九年级数学上册 24.1-24.2周周清 冀教版
冀教版九上数学24
2.设计一道实际应用题，让学生运用一元二次方程的知识来解决。例如：“某商店在销售一种商品，售价x元/件时，每月销售量为300件。若售价每增加1元，月销售量减少10件。问：售价为多少元/件时，月销售利润最大？”
6.针对课堂教学中遇到的难点，教师设计一组具有针对性的巩固练习题，要求学生课后完成，以强化对难点的掌握。
7.布置一次课后研究性学习任务，让学生探索一元二次方程根的判别式在实际问题中的应用，并撰写学习心得。
作业布置要求：
1.学生需按照作业要求，认真完成每一项任务，确保作业质量。
2.作业完成后，学生应进行自我检查，确保解题过程无误，答案正确。
3.鼓励学生在完成作业过程中，积极与同学交流讨论，共同解决问题。
4.教师应关注学生的作业完成情况，及时给予反馈，指导学生改进学习方法。
5.培养学生严谨、认真、踏实的科学态度，为学生今后的学习和生活打下良好的基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程有了深入的了解和掌握。在此基础上，学生对一元二次方程的学习将更加顺畅。然而，由于一元二次方程的求解方法和思路较为复杂，学生在学习过程中可能会遇到以下问题：对一元二次方程的定义理解不够深入，容易混淆求解方法，对实际问题的分析能力较弱等。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生主动学习的积极性。
2.通过一元二次方程的学习，让学生体会数学在解决实际问题中的价值，增强学生的应用意识。
3.培养学生勇于克服困难、善于解决问题的精神品质，提高学生的自信心。
4.在教学过程中，注重个体差异，鼓励学生积极参与，使学生在学习过程中感受到成功的喜悦。
【四清导航】冀教版九上数学周周清2检测内容：24.1-24.2
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8．若a、b、c是非零实数，且a－b＋c＝0，则有一个根是1的方程
是( B )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．ax2－bx＋c＝0 C．ax2＋bx－c＝0 D．ax2－bx－c＝0 二、填空题(每小题4分，共24分) 9 ． (2013· 天津 ) 一元二次方程x(x －6) ＝ 0 的两个实数根中较大的是 x ＝6 ． ________ 2x2－4x＋5＝0 ，它的二 10．方程(2x－1)x＝3x－5化成一般形式为________ 2 －4 ， 常 数 项 是 次 项 系 数 是 ____________ ， 一 次 项 系 数 是 ________ 5 ________ ． 3 11．已知(a2＋b2)(a2＋b2－1)＝6，则a2＋b2的值是________ ．
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周清Biblioteka 212．(2013· 兰州)若|b－1|＋
a－4
＝0，且一元二次方程kx2
k≤4且k≠0 ． ＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是____________
13．三角形一边长为10，另两边长是方程x2－14x＋48＝0的两个 直角 三角形． 根，则这是一个________ 14 ．等腰△ABC 中， BC ＝ 8 ， AB ， AC 的长是关于 x 的方程 x2 － m＝25或m＝16 ． 10x＋m＝0的两根，则m的值为________
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检测内容：24.1－24.2
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【冀教版】九年级数学上册：24.2《解一元二次方程(2)》ppt课件
，
.
例2 用公式法解下列方程：
⑴ 4x2 x 3 0 ；
⑵ x2 2x 5 0.
解：⑴这里 a 4 ，b 1 ，c 3 .
∵ b2 4ac = 12 4 4 （ 3） 49 ＞0，
∴ x 1 49 1 7 ，
24
8
3
即 x1 4 ，x2 1.
（2）这里 a=1，b=-2，c=-5.
问题2：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配
方后的方程
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
一定有根吗？
∵4a2＞0,
∴(1)当b2-4ac＞0时，b
2
4ac 4a2
＞0，
x b
b2 4ac .
2a
2a
方程有两个不相等的实数根：
b x1
b2 4ac ，x2 b
2a
b2 4ac . 2a
4.已知关于x的一元二次方程 -x2+(2m+1)x+(1-m2)=0,当m为何值时,该方 程没有实数根?
解:b2-4ac=(2m+1)2-4×(-1)×(1-m2)=4m+5, ∵该方程没有实数根,∴4m+5<0, ∴m< - 5 .
4
5.公式法解下列方程: (1)x2-3x-1=0; (2)4x2-3x+1=0; (3)5x+2=3x2.
∴方程无实数根.
（3）原方程可化为3x2-5x-2=0，
a=3, b=-5, c=-2，
∵b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0，
∴
x 5 49 5 7 ， 23 6
⑵当 b2 4ac
2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航同步习题精讲课件周周清24.1-24.2
⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.
(1)求证：CT为⊙O的切线； (2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．
解 ： (1) 证 明 ： 连 接 OT ， ∵ OA ＝ OT ， ∴ ∠ OAT ＝ ∠ OTA ， 又 ∵ AT 平 分 ∠ BAD ， ∴ ∠ DAT ＝ ∠ OAT ， ∴ ∠ DAT ＝ ∠ OTA ， ∴ OT∥AC ， 又 ∵ CT⊥AC ， ∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线
6．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O 则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( A．2，22.5° B．3，30° ) A C．3，22.5°
为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，
D．2，30°
第5题图
第6题图
7． 如图， Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边 AB， BC 分别相切于点 D， BC 分别交于点 M， N， 若⊙O 的半径为 r， 则 Rt△MBN 的周长为( C ) 3 5 A．r B. r C．2r D. r 2 2 8．如图，一个宽为 2 厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)，放在圆形玻璃 杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个 13 交点处的读数恰好是 3 和 9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为_______ 4 厘米．
13 ． (14 分 ) 如图 ， 已知 PA ， PB ， DE 分别切⊙ O 于 A ， B ， C 三点 ， 若 PO＝13 cm，△PDE的周长为24 cm，∠APB＝40°，求： (1)⊙O的半径； (2)∠EOD的度数．
解：(1)连接 BO，∵A，B，C 为切点，则 DC＝DB，EC＝EA，PA＝ 1 PB，∴△PDE 的周长为 PA＋PB＝2PB，PB＝ ×24＝12. 2 ∵PB 为切线，B 为切点，∴PB⊥BO，由勾股定理：OB2＋PB2＝PO2， ∴OB＝ PO2－PB2＝ 132－122＝5(cm)
冀教版数学九年级上册JJ九数上教案第24章教案与反思
第二十四章一元二次方程投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】，不迷路！24．1一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式；（重点、难点）2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题；（重点）3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程；排除A、B、D，故选C．方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2．上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数若关于x 的方程(k ＋1)x |k －1|＋kx ＋1＝0是一元二次方，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎨⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1.∴k ＝3． 方法总结：由一元二次方程概念满足的条件：未知最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2．解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2；(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16；(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17；(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3．方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项包括前面的符号．探究点三：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解方程x 2－2x ＝0的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2 解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x＝0的左右两边相等，故选C ． 方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0．