陕西省咸阳市武功县普集高级中学2019-2020学年高一下学期第二次月考数学试题 Word版含解析

普集高中2019—2020学年度第二学期高一年级第2次月考
（数学）试题（卷）
一、选择题
1. 给出下列四个命题，其中正确的命题有()
①－75°是第四象限角②225°是第三象限角
③475°是第二象限角④－315°是第一象限角
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个【答案】D
【解析】
由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.
2. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生（）
A. 20人，30人，10人
B. 30人，30人，30人
C. 30人，45人，15人
D. 30人，50人，10人
【答案】C
【解析】
试题分析：甲校、乙校、丙校的学生数比例为3600：5400：1800=2：3：1，
抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生90×2
6
=30人，90×
3
6
=45人，90×
1
6
=15
人
考点：分层抽样方法
3.统计某校400名学生的数学学业水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）
A. 80%，80
B. 80%，60
C. 60%，80
D. 60%，60 【答案】A
【解析】
【分析】
根据不低于60分为及格，利用频率分布直方图提供的数据求解及格率；然后再用同样的方法求得优秀率，进而得到优秀人数.
【详解】由频率分布直方图得：及格率为：()
0.0250.03520.01100.880%
++⨯⨯==，
优秀率为：20.01100.220%
⨯⨯==，
优秀人数2040080
%⨯=.
故选：A
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为
A.
3
10
B.
2
5
C.
1
2
D.
3
5
【答案】C
【解析】
【分析】
从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有10种，而相克的有5种情况，得到抽取的两种
物质相克的概率是1
2
，进而得到抽取两种物质不相克的概率，即可得到答案.
【详解】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有2
510
C=种，而相克的有5种情况，
则抽取的两种物质相克的概率是
51
102
=，故抽取两种物质不相克的概率是
11
1
22
-
=，
故选C.
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5.设角θ的终边经过点()
34
P-，，那么sin2cos
θθ
+=( )
A.
1
5
B.
1
5
- C.
2
5
- D. 2
5
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考察的是对角的终边的理解，通过角的终边来确定sinθ和cosθ的值，最后得出结果．【详解】试题分析：根据三角函数定义知：()()
22
22
43
sin,cos
55
3434
θθ
====-
-+-+
，所以原式
432
2
555
⎛⎫
=+⨯-=-
⎪
⎝⎭
，答案为：C.
【点睛】在计算任意角的三角函数时，一定要考虑到任意角的三角函数的正负．
6.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为
A. 5
B. 8
C. 24
D. 29
【答案】B 【解析】 【分析】
根据程序框图，逐步写出运算结果．
【
详解】1,2S i ==→1
1,1225,3j S i ==+⋅==，8,4S i ==，
结束循环，故输出8． 故选B ．
【点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
7.设α角属于第二象限，且cos cos
2
2
α
α
=-，则
2
α
角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限
【答案】C 【解析】 【分析】
由α是第二象限角，知2
α在第一象限或在第三象限，再由|cos |cos 22αα
=-，知cos 02α<，
由此能判断出角2
α
所在象限． 【详解】
α是第二象限角，
90360180360k k α∴︒+︒<<︒+︒，k Z ∈
45180901802
k k α
∴︒+︒<
<︒+︒k Z ∈，
当2,k n n =∈Z 时，
2α
在第一象限， 当21,k n n Z =+∈时，2
α
在第三象限，
∴2
α
在第一象限或在第三象限， |cos
|cos
2
2
α
α
=-，
cos
02
α
∴<
∴
2
α
角在第三象限． 故选：C ．
【点睛】本题考查角所在象限的判断，是基础题，比较简单．解题时要认真审题，注意熟练掌握基础的知识点．
8.函数y ＝3sin （2x 3
π
+）的图象，可由y ＝sin x 的图象经过下述哪种变换而得到（ ） A. 向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的1
2倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B. 向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的1
2倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C. 向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的1
3倍
D. 向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标缩小到原来的1
3
倍
【答案】B 【解析】 【分析】
利用图象平移的规律及图象伸缩变换的规律得到结论． 【详解】由函数图像的变换规律： 将y ＝sin x 的图象向左平移3π得到函数y ＝sin （x 3
π
+） 再横坐标缩小到原来的
12倍，纵坐标不变得到函数y ＝sin （2x 3
π+） 再横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y ＝3sin （2x 3
π
+） 故选B ．
【点睛】本题考查利用图象平移、图象伸缩变换的规律，考查了三角函数的图象，属于基础题．
9.函数sin y x x =的部分图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
先判断函数的奇偶性，再结合函数值的正负号即可确定答案.
