数学建模之模糊评价与模糊聚类

数学建模之模糊评价与

模糊聚类

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一、模糊评价

模糊评价法是应用模糊理论和模糊关系合成的原理,通过多个因素对被评

价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。运用模糊评价法,通过多因素 或多指标,既对被评价事物的变化区间作出某种划分,又对事物属于各评价等级 的程度作出分析,从而更深入和客观地对被评价事物进行描述。 特点：

①模糊评价法的结果是一个向量,而不是一个数值,即被评价事物的状况是通过被评价事物的等级隶属度来表示。

②模糊评价法可以是一种多层的评价,即可以先对被评价事物的某一层面进行模糊评价,再将各层面的模糊评价结果进行模糊合成,得出总的模糊评价结果。 ③模糊评价法具有指标或因素的自然可综合性。由于模糊评价法只需确定各指标的等级隶属度,既可用于主观指标,又可用于客观指标,以此而无需专门对指标进行无量纲处理。 模糊评价的应用

①人事考核中的应用， ②单位员工的年终评定，

③昆山公安信息化建设效绩的评估（下载文档）， ④我国商业银行内部控制评价体系研究（下载文档）， ⑤石化行业业绩评价（下载文档）等。 一级模糊综合评判模型的建立步骤 ①确定因素集及评语集

确定被评价对象的因素集U ，{}12=,,

,n U u u u ，评语集{}12,,,m V v v v =；

②构造模糊关系矩阵R ，进行单因素评判。

用ij r 表示U 中的因素i u 对应于V 中等级j v 的隶属关系，则有 ③确定各因素的权重

用i a 表示第i 个因素的权重，11n

i i a ==∑，则评价因素权向量A 为

()12,,,n A a a a =。

④综合评判

由模糊关系矩阵R 得到一个模糊变换为 则评判的综合结果为

()

11121212221212,,,m m n n n nm r r r r r r B A R a a a r r r ⎛⎫

⎪ ⎪

== ⎪

⎪⎝⎭

。 多层次模糊综合评判模型的建立步骤

①确定被评价对象的因素集U ，{}12=,,,n U u u u ，评语集{}12,,,m V v v v =；

②将U 按照某种属性划分成s 个子因素集，即12,,

,s U U U 。其中

{

}

12,,

,,1,2,

,,i i i i in U U U U i s ==并且满足以下关系：

③分别对每个因素集i U 做综合评价。确定i U 中各个因素相对于V 的权重

12,,,i i i i in A a a a ⎡⎤=⎣⎦，用i R 表示单因素评判矩阵，则一级评价向量为

④将各个i U 看成一个因素，记该因素为{}12,,,s K u u u =，得到K 的单因素评

价矩阵为

按照i U 对U 的重要程度，确定权重()12,,,s A a a a =，则得二级评价向量为

若(1,2,

,)i U i s =包含的因素较多，可将i U 多次划分，得到三级，四级评价

模型等。 例题：

向位专家就科研课题进行调查,通过统计调查数据,形成科研课题A 评价数据如下表：

科研课题A 的评价数据

模型的建立

①确定因素集及评语集

令指标集为F ,指标由5个指标组成,即125(,,

)F f f f =,1f 表示立题必要

性,2f 表示技术先进性,。3f 表示实施可行性,。4f 表示经济合理性,5f 表示社会效益。

令评语集为V, 12

5(,,)V v v v =，123,==v v v =“一级”“二级”“三级”，3=v

“四级”,5=v “五级” 。由加权平均原则确定。

②构造模糊关系矩阵R ，12345=(r r r r r )R ，进行单因素评判。 ③确定各因素的权重

令权重集为12345=(w )W w w w w ，1w =，2w =，3w =，4w =，5w =。 ④综合评判 其中是合成的算子

为向量或矩阵间的“乘”运算。

模型的求解

①确定因素集及评语集

根据加权平均原则来确定评语。对各评语赋值,令“一级”、“二级”、“三级”、“四级”、“五级”分别为分、分、分、分、分,令V= 。 ②构造模糊关系矩阵R ，12345=(r r r r r )R ，进行单因素评判。

从表可知,在立题必要性的调查中有6位专家认为属于“二级”,有3位专家认为属于“三级”；在技术先进性的调查中有5位专家认为属于“一级”,有3位专家认为属于“二级”,有1位专家认为属于“三级”；在实施可行性的调查中有4位专家认为属于“二级”,有4位专家认为属于“三级”,有位1专家认为属于“四级”；在经济合理性的调查中有7位专家认为属于“二级”,有2位专家认为属于“三级”；在社会效益的调查中有4位专家认为属于“一级”,有4位专家认为属于“二级”,有1位专家认为属于“三级”。

根据从指标i f 着眼认为科研课题A 属于评语j V 的人数占总参与评价人数的比例数来建立被评对象与评语集之间的模糊关系。

由评价数据得，11111212/0/90,/6/90.67r s s r s s ======，同理得130.33,r =

14150,0r r ==，即1(00.670.3300)r = 。同理得：

从而得到科研课题A 与评语集V 之间的模糊关系矩阵为 ④综合评判

所以9名专家应用模糊评价法对某科研课题A 给出的评语分数N 为 二、模糊聚类分析法

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类等等。这些对客观事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。 步骤

①获取数据

设论域{}12=,,,n U x x x 是被分类对象，其中由m 个指标表示每个对象的性

态，i x 的观测值为

则得到原始数据矩阵为()

=ij n m

A x ⨯。

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较，需要将数据规格化，常用的方法有： ②数据标准化处理

为了让原始数据能满足模糊聚类的要求，需要将原始数据作标准化处理，常用的方法有：

（1）平移—标准差变换