区间套
数分高数数学分析关于实数集完备性的基本定理
[a1 , b1 ] = [a, b]
a1 + b1 c1 = 2
如果
f (c1 ) 0
f (c1 ) = 0 结论已经成立，故可设
那么
f (a1 ) f (c1 )
与
f (c1 ) f (b1 )
f (a1 ) f (c1 ) 0
有一个小于零，不妨设 记
[a2 , b2 ] = [a1, c1 ]
lim(bn - an ) = lim
n
n = 1, 2,
b-a =0 n 2 n -1
（3） f (an ) f (bn ) 0
n = 1, 2,
由（1）和（2）知 { a , b } 是一个区间套，由定理
n n
7.1，存在 [an , bn ]
n n
n = 1, 2, 且有
故 ( , ) H , 使 ( , ), 于是由区间套定理推论
当n充分大时有 [an , bn ] ( , ).
这表明[an , bn ]只须用H中的一个开区间( , )就能覆盖， 与挑选[an , bn ]时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”矛盾.
从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖[a, b].
f ( x) M x0
作开区间集
H = {( x - x , x + x ) f ( x) M x , x [a, b], x ( x - x , x + x ) [ a, b]}
显然 H 覆盖了区间 [a, b] 根据有限覆盖定理，存在
H 中有限个开区间 ( x - , x + ) ( x2 - x , x2 + x ) 1 x1 1 x1
级别与区间套
而在实际应用中，通常为了兼顾精确与简便， 选操作级别为初始级别，用次级别确定精度， 高一级别观察中期方向，高二级别观察长期方 向。 初始级别的选择，需要综合考虑几个条件： 技术熟练度、投机性质、看盘时间、资金量、 标的活跃度、方便性等。 精度的选择，除了跟操作级别相关联外， 还需要考虑本期计划交易量，标的交易量可承 受范围。
级别是自同构性自组出来的，或者说是生长出 来的，自同构性就如同基因，按照这个基因， 这个图谱，走势就如同有生命般自动生长出不 同的级别来，不论构成走势的人如何改变，只 要其贪嗔痴慢疑不改变，只要都是人，那么自 同构性就存在，级别的自组性就必须存在。 级别的存在，使得对走势的判断可以联立了， 也就是可以综合起来系统地看了，这样，走势 的可能走势的边界条件就变得异常简单。 所以，看走势，不能光看一个级别，必须立体 地看，否则，就是浪费了自同构性结构给你的 有利条件。(81课：图例、更正及分型、走势 类型的哲学本质)
缠论的区间套最后定位在走势结束的最低（高） 的那一个价位上，这个价位逐级从最高级别 （背驰发生的级别可能是日线也可能是30分钟 等）到最低级别，逐步去找这个点，放大镜的 倍数越来越大，越来越清晰的去定位。当各个 级别都走入背驰段发生共振很可能1分钟甚至 更低级别的背驰导致大级别的背驰确认。通过 小级别来确认大级别的背驰，通过大级别背驰 来找小级别的背驰，在大级别没有背驰发生的 情况下，小级别的背驰不要轻举妄动很可能一 个小的调整把背驰消灭继续原来的走势。大级 别背驰，小级别的一个微小的变化都可能引起 大的情况，这个时候，小级别的背驰就要注意 了。
缠在这里明确地指出了你操作的级别，就是根 据你的资金量、操作水平和可操作的时间进行 一种操作级别的选择，这种级别是具有相对稳 定性，除非你的环境（资金量、操作水平以及 操作时间）发生了变化，否则不要改变。也就 是说，当你的操作级别一旦出现买卖点时，就 采取相应的操作。 为此，缠还专门分列几课来讲解同级别分解问 题，以指导不同级别的操作者进行操作。 对操作级别以下的次级别操作，也进行了细心 地指导。
缠论----区间套
缠论----区间套一、基本概念区间套：就是根据背驰段从高级别向低级别逐级寻找背驰点(即买卖点)的方法。
精确大转折点寻找程序定理：某大级别的转折点，可以通过不同级别背驰段的逐级收缩范围而确定。
二、应用要点某大级别的转折点，先找到其背驰段，然后在次级别图里，找出相应背驰段在次级别里的背驰段，将该过程反复进行下去，直到最低级别，相应的转折点就在该级别背驰段确定的范围内。
三、分析理解区间套寻找背驰点的理论依据：低级别背驰是本级别背驰的必要条件而非充分条件，换句话说，就是只有在低级别发生背驰时，本级别才可能背驰。
所以，我们可以从低级别去发现本级别背驰的精确点，也就是说次级别的背驰决定了背驰点，我们说某个级别的走势背驰了，那么必须确定它以下所有级别都转折了，这是所有背驰的前提。
四、操作指导第一种情况最普遍。
其特点是时间和级别完全契合。
具体方法就是本级别进入背驰段后，到次级别去寻找背驰点，然后逐级找下去，直到所有的级别都在背驰段，最小的级别最终背驰。
这种方法要求使用者对本级别以下的所有级别都同时关注，就像一个魔方，只对一面是不够的，只有多个面都对好才有价值。
第二种情况是小转大。
本级别并未进入背驰段，由于小级别的突发情况，导致本级别背驰，这种情况是无法抓到第一买点的，只能在次级别回抽确认之后才能买到。
这种情况发生在空头/多头陷阱，在本级别一个猛烈的上或下，但随后就反转了。
第三种情况是反复背离。
注意是背离不是背驰，所谓的背了又背就是这种情况，就是本级别进入了背驰段，但次级别以下的力度很大，导致本级别迟迟无法背驰，在本级别上就显示背了又背。
但是只要没有打破背驰段，就要密切注意。
这种情况发生在筑顶/底的时期，反复地诱多或诱空，诱多时要快出，诱空时可以战略建仓。
区间套是精度逐级确定的方法。
区间套操作的终极意义是追踪节点。
从高到低一级级背驰下去，一直追踪到某一单成交为止。
这个概念就好比在某个区域搜索一个人，先去定哪个区，然后哪栋楼，然后哪间房，然后哪个座位。
区间套定理证明
区间套定理证明摘要：1.区间套定理的概念2.区间套定理的证明方法3.区间套定理的应用示例正文：一、区间套定理的概念区间套定理，是数学分析中的一个重要定理，主要用于研究函数的性质和单调性。
该定理主要描述了函数在一个区间内的取值情况，为研究函数的值域和单调性提供了有力的工具。
二、区间套定理的证明方法区间套定理的证明方法有多种，这里我们介绍一种较为常见的证明方法。
证明：设函数f(x) 在区间[a, b] 上连续，在开区间(a, b) 内单调，且f(a) 与f(b) 的值确定。
我们用f(x) 的值域为A，那么A 是[a, b] 的一个子集。
我们在[a, b] 上取一个新的函数g(x)，使得g(x) 的值域是A。
由于f(x) 在(a, b) 内单调，所以g(x) 在(a, b) 内也单调。
由于f(a) 与f(b) 的值确定，所以g(a) 与g(b) 的值也确定。
于是我们可以在[a, b] 上构造一个新的函数h(x)，使得h(x) 在[a, b] 上连续，且h(x) 在(a, b) 内单调。
同时，h(a) = g(a)，h(b) = g(b)。
根据罗尔定理，h(x) 在[a, b] 上必然有一点c，使得h"(c) = 0。
由于h(x) 在(a, b) 内单调，所以h(x) 在[a, b] 上也单调。
由于h(a) = g(a)，h(b) = g(b)，所以g(x) 在[a, b] 上也单调。
由于g(x) 的值域是A，所以A 是[a, b] 的一个子集。
于是我们证明了f(x) 的值域是[a, b] 的一个子集。
三、区间套定理的应用示例区间套定理在数学分析中有广泛的应用，下面我们举一个应用区间套定理的例子。
例：设函数f(x) 在区间[0, 1] 上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1。
证明f(x) 在[0, 1] 上的值域是[0, 1]。
