gauss积分

合集下载

高斯-勒让德积分公式

高斯-勒让德积分公式

高斯-勒让德积分公式
作为代数学的一部分内容,高斯-勒让德积分公式具有重要价值。

高斯-勒让德积分公式又称椭圆积分,是一种特殊的积分形式,由德国数学家高斯(Gauss)和法国数学家勒让德(Legendre)两人独立发现并推导得出。

高斯-勒让德积分公式的一般形式为∫(dx/√(a^2x^2-b^2c^2)),其中a、b、c都是常数,x是变量。

在现实中,我们会看到许多这样的公式出现在物理,工程和其他科学领域的计算中,比如椭圆轨道的面积计算,以及电学和磁学中的一些问题。

此外,高斯-勒让德积分公式还有一种等价的形式,即通常所说的椭圆积分,形式为∫(dx/√(1-k^2sin^2φ)),其中φ是角度,k是偏度参数,也是一个常数。

根据高斯-勒让德积分公式,我们可以推导出其他一些重要的积分公式和恒等式,这在数学研究和实际应用中具有重要的作用。

例如,可以通过积分变换将其转化为某些特殊函数的积分,进一步计算出所需的结果。

需要指出的是,不同的场合,高斯-勒让德积分公式需要配合相应的推导方式来求解。

在使用的过程中,需要具备一定的数学技巧和知识。

总的来说,高斯-勒让德积分公式以其独特的形式,为解决复杂问题提供了有效的工具,具有广泛的应用价值。

数值分析课件高斯求积公式

数值分析课件高斯求积公式

1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A:1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ,1,代x入公式精确成立,得到: A0 A1 1

1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式: In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度,需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后,不管这些求积节点如何选
取,求积公式的代数精度最高能达到多少?2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取?
n 个1求积节点, n个求1 积系数,共 个2n未知2量,需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式(*)是收敛的。
证明:由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0

gauss型积分公式

gauss型积分公式

gauss型积分公式
高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。

在误差函数的定义中它也出现。

虽然误差函数没有初等函数,但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。

高斯积分(Gaussian integral),有时也被称为概率积分,是高斯函数的积分。

它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。

高斯积分的几何意义就是:
g是从点A所能看到曲线L的角的度量。

设(x,n)是x轴正方向与n的夹角,(x,r)是x轴正方向与r的夹角,则
(r,n) = (x,n) - (x,r)
所以:
cos(r,n) = cos(x,n)cos(x,r)+sin(x,n)sin(x,r)
=((x-e)cos(x,n)/|r| + (y-m)sin(x,n)/|r|
代入高斯积分:
g = ∫[L] ((y-m)sin(x,n)/(|r|2) + (x-e)cos(x,n)/(|r|2)) ds
化成第二型曲线积分:
g = ±∫[L] ((y-m)/(|r|2) dx - (x-e)/(|r|2) dy)
±表示法线n的两个方向。

此方程满足积分路径无关的条件,假如L是一条闭曲线,A在L外部,那么g=0,如果A在内部,根据挖奇点法,积分结果为2π。

数值分析19Gauss积分

数值分析19Gauss积分

数值分析
上式共有 r +1个 等式,2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解,应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
数值分析
可查表得到ti和Ai ,(i 0,1, 2, 3)
原积分
1
11
f ( x)dx F (t)dt
0
2 1
1 2
(
A0F (t0
)
A1F
(t1 )
A2F
(t2
)
A3F
(t3
))
1
1
1
1
2
( A0
f
( 2
(1
t0 ))
A1
f
(
2
(1
t1 ))
A2
f
( 2
(1
t2 ))
1
A3 f ( 2 (1 t3 )))
为Gauss型求积公式。
解:先作变量代换
x 1 (a b) 1 (b a)t 1 (1 t), dx 1 dt
2
2
2
2
于是
1 f ( x)dx 1
1
f
(
1
(1
t
))dt
1
1
F (t)dt
0
2 1 2
2 1
由两点Gauss Legendre求积公式
1
F(t)dt F(0.577) F(0.577)
2
)
5

gauss型求积公式

gauss型求积公式

gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。

1. 定义。

- 在数值积分中,Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。

对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx(其中ρ(x)为权函数),Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。