【详解】解:因为sin y x x =，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故可以排除B ，D.又因为函数()f x 在()0,π上函数值为正，故排除C. 故选：A.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和函数值正负判断，属于基础题. 10.函数2cos 1y x =+的定义域是（ ）
A. ()2,266k k k Z ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦π-
π+∈ B. ()22,33
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C. ()2,233k k k Z 2π2⎡
⎤
⎢⎥⎣
⎦
ππ-π+∈ D. ()2,23
3k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的定义域得到：2cos 10x +≥，求解不等式即可得出定义域. 【详解】解：由2cos 10x +≥得：2222,33
k x k k ππ
π-
≤≤π+∈Z . 所以函数2cos 1y x =+的定义域是()2,233k k k Z 2π2⎡
⎤
⎢⎥⎣
⎦
ππ-
π+∈. 故选：C.
【点睛】本题考查三角不等式的求解，属于基础题. 11.已知函数()sin (0,)2
y x π
ωϕωϕ=+><
的部分图象如图所示，则 （ ）
A. 1,6
π
ωϕ== B. 1,6
π
ωϕ==-
C. 2,6
π
ωϕ==
D. 2,6
π
ωϕ==-
【答案】D 【解析】 【分析】
由函数的最值求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,从而得出结论.
【详解】根据函数的图象求出函数的周期,然后可以求出ω,通过函数经过的最大值点求出
φ值,即可得到函数sin()y A x ωϕ=+的解析式.
由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯=
⎪⎝⎭
, 22T
π
ω∴=
=. 当3
x π
=
,函数取得最大值1,所以sin 213π
ϕ⎛⎫
⨯
+= ⎪⎝
⎭
, 2232k k Z ππ
ϕπ+=+∈， ||,0,2
k π
φ<
∴=
6
π
ϕ∴=-
故选D .
12.已知函数()(sin 0,0,2
)2
)(y f x A x A π
π
ωϕωϕ==+>>-<<
的部分图象如图所示，
则1712
f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为( )
A. 2-
B. 2
C. 3 3【答案】B 【解析】
【分析】
根据图象计算得到2A =，2ω=，3
π
ϕ=-，再代入数据计算得到答案.
【详解】根据图象：2A =，46124
T πππ
=+=，故T π=，2ω=，故2sin(2)y x ϕ=+. 当6
x π
=
时，2si )0n(
3
y π
ϕ+==，故,3
k k Z π
ϕπ+
=∈，即,3
k k Z π
ϕπ=-
+∈.
当0k =时，3
π
ϕ=-
满足条件.
17172sin 2212123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 故选：B .
【点睛】本题考查了根据三角函数图像求三角函数值，意在考查学生对于三角函数图象的理解和掌握.
二、填空题
13.圆的半径是6cm ，则圆心角为15︒的扇形面积是______2cm . 【答案】32
π
【解析】 【分析】
先把圆心角15︒换算为弧度制
12
π
，根据扇形的面积公式代入计算即可.
【详解】解：由题设知，6r =，1518012ππα=
=，根据扇形的面积公式211
22
S lr r α==得：21362122
S ππ
=⨯⨯=.
故答案为：
32
π
. 【点睛】本题考查了度数与弧度制转化、扇形面积公式，属于基础题. 14.函数()sin(2)4
f x x π
=+的最小正周期为________．
【答案】π 【解析】
函数()sin 24f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的最小正周期为
22
π
π=. 故答案为π.
15.比较大小26cos 3π______13cos 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【答案】< 【解析】 【分析】
利用诱导公式计算出26cos 3π与13cos 3π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值可得答案. 【详解】因为26
cos
3π2cos(8)3ππ=+21cos 32
π==-， 13131cos()cos cos(4)cos 33332
πππππ-==+==，
所以26cos
3π<13cos 3π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 故答案为：<.
【点睛】本题考查了诱导公式，考查了特殊角的函数值，属于基础题.
16.关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝
⎭，有下列命题：
①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
； ②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称； ④函数()y f x =的图象关于直线6
x π
=-对称.
其中正确的序号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 的对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④.
【详解】解：对于①，()4sin 24cos 232
3f x x x ππ
π⎛⎫
⎛⎫=+
=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛
⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以①正确；
对于②，最小正周期222
T π
π
πω
==
=，所以②不正确； 对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为()f x 的对称中心，故③正确；
对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛
⎫
=+
∈ ⎪
⎝
⎭
的对称直线满足2,3
2
x k k Z π
π
π+=+
∈，6
x π
=-
不满足条件，所以④不正确. 故答案为：①③.
【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题.
三、解答题
17.用五点法作出函数32cos y x =+在[]0,2π内的图像. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 取30,
,,
,22
2
x π
π
ππ=，列表得y 的值，再描点可得函数图像. 【详解】列表：
描点得32cos y x =+在[]0,2π内的图像（如图所示）：
【点睛】本题主要考查了五点法做三角函数图像，属于基础题.