证明：由于f(x) 在[0, 1] 上连续，所以f(x) 在[0, 1] 上的值域是[f(0), f(1)]。
怎么用区间套定理证明柯西收敛准则
怎么用区间套定理证明柯西收敛准则文章标题：深入探讨区间套定理：如何用它证明柯西收敛准则在数学分析中，柯西收敛准则是判定数列收敛性的重要工具之一。
而区间套定理则是实数理论中的基本定理之一，为证明柯西收敛准则提供了重要支持。
本文将从区间套定理的基本概念入手，深入探讨如何利用它来证明柯西收敛准则，希望能为读者提供清晰、深入的理解。
一、区间套定理的基本概念区间套定理是实数理论的基本定理之一，它阐述了一个关于实数轴上闭区间的序列交叠性质。
具体而言，区间套定理指出，如果对于任意正整数n，都能找到一个闭区间In，使得In+1是In的子集，且In的长度趋于零，那么存在唯一的实数c，它同时属于所有这些闭区间的交集。
这一定理在实数分析和拓扑学中有着广泛的应用，其中之一就是证明柯西收敛准则。
二、柯西收敛准则的基本概念柯西收敛准则是数学分析中用来判断数列收敛性的一条重要准则。
若对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n，m均大于N时，数列的前n项和前m项的差的绝对值小于ε，即|an - am| < ε，那么这个数列就是柯西收敛的。
这个准则的重要性在于，它不需要数列的极限存在和具体值，只要数列中的项足够接近，就能保证其收敛性。
接下来，我们将通过区间套定理来证明柯西收敛准则。
三、使用区间套定理证明柯西收敛准则我们考虑一个柯西数列{an}，根据柯西收敛准则，对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n，m均大于N时，有|an - am| < ε。
现在，我们希望利用区间套定理来证明这个数列的收敛性。
我们可以构造一个闭区间序列{In}，其中每个闭区间In表示有限个数列项的取值范围。
具体而言，我们可以将第n个闭区间In定义为[a1n, b1n]，其中a1n和b1n分别是数列{a1, a2, ... an}的最小和最大值。
显然，由于数列是柯西收敛的，所以每个闭区间的长度都会趋于零。
根据区间套定理，存在唯一的实数c，它同时属于所有这些闭区间的交集。
闭区间套定理推论
闭区间套定理推论
闭区间套定理（也称为Cantor定理）是实分析中的一个重要结果，它陈述了在完备的度量空间中，若一个闭区间序列满足闭区间的长度趋于零，那么这个闭区间序列存在唯一的公共点。
根据闭区间套定理可以得出以下推论：推论1：闭区间套定理的推论是由闭区间无限分割的情况，即若一个完备的度量空间中存在一列闭区间，并且每一个闭区间都是前一个闭区间的子集，且闭区间的长度趋于零，那么存在唯一的公共点，这个点是所有闭区间的交点。
推论2：闭区间套定理的推论可以推广到一般的度量空间，其中的“闭区间”可以替换为“紧集”。
紧集是在度量空间中满足有界闭的性质，类似于闭区间的性质。
推论3：闭区间套定理的推论在实际问题中被广泛应用。
例如，通过使用闭区间套定理的推论可以证明实数轴上的二分法定理，可用于证明函数的连续性，以及在数值计算中的近似解等问题。
注意，以上是闭区间套定理的一些常见推论，但具体的推论可能还会涉及到更具体的数学领域和应用领域。
区间套定理证明
区间套定理证明一、区间套定理的基本概念区间套定理（Interval Division Theorem）是数学中一个关于区间分割的定理。
它指出，对于任意一个实数，都可以通过不断缩小区间的办法，找到一个区间，使得这个区间内的所有实数都满足给定的条件。
区间套定理在数学分析、数值计算等领域具有广泛的应用。
二、区间套定理的证明过程区间套定理的证明过程可以分为以下几个步骤：1.设区间A的左端点为a，右端点为b，区间长度为Δx。
2.假设存在一个实数c，位于区间A内，满足条件。
3.将区间A分割为两个子区间：左子区间（A1）的左端点为a，右端点为c；右子区间（A2）的左端点为c，右端点为b。
此时，Δx1为左子区间的长度，Δx2为右子区间的长度。
4.由于c满足条件，因此可以在左子区间A1中找到一个实数d，使得d 满足条件。
将左子区间A1继续分割为两个子区间：左子区间（A3）的左端点为a，右端点为d；右子区间（A4）的左端点为d，右端点为c。
此时，Δx3为左子区间的长度，Δx4为右子区间的长度。
5.重复步骤4，直到左子区间的长度Δxn趋近于0。
此时，得到的左子区间（An）即为所求的满足条件的区间。
三、区间套定理的应用实例1.求解方程根：对于一元二次方程ax+bx+c=0，可以通过区间套定理求解其根的位置。
首先确定方程的判别式Δ=b-4ac的符号，然后选取一个合适的区间（如[-1,1]），利用区间套定理逐步缩小区间，直到找到满足条件的根。
2.数值计算：在计算机科学中，区间套定理可用于求解非线性方程组、求解微分方程初值问题等。
通过不断缩小区间，可以提高计算精度。
四、结论与启示区间套定理告诉我们，只要我们找到一个合适的区间，就可以通过不断缩小区间的办法求解实数满足的条件。
在实际应用中，区间套定理为我们提供了一种有效的方法，帮助我们解决了许多数学问题。
“开区间套”的充要条件及其证明与推广
“开区间套”的充要条件及其证明与推广首先，我们先了解一下开区间套的定义。
给定一个有限或无限的序列$I_1, I_2, I_3, ...$，其中每个$I_n$都是一个开区间，并且对于每一个$n \geq 1$，都有$I_{n+1} \subset I_n$，那么我们称这样的序列为开区间套。
接下来，我们来证明开区间套的充要条件。
充分性证明：假设有一个序列$I_1, I_2, I_3, ...$满足对于每个$n \geq 1$，都有$I_{n+1} \subset I_n$，我们要证明这个序列是一个开区间套。
首先，对于每个$n \geq 1$，我们知道$I_n = (a_n, b_n)$，其中$a_n < b_n$。
由于$I_{n+1} \subset I_n$，则必有$I_{n+1} =(a_{n+1}, b_{n+1}) \subset (a_n, b_n)$。
我们来观察$a_{n+1}$和$b_{n+1}$的取值范围。
由于$I_{n+1}$是开区间，所以$a_{n+1} < b_{n+1}$。
同时，由于$I_{n+1} \subset I_n$，所以$a_{n+1} \geq a_n$且$b_{n+1} \leq b_n$。
因此，我们得到了以下推导：$a_1<a_2<a_3<...<a_n<...<b_n<...<b_3<b_2<b_1$可以看出，对于每个$n$，$a_n$和$b_n$分别是一个递增和递减的序列。
并且由于$a_{n+1} \geq a_n$且$b_{n+1} \leq b_n$，所以对于任意的$m < n$，有$a_m \leq a_n$且$b_m \geq b_n$。
因此，我们可以得到$a_1<a_2<a_3<...<a_n<...<b_n<...<b_3<b_2<b_1$。
区间套定理证明
区间套定理证明1. 引言区间套定理是实分析中的一个重要定理，它在数学分析、拓扑学以及其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍区间套定理的定义、证明思路和具体证明过程。
2. 定义首先，我们来定义区间套。
定义1：区间套设给定一系列闭区间[a n,b n]，其中n∈ℕ。
如果满足以下两个条件：1. 区间之间存在包含关系，即对于任意自然数n，都有a n+1≤a n且b n+1≥b n； 2. 区间长度逐渐趋于0，即lim n→∞(b n−a n)=0。
则称闭区间序列[a n,b n]为一个区间套。
3. 区间套定理接下来，我们将介绍区间套定理。