这里x_i称为求积节点,A_i称为求积系数,n为求积公式的节点个数。

2. 特点。

- 高精度:Gauss型求积公式具有很高的代数精度。

对于n个节点的Gauss型求积公式,其代数精度为2n - 1。

这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x),该求积公式能精确成立,即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i),其中m≤slant2n - 1,P_m(x)是m次多项式。

- 节点分布:Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。

这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。

例如,当ρ(x) = 1,[a,b]=[- 1,1]时,对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x),Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。

二、求积节点与求积系数。

1. 求积节点的确定。

- 以勒让德 - Gauss求积公式为例(ρ(x)=1,[a,b]=[-1,1]),求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。

勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x),P_0(x)=1,P_1(x)=x来计算。

通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。

2. 求积系数的计算。

- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。

一种常见的方法是利用正交性条件。

对于勒让德 - Gauss求积公式,求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算,其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。

gauss型积分公式

gauss型积分公式

gauss型积分公式
Gauss型积分公式是一种经典的积分计算方法,它是18世纪德国数学家克劳德高斯(Karl Friedrich Gauss)提出的数学方法,又称作高斯积分或高斯积分公式。

这种积分方法非常简单、实用,是数学及其相关学科研究时常用到的数学工具。

Gauss型积分公式的特点是它可以将复杂的一元定积分问题转化为解一个多项式方程组的几何问题,从而减少不少的计算量。

它的优势在于,无论是写出这种方程,结合数学技巧便可算出结果,还可用另一种方法,通过积分变换来完成积分计算,而且可以在结果上获得较高的精度。

Gauss型积分公式可简化定积分问题计算,但由于其复杂性,对多元积分这类计算量较大的问题无能为力。

在这种情况下,可以使用另外一种积分方法,即数值积分法,在这种方法中,采用多项式函数来模拟定积分问题,从而减少计算量,并可以得出比较准确的结果。

Gauss型积分公式在数学研究中具有重要意义,可求出很多有用的结果,尤其是在求解复杂的一元定积分问题上。

它的有效性可以通过用它来求曲线的极限等数学知识的计算来证明。

此外,它还可以用于计算椭圆积分,复数积分等。

Gauss型积分公式的应用范围十分广泛,它在数学研究中可以帮助研究者减少许多计算量,从而节省时间,使得数学研究变得更加有效率。

它在量子力学、电磁学、计算物理学、天文学、计算生物学以及统计学等领域也有着广泛的应用。

从以上可以看出,Gauss型积分公式在数学及其相关学科中具有重要意义,它可以帮助研究者提高研究效率,具备很多实用性,是一个重要的数学工具。

对于Gauss型积分公式的应用,学者们和工程研究者们都应该进行进一步的深入研究,从而更好地发挥它的作用。

gauss-kronrod 自适应数值积分算法

gauss-kronrod 自适应数值积分算法

一、介绍gauss-kronrod 自适应数值积分算法是一种用于解决数值积分问题的高精度算法。

它基于高斯-克罗德积分公式,能够在较少采样点的情况下取得较高的积分精度。

该算法被广泛应用于科学计算、工程领域和数学建模中,能够有效地解决复杂函数的数值积分问题。

二、算法原理1. 高斯-克罗德积分公式高斯-克罗德积分公式是一种基于重要节点的数值积分方法。

