3.1：平面的方程

r OM {x, y, z}, r i OMi {xi, yi, zi},
M1
M3
M2
e3
r1
r3 r2
M
r
O x
(i 1,2,3)
e1
e2
y
（图3－2）
a M 1M 2 r 2 r1 {x 2 x1, y 2 y1, z 2 z1} b M 1M 3 r 3 r1 {x3 x1, y 3 y1, z 3 z1}
y y1 y2 y3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z z1 z2 z3
1 1 1 1
0.
（3.1－8′）
方程（3.1－5）－（3.1－8′）都叫做平面的三点 z 式方程。 作为三点式的特例， 如果已知三点为平面与 三坐标轴的交点M1 （a,0,0）， M2 （0,b,0）， M3 （0,0,c） (其中 abc 0 )(图3－3) x M3（0,0,c） O M1（a,0,0） （图3－3） y M2（0,b,0）
它是 截距式方程
y y1 y 2 y1 y 3 y1
z z1
它们都是 z y 1 点位式方程
y1
z 2 z1 0; x 3 z 3 z1 x4
z1
1 1 1
y2 y3
z2 z3
0.
x y z 1. a b c
它们都是 三点式方程
2.平面的一般方程 因为空间任一平面都可以用它上面的一点
Ax+By+D=0
（3.1－10）
当D≠0时， z轴上的任意点（0，0，z）都不满足方程， 所以平面与z轴平行；而当D=0时，z轴上的每一点都
满足方程， 这时z轴在平面上，即平面通过z轴。 反过来容易知道，当平面（3.1－10）平行于z轴时， D≠0，C=0; 当（3.1－10）通过z轴时，D=C=0。
（3.1－6）
从（3.1－5）与（3.1－6）分别消去参数 u 与
，
得
（3.1－7）
x x1 x 2 x1 x 3 x1
y y1 y 2 y1 y 3 y1
z z1 z 2 z1 0; z 3 z1
（3.1－8）
（3.1－8）又可改写为
x x1 x2 x3
平面方程
r r0 ua b
(r r0，a，b ) 0,
x x0 X 1u X 2 , y y0 Yu Y2 , 1 z z Z u Z . 0 1 2
x1 x2
x x1 x 2 x1 x 3 x1
（3.1－2）叫做平面 u ， 为参数。
（3.1－2）
的坐标式参数方程 ，其中
从（3.1－2）或 r r0 ua b 两边与 a b 作数性积，消去参数 u ， 得
(r r0，a，b ) 0,
（3.1－3）
由（3.1－3）或从(3.1-2)消去参数 u x-x0 y-y0 z-z 0 X1 Y1 Z1 0, X2 Y2 Z2
那么由 （3.1－8）得 xa y z
a a
x-x0 X1 X2
y-y0 Y1 Y2
z-z 0 Z1 Z2
0,
b 0
0 0, c
把它展开可写成
bcx acy abz abc
，
由于 abc 0 ，上式可改写为
x y z 1. a b c
（3.1－9）
（3.1－8）叫做平面的截距式方程，其中a，b，c分 别叫做平面在三坐标轴上的截距。
现在来讨论一般方程的几种特殊情况，也就 是当一般方程中的某些系数或常数项等于零时， 平面对坐标系来说具有某种特殊位置的情况。 1o D=0, （3.1－10）变为Ax+By+Cz=0,此时原点 （0，0，0）满足方程， 因此平面通过原点； 反过来， 如果平面（3.1－10）通过原点， 那么显然有D=0。 2o A, B, C中有一为零， 例如C=0 ，（3.1－10） 就变为 Ax+By+D=0,
M 0( x0, y 0, z 0) 和它的方位矢量
式方程表示， x-x0 X1 X2 展开就可写成： y-y0 Y1 Y2 z-z 0 Z1 Z2
a ={X1 ,Y 1,Z1},
因而任一平面都可以用点位 b ={X2 ,Y 2,Z2}确定。
0,
（3.1－4）
Ax By Cz D 0,
z
M0
n

M
k
r0
i
j
O x
r
y
（图3－4）
在空间直角坐标系{O, i
为 OM 0 r 0 ，平面 上的任意一点M的径矢为 OM r（图3－4）。显然点M在平面 上的充要 条件是矢量 M 0 M r r 0 与 n 垂直，这个条件可 写成：
, j , k }下， 设点M0的径矢
如果设点M0，M的坐标分别为（x0，y0，z0) , (x, y, z）, 那么
r {x, y, z},
并设 a { X 1 , Y1 , Z1}
， a { X 2 , Y2 , Z 2 } ，
那么由（3.1-1）得
x x0 X 1u X 2 , y y0 Yu Y2 , 1 z z Z u Z . 0 1 2
M0M a＋ b ＝u
r r0 ua b 即 r r0 ua b （3.1--1） 方程（3.1--1）叫做平面 的矢量式参数方程， 其中 u ， 为参数。
r0 {x0 , y0 , z0 },
又因为 M0 M r r0 ， 所以上式可改写为：
，
得 (3.1-4)
(3.1-1),(3.1-2),(3.1-3),(3.1-4)都叫做平面的点位式方程。
r r0 ua b
x x0 X 1u X 2 , y y0 Yu Y2 , 1 z z Z u Z . 0 1 2 (r r0，a，b ) 0,

a
在空间，取标架 , , }， {O; e1 e2 e3
并设点M0的径矢 OM0 ＝ 0 ， 平面 上的的任 意一点 M 的径矢 ， 为 OM r ＝ x
z
b
M0
r
e3
r0 e2
M

y
O
e1
r
a
（图3－1）
显然点M在平面 上的充要条件为矢量 MM 0 与 a ， b 共面，因为 a ，b 不共线，所以这个共 面的条件可以写成：
{B, -A, 0}和{C, 0, -A}所决定的平面，因此我们证明 了关于空间中平面的基本定理：
定理3.1.1 空间中任一平面的方程都可表示成 一个关于变数x, y, z 的一次方程；反过来，每一个关 于变数x，y，z的一次方程都表示一个平面。 方程 Ax By Cz D 0, 叫做平面的一般方程。
因为平面 的矢量 式参数方程为： x
z
M1

