-E -E P ==当1i j ρ=-时，01t =-，即1X X X X ⎡⎤-E -E P == 该定理表明：当1i j ρ=时，i X 与j X 之间存在线性关系，从而相关系数i j ρ作为“标准尺度下的协方差”是随机变量i X 与j X 之间的线性强弱程度的度量，更确切地说应该是线性相关系数.在统计教学中，求直线趋势方程的两个待定系数时，用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起到了补充说明的作用，增强了预测模型的准确性、科学性、严密性.例 5 （求方程系数中的应用）当函数(),1,2,,i i y f t i n ==（），是由实验或观察得到的，建立直线趋势方程e y a bt =+的模型时，要求实际观察值i y 与趋势值e y 离差的平方和必须为最小.解设()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑，这里()()()2211,n ni i i i Q a b a bt y a bt y ===+-=+-∑∑令2112()10,2()0n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅==+-⋅=∂∂∑∑整理得到：112111nni i n n n i i i y na b t ty a t b t =====⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∑∑∑∑∑消去a ,2211111n n n n n i i i i i n t t b n ty t y =====⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑.由柯西施瓦茨不等式2222111111n n nn i i i i n t t t ====⎛⎫=⋅≥⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑∑知22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，当且仅当12111nt t t ===时取等号. 由于t 是时间变量，故12n t t t ≠≠≠，所以22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑所以111221111()n n ni i i n ni i n n i i n ty t y b t t y t a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 在直线回归方程e y a bx =+中，,a b 均为回归系数.在求回归系数时，同样用Cauchy 不等式证明22110n ni i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑得到111221111()n n ni i i n ni i n ni i n xy x y b x x y x a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 事实上，如果，22110nn i i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，由柯西施瓦茨不等式我们得到12,n x x x x ====这时，总体回归直线就是一条平行于y 轴的直线了，这时x 与y 之间没有线性关系，从统计学的角度讲总体中没有变异，就没有必要进行统计了.例 6 （在判断极值存在中的应用）证明()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑存在极小值.证明因为2112()1,2()n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅=+-⋅∂∂∑∑ 求二阶偏导得222222111212,2,2n n ni i i Q Q Q n t t a b a b ===∂∂∂====∂∂∂∂∑∑∑ 因为222222222211112224n n n n i i i i Q Q Q t n t t n t a b a b ====⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-⨯=-⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑由柯西施瓦茨不等式我们得到22110nn i i n t t ==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑ 所以222222221140n n i i Q Q Q t n t a b a b ==⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫∆=-⨯=-<⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑又因为2212120n i Q n a =∂==>∂∑，所以()()21,n i Q a b a bt y ==+-∑存在极小值，可以证明也就是最小值.由以上几个例子可以发现，柯西施瓦茨不等式不等式在概率论与数理统计中有着广泛的实际应用.6 矩阵分析中的Cauchy-Schwarz 不等式定义1 设i j A a =为n 阶方阵，记'A A *=,即同时取共轭又转置.若A A *=,则称A 是一个Hermite 阵.当A 为实矩阵时，Hermite 阵就是实对称阵.命题5 设,nx y C ∈，则 (a) 2x y x x y y ***≤⋅ 等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明当x 与y 至少一个为零向量时，结论显然不成立.不妨设0x ≠，定义x y z y x x*=-，则0x z *=.于是20z ≤22x y z y y x y x***==-222x y y x*=-此即222x y x y *≤⋅等号成立0z y ⇔=⇔与x 成比例.（b ）设A 为n n ⨯Hermite 阵且0A ≥,则2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明因为0A ≥，则由Hermite 阵的性质，存在矩阵B,使得A B B *=.命,u Bx v By ==，对u 和v 应用(a),便得到(b).(c)设A 为n n ⨯的Hermite 阵且0A >,则 ‘ 21x y x Ax y A y ***-≤⋅, 等号成立当且仅当x 与1A y -线性相关.证明因为0A >,所以12A -存在,对12u A x =和12v A y -=应用(a),即得欲证的(c).由上可知,nx y C ∈为任意的一对列向量，我们要讨论的是当它们为正交向量时柯西施瓦茨不等式，是柯西施瓦茨不等式的另一种形式的推广.推论6 C 表示复数域，x *表示x 的共轭转置向量，n n ⨯ 阶正定矩阵的全体记为(),C n >.设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意一对正交向量,nx y C ∈，有 2112n x Ay x Ax y Ay λλ***⎛⎫≤-⋅ ⎪⎝⎭证明不失一般性，令1x y ==，显然只需要证明当正交向量对1x y ==时，推论6成立.令()(),,B x y A x y *=那么，B 是一个22⨯Hermite 阵，令其特征值为12u u ≥，由Poincare 定理，有 1120n λμμλ≥≥≥> 所以(),B C n ∈>.同时21x Ayx Ax y Ay***-⋅()()()()()()212222222121244det 42x Ax y Ay x AyBx Ax y Ay x Ax y Ay TrB x Ax y Ay y Ay μμμμμμ**********⋅-===+----+-+- ()()()1212121211212y Ay y Ay y Ay μμμμμμμμλμμμμ***=≥≥+++-所以()2121121x Axx Ax y Ayμμλμμ***≤-⋅+ 1121111λμμ=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭又因为()()10f x x x =>是单调递减的函数，所以21112nx Axx Ax y Ayλλ***≤-⋅112n λλ=- 这样定理得证.例7 设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意非零向量nx C ∈，有()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤证明令()()211y xA x x A x x -*-=-，这样0x y *=同时()21Ay xx x A x Ax *-=-()()41x Ay x x A x x Ax **-*=-()()1y Ay x A x y Ax **-*=- （12）由（12）式，我们可以得到10y A x x Ay *-*=≤，将（11）式带入推论6，有 ()21112n x Ay x Ax x A x y Ax λλ***-*⎛⎫≤-⋅⋅- ⎪⎝⎭因为0x Ay y Ax **=≤，所以1112n x Ay x Ax x A x λλ***-⎛⎫≥--⋅ ⎪⎝⎭将上式用于()41x Ay x x A x x Ax **-*=-，我们得到()()4112n x x A x x Ax λλ*-*≥即()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤这样定理得证.注5 由柯西施瓦茨不等式的形式（b ）2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅，我们可得到21x Ayx Ax y Ay***≤⋅由推论621112nx Ayx Ax y Ayλλ***≤-≤⋅ （13）因此（13）式的结论较柯西施瓦茨不等式精确，所得结果更强.结束语本文从五个方面分别介绍了柯西施瓦茨不等式的五个等价形式，并进行了简洁的证明.并分别介绍了柯西施瓦茨不等式的简单应用，特别是在概率统计中的实际应用，而且在实数域和微积分中进行了一定的推广.由于知识所限，在对其他方面的柯西施瓦茨不等式没有进入深入的分析，也没有进行推广.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003. [2]吴传生.数学分析（上册）习题精解[M].合肥:中国科技大学出版社，2004. [3]邓天炎，叶留青.概率统计[M].北京:中国矿业大学出版社，2004. [4] 王松佳,吴密霞,贾忠贞[M].北京:科学出版社,2005.[5] 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京: 科学出版社, 2007. [6]K.G.宾莫尔.数学分析基础浅导[M].北京：北京大学出版社，2006.[7]孙永生,王昆扬.泛函分析讲义[M].北京：北京师范大学数学科学学院，2007.[8] 罗俊丽,朱白. Cauchy-Schwarz不等式的几中推广形式[J].商洛学院学报,23:4(2009),28-29.[9]常广平，李林衫，刘大莲.利用Cauchy-Schwarz不等式估计回归系数[J].北京联合大学学报，22:4(2008),77-78.Application and promotion of the Cauchy-Schwartz inequality Author:Zha Min Superviser: Cai GaixiangAbstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields ofmathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series ofexamples,we can see that the Cauchy inequality makes the proof of relatedmathematical propositions more simple and even can reach onestop effect,especially in the field of probability and statistics.Keywords Cauchy-Schwartz inequality Minkowski inequality Holder inequality Hermite matrix。