通过在特定节点上取样,可以将积分问题转化为对这些节点处函数值的加权求和,从而得到积分的近似解。

高斯-克罗德积分公式具有较高的精度和稳定性,在一定程度上可以避免数值积分中的波动和误差。

2. 自适应策略gauss-kronrod 算法在高斯-克罗德积分公式的基础上,加入了自适应策略。

它能够根据积分函数的特性和精度要求,动态调整采样点的位置和数量,使得在给定精度下能够取得较高的积分精度。

这种自适应策略在面对复杂的积分函数时尤为有效,能够减少不必要的计算量,提高积分的效率和准确性。

三、算法实现1. 积分区间划分在使用 gauss-kronrod 算法进行数值积分时,首先需要对积分区间进行适当的划分。

与传统的数值积分算法不同的是,gauss-kronrod 算法能够根据积分函数的特性,自适应地调整划分的方式和密度,从而更有效地逼近积分的精确值。

2. 采样点选择gauss-kronrod 算法基于高斯-克罗德积分公式,采用了一组经过优化的重要采样点。

这些采样点的位置和权重经过精心设计,能够在保证积分精度的前提下,减少采样点的数量,提高计算效率。

3. 自适应策略调整在进行数值积分计算时,gauss-kronrod 算法会根据当前精度的要求和实际的积分情况,动态调整采样点的位置和数量。

通过在积分过程中不断进行自适应调整,能够有效地减少不必要的计算量,提高计算效率,并且保证积分的精度。

四、算法优势1. 高精度gauss-kronrod 算法基于高斯-克罗德积分公式,能够在少量采样点的情况下取得较高的积分精度。

gauss–hermite积分法

gauss–hermite积分法

gauss–hermite积分法
高斯-厄米特积分法(Gauss-Hermite integration)是一种数
值积分方法,用于计算形如e^(-x^2) f(x)的函数的积分。

这种积
分方法在量子力学、概率论和统计学中经常被使用。

高斯-厄米特积分法的基本思想是通过选择合适的积分点和权重,将被积函数转化为一个多项式的线性组合,从而可以利用多项式的
性质来进行数值积分。

具体来说,对于给定的函数f(x),高斯-厄
米特积分法通过选择合适的节点x_i和对应的权重w_i,将积分近
似为Σ(w_i f(x_i)),其中i的取值范围取决于所选用的积分点
的数量。

高斯-厄米特积分法的优点包括在积分区间(-∞, +∞)上具有很
好的收敛性,并且对于e^(-x^2) f(x)形式的被积函数具有高精度。

然而,需要注意的是,高斯-厄米特积分法仅适用于对称的指数衰减
函数e^(-x^2) f(x)的积分。

在实际应用中,高斯-厄米特积分法可以通过查表或者数值计算
的方式得到节点和权重,然后利用这些节点和权重进行数值积分。

这种方法在处理高斯分布相关的概率密度函数、量子力学中的波函
数等问题时非常有用。

总而言之,高斯-厄米特积分法是一种重要的数值积分方法,特别适用于处理指数衰减函数的积分,具有高精度和收敛速度快的优点,在相关领域有着广泛的应用。

电磁学中常用的积分公式

电磁学中常用的积分公式

在电磁学中,常用的积分公式包括:
1. 高斯定律(Gauss's Law):
∮S E · dA = ε₀∫V ρdV
这个公式描述了电场通过闭合曲面的总通量与该曲面内所包围电荷的总量之间的关系。

其中,E是电场强度,S是曲面,A是曲面上的微小面积元素,V是曲面所包围的体积,ρ是电荷密度,ε₀是真空介电常数。

2. 斯托克斯定理(Stokes's Theorem):
∮C B · dl = μ₀∫S J ·dA
这个公式将闭合曲线C沿着某个方向的环流与该曲线所围成的曲面S上的面积分之间建立了联系。

其中,B是磁场强度,dl是沿着曲线C的微小长度元素,J是电流密度,dA 是曲面S上的微小面积元素,μ₀是真空磁导率。

3. 法拉第电磁感应定律(Faraday's Law of Electromagnetic Induction):
∮C E · dl = -d/dt ∫S B · dA
这个公式描述了磁场变化引起的电场感应与磁场沿着某个闭合曲线C的环流之间的关系。

其中,E是电场强度,dl 是沿着曲线C的微小长度元素,B是磁场强度,dA是曲面S
上的微小面积元素。

这些积分公式是电磁学中的基本定律,通过它们可以推导出电磁场的行为规律,解决各种与电场和磁场有关的问题。

gauss-legendre数值积分算法

gauss-legendre数值积分算法

gauss-legendre数值积分算法
Gauss-Legendre数值积分算法是一种用于计算定积分的数值方法,其基本原理是根据Legendre多项式的节点和权重,在给
定积分区间上选择一组节点,并使用这些节点上的权重对被积函数进行近似。

