24.4.3解直角三角形(坡度与坡比)
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》精品课件_1
1、如图，铁路的路基横断面是等腰梯 形，斜坡AB的坡度为 1 : 3 坡面AB的水 平宽度为 3 米，基面AD宽2米，求路 基高AE、坡角∠B和基底BC的宽
结合例题体会 如何把实际问题转化为数学问题？
注意解题格式。
小组内交流此题用到的重要知识 和数学思想。
2、如图所示，修建铁路要经过一座高山，需
（3）传送带和地面所成的斜坡的坡比为 1：2，把物体从地面送到离地面9米高的 地方，则物体通过的路程为 _______米。
（4）斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米， 则斜坡高为___米。
温馨提示： 坡度等于坡角的正切值. 坡度越大，坡角就越大，坡面就陡.
（1）坡度不是度数，是一个比值，也叫坡比。 （2）坡度通常写成1∶m的形式， 如i=1∶6. i= 1 : 3
2．小明沿着坡度为1:2的山坡行走了 1000m，则他升高了__________m。
3、一段河坝的断面为梯形ABCD，AB=5米， BC=4.5米,坡面CD 坡度为 i= 1: 3 求坝宽AD．
1、课本P116练习 P121,第12题；
2、复习本节知识。
l
2、坡度（或坡比）
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值.
坡度越大，坡角就越大，坡面就陡.
自学检测（看谁又对又快）
（1）斜坡的坡比是1:1 ， 则坡角α =__度，斜坡的 坡角600 ，则坡度i=___. （2）斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是___.
解直角三角形的应用 ——坡度
自主学习：
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课课件_14
和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）。
2、解直角三角形的问题往往与其他知识联系，因此，我们要 善于要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问 题时合理运用。
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被 拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的 规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜 坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精 确到0.1米）
C
1.2
1.2
30°
A
B
收获经验
1、学以致用 我们学习数学的目的就是解决实际生活中存在的数学问题，
华东师大版9初中数学九年级上册 ——坡度、坡角
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
Ｂ
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系: sinA＝ a c
cosA＝
b c
Ａ
tanA＝
a b
c a
bＣ
学习目标
1、理解坡度、坡角、铅垂高度、水平长度等 相关概念
1、课本P102,第12题； 2、复习本节知识。
2、会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、 坡角有关的实际问题
自学指导一
认真看课本115页“读一读”： 理解坡度（坡比）、坡角、坡面的概念
及相互关系
1、坡角
i= h : l 坡面 h
α
_坡___面__与__水___平__面___的__夹__角____叫做坡角，记作α 。
24.4 第3课时 坡度问题 华师大版数学九年级上册课件
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活 运用相关知识。例如，当我们要测量如图 1 所示大坝的高度 h 时，只 要测出仰角 α 和大坝的坡面长度 l，就能算出 h = l sin α，但是，当我 们要测量如图 2 所示的山高 h 时，问题就不那么简单了，这是由于不 能很方便地得到仰角 α 和山坡长度 l.
斜坡 AB 的长度以及斜坡 CD 的坡角的问题实质上就是解 Rt△ABE 和 Rt△CDF.
解：(1)分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E、 F，
由题意可知 BE = CF = 23 m ，EF = BC = 6 m. 在 Rt△ABE 中
在 Rt△DCF 中，同理可得
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 m 在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡
“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，
划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可
以量出这段坡长 l1，测出相应的仰角 α1，这样就可以算出这
段山坡的高度 h1 = l1 sin α1.
l1 α1
h1
方法归纳
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方 法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，…，hn，然后我们再 “积零为整”，把 h1，h2，…，hn 相加，于是得到山高 h.
i h tan
l 即坡度等于坡角的正切值.