由此得，(m －1)＋1＋1＝0，解得m ＝－1，此时m －1＝－2≠0，∴m ＝－1．故选B ．方法总结：方程的根（解）是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．探究点四：列一元二次方程在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2．已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m ．∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程为(2－2x )(1.4－2x )＝1.6．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．24．2解一元二次方程第1课时配方法1．学习用直接开平方法解形如x²＝p或（mx＋n）²＝p（p≥0）的方程；（重点）2．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤；（重点）3．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．（难点）一、情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度)和下落时间x(s)大致有如下关系：)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．（2）先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，最后开平方即可．解：（1）移项，得x2－4x＝－1．配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2，即(x －2)2＝3．解得x－2＝±3．∴x1＝2＋3，x2＝2－3；（2）二次项系数化为1，得x2－x＝12．配方，得x2﹣x＋14＝12＋14，即（x﹣12）2＝34．解得x﹣12＝±2．∴x1＝12，x2＝12．方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式． 【类型三】用配方解决求值问题已知：x 2＋4x ＋y 2－6y ＋13＝0，求x －2y x 2＋y 2的值． 解：原方程可化为(x ＋2)2＋(y －3)2＝0，∴(x ＋2)2＝0，且(y －3)2＝0．∴x ＝－2，且y ＝3．∴原式＝－2－613＝－813． 【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x 2－4x ＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．(1)证明：2x 2－4x ＋7＝2(x 2－2x )＋7＝2(x 2－2x ＋1－1)＋7＝2(x －1)2－2＋7＝2(x －1)2＋5．∵2(x －1)2≥0，∴2(x －1)2＋5≥5，即2x 2－4x ＋7≥5．故2x 2－4x ＋7的值恒大于零．（2）解：x 2－2x ＋3；2x 2－2x ＋5；3x 2＋6x ＋8等．【类型五】利用配方法解决一些简单的实际问题如图，一块矩形土地，长是48m ，宽是24m ，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相解析：若设花砖路面宽为x m ，则草地的长与宽分别为(48－2x )m 及(24－2x )m ，根据等量关系：矩形草地的面积＝59×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解． 解：设花砖路面的宽为x m ．根据题意，得(48－2x )(24－2x )＝59×48×24． 整理，得x 2－36x ＝－128．配方，得x 2－36x ＋(－18)2＝－128＋(－18)2，即(x －18)2＝196．两边开平方，得x －18＝±14．即x －18＝14，或x －18＝－14．所以x 1＝32(不合题意，舍去)，x 2＝4．故花砖路面的宽为4m ．方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．三、板书设计教学过程中，通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法，领会降次——转化的数学思想．强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式．培养学生从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动中形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．等，草地面积占矩形土地面积的59，求花砖路面的宽． 第2课时公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念；（重点）2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围；（重点）3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．（难点）一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)x 2－x ＋14＝0； (3)x 2－x ＋1＝0．解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac 2B ．a 0，此时方程有两实数根．则a ＝－1．故选D ．方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根之和、两根之积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件b 2－4ac ≥0，导致解答不全面． 【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：(1)存在．由题意得判别式为(2a )2－4a (a －6)＝24a ≥0．解得a ≥0．又∵a －6≠0，∴a ≥0，且a ≠6．由一元二次方程根与系数关系得x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a a －6．由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋4＝x 1x 2，∴－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24．经检验a ＝24是方程－2a a －6＋4＝a a －6的解．∴存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立；(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a．∵其为负整数，且a 为整数，∴6－a ＝－1，－2，－3或－6．∴a ＝7或8，9，12． 三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住b2－4ac≥0这个前提条件．24．4一元二次方程的应用第1课时面积问题第2课时1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；（重点、难点）2．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A．x(5＋x)＝6B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6D．x(10－2x)＝6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程为x(5－x)＝6．故选B．方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，由题意得(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15．又60－2x>0，∴x＝55不合题意，舍去．∴小正方形的边长为15cm．方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【类型二】整体法构造一元二次方程模型如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为．解析：解法一：如图，把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程为(22－x)(17－x)＝300．解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300．方法总结：解答与边框、甬道有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC 与CQ 的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设x s 后，可使△PCQ 的面积为8cm2，则AP ＝x cm ，PC ＝(6－x )cm ，CQ ＝2x cm ．根据题意，得12(6－x )·2x ＝8．整理，得x 2－6x ＋8＝0．解得x 1＝2，x 2＝4．∴P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm2．(2)不存在．理由如下：设点P 出发x s 后，△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半．根据题意，得12(6－x )·2x ＝12×12×6×8．整理，得x 2－6x ＋12＝0．∵b 2－4ac ＝－12＜0，此方程没有实数根，∴不存在使△PCQ 的面积等于△ABC 的面积一半的时刻．三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好．第2课时增长率问题1．会列一元二次方程解决有关平均变化率的实际问题；（重点）2．进一步经历“问题情境－－－建立模型－－－求解－－－－解释与应用”的过程，获得更多地运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解决实际问题的步骤和关键．（难点）一、情境导入向阳村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】下降率问题近年来随着中央坚持“房住不炒”的原则，某四线城市商品房的价格开始呈现下降趋势，2017年某楼盘平均售价为5000元/平方米，2019年该楼盘平均售价为4050元/平方米．如果该楼盘2018年和2019年楼价平均下降率相同，求楼价2018年到2019年的下降率．