算法的步骤如下:
1. 选择积分节点数N,通常选择30或60个节点,即N的值
为偶数。

2. 在[-1, 1]的区间上,计算出N个Legendre多项式的根,这些根即为积分节点。

3. 计算出N个Legendre多项式在这些节点处的值,并根据这
些值来计算出相应的权重。

4. 将积分区间[a, b]变换到[-1, 1]的区间上,可以使用线性变换,例如:
x = ((b - a) * t + (b + a)) / 2
dx = (b - a) / 2 dt
其中,t为[-1, 1]的变量,x为[a, b]的变量。

5. 根据上一步中得到的节点和权重,计算出在新变量t上的积
分的近似值,即:
I ≈ ((b-a) / 2) * Σ(w[i] * f(x[i]))
其中,w[i]为第i个节点的权重,x[i]为第i个节点。

6. 计算出积分近似值后,可以将其乘以系数((b-a) / 2)来进行缩放,得到在原积分区间上的近似值。

Gauss-Legendre数值积分算法具有高精度和收敛速度快的特点,
但计算节点和权重的过程相对复杂,需要使用数值求根和数值求积的方法。

四点高斯勒让德积分公式的节点与系数

四点高斯勒让德积分公式的节点与系数

一、概述高斯勒让德积分(Gauss-Legendre integration)是数值分析中常用的一种数值积分方法,其基本思想是利用插值多项式近似被积函数,通过求解多项式的根和系数来计算积分值。

在本文中,我们将重点讨论四点高斯勒让德积分公式中的节点与系数。

二、四点高斯勒让德积分公式四点高斯勒让德积分公式是指利用4个节点来进行数值积分的方法,在区间[-1, 1]上的积分公式可以表示为:\[ \int_{-1}^{1} f(x) dx \approx \frac{h}{2} \sum_{i=1}^{4} w_if(x_i) \]其中,\(h\)为步长,\(w_i\)为各节点处的权重,\(x_i\)为各节点的值。

三、节点的选择在四点高斯勒让德积分公式中,节点的选择需要满足Legendre多项式的根的要求,通常可以通过求解Legendre多项式的根来确定节点的值。

Legendre多项式的根可以通过高斯求积公式来确定,根据高斯求积的性质,可知取得高斯求积最高准确度的3次多项式的根为:\[ x_1 = -0.xxx \]\[ x_2 = -0.xxx \]\[ x_3 = 0.xxx \]\[ x_4 = 0.xxx \]四、系数的计算系数的计算是通过数值积分公式中的权重来确定的。

在四点高斯勒让德积分公式中,系数的计算可以通过一定的数值方法来求解,通常可以利用数值积分的加权残差来确定。

在四点高斯勒让德积分中,对于权重的计算有一定的推导方法,最终可以得到四个权重的值为:\[ w_1 = 0.xxx \]\[ w_2 = 0.xxx \]\[ w_3 = 0.xxx \]\[ w_4 = 0.xxx \]五、总结四点高斯勒让德积分公式的节点与系数的选择对于数值积分的精度和稳定性具有重要影响。