施瓦兹（Schwarz）不等式的证明及其应用

施瓦兹（Schwarz）不等式的证明及其应用
马凤鸣
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)013
【摘要】施瓦兹（Schwarz）不等式是数学分析中的一个重要不等式,利用它可以行之有效地解决一些积分的不等式问题.本文特给出施瓦兹（Schwarz）不等式的几种不同的证明方法和应用举例.
【总页数】1页(P144-144)
【作者】马凤鸣
【作者单位】吉林建筑大学经济与管理学院,长春130118
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.Cauchy-Schwarz不等式在F-范数的范数定义证明中的应用 [J], 方秀男;汤凤香
2.Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用 [J], 胡晓明
3.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式的证明及应用 [J], 李静
4.Cauchy-Schwarz不等式的证明及应用 [J], 孙瑞
5.应用Cauchy-Schwarz不等式证明积分不等式举例 [J], 吴克坚;刘烁;徐清华;王瑞星;赵清波
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Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用

的应用
Ｃｕｈ— ｃｗｒ不等式在不同的空ａｃｙＳｈａｚ间对应着不同的形式，下面是它在不同空间上的几种变形．母不等式：ｖ是欧氏设空间，若，叩∈Ｖ，０贝
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２１．（００２总第５８期）
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Ｃｕｈ— ｃｗｒ不等式ａｃｙＳｈａｚ
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Ｃａｃｙｃｗａｚ不等式的证明和应用ｕｈ－Ｓｈｒ
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Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用

Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用摘要:Cauchy-Schwarz不等式有多种证明方法而且应用广泛.本文归纳了几种Cauchy-Schwarz不等式的典型证明方法,并探讨了Cauchy-Schwarz不等式的应用.关键词:Cauchy-Schwarz不等式;向量空间;内积一、Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法1.第一种证明方法定理1对任意的向量α,β有|(α,β)|≤|α||β|.当且仅当α,β线性相关时,等号才成立.证明当β=0时,不等式成立.设β≠0.令t是一个实变数,作向量γ=α+tβ.不论t取何值,一定有(γ,γ)=(α+tβ,α+tβ)≥0.即(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0(1)取t=.代入(1)式,得(α,α)-≥0,即(α,β)2≤(α,α)(β,β).两边开方便得|(α,β)|≤|α||β|.当α,β线性相关时,等号显然成立.反过来,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或者β=0,或者α-β=0,也就是说α,β线性相关.2.第二种证明方法引理:设V是欧氏空间,ξ,η是V的单位向量,那么,|(ξ,η)|≤1.证明ξ,η既是单位向量,则有(ξ,ξ)=1,(η,η)=1,而|ξ,η|2≥0,即|ξ,η|2=(ξ-η,ξ-η)=(ξ,ξ)+(η,η)-2(ξ,η)=2-2(ξ,η)≥0所以,(ξ,η)≤1;又|ξ,η|2≥0,即|ξ,η|2=(ξ+η,ξ+η)=(ξ,ξ)+(η,η)+2(ξ,η)=2-2(ξ,η)≥0所以,(ξ,η)≥-1.总之,|ξ,η|≤1.定理2设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明10若α,β中有一个是零向量,则结论显然成立;20设α,β都不为零,今将α,β单位化,令ξ=,η=,则由引理.知|(ξ,η)| ≤1,而(α,β)=(|α|ξ,|β|η)=|α||β|(ξ,η)所以,|(α,β)|≤|α||β|(ξ,η)≤1.再设ξ与η的夹角为θ,则θ的余弦为cosθ==(ξ,η)由此可知,|(α,β)| ≤|α||β|(ξ,η)=1cosθ=±1≤1ξ=±η,此即知α与β线性相关.3.第三种证明方法定理3设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明x1,x2∈R取,则(x1α+x2 β,x1α+ x2 β)≥0,即(α,α)x12+2(α,β)x1x2+(β,β)x22≥0,而此式左端恰为关于x1,x2的半正定二次型,故其矩阵的行列式≥0,即(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)≥0则得|(α,β)|≤|α|| β|,且等号成立(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)=0α,β线性相关.二、Cauchy-Schwarz不等式的应用Cauchy-Schwarz不等式在不同的空间对应着不同的形式,下面是它在不同空间上的几种变形.母不等式:设V是欧氏空间,若ξ,η∈V,则(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)(2)上式等号成立的充要条件是ξ,η线性相关.变形一:取V=Rn,令ξ=(a1,a2,…,an),η=(b1,b2,…,bn)则有(a1b1+…+anbn)≤(a12+a22+…+an2) (b12+b12+…+bn2)(3)等号成立的充要条件bi=cai(i=1,2,…n),c是为常数.变形二:取V是定义在[a,b]上一切连续实函数所构成的实线性空间,设f(x), g(x)∈V,则有[f(x)g(x)dx]2≤f 2(x)dxg2(x)dx(4)变形三:取V 为概率空间,对任意属于V 的随机变量ξ与η都有|Eξη|2 ≤Eξ2Eη2(5)等号成立的充要条件是P(η=t0 ξ)=1,t0是某一常数.例1若x1,x2,…,xn均为正数则有(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2(6)证明由(2)式令a1=,a2=,…,an=.b1=,b2=,…,bn=,则有(•+•+…+•)2=n2.而(++…+)(++…+)=(x1+x2+…+xn)(++…+)所以(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2.显然等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.例2已知a、b、c、x、y、z都是实数,并且a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1求证:|ax+by+cz|≤1.证明由不等式(3)有(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)所以,|ax+by+cz|2≤1,即|ax+by+cz|≤1.例3当2x+4y=1时,求证x2+y2≥.证明由不等式(3)有(2x+4y)2≤(22+42)(x2+y2),所以1≤20(x2+y2)所以(x2+y2)≥例4已知a、b、c为正数,求证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.证明由不等式(3)有(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)(b2+c2+a2),即(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)2.因为a、b、c为正数,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.例5设ai≥0,i=1,2,…,n,则ai≤(ai2),且等号成立的充要条件是a1=a2=…=an.证明设二维离散型随机变量ξ,η的联合概率分布为P(ξ=xi,η=yi)=P(ξ=xj,η=yj)=0 (i≠j)i=1,2,…,n;j=1,2,…,n则ξ、η的边际概率分布分别为Pξ(ξ=xi)=,Pη(η=yj)=令xi=ai≥0,yj=1有Eξη=ai•=•aiEξ2=ai2•=•ai2Eη2=yi•=1=1由不等式(5)有(ai)2≤ai2且等号成立的充要条件是==…= 开方得ai≤(ai2)且等号成立的充要条件是a1=a2=…=an.例6设a、x、y是同时大于1(或小于1)的正数,且logaxyj=9,求证:logxa+logya+logja≥1.证明左边=++.由不等式(6)有(loga.x+loga y+loga j)(++)≥j2即logaxyj•(++)≥9.有已知logaxyj≥9所以(++)≥1即logxa+logya+logja≥1例7设a>0,b>0,且a+b=1,求证(a+)2+(b+)2≥.证明由不等式(7)有≥所以≥所以(a+)2+(b+)2≥.又因为(a-b)2≥0,所以a2+b2-2ab≥0.所以(a+b)2-4ab≥0.所以1-4ab≥0.所以ab≤.所以(a+)2+(b+)2≥=例8设α,β是欧氏空间V中的向量,则有|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|.证明由Cauchy-Schwarz不等式得-|α||β|≤(α,β)≤|α||β|,|α|2+|β|2-2|α||β|≤|α|2+|β|2+2|(α,β)|≤|α|2+|β|2+2|α||β|,则(|α|-|β|)2≤(α±β,α±β)≤(|α|+|β|)2,即得|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|例9设有n阶实对称矩阵A,若A≥0,则有trA≥0和(trA)E ≥A.证明因为A≥0,所以A半正定,故存在n阶矩阵Q=q11…q1n………qn1…qnn=a1…an其中a1=(qi1,…,qin)是第i个行向量(i=1,2,…,n),使得A=Q'Q于是trA=tr(Q'Q)=||Q||F2≥0.又n维列向量X=(x1,…,xn)∈Rn,有X'AX=X'Q'QX=(QX)'(QX)=||QX||22于是QX=q11x1+…+q1nxn ………qn1x1+…+qnnxn=(a1,X)…(an,X)由Cauchy-Schwarz不等式知,|(ai,X)|≤||ai||2||X||2所以||QX||22=|(ai,X)|≤(||ai||22)||X||22=||QX||F2||X||22即||QX||22≤||QX||F2||X||22=(trA)||X||22=(trA)X'X 从而X'AX≤(trA)X'X=X'(trA)EX故有(trA)E≥A.Cauchy-Schwarz不等式应用非常广泛,利用Cauchy-Schwarz不等式可以解决一些复杂不等式的证明.(作者单位:湖南女子职业大学)。

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a bb b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+- 注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===nk k k n k k nk kb a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

cauchy-schwarz不等式在n维欧氏空间中的推广与应用

cauchy-schwarz不等式在n维欧氏空间中的推广与应用Cauchy-Schwarz不等式是欧氏空间中的一个重要不等式，其在n维欧氏空间中的推广也十分重要。

