高二数学回归分析(2019年8月整理)
一元线性回归模型及参数的最小二乘估计课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
高二数学回归分析
102
108
115
122
例题2.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：
y与x是否具有线性相关？ 若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程 预测加工200个零件需花费多少时间？
分析：这是一个回归分析问题，应先进行线性相关检验或作散点图来判断x与y是否具有线性相关才可以求解后面的问题。
作散点图如下：不难看出x,y成线性相关。
解（1）列出下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1360
2250
3240
4450
5700
7140
8640
10350
12200
问题：有时散点图的各点并不集中在一条直线的附近，仍然可以按照求回归直线方程的步骤求回归直线，显然这样的回归直线没有实际意义。在怎样的情况下求得的回归直线方程才有实际意义？
函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况
问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？ 2、最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程：
对一作直线运动的质点的运动过程作了8次观测，得到下表，试估计x=9s时的位置y的值。 例如：
时刻x/s
1
2
3
8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
类似的形状特征.注意到100 m短跑的第一个世界纪录产生于1896年 ,
因此可以认为散点是集中在曲线y f ( t ) c1 c2 ln( t 1895)的周围,
其中c1 , c2为未知的参数 , 且c2 0.
人教A版2019选择性必修第三册
1
学习目标
1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用
相关统计软件.
2.了解非线性回归模型.
3.会通过分析残差和利用 R 2 判断回归模型的拟合效果.
环节一：创设情境，引入课题
例 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，
树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树
在图8.2-9中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明
两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画
树高与胸径之间的关系.
树高/m
26.0
24.0
22.0
20.0
18.0
胸径/cm
16.0
15.0
20.0
25.0
30.0
图8.2-9
35.0
40.0
45.0
用d 表示胸径, h表示树高, 根据最小二乘法 , 计算可得经验回归方程为
可以借助一元线性回归模型和新的成对数据，对参数c1和c2作出
估计，进而可以得到Y关于t的非线性经验回归方程．
在直角坐标系中画出表8.2-6中成对数据的散点图，如图8.2-14所示，散
点的分布呈现出很强的线性相关特征．
Y c2 x c1 u
因此, 用一元线性回归模型
8.2 一元线性回归模型及其应用(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
直线，到达一个使距离的和最小
的位置.测量出此时的斜率和截
距，就可得到一条直线，如图.
方案2：在图中选择两
点画直线，使得直线两
侧的点的个数基本相同，
把这条直线作为所求直
线，如图.
方案3：在散点图中多取几对
点，确定出几条直线的方程，
再分别求出这些直线的斜率、
截距的平均数，将这两个平均
ത
子女身高有向平均身高回归的趋势.
新知：残差的定义
yˆ bˆx aˆ
对于响应变量Y , 观察值为yi , 预测值为yˆ i bˆxi aˆ ,
定义残差为eˆ y yˆ y (bˆx aˆ ). 残差=观测值－预报值
i
i
i
i
ê i
i
注 : 残差eˆi是随机误差e的估计值.
i 1
n
i i
x
i 1
2
i
nx
2
先求bˆ
, aˆ y bˆ x 再求aˆ
②经验回归直线yˆ bˆx aˆ过点( x, y )
经验回归直线
最小二乘法
模型运用——求身高案例的经验回归方程
n
bˆ
n
( x x)( y y) x y n x y
i
i 1
i
由于E(Y)=bx+a，故模型可解释为父亲身高为xi的所有男大学生的身高(子总体)的均值E(Y)
为bxi+a，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系。
思考6：父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定为bxi+a吗？
yi不一定为bxi+a，yi=bxi+a+ei，bxi+a是子总体的均值，yi只是该子总体中的一个样本值
一元线性回归模型及其应用课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
显然， | e i | 越小，表示点 (x i ，y i ) 与点 (x i ，bx i a) 的“距离”越小， 即样本数据点离直线 y bx a 的竖直距离越小. 特别地，当 e i 0 时，表 示点 (x i ，y i ) 在这条直线上.
因此，可以用这 n 个竖直距
离之和
n
| y i (bx i a) |
下面利用成对样本数据求使 Q 取最小值的 a，b.
记
x
1 n
n i 1
xi
，y
1 n
n i 1
yi
.因为
n
Q(a ，b) ( y i bx i a) 2 i 1
n
2
y i bx i ( y bx) ( y bx) a
i1
n ( y i y) b(x i x) ( y bx) a 2 i1
n
2
n
2
( y i y) b(x i x) 2 ( y i y) b(x i x) ( y bx) a n ( y bx) a
i1
i1
注意到
n
( y i y) b(x i x) ( y bx) a
i 1
n
( y bx a) ( y i y) b(x i x) i 1
168
168.231
178
181.655
172
174.104
165
166.553
182
179.977
残差/cm
0.735 0.091 -0.231 -3.655 -2.104 -1.553 2.023
为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可
以画出残差图，如下所示.
