收益率曲线与期限结构理论

当然，通常观测到的国债期限不可能如此规则， 此时可使用线性插值法得到所需期限的即期利率。比 如，在上例中还观测到一种期限为2.89年的债券，则 可以利用线性插值法得到0.89年、1.39年、1.89年和 2.39年的即期利率，然后利用2.89年期债券的价格数据 得到2.89年期即期利率。
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3.2 期限结构理论
到期日（年 ）
市价（元）
3 92.32
5 84.20
7 73.98
收益率曲线通常有四种基本形状，如图3-2 所示。
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3.1.3 期限结构的测度
在前面的例子中，我们是针对零息票债券来计算 得出收益率曲线的。但在实际当中，大多数债券并 不是零息票债券，而是附息票债券，这样，如果息 票利率不同，到期日相同的债券也可能会有不同的 到期收益率。也就是说，这种具有单值性的收益率 曲线只适用于零息票债券。零息票债券收益率曲线 有时也称为纯收益率曲线。
根据式（3-1），如果当前的3年期和2年 期零息票债券的到期收益率分别为y3=10%和 y2=9%，则意味着市场在当前将第3年的短期 利率确定为远期利率f3 =1.13/1.092-1=12%。
那么，市场为什么要在当前将第3年的 短期利率确定为12%呢？仅仅是因为市场预 期第3年的短期利率就是12%吗？
99.64 103.49 99.49
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设rn为n期的短期利率，yn为n期的即期利率 ，对于以上债券，有
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……
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由此可以得到各期“零息票债券”的到期收益率
y1=r1=4% y2=4.15% y3=4.464% …… 注意到以上的收益率都是以半年率表示的，转换 为年率应乘以2。至此，我们得到了由上述6种债券构 成的国债市场在该时刻的纯收益率曲线。
收益率曲线与期限结构 理论
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2020/3/22
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3.1 期限结构与收益率曲线
复习：利率的风险结构。
3.1.1 即期利率和远期利率
即期利率（spot interest rate）定义为从 今天开始计算并持续n年期限的投资的到期 收益率。这里所考虑的投资是中间没有支 付的，所以n年即期利率实际上就是指n年 期零息票收益率（zero-coupon yield）。
另一方面，由于流动性方面的原因，我们也不能
直接利用STRIPS的价格数据来构造零息票收益率曲
线。因此，我们必须根据一般的息票债券数据来计 算得出纯收益率曲线。
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得到曲线的方法是把每一个息票支付看作一 个独立的“微小”的零息票债券，这样息票债券就 变成许多零息票债券的组合。例如，一张10年期 、息票利率6％、半年付息、面值1000元的国债， 可以看作21张零息票债券的组合（20张面值30元 的零息票债券和1张面值1000元的零息票债券）。 通过决定这些“零息票债券”各自的价格（单位现 金流的现值），得到每期的短期利率或远期利率 ，再根据式（3-1）即可得出“零息票债券”的到期 收益率，从而得到纯收益率曲线。
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3.2.1 预期理论
该理论认为，远期利率等于市场整体对未来相
应时期短期利率的预期。因此，按照这一理论，上 例中3年期债券和2年期债券的到期收益率分别为10 ％和9％（对应着3年远期利率12％）就意味着市场 预期第3年的短期利率r3为12％，即f3=E(r3)。
通过循环迭代，式(3-1)可以变换为
以下我们举例说明这种方法的应用。
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例、假定国债市场上有如下6种债券，其中 息票债券为半年付息，面值都是100元。
到期日（年） 0.5 1.0 1.5
2.0 2.5 3.0
息票利率（％） 0.00 0.00 8.50
9.00 11.00 9.50
市价（元） 96.15 92.19 99.45
远期利率（forward interest rate）是由当 前时刻的即期利率隐含的将来某一时期的 短期利率。
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本资料来源
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在图3-1中，y1、y2、y3和y4分别为1年期、2年期 、3年期和4年期即期利率，r1、r2、r3和r4为当前、 第2年、第3年和第4年的短期利率（每一期的收益率 ），由当前的相应期限的即期利率隐含决定了与这 些短期利率相对应的远期利率：
思考：1）根据预期理论，反向的和水平 的收益率曲线分别反映了什么市场信息？
2）结合实际情况来看，预期理论有什么 缺陷？
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3.2.2 流动性偏好理论
该理论认为，远期利率等于市场整体对未来短 期利率的预期加上一个流动性溢价（liquidity premium）。之所以如此，是因为市场通常由短期投 资者控制，对于这类投资者而言，除非fn＞E(rn)，即 远期利率相对于他们所预期的未来短期利率有一个 溢价，否则他们不愿意持有长期债券。因此，按照 这一理论，前面例子中的3年远期利率为12％并非因 为市场预期第3年的短期利率为12％，而是因为市场 预期第3年的短期利率为低于12％的某个值，比如11 ％，同时要求远期利率对未来短期利率有1％的流动 性溢价。
在实际当中，收益率曲线是通过对国债 的市场价格与收益的观察来建立的，这一方 面是因为国债通常被认为没有违约风险，另 一方面也因为国债市场是流动性最好的债券 市场。
收益率曲线是一种时点图。
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例、假设国债市场上有到期日分别为3年 、5年和7年的三种零息票国债。在某一时刻， 这三种国债的市场价格如下表所示。已知三种 国债的面值都是100元。如何画出这一时刻的 收益率曲线？
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……
ห้องสมุดไป่ตู้显然，
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一般地，第n年的远期利率就定义为： (3-1)
例如，如果当前的3年期和2年期零息票债 券的到期收益率分别为y3=10%和y2=9%，则意 味着市场在当前将第3年的短期利率确定为远 期利率f3：
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3.1.2 期限结构和收益率曲线的含义
对于信用品质相同的债券，到期收益率 随到期日的不同而不同，两者之间的关系称 为利率的期限结构。将利率的期限结构用图 形来描述，就是收益率曲线（yield curve） 。
1+yn=[(1+r1)(1+f2)…(1+fn)]1/n
(3-2)
可见即期利率实际上是每一期利率的几何平均
值。对于一条上升的收益率曲线，由于yn+1＞yn， 因此根据式(3-2)一定有
fn+1＞yn
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而根据预期理论， fn+1=E(rn+1)，所以有 E(rn+1)＞yn
这就是说，根据预期理论，一条正向的收益率 曲线反映出市场预期未来利率将会上升。