在n维欧氏空间中，两个向量$a=(a_1,a_2,...,a_n)$和$b=(b_1,b_2,...,b_n)$之间的点积可以表示为：$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i$类似地，向量的模可以表示为：$||a||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}$则Cauchy-Schwarz不等式在n维欧氏空间中可以表示为：$|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| \leq ||a|| \times ||b||$当等号成立时，$a$和$b$是线性相关的。

除了作为不等式本身，Cauchy-Schwarz不等式的推广还有以下应用：1.向量长度的估计：可以使用Cauchy-Schwarz不等式来估计向量的长度，因为$||a||^2=a\cdot a\leq ||a||\times ||a||$，即$||a||\geq\sqrt{a\cdot a}$，即向量的长度不小于它的模。

2.夹角的估计：Cauchy-Schwarz不等式可以用于估计两个向量之间的夹角。

对于任意两个向量$a$和$b$，它们之间的夹角$\theta$可以表示为：$\cos\theta = \frac{a\cdot b}{||a||\times ||b||}$由于$-1\leq \cos\theta \leq 1$，因此对于任意向量$a$和$b$，都有：$|\cos\theta| \leq 1 \Rightarrow \frac{a\cdot b}{||a||\times ||b||} \leq 1 \Rightarrow |a\cdot b| \leq ||a||\times ||b||$即两个向量之间的点积的绝对值不大于它们的模的乘积。

3.向量投影：Cauchy-Schwarz不等式还可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影。

数学与应用数学-施瓦茨不等式的应用论文

摘要Cauchy-Schwarz不等式是数学中重要的不等式之一，在较多的不同领域中应用广泛。

本文所研究的是Cauchy-Schwarz不等式在不同的数学的领域中几种常见的不同的基本形式及其证明方法，并对Cauchy-Schwarz不等式的推广作了一些系统的论述。

在此基础上，本文分别给出了柯西-施瓦茨不等式在概率论与数理统计和机器学习中的应用，在许多问题中起到良好的效果。

在文章的最后，本文还给出了柯西-施瓦茨不等式的更一般的形式，即著名的赫尔德不等式并给出了相应的应用。

关键词:柯西-施瓦茨不等式，概率论与数理统计，机器学习，赫尔德不等式AbstractCauchy-Schwartz Inequality is one of the most important inequalities in mathematical analysis, which is widely used in many different fields. In this paper, several common expressions of Cauchy -Schwartz Inequality are summarized, and the corresponding proofs are given, and the generalization of Cauchy-Schwartz Inequality is systematically discussed. On this basis, this paper presents the application of Cauchy -Schwartz Inequality in probability statistics and machine learning. At the end of the paper, the more general form of Cauchy -Schwartz Inequality, namely, Hölder Inequality, and its application are given.Keyword Cauchy-Schwarz inequality, probability theory and statistics, machine learning, Holder inequality.目录摘要 ............................................................................................................................................................................................ 1 Abstract .......................................................................................................................................................................................... 2 第一章引言符号解释 .. (4)1.1引言 ................................................................................................................................................................................ 4 1.2符号解释 ....................................................................................................................................................................... 4 第二章柯西-施瓦茨不等式的定义与证明 .. (4)2.1在实数域中的柯西-施瓦茨不等式 (4)2.2概率空间,,)Q F P （中的柯西-施瓦茨不等式 ................................................................................................. 5 第三章柯西-施瓦茨不等式的应用 .................................................................................................................................... 63.1 柯西-施瓦茨不等式在概率论中的应用 ............................................................................................................ 6 3.2柯西-施瓦茨不等式在机器学习中的应用 ......................................................................................................... 7 3.3柯西-施瓦茨不等式在微积分学中的应用 ....................................................................................................... 10 第四章柯西-施瓦茨不等式的推广（赫尔德不等式]4[） (11)总结与展望 ................................................................................................................................................................................ 12 参考文献 ..................................................................................................................................................................................... 13 致谢 .. (14)第一章引言符号解释1.1引言在数学理论的学习过程中，不等式是我们进一步研究数学与其他学科的不可缺少的工具。

(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

cauchy-schwarz不等式积分形式

【主题】Cauchy-Schwarz不等式积分形式1. 引言Cauchy-Schwarz不等式作为数学中的重要不等式，在各个领域都有着广泛的应用。

而Cauchy-Schwarz不等式的积分形式更是在积分学中发挥着重要的作用。

本文将围绕Cauchy-Schwarz不等式积分形式展开探讨，深入理解其数学意义和应用价值。

2. Cauchy-Schwarz不等式回顾Cauchy-Schwarz不等式是代数学中常用的一个不等式，表示为：对于给定的内积空间中的任意两个元素a和b，有|\langlea,b\rangle|^2 \leq \langle a,a\rangle \cdot \langle b,b\rangle。

其中，\langle \cdot , \cdot \rangle表示内积。

在实数空间和复数空间都成立。

3. 积分形式的Cauchy-Schwarz不等式在积分学中，Cauchy-Schwarz不等式被推广为积分形式：对于可积函数f(x)和g(x)，有|\int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx|^2 \leq \int_{a}^{b} |f(x)|^2 \, dx \cdot \int_{a}^{b} |g(x)|^2 \, dx。

4. 数学意义和应用价值这一积分形式的Cauchy-Schwarz不等式在分析、概率论、数学物理等领域有着广泛的应用。

它不仅可以用来证明其他数学定理，还可以在证明不等式和优化问题中发挥关键作用。

它还为我们提供了对函数空间的一种度量方式，帮助我们理解函数的相互关系和特性。

5. 个人观点和理解我对Cauchy-Schwarz不等式积分形式的理解是，它是对函数空间中函数之间关系的一种度量方式，同时也是对积分运算和函数性质的一种深刻认识。