24.4 第3课时 坡度、坡角在解直角三角形中的应用
•
5．(4分)如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°， 则该山坡的高BC的长为___1_0米0 ．
6．(10分)(2017·长春)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为 31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米， 参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)
解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，
则 BE＝CF＝23(m)．在 Rt△ABE 中，tan α＝i＝ 13＝ 33. ∴α＝30°，∴AB＝2BE＝46(m)，∵i＝BE∶AE＝1∶ 3. 即 23∶AE＝1∶ 3，∴AE＝23 3(m)． 在 Rt△CFD 中，i′＝CF∶FD＝1∶1，∴FD＝CF＝23(m)， ∴AD＝AE＋EF＋FD＝23 3＋6＋23＝29＋23 3≈ 29＋23×1.73≈68.8(m)． 答：斜坡 AB 长 46 m，坡角α为 30°，坝底宽 AD 约为 68.8 m
A. 33∶1，60° B. 3∶1，30°
C. 3∶1，60° D. 33∶1，30°
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021 9:47:23 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/62021/9/62021/9/6Sep-216-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/62021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》教学案例_1
解直角三角形的应用 ——坡角、坡度问题学习目标：1、理解坡角、坡度的概念及两者之间的关系2、能利用解直角三角形的知识解决与坡角、坡度有关的实际问题 重点：坡角、坡度在解直角三角形中的实际应用 难点：把实际问题转化为数学问题的能力提升 学习过程： 一、主动自学 1、概念理解坡度：坡面的铅垂高度（通常用i 表示，即i=坡角： 与 的夹角叫做坡角，记作α.二者关系：i =lh= .坡度越，坡角α ，坡面就 。
想一想：坡度是坡角的度数吗？ 2、自学检测（1）斜坡的高度为3米，水平距离为5米，则坡度i = 。
（2）斜坡长是10米，坡高为5米，则坡度i = 。
（3）斜坡的坡角α是45度，则坡角i = 。
（4）斜坡的坡度i =1∶2，已知坡高为3米，则斜坡的坡面长度为 米。
二、互动探究例：如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽为6米，坝高为20米，斜坡AB 的坡度i =1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30º，求坝底AD 的长度。
（精确到0.1米，参考数据：2=1.414，3=1.732）思路引导:12、求AD 如需要，应该怎样作辅助线？三、恒动提升 1、课堂达标训练（1）如图所示，某水坝的坡度为i =1∶3，坡长AB=20米，则坝的高度AD 为（ ）A 、 10米B 、20米C 、40米D 、203米（2）如图，在坡度为1∶2是4（3）如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18㎝，深为30㎝，为方便伤残人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的终点为C（4底宽AD （结果保留根号）2、课堂小结说一说本节课你的体会和收获 （1）坡角、坡度的概念和关系。
（2）坡角、坡度在解直角三角形中的实际应用时，通常先要做垂线构建直角三角形，再合理的运用直角三角形的有关性质解决实际问题。
四、课后拓展1、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课教案_1
《解直角三角形的应用》(坡度、坡角等）教学设计《解直角三角形的应用（坡度、坡角等）》教学设计教学思路本节课研究的是坡度坡角问题，它实质是利用解直角三角形的知识来解决新问题，通过学生对正切知识的复习和对本节知识的预习，理解坡度和坡角的相关概念，并利用新知识解决学生生活中比较熟悉的问题，让学生体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求。
通过对综合性实际问题的解决，提高学生解决实际问题的能力，并获得解答应用题的一些经验，有效完成本节课的教学任务。
教学内容本节内容是华师大版九年级上册第二十四章24.4第三节知识。
教学目标一、知识与能力1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决；2、能应用解直角三角形的知识解答综合的实际问题；3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。
二、数学思考1、把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决；2、感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
三、情感态度和价值观通过本节课的学习，一方面增强学生对解直角三角形的应用意识，另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度。
教学重点理解坡度和坡角的概念．教学难点利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题．A┌ 教师准备幻灯片、三角板学生准备预习新课，完成导学案“温故互查”和“设问导读”教学过程一、导入新课在我们的生活中有很多的山坡，有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡缓程度呢？这就是我们今天要学习的内容。
二、明确目标学生齐读学习目标学习目标：1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决．2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。
3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
重点、难点1.利用坡度、坡角解直角三角形；2.解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。
24.4.3坡度与解直角三角形的应用课件
解：过点 E 作 EF⊥BC 的延长线于点 F，EH⊥AB 于点 H，在 Rt△
CEF
中，∵i＝ECFF＝
1 ＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝CE 3
＝10 米，CF＝10 3米，∴BH＝EF＝10 米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25
＋10 3)米，在 Rt△AHE 中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝(25＋
减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，
地质人员勘测，当坡角不超过 45°时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡顶到地面的距离 BE 的长；
(2)如果改造时保持坡脚 A 不动，
坡顶 B 沿 BC 削进到 F 处，问 BF 至少是多少
米 解：？(1)∵i＝BAEE＝95，设 BE＝9k，AE＝5k(k 为正数)，则在 Rt△