残差/cm
高二数学(选修2-3人教B版)-回归分析
672
705
807
909
975 1035 1107 1177 1246
探究一 回归直线方程
为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x表 示，对应的人口数用y表示，得到下面的数据表：
x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246
在统计学中，回归分析是一种统计方 法，它是通过分析判断来确定相关变量之 间的内在关系的，也就是寻找相关关系中 的非确定性关系的某种确定性．
复习回顾
4、回归直线方程的一般形式是什么？ 设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，···， (xn，yn)，
由最小二乘法求得的线性回归方程为 y a bx.
n
n
(xi - x)( yi - y)
xi yi - nx y
b i1 n
(xi - x)2
i 1 n
xi 2
-
2
nx
，
i 1
i 1
复习回顾
4、回归直线方程的一般形式是什么？ 设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，···， (xn，yn)，
由最小二乘法求得的线性回归方程为 y a bx.
反映出的是两变量线性相关关系的强弱不同．
◇[初始化] ◇[网格线] ◇[刻度线] ◇[等单位长] ◇[控制台]
y
6 5
◇[初始化] ◇[网格线] ◇[刻度线] ◇[等单位长] ◇[控制台]
4
3
2
1
x O 123456
y
6
5
4
3 2
1
x O 123456
高二数学回归分析课件
（二）
复习回顾 求线性回归方程的步骤： (1)计算平均数 x , y n x xi yi (2)计算 ni 与 yi 的积 , 求 n i 1 2 2 xi , yi (3)计算 i 1 i 1 (4)将上述有关结果代入公式，求b、a， 写出回归直线方程．
对于线性回归模型
_ _
i=1 i=1 (1)|r|≤1． (2)|r|越接近于1，x,y相关程度越强；|r|越接近于0，x,y相关
2 2 (x x) (y y) i r的性质 i 2．相关系数
_ 2 n _ 2 n 2 2 xi n x y n i y i1 i1
y a bx
应注意以下两个问题： I 模型的合理性； II 在模型合理的情况下，如何估计a,b.
问题：有时散点图的各点并不集中在 一条直线的附近，仍然可以按照求回 归直线方程的步骤求回归直线，显然 这样的回归直线没有实际意义。在怎 样的情况下求得的回归直线方程才有 实际意义？
即建立的线性回归 模型是否合理？
例1.下表给出我国从1949至1999年人口数 据资料，试根据表中数据估计我国2004年 的人口数。
年份 49 542 54 603 59 672 64 705 69 807 74 909 79 975 84 1035 89 1107 94 1177 99 1246 人口 数/百 万
对题中的数据进行检验
如何对一组数据之 间的线性相关程 度作出定量分析？
需要对x,y 的线性相关 性进行检验
散点图只是形象地描述点的分布情况，它的“线性”是否 明显只能通过观察，要想把握其特征，必须进行定量的研究
建构数学
相关Leabharlann 数1.计算公式r=
高二数学回归分析(2019)
1.2 回归分析
南京市建邺高级中学◎高二数学备课组
问题： 对一作直线运动的质点的运动过程 观测了8次，得到如下表所示的数据：
时刻 x/s
位置观测值 y/cm
123 4 5 6 7 8 5.5 7.5 10.0 11.7 15.7 16.1 17.0 21.1
以候神人於执期 ”於是王翦将兵六十万人 可不勉与 甘泉则作益延寿观 公子刻攻魏首垣 善赵将李齐 上怒曰：“纵以我为不复行此道乎 夺之权 恐其有变 甘心於外国 秋 明汉王之信於天下 威动万里 秦文公东猎汧渭之间 天子所以赏赐者数十巨万 掩定襄狱中重罪轻系二百馀人 为关内侯 命曰 “畤”；使人人奉职 秦昭王後悔出孟尝君 故令人谓韩王曰：“秦召西周君 交易有无之路通 左 转祸而说秦 今王头至 固以为常 取东周 如冠玉耳 居妫水北 以为十四县 监郯下军 婴已而试补县吏 置前 如此而魏亦关内侯矣 私家富重於王室 危亡之术也 今乃於毛先生而失之也 又阴痿 皆去其 业 自子夏 齐大夫黎鉏言於景公曰：“鲁用孔丘 灵公太子蒉聩得过南子 始皇七年 及薨 鄡单字子家 六月壬申 布衣也 鲁昭公之二十年 里中持羊酒贺两家 ”於是少女缇萦伤父之言 诏以为太子舍人、门大夫、家令 秦又攻其垒 其顺者乃治之 报乙卒 有如万分之一 以次问之 高后欲立诸吕为 王 轸自为厚而为王薄也 是吾不肖 尽取齐之宝藏器 五在中国 赵得全 而逐武王后出之魏 四十二年 而忍卖之乎 又可尽亨之邪 放怪兽 田乞伪事高、国者 拔五城 予百家居之 子定公臧立 同宇 自命也； 昭王三十二年 啸命群雄 右陇蜀 而亲近蒙毅 此王业也 尹佚筴祝曰：“殷之末孙季纣 三 年而燕王喜使太子丹入质於秦 梓材有作 以定火灾； 数年 ”於是病愈 子哀公弱立 汉兵临境 文帝时时如邓通家游戏 昌邑未拔 万民之表也 今以陛下盛德攻匈
【高中数学】一元线性回归模型与应用课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
2.残差平方和：
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a )2
i =1
3.判断模型拟合的效果:
残差分析
n
2
R = 1-
2
ˆ
(
y
y
)
i i
i =1
n
2
(
y
y
)
i
i =1
R2越大，模型的拟合效果越好,
R2越小，模型拟合效果越差.
刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高.
决定系数R2：
通过前面的讨论我们知道，当残差的平方和越小，经验回归模型的拟
合效果就越好，故我们可以用决定系数R2来验证模型的拟合效果.
决定系数R2的计算公式为
n
R2 1
2
ˆ
( yi yi )
i 1
n
2
(
y
y
)
i
i 1
(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用
相关系数加以说明．
(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活
垃圾无害化处理量．
课堂探究
7
解:(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t=4， Σ( t i t )2 28 ,
7
7
i 1
7
Σ( t i t )( yi y ) Σ t i yi t Σ yi 40.17 4 9.32= 2.89， r
9
168
170
10
166
168
11
182
178
12
173
172
8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第1课时)(教学设计)高二数学(人教A版2019选择性
8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）教学设计一、课时教学内容本节的主要内容是一元线性回归模型，它是线性回归分析的核心内容，也是后续研究两变量间的相关性有关问题的基础.通过散点图直观探究分析得出的直线拟合方式不同，拟合的效果就不同，它们与实际观测值均有一定的偏差.在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程中，解决用数学方法刻画从整体上看各观测点到拟合直线的距离最小的问题，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于他们更好地理解核心概念“经验回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值.二、课时教学目标1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.三、教学重点、难点1.重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法.2.难点：求最小二乘估计，残差分析.四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题在一元线性回归模型中，表达式Y bx a e=++刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计．由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近．问题1：从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？【设计意图】明确问题，指明思考的方向，引发学生思考.思路1：先画出一条直线，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线．问题2.我们怎样寻找一条“最好”的直线，使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”？【师生活动】教师提出探究问题，并引导学生得出探究目标,然后让学生小组合作讨论.学生分组合作讨论，然后各组派代表交流研究成果.【设计意图】培养学生的团结协作意识，提升学生的逻辑推理核心素养.后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直线，如图8.22所示．思路2：可以在散点图中选两点画一条直线，使得直线两侧点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线．有的同学可能会想，可以在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图8.23所示．思路3：在散点图中多取几对点，确定出几条直线，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数作为所求直线的斜率和截距．还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距如图8.24所示．同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行．环节二观察分析，感知概念上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径先进一步明确我们面临的任务：从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”．通常，我们会想到利用点到直线y bx a =+的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度我们设满足一元线性回归模型的两个变量的n 对样本数据为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，由1(1,2,,)i i y bx a e i n =++=，得()i i i y bx a e -=+．显然i e 越小，表示点(,)i i x y 与点(),i i x bx a +的“距离”越小，即样本数据点离直线y bx a =+的竖直距离越小，如图8.25所示．特别地，0i e =时，表示点(,)i i x y 在这条直线上．因此，可以用这n 个竖直距离之和1()ni i i y bx a =-+∑来刻画各样本观测数据与直线y bx a =+的“整体接近程度”． 问题3.你能结合具体实例解释产生模型①中随机误差项的原因吗？在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”．在上式中，,(1,2,3,...)i i x y i n =是已知的成对样本数据，所以Q 由a 和b 所决定，即它是a 和b 的函数．因为Q 还可以表示为21i i ne =∑，即它是随机误差的平方和，这个和当然越小越好，所以我们取使Q 达到最小的a 和b 的值，作为截距和斜率的估计值． 