它的应用价值不仅仅体现在数学理论的证明中，更体现在实际问题的求解中。

通过对这一不等式的深入理解，我们可以更好地应用它解决实际问题，提高问题求解的效率和精度。

浅谈Schwarz积分不等式在有关函数连续的问题中的应用

浅谈Schwarz积分不等式在有关函数连续的问题中的应用作者：谢慧芳胡兰丽来源：《旅游纵览·行业版》2013年第05期摘要：Schwarz积分不等式是一个重要的不等式，在自然科学的理论研究以及实际应用中用途广泛.本文通过一些实例说明它们在有关函数连续的问题中的应用.关键词：Schwarz积分不等式；Schwarz积分不等式的应用我们在解一些积分不等式的问题时，经常会遇到一些比较复杂的积分形式，这些复杂的形式总是让人无从下手.其实在这些复杂的积分不等式背后蕴藏着一定的规律，只要认真分析，有条理的总结就会发现其中的奥秘.本文中的Schwarz积分不等式为解决某些积分不等式问题提供了理论依据，其形式上的推广使一些看起来很复杂的积分不等式更有条理，从而使问题的解决简便化.一、Schwarz积分不等式在有关函数连续的问题中的应用Schwarz积分不等式在有关函数连续的问题中用途广泛，举例说明如下.例1设在上连续可导，，证证明设，，，由，例2设在上连续，且试证证明同理有两不等式相加即证.例3 设在上连续，证明证法一构造函数利用函数单调性证明.证法二利用柯西-施瓦兹不等式即证.显然后者简单.二、结论本文通过对Schwarz积分不等式的研究，认识到Schwarz积分不等式在解决连续函数的问题时有着广泛的应用. Schwarz积分不等式自产生以来，经过数学家的不断完善已近乎完美.人们运用Schwarz积分不等式解决了许多数学难题，近年来Schwarz积分不等式在量子力学中的应用更是崭露头角.随着数学知识在其他学科中的不断渗透，Schwarz积分不等式将会得到更广泛的应用.参考文献：[1]陈思源.关于Cauchy - Schwarz不等式的证明与应用[J].宜春学院学报（自然科学），2006，28（4）：19-19.[2]刘兴祥，罗云庵，王海娟.柯西-施瓦兹不等式的应用[J].延安大学学报（自然科学版），2005，4：22-23.[3]李静.Schwarz 不等式的四种形式的证明及应用[J].宿州学院学报，2008，23 （6）：89-90.。

柯西施瓦茨不等式数学归纳法

柯西施瓦茨不等式数学归纳法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：柯西施瓦茨不等式是数学中一个非常重要的不等式，它广泛应用于数学分析、线性代数、概率论等领域。

柯西施瓦茨不等式在数学研究中扮演着重要的作用，其证明方法之一就是利用数学归纳法。

本文将介绍柯西施瓦茨不等式的定义及证明过程，并探讨数学归纳法在证明过程中的应用。

让我们来了解一下柯西施瓦茨不等式的定义。

柯西施瓦茨不等式是指对于任意两个向量a和b，都有如下不等式成立：\[|a \cdot b| \leq \|a\| \cdot \|b\|\]a和b分别是两个n维向量，acdot b表示a和b的点积，||a||表示a的范数，也就是a的长度。

柯西施瓦茨不等式告诉我们，两个向量的点积的绝对值不会大于它们长度的乘积。

接下来，我们将使用数学归纳法来证明柯西施瓦茨不等式。

数学归纳法是一种证明方法，在证明某个数学命题时，首先证明当n=1时命题是否成立，然后假设n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立，这样就证明了对于所有自然数n都成立。

我们来证明当n=1时柯西施瓦茨不等式成立。

设a和b分别是一维向量，即a=(a1)和b=(b1)，那么根据柯西施瓦茨不等式的定义，我们有：这就证明了当n=1时柯西施瓦茨不等式成立。

接下来，我们假设当n=k时柯西施瓦茨不等式成立，即对于任意k 维向量a和b有：现在我们来证明当n=k+1时柯西施瓦茨不等式也成立。

设a和b 分别是(k+1)维向量，即a=(a1,a2,...,ak,ak+1)和b=(b1,b2,...,bk,bk+1)，那么我们可以将a拆分成两部分，a=(a1,a2,...,ak)和(a(k+1))，同样将b拆分成两部分b=(b1,b2,...,bk)和(b(k+1))。

根据柯西施瓦茨不等式的性质，我们有：\[|a \cdot b|^2 = (a1b1 + a2b2 + ... + akbk + a(k+1)b(k+1))^2\]第二篇示例：柯西施瓦兹不等式是数学中的一个重要不等式，也是线性代数中的经典定理之一。

柯西不等式的证明及应用论文

南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一三届）题目：柯西不等式的证明及应用院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：学号指导教师：南京师范大学泰州学院教务处制摘要：本文对柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式进行了诠释，详细介绍了柯西不等式的几种典型证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，并通过列举一系列范例揭示柯西不等式在不等式证明、等式证明、求最值、解析几何、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用。

说明了柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，在初等数学和高等数学中都有比较广泛的应用，在数学的各个分支都可以见到它的应用。

灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果，充分体现柯西不等式的重要性及较强的应用性。

关键词：柯西不等式；证明；应用Abstract:In this paper, Cauchy inequality and its corollary, deformation, diffusion and integral form are explained in detail. What’s more, several typical Cauchy inequality proofs, such as the distribution method, discriminant method, mathematical induction, the use of the basic and promotional inequality, using the second type and vector inner product are introduced. Furthermore, the paper reveals the application of Cauchy inequality in inequalities, equality proof, for the most value, analytic geometry, the scope of demand parameters, solving equations, the solution function and geometry through a series of examples. Cauchy inequality is a very important mathematics inequality. Within its harmonious symmetrical structure, it is widely used in elementary mathematics, higher mathematics and almost every branches of mathematics. When using it flexibly, most of the difficult problems can be solved, or even users can receive a surprise move, a multiplier effect. All these fully reflect the importance of Cauchy inequality and the strong capability of application.Keywords: Cauchy inequality; proof; application目录1绪论 (3)1.1 研究意义 (3)1.2 国内外研究现状 (3)1.3 本文解决的主要问题 (4)2柯西不等式的诠释 (5)2.1 柯西不等式 (5)2.2 柯西不等式的推论 (5)2.3 柯西不等式的变形 (6)2.4 柯西不等式的推广 (7)2.5 柯西不等式的积分形式 (8)3柯西不等式的证明 (9)3.1 配方法 (9)3.2 判别式法 (9)3.3 数学归纳法 (10)3.4 运用基本不等式 (11)3.5 运用推广不等式 (12)3.6 利用二次型 (12)3.7 利用向量内积 (13)4柯西不等式的应用 (14)4.1 在证明不等式方面的应用 (14)4.2 在证明等式方面的应用 (16)4.3 在求最值方面的应用 (18)4.4 在解析几何方面的应用 (19)4.5 在求参数范围问题中的应用 (22)4.6 在解方程问题中的应用 (22)4.7 在解函数问题中的应用 (23)4.8 在几何上的应用 (23)结论 (26)谢辞 (27)参考文献 (28)1 绪论在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用。