通过合适的节点选择和权重计算,可以有效地提高数值积分的准确性,适用于更广泛的数值计算领域。

希望本文对于四点高斯勒让德积分公式的节点与系数有一定的参考价值。

Gauss型(Gaussianquadrature)求积公式和方法

Gauss型(Gaussianquadrature)求积公式和方法

Gauss型(Gaussianquadrature)求积公式和⽅法⽬录0、Gauss型积分通⽤形式1、Gauss–Legendre quadrature勒让德2、Gauss–Laguerre quadrature拉盖尔——积分区间[0,inf]3、Chebyshev–Gauss quadrature切⽐雪夫0、Gauss型积分通⽤形式The integration problem can be expressed in a slightly more general way by introducing a positive weight functionω into the integrand(被积函数), and allowing an interval other than(除了,不同于) [−1, 1]. That is, the problem is to calculatefor some choices of a, b, and ω. For a = −1, b = 1, and ω(x) = 1, the problem is the same as that considered above(勒让德问题). Other choices lead to other integration rules. Some of these are tabulated(列表) below.1、Gauss–Legendre quadrature勒让德——积分区间[-1,1]The most common domain of integration for such a rule is taken as [−1, 1], so the rule is stated aswhich is exact for polynomials of degree 2n − 1 or less. This exact rule is known as the Gauss-Legendre quadrature rule. The quadrature rule will only be an accurate approximation to the integral above if f(x) is well-approximated by a polynomial of degree 2n − 1 or less on [−1, 1]. The Gauss-Legendre quadrature rule is not typically used for integrable functions with endpoint singularities.(端点奇点)(1)基本概念注:P0没有根(与x轴⽆交点),P1有1个根(与x轴有⼀个交点),P2有2个根(与x轴有两个交点),。

高斯积分定理

高斯积分定理

高斯积分定理
摘要:
一、高斯积分定理的简介
二、高斯积分定理的推导过程
三、高斯积分定理的应用领域
四、高斯积分定理的意义和价值
正文:
高斯积分定理,又称高斯(Gauss) 积分公式、高斯(Gauss) 积分反常定理,是数学分析领域中一种非常重要的积分定理。

它不仅为我们提供了一种求解积分的方法,还在许多领域有着广泛的应用。

首先,我们来了解一下高斯积分定理的推导过程。

高斯积分定理的推导主要依赖于概率论中的概率密度函数和概率分布函数。

设随机变量X 的概率密度函数为f(x),则随机变量Y=|X|的概率密度函数为f_Y(y)=f(x)/2,其中
y=|x|。

通过对Y 进行积分,我们可以得到高斯积分定理的数学表达式。

高斯积分定理的应用领域非常广泛。

在概率论中,它可以用来求解随机变量的数学期望和方差;在数理统计中,它可以用来求解参数的极大似然估计;在信号处理中,它可以用来求解信号的能量和功率谱密度;在量子力学中,它可以用来求解量子态的概率密度函数。

高斯积分定理的意义和价值在于,它提供了一种将不同领域的积分问题联系起来的方法。

通过高斯积分定理,我们可以将概率论、数理统计、信号处理、量子力学等领域的积分问题转化为求解概率密度函数或概率分布函数的问
题,从而简化问题的求解过程。

Gauss型求积公式

Gauss型求积公式
性质
Gauss型求积公式具有高精度和高效性,特别是对于一些特殊函数(如多项式函数)的积分,其精度更高。此外, Gauss型求积公式还具有对称性、规范性和最优性等性质。
Gauss型求积公式的分类
01
按照节点数分类
根据使用的节点数不同,可以将Gauss型求积公式分为一 元、二元和多元等类型。一元Gauss型求积公式使用一个 节点,二元Gauss型求积公式使用两个节点,以此类推。
Gauss型求积公式
• 引言 • Gauss型求积公式的基本概念 • Gauss型求积公式的构造方法 • Gauss型求积公式的误差分析 • Gauss型求积公式的应用实例 • 结论
01
引言
背景介绍
01
Gauss型求积公式是数值分析中的一种重要方法,主要用于解决 积分问题。
02
它以德国数学家Carl Friedrich Gauss的名字命名,是数值积分
工程设计
在工程设计中,Gauss型求积公 式可用于计算几何形状的面积、 体积等,以及优化设计参数。
金融工程
在金融工程中,Gauss型求积 公式可用于计算期权定价、风 险评估等金融衍生品的价值。
02
Gauss型求积公式的基本概念
定义与性质
定义
Gauss型求积公式是一种数值积分方法,用于近似计算定积分的值。它通过选择一组特定的节点和权重,将积分 区间划分为有限个小区间,然后利用这组节点和权重来逼近积分。
02
Gauss型求积公式具有高精度和高效率的特点,能够 快速准确地计算积分。
03
它能够减小误差,提高计算精度,特别适合处理复 杂函数积分问题。
结论 Gauss型求积公式的优点与局限性
局限性
Gauss型求积公式需要预先确定节点和权重,对于某些复杂函数可能难以 找到合适的节点和权重。

guass积分公式

guass积分公式

guass积分公式Guass积分公式是Joseph-Louis Lagrange提出的,由Carl Friedrich Gauss精确求解,是现代数学中最重要的解析积分公式。