M3
M2
e3
r1
r3 r2
M
r
O
e1
e2
y
（图3－2）
r r1 u (r 2 r1) (r 3 r1)
坐标式参数方程为：
（3.1－5）
r r1 u (r 2 r1) (r 3 r1)
（3.1－5）
x x1 u ( x 2 x1) ( x3 x1), y y1 u ( y 2 y1) ( y 3 y1), z z1 u ( z 2 z1) ( z 3 z1);
(r r1, r 2 r1, r 3 r1) 0;
第三章 平面与空间直线
3.1 平面的方程 1. 由平面上一点与平面的方位矢量决定的平面方程 在空间给定了一点M0与两个不共线的矢量 那么通过点且与矢量 确定，矢量 a、b
a、b平行的平面
b
M0
， a、b
就唯一的
叫做平面 的方位矢量， 显然任何一对与平面 平行的不共线矢量都 可以作为平面的方位矢量。
Ax By Cz D 0,
（3.1－10）
事实上，因为A, B, C不全为零，不失一般性，可设
A 0 , 那么（3.1－10）可改写成
D A ( x ) ABy ACz 0, A
2
即
D x A B C
y A 0
z 0 A 0,
显然，它表示由点
D M 0 ( ,0,0) 和两个不共线矢量 A
n ( r r 0) 0
（3.1－11） z
M0
如果设 n ={ A, B, C } , M0 （x0， y0，z0）， M（x， y，z）， 那么
n

M
r 0 {x 0, y 0, z 0}, r {x, y, z}, r r 0 {x x 0, y y 0, z z 0} x
其中 因为
A Y1 Z 1 Y2 Z2 ,
B Z1 X 1 Z2 X 2 ,
（3.1－10）
C X1 Y 1 X2 Y2 .
a ，b 不共线，所以A, B, C 不全为零，这
表明 空间任一平面都可以用关于x , y , z 的三元 一次方程来表示. 反过来，也可以证明，任一关于变元x , y , z的 一次方程（3.1－10）都表示一个平面。
对于A=0，或B=0的情况，可以得出类似的结论。
因此，由1o与2o我们有： 当且仅当D=0，平面（3.1－10）通过原点。 当且仅当D≠0，C=0（B=0或A=0）,平面（3.1-10） 平行于z轴（y轴或x轴）;当且仅当D=0, C=0 (B=0或A=0）, 平面通过z轴（y轴或x轴）。
A, B, C中有两个为零的情况，我们由1o与 2o 立刻可得下面的结论： Ax By Cz D 0, 当且仅当D≠0, B=C=0（A=C=0或A=B=0）, 平面（3.1－10）平行于yOz坐标面（xOz面或xOy面）； 当且仅当D= 0, B=C=0（ A= C= 0或 A＝ B= 0）,平面 （3.1－10）即为yOz坐标面（ xOz面或xOy面）。 例2 求通过点M1（2, -1, 1）与M2（3, -2, 1）, 且平行于z轴的平面的方程。 解 设平行于z轴的平面方程为 Ax+By+D=0， 因为它又要通过M1（2, -1, 1） 2A － B＋D＝0， 与M2（3, -2, 1）,所以有 3A－2B＋D＝0，
k
r0
i
j
O
r
y
（图3－4）
于是（3.1－11）又可表示成：
n ( r r 0) 0
A( x x0) B( y y 0) C ( z z 0) 0, （3.1-12）
方程（3.1－11） 与（3.1－12）都叫做平面的 点法式方程。 如果记 D ( Ax0 By 0 Cz 0), 那么（3.1-12） 即成为 由此可见，在直角坐标系下，平面 的一般方程 （3.1－10）中一次项系数A, B, C有简明的几何意义， 它们是平面 的一个法矢量 n 的分量。 如果平面上的点M0特殊地取自原点O向平面 所引垂线的垂足P，而 的法矢量取单位法矢量 n 0 ， 当平面通过原点时， 0 的正向在垂直于平面的两个方 n
例1 已知不共线三点M1（x1,y1,z1) , M2(x2,y2,z2), M3 (x3,y3,z3) , 求通过M1 ， M2 ， M3三点的平面 的方程。
解
取平面
的方位矢量 a M 1M 2 ， M 1M 3 ， b
并设点M（x, y, z) 为平面 上的一点（图3－2）， z 那么
3o
由上两式得
A: B : D
1 1 2 1
:
1 2 1 3
:
2 1 3 2
1 : 1 : (1)。
所以所求的平面方程为
x y 1 0.
3. 平面的法式方程
如果在空间给定一点M0和一个非零矢量 n ，那
么通过点M0且与矢量 n 垂直的平面也唯一地被确定.
我们把与平面垂直的 非零矢量 n 叫做平 面的法矢量或简称 平面的法矢。