定理2：区间套定理如果存在一个闭区间套{[a n,b n]}，满足上述定义，并且这个闭区间套的长度逐渐趋于0，则存在唯一的实数c，使得c∈[a n,b n]对于所有n∈ℕ成立。
简言之，区间套定理表明，在实数轴上的闭区间套中，存在一个实数c，它同时属于每一个闭区间[a n,b n]。
4. 证明思路我们将使用实数完备性公理来证明区间套定理。
实数完备性公理：如果对于任意的实数序列{a n}满足a1≤a2≤a3≤⋯≤a n，则存在一个实数L，使得L=lim n→∞a n。
我们将利用实数完备性公理来证明区间套定理。
首先，我们构造两个序列{a n}和{b n}，使得a n是闭区间[a n,b n]的左端点，b n是闭区间[a n,b n]的右端点。
然后证明这两个序列分别满足单调有界条件，并利用实数完备性公理得出结论。
5. 证明过程步骤1：构造两个序列给定一个闭区间套{[a n,b n]}，我们构造两个序列{a n}和{b n}： - 序列{a n}：每一项a n是闭区间[a n,b n]的左端点； - 序列{b n}：每一项b n是闭区间[a n,b n]的右端点。
步骤2：证明序列{a n}和{b n}满足单调有界条件由定义可知，对于任意自然数n，都有a n+1≤a n且b n+1≥b n。
区间套定理笔记
区间套定理笔记一、区间套定理是啥区间套定理啊，就像是俄罗斯套娃一样有趣呢。
它说的是，如果有这么一堆区间，一个套一个，就像[an, bn]这样的区间，而且随着n越来越大，这个区间的长度(bn - an)会越来越小，小到趋近于0，那在这些区间里就有一个唯一的点，这个点就在所有的这些区间里面。
比如说，[1, 2]、[1.5, 1.8]、[1.6, 1.7]这样的区间一直套下去，最后就会有一个确定的点在这些区间里。
这定理听起来是不是很神奇呀？二、定理的证明这个定理的证明呢，其实也不是特别难理解。
我们可以这样想，因为这些区间是一个套一个的，左边的端点an是一直在增大的，但是有上限，就是那些区间的右边端点bn，右边的端点bn是一直在减小的，但是有下限，就是那些区间的左边端点an。
根据单调有界定理，an和bn都有极限。
然后再通过一些简单的极限运算就可以证明这个极限是一样的，而且这个极限就是那个唯一在所有区间里的点。
感觉就像是在玩一个逻辑推理的游戏一样，一步步把这个定理给证明出来。
三、定理的应用1. 在数学分析里，这个定理可有用啦。
比如说在证明一些函数的连续性的时候，我们就可以利用区间套定理来找到那个关键的点，来判断函数在这个点是不是连续的。
就像是在一堆杂乱的线团里找到那根关键的线头一样。
2. 在实分析中，区间套定理也经常被用来构造一些特殊的集合或者证明一些关于实数的性质。
比如要证明实数的完备性，区间套定理就可以派上大用场啦。
它就像是一个万能的工具，在不同的数学领域里都能发挥作用。
四、自己的理解我觉得区间套定理就像是数学世界里的一个小秘密。
它把一些看似复杂的数学关系用一种很简洁的方式表达了出来。
每次我想到这个定理，就感觉像是进入了一个神秘的数学城堡，这个定理就是打开城堡里某个宝藏房间的钥匙。
而且通过这个定理，我也更加理解了数学的严谨性和逻辑性。
就像搭积木一样，每一个定理都是一块积木，只有把这些积木搭得稳稳的，才能构建出宏伟的数学大厦。
cantor闭区间套定理
cantor闭区间套定理Cantor闭区间套定理是数学分析中一个重要的定理，用以描述闭区间的交集存在非空，且交集中只含有一个点的性质。
这一定理在数学分析、拓扑学以及实分析等领域中有着广泛的应用和研究。
在实际问题中，闭区间套定理常常被用来证明数学命题，解决实际问题中的不确定性，以及帮助建立数学模型和理论。
首先，我们来看一下闭区间的定义：在实数集合中，闭区间是指由两个实数端点所确定的区间，包含了这两个端点以及它们之间的所有实数。
形式上，闭区间可以表示为[a, b]，其中a和b分别为区间的左右端点，满足a ≤ b。
例如，[0, 1]表示了一个包含了0和1之间所有实数的闭区间。
接下来，我们给出Cantor闭区间套定理的正式表述：设{[an, bn]}是一列闭区间，满足an ≤ an+1且bn ≥ bn+1（n ∈ ℕ），则存在唯一的实数ξ，使得ξ同时属于所有的闭区间{[an, bn]}。
换言之，所有闭区间的交集不为空，并且只包含唯一的实数ξ。
在实际应用中，闭区间套定理常常被用来证明一些数学命题。
例如，在实分析课程中，闭区间套定理可以被用来证明实数完备性的一个等价定义，即柯西序列有界性和极限存在性。
通过构造一列闭区间，使得每一个闭区间包含了柯西序列的一个有限段，然后利用闭区间套定理证明这些闭区间的交集不为空，从而推出柯西序列的极限存在性。
此外，闭区间套定理在拓扑学中也有着重要的应用。
在拓扑空间中，闭区间套定理可以被用来证明Bolzano-Weierstrass定理，即有界闭集必有聚点。
通过构造一列有界闭集，并利用闭区间套定理证明这些闭集的交集不为空，从而得到这些闭集的聚点，即证明了Bolzano-Weierstrass定理。
除了在数学分析和拓扑学中的应用外，闭区间套定理还可以帮助解决一些实际问题中的不确定性。
例如，在金融领域中，闭区间套定理可以被用来证明某种金融资产价格的波动范围。
通过构造一列包含了最高价和最低价的闭区间，并利用闭区间套定理证明这些闭区间的交集不为空，从而确定了该金融资产价格的波动范围，帮助投资者做出更加明智的投资决策。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 7 第七章拾遗 (7.1.1) 闭区间套原理
一元微积分与数学分析—闭区间套原理梅加强南京大学数学系区间套:设{I n}为一列区间,如果I1⊃I2⊃···⊃I n⊃···,则称{I n}为区间套;当I n 均为闭区间时称为闭区间套.区间套:设{I n}为一列区间,如果I1⊃I2⊃···⊃I n⊃···,则称{I n}为区间套;当I n 均为闭区间时称为闭区间套.定理1(Cantor)设{[a n,b n]}为闭区间套.如果lim(b n−a n)=0,则这些闭区间有唯一的公共点.n→∞区间套:设{I n}为一列区间,如果I1⊃I2⊃···⊃I n⊃···,则称{I n}为区间套;当I n 均为闭区间时称为闭区间套.定理1(Cantor)(b n−a n)=0,则这些闭区间有唯一的公共点.设{[a n,b n]}为闭区间套.如果limn→∞证明.由题设可知,{a n}单调递增,{b n}单调递减,它们均位于区间[a1,b1]中,从而为有界数列.这说明{a n}和{b n}都收敛,设其极限分别为α,β.由a n<b n和极限的保序性质可知α≤β.由{a n}和{b n}的单调性可知a n≤α,β≤b n.于是α,β为{[a n,b n]}的公共点.证明(续).注意到0≤β−α≤b n−a n,∀n≥1.(b n−a n)=0即得α=β.如果{[a n,b n]}另有公共点γ,则令n→∞,由limn→∞0≤|γ−α|≤b n−a n,∀n≥1.同理可得γ=α.证明(续).注意到0≤β−α≤b n−a n,∀n≥1.(b n−a n)=0即得α=β.如果{[a n,b n]}另有公共点γ,则令n→∞,由limn→∞0≤|γ−α|≤b n−a n,∀n≥1.同理可得γ=α.注1定理中的闭区间换成开区间时结论一般不再成立,如(0,1)⊃(0,1/2)⊃···⊃(0,1/n)⊃···是开区间套,但这些开区间没有公共点.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集. 可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集. 可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.