（DE＋AF）DN
(2)∵S ＝ 梯 形 ADEF
2
＝ 50 3 － 30 ， ∴ (50 3 －
30)×600≈(30000 3－18000)立方米．答：完成这项工程需要
土石约(30000 3－18000)立方米
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
知识点 1：坡度和坡角 1．(2014·怀化)如图，小明爬一土坡，他从 A 处爬到 B 处所走的 直线距离 AB＝4 米，此时，他离地面高度为 h＝2 米，则这个土坡 的坡角∠A＝__3_0_°．
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案：24.4 第3课时 坡度问题【含答案】
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案第24章 解直角三角形24.4解直角三角形 第3课时 坡度问题学习目标：1.理解坡度、坡角的概念（重点）.2.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题（难点）.自主学习一、新知预习在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的______（或坡比），记作i ，即i=l h.坡度通常写成1：m 的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做______，记作α，有i=lh=tan α.显然，坡度越大，坡角α就越____，坡面就越____. 合作探究一、探究过程探究点1：利用坡度、坡角解决实际问题 【典例精析】例 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i ’=1∶2.5 ， 则斜坡CD 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长应设计为多少(参考数据：tan18.4°≈31)？【归纳总结】根据坡度的定义i ＝hl ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .【针对训练】1.（1）一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;（2）如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 （用计算器计算，结果精确到0.1°）; （3）等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ; （4）堤坝横断面是等腰梯形（如图所示）.若AB=10 m,CD=4 m,高h=4 m,则坡度i= ,AD= m.第1题图 第2题图2如图，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( ) A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m二、课堂小结坡度、坡比问题图解坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan α=_______.当堂检测1．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度AC 为6米，斜面坡度为1：3，则斜坡AB 的长为（ ） A ．210米B ．3米C ．6米D ．12米第1题图 第2题图2．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（ ） A ．3m B ．3m C ．12m D ．6m3．小明沿着坡度为1：的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了 米．4. 如图，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯宽度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需______元.第4题图第5题图5．一座拦河大坝的横截面如图所示，已知AB＝20 m，斜坡AB的坡比是1∶2，斜坡DC的坡比是3∶4，则DC的长是米．6．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要先爬坡到山顶C地，再下坡到B地，已知坡面AC的坡度i＝1：，坡面BC的坡角∠CBA＝45°，BC＝4千米．若修建一条穿山隧道AB，则隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少千米（结果精确到0.01千米.参考数据：≈1.414，≈1.732）？能力提升7．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡度i＝12∶5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗（参考数据：tan48.8°≈1.14）？参考答案自主学习 一、新知预习坡度 坡角 大 陡 合作探究一、探究过程 【典例精析】例 解：如图，作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F.∵斜坡AB 的坡度i ＝1：3，∴tanA ＝，∴α≈18.4°.∴＝.∴AE ＝69m.∴AB ＝≈72.7（m ）.∵斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，∴tan ∠D ＝＝.∴＝.∴DF ＝57.5m.∴AD ＝AE +EF +DF ＝69+6+57.5＝132.5（m ）．故斜坡AB 的坡面角α约为18.4°，坝底宽AD 的长是132.5m ，斜坡AB 的长是72.7m ．【针对训练】1.（1）1∶3（2）21.8 （3）9 4∶3 （4）4∶3 52.A 二、课堂小结 h ∶l 当堂检测1. A2.B3.54.905.6. 解：作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △BCD 中，∵∠CBA ＝45°，BC ＝4千米，∴CD ＝ BD ＝4千米．∵坡面AC 的坡度i ＝1：，∴31＝.∴AD ＝CD ＝4.∴AC ＝＝8千米.∵AB ＝AD +BD ，∴AB ＝（4+4）千米.又∵AC +CB ＝（8+4）千米，∴AC +CB ﹣AB ＝8+4﹣4﹣4≈2.73（千米）．答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73千米．7. 解：（1）设AE ＝5x ，∵斜坡AB 的坡比为i ＝12∶5，∴BE ＝12x ，由勾股定理，得AE 2+ BE 2＝AB 2，即（5x ）2+（12x ）2＝262，解得x ＝2，∴BE ＝12x ＝24米.（2）如图，作FH⊥AD于H，连接F A.由（1）知AE=10米.由题意，得AH＝11+10＝21（米）.在Rt△AFH中，tan∠F AH＝＝≈1.14，则∠F AH≈48.8°.∵48.8°＜50°，∴这样改造能确保安全．。
24.4.3坡度、坡角问题课件
4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
P.121 12.； P123页13
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
D
12.51
C
28⁰
【分析】
4.2 A
32⁰
E 12.51 F
B
（1）对于梯形问题通常怎么做辅助线？把它转化成 什么问题？ （2）要求下底AB的长，可以分别求哪些线段的长？ （3）怎么求AE，BF？
变式训练：
如图，某地计划在河流的上游修建一条 拦水大坝。大坝的横断面ABCD是梯形， 坝顶宽BC=6米，坝高25m，迎水坡AB的坡 度 i=1： ，背水坡CD的坡角为450 求（1）求坡角α ; （2）求拦水大坝的底面AD的宽.