解析：设2018年、2019年的年下降率为x，那么2018年的楼价为5000（1－x）元/平方米，2019年的楼价为5000（1－x）2元/平方米，即为4050元/平方米．解：设楼价2017年到2019年的年平均下降率为x．根据题意，得5000（1－x）2＝4050，则（1－x）2＝0．81，解得x1＝0．1＝10%，x2＝1．9（不合题意，舍去）．故楼价2017年到2019年的年下降率为10%．方法总结：解决平均增长率（或降低率）问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率（或降低率）为x，则两年后的值为a（1±x）2．由此列出方程a（1±x）2＝b，求出所需要的量．【类型二】增长率问题某工厂一种产品2018年的产量是100万件，计划2020年产量达到121万件．假设2018年到2020年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2018年到2020年这种产品产量的年增长率；(2)2019年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2019年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意，得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0．1，x2＝－2．1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%；(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2019年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均变化率为x（x＞0），增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数，即实际所求为下降率时，降低后的结果为a(1－x)n．探究点二：用一元二次方程解决累计增长率问题某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月、3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月的收入之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入－一次性支付640万元≥旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月、3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2．∴2月、3月生产收入的月增长率为20%；(2)设m个月后（m＞3），使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得m≥12．∴使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．三、板书设计一元二次方程解决平均变化率问题：1．平均增长率（下降率）问题：平均增长率问题中的数量关系+==⎧⎪⎨⎪⎩增长次数减少次数原来（1增长率）现在，原来（1-增长率）现在 2．增长率问题的综合运用教学过程中，强调解决有关增长率问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．第3课时球赛问题、营销问题1．会用列一元二次方程的方法解决球赛问题、营销问题；（重点、难点）2．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识．一、情境导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0．3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0．1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？二、合作探究探究点一：球赛问题九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x 个班，根据题意列出的方程是（ ） A ．x （x －1）＝28B．12x （x －1）＝28 C ．2x （x －1）＝28D ．12x （x ＋1）＝28 解析：赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x 个班比赛总场数＝x （x －1）÷2，即可列方程求解．故选B ．方法总结：单循环比赛的场数＝队伍数量×（队伍数量－1）÷2，类似的问题有握手问题、打电话问题、数线段问题等．注意相互之间是否有重复，再考虑是否除以2，如互赠礼物时候不用除以2．探究点二：营销问题某超市将进价为40元/件的商品按定价50元/件出售时，能卖500件．已知该商品每件每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？解析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数．若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可．解：设每件商品涨价x元，根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8000，即x2－40x＋300＝0．解得x1＝10，x2＝30．当x＝10时，售价为10＋50＝60（元/件），销售量为500－10×10＝400（件）．当x＝30时，售价为30＋50＝80（元/件），销售量为500－10×30＝200（件）．∵要尽量减少库存，∴售价应为60元/件．方法总结：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，“尽量减少库存”不能忽视，它是取舍答案的一个重要依据．探究点三：其他问题【类型一】传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人；(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121，解得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；(2)10×121＝1210(人)．答：如果不及时控制，第三轮将又有1210人被传染．方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．【类型二】分裂增长问题月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1＋x＋x2＝73，解得x1＝8，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每个支干长出8个小分支．三、板书设计1．球赛问题（单循环问题）2．营销问题总价＝单价×数量利润＝售价－进价3．其他问题（传播问题、分裂增长问题）本节的学习过程中，所提供的素材都与生活密切相关，且具有一定的思考和探索的空间．而列方程解应用题，往往对于学生来说是一个颇感困难的地方．关键点在于教师通过引导与互动，一步一步将问题抽丝剥茧，引导学生综合已有知识分析问题，鼓励学生通过数学语言、有条理地表述自己的思考过程．让学生积极参与课堂，从不同角度思考问题．【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。
最新冀教版初中数学九年级上册精品课件24.2 解一元二次方程
4.用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项（把常数项移到方程的右边）； （2）把二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项 系数a）； （3）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平 方）； （4）开平方（根据平方根意义，方程两边开平方）；
（5）求解（解一元一次方程）.
1. 如果代数式2x2-6的值为12，则x的值 为（ C ）
配方，得 x2 10x 52 11 52，
即（x 5）2 36. 两边开平方，得 x 5 6. 所以 x1=11,x2 =-1.
(2)移项，得 x2 2x 1. 配方，得 x2 2x 12 112，
即 (x 1)2 2.
两边开平方，得 x 1 2.
解：移. 项，并将二次项系数化为1，得
x2 3x 3 . 2
配方，得
x2
3x
3 2
2
3 2
2
3 2
,
即
x
3 2
2
3. 4
两边开平方，得 x 3 3 .
22
所以
x1
3 2
3，
3 3 x2 2 .
知识拓展
移项，得x2＋2x＝3，根据等式的性质，方程两边同时加1可以 化成与（1）的左边相同.
（3）能不能配方后解方程？ 配方后用直接开平方法可以求解. 解：（1）原方程可化为（x+1)2=4,
∴x+1= 2 ，∴x+1=2或x+1=-2，
∴ x1=1，x2 =-3.
（2）原方程可化为 x2 2x 1 4 ，
2024九年级数学上册第二十四章圆周周清检测内容：24
检测内容：24.2得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题5分，共35分)1．在直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则P(3，4)与⊙O的位置关系为( A )A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定2．已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的交点个数为( C )A．0个B．1个C．2个D．无法确定3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应当是( B )A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块第3题图第4题图4．(泰安中考)如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是( B )A．50°B．48°C．45°D．36°5．(3分)如图，点P为⊙O外一点，P A为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为( A )A．3 B．3 3 C．6 D．9第5题图第6题图6．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC 上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为( C )A．9 B．7 C．11 D．