(完整版)各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1. 预备知识 (1)2.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 (2)2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式 (2)2.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广 (4)2.3 Holder积分不等式 (5)2.4 Minkowski积分不等式 (9)3. 实例应用 (10)3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例 (10)3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用 (12)3.3 Holder积分不等式的应用 (12)3.4 运用Minkowski积分不得不等式证明范数 (13)4. 结束语 (13)参考文献 (14)各种Schwarz 积分不等式的归纳及其应用举例学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学指导老师：职称：摘要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz 积分不等式，然后对其进行证明，并举例说明它在一些实际问题中的应用.关键词：Cauchy-Schwarz 积分不等式；行列式；Holder 积分不等式；Minkowski 积分不等式The examples of application and induction on some forms ofSchwarz integration inequalitiesAbstract ：This paper will enumerate and then prove some forms of Schwarz integration inequality, thereby illustrate its implementation in practical problems.Key words ：Cauchy-Schwarz integral inequality; D eterminant; Holder integral inequality; Minkowski integral inequality前言本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz 积分不等式，首先我们给出了Schwarz 积分不等式的一般形式、Schwarz 积分不等式的形式推广和Schwarz 积分不等式最出名的推广就是Holder 积分不等式以及Minkowski 积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.1. 预备知识定理1.1 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为实数，则222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (1)等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =.这是最常见的Cauchy 不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家grange . Cauc-hy 不等式可以推广至复数. 如何推广呢? 不等式只在实数时才有意义，对于复数自然的选择其长度. 对任意复数z x iy =+，其长度z =(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.定理1.2 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为复数, 则222111nn ni ii i i i i a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (2) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ为复数.定理1.3 (Cauchy 不等式)[3]已知i a ,i b ∈C ,则112222,111i j i j i j i j a b a b ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (3) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ∈C .如果21i i a ∞=<∞∑、21i i b ∞=<∞∑，则1i ii a b∞=<∞∑.从Cauchy 不等式的角度而言，无穷数列{}1i i a ∞=的平方和收敛，21i i a ∞=<∞∑，是很自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为2l 空间. 这是n 维实数空间n R 最自然的推广，它是一个Hilbert 空间，最重要的应用就是量子力学.在数学中尤其是分析学的思考过程通常是有限和⇔无穷级数⇔积分 (4)因此想当然Cauchy 不等式是可以推广至积分.2. Cauchy-Schwarz 积分不等式及其推广2.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式定理2.1.1 (Cauchy-Schwarz 积分不等式)[1]已知()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (5)证明（法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我们也从级数开始，设[],a b 上有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=，i =1,2,…,n. i b an-∆=，记{}12,,,n T =∆∆∆. 这些分点构成对[],a b 的一个分割.在每个小区间i ∆上任取一点i ξ，作以()()i i f g ξξ为高，i ∆为底的小矩形.因为()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()f x ,()g x 均在[],a b 上可积，有222111()()()()nn n i i i i i i i b a b a b a f g f g n n n ξξξξ===---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，两边求极限，()2201lim ()()()()nbi i aT i b a f g f x g x dx n ξξ→=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，2222011lim ()()()()n n b i i a T i i b a b a f g f x g x dx n n ξξ→==--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰，则()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.因为[]()2222()()()2()()()bb b ba a a a xf t g t dt f t dt x f t g t dt x g t dt ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰，可视为x 的二次方程式，由于[]2()()0b axf t g t dt +≥⎰，而且2()0b a f t dt ≥⎰,所以上式表示的是开口向上而且在轴x 上方的抛物线，由于和x 轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.判别式()()()2224()()4()()0bbbaaaf tg t dtf t dtg t dt ∆=-≤⎰⎰⎰，整理得()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法三:半正定)注意到关于1t ，2t 的二次型[]22222121122()()()2()()()bbbbaaaat f x t g x dx t f x dx t t f x g x dx t g x dx +=++⎰⎰⎰⎰为非负二次型，从而系数行列式()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰=2()baf x dx⎰2()bag x dx ⎰-()2()()0baf xg x dx≥⎰，即()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证.从实变函数论的角度而言，我们仅需要求()f x 、()g x 是平方可积分函数([]2,L a b )则Cauchy-Schwarz 积分不等式仍然成立. 其空间关系可对照前一式(4):222R l L ⇔⇔. (6)2.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式上的推广根据上面的Cauchy-Schwarz 积分不等式()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰0≥ .以这种形式给出的好处在于形式便于推广.定理2.2.1 (Schwarz 积分不等式形式推广)[2]设()f x ，()g x ，()h x 均在[],a b 上可积，则有()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (7) 证明注意到关于1t ，2t ，3t 的二次型[]2123()()()bat f x t g x t h x dx ++⎰222222123()()()b b baaat t f x dx t t g x dx t t h x dx=++⎰⎰⎰1213232()()2()()2()()b b baaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++⎰⎰⎰为非负二次型，从而其系数行列式()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dx f x g x dx g x g x dx h x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证. 2.3 Holder 积分不等式定理2.3.1 (Holder 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为任意复数，且p ，q 1≥，111p q+=，则 11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (8) 证明令11ii n pp i i a a a ==⎛⎫⎪⎝⎭∑ ， 11ii n qq i i b b b ==⎛⎫⎪⎝⎭∑，利用几何平均不等式①，得到11p qi i i i a b a b p q≤+，或1111111111p q i ii i n nn n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b ====≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，取有限和，得11111111111111nnnpq i iii i i i n n n n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b =======≤+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑，因此可得11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 注 ①几何平均不等式2211()22a b ab a b ≤+⇔≤+.当2p q ==时就是Cauchy-Schwarz 不等式.Holder 不等式对n =∞也成立.另外最著名的就是积分不等式.定理2.3.2 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知()f x ，()g x [],C a b ∈，111p q+=，且p ，q 1≥则()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰. (9)或更一般的形式定理2.3.3 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知1()f x ，2()f x ，…，()n f x [],C a b ∈，且1211p p ++ (1)p =1，1i p ≥ 则 ()()()12121111212()()()()()()nnbbbbpp p p p p n n aaaaf x f x f x dx f x dxf x dxf x dx≤⎰⎰⎰⎰. (10)证明 (定理2.3.2) 设()f x ，()g x [],C a b ∈，则当()0f x ≡或()0g x ≡时，上式(10)显然成立.令 i b ax a ia i x n-=+=+∆， (0,1,,i n =)则由Holder 不等式(9)可知11111()()()()n n npqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式两边同时乘以1n ，有1111111()()()()n nnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式右端=11111()()nnpqp q i i i i n f x g x -==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=111111()()nnpqp q p q i i i i nf xg x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ =1111()()nnpqp q i i i i f x g x n n ==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，于是11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑可转化为 11111()()()()nnnpqp q iii i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，而b a x n -∆=，故b an x-=∆，将n 代入11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，得 11111()()()()n nnpqp q i i i i i i i x x x f x g x f x g x b a b a b a ===∆∆∆⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑，即11111111()()()()n n npqp qi i i i i i i f x g x x f x x g x x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤∆∆ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，对上式两端取极限，当n →∞时，0x ∆→，得()()1111()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx b a b a≤--⎰⎰⎰，化简上式，即得()()11()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，又由 ()()()()bb aaf xg x dx f x g x dx ≤⎰⎰，故()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰，从而定理2.3.2得证.