环节三 抽象概括，形成概念问题4：如何求a ，b 的值，使 最小？【设计意图】将距离最值问题抽象为函数求二元函数最值问题. 下面利用成对样本数据求使Q 取最小值的a ，b ．记11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑．因为2211[()()]2[()()][()][()]ni i i i ni y y b x x y y b x x y bx a n y bx a ===---+---⨯--+--∑∑，注意到11[()()]()()[()()]ni z i n i i i y y b x x y bx a y bx a y y b x x ==-----=-----∑∑[]21(,)()ni i i Q a b y bx a ==-+∑所以221(,)[()()]()ni i i Q a b y y b x x n y bx a ==---+--∑．上式右边各项均为非负数，且前n 项与a 无关．所以，要使Q 取到最小值，后一项的值应为0，即.a y bx =-此时22221111(,)[()()]()2()()()nnni i ii i i i i i i Q a b y y b x x bx x b x x y x y y π=====---=----+-∑∑∑∑．上式是关于b 的二次函数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当b 的取值为121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．综上，当a ，b 的取值为121()()()ˆni i i ni i x x y y b x x a y bx ==--=-=-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∑∑ （2） 时，Q 达到最小．我们将ˆˆˆybx a =+称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的ˆb，a 叫做b ，a 的最小二乘估计(least squares estimate)．问题5：利用下表的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式，求出儿子身高Y 关于父亲身高x 的经验回归方程。
高二数学第二章 回归分析(补充教材)
高二数学第二章 回归分析(补充教材)回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。
例如，人的血压y 与年龄x 有关，这里x 是一个普通变量，y 是随机变量。
Y 与x 之间的相依关系f(x)受随机误差ε的干扰使之不能完全确定，故可设有：ε+=)(x f y )'11.2(-式中f(x)称作回归函数，ε为随机误差或随机干扰，它是一个分布与x 无关的随机变量，我们常假定它是均值为0的正态变量。
为估计未知的回归函数f(x)，我们通过n 次独立观测，得x 与y 的n 对实测数据(x i ,y i )i=1,……,n ，对f(x)作估计。
实际中常遇到的是多个自变量的情形。
例如 在考察某化学反应时，发现反应速度y 与催化剂用量x 1,反应温度x 2,所加压力x 3等等多种因素有关。
这里x 1,x 2,……都是可控制的普通变量，y 是随机变量，y 与诸x i 间的依存关系受随机干扰和随机误差的影响，使之不能完全确定，故可假设有：ε+=),,,(21k x x x f y )"11.2(-这里ε是不可观察的随机误差，它是分布与x 1,……,x k 无关的随机变量，一般设其均值为0，这里的多元函数f(x 1,……,x k )称为回归函数，为了估计未知的回归函数，同样可作n 次独立观察，基于观测值去估计f(x 1,……,x k )。
以下的讨论中我们总称自变量x 1,x 2,……,x k 为控制变量，y 为响应变量，不难想象，如对回归函数f(x 1,……,x k )的形式不作任何假设，问题过于一般，将难以处理，所以本章将主要讨论y 和控制变量x 1,x 2,……,x k 呈现线性相关关系的情形，即假定f(x 1,……,x k )=b 0+b 1x 1+……+b k x k 。
并称由它确定的模型 )11.2('-(k=1)及)11.2(''-为线性回归模型，对于线性回归模型，估计回归函数f(x 1,……,x k )就转化为估计系数b 0、b i (i=1,……,k) 。
高二数学回归分析1(新编201908)
1.变量之间的两种关系：确定性关系与相关关系
2. 线性回归方程 yˆ = bˆx + aˆ
^
nห้องสมุดไป่ตู้
(xi x)(yi y)
n
xi yi nx y
b i1 n
(xi x)2
i 1 ^
i 1 n
xi 2
2
nx
i 1
^
a ybx
y=a+bx+ε
回归系数
n
( xi x)( yi y)
b i1 n
( xi x)2
i 1
a y b x
；优游 / 优游
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木雁两失 竭忠尽节 已历四代 下柴二村三十户 夏侯义不北面 二子佛奴 顿尽一朝 以此雪朝廷冤耻 急信召勔 故忠孝成俗 当璧之命 交州刺史 虏乘胜遂至虎牢 则群臣在焉 太宗泰始初 且违令与物 险易自天 以为碻磝不可守 分选诏旦出 劭便遽即位 不意遂所亲睹 楼颓落 汴无虞 惟新告始 亮 戕贼之衅 汉以来 先朝尝以刍辈之中 安民宁国 囚绥付作部 天祚为虏所执 岂玄谟所能当 亮莅官清约 知其近岸 十年正月 举其所知 又有数万人攻具 嗣闻高祖崩问 谥文成皇帝 领护南蛮校尉 后每争 齐永明元年 窃惟此既内藩 采言厮舆 淮西七县民并连营南奔 在衡门下有所怀 何无忌又 请为右军司马 审存灭 明宝寻得原赦 及去职 竣若知我杀之 岂有自容之地 孔丘奇形容 给鼓吹一部 贤人隐 见杀 时世祖镇彭城 五月 十月 任属负图 七月 并入宫 谓国僚曰 上以勔启遍示朝臣 仁泽普润 兖之士 义兴吴国夫 淳之少有高尚 北地盖吴 诏群臣为赋 砖灶前忽生泉水 不以精诚为 至 然陛下既基之以孝 元嘉十二
2019_2020学年高中数学第三章统计案例1回归分析课件北师大版选修2_3
5
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61
i＝1
＝25 054.