87．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D 与点C 分居直径AB 两侧，且使得MC ＝MD ＝AC ，连接AD .现有下列结论：①MD 与⊙O 相切；②四边形ACMD 是菱形；③AB ＝MO ；④∠ADM ＝120°.其中正确的结论有( A )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题(每小题5分，共20分)8．用反证法证明命题“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 的外部”，首先应假设__点P 在⊙O 上或⊙O 内__．9．(枣庄中考)如图，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C .连接BC ，若∠P ＝36°，则∠B ＝__27°__．第9题图 第10题图 第11题图10．(温州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠A 是直角，⊙O 是它的内切圆，与AB ，BC ，CA 分别切于点D ，E ，F ，若∠ACB ＝40°，则∠DOE ＝__130°__．11．如图，正方形ABCD 的边长为6，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P .当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为__94或33 __．三、解答题(共45分)12．(12分)(烟台中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)请按如下要求完成尺规作图(不写作法，保留作图痕迹).①作∠BAC 的角平分线AD ，交BC 于点D ；②作线段AD 的垂直平分线EF 与AB 相交于点O ；③以点O 为圆心，以OD 长为半径画圆，交边AB 于点M .(2)在(1)的条件下，求证：BC 是⊙O 的切线；解：(1)如图所示(2)证明：∵EF 是AD 的垂直平分线，且点O 在EF 上，∴OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠OAD ＝∠CAD ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵AC ⊥BC ，∴OD ⊥BC ，故BC 是⊙O 的切线．13．(15分)(安徽中考)如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上不同于A ，B 的两点，AD ＝BC ，AC 与BD 相交于点F .BE 是半圆O 所在圆的切线，与AC 的延长线相交于点E .(1)求证：△CBA ≌△DAB ；(2)若BE ＝BF ，求证：AC 平分∠DAB .解：(1)证明：∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △CBA 与Rt △DAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AD ，BA ＝AB ， ∴Rt △CBA ≌Rt △DAB (HL) (2)∵BE ＝BF ，BC ⊥EF ，∴∠E ＝∠BFE ，∵BE 是半圆O 所在圆的切线，∴∠ABE ＝90°，∴∠E ＋∠BAE ＝90°，由(1)知∠D ＝90°，∴∠DAF ＋∠AFD ＝90°，∵∠AFD ＝∠BFE ，∴∠AFD ＝∠E ，∴∠DAF ＝∠BAE ，∴AC 平分∠DAB14．(18分)如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为OC 与AB 的交点，E 为线段OC 延长线上一点，且∠EAC ＝∠ABC .(1)求证：直线AE 是⊙O 的切线．(2)若D 为AB 的中点，CD ＝6，AB ＝16.①求⊙O 的半径；②求△ABC 的内心到点O 的距离．解：(1)证明：如图①，连接AO ，并延长AO 交⊙O 于点F ，连接CF .∵AF 是直径，∴∠ACF ＝90°，∴∠F ＋∠F AC ＝90°，∵∠F ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠EAC ，∴∠EAC ＝∠F ，∴∠EAC ＋∠F AC ＝90°∴∠EAF ＝90°，且AO 是半径，∴直线AE 是⊙O 的切线(2)①如图②，连接AO ，∵D 为AB 的中点，OD 过圆心，∴OD ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB ＝8，∵AO 2＝AD 2＋DO 2，∴AO 2＝82＋(AO －6)2，∴AO ＝253 ，∴⊙O 的半径为253②如图②，作∠CAB 的平分线交CD 于点H ，连接BH ，过点H 作HM ⊥AC ，HN ⊥BC ，∵OD ⊥AB ，AD ＝BD ，∴AC ＝BC ，且AD ＝BD ，∴CD 平分∠ACB ，且AH 平分∠CAB ，∴点H 是△ABC 的内心，且HM ⊥AC ，HN ⊥BC ，HD ⊥AB ，∴MH ＝NH ＝DH .在Rt △ACD中，AC ＝AD 2＋CD 2 ＝82＋62 ＝10＝BC ，∵S △ABC ＝S △ACH ＋S △ABH ＋S △BCH ，∴12×16×6＝12 ×10×MH ＋12 ×16×DH ＋12 ×10×NH ，∴DH ＝83，∵OH ＝CO －CH ＝CO －(CD －DH )，∴OH ＝253 －(6－83)＝5。
【冀教版】九年级数学上册：24.2《解一元二次方程(1)》ppt课件
课堂小结
1.依据平方根的概念可解形如（ax＋b）2= c （c≥0）的一元二次方程.
2. 通过配方，把一元二次方程变形为一边为含 未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常 数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程 转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的 根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
3．解一元二次方程的基本思路：降次——把 一元二次方程化为（x+h）2=k（k≥0）的形式后 两边开平方，使原方程变为两个一元一次方程.
两边开平方，得 x 5 6.
所以 x1=11,x2 =-1.
(2)移项，得 x2 2x 1.
配方，得 x2 2x 12 112， 即 (x 1)2 2.
两边开平方，得 x 1 2.
所以 x1=-1+ 2,x2 =-1- 2.
做一做 用配方法解方程：2x2 4x 1 0.
（4）移项，得9y2-18y=4，两边同时除以9，
得y2-2y=
4 9
，两边同时加1，得y2-2y+1=94
+1，
配方得（y-1）2=
13 9
，∴y-1=
13 3
或y-1=-
13 3
，
∴y1 =1+
13 3
，y2=1-
13 .
3
九年级数学上 新课标 [冀教]
第二十四章 一元二次方程
学习新知
检测反馈
学习新知
一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,张明用这桶 油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子
的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则一 个正方体的表面积为6x2 dm2.
2024-2025学年初中数学九年级上册(冀教版)教学课件24.2解一元二次方程(第2课时)
＝
−2± 4
＝－1 ±
2×1
1，
∴ 1＝0，2＝－2.
(4)x2＋(1＋2 3)x＋ 3－3＝0.
解：a＝1，b＝1＋2 3，c＝ 3－3.
Δ＝b2－4ac＝(1＋2 3)2－4×1×( 3－3)＝25.
−1 − 2 3 ± 25
＝
，
2×1
∴ 1＝2－ 3，2＝－3－ 3.
随堂训练
9.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)∵1为原方程的一个根，
1
2
∴1＋a＋a－2＝0. ∴＝ .
1
1
3
将＝ 2代入方程，得x2＋2x－2＝0.
3
解得1＝1，2＝ − 2.
x
，
2 4
8
即
3
x1 ， x2 1.
4
知识讲解
（2）这里
a=1，b=-2，c=-5.
∵b2 -4ac=(-2)2 -4 1(-5)=24>0，
∴
(2) 24 2 2 6
x
1 6，
2 1
2
即
x1 1 6 , x2 1 6 .
知识讲解
（3）6x 2 +4 2 5 x .
4a
2
2
b
4ac
2
2
因为a≠0, 4a >0, 当b －4ac≥0时，
0,
2
4a
由②式得
b
b 2 4ac
2024年冀教版九年级上册教学设计第24章 24.1 一元二次方程
课时目标1.经历从实际问题中建立一元二次方程概念的过程.2.了解一元二次方及其相关概念.3.体会方程是刻画现实世界中数量关系的重要数学模型.数学来源于生活,又回归生活.学习重点一元二次方程的概念及一般形式.学习难点1.由实际问题抽象出一元二次方程的转化过程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.课时活动设计情境引入如图所示,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2,求这个长方形存车处的长和宽.分析下面小明和小亮列方程的做法,思考所列方程的特征.小明的做法:m.设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为90−x2·x=700.根据题意,可得方程90−x2整理,得x2-90x+1 400=0.小亮的做法:设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x) m.根据题意,可得方程(90-2x)·x=700.整理,得x2-45x+350=0.设计意图:由实际问题导入,让学生对比观察引导学生思考分析,进而激发学生解决问题的强烈愿望,为一元二次方程概念的生成做好铺垫,同时增强学生分析问题的能力.探索新知探究1一元二次方程的概念如图,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少?如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x m,请列出方程,并谈所列方程的特征.分析:在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=√AB2-AC2=6 m.所以A'C=7 m.设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x m.根据题意,可得方程72+(6+x)2= 102.