它指出把函数表示为一个二次项或者一个多项式和常数,则该函数在某一个区间内的积分就可以被准确地求出。

具体来说,该公式表明,在定义域[a,b]内的某一函数f (x)的积分可以用下式表示:\int_{a}^{b}\mathrm f (\mathrm x)\ \mathrm d\mathrm x=\frac{\mathrm b\mathrm f_2-\mathrm a \mathrm f_2+\mathrm f_1(\mathrm b-\mathrma)}{2},其中f2为f (x)在x=a和x=b时的值,f1为f (x)在[a,b]内的一阶导函数。

上式等同于\int_{a}^{b}\mathrm f (\mathrm x)\ \mathrm d\mathrm x=\mathrm\frac{\mathrm b \mathrm \left[\frac{\textrm{f (a)+f (b)}}{2}\right]-\mathrm a \left[\frac{\textrm{f (a)+f (b)}}{2}\right]+\mathrm [\textrm{f (b)-f (a)}]\frac{\mathrm b-\mathrm a}{2}}{2}称之为Guass公式,它有助于简化计算复杂函数的积分,并且可以用于前后区间不同的情况。

由于Guass积分公式可以简化复杂的积分计算,这在许多计算中是十分有用的。

例如,在求解偏微分方程时,可以用Guass积分公式来求解未知函数的积分。

这既可以节省计算时间,又可以避免出现数值误差,并且还可以用来在求解不同范围内函数的积分时进行快速转换。

此外,Guass积分公式还用于求解橡皮形状的函数以及曲线的积分など。

高斯积分原理

高斯积分原理

高斯积分原理
高斯积分原理(Gauss’s integral theorem)是多元函数微积分中的一种重要定理,它描述了一个向量场在一个封闭曲面上的通量与该场在该曲面所包围的体积内的散度之间的关系。

具体地说,设曲面S是一个封闭曲面,n为单位法向量,向量场F是一个具有连续偏导数的向量函数。

则高斯积分原理可以表示为:
∬_S F·dS = ∭_V ∇·F dV
其中,∬_S表示曲面S上的面积分,∭_V表示体积V内的体积分,F·dS表示F与dS的点乘,∇·F表示F的散度。

高斯积分原理可以解释为:一个向量场通过封闭曲面的总通量等于该向量场在被曲面包围的体积内产生的源和汇的总数。

高斯积分原理在物理学和工程学中有广泛应用,特别是在电磁学和流体力学中。

它可以用来计算电场、磁场、电流等在闭合曲面上的通量,从而帮助研究电磁感应、电场分布等问题。

同时,高斯积分原理也可以用来推导出一些其他重要的定理,如环量定理和斯托克斯定理等。

Gauss型积分公式

Gauss型积分公式

R[ f ] [ f ( x) H ( x )]dx

b a
f ( x ) 2 w ( x )dx ( 2n 2)!
( 2 n 1 )
f ( 2 n1) ( ) ( 2n 2)!

b
a
w ( x )dx,
2
(a , b)
(2) Gauss-Laguerre求积公式
(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多
项式pn(x) .
(2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为 Gsuss点. (3)计算积分系数
例:
求积分
1 x f ( x)dx
1
2
的2点Gauss公式.