18.已知()()()()()
3sin 3cos 2sin 2cos sin f παππαααπαπα⎛
⎫---+
⎪⎝⎭=
----.
（1）化简()f
α；
（2）若313
π
α=-
，求()f α的值. 【答案】（1）αcos αf ；（2）1
2
-.
【解析】 【分析】
（1）利用诱导公式可化简()f
α；
（2）利用诱导公式可求得313f π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值. 【详解】（1）()()
()sin cos cos cos cos sin f ααααααα
-⨯⨯-=
=--⨯；
（2）3131311cos cos cos 10cos 33
3332f ππ
ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
=--=-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，考查计算能力，属于基础题. 19.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们身高（单位：cm ），获得身高数据
的茎叶图如图.
（1）计算甲班的样本方差；
（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的
同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率. 【答案】（1）57.2（2）2
5
【解析】 【分析】
（1）先求均值，再根据方差公式求结果；
（2）身高不低于173cm 的同学有5名，先求从这5名同学中抽取两名同学总事件数，再确定身高为176cm 的同学被抽中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）182179179171170168168163162158
17010
x +++++++++=
=甲
所以222222
2
12991044781257.210
s +++++++++==；
（2）身高不低于173cm 的同学有5名，从高到低依次记为A,B,C,D,E ；从这5名同学中抽
取两名共有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BD,CD,CE,DE 这10个基本事件，其中身高为176cm 的同学被抽中的事件有AD,BD,CD,ED 这4个基本事件，所以所求概率为
42=105
【点睛】本题考查方差以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 20.已知角α
终边经过点43,55P ⎛⎫-
⎪⎝⎭
()1求sin α；
()2求()()()
sin tan 2sin cos 3πααππαπα⎛⎫- ⎪
-⎝⎭⋅+-的值．
【答案】（1）35
（2）54.
【解析】
试题分析：（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值． （2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=4
5
，可得结果． 试题解析：
（1）∵1OP =，∴点P 在单位圆上. 由正弦函数的定义得3sin 5
α=-. （2）原式cos tan sin 1
sin cos sin cos cos αααααααα
=
⋅==
--⋅， 由余弦函数的定义得4cos 5α=.故所求式子的值为5
4
.
21.在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<
）的图象与x 轴
的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. (1)求()f x 的解析式； (2)当,122x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域． 【答案】（1）()2sin(2)6
f x x π
=+ （2）[-1，2] 【解析】
试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭
,得2A =,周期T π=，则2=
=2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，代入得42sin 23πϕ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得
到()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再求其单调增区间． (2)分析72,636x π
ππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣⎦
，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x π
π+
=
,即2
x π
=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为
[]1,2-．
试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
, ∴
4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴6
π
ϕ=
,∴()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
． 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
,k Z ∈，得3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，．
∴函数()f x 的单调增区间是(),3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
． (2)
,122x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当26
2x π
π
+
=
,即6x π
=
时,()f x 取得最大值2；
当7266x ππ+=,即2
x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．
点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．
22.已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为
23π
，当[0,]3
x π∈时，方程()f kx m = 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）()2sin 13f x x π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
（2）)
31,3⎡+⎣ 【解析】 【分析】
（1）根据表格提供的数据画出函数图象，求出T 、ω和A 、B 的值，写出()f x 的解析式即可；
（2）由函数()y f kx =的最小正周期求出k 的值，再利用换元法，令33
t x π
=-，结合函数
的图象求出方程()f kx m =恰有两个不同的解时m 的取值范围． 【详解】解：(1)绘制函数图象如图所示：
设()
f x 最小正周期为T ，得11266T ππ
π=
-=．由2T πω
=得1ω=． 又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得2
1A B =⎧⎨
=⎩
, 令5262k ππωϕπ⋅
+=+，即5262
k ππ
ϕπ+=+，k Z ∈， 据此可得：23
k π
ϕπ=-
，又2
π
ϕ<
，令0k =可得3
π
ϕ=-
．
所以函数的解析式为()213f x sin x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
．
(2)因为函数()213y f kx sin kx π⎛⎫
==-
+ ⎪⎝
⎭
的周期为23π
，又0k >，所以3k =． 令33
t x π
=－
，因为0,
3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
． sint s =在2,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
-上有两个不同的解，等价于函数sin y t =与y s =的图象有两个不
同的交点，3,1s ⎡⎫
∴∈⎪⎢
⎪⎣⎭
， 所以方程()f kx m =在0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时恰好有两个不同的解的条件是)
31,3m ⎡∈+⎣， 即实数m 的取值范围是)
31,3⎡+⎣．
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，属于中档题．。