整理,得x2+12x-15=0.所列方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2.思考:观察x2-90x+1 400=0,x2-45x+350=0,x2+12x-15=0这三个方程,它们有什么共同特征?你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的概念吗?共同特征:(1)方程各项都是整式;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.一元二次方程的概念:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元二次方程.探究2一元二次方程的一般形式类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式?一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项.注意事项:1.注意“项”与“项的系数”的区别;2.先化简成一般形式;3.书写系数时不要遗漏符号.思考1:为什么要限制a ≠ 0,b,c可以为0吗?当a=0时,ax2+bx+c=0bx+c=0(一元一次方程)一元一次方程结论:只要满足a≠0,a,b,c可以为任意实数.思考2:一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系?学生小组合作交流,教师归纳:探究3一元二次方程的根回忆方程的解,思考什么是一元二次方程的解,如何判断是不是一元二次方程的解?解:方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值,在涉及方程解的题目中,我们一般是把这个解代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.设计意图:教师引导学生,让学生独立思考,小组合作交流.根据已有的知识经验把实际问题模型化,进而建立一元二次方程的概念,体会用符号语言理解一元二次方程的一般形式.培养学生观察分析的能力、归纳总结的能力及合作交流的能力.典例精讲例1 将下列一元二次方程化为一般形式,并指出它们的二次项、一次项和常数项.(1)4x 2=3(x +4); (2)(2x -3)(3x -2)=10; (3)x+22·2x -33=7; (4)(2x -1)(2x +1)=(3x +1)2.解:(1)整理,得4x 2-3x -12=0.△二次项是4x 2,一次项是-3x ,常数项是-12; (2)整理,得6x 2-13x -4=0.△二次项是6x 2,一次项是-13x ,常数项是-4; (3)整理,得2x 2+x -48=0.△二次项是2x 2,一次项是x ,常数项是-48; (4)整理,得5x 2+6x +2=0.△二次项是5x 2,一次项是6x ,常数项是2. 例2 在下列各题中,括号内未知数的值,哪些是它前面方程的根? (1)x 2-3x -4=1(x =1,x =-1,x =4); (2)(x +2)(x -2)=12(x =-1,x =-4,x =4); (3)2y 2-y -1=0.(y =0,y =1,y =-12).解:(1)x =-1,x =4;(2)x =-4,x =4;(3)y =1,y =-12.设计意图:通过例题讲解,规范学生的解题步骤,加深学生对一元二次方程的认识和理解.巩固练习1.在下列方程中,哪些是一元二次方程?是一元二次方程的,指出其二次项系数、一次项系数和常数项.(1)2x 2=1-x ;(2)2x =1-x ;(3)3x 2=12;(4)(x -1)2=2. 解:(1)(3)(4)是一元二次方程.(1)二次项系数是2,一次项系数是1,常数项是-1; (3)二次项系数是3,一次项系数是0,常数项是-12; (4)二次项系数是1,一次项系数是-2,常数项是-1.2.如图,大小两个四边形都是矩形,且阴影部分的面积为800.请列出关于x 的方程.解:由题意,得(40-4x)(60-2x)=800.整理,得x2-40x+200=0.设计意图:学生通过练习进一步巩固本节所学内容,加深对一元二次方程概念及模型的理解.课堂8分钟.1.教材第36页习题A组第2,3题,习题B组第1,2题.2.七彩作业.教学反思。
2024年冀教版九年级上册教学第二十四章 一元二次方程第二十四章 一元二次方程
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“一元二次方程”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出“数与代数”是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系,探索数学规律,建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界. 初中阶段“数与代数”领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,它们是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.在教学中应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达;引导学生关注用字母表达一元二次方程的系数,感悟用字母表示的求根公式的意义,体会算术与代数的差异.用数学的眼光发现问题并提出数学问题,用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题,给出数学描述和解释,运用数学的语言与思想方法及多个领域的知识,提出设计思路,制定解决方案.结合实际问题建立方程模型,进而分析和解决问题是学习方程的核心.“方程与方程组”是“数与代数”领域的主要内容,在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.本章所学习的一元二次方程是在学习了一元一次方程后,学习的又一反映现实世界中等量关系的重要模型.类比思想贯穿整个主题的研究内容和研究思路.2.本单元教学内容分析冀教版教材九年级上册第二十四章“一元二次方程”,本章包括四个小节:24.1一元二次方程;24.2解一元二次方程;24.3一元二次方程根与系数的关系*;24.4一元二次方程的应用.本章经历从实际问题中建立一元二次方程概念的过程,深入探究一元二次方程及其相关概念,能够灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程,体会转化、降次的数学思想.了解一元二次方程根与系数的关系,体会化归思想.应用方程思想和方法解决实际问题,从实际问题中抽象出等量关系,建立方程,正确理解方程根的意义,同时从数学结果和实际问题两方面对方程根的合理性进行探究. 培养学生应用数学思想解决实际问题的意识,实现学生数学学科核心素养发展的目标.在教学中,教师应引导学生积极思考,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学九年级上册第二十四章一元二次方程,学生在前面已学习了一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程等,对方程模型已经有了初步认识,积累了一些用方程解决实际问题的经验,为学习一元二次方程提供了知识基础和经验,可以运用类比的数学思想进行学习;同时他们也学习了整式、分式、二次根式,从知识结构上看,他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础.这个阶段的学生自主探究和合作交流意识很强,并且他们比较分析、抽象和概括的能力也有了很大的提升,有了很强的求知欲望,当遇到新的问题时,会自然产生进一步探究的欲望.但同时还应注意一元二次方程较为抽象和复杂,与实际生活联系更加紧密,因此对学生分析问题和解决问题的要求更高.一元二次方程的学习,既是对已学过知识的延伸与提升,又是学习二次函数等知识的基础.此外,对其他学科的学习也有重要意义,促进了学生学科素养的培养.四、单元学习目标1.经历从实际问题中抽象出一元二次方程的过程,总结出一元二次方程的概念,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,进一步培养学生的抽象能力和模型观念.2.掌握一元二次方程的解法,并能根据方程的特点选择合适的方法来解方程,培养学生的数学运算和推理能力.3.理解一元二次方程根的判别式,会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.4.通过探索一元二次方程根与系数的关系,实现根与系数之间的问题转化,培养学生观察分析,推理论证的能力.5.能根据具体问题的数量关系,列出一元二次方程并求得结果.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.五、单元学习内容及学习方法概览续表六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和建模思想.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应注重联系实际考查学生数学应用能力的问题,体现时代性.既有强烈的德育功能,又可以让学生从数学的角度分析社会现象,体会数学在现实生活中的作用.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
冀教版九年级数学上册第24章24.1 一元二次方程
第二十四章 一元二次方程
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
一个长为10 m的梯子斜靠墙上，梯子的顶
端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿
墙面下滑1 m,那么梯子的底端在地面上滑动
的距离也是1 m吗？
你能列方程解决这个问题吗？
设梯子的底端在地面上滑 动的距离x m,于是得方程
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0） ，易错点是忽略强调a≠0.
3.确定一元二次方程的项与系数时一定先化成 一般形式，书写时应注意包括前边的符号.
4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.
1.在下列方程中，一元二次方 程的个数是（ B ）
检测反馈
①2x2+5=0 ； ②ax2+bx+c=0 ；
（1）2x2=9；（是）
（2）2x2-1=3y；（不是） （3）4x2+3=2x；（是）
13 (4) x2 1 x 0;
（不是）
（5）5x2-2x+3；（ 是 ）
（6）2x（x+2)=5x-2；（ 是 ）
（7）3x(x-1)=3x2-5.（不是 ）
思考1：类比一元一次方程的一般形式，你能 不能写出一元二次方程的一般形式？
③（x-1）（x+2）=x2-1 ；
④ 3x2 2 0； ⑤ 2x2 1 x.