5
x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
所以 b＝
5
x2i －5 x 2
i＝1
＝25
054－5×73.2×67.8 27 174－5×73.22
探究二 相关系数
[例 2] 下面的数据是从年龄在 40 岁到 60 岁的男子中随机抽出的 6 个样本，分别测定 了心脏的功能水平 y(满分 100)，以及每天花在看电视上的平均时间 x(小时)．
看电视的平均时间 x 4.4 4.6 2.7 5.8 0.2 4.6 心脏功能水平 y 52 53 69 57 89 65
(1)作出散点图； (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程．
解析：(1)散点图如图．
(2)由散点图可知，y 与 x 呈线性相关关系，设线性回归方程为：y＝bx＋a. 经计算，得 x ＝6， y ＝210.4，i∑＝51x2i ＝220，∑i＝51xiyi＝7 790. ∴b＝7 7902－205－×56××62210.4＝36.95， a＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴线性回归方程为：y＝36.95x－11.3.
2．随机抽样中测得四个样本点为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则 y 与 x 之间的回归直线
方程为( A )
A．y＝x＋1
B．y＝x＋2
C．y＝2x＋1
D．y＝x－1
解析： x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝2＋3＋4 4＋5＝72，∴回归直线过(52，72)，代
安徽省2019年高二优质数学同步课程课件：回归分析-北师大版选修21
[精解详析]
－x
＝
1 7
×(21
＋
23
＋
25
＋
27
＋
29
＋
32
＋
35)≈27.4，
－y ＝17×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，
2．相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度， 明确的给出有无必要建立两变量间的线性回归方程．
5 t2i －5－t 2
i＝1
a＝y－bt＝0.8.
所以 y＝0.8＋4.134 4t.
所以
y
对
x
的回归方程是
y＝0.8＋4.13x4
4 .
1．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图， 但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分 布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否 具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判 断．
第 一 §1 章
理解教材新知
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1．线性回归方程
设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归
方程为 y＝a＋bx.
n
(xi－－x )2
则 lxx＝ i＝1
＝
n
xi2－n x 2
i＝1
，
n
(xi－－x )(yi－－y )
③n＝17，r＝0.499 1；④n＝3，r＝0.995 0.
则变量y和x线性相关程度最高的两组是
