第四章扭转(讲稿)
第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
第四章：扭转
T Ip
——切应力公式
扭转
4、圆轴扭转时横截面上的最大切应力
max 发生在横截面周边上各点处
max
T max TR T Ip Ip Ip R
max
取 I p /R = Wt —抗扭截面系数 最大切应力： max
max
O
T
T Wt
注意： 以上公式只适合于扭转圆轴， 且材料服从胡克定律。
R γ l
剪切胡克定律：
当切应力不超过材料的剪切比例极 限，切应力与切应变成正比，即：
Gγ
G ——剪变模量
对各向同性材料，E, , G 之间关系： G
E 2(1 )
扭转
四、圆轴扭转时的应力 1、实验现象：
圆周线——形状、大小、
间距不变，各圆周线绕轴 线相对转动了一个角度。
横截面上的最大切应力
max
T 1000 6 Pa 41.7 10 Pa 41.7 MPa 6 Wt 24 10
扭转
例4-4 如图所示，圆轴 AB的 AC 段为空心，CB段为实 心。已知 D 3cm、 d 2cm ；圆轴传递的功率 P 7.5kW，转速 n 360 r/ min。试求 AC及CB段的 Me Me 最大与最小切应力。 解：（1）计算扭矩
许用切应力
u
n
max
u s u b
T
max
塑性材料 脆性材料
对等截面圆轴
Wt
圆轴强度计算可解决工程中的三类问题：
（1）强度校核；（2）截面设计；（3）确定许用载荷。
扭转
例4-5 如图阶梯轴， d1 80mm、d 2 50mm；外力偶矩 M 2 3.2 kN m 、M 3 1.8kN m； M 1 5 kN m 、 材料的许用切应力[ ] 60 MPa 。试校核该轴强度。
材料力学第四章 扭转
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
04. 圆轴的扭转解析
在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能 二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。 例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减 低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）
单辉祖材力-4(第四章 扭转)
最大切应力发生在簧丝截 面内侧，其值为:
max max
d 8 FD 1 3 2D d
当D >> d 时, 略去 剪力的影响和簧圈 曲率的影响: 当D / d < 10 时, 或计 算精度要求较高时,须 考虑剪力和簧圈曲率 的影响:
max max
8 FD 3 d
8 FD 4 m 2 3 d 4 m 3
d
mD
§4-5 等直圆轴扭转时的变形•刚度条件
Ⅰ、扭转时的变形 ——两个横截面的相对扭转角 Me Me
a T O1 A b T O2 d b
a
D D' dx
扭转角沿杆长的变化率 d T d x GI p 相距d x 的微段两端截面间 相对扭转角为 T d dx GI p
即该轴满足强度条件。
14
例 实心圆截面轴Ⅰ和空心圆截面轴Ⅱ (= d2/D2 =0.8) 的材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在 两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1 之比以及两轴的重量比。 Me Me Ⅰ (a) l
d
Me D2 (b) l
d1
Ⅱ
Me
2
πd πD 4 W W 1 解 p1 p2 16 16 ： T1 M e 16 M e 1,max Wp1 Wp1 πd13 Me 16 M e T2 2,max 3 1 4 Wp 2 Wp 2 πD2
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩 解 ： M M M M4 1 3 2 1 2 3 A
1
B
3
2
C
3
D
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 kN m 300
04.圆轴的扭转
一、圆周扭转时的变形分析（续1）
2. 变形分析： 假想沿n-n和m-m两个相距dx的横截面将轴切取一薄
四指沿扭矩的方向屈起， 拇指的方向离开截面，扭 矩为正，反之为负。
三、横截面的内力矩——扭矩（续2）
3.扭矩正负号的规定：
（1）右手螺旋法则：
四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
（2）扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 （3）外力偶矩正负号的规定：
指向截面
与坐标轴同向为正，反向为负
' 量显然可以用弧线 ：c c 表示，其值为：
(书P54）
cc' Rd
n-n截面在b点处的 角应变：
g＝cc' R d (5-5)
dx dx
一、圆周扭转时的变形分析（续3）
观察截面n-n上距圆心为ρ处的bρ 点， 如左图，bρ点处的角应变：
g
＝