A. 2个 B.3个 C. 4个 D. 5个
解析：一元二次方程必须满足三个条件： （1）含有一个未知数；（2）未知数的最 高次数是2；（3）是整式方程，同时注意 二次项系数不为0.①④⑤满足这四个条件， ②中二次项系数可能为0，③化简后不含有 二次项，不符合定义，故选B.
2024-2025学年初中数学九年级上册(冀教版)教学课件24.2解一元二次方程(第3课时)
∴ x1 ＝ ， x2 ＝ -8.
知识讲解
（4）9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝
144+36 ＝ 180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
第 二十四章 一元二次方程
第二十四章 一元二次方程
24.2
Hale Waihona Puke 解一元二次方程第3课时
因式分解法
学习目标
1
理解用因式分解法解方程的依据.
2
会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3
会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
新课导入
复习交流
1. (1)什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.
－m＝0的一个根，则a的值是
5
．
随堂训练
7．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x －3)2＝x2－9；
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.
解得x1＝－5，x2＝－2.
解得x1＝3，x2＝9.
（2）x2+4x-1 ＝ 0 ；
分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑
用配方法.
解：原方程变形为x2+4x ＝ 1.
配方，得x2+4x+ 22 ＝ 1+22，即（x+2） 2＝5.
【冀教版九年级数学上册教案】24.1一元二次方程
24.1 一元二次方程教课目的【知识与能力】1.理解一元二次方程的观点 .2.掌握一元二次方程的一般形式, 正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.领会一元二次方程是刻画实质问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的观点 .【过程与方法】1.经过一元二次方程的引入 , 培育学生建模思想 , 归纳、剖析问题及解决问题的能力.2.领会数学根源于生活 , 又回归生活的理念 .3.由设未知数、列方程向学生浸透方程的思想, 进而进一步培育学生数学思想能力.【感情态度价值观】1.培育学生主动研究知识、自主学习和合作沟通的意识.2.激发学生学数学的兴趣 , 领会学数学的快乐 , 培育用数学的意识 .3.领会数学知识与现实世界的联系.教课重难点【教课要点】一元二次方程的观点及一般形式.【教课难点】1. 由详细问题抽象出一元二次方程的转变过程.2. 正确辨别一般式中的“项”及“系数”.课前准备多媒体课件教课过程一、新课导入：导入一 :【课件展现】教材章前图 , 请同学们阅读章前问题, 并回答以下问题:一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上, 梯子的顶端 A 处到地面的距离为8 m.假如梯子的顶端沿墙面下滑 1 m, 那么梯子的底端 B 在地面上滑动的距离也是 1 m 吗 ?你能列方程解决这个问题吗?学生剖析等量关系: A'B'2=A'C2+B'C2.设梯子的底端在地面上滑动的距离x m,于是得方程102=(8 - 1) 2+(6+ x) 2.整理得 x2+12x- 15=0.【问题】这个方程能否是我们前边学过的方程?导入二 :【课件展现】察看以下方程 :(1)3 x- 2=0,(2)x2+2x- 3=0,(3)x+ =0,(4) x2- 5=0.哪些是我们学过的一元一次方程?其余方程与一元一次方程有什么不一样?【师生活动】复习方程、一元一次方程及方程的解的观点.【学生活动】小组合作沟通 , 察看新方程 , 剖析元和次 , 试试为新方程定义.[ 设计企图 ]让学生在实质问题中成立一元二次方程模型, 领会数学根源于生活, 经过复习一元一次方程的观点 , 让学生用类比的方法从已有的知识系统中自然地建立出新知识.二、新知建立：[过渡语 ]方程是一类重要的数学模型, 在现实生活中拥有宽泛的应用. 在学习了一元一次方程、二元一次方程组和分式方程的基础上, 此刻我们来学习一元二次方程.共同研究一教材中察看与思虑取的实质问题, 设未知数 , 成立方程模型【课件展现】如下图 , 某学校要在校园内墙边的空地上修筑一个长方形的存车处, 存车处的一面靠墙 ( 墙长 22 m), 此外三面用90 m长的铁栅栏围起来. 假如这个存车处的面积为2 700 m,求这个长方形存车处的长和宽 .思路一教师指引学生思虑并回答:长方形存车处的长与宽之间的数目关系为, 该问题中的等量关系为. (1) 设长方形存车处的宽( 靠墙的一边 ) 为x m, 则它的长为m,长方形存车处的面积为.由此 , 我们能够列出方程,化简得.(2) 设长方形存车处的长( 与墙垂直的一边 ) 为x m,则它的宽为m,长方形存车处的面积为.由此 , 我们能够列出方程,化简得.【师生活动】教师指引剖析 , 学生回答 , 经过所设未知数, 依据题意列出方程 , 老师评论并分析如何成立一元二次方程的数学模型, 整理所列出的方程.【课件展现】解:(1)设长方形存车处的宽 ( 靠墙的一边 ) 为x m, 则它的长为- m.依据题意 , 可得方程-· x=700.整理 , 得x2- 90x+1400=0.(2) 设长方形存车处的长( 与墙垂直的一边 ) 为x m, 则它的宽为 (90 - 2x)m.依据题意 , 可得方程 (90 - 2x) ·x=700.2思路二小组活动 , 共同研究 , 思虑以下问题:(1)剖析题意 , 题中的已知条件是什么 ?(2)剖析题意 , 题中的等量关系是什么 ?(3)如何设未知数 , 依据题中等量关系如何列方程 ?(4)剖析下边小明和小亮列方程的做法, 他们的解题思路和所列方程能否正确?【课件展现】小明的做法 :设长方形存车处的宽( 靠墙的一边 ) 为x m, 则它的长为- m.依据题意 , 可得方程-· x=700.整理 , 得x2- 90x+1400=0.小亮的做法 :设长方形存车处的长( 与墙垂直的一边 ) 为x m, 则它的宽为 (90 - 2x)m.依据题意 , 可得方程 (90 - 2x) ·x=700.整理 , 得x2- 45x+350=0.【师生活动】教师先出示问题(1) ~(3), 学生议论沟通后出示问题(4), 学生再进行沟通.教师在巡视过程中实时解决疑难问题, 学生议论后小组展现结果 , 教师实时增补和评论.[ 设计企图 ]师生共同剖析商讨实质问题中的等量关系, 列出方程 , 为引出一元二次方程的观点做铺垫 ,同时提升学生成立方程模型解决生活中实质问题的能力.共同研究二共同归纳观点请口答下边问题 .(1) 上边方程整理后含有几个未知数?(2)上边方程中未知数 x 的最高次数是几次?(3)方程两边都是整式吗 ?(4)你能类比一元一次方程的观点 , 给出一元二次方程的定义吗 ?【学生活动】小组合作沟通, 类比一元一次方程定义, 试试给出一元二次方程的定义.老师评论归纳 : 一元二次方程知足三个条件 :(1) 都只含一个未知数x;(2) 它们的最高次数都是 2次 ;(3) 方程两边都是整式.【课件展现】只含有一个未知数, 而且未知数的最高次数为 2 的整式方程 , 叫做一元二次方程.[ 设计企图 ]学生经过合作沟通, 类比一元一次方程的定义得出一元二次方程的定义, 领会类比思想在数学中的应用, 同时培育学生归纳总结能力及合作沟通能力.[ 过渡语 ]我们认识了一元二次方程的相关观点, 此刻同学们比一比谁理解得更透辟吧.【课件展现】请抢答以下各式能否为一元二次方程:(1)2x2=9;(2)2x2- 1=3y;(3)4x2+3=2x;=0;(4)-(5)5x2- 2x+3;(6)2 x( x+2)=5 x- 2;(7)3 x( x- 1)=3 x2- 5.【师生活动】学生以抢答的形式来达成该题, 并让学生说出判断原因. 教师对学生给出的答案作出评论和归纳 , 并让学生归纳判断易错点——先化简再判断.[ 设计企图 ]经过抢答进一步加强一元二次方程的观点知足的三个条件, 同时提升学生学习数学的兴趣和踊跃性 .共同研究三一元二次方程的一般形式【思虑 1】类比一元一次方程的一般形式, 你能不可以写出一元二次方程的一般形式?【课件展现】一元二次方程的一般形式为 :ax2++=0(≠ 0).bx c a此中 ax2是二次项, a 是二次项系数; bx 是一次项, b 是一次项系数; c 是常数项 .【思虑 2】(1) 任何一个一元二次方程能否都能够整理成一般形式?