——坡度、坡角
裴营一初中 余超
学习目标
1、知道坡度、坡角的意义。 2、能将h、L、i各量的计算问题转化为 解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、会运用解直角三角形有关知识解决 与坡度、坡角有关的实际问题。 4、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； (2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: sinA＝ a b cosA＝ c a tanA＝ b Ａ Ｂ
坡比、坡度问题课件
——坡比、坡度问题
泽州县下村中学 李青枝
坡面
α 水平面
铅垂高度（h）
1.坡度（或坡比）： 坡度通常写成1： m 的形式.
2.坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.
3.坡度与坡角的关系：
1、斜坡的坡度是1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 __1_：_1___。
课堂小结
3. 认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添
加辅助线构造直角三角形来解决问题。 4．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。 按照题中的精确度进行计算，注明单位。
课堂小结
1. 坡比、坡角的概念及其应用，特别是：
i＝
h l
=tanα
它体现了坡比和坡角间的关系.
2.
1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 解直角三角形问题）；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，应用直角 三角形的有关性质，解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
由题意得：AB=0.65千米，BC=1千米，
E
∴sinα= = = ，
∴BF=0.65× =0.25（km），
F
∵斜坡BC的坡度为：1：4， ∴CD=CE+DE=BF+CE= +
∴CE：BE=1：4， 设CE=x，则BE=4x，
由勾股定理得：x2+（4x）2=12 解得：x=
答：点C相对于起点A升高了 （ + ）km．
【解】
α
A
FD
∴α≈22⁰.
中考链接
（2014•镇江）如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜 坡向上走了0.65千米到达点B，sinα= 5 ，然后又沿着坡度为 i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C1．3问小明从A点到点C 上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡问题教案新版华东师大版12
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡问题教案新版华东师大版121．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝h l，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h . 如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求．解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)．∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)． ∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)． 答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝ih，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。
九年级数学上册24.4第三课时解直角三角形的应用教学全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
数学
新课标（HS） 九年级上册
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24.4 解直角三角形
第3课时 解直角三角形应用（二）
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第3课时 解直角三角形应用（二）
新知梳理
► 知识点 坡角与坡度（坡比）
概念：如图 24－4－40，通常把坡面的铅垂高度 h 和水平
长度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝hl .坡度通
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第3课时 解直角三角形应用（二）
[归纳总结] 解坡度问题的一般规律：(1)正确理解坡度 与坡角的关系：tanα＝i＝hl ；
(2)水渠、堤坝的横断面一般是梯形，解这类问题通常将 梯形分割成直角三角形和矩形；
(3)由不同的坡比构建不同的直角三角形求解，此类题 目的条件多，线条多，解法多，应抓住关键条件，看“有用” 线段，选择比较简便的解法．
米，坝顶宽BC＝6米，依据条件求： (1)斜坡AB坡角α(准确到1′)； (2)坝底宽AD和斜坡AB长(准确到0.1米)．
图24－4－41
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第3课时 解直角三角形应用（二）
[解析] 梯形问题，首先应作辅助线结构直角三角形，再利 用条件解直角三角形．
解：分别过 B、C 两点作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F， 则四边形 BCFE 为矩形，∴BE＝CF，BC＝EF.
(1)在 Rt△BAE 中，i1＝1∶3，即 tanα＝ABEE＝13， ∴α≈18°26′.