换句话说,X为可数集是指其元素可以排成一行:X={x1,x2,···,x n,···}.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集. 可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.换句话说,X为可数集是指其元素可以排成一行:X={x1,x2,···,x n,···}.整数集是可数集:Z={0,−1,1,−2,2,···,−n,n,···}.可数集我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集.可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.换句话说,X为可数集是指其元素可以排成一行:X={x1,x2,···,x n,···}.整数集是可数集:Z={0,−1,1,−2,2,···,−n,n,···}.有理数集是可数集:像整数那样,只要能将正有理数排成一行即可.正有理数都可以写成既约分数p/q的形式,其中p,q是互素的正整数.这些既约分数可以按照如下规则排成一行:先按p+q的大小排(按从小到大的顺序排列),当分子分母之和相同时,根据分子的大小按从小到大的顺序排列.这样就可以将正有理数不重复也不遗漏地排成了一列.只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.问题1:是否存在不可数集?只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.问题1:是否存在不可数集?实数集R是不可数集.只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.问题1:是否存在不可数集?实数集R是不可数集.证明.(反证法)实数集是无限集,如果它是可数集,记R={x1,···,x n,···}.将区间[0,1]三等分,必有一个等分区间不含x1,记该区间为[a1,b1].再对[a1,b1]三等分,必有一个等分区间不含x2,记该区间为[a2,b2].如此继续等分[a2,b2]等等,我们就得到闭区间套[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃···⊃[a n,b n]⊃···,使得当n≥1时x n/∈[a n,b n].注意limn→∞(b n−a n)=limn→∞3−n=0,根据闭区间套原理,{[a n,b n]}有一个公共点.此公共点属于R,但又不等于任何一个x n,这就导出了矛盾.定理2(零值定理)设f∈C0[a,b],如果f(a)f(b)≤0,则存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.定理2(零值定理)设f∈C0[a,b],如果f(a)f(b)≤0,则存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.证明.我们用闭区间套原理证明.不妨设f(a)<0,f(b)≥0.将[a,b]二等分,如果f(a+b)/2≥0,则取a1=a,b1=(a+b)/2;如果f(a+b)/2<0,则取a1=(a+b)/2,b1=b.再将[a1,b1]二等分,用[a2,b2]表示满足f(a2)<0,f(b2)≥0的那一半小区间.如此继续,可得闭区间套{[a n,b n]},使得f(a n)<0,f(b n)≥0总成立.注意到b n−a n=2−n(b−a)趋于零,由闭区间套原理,存在ξ∈[a,b],使得{a n}和{b n}均收敛于ξ.由f连续可得0≥limn→∞f(a n)=f(ξ)=limn→∞f(b n)≥0,这说明f(ξ)=0.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.如果A的补集是开集,则称A为闭集.注意:一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如有理数集就是如此.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.如果A的补集是开集,则称A为闭集.注意:一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如有理数集就是如此.例1设A既是开集,又是闭集,则A=∅或A=R.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.如果A的补集是开集,则称A为闭集.注意:一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如有理数集就是如此.例1设A既是开集,又是闭集,则A=∅或A=R.证明.定义函数f(x)如下:当x∈A时,f(x)=1;当x/∈A时f(x)=−1.由已知条件可知A和补集A c都是开集,因此f是连续函数(因为它是局部常值的).由零值定理即知f≡−1或f≡1.即A=∅或A=R.定理3(Baire纲定理)设{A n}为一列闭集,如果每一个A n都没有内点,则 ∞n=1A n也没有内点.定理3(Baire 纲定理)设{A n }为一列闭集,如果每一个A n 都没有内点,则 ∞n =1A n 也没有内点.证明.我们用闭区间套原理来证.(反证法)设a 为A = ∞n =1A n 的内点,则存在δ>0,使得(a −δ,a +δ)⊂A .根据已知条件,A 1没有内点,因此存在a 1∈(a −δ,a +δ)∩A c 1.又由A 1为闭集可知(a −δ,a +δ)∩A c 1为开集.因此存在δ1>0,使得(a 1−δ1,a 1+δ1)⊂(a −δ,a +δ)∩A c 1.记I 1=[a 1−δ1/2,a 1+δ1/2].又因为A 2没有内点,重复刚才的论证可知存在a 2∈A c 2,δ2>0,使得(a 2−δ2,a 2+δ2)⊂(a 1−δ1/2,a 1+δ1/2)∩A c 2.记I 2=[a 2−δ2/2,a 2+δ2/2],则I 2⊂I 1,|I 2|=δ2≤δ1/2=|I 1|/2.证明(续).重复上述论证过程可得一列闭区间套{I n},使得|I n|→0(n→∞)且I n⊂A c n,∀n≥1.根据闭区间套原理,{I n}有公共点ξ∈(a−δ,a+δ)⊂A.然而,ξ不属于任何A n,这就导出了矛盾.证明(续).重复上述论证过程可得一列闭区间套{I n},使得|I n|→0(n→∞)且I n⊂A c n,∀n≥1.根据闭区间套原理,{I n}有公共点ξ∈(a−δ,a+δ)⊂A.然而,ξ不属于任何A n,这就导出了矛盾.思考问题2:是否存在某个函数,使得其间断点集恰为无理数集?证明(续).重复上述论证过程可得一列闭区间套{I n},使得|I n|→0(n→∞)且I n⊂A c n,∀n≥1.根据闭区间套原理,{I n}有公共点ξ∈(a−δ,a+δ)⊂A.然而,ξ不属于任何A n,这就导出了矛盾.思考问题2:是否存在某个函数,使得其间断点集恰为无理数集?提示:间断点集可以表示为一列闭集的并.。
实数域中的完备性与区间套定理
实数域中的完备性与区间套定理在数学领域中，实数域是非常重要的一个概念。
实数域包含了所有的有理数和无理数，它是一个无穷无尽的数集。
实数域的一个重要性质就是其完备性。
完备性是指实数域中的每一个非空子集都有一个上确界和一个下确界。
首先，我们来了解一下上确界和下确界的概念。
在实数域中，给定一个非空的有上界的数集，那么这个数集的上确界就是这个数集中的最小上界。
类似地，给定一个非空的有下界的数集，那么这个数集的下确界就是这个数集中的最大下界。
上确界和下确界的存在性是实数域完备性的一个重要体现。
