一题多解与一题多变知识讲解

教师 余先文 班级 职高二（4） 时间 2016.5.25
教学目的：
数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们 在学习每一分支时，如果能注意知识的横向联系，把亲缘关系结成一张 网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通，这里所说的横向联系，主要是 靠一题多变和一题多解来完成的。通过一题多变和一题多解变式教学， 既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极 性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的，从而培养创新精神和 创造能力。数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从提 高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限 的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中，通过 利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式 进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独 创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感 自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。
x 1
的
x 1
x 1
单调递增区间为 ,1,1,
log 变题 4： 求函数 f (x)
( x 1) 的单调递增区间
2 x 1
log 解： 由 x 1 0 x 1或x 1，所以函数 f (x)
( x 1)
x 1
2 x 1
的单调递增区间为 1,, ,1
例 3：解不等式 3 < 2x - 3 < 5
例 1：已知 sin α = 4 且 α 是第二象限角，求 tanα 5
解： α 是第二象限角， sin α = 4 ⇒cosα = 一 1一sin 2 α = 一 3 , tan α = 一 4
5
5
3
变
1：
sin
α
=
4 5
，求
tan α
解： sin α = 4 > 0 ，所以 α 是第一或第二象限角 5
解法二：转化为不等式组求解 原不等式等价于
2x - 3 > 3且 2x - 3 < 5⇒3 < x < 4或 1< x < 0
{ 综上：解集为 x 3 < x < 4或-1< x < 0 }
解法三：利用等价命题法 原不等式等价于
3 < 2x - 3 < 5或 - 5 < 2x - 3 < -3 ，即 3 < x < 4或 -1< x < 0
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由 x+y=1 得 y=1-x，则
x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－21 ）2+21
由于 x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知
当
1 x=2
时，x2+y2 取最小值21
；当 x=0 或 1 时，x2+y2 取最大值 1。
若是第一象限角，则 cosα = 3 , tan α = 4
5
3
若是第二象限角，则 cos
一
4 5
,tan
一4 3
变 2：已知 sin α = m(m > 0) 求 tanα
解：由条件 0 < m ≤1，所以 当 0 < m <1 时， α 是第一或第二象限角 若是第一象限角时 cos α = 1一m2 , tan α = m 1一m 2 若是第二象限角 cos α = 一 1一m2 , tan α = 一 m 1一m 2 当 m =1时 tanα 不存在
求所得图象的函数表达式。
解 ： 将 函 数 f (x) 1 中 的 x 换 成 x+1 ， y 换 成 y-1 得 x
f (x) 1 1 f (x) 1 1 f (x) x
x 1
x 1
x 1
变题 1：作出函数
f (x)
x 1
的图象
x 1
解： 函数 f (x) x 1 =1 2 ，它是由函数 f (x) 2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变 量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本 的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导 数的运用等都可以求函数的最值。
解法二：（三角换元思想）由于 x+y=1，x、y≥0，则可设
x=cos2θ，y=sin2θ
π 其中θ∈[0，2 ]
则 x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ
=1－12 （2sinθcosθ）2=1－21 sin22θ
=1－12
1－cos4θ ×2
变 3：已知 sin α = m( m ≤1) ，求 tanα
解：当 m =1, 一1时， tanα 不存在 当 m = 0 时， tan α = 0 当 α 时第一、第四象限角时， tan α = m 1一m 2 当 α 是第二、第三象限角时， tan α = 一 m 1一m 2
例 2： 将函数 f (x) 1 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位， x
{ 解集为 x 3< x < 4或-1< x < 0 }
解法四：利用绝对值的几何意义意义
原不等式可化为
3
<x-3来自<5，不等式的几何意义时数轴上的点
x到
3 2
的距离大于
3 2
5 ，且小于 2
，由图得，
解集
2
22
为 {x 3< x < 4或-1< x < 0 }
解法五：平方法，化为一元二次不等式
例 4：已知 x、y≥0 且 x+y=1，求 x2+y2 的取值范围。
x 1 x 1
x
1 个单位得到。图象为：
变题 2：求函数
f
(x)
x
1
的单调递增区间
x 1
解： 由图象知 函数 f (x) x 1 的单调递增区间为： ,1, 1,
x 1
变题 3：求函数 f (x)
x 1
的单调递增区间
x 1
解： 由 x 1 0 得 x 1或x 1 所以函数 f (x)
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当 2x - 3 ≥ 0 时，不等式可化为 3 < 2x - 3 < 5 ⇒3 < x < 4 （2）当 2x - 3 < 0 时，不等式可化为 3 < -2x+3 < 5⇒-1< x < 0
{ 综上：解集为 x 3 < x < 4或-1< x < 0 }
3 =4