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第3课时 解直角三角形应用（二）
(2)在 Rt△ABE 中，i1＝1∶3，BE＝23 米， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(米)， AB＝ AE2＋BE2＝ 692＋232 ＝ 5290≈72.7(米)． 在 Rt△CDF 中，i2＝1∶2.5，CF＝BE＝23 米， ∴DF＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(米)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝AE＋BC＋FD＝69＋6＋57.5 ＝132.5(米)．
24.4.3坡度问题
∴AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1（米）. 答： 路基下底的宽约为27.1米．
4.2米
12.51米
D
32° E F
C
28°
A
16:07
B
巩固练习:
利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一 块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为 1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数． 分析： 1．将实际问题转化为数学问题． 2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD, 如何利用条件求AD？ 3．土方数=S· l
16:07
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30, PBO 45 PO PO tan 30, tan 45 P OA OB
问题五: 如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽 BC为6m，堤高为3.2m，为了提高海堤的拦水能力， : : 需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡 CD的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改 成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。 (1)求加高后的堤底HD的长。 (2)求增加部分的横断面积 (3)设大堤长为1000米，需多少方土加上去？ (4)若每方土300元，计划准备多少资金付给民工？
D
C
A
16:07
B
总结：
通过作一条高 直角梯形 直角三角形和矩形
24.4.3解直角三角形(坡度与坡比)
24.4.3 . 解直角三角形（坡度与坡角）教学目标：回运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题。
重点：解决有关坡度的实际问题。
难点：理解坡度的有关术语。
一、导入新课，出示目标导语：复习回顾板书课题：解直角三角形（坡度与坡角）下面大家齐读一下这节课的学习目标：二次备课二、设置提纲，引导自学自学指导自学范围：课本第115,116页。
自学时间：3分钟自学方法：独立看书，独立思考。
自学要求：1.知道坡比概念以及和坡角的关系。
2.完成例4。
3.记住读一读。
自学检测问题一：1、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为；2、一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体升高了_米．3、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5m，迎水坡AB的长是13m，那么斜坡AB的坡度是（）．A 1： 3B 1： 2.6C 1： 2.4D 1：2654、如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）．A 1:B 3:C 1:3D 3:1三、合作探究一1、什么叫坡度？坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
2、什么叫坡角？坡角是斜坡与水平线的夹角3、坡角和坡度什么关系？坡角与坡度之间的关系是：i＝hl=tan a坡度i越大，坡角 就越大，坡面就越陡。
合作探究二例4、如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.51m，路基的坡面与地面的倾角分别是30°和45°．求路基下底的宽.(精确到0.1m)10103图24.4.5四、课堂练习1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度。
（精确到0.1m）（2）斜坡CD的坡角α。
（精确到1°）B CA D五、学习小结1、学以致用我们学习数学的目的就是解决实际生活中存在的数学问题，因此，在解题时首先要读懂题意，把实际问题转化为数学问题。
对于生活中存在的解直角三角形的问题，关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》精品课件_0
24．2解直角三角形 第2课时 解直角三角形的应用(俯角、仰角)
知识回顾
• 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ 3 ，则AC的长是__6__． • 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝24，则∠B＝_6_0_°_， AB＝__4__，AC＝__2___．
答：问题的相关条件转化为解直角三角形。
【探究2】
在相距2000米的东西两座炮台A.B处同时发现入侵敌舰C，在 炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得 敌舰C在它的正南方向，试求敌舰与两炮台的距离。（精确到1 米）
• 归纳：
(1)弄清题中的方向角的概念，然后根据题意画出图形，建立 数学模型；
(2)将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中元素之间 的关系，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线， 把它们分割成直角三角形或矩形；
(3)解非直角三角形常作的辅助线：①通过作高构造直角三角 形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直 于底边.
中考真题
如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情， 相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升机和一艘刚在南海巡航 的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处时，测得 A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°.请问： 此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)
如图，作CD⊥AB，垂足为D， 在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，CD＝3000米， ∴BD＝tan30°CD＝3000 米． 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝60°，CD＝3000米， ∴AD＝tan60°CD＝1000 米． ∴AB＝BD－AD＝3000－1000 ＝2000 (米)． 答：此时渔政船和渔船相距2000 米．
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课课件_19
（2）V=50× S四边形ABEF =50×362.5 =18125(m2)
课堂小结
1.说一说本节课你有哪些收获? 学会了哪些方法！
2.本节课你还有哪些疑惑?
检测
报纸：坡度和直角
问题？
——坡度 坡角问题
坡面的铅垂高度（h）和 水平宽度（l）的比
叫做坡面的 坡度（或坡比）记作,
铅垂高度h
坡度i=h:l
ih l
坡角α
水平宽度l
坡面与水平面的夹角叫做 坡角 ,记作，
即 i h tan
l
坡度等于坡角的正切.