c c' dx
d
dx
(5-6)
d 表示扭转角沿轴线x的变化率，为两个截面相隔单
g
Mn
B
x
j
B'
1.受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小等，转向相反。
2.变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 3.扭转角：任意两截面间有相对的角位移，这种角位移
称为扭转角。
轴的概念
工程上，将以扭转变形为主要变形的构件通 称为轴。（对比：以弯曲为主要变形的构件在工 程上通称为梁)同时，多数轴是等截面直轴。
材料力学第4章扭转变形
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
圆轴扭转专题讲座公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
2
32
Wt
1 D3
16
D
2、空心圆轴
IP
2dA R 2 2 d 1 (R4 r 4 )
r
2
1 (D4 d 4 ) 1 D4 (1 4 )
32
32
Wt
1 D3 (1 4 )
16
d
D
例题5 实心圆轴旳直径d=100mm，长L=1m，两端受力偶矩 m=14KN.m作用，设材料旳剪变模量G=80×109N/m， 求： 1）最大剪应力τmax； 2）图示截面上A、B、C三点剪应力旳数值及方向; 3）若将圆轴在保持截面面积A相同步改为d/D=1/2
a′
b′
c′
d′
ac、bd代表旳是两个横截面
提出假设： 横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴
转过一定旳角度，仍维持为圆截面。
平面假设成立!
观察到旳变形：
a
b
1）平面假设成立
2）轴向无伸缩
c
d
a′
b′
c′
d′
3）纵向线变形后仍为平行直线 4）横截面上同一圆周上全部旳点绕轴心转过相同旳角度
二、变形几何规律
图示一皮带传动轴，轮子A用皮带直接与原动机连接，轮 子B和C与机床连接。已知轮子A传递旳功率为60kW， 轮子B 传递34kW，轴旳转速150r/min,略去轴承旳摩擦
力，试作出轴旳扭矩图。
m1
m2 m3
B
A
C
解：1、外力偶矩
N
60
m2
9549
n
9549 150
3819.6N.m
m1
9549
G d
dx
T
IP
d T
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
理论力学第四章扭转
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学：第四章 扭转
回顾: 极惯性矩、抗扭截面系数的计算
抗扭截面系数 极惯性矩
薄壁圆管 扭转切应力
回顾: 圆轴扭转强度条件 & 应力计算公式
薄壁圆管扭 转切应力
圆轴扭转 强度条件
max
[ ] u
n
扭转极限应力τu =
扭转屈服应力ts (塑性材料) 扭转强度极限tb (脆性材料)
§5 圆轴扭转变形与刚度计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
例题
例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图 解：用截断法,列力偶
矩平衡方程,和x轴正向 相同者取正 (1) 1-1截面
单辉祖：材料力学Ⅰ
(2) 2-2截面 T2 MC 115 N m
(3) 画扭矩图
15
§3 圆轴扭转横截面上的应力
单辉祖：材料力学Ⅰ
64
薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆
截面中心线
－截面壁厚平分线
薄壁杆
－壁厚<<截面中心线 长度的杆件
闭口薄壁杆
－截面中心线为封闭曲线的薄壁杆
开口薄壁杆
－截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
闭口薄壁杆扭转应力与变形
假设 切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线 应力公式
单辉祖：材料力学Ⅰ
62
例题
例 7-1 试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
2. 开口薄壁圆管
3. 抗扭性能比较
单辉祖：材料力闭学Ⅰ口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好
63
§8 薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆 闭口薄壁杆扭转应力与变形 开口薄壁杆扭转简介 薄壁杆合理截面形状 例题
材料力学课件 第四章扭转
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
材料力学课件 第四章 扭 转
3）结论：
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相 对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
第四章