定理2.3.4 (pL 上的Holder 积分不等式)[5]设1p >，111p q+=,()[,]p f x L a b ∈，()[,]p g x L a b ∈，那么()()f x g x 在[,]a b 上L 可积，并且成立()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (11)证明首先证明当1p >，111p q +=时，对任何正数A 及B ，有11p q A BA B p q≤+.(12)事实上，作辅助函数 ()x x x αϕα=-(0)x <<∞，01α<<，则 '1()(1)x x αϕα-=-，所以在(0,1)上'()0x ϕ>，在(1,)∞上'()0x ϕ<，因而(1)ϕ是函数()x ϕ在(0,)∞上的最大值，即 ()(1)1x ϕϕα≤=-，(0,)x ∈∞. 由此可得(1)x x ααα≤+-，(0,)x ∈∞.令 Ax B =，代入上面不等式，那么 (1)A A B B αααα≤+-.两边乘以B ，得到 1(1)A A B Bαααα-≤+- .令1p α=，则 11q α-=，于是上式成为 11p q A B A B p q≤+.如果()1()0bppaf x dx=⎰或()1()0bqqag x dx=⎰，则()0f x =..a e 于[,]a b 或 ()0g x =..a e 于[,]ab ，这时不等式(11)自然成立，所以不妨设()1()0bppaf x dx>⎰，()1()0bqqag x dx>⎰.作函数 ()1()()()bppaf x x f x dxϕ=⎰， ()1()()()bqqag x x g x dxψ=⎰.令()pA x ϕ= ， ()qB x ψ=，代入不等式(12)，得到()()()()pqx x x x pqϕψϕψ≤+. (13)由(13)立即可知()()x x ϕψ在[,]a b 上L 可积，由此可知)(()f x g x 也L 可积，对(13)的两边积分，得到 ()()()()1pqbbba aax x x x dx dx dx pqϕψϕψ≤+=⎰⎰⎰.因此()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，证毕.2.4 Minkowski 积分不等式定理2.4.1 ([,]pL a b 上的Minkowski 积分不等式)[5]设1p ≥，()f x , ()g x ∈[,]p L a b ，那么()()[,]p f x g x L a b +∈，并且成立不等式111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. (14) 证明当1p =时，因()()()()f x g x f x g x ≤+，由积分性质可知不等式(14)自然成立.如果1p >，因为(),()[,]pf xg x L a b ∈，所以()()[,]p q qf xg x L a b ∈，由Holder 积分不等式，有()11()()()()()()pppbbbpqqaa af x f xg x dx f x dx f x g x dx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，类似对()g x 也有()11()()()()()()pqqbbbpqqaa ag x f x g x dx g x dx f x g x dx⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，因而 1()()()()()()pbbp aaf xg x dx f x g x f x g x dx -=⎰⎰()()()()()()p pbbqqaaf x f xg x dx g x f x g x dx ≤+⎰⎰()111()()()()p q p q b b bpqa a af x dxg x dx f x g x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰(15)若()()0bpa f x g x dx =⎰，则()1()()bppaf xg x dx⎰，(14)式显然成立，若()()0bpaf xg x dx ≠⎰，则在(15)式两边除以()1()()b pqaf xg x dx ⎰，得到()1111()()()()ppppbb b pqaa a f x g x f x dx g x dx -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 由111p q+=，得到 111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰，证毕.无论是Holder 积分不等式，还是Minkowski 积分不等式，当2p q ==时，就是Cauc- hy- Schwarz 积分不等式.上面我们从空间R 和p L 空间上说明Holder 积分不等式和Min- kowski 积分不等式，对于p l 空间也有类似的Holder 积分不等式和Minkowski 积分不等式，11111pqpqi i i i i i i ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， (Holder 积分不等式)其中1p >，111p q+=，()123,,,p l ξξξ∈，()123,,,q l ηηη∈.pp p x yx y +≤+， (Minkowski 积分不等式)其中1p ≥，()123,,,x ξξξ=，()123,,,p y l ηηη=∈，11ppip i x ξ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11qq i pi y η∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.由此可知p l 按范数p x 成赋范线性空间.3. 实例应用3.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式的实例例1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥，()1b a f x dx =⎰. 证明:k R ∀>，有()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰.证明因为()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积，有()()22()cos baaf x kxdxkxdx =⎰⎰，()()22()()cos ()cos bb b aa af x dxf x kxdx f x kxdx =⎰⎰⎰，因为Cauchy-Schwarz 积分不等式，有()()()22()()cos bbaaakxdxf x dxf x kxdx ≤⎰⎰⎰，从而()22()cos ()cos bbaa f x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，同理()22()sin ()sin bbaaf x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，()()2222()cos ()sin ()(cos sin )1bb baaaf x kxdx f x kxdxf x kx kx dx +≤+=⎰⎰⎰.例2. 设()f x 在[]0,a 上连续可导，(0)0g =,证明:20()()()2a a a g x g x dx g x dx ≤⎰⎰′′. 等号成立()g x cx ⇔=(c 为常数).证明设0()()xf xg t dt =⎰′，()()f x g t =′′，(0)0f =，因为()()(0)()()()xxg x g x g g t dt g t dt f x =-=≤=⎰⎰′′，()2222()()1()()()()1()()2222aaaa af x f a ag x g x dx f x f x dx g x dxg x dx ≤===⋅≤⎰⎰⎰⎰′′′′，当()g x cx =时，左边=2222aa c c xdx =⎰，右边=222022a a a c c dx =⎰，则左边=右边.由Schwarz 积分不等式，()g x c =′，[]0,x a ∈()g x c =′或()g x c =-′，0()()x xg t dt cdt g x cx =⇒=⎰⎰′. 3.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式推广的运用例3.[4]设()f x ，()g x 均在[],a b 上可积且满足: 1) ()0f x m ≥>， 2) ()0ba g x dx =⎰，则有:22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明利用(7)，取()1h x =，并注意到()0bag x dx =⎰，则()()()()()()()()()()0bbba a abbaabaf x f x dx f xg x dx f x dx f x g x dxg x g x dxo f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222()()()()()()()()bbbbbaaa aa b a f x dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx ⎡⎤⎡⎤=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰0≥，由此得到:222221()()()()()()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx f x dx g x dx b a ⎡⎤⎡⎤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰，注意到定理中的条件1): ()0f x m ≥>,于是22()()baf x dx m b a ≥-⎰，从而22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 3.3 Holder 积分不等式的应用例4. 设()f x ，()g x 为区间[],a b 上的可积函数，m N ∈，则:()()11()()()()m b m ba mm ab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰.证明把区间[],a b 分成n 等分，每个小区间长为x ∆，在每个小区间上取一点i ξ，则有11111()()()()nm m i ni i n m mi i ii f xf xg g xξξξξ++===∆∆≥∆∑∑∑因为()f x ，()g x 可积所以上式0x ∆→两端取极限，由极限保号性和黎曼积分定义有()()11()()()()m b m ba mmab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰结论得证.3.4 运用Minkowski 积分不等式证明范数例5.[5]当1p ≥时，证明[,]p L a b 按1()()ppbpa f x f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰定义中的范数()p f x 成为赋范线性空间.证明由 1()()0ppb pa f x f x dx ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭⎰，且()0f x =等价于()0f x =， ()()pp f x f x αα=，其中α为任意实(复)数.又由 Minkowski 积分不等式，当1p ≥时，对任何(),()[,]p f x g x L a b ∈，有 1()()()()ppb pa f x g x f x g x dx ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰11()()ppppb b a a f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()p p f x g x =+，所以[,]p L a b 按()p f x 成为赋范线性空间.4. 结束语本文主要给出了各种类型的Schwarz积分不等式，首先我们给出了的最基本Schwarz积分不等式，也就是最常见的Schwarz积分不等式；其次将Schwarz积分不等式进行一般形式推广；然后给出Schwarz积分不等式最出名的推广Holder积分不等式；最后给出Minkowski积分不等式.每一种Schwarz积分不等式都给出了相应的新的证明方法并给出一些实例加以说明.参考文献:【1】华东师范大学数学系编，数学分析上册(第三版)[M].高等教育出版社，2001.6.【2】匡继昌，常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989.【3】林琦焜，Cauchy-Schwarz不等式之本质和意义[J].数学传播，1995，24(1)：p26-42.【4】张小平, 解析不等式[M].北京:科学出版社，1987.【5】程其襄魏国强等编，实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].高等教育出版社，2003.7.。

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