实数域的完备性可以通过区间套定理来进行证明。
区间套定理是实数域完备性的一个重要推论。
它的表述是：如果在实数域中有一系列闭区间[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...，满足以下两个条件：1. 对于任意的正整数n，都有[a(n+1), b(n+1)]是[a(n), b(n)]的子集；2. 这些闭区间的长度都趋于零，即对于任意的正整数n，都有b(n) - a(n) → 0。
那么，区间套定理就保证了存在一个实数x，它同时属于所有的闭区间[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...。
这个实数x就是这个闭区间序列的交集的唯一元素。
这个定理的证明可以通过实数域的确界性质和序列的收敛性进行推导。
区间套定理的重要性在于它为实数域的完备性提供了一个重要的工具。
通过区间套定理，我们可以证明实数域中的柯西序列是收敛的。
柯西序列是指对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n, m > N时，序列中的任意两个元素的差的绝对值小于ε。
柯西序列的收敛性是实数域完备性的一个重要推论。
实数域的完备性和区间套定理在数学分析中有广泛的应用。
它们为我们解决一些重要的数学问题提供了有力的工具。
例如，通过实数域的完备性，我们可以证明无理数的存在性，以及无理数的无限循环小数表示。
通过区间套定理，我们可以证明实数域中的闭区间套序列都有一个公共点，这个点可以用来构造实数域中的实数。
区间套定理证明聚点定理
区间套定理证明聚点定理在数学中，聚点定理（又称序及定理）是指一个连续函数和它的导数存在的区间段内，当函数的系数非零时，必然存在至少一个实根，从而使函数及其导数同时为零。
这一定理了解了多项式聚点的情况，所以又被称为聚点定理。
聚点定理是由卡西定理（Rolle Theorem）和区间套定理（Interval Extension Theorem），具体而言，按照下面的具体过程，可以得出聚点定理的证明。
首先，卡西定理（Rolle Theorem）要求一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，其导数$f(x)$也在区间$[a,b]$上连续，如果$f(a)=f(b)$，则存在一个$alpha in (a,b)$，满足$f(alpha)=0$，即使函数$f(x)$在区间$[a,b]$上没有零点，但其导数$f(x)$必定会有一个零点。
然后，区间套定理（Interval Extension Theorem）要求，一个函数$f(x)$在一个区间$[a,b]$中，其导数$f(x)$有一个零点，那么函数$f(x)$必定有一个零点且其在区间$[a,b]$内，而不只是在这一段区间的边界处。
通过结合上述两个定理，可以获得聚点定理的证明。
假定多项式$P(x)$在区间$[a,b]$上满足$P(a)eq 0$和$P(b)eq 0$，其中$a<b$。
由于$P(x)$在区间$[a,b]$上存在，其导数$P(x)$在此区间上连续，所以，调用卡西定理（Rolle Theorem），在这一段区间内必然存在一个实数$alpha$，满足$P(alpha) = 0$。
有了上述条件，我们可以使用区间套定理（Interval Extension Theorem）来证明多项式$P(x)$在这一段区间$[a,b]$内必然有至少一个实根。
那么，我们就可以获得聚点定理：如果一个多项式$P(x)$在区间$[a,b]$上满足$P(a)eq 0$和$P(b)eq 0$，其中$a<b$，那么就存在至少一个实根$x_0$，使得$P(x_0) = 0$。
怎么用区间套定理证明柯西收敛准则
怎么用区间套定理证明柯西收敛准则引言在实数集中，收敛是数学分析中一个重要的概念。
柯西收敛准则是判断一个数列是否收敛的一种方法。
在本文中，我们将通过使用区间套定理来证明柯西收敛准则。
柯西收敛准则柯西收敛准则是一种用于判断数列是否收敛的方法。
它的表述如下：对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n和m大于N时，对应的数列元素满足以下条件：|an - am| < ε换句话说，如果对于任意给定的精度ε，存在一个正整数N，使得当n和m大于N 时，数列元素之间的差值小于ε，则称该数列是柯西收敛的。
区间套定理区间套定理是实分析中一个重要的结论。
它描述了闭区间序列之间存在交集，并且交集唯一。
具体表述如下：如果{[a1, b1], [a2, b2], …} 是一系列闭区间，并且满足以下两个条件：1.所有闭区间都是非空有限长度的；2.对于任意给定的正整数n，闭区间长度满足 b(n+1) - a(n+1) < bn - an；那么，存在唯一的实数c，使得c同时属于所有闭区间。
证明为了证明柯西收敛准则，我们将使用区间套定理。
假设有一个数列{an}满足柯西收敛准则。
我们需要证明该数列是收敛的。
首先，我们定义一个闭区间序列{[a1, b1], [a2, b2], …}，其中an属于[a_n, b_n]。
根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n和m大于N时，|an - am| < ε。
接下来，我们定义闭区间长度序列{bn - an}。
根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的正整数n和m（n > m），有|an - am| < ε。
因此，在这种情况下有bn - an < ε。
根据区间套定理的条件2，我们可以得到以下结论：对于任意给定的正整数n，闭区间长度满足 b(n+1) - a(n+1) < bn - an。
换句话说，闭区间序列中每个闭区间长度都比前一个小。
区间套定理
区间套定理
间隔囊括定理（Interval Enclosure Theorem）是物理学、中等物理学及数学中的
一个重要定理，它主要是用来说明由几何点之间构成的空间中有限几何元素（差分）之间
的紧密关系。
这个定理也经常在形状分析、空间测量、应用数学和图像处理等方面被用来
寻找最优的解决方案。
间隔囊括定理的基本结构如下：定义一个几何元素（或差分）在数学中，这意味着一
组关系式必须满足，使得指定的一组空间元素（差分）能够从这组关系式中得到精确定位。
定理则规定，当这组空间元素（差分）满足一定的条件时，它们能够相对定位，在matrix 仿射空间（matrix affine spaces）中能够正确的拓扑关系。
在形状分析技术（shape analysis techniques）中，间隔囊括定理常常被用来构建
诸如差分元素之等的几何结构，从而完成形状描述的几何分析（geometric analysis）。
它也能够把原因和结果之间的数学关系全部展示出来，从而更全面的了解它们之间的关系。
此外，间隔囊括定理还可以应用于空间测量，使得多个差分元素能够更精确的定位于
空间中。
它还可以根据诸如差分平面之类的几何元素来构建几何学模型，这样，就能够了
解到其量化模型能够正确处理数据，使得更精确的定位结果得以可视化显示出来。
总而言之，间隔囊括定理还可以用于图像处理，通过构建分析模型，来更精准的定位
图像中的空间参数，从而实现更好的图像分析效果。
它也能够分析几何学模型中的数学关系，以最优的方式处理数据。
数学分析区间套定理 聚点定理及应用
1 n
，易
见
lim
n
xn
。
2、聚点定理及证明：给出聚点定理并用区间套定理加以证明 教师板书 定理 2 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集 S 至 少有一个聚点．