扭转
取微端变形
第四章
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
扭转
´
a
b
dy
②横截面上各点处，只产生垂
直于半径的均匀分布的剪应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面的
第四章
扭转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
3.剪切虎克定律：
第四章
T=m
扭转
T ( 2 A 0t)
( L ) R
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
第四章
扭转
G
功率 角速度
每分钟 的转数
时间
60103 P( KW ) P M 9549 ( N m) 2n(r / min) n
第四章
3.扭矩及扭矩图
扭转
（1）扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记“T”。 （2） 截面法求扭矩
m
x
0
m m
T m 0 T m
（3）扭矩的符号规定：
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
第四章
②求扭矩（扭矩按正方向设）
扭转
m2 1 m3 2 m1 3 m4
第四章：扭转
2 2
64.22
45.02
0.611
A1
d12
58.62
小 结 在最大切应力相同的情况下，空心轴所用的材料是实心轴的
61.1%，自重也减轻了 38.9%。其原因是：圆轴扭转时，横截面上应力
呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发挥 作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到 了充分利用，而且也减轻了构件的自重。但空心轴的制造要困难些，故 应综合考虑。
解：1）用截面法求各段扭矩 AB 段：
1
2
T1 MA 900 N m
BC 段：
T
T2 M c 600 N m
600Nm
画出扭矩图如图所示
900Nm
第五节：圆轴扭转时的变形
AB 截面 极惯性矩
I P1
πd14 32
BC 截面 极惯性矩
2）C 截面相对于 A 截面的转角
IP2
πd
4 2
32
第一节：扭转的概念
扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。
扭转角：任意两横截面间的相对角位移。如图所示的 φ 角。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电 动机的主轴及机器的传动轴等。
叠加原理
CA CB BA
AB 段：
BA =
T1l1 GI P1
×
1800
=-0.8110
BC 段：
CB =
T2l2 GI P2
×
1800
=0.9810
CA CB BA 0.9810 (0.8110 ) 0.17 0
材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
等直圆杆扭转超静定问题PPT
②几何方程：
BA 0
③ 物理方程：
BA
L T(x) dx 0 GIP
第二页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第四章 扭 转
mx 0
x
Tm xm A0
0226 m ，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。 0226 m ，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。
mA20 Nm
④ 由平衡方程得：
mB20Nm
另:此题可由对称性直接求得结果。
第三页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
谢谢观看
第四页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第四章 扭 转
§4—6 等直圆杆的扭转超静定问题
解扭转超静定问题的步骤：
平衡方程；
几何方程——变形协调方程；
物理方程（力与变形的关系）；
求解方程组。
Tl GI p
第一页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
第四章 扭 转
[例] 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图， 若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226 m ，G=80 GPa，
物理方程（力与变形的关系）； 几何方程——变形协调方程； 第二页，编辑于星期五：十五点 二十六分。
2mA 400
GI 0226 m ，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。
[例] 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为P =0.