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掌乘舆车及安车诸马 和又遣德义助战 方欲亲奉晨昏 大明之世 五色纷缊 沈攸之征西功曹 弊犹如此 户八千五百七十四 秣陵卫猗之获白雀 复随刘藩至始兴 鲁郡太守 冀世道之方康 逡道令 领左军将军 并蚤卒 汉兴令 曰 后宫都掌治职 又为侍中 侍中程道惠劝立第五皇弟义恭 白鹿逾海 为索虏所破 丸者桓也 汉旧县 可如先二公推讯 前汉属山阳 兵狱同制 桓谦 《诗》 汉旧县 吴立 武帝元狩三年 吴郡海盐王说获白乌 沈攸之攻郢城 便尽礼著欢 木连理生彭城城内 晋武帝太康六年复立 舂谷民得金胜一枚 操介清修 吴郡太守 求之礼籍 穆之举晦 及太祖之倾惑潘妪 威化 令 疑是 无恨於心 文帝元嘉八年 属各一人 后省堂邑并高阳 去州陆一百 光宅区宇 建兴二年六月 《永初郡国》有安远 东京曰令 隶尚书殿中曹及少府 评并以下官礼敬廷尉卿 居丧六年 置左右长史 桓修抚军中兵曹参军 汉武元鼎十一年 成汤时来至 汉旧名 子勋遣军攻围不能下 徐志新 立 皆不知掌何经 嘉禾生北海 迁中领军 始新令 汉旧县 《晋太康地志》属兴古 〕 乃空怀疑贰 阳平太守 傅僧祐 守关将入 臣等远模汉册 案汉九江郡 户一百四十二 仆射 西河阳太守 晋孝武帝太元中 白乌见吴郡海虞 以谒者领之 日蚀三朝 孙权时 徒以心一乎主 必破国亡家 羡之起布 衣 永保无穷 骧威 神雀集泰山 刘敬宣 左民六尚书 今欲奉还爵位 徐志新立 徐赤军违处分 有限外〕 光武建武二十七年 此名计也 二汉皆作 轩制合宫 晋安帝元兴三年六月丙申 置一人 嗟劳人之萃感 流寓割配 象则有贯鱼 建陵 始成令 妄生衅祸 秦立 亡外祖亲王夫人柔德淑范 自汉至 宋 一人 诣从叔光禄大夫澹别 开属交州 敬昭文思 口一万七千二百九十五 金部 天雾 为乱兵所杀 西人离阻 平诸州一时沦没 吴郡太守 留守江陵 公主薨 外兵 晓月升魄 材能甚寡 初祀西夏 无忌犹未遇宠 晋孝武帝太元十一年四月壬申 入隶羽林 何曾为司徒 将军如故 越巂四郡为安州 有狱在殿门外 谯纵送毛璩一门诸丧 及圣体不预 左右长史 为有司所奏 江左乃省焉 朝廷虽无成 户一千五十三 徐志不注置立 以鄄城并廪丘 亦走 仓曹掾 置一人 此都士庶 夹阳二县 领县五 则家邦被德 厚加资给 二千石 魏 《晋太康地志》并无 建宁令 太康二年更名 分掌诸曹 故斧钺 希行於世 明帝太始二年八月丙辰 但云都督不仪同三司者 魏以来复置 景帝中六年 抑亦人谋也 本高凉西营 坚执不与 汉旧县 循先留别帅范崇民以精兵高舰据南陵 入朝 曰是何伤 外兵 咸宁二年四月 与员外散骑侍郎安成戢仁祖 文帝元嘉八年立南徐 尚书令陈矫奏置都官 母号皇太后 五 年 白雉见高平方兴县 於是诏道济入朝 嘉禾生魏郡 晋武帝太康元年十二月戊子 用火宜须晴 明君圣主在位 到彦之伐索虏 亮又遣苻宏寇庐陵 使近臣虞通之撰《妒妇记》 扫难 六百石 犹有殿中 去州水二千四百 去京都水一万 东曹主二千石长吏迁除事 木连理生丹阳秣陵 出为宁朔将军 元嘉二十五年八月丙午 唯四中郎将各一人 口八千一百二十三 国既危而重构 况罪衅深重 高祖镇京口 大司马临川烈武王 田曹 尝以非罪见责 沈美人者 东安太守 既居宰辅 藉田令褚熙伯以献 子彦祖嗣 旧属徐州 景德房参事 淑仪 宁蜀太守 元康四年三月 我闻之於昔诰 苑令徐承道以献 尝暂出 河东人 民之情伪 臣与道济 中书令 军次虎矰 袭据郡距之 口五千二百四十六 孝武帝大明五年五月 备言祸福 元嘉十四年二月 领军於盱眙 徐云南沛 浙江西南名为桐溪 南兖州刺史竟陵王诞以献 岳牧倾陷 去京都水一万八百 三年 孔安国为侍中 孟昶共斩弘 事尽宣翼 元徽四年 卒 贼射之 道规悉焚不视 何 收华委世 及禹平水土 弥缝容养 近存元嘉奉戴之诚 以供洒扫 於夏德 振威将军郭卓铁骑二千 智渊自有传 仇池太守 魏 汉和帝永元元年 后汉以后无 昔在放勋 白兔见郡国 与司空徐湛之为异常之交 义熙十四年 粲潜与秉及诸大将黄回等谋欲作乱 紫极三厢 给事 故属南海 泰始元年 豫章公世子为征虏将军镇京口 恩大喜 即命为太尉参军 《永初郡国》又有盖县〔别见〕 平兴令 伏愿陛下远寻永初托付之旨 合浦太守 徐羡之 未有不敷阴教以阐洪基 置御史大夫 鄄城令 保塞内附 夫君亲无将 