(1)已知坡度 i =1: 3 ，则坡角 =__3_0_°___.
D
E
AH G
2. F0B
1:4
E
AH G
C
（1）加宽部分横断面的
面积是多少；
（2）完成这一工程需要
D 的土方是多少？
解：（1）梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AEFB为加宽
部分。 过点B、E分别作BG⊥AD于G，EH⊥AD于H， 在直角∆EFH中,ⅰ=1:4,即:FH:EH=1:4, FH=25米，∴EH=100 在直角∆ABG中,ⅰ=1:3,即:BG:AG=1:3, BG=25米，∴AG=75 ∴EA=EH－AH=EH－(AG－HG)=100－(75－2)=27米.
(3)小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了10米，
则他升高了（
）。
例1、
BC
A
D
例2、
BC
A
D
EF
例2. 沿水库拦水坝背水坡，将坝顶加宽2米，
坡度由原来的1 ：3改为1：4，已知坝 高25米，坝长50米，求： （1）加宽部分横断面的面积； （2）完成这一工程需要的土方是多少？
课题：24.4解直角三角形(第3课时坡度问题)
图（1）和 图（2）哪 个坡更陡？
（1）
（2）
？
（2）中的山坡比较陡呀！
情境激疑
问题：如图所示，古宇湖水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶宽6 米， 坝高10米，斜坡AB的坡度i1=1:3，斜坡CD的坡度i2=1:1. （1）求斜坡AB和CD的长度；
B C
（2）求坝底AD的长度。
A
D
？
A
4m
12m
D
i1 1 : 3
B E F
i2 1 : 1
C
数 学 活 动 室
学 以 致 用
如图所示，古宇湖水库大坝的横断面为梯形 ABCD ，坝顶宽 6 米， 坝高10米，斜坡AB的坡度i1=1:3，斜坡CD的坡度i2=1:1. （1）求斜坡AB和CD的长度； （2）求坝底AD的长度；
（3）求斜坡CD的坡角。
B C
？
A
D
拓展延伸
例 3 如图，沿水库拦水大坝梯形ABCD的背水坡AB,将坝顶AD加宽2米,
背水坡的坡度由原来的1:2改为1:2.5，已知坝高6米，坝长50米，求： （1）加宽部分横断面AFEB的面积； （2）完成这一工程需多少土石方？
F 2m A D
6m
E
B
H G
C
学以致用
例 4 如图是某货站传送货物的平面示意图。为了提高传送过程的安全性
F 操作平台 B C
学 以 致 用
i=1:2
37° E A
D 地面
小 结
这节课我学到了什么？
我的收获是……
我还有……的疑惑
学以致用
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三 角形的问题，也就是建立适当的数学模型）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的 有关性质，解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。
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24.4.3 .解直角三角形（坡度与坡角）
教学目标：回运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题。
重点：解决有关坡度的实际问题。
难点：理解坡度的有关术语。
教学过程
一、导入新课，出示目标
导语：复习回顾
板书课题：解直角三角形（坡度与坡角）
下面大家齐读一下这节课的学习目标：
二次备课
二、设置提纲，引导自学
自学指导
自学范围：课本第115,116页。
自学时间：3分钟
自学方法：独立看书，独立思考。
自学要求：1.知道坡比概念以及和坡角的关系。
2.完成例4。
3.记住读一读。
自学检测
问题一：
1、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为；
2、一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体升高了
_米．
3、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5m，迎水坡AB的长是13m，那么斜坡AB
的坡度是（）．
A 1： 3
B 1： 2.6
C 1： 2.4
D 1：2
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、如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）．
A 1:
B 3:
C 1:3
D 3:1
三、合作探究一
1、什么叫坡度？
坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
2、什么叫坡角？
坡角是斜坡与水平线的夹角
3、坡角和坡度什么关系？
坡角与坡度之间的关系是：
i＝
h
l
=tan a
坡度i越大，坡角 就越大，坡面就越陡。
合作探究二
例4、如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.51m，路基的坡面与地面的倾角分别是30°和45°．求路基下底的宽.(精确到0.1m)
四、课堂练习
1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度。
（精确到0.1m）
（2）斜坡CD的坡角α。
（精确到1°）
10
10
3
图24.4.5。