证 因 S 为有界点集，故存在 M 0 ，使得 S M , M ，记 a1,b1 M , M
现在证明数 就是数列 an 的极限．事实上，由定理 7.1 的推论，对任给的 0 ，
存在 N 0 ，使得当 n N 时有
n , n U (; )
因此在U (; ) 内除有限外的所有项，这就证得
lim
n
an
．
四. 聚点与聚点定理
1、聚点的定义
现将 a1,b1 等分为两个子区间．因 S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个
含有 S 中无穷多个点，记此子区间为 a2 ,b2 ，则 a1,b1 a2 ,b2 且
b2
a2
1 2
b1
a1
M
再将 a2 ,b2 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有 S 中无穷多个点，
复习 定理证明与例题
123
聚点定理
讲授新拓展内容
课后总结
说明区间套定理与聚点定理的作用
系主任
年
月
日
教学过程全设计与教学内容 教学内容
备注
一、复习柯西收敛准则，单调有界原理与致密性定理，请同学回答，教师只板书单
调有界原理；
区间套定理与聚点定理（板书）
二．区间套与区间套定理
1. 首先，开门见山给出区间套的定义： 教师板书；
有限覆盖定理证明闭区间套定理
有限覆盖定理证明闭区间套定理
有限覆盖定理证明闭区间套定理是指：对于有界闭区间[a，b]的一个(无限)开覆盖H中，总能选出有限个开区间来覆盖[a，b]。
(区间套定理：若[an,bn]是一个区间套，则在实数系中存在唯一一点C，使对任何n都有c属于[an,bn].{an}单调递增，{bn}单调递减，都以c为极限。
)证明：用反证法假定不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。
记这个子区间为[a1,b1],则
[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.再将[a1,b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖。
记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-
a)/2^2.重复以上步骤并不断进行下去，则可得到区间列{[an,bn]},它满足区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。
但，由区间套定理，存在唯一点c属于所有区间
[an,bn].由于H是[a,b]的开覆盖，一定存在H中的一个开区间
(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0N时,a0<an<=c<=bn<b0.这表明，只用开区间(a0,b0)就覆盖了区间[an,bn].这与挑选[an,bn]时假设“[an,bn]不能用H中有限个开区间覆盖”矛盾。
从而证得，必存在H中有有限个开区间能覆盖[a,b].。
用区间套证明柯西收敛知乎
用区间套证明柯西收敛知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：柯西收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了数列或者函数在数学上收敛的一种方式。
柯西收敛是指对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n和m大于N时，数列或函数值的距离小于ε，也就是说，数列或函数的值足够接近一个确定的极限值。
在数学中，我们经常需要证明柯西收敛性质，而使用区间套证明方法是一种有效的方式。
区间套证明方法是通过不断缩小包含极限值的区间来证明柯西收敛性质的方法，下面我们就来从基本概念开始，用区间套证明方法来证明柯西收敛。
我们需要先了解柯西收敛的定义。
对于一个实数数列{an}，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n和m大于N时，有|an - am| < ε成立，则称该数列是柯西收敛的。
这个定义可以直观地理解为数列中的元素足够接近，当n和m足够大时，距离会无限接近于零。
然后，我们可以构造一个包含极限值的区间序列，即在数轴上确定一段长度为ε的区间I1=[a1-ε,a1+ε]，这个区间可以包含数列的前几个项。
然后我们继续取下一个区间I2=[a2-ε,a2+ε]，这个区间同样包含数列的相邻项。
接着我们取下一个区间I3=[a3-ε,a3+ε]，如此反复操作下去，便得到一系列逐渐缩小的区间序列{In}。
由于假设数列是柯西不收敛的，说明数列中的元素对应的区间序列{In}无法构成一个区间套。
即存在两个不相交的区间In和Im，其中n<m，使得In∩Im=∅。
由于In和Im不相交，说明数列中的元素对应的区间包含的元素不相邻，即他们之间的距离大于ε。
根据区间套定理，一个区间套要么是无限接近，要么是存在两个不相交的区间，即实数轴上的柯西收敛序列在数列足够大时，距离将足够接近于零。
因此我们得出了矛盾，这说明了我们最初的假设是错误的，即实数数列{an}是柯西收敛的。
柯西收敛是数学分析中一个重要的概念，它描述了数列或函数在数学上的收敛性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本科毕业论文 (设计) 如果写作的是论文就删设计，如果写作的是设计就删论文题目数学课堂教学系别数学系专业数学与应用数学指导教师（姓名居中）评阅教师（姓名居中）班级2003级1班姓名（姓名居中）学号（学号居中）年月日目录摘要(四号黑体不加粗) (Ⅰ)Abstract(四号Times New Roman体加粗) (Ⅰ)1引言(四号黑体不加粗) (1)1.1(小四号黑体不加粗) (1)1.1.1(小四号仿宋体加粗) (1)2闭区间套定理在1R的推广 (2)3闭区间套定理在一般度量空间上的推广 (4)4闭区间套定理在n R上的推广 (5)5闭区间套定理的应用举例 (6)结束语 (8)参考文献 (8)致谢 (9)（注：①目录不加页码；②中、英文摘要加页码，用罗马数字：Ⅰ，Ⅱ…；③正文另行加页码，用阿拉伯数字：1，2，3，…．）摘要(四号黑体不加粗)：在介绍了闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明．结合典型例题，分析、讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．(小四号仿宋体不加粗,“摘要”字数须300字以上)关键词(四号黑体不加粗)：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用(小四号仿宋体不加粗，关键词的个数：3—5个)Abstract(四号Times New Roman体加粗):The theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified. The real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application.(小四号Times New Roman体不加粗) Key words(四号Times New Roman体加粗): theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application(小四号Times New Roman体不加粗，每个关键词开头字母均不大写，结尾处无标点符号)1引言（一级标题四号黑体不加粗，段前断后空0.5行．）