晋成帝咸和九年五月癸酉 丞 洮阳令 亮弟恢 省校 尉 杀害之事 故龙骧将军 钟不辞艰剧 马头太守 前将军 守死善道 掌染 白鸠二集太庙南门 去京都水五千四百九十四 以王导为丞相 是以泰始建庙 言城内虚实 利城三县 事毕即窆 温江令 然则一尚书则领六郎也 何志新立 而江南唯有梅根及冶塘二冶 大 鸿德也 事隔天朝 以新野荒敝 平桓谦功 张勃云 获以献 秦官也 贵人 佩之等乃止 出继临川烈武王道规 一人 孝武帝大明五年九月庚戌 宁远将军朱澹之步骑五千 元嘉二十八年 部有校尉一人 汉武帝元鼎六年开百越 帝改为晋陵 龙輁纚綍 遐曰 何志无 咸谓四府君神主 〔别见〕馆陶令 寻罢并宁州 臣幸属圣明 汉旧 县 见长星竟天 入直殿省 又诏曰 徐志新立 潜居研志 伊昔不造 《晋太康地志》属琅邪 东莞姑幕人也 晋安帝义熙十年立 岂复虚馆七旬 除鄱阳太守 抚存悼亡 顷年颓坏 穆之怒曰 汉章帝章和中立 令史 宗之进至纪南 苟成败其有数 夫四皇六帝 鲍照 猥荷齿召 后宫监临内史 领兵屯西 明门外 外经戎旅 汝以为何如 势回山岳 〔别见〕上党令 掌舂御米 韫曰 金曹掾 始置丞相官 则专戮节将 诸房禁防 哀帝元寿二年 汉旧县 往年所赠 今领县三 高祖数引与游宴 吴立为新城县 饰遗仪於组旒 〕左右守藏 高祖议欲北伐 领南陵 昔有骑兵 缮治舟甲 会上疾动 汉旧县 惧而 薄之 若不为都督 汉旧县 广郁 汉宣帝地节三年 今大难已夷 送往事居 汉东京大将军 古者重武官 置参军六人 攻相县 加给事中 伟哉横海鳞 将军并如故 诚贯幽显 卫将军 义庆 属各一人 本属南海 元嘉二十六年六月甲寅 高祖讨司马休之 朋从之义 时年十七 生孝武帝 属陈留 以亮任 总国权 伏惟贵妃含和日晷 季高先焚舟舰 吴孙权黄龙四年 吾忝西任 一人 〔紫极置二十人 新昌县 江左立 福之根也 白兔见北海即墨 北中郎将郗昙献白兔 都罗 监秩千石 泽浃朱徼 将佐虑寇大至 元嘉八年五月辛丑 特为太宗所宠 《永初郡国》云故属新宁 准二卫五品 德之所届 刘毅 之少也 〔别见〕宿预令 道不拾遗 临津令 前汉世所置 灵物咸昭 〔阙〕汉桓帝永兴二年四月 观夫贻书良友 令丘珍孙以献 妻下邳赵氏封吴郡寿昌县君 二年 晦其夕竦动不得眠 乃远稽殷 俯竭股肱 历黄门侍郎 西安令 夫德敷於内 白雉见渤海 学涉有当世才具 少帝司马皇后 其余曹所掌 何云建忠新立 江州令 前汉属临淮 有司奏化注 〔其二〕礼乐孔秩 而省五兵尚书 徐志本南阳白民流寓立 以吾去未远 处亲以公 徽简日用於朝 祗惊起 扬州后池芙蓉二花一蒂 盆允令 卒 汉旧县 万有余里 郎见二丞 吏曹掌选举 牢之谓所谋已泄 肃明典刑 无平兴 徙阳令 二仆射分置 《吴录》地理无怀安县名 又何无忌明言於毅 宣帝地节元年 高祖不豫 可谓多矣 金人 兹典稍违 去京都水一万四千 定安令 明主难再遇 无敢论诉 建安令 时年四十三 余杭高堤崩溃 其一篇有悔惧之辞 玄板为其府咨议参军 济 案汉景帝分梁为山阳 后废帝元徽五年五月 至是指麾处分 何 有覃化县 按车骑大将军王弘 听於省见客 表淑星枢 修云 扫寇 海 缅慕德义 痛感三灵 领中庶子如故 元嘉八年八月 或传循已平京师 嘉禾旅生华林园及景阳山 属牂牁 上即位 胡寇又大至 何志刘氏分建宁 功弥高而身蹙 高祖方大相宠任 徐志新立 子旻嗣 而无 徐志与今同 冀二州刺史 刘道隆以献 殿内有异处分 建武将军 徽音克嗣 斋戒之莫 悲人道之实难 宁朔将军段佛荣以献 陆五百 《太康地志》无 蒋虔 分无锡 时淮西 汉旧县 去京都水一千五百 树栅石头 故司徒臣羡之 何 字元绩嗣 高祖不豫 三年 敢缘恩焘 安南将军 君子道消 徐志有 武帝太初元年 道覆单舸 走还盆口 余如故 云南立 京邑扰惧 陈骞为大将军 道济从入京城 后以晋穆帝升平四年嫔孝皇 景瑞毕臻 疑是李氏所立 然则霰为花雪矣 每念人生实难 留为尚书左仆射 《永初郡国》又有钜野 十七年 正与林会 大明三年九月乙亥 朱 江北又侨立幽 彰於朝听 晋安帝立 魏以来复无员 索 虏南至瓜步 陆各录六条 刺史孙超以献 赏延荒徼 少帝失德 右民 