(2) 一元二次方程的二次项系数为何不可以为0?( 任何一个一元二次方程都能化成一般形式; 当一元二次方程的二次项系数=0,b ≠0 时,方a程为一元一次方程 )【师生活动】学生独立思虑后 , 小组合作沟通 , 教师对学生的展现进行评论、归纳. [ 设计企图 ]经过归纳一元二次方程的一般形式, 让学生理解掌握数学符号语言在数学中的应用 , 更深入地理解一元二次方程的观点, 同时重申了一元二次方程观点中的易错点.[过渡语 ]我们又知道了一元二次方程的一般形式, 试一试我们能不可以达成以下问题.【课件展现】做一做 :将以下一元二次方程化为一般形式, 并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x2=3( x+4);(2)(2x- 3)(3 x- 2)=10;(3)·-=7;(4)(2x- 1)(2 x+1)=(3 x+1)2.〔分析〕一元二次方程的一般形式是ax 2+ +=0( ≠0), 所以 , 经过去分母、去括号、移项、bx c a归并同类项等法例先将一元二次方程进行整理,再依据相关观点求解 .解:(1)原方程可化为 :42312=0x -x-.此中二次项系数为4, 一次项系数为- 3,常数项为 - 12.(2) 原方程可化为:6 x2- 13x- 4=0.此中二次项系数为6, 一次项系数为- 13, 常数项为- 4.(3) 原方程可化为 :2 x2+x- 48=0.此中二次项系数为2, 一次项系数为1, 常数项为- 48.(4) 原方程可化为 :5 x2+6x+2=0.此中二次项系数为5, 一次项系数为6, 常数项为 2.追问 : 求一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时应注意什么?( 一是先化简成一般形式 ; 二是书写系数时不要遗漏前边的符号)【师生活动】学生独立思虑回答, 教师进行评论归纳.[ 设计企图 ]经过做一做 , 让学生认识求一元二次方程的项或项的系数时, 先化成一元二次方程一般形式再求解, 加深对一元二次方程一般形式的理解.共同研究四一元二次方程的根【思虑】1.什么是一元二次方程的解 ?( 使一元二次方程两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解)板书 : 一元二次方程的解也叫做这个方程的根.2 如何判断一个数值能否是一元二次方程的根?.( 将这个数值代入一元二次方程, 假如方程左右两边相等 , 则该数值是方程的根; 假如方程左右两边不相等 , 则该数值不是方程的根 )【课件展现】做一做 :在以下各题中 , 括号内未知数的值, 哪些是它前方方程的根 ?(1) x2- 3x- 4=0( x=0, x=- 1, x=4);(2)(x+2)( x- 2)=12( x=- 1, x=- 4, x=4);(3)22-. y -y- 1=0【师生活动】学生独立达成并回答, 教师评论.[ 设计企图 ]经过做一做让学生真实理解和掌握一元二次方程的根的观点.[ 知识拓展 ]1.判断一个方程是一元二次方程需同时知足三个条件:(1) 是整式方程 ;(2) 只含有一个未知数;(3) 未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不可以为0.2 一元二次方程的一般形式的特色是方程的右侧为0, 左侧是对于未知数的二次整式..3.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的, 所以写项或系数时 , 要先化成一般形式 , 而且都包含前边的符号.4.判断一个数值能否是一元二次方程的根的方法: 将这个数值代入一元二次方程, 假如方程左右两边相等 , 则该数值是方程的根; 假如方程左右两边不相等,则该数值不是方程的根 .5 假如已知a 是一元二次方程的根, 把=a代入方程 , 方程左右两边相等, 能够求待定系数的.x值, 整体思想是常用的数学思想.三、讲堂小结：1.一元二次方程观点需要知足三个条件:(1)是整式方程 ;(2)只含有一个未知数 ;(3)未知数的最高次数是 2.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0( a≠0),易错点是忽视重申 a≠0.3.确立一元二次方程的项与系数时必定先化成一般形式, 书写时应注意包含前边的符号.4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.5.依据实质问题列一元二次方程的要点是读懂题意, 找到题目中的等量关系.6本节课用到了类比思想、整体思想解决数学识题..。
【冀教版】九年级上册数学：第24章- 24.2第2课时 公式法 (2)
24.2 解一元二次方程第2课时公式法学习目标：1.学会推导一元二次方程根的判别式和求根公式.2.能够用公式法解一元二次方程.学习重点：求根公式的推导与正确使用.学习难点：求根公式的推导.一、知识链接2.用配方法解下列方程：x2-3x+1=0.二、新知预习2.上述2中的方程，一次项系数为奇数，若采用配方，计算过程会比较繁琐，那么是否有更简便的方法呢？3.尝试用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0.（1）移项，得_____________________.（2）将二次项系数化为1，得_____________.（3）配方，得2bx xa++_______=ca-+______.（4）整理，得___________________________.于是得到2.2bxa⎛⎫+=⎪⎝⎭（5）当_____________>0时，___________>0,得2bxa+=______________.原方程有两个不相等的实数根：12,;x x==当_____________=0时，___________=0,得2bxa+=______.原方程有两个相等的实数根：12;x x==当_____________<0时，___________<0,而22bxa⎛⎫+⎪⎝⎭______.原方程没有实数根.于是我们可以得到：我们把这个决定一元二次方程根的情况的式子________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.三、自学自测1.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）A.x=B.x=C.x=D.x=2.一元二次方程x2-2x+3=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有关两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.用公式法解方程：x2-x-1=0.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：一元二次方程根的判别式【概念补充】一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），对于b 2-4ac 我们可称之为根的判别式，可用△表示.所以当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根.例1：不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2110;3x x +-= 解：Δ=___________,方程__________实数根； （2）221;x x -=-解：Δ=___________,方程__________实数根； （3）210.x x -+=解：Δ=___________,方程__________实数根.例2：已知关于x 的一元二次方程220x x m ++=有实数根，求m 的取值范围. 解：因为方程220.x x m ++=有实数根，所以Δ=___________,解得_____________. 故m 的取值范围是_________________.【针对训练】 1.下列方程中，没有实数根的是 （ ） A.20x x -= B.210x -= C.2230x x --= D.2230x x -+=2.关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，求整数m 的最大值.探究点2：公式法例：用公式法解下列方程：2(1)2740x x +-=解：212,,,4..,.a b c b ac x x x ===-=∴===()223x +=解：212,,,4..,.a b c b ac x x x ===-=∴===问题2：当m 为何值时，关于x 的一元二次方程21402x x m -+-=有两个相等的实数根，此时这两个实数根是多少？ 解：（2）确定a,b,c 的值，并注意它们的符号，（3）计算24b ac -的值，满足24b ac -≥0时，代入求根公式【针对训练】用公式法解下列方程：（1）2430;x x +-= (2)()()11.x x +-=二、课堂小结1.