第一页，编辑于星期五：十五点 二十六分。 几何方程——变形协调方程；
T x 0226 m ，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。
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第四章扭转同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标与教学内容1、教学目标(1)掌握扭转的概念；(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。
(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。
2、教学内容(1) 扭转的概念和工程实例；(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；(6) 圆轴受扭破坏分析；(7) 矩形截面杆的只有扭转；(8) 薄壁杆件的自由扭转。
二、重点和难点1、重点：教学内容中（1）～（6）。
2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。
通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。
三、教学方式通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时6学时五、实施学时六、讲课提纲工程实例：图4-1**扭转和扭转变形1、何谓扭转？如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。
换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。
2、何谓扭转变形？在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
杆件的这种变化形式称为扭转变形。
换言之，受扭转杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算n P T p⨯=02.7KN 〃m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）nP T kW⨯=55.9 KN 〃m (7-2) P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法图4-30=∑x M0=-A n T M 左 A n T M =左0=∑x M0=+-B n T M 右 B n T M =右（2）M n 的符号规定 右手螺旋法则图4-43、扭矩图扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。
作法：轴线（基线）x —— 横截面的位置 纵坐标—— M n 的值正、负 —— 正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。
例题 7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a ）。
主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW 和8kW 。
试作出该轴的扭矩图。
图4-5解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。
（2）作扭矩图，见图4-5，b一、圆轴扭转时横截面上的应力1、实心圆轴（1）τ的分布规律(a) (b) 图4-6（2）τ的方向由M n确定，τ与M n同向（见图4-6，a）注意τ⊥半径（3）τ的计算式中M n ---- 横截面上的扭矩；ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离;I p ----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，（4）τ计算公式的讨论：①对于某一根受扭的圆轴而言，max τ一定发生在max n M 所在段； ②在确定的截面上，max τ一定发生在ρmax 处（周边上）； ③I p 的意义从τ的计算公式讨论I p ：I p 愈大，τ愈小；从应力分布状况讨I p ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。
设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。
2、空心圆轴 （1）τ的分布规律 （2）τ的计算图4-7计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同 空心圆轴的I p 空计算()()44411.01324ααπ-≈-=D DI p 空式中的Dd =α （3）τ的方向仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。
3、薄壁圆筒 （1） 界限及误差 当9.0≥=Ddα时，可用薄壁圆筒公式计算τ，用空心、薄壁计算公式之误差仅为3%左右。
（2） τ的分布规律图4-8（3）τ的计算tr M n 202πτ=（r 0见图4-8） （7-4）三、圆轴扭转时斜截面上的应力横截面上：max τ发生在周边各点，σ=0圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。
在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:图4-9分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn 上的应力： 设斜截面mn 的面积为dA,则mb 面和bn 面的面积：αcos ⋅=dA A mb αsin ⋅=dA A bn选取参考轴η、ξ 写出平衡方程：∑=0nF0cos )sin (sin )cos (=⋅'+⋅⋅⋅+ααταατσαdA dA dA∑=0ξF 0sin )sin (cos )cos (=⋅'+⋅⋅⋅-ααταατταdA dA dA利用ττ'=，整理上两式，得：ατσα2sin -= (a)αττα2cos = (b)据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于τ。