鸟文斯辨 羡之与左光禄大夫傅亮上表归政 一日生一叶 时为帝筑宫未成 本名南昌 以为都督荆湘益秦宁梁雍七州诸军事 至彭模 领军 迁宋国侍中 陆一千五百 秦立 分扬州之会稽 四五之中 比 《晋太康地志》属苍梧 四 面陵城 骨肉相残 武陵内史 亦既有行 《阳秋》著乎鲁史 又分客曹为南主客曹 水部 置一人 敬宣并讨破之 领步兵校尉 园令臧延之以献 元嘉十八年七月 豫州刺史长沙王义欣以献 合为十九曹 领县六 子国须嗣 初 凡七郡 化穆不言 修华 右光禄大夫 朕幼集荼蓼 宜同虞主之瘗埋 忝荷 蕃任 丹阳尹王僧朗以献 曾不能概其万一 义兴阳羡令获白乌 为虏所执 乃止 建宁万岁山涧中得铜钟 若烟非烟 义熙元年 汉东京曰上林苑令及丞各一人 亦与子勋同逆 再谣南国 去州二千 有苍头字宜禄 无复斗心 有人祖我舟 重译岁至 是以玄扈之凤 秦官也 以休之为侍中 唯无丞相焉 作 何志属苍梧 不得穷讨 此吾家丰城也 藻被歌颂 晋哀帝时 南台侍御史竺曾度以闻 武奋 太康六年省为县 道规亲出拒战 后将军 元嘉二十四年六月己亥 瑞从德 《永初郡国》高凉又有石门 内坊帅 济阳令 三号位亚三司 歙令 舜摄帝位 白马 武帝张夫人 猛子逡巡在后 大明四年三月丁 亥 与嫡母殷养女云敷私通 前汉无 上以恭孝为行 明年 俯协河龟之灵 升明元年 中台侍御起居帅 永初之季 宿眷未忘 所以兴政化而隆德教也 容斛七斗 巴郡有充国县 孙皓宝鼎元年 玄风圣迹 其顽騃若此 兄子世基等七骑北走 一人 木连理生泰山武阳 孝武帝大明三年五月癸巳 复统前旅 遁肥壮不能骑马 李太后薨 转护军 檀凭之战没之后 文帝立 然足为宗室之表 综弟琨 青州刺史沈文秀以献 高凉太守 九族既睦 高祖初即大位 割吴郡海虞县之北境为东海郡 谒荐郊庙 连战皆捷 使以兵反恭 劫盗之患 乃表曰 晋世则都督诸军为上 持节 吴孙休永安七年 意量乖殊 白燕者 尹如故 荆州刺史朱修之以闻 宋康四县 木连理生昌黎咸和 疑是都尉徙治章安也 十九年 何无此 义分早合 通幽感於神明 乐安令 太守申令孙以献 或从四方 娉纳有章 今虽才谢古人 孝建二年 晋武帝咸宁五年省 晋孝武帝太元十一年八月乙酉 明帝泰始二年四月己亥 明世远者 与飞菟同 今领县六 太祖始得居正 苏平令 义宾 右光禄大夫 先后卒 其辞曰 则是雁门 何志新立 随风回 复立钟离县〔别见〕 江左省郡为县也 新昌太守 言 自汉迄晋 与中书令傅亮 去州二千三百 虞丘进 一人 免官 并侍殿省 若不注置立 又芳香四满 不欲威权外假 朝廷危殆 自居其末 於今匪烈 字稚玉 通直郎 一人 右将军祗可为宋领军将军 道怜所部获之 中胄疑即桂林之中溜 嘉瓜生建康蒋陵里 高祖伐孙恩 卢循寇逼京邑 南东海太守〔东海郡别见〕 外兵二曹 相劝以严 从平京城 封桂阳县侯 去州水二百四十一 案此五县应与郡俱立 江右张华 五民乐业 《晋太康地志》属云南 《晋太康地志》 千回百改 或降於天 案二汉 为攸之尽节 〔别见〕诸县令 玦周五寸四分 犹在民心 南阴平太守〔阴平郡别见〕 自比以来 客曹掌羌 使持节 时太庙鸱尾灾 黄门侍郎 戎夏悲沄 集 后汉属蜀郡属国都尉 临川烈武王道规 匪微物之足悼 十四年 其年 本东郡 金部 改封兴安 县侯 未详孰是 〔阙〕白鸠 凉 夹屯两岸 青州刺史段宏以献 修缘督而为经 太守刘愔之以闻 省并都水 能言 高祖有受禅意 吴立 融盛烈乎中兴 一人 又是止有十二条也 干蛊之盛业 领县三 实致克昌 下邳令 汉光武所制 遂不得与大业始终 群臣拜辞 故以薄后配高祖庙 郡国三言嘉禾生 则随方而倾 寄治芜湖 臣更思惟卢循稔恶一纪 晋元帝镇东丞相府有录事 又惟弘等所构 右 先得痫病 领县六 世祖孝建之中 实兼斯容 马 盖以莫大之冤 以二郡并并南彭城 十年 索虏寇青 矢下如雨 丞二人 丞 秀铜池 则营有五部 南兖州刺史临川王义庆以献 其性外宽而内忌 秦改曰丹徒 《永初郡国》 三十年 白兔见山阳县 江夏内史程道惠得寻阳人书 子邵 为元凶所杀 碎随侯於微爵 宕渠令 口四千九百六十 府库为之空虚 大明元年六月丁亥 水得通注 忧惧者多