用公式法解方程，正确的是（ ） A.x =B.x =C.x =D.x = 2.关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______. 3.用公式法解下列方程：（1）2210;x x --= （2）21683;x x +=（3）22330.x x ++=4.关于x 的一元二次方程()21210.m x mx m --++=（1）求出方程的根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？5.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c ，其中a=5，若关于x 的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.当堂检测参考答案： 1.C 2.94k <3.（1）1211x x =-=- （2）1213,;44x x == （3）没有实数根. 4.（1）121,1;1m x x m +==- （2）m=2或3.5.关于x 的方程x 2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b 2－4ac=（b-2）2-4（6-b ）=b 2+8b-20=0.所以b=-10或b=2.将b=-10代入原方程得x 2-8x+16=0，x 1=x 2=4；将b=2代入原方程得x 2+4x+4=0，x 1=x 2=-2（不符题设，舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.。
24.2.1--24.2.3周周清
6、如图，ＰＡ切⊙O于Ａ，ＰＣ交⊙O于点ＢＣ
，若PA＝5，PB＝BＣ，则ＰＣ的长是［ ］
Ａ、10Ｂ、5Ｃ、 Ｄ、
二.填空题：
7.6cm长的一条弦所对的圆周角为90°，则此圆的直径为。8.在⊙O中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E，若，则CE=DE（只需填一个适合的条件）。
2．＆已知，如图所示，A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。
求证：AM=AΒιβλιοθήκη ．小结本周我学习了：
9.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，则∠D=。
10．已知两个圆的半径分别为8cm和3cm，两个圆的圆心距为7cm，则这两个圆的外公切线长为。
三．解答题
1.如图在△ABC中，∠C=90°，点O为AB上一点，以O为圆心的半圆切AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的长
3.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是［ ］
A.110°B.70°C.55°D.125°
4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于［ ］
A.30°B.120°C.150°D.60°
5.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是［ ］
学习内容：24.2。1-------24.2.3
一，选择填空
1.⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点［ ］
A.在⊙O内或圆周上B.在⊙O外
C.在圆周上D.在⊙O外或圆周上
2.由一已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为［ ］
A、2或3 B、3 C、4 D、2或4
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周
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清2
16．(9分)如图是一个小正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体 的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x的值．
x1＝3＋2 5，x2＝3－2 5
周
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清2
12．(2013·兰州)若|b－1|＋ a－4
＝0，且
一 元 二 次 方 程 k x 2 ＋ a x ＋ b ＝ 0 有 实 数k根≤，4且则k≠k 的0 取 值 范 围 是
____________．
13．三角形一边直长角为10，另两边长是方程x2－14x＋48＝0的两个
根，则这是一个________三角形． 14．等腰△ABC中，BC＝8，AB，m＝AC2的5或长m是＝关16于x的方程x2－10x＋
m＝0的两根，则m的值为________
．
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清2
三、解答题(共44分) 15．(16分)用适当的方法解下列方程： (1)x2－9＝0； (1)x1＝3，x2＝－3
(2)3a2－6a＋1＝0； (2)a1＝3－3 6，a2＝3＋3 6 (3)(4－5x)＋(5x－4)2＝0；x1＝45，x2＝1
(4)x2－2x－2＝0(.4)x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3
是x_＝__6_____．
10．方程(2x－1)x＝3x－5化成一般形式为2_x_2－__4_x_＋__5＝0
，
它的二次项系数是_2___________，一次项系数是__－__4____，常数项是
____5____．
11．已知(a2＋b2)(a2＋b2－1)＝6，则a2＋b2的值是__3______．
周
周
清2
3．方程x2＋4x＝2的正根为( D )
A．2－ 6 B．2＋ 6
C．－2－ 6 D．－2＋ 6 4．下列方程中，有两个相等实数根的是( B ) A．x2－2x－1＝0 B．x2＋2x＋1＝0 C．x2－2x＋2＝0 D．x2－2x－2＝0 5．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0， 则a的值为( A ) A．－1 B．1 C．1 或－1 D.1
2
4
2
4
C．(x－p2)2＝p2－4 4q
D．(x－p2)2＝4q－4 p2
周
周
清2
8．若a、b、c是非零实数，且a－b＋c＝0，则有一个根是1的方程
是( B )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．ax2－bx＋c＝0
C．ax2＋bx－c＝0 D．ax2－bx－c＝0
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(2013·天津)一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中较大的
2
周周Βιβλιοθήκη 清26．正比例函数y＝(a＋1)x的图像经过第二、四象限，若a同时满足方
程x2＋(1－2a)x＋a2＝0，则此方程的根的情况是A( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
7．用配方法解关于x的方程x2＋px＋q＝0时，此方程可变形为( A )
A．(x＋p)2＝p2－4q B．(x＋p)2＝4q－p2
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清2
检测内容：24.1－24.2
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清2
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( C )
A．x2＋x12＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
D．3x2－2xy－5y2＝0 2．用因式分解法解方程，方法中正确的是( A )
A．(2x－2)(3x－4)＝0，则2x－2＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1，则x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3，则x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0，则x＋2＝0