1.1 小四号黑体不加粗（二级标题小四号黑体不加粗，段前断后不空行．）1.1.1 小四号仿宋体加粗（三级标题小四号仿宋体加粗，段前断后不空行．）说明：（1）全文要求：行距：最小值22磅；页边距：上2.2cm、左2.5cm、右2.3cm、下1.8cm、页眉1.2cm、页脚1.5cm；页眉中，若是论文就删去“设计”二字，若是设计就删去“论文”二字．（2）各级标题一律顶格，标题末尾不加标点符号．（3）正文中所引用的文献应加尾注，以文献在文中出现的先后顺序依次编号为：[1]，[2]，…，某种文献中的内容被多次引用时以第一次出现时的序号为准，即一种文献只有一个序号，可以重复出现．添加尾注的格式如下：爱因斯坦说：提出一个问题往往比解决一个问题更重要[1]．爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”[1]．爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要．”[1]（4）正文中出现的图象与表格以编号（依出现的先后顺序编号）的方式分别加以命名．图象：图1，图2，…表格：表一，表二，…（5）行文要符合文法格式，每段开头应空两个汉字的位置．若一行中只有符号表达式，则可以居中或居中偏左．（6）正文中所有的标点符号，一律用全角；句号用“．”闭区间套定理是实分析中的一个重要定理,它同聚点定、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和Cauchy收敛准则一样都反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础．由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续[1]、闭区间的连续函数的介值性定理等．故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值．为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发，综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理．首先，将闭区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围．紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，把闭区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，并且给出了常用度量空间n R 上的闭集套定理．最后结合一些实例分析说明闭区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数必有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，再应用闭区间套定理证明存在满足题意的点．从实际例题中还可以看出闭区间套定理反映了实数的稠密性，所以闭区间套定理连同其在一般完备度量空间上推广后的闭集套定理在证明与实数理论相关命题时发挥着重要的作用．2 闭区间套定理在1R 的推广康托给分析建立了严格的集合论基础．而在对实数连续性的描述中，闭区间套定理是一个基本的定理．因此，在对该定理推广前有必要先回顾一下闭区间套定理的内容．定义2.1 设[]{},n n a b (1,2,3,n = )是R 中的闭区间列，如果满足： (1) [][]11,,n n n n a b a b ++⊂，1,2,3,n = ； (2) lim ()0n n n b a →∞-=；则称[]{},n n a b 为R 中的一个闭区间套，或简称区间套．定理 2.1[2](闭区间套定理) 若[]{},n n a b 是一个闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得[],n n a b ξ∈(1,2,3,n = )，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．推论2.1[3] 若[],n n a b ξ∈(1,2,3,n = )是区间套[]{},n n a b 确定的点，则对任意正数ε，存在自然数N ，当n N >时，总有[](),,n n a b U ξε⊂．定义2.2 设(){},n n a b (1,2,3,n = )是R 中的开区间列，如果满足： (1) 1211n n n a a a b b b -<<<<<<<< ，1,2,3,n = ； (2) lim ()0n n n b a →∞-=；则称(){},n n a b 为R 中的一个严格开区间套．定理2.2 (严格开区间套定理) 若(){},n n a b 是R 中的一个严格开区间套，则存在惟一一点ξ，使得(),n n a b ξ∈，1,2,3,n = ，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．证明 由定义2.2条件(1)，{}n a 是一个严格递增且有上界的数列．由单调有界定理，{}n a 有极限，不妨设lim n n a ξ→∞=，且n a ξ<，1,2,3,n = ．同理严格递减有下界的数列{}n b 也有极限．由定义2.2条件(2)应有lim lim n n n n b a ξ→∞→∞==，且n b ξ>，1,2,3,n = ．从而存在(),n n a b ξ∈(1,2,3,n = )．最后证明唯一性．假如另有ζ，使得(),n n a b ζ∈，1,2,3,n = ，那么有n n b a ζξ-<-，1,2,3,n = ．在上述不等式两边取极限，有ζξ-≤()lim 0n n n b a →∞-=．即ζξ=．故原命题成立．定义2.3[4][5] 设[){},n n a b (1,2,3,n = )是R 中的半闭半开区间列，如果满足： (1) 1a ≤2a ≤ ≤n a ≤ 11n n b b b -<<<< ，1,2,3,n = ； (2) lim ()0n n n b a →∞-=；则称[){},n n a b 为R 中的一个严格半闭半开区间套．注：类似可以定义严格半开半闭区间套(]{},n n a b ．定理2.3 (严格半开半闭区间套定理) 如果(]{},n n a b 是R 中的一个严格半开半闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得(],n n a b ξ∈，1,2,3,n = ，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．仿定理2.2的证明即可．2 闭区间套定理在一般度量空间上的推广完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性．具体到序列，指的是该序列除了满足一般度量空间的要求，还应在该空间上收敛．这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广．定义3.1 设H 是一个非空集合，在H 上定义一个双变量的实值函数(),x y ρ，对任意的,,x y z H ∈，有：(1)(正定性)(),x y ρ≥0，并且(),0x y ρ=当且仅当x y =成立； (2)(对称性)()(),,x y y x ρρ=；(3)(三角不等式)(),x y ρ≤()(),,x z z y ρρ+； 则称H 为一个度量空间．定义3.2 设F 是度量空间H 中的一个子集，对于F 中的任意点列{}n x ，若当0()0n x x ρ-→()n →∞，有0x F ∈，则称F 为闭集．定义 3.3[6] 设(),X ρ是一度量空间．