按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:
p0 ( x) 1
2.001389
Gauss 公式的余项:
R[ f ] f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
插值多项式的余项
/* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */
f ( x )dx Ak P ( xk )
b a k 0 n
/*只要P 的阶数不大于2n+1,则下一步等式成立*/
b
因此,[a,b]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为 ba n ab ba b xi ) Ai f ( a f ( x)dx 2 i 1 2 2
n
1 2
xk
0 ±0.5773502692 ±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
区间[0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,

三点gauss型求积公式例题

三点gauss型求积公式例题

三点gauss型求积公式例题Gauss型求积公式是一种数值积分方法,用于近似计算定积分。

它基于一种特定的权重函数和节点选取方式,以提高计算精度。

Gauss型求积公式可用于一维和多维的定积分计算。

一维Gauss型求积公式的形式如下:∫(a到b) f(x)dx ≈ Σ(i=1到n) wi*f(xi)其中,wi是权重函数,xi是节点的位置,n是节点的个数。

这个公式的准确性和节点个数有关,一般情况下,节点数越多,计算结果越准确。

下面是一个一维Gauss型求积公式的例题:考虑求解函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。

根据Gauss型求积公式,在这个问题中,我们需要选择节点和权重函数。

一种常用的选择是Legendre多项式。

对于这个例题,我们使用2个节点进行计算。

根据Legendre多项式的公式,我们可以得到节点和权重函数的值如下:节点xi: -0.57735, 0.57735权重函数wi: 1, 1将节点和权重函数代入Gauss型求积公式,我们可以计算出近似的定积分值:∫(0到1) x^2 dx ≈ (1/2)*x^2 |(0到1)≈ (1/2)*1^2 - (1/2)*0^2≈ 1/2因此,函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分的近似值是1/2。

拓展:Gauss型求积公式不仅适用于一维的定积分计算,也可以扩展为多维的情况。

对于多维的积分计算,我们可以分别在每个维度上选取节点和权重函数,然后组合起来进行计算。

多维Gauss型求积公式可以更准确地近似计算多维函数的定积分值。

此外,除了Legendre多项式,还有其他类型的多项式可以用于选择节点和权重函数,例如Chebyshev多项式和Hermite多项式。

不同的多项式选择会影响到计算结果的准确性和稳定性。

在实际应用中,根据具体的问题和需求,选择合适的多项式和节点数进行计算。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
I =

1 −1
sin( t + 1 ) / 2 dt t + 1
1 1 sin ( − 0 .5773503 + 1) sin ( 0 .5773503 + 1) 2 2 I ≈ + = 0 .9460411 − 0 . 5773503 + 1 0 .5773503 + 1
个节点的Gauss公式 用3个节点的 个节点的 公式
总结
1:梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法,但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式,精度较高,计算较简,使用非常广泛。 2:Romberg求积方法,算法简单,当节点加密提高积分近似程度 时,前面的计算结果可以为后面的计算使用,因此,对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积,它的节点是不规则的,所以当节点增加时,前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦,但精度 高,特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分,则是其他方法 所不能比的。

令I=
1
0
sin x dx x

1
0
sin x dx x
各种做法比较如下: 一、Newton-Cotes公式 公式 当n=1时,即用梯形公式,I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831
e f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
−x k=1
n
(3)
4 .Gauss - Hermite 求积公式

+∞ −
−∞
e x f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
1 k=
2
n
(4)
例题:分别用不同方法计算如下积分 并做比较 例题 分别用不同方法计算如下积分,并做比较 分别用不同方法计算如下积分
二:用复化梯形公式 用复化梯形公式
令h=1/8=0.125
sin x h ∫0 x dx ≈ 2 { f (0) + 2[ f (h) + ⋯ + f (7h)] + f (1)} = 0.94569086
1
三:用复化抛物线
令h=1/8=0.125
sin x h dx ≈ { f (0) + 4[ f (h) +⋯+ f (7h)] + 2[ f (2h) +⋯+ f (6h)] + f (1)} = 0.946083305 ∫0 x 3
事实上,取 2n次多项式 次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有 次多项式 左=
∫a ρ(x)g(x)dx > o
b
b
右=
∑A g(x )=0
k= 1 k k n
n
左≠右,故不成立等式,定理得证. 定义: 定义 使求积公式
∫ ρ(x) f (x)dx ≈ ∑A f (x )
d x ∫ 1+ x 0
1
1 1 1 (5) (5) I ≈A +A +⋯ A + 5 2 (5) (5) (5) 3+t1 3+t2 3+t5
(5) 1
≈0.69314719⋯
积分精确值为 I=ln2=0.69314718… 由此可见,高斯公式精确度是很高的
2.Gauss - Chebyshev 求积公式
∫ ρ(x) f (x)dx = ∑A f (x )
a k= 1 k k
b
n
ρ(x) ≥ 0 是 函 权 数
注意此时的代数精度最高为2n-1 注意此时的代数精度最高为
(一)定理: 定理:
求积公式 超2n-1次。 次
∫ ρ(x) f (x)dx ≈ ∑A f (x )
a k= 1 k k
b
n
的代数精度最高不
定理: 定理 若f(2n)(x)在[a,b]上连续,则高斯求积公式的余项为
f (2n) (η) b 2 R = n ∫a ρ(x)wn (x)dx (2n)!
其中η∈(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。
高斯求积公式的系数A 恒为正,故高斯求积公式是稳定的 故高斯求积公式是稳定的. 高斯求积公式的系数 k恒为正 故高斯求积公式是稳定的 Guass求积公式有多种 他们的 求积公式有多种,他们的 系数A 求积公式有多种 他们的Guass点xk, Guass系数 k 点 系数 都有表可以查询. 都有表可以查询
常用的高斯求积公式
1.Gauss - Legendre 求积公式
1 n