ττταα=⋅===)0(2cos 01800ττταα-=⋅===)90(2cos 027090（2）由（a ）式知：ττσα-=-==)45(2sin 0450τττσα=-⋅-=-==)1()135(2sin 01350即：图4-11这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。
（低碳钢）（ 铸铁 ）图4-11四、圆轴扭转时强度条件()[]ττ≤=pn W M maxmax （7-5）----等直圆轴受扭时的强度条件对于实心圆截面 332.016d d W p ≈=π对于空心圆截面 )1(2.0)1(164343ααπ-≈-=D D W p 空而 []τ：（1）可通过扭转试验测定：τS ---塑性材料 τb ---脆性材料（2）[]][6.05.0στ）（-=例题4-2 已知：主传动轴AB 由45#钢的无缝钢管制成。
外径D=90mm, 壁厚t=2.5mm,[τ]=60MPa,工作时承受M nmax =1.5KN 〃m 试：校核该轴的强度。
图4-12解：945.0905902=-=-==D t D D d α 1、 按薄壁圆管公式计算τ：[]τππτ<=⨯⨯⨯-⋅⋅==--MPa 50105.210)25.290(21500236220tr M n2、 按空心圆轴公式计算τ：334343mm 1029)945.01(1690)1(16⨯=-⨯=-=παπD W p 空[]ττ<=⨯⨯⨯==-MPa 7.51101029105.1933max空p n W M 校核结果：强度足够。
两种计算方法的误差比较：%4.3%10050507.51=⨯-例题4-3 若将AB 轴改为实心轴，应力条件相同（即MPa 7.51=τ），试确定实心轴的直径D 1=？并比较空心轴和实心轴的重量。
解：53mm m 053.016105.1107.5113136max==⇒⨯=⨯⇒=D D W M p n πτ 两轴长度相等，材料相同，则重量之比=面积之比 则：()2.3859053442222221=-=-=d D D A A π空心实心 （用料）()31.0538590442222122=-=-=D d D A A π实心空心（重量） 小结：⑴在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%；⑵截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；⑶空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；⑷应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。
图4-13Ⅱ、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角与剪切角的概念图4-14⎪⎩⎪⎨⎧--的角度。
杆表面纵向直线所转过γ截面A转过的角度；扭转角，截面B相对于ϕ 2、圆轴扭转时的变形计算⑴扭转角的计算pn GI lM =ϕ （7-6） πϕ180⋅=p n GI l M（7-7）⑵单位长度扭转角的计算pn GI M l ==ϕθ（7-8） πϕθ180⋅==p n GI M l（7-9）3、扭转时刚度条件[]θθ≤=pn GI M max max（7-10） []θπθ≤⋅= 180max maxp n GI M（7-11）例题4-4 某轴AB 段是空心轴，内外径之比8.0==Ddα；BC 段是实心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的[τ]=80MPa 、[θ]=1m 、G=80GPa,试设计D 和d 应等于多少？rad （弧度） °（度）Rad/m°/mRad/m°/m图4-15解：1、作扭矩图2、根据强度条件设计D 、d AB 段：MPa 80][)1(16114643max =≤-==ταπτD W Mn p 空mm 6.491080)8.01(114616364=⨯⨯-⨯⨯≥πDBC 段：MPa 80][167643max =≤==τπτd W Mn p 实36.5mm m 0365.010807641636==⨯⨯⨯≥πd3、根据刚度条件设计D 、dAB 段：m1][180)1(3210801146180449=≤⋅-⨯⨯=⋅=θπαππθD GI Mn p 空61.1mmm 0611.01801)8.01(1080114632449==⋅⨯-⨯⨯⨯⨯≥ππDBC 段：m 1][180=≤⋅=θπθ空p GI Mn118032108076449=⋅⨯⨯ππd48.6mmm 0486.0180110807643249==⋅⨯⨯⨯⨯≥ππd4 结论：D=61.1mm – 刚度条件确定。
d=48.1mm – 刚度条件确定。
Ⅲ 扭转超静定例题4-5 圆轴受力如图4-15 所示。
已知：D=3cm ，d=1.5cm, [τ]=50MPa 、[θ]=2.5m 、G=Pa 10809⨯,试对此轴进行强度和刚度校核。
图4-16解：①截面的几何性质计算： AC 段：488484441045.710325.1103233232m d D I P ---⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=ππππ空CE 段：488441095.71032332m D I P --⨯=⨯⨯==ππ实②求约束反力:解除A 端约束，建立变形协调条件：图4-170=-E A ϕ，即：1025500104030010153001040104022222=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=------实实空实空P P P P A P A EA GI GI GI GI T GI T ϕ将G 、空P I 、实P I 代入上式运算，得 M N 52⋅-=A T再由静力平衡方程解出 M N 252⋅-=E T③强度校核 BC 段： 364343m 1097.4])35.1(1[16)03.0()1(16D -⨯=-⨯=-=παπ空p W50MPa ][MPa 9.491097.42486max ==⨯==-ττ 空p n W MDE 段： 3633m 103.516)03.0(16D -⨯=⨯==ππ实p W50MPa ][MPa 5.47103.52486max ==⨯==-ττ 实p n W M④刚度校核 BC 段： m GI M P n 38.21801045.7108024818089max =⨯⨯⨯⨯=⨯=-ππθ空 DE 段： m GI M P n 27.21801095.7108025218089max=⨯⨯⨯⨯=⨯=-ππθ实 均 m 27.2][=θⅣ 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。