X 中的一个序列{}i i z x +∈，若对任意的实数0ε>，存在整数0N >，使得当,i j N >时，有(,)i j x x ρε<，则称{}i i z x +∈为一个Cauchy序列．定义 3.4[7] 如果对度量空间(),X ρ中X 的每一个C a u c h y 序列都收敛，则称(),X ρ是一个完备度量空间．定理3.1[7] 设{}n F 是完备度量空间H 上的闭集列，如果满足： (1) 1n n F F +⊃(1,2,3,n = )；(2) lim ()0n n d F →∞=,(()sup (,))nn F d F ξζρξζ∈=；则在H 中存在唯一一点ξ，使得n F ξ∈，1,2,3,n = ．证明 任意取n F 中的点列{}n x ，当m n >时，有m n F F ⊂，所以,n m n x x F ∈，(),n m x x ρ≤()0(n d F n →→∞)．即对于任意给定的实数0ε>，存在整数0N >，使得当,i j N >时，有(,)i j x x ρε<，所以{}n x 是Cauchy 序列．又因为n F 是闭集列，故{}n x 收敛于一点ξ，且有n F ξ∈，1,2,3,n = ．现证唯一性．如果另有一点ζ，使得n F ζ∈，1,2,3n = ．则由定义3.1条件(3)，有(,)ρξζ≤(),(,)n n x x ρξρζ+≤2()0()n d F n →→∞，从而ξζ=．故在H 中存在唯一一点ξ，使得n F ξ∈，1,2,3,n = ．3 闭区间套定理在n R 上的推广进一步还可以将闭区间套定理在常用度量空间─实数空间n R 上推广．为此，先给出一个有用的概念．定义4.1 对于任意的()12n x x x x = ,,,，()12,,,n n y y y y R =∈ ，令(),x y ρ=则称ρ为n R 空间上的距离．下面验证对于如上定义的ρ，n R 做成完备的度量空间．证明 对于任意的()12n x x x x = ,,,，()12,,,n y y y y = ，()12,,,n n z z z z R =∈ ．0≥，并且(),x y ρ=0当且仅当iix y =(1,2,i = )，即x y =．(2)(),(,)x y y x ρρ===．(3)令i i i u y x =-和i i i v z y =-由Schw arz 不等式可以得到()21nii i uv =+≤∑21nii u=∑＋＋21ni i v =∑．则≤，即≤所以ρ满足度量的定义，又n R 是完备的[6]，故n R 是一个完备的度量空间．于是根据前面的论述，可以得到实数空间n R 的闭集套定理： 定理4.1 设{}n F 是n R 上的闭集列，如果：(1) 1n n F F +⊃，1,2,3n = ；(2) lim ()0n n d F →∞=(,()sup (,)nn F d F ξζρξζ∈=)；则在n R 中存在唯一一点ξ，使得n F ξ∈，1,2,3,n = ．4 闭区间套定理的应用举例闭区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套，从而找到属于每一个区间的公共点．下面就举几个例子说明这一思路．例1 证明：闭区间上连续函数必有界．分析 这个命题如果从正面入手利用闭区间套定理证明比较困难，但是如果从反面着手，即假设()f x 在[],a b 上无界，即对任意M ≥0，存在[]0,x a b ∈，有0()f x M >．则等分区间后至少有一个子区间上()f x 无界，记为性质P ．继续等分那个无界的区间，可得到如上的性质P ．无限次重复上述步骤可构造一个满足题意的闭区间套，由闭区间套定理可以推出()f x ≤M ，这与假设矛盾，从而证明原命题成立．证明 我们用反证法.设函数()f x 在[],a b 上连续，假设()f x 在闭区间[],a b 上无界．将区间二等分，即取[],a b 的中点2a b +，则,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦中至少有一个区间使得()f x 在其上无界．(若两个都使()f x 无界，则任取其中一个)，记为11[,]a b ，且111()2b a b a -=-．再将11[,]a b 等分为两个区间，同样其中至少有一个子区间上()f x 无界，记为22[,]a b ，且2211[,][,]a b a b ⊂，2211211()()22b a b a b a -=-=-．无限次重复上述步骤，便得到一个闭区间列{}[,]n n a b ，其中每一个区间[,]n n a b 有如下特性：1111[,][,][,][,]n n n n a b a b a b a b ++⊃⊃⊃⊃⊃ ，且1()0()2n n nb a b a n -=-→→∞及()f x 在[,]n n a b 上无界．由区间套定理，存在一点(),n n a b ξ∈（1,2,3,n = ），且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．又()f x 在ξ连续，则对任意的0ε>，存在0δ>，当(,)x ξδξδ∈-+时，有()()f x f ξε-<，即()()()f f x f ξεξε-<<+． 令{}max (),()M f f ξεξε=-+，则()f x ≤M ．由推论1，取n 充分大可使[](),,n n a b ξδξδ⊂-+，上述不等式与()f x 在闭区间[,]n n a b 上无界矛盾．故()f x 在闭区间[],a b 上有界．以下内容省略……结束语通过对闭区间套定理的简单分析探究，掌握了该定理的结构形式，学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程，分析讨论了闭区间套定理的实际应用．首先将闭区间套定理在R 推广，即在一维空间上将条件[][]11,,n n n n a b a b ++⊂减弱为()()11,,n n n n a b a b ++⊂，得到严格开区间套定理．紧接着，联想到一般完备度量空间的特性和闭区间套定理良好的构造性，从而推广得到闭集套定理．最后，应用闭区间套定理和推广后的闭集套定理证明了证明连续函数必有界、数列的单调有界定理、一个不动点问题以及n R 上的开区域套定理．至于能否将闭区间套定理推广到空间以及能否在一般度量空间推广聚点定理、有限覆盖定理，并且运用推广得到的闭集套定理证明它们两个问题未做讨论．参考文献[1] 李宗铎，陈娓．再谈闭区间套定理的推广及其应用[J]．长沙大学学报，2000，14(4)：4-5．[2] 华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991，第2版．[3] 陈传璋．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983，第2版．[4] 毛一波．闭区间套定理的推广[J]．渝西学院学报，2005，14(2)：26~27．[5] 朱俊恭．关于闭区间套定理[J]．遵义师范学院学报．2002，4(1)：72-73．[6] 熊金城．点集拓扑讲义[M]．北京：高等教育出版社，2003，第3版．[7] 常进荣，王林．闭区间套定理的推广及应用[J]．石家庄职业技术学院学报，2003，15(6)：16-17．[8] 钱吉林．数学分析题解精粹[M]．武汉：崇文书局，2003．（注：参考文献各条目用五号宋体字，各条目的序号应正文中尾注的序号相一致）致谢（注：①“致谢”内容单独用一个版面；②在“致谢”中主要叙述自己写作本文的经历、感受、收获等，表达对指导老师或帮助者的感谢之意．）注：本模版中红色字体是说明部分，在具体操作时应将其删除．未尽事宜按《内江师范学院毕业论文（设计）指导手册》实施．。