− 1
f (x)d ≈ ∑A f (xk ) x k
k= 1
(1)
其中高斯点为Legendre多项式的零点
1 dn(x2 −1 n ) • n 2n ! d n x
Ln(x)=
对于一般有限区间[a,b],用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成 ,用线性变换 对于一般有限区间 使它变成 为[-1,1]。 。
1
四、 Romberg公式 公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831
五、Gauss公式 公式 令x=(t+1)/2, 个节点的Gauss公式 用2个节点的 个节点的 公式
1 sin (0.7745907 + 1) 2 I ≈ 0.5555556 × 0.7745907 + 1
sin
1 2 + 0.8888889 × 0 +1 sin
+ 0 . 5555556
×
1 ( 0 . 7745907 + 1) 2 0 . 77459较
此例题的精确值为0.9460831... 由例题的各种算法可知: 对Newton-cotes公式,当n=1时只有1位有效数字,当 n=2时有3位有效数字,当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字,对复化抛物线公式有 2 6位有效数字。 用复合梯形公式,对积分区间[0,1]二分了11次用2049 个函数值,才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次,用了9个函数值,得到 同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值,就得到结果。

1
f (x) 1− x
2
− 1
d ≈ ∑A f (xk ) x k
k= 1
n
(2)
其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点
Tn(x)=cos(narccos(x))
( 2 k − 1)π x k = cos 2n , Ak =
π
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式


0
n
1 2
xk(n)
0 -0.5773503 +0.5773503
Ak(n)
2 1 1
1 f "( ) η 3 1 f (4) ( ) η 1 5 3
Rn
Gauss- Legendre 点 及 系 数 表
3
-0.7745967 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.3478548 -0.3399810 0.6521452 +0.3399810 0.6521452 +0.8611363 0.3478548 5 -0.9061799 0.2369269 -0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 +0.5384693 0.4786287 +0.9061799 0.2369269
证明: 时代入公式, 证明:分别取 f(x)=1, x,x2,...xn 时代入公式,并让其成为等式得 ,
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= (b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式, 个待定系数 变元),要想如上方程组有唯一解 个待定系数(变元 要想如上方程组有唯一解, 上式共有 r 个 等式,2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解,应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 程组中方程的个数等于变元的个数 即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是 数精度至少是 下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定 ,b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为 个未知 如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知 中求积节点 如下 ≤ 上式成为 元线性方程组, 时方程组有唯一解 有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组,此时要 元线性方程组 此时要r=n 时方程组有唯一解 、 x1 A1 + x2 A2+ ……
1 f (6) (η) 15750
f (8) (η) 3472875
f (η) 1237732650
(10)
例题利用高斯求积公式计算
[解]令x=1/2 (1+t), 则 1 d 1 x d t I =∫ =∫ − 3+t 0 1+ x 1 用高斯-Legendre求积公式计算 求积公式计算